美国ATM发展简史大全

第一篇：美国ATM发展简史大全

美国ATM发展简史

美国ATM发展简史

2007.08.07 05:46 作者: David lee 来自：

本文由《银行卡与受理市场》授权我爱卡网站独家刊载，未经授权，请勿转载。

<<续2007年第五期第28页

3.eFunds公司

Access Cash公司充分发挥其作为eFunds公司分支机构的优势，成长为北美地区非银行ATM出机机构中的巨人，而eFunds公司是全美知名的支票印刷厂商Deluxe公司旗下的电子支付公司。

据eFunds公司的官员介绍，面向金融机构和零售商的ATM项目计划提供综合性的解决方案：从终端机具到现金管理以及标识使用。该项目计划还支持接入eFunds公司的其他交易，如授权、处理和ATM网络交换解决方案。

从全美来看，eFunds公司宣布服务17,200台ATM机具，大多数集中于加州、科罗拉多和伊利诺伊州。随着eFunds公司收购了包括Access Cash公司在内的几家小型网络机构，该公司的ATM业务部也得到了整合。

Access Cash公司在加拿大运营超过15,000台ATM机，成为加国第二大ATM运营商。

eFunds公司在商户服务圈内尚属新人，但该公司在支付领域内能保持长期而牢固的根基得益于公司属于Deluxe公司旗下的电子支付公司。

被eFunds公司纳入旗下的包括：①曾经是支票授权网络公司的SACN品牌；②为全美80％的银行分支机构提供服务的全国性数据库Chexsystems公司；③提供借记卡和自动清算（ACH）处理服务的Deluxe Data Systems公司。

ATM终端和管理服务应当属于符合逻辑的发展方向，而且明显带来收益。2003年第一季度公司报告披露，eFunds Access Cash公司带来的收益占eFunds公司全部净收益的26%，去年同期占比15%；来自ATM管理和服务的收益增长64%达到3,380万美元。

eFunds公司ATM部的首席副总裁Kevin Reager说：“就行业整体来看，ATM布放已经处于饱和状态。然而，即使考虑到ATM交易的季节性特点，我们从单机交易量中难以看出重大下滑。我们布放的终端每月都在增加。此外，eFunds公司提供为客户量身定做的解决方案，包括购买、租赁以及整体或部分ATM管理服务。上述项目计划涵盖涉及到的每个方面。我们从事接听客服电话、发卡到现金与风险管理乃至交易处理，而ATM业务与eFunds公司提供的其他产品与服务有着天然的契合度。”

eFunds公司在标识开发、优惠购物以及广告业务方面与客户展开合作以促进ATM的使用率、客流量和现场交易量的提升。“ATM上没有我们自己的品牌标识，但是，我们帮助并支持金融机构提高其品牌知名度。”Reager解释道。

对于商户层面的销售人员，与eFunds Access Cash公司合作意味着能够对外提供该公司设计的一系列ATM项目计划功能，包括稳定的授权支持（99.99%的在线率）、符合所有网络立法的要求以及长期稳定的合作关系。Reager说，eFunds Access Cash公司与ATM生产厂商合作以保证软硬件解决方案的兼容性。“毋庸讳言，我们正在寻找新产品和新服务已通过现有的以及即将投入的机具组合得以实现。”

4.E*Trade Financial Access公司

如果一家银行没有分支机构，客户通过信汇和几台适当配置的ATM进行存款，能算得上是真正的银行吗？

传统意义上看，不是。砖石结构的办公室一直被认为是银行开展业务的最基本元素；ATM仅仅被视为银行联系客户的另外一条通道。然而，21世纪的今天，传统意义上的银行概念已经不能够满足市场现实的要求。E*Trade Financial Access公司就是一个个案。

在全美运营15,000台ATM机的E*Trade Financial Access公司是E*Trade集团公司（一家金融服务控股公司，旗下还包括E*Trade证券公司和E*Trade银行）的分支机构，该公司业务模式的核心在于利用前沿技术支持“自助银行”和经纪服务。

E*Trade公司属于行业内的异类：仅运营屈指可数的几个客户服务中心，主要通过ATM与其客户建立关系。强化动态视频广告、具有竞争优势(revenue generator)数字支票影像处理等诸如此类的ATM功能成为关键。

E*Trade银行的首席运营官Steve Gutterman解释道：“自从1989年公司成立，E*Trade银行一直致力于通过技术与创新向客户提供成本较低的产品与服务。对我们来说，因特网一直是最佳渠道，我们还发现这种方式对于传播无形服务是最有效的。ATM为我们的银行客户提供了接入途径，无论是从便利性还是从心理上都能满足客户对安全性的要求。”

公司在美国的50个州布放ATM，东北部尤其是东北部城市中心地区最集中。通过24小时客户服务热线或ATM，400万的客户随时在线接触账户信息。可供存款的ATM机较少——当前只有56台机器具备接受客户存款的功能。随着联邦立法以及数字支票影像处理技术的实施与发展，利用ATM机兑现支票和进行支票“截留”正在变得越来越容易，公司也在试图改善接受客户存款ATM机的状况。

E*Trade Financial Access公司总裁Dale Dentlinger认为，如果“支票交换21世纪法案”（Check Clearing for the 21st Century Act，简称Check21法案，美国总统布什已经于2003年10月28日签署该法案。得以通过，以ATM为载体的支票影像处理和截留技术将越来越普及。公司这种独一无二的运营模式，使之能够在更多网点接受更多非E*Trade银行客户的存款。

Gutterman承认，“大多数使用E*TradeATM的人群并非E*Trade银行客户。为客户提供增值便利是机具功能开发中的首选要求，从而在向客户提供的每笔交易中可获得更多收益。”坐拥15,000台ATM机，E*Trade公司充分体现了当代ATM网络发展的精髓：为客户提供便利的途径获得现金。

在实施ATM战略网络布局的过程中，E*Trade公司与超市、百货商场以及加油站等大型零售连锁商户合作，例如，公司在Target商店布放了1,000台ATM，这种布局有利于公司在ATM机增加商店优惠券和广告打折等功能。

E*Trade ATM还被用于手机预付充值以及向视觉障碍人士提供更有效的服务。最近与“美国视力障碍者联盟和马萨诸塞州首席检察官办公室”签署的一项协议中，公司同意对自己的2,000台ATM机进行改造，增加语音指示功能。

E*Trade公司向商户和机构提供一系列的ATM采购和租赁项目计划。服务协议包括公司外包给当地提供商的、完整的“交钥匙”解决方案以及24/365帮助热线手把手的沟通。公司采取室内销售人员和ISO渠道相结合的方式展开营销。

2001年2月，E*Trade公司从Card Capture Services网络公司收购了8,500台机具，成立了E*Trade Financial Access公司。此后，公司开始了Gutterman所描述的“收购，但是很谨慎”模式。

Gutterman说：“市场高度细分，同时，哪里有细分市场，哪里就存在机遇。我们总是在寻找新的高收益的组合。为此，我们不断做尽职调查。”

5.FTI公司

位于密苏里州的杰克逊市。公司拥有并为遍布全国的4,300台ATM交易提供处理服务。

公司业务模式深受美国南部好客传统的影响。公司销售副总裁DeLone Wilson要求公司全体53名雇员全身心投入到ATM管理和客户服务中去。为践行此理念，Wilson说，他经常邀请客户和潜在目标客户到Jackson市盘桓1—2天，并观察公司运作情况。“我把客户带到公司，然后介绍员工们与之相识”。

尽管FTI公司与行业内其他公司相比较小，其训练有素的员工队伍在回答客户提出的各式各样有关公司运营的问题时，比专业人士有过之而无不及，这在许多竞争对手的公司里属于“瓶颈”。

“每位营销人员穿上西装后看起来没有区别，我所销售的机具也并不比他人更好。我所销售的是公司。我们在机具后端建立起的是提供最佳的客户服务。” Wilson说。例如，FTI公司对包括自己所有的和所管理的全部机具进行监测。如果日常报告显示一台机具当日未发生交易，FTI公司将通知当地的机主。“许多情况下，我们的客户在异地。因此，收到我们的通知，他们就会知道其商户雇员或管理人员没有监测机具活动，而机具也没有为之带来收益。”

FTI公司立足于独立或专营便利店。有800台ATM布放在加州，是公司机具布放最集中的地区所在，东南和大西洋中部地区次之。全美有100家销售组织与FTI公司合作布放机具。

FTI公司强调客户服务不仅体现在与当地机主的合作，还体现在与商户层销售人员的合作上。Wilson说，“许多竞争对手希望MLSs和下一层的销售人员处理客户服务，但是，他们接受的培训并不适合做此项工作。”

FTI公司已经开始进行产品多元化组合，着眼于为销售代表提供更多、更好的交叉销售机会。例如，手机预付充值与西联汇款交易的交叉。

被称为Cash Works的支票兑现项目帮助出纳人员鉴别和证实支票的真伪，然后向客户发放预付借记卡和密码用于从ATM取现，商户的收益包含在支票兑现费里面。

“我们最终成为交易收单机构。我们既向客户提供打包服务又处理业务交易。只要做法得当，他们看不出二者之间有何区别。”Wilson说。

6.International Merchant Services（IMS）公司

Neil Johnson持有圣经专业的学士和硕士学位，ATM可能并非他的第一职业选择。随着一连串的职业生涯的变化，1991年，他进入ISO领域，创建了International Merchant Services公司。数年后，其公司开始以QuickCASH24的服务品牌布放ATM机。IMS公司的管理层包括Johnson的两个儿子，因此，被称为家族企业。

他的背景在其业务经营中得以体现。“好多人说他们自己‘大’或‘个性化’。我们强调的是整个系统在一个层面上的完整性，这是我们有别于其他人之处。我们从基础做起，集中精力于服务质量。这些均需要来自后台的支持。”

Johnson最初在德州的Euless市专营POS和ATM机具的销售与租赁业务；他在支票鉴定以及与POS有关的产品和服务方面积累了丰富的经验。最终，他说，“我决定放弃POS端的业务，集中经营ATM业务。因为，ATM账户存有大量现金，而且，开户很方便。1992年开始到现在，我们一直集中经营ATM业务。”

最早，公司的ATM布放在德州、路易斯安那州和阿肯色州。随着因特网的普及，市场机会越来越多，现在公司已经在40个州布放超过3,000台的机具。销售团队主要分为室内销售队伍和独立销售代表。

通过从现金循环使用到减少使用押款车等创新手段，公司为不同地区、不同类型的商户建立内控系统，IMS有能力为客户处理ATM管理各层面的问题。公司还将建立处理系统、布放点管理系统以及与客户签订处理与布放协议。

Johnson注意到ATM及其相关产品与服务的销售需要与销售其他形式的交易服务有很大不同的手段：寻找一处客流量较大的布放地点仅仅是第一步，还需要考虑包括交易处理、现金管理和供应等诸多方面。

“典型的扫街销售人员并不能理解他们销售的不仅仅是产品与服务，他们还在销售一家公司。并非所有公司的业务处理是一致的，MLSs应当理解其不同之处。我们致力于业务处理管理、服务并确保ATM账户余额的正确性。”

7.Innovus LLC/Momentum Cash Systems公司

总部位于新奥尔良，全职雇员68人。

从纽约到夏威夷，Innovus公司在全美48个州运营4,500台ATM机。该公司是一家控股公司，其分支机构为商户和商户层面的销售人员提供机具布放与管理、ATM项目计划等服务。

最知名的分支机构是Innovus公司于2003年1月收购的Momentum Cash Systems公司。Momentum公司在零售网点和金融机构运营3,000台ATM；Innovus LLC公司专营酒店业，为Marriot和Hyatt等高端酒店客户运营1,500台机具。

另一家分支机构Columbus Data Services公司专营终端驱动、交易处理和清算。

公司总裁兼CEO J.Michael Brown说：“我们观察市场与其它公司不同，我们并不非常赞同终端技术是提高客户服务的新方法。我们视ATM为一个地址而非万能的商品。”

受此理念的影响，Momentum公司开发了“无费用ATM项目”，目的在于推动零售网点ATM布放，增加银行客户交易量，同时，带动提高布放网点。（当前，除北达科他州和阿拉斯加州之外，我们都能看到Innovus公司分支机构支持的ATM）。该项目的典型特征是：使用Momentum Cash品牌的ATM机免收额外费。

Momentum公司副总裁Gary Walston说，商户可从免收额外费的机具收益；数据显示，使用现金的消费者如果使用如信用卡之类的非现金工具，消费金额将超过他们想支付的20%。而且，许多商户正在寻找新消费者，实施该项目如同把消费者拉回商户并把现金放在他们手上。一旦他们有现金在手，消费的会更多。

Brown强调了客户服务是公司的着力点之一。“我们提供系统和解决方案以使得我们行动更快。这有利于机具布放、交易处理和服务于机具。一旦某台机具出现问题，公司的服务代表会在两小时之内出现在现场。”

Brown认为，对商户层面销售人员和ISO而言，ATM市场充满机会。尽管Innovus公司的室内销售人员集中拓展酒店行业(该行业属于高度细分市场，我们对之非常了解).Innovus公司并未放弃寻找有关人士，帮助他们建立代表处以及拓展新的零售商户。“无论是布放选点、机具销售、交易处理还是提供区域服务，该行业非常有利可图。”Walston补充说，公司在MSL业内具有良好声誉，“我们可以快速、高效地在线获取终端机具；我们提供在线报告和其他工具保证MLS的工作效率；我们随时、准时向他们支付费用。与我们合作的销售代表相信他们会得到报酬并得到应得的报酬。”

8.Lynk Systems公司

位于亚特兰大。

1991年，作为一家专营POS刷卡应用的电子支付公司，Lynk Systems公司成立不久就将ATM业务加入其产品组合。1993年开始布放ATM，时至今日，公司在全美支持超过18,000台ATM，凭条打印式和自有产权的“Point of Banking”2,000台。

公司最突出的特点是：“镜像地址”系统支持的交易转接使得Lynk公司的网络运营时间达到了近乎完美的99.99%。这意味着较高的授权率、较低的拒付率。对于从事Lynk ATM服务的销售人员来说无疑是件好事。

Lynk完全依赖MLS和ISO渠道资源销售、布放ATM机具及其相关服务，促使销售代表将现有的商户关系资源利用至最大化。“我们与不同规模的ISO保持关系。”Chewning说。

Lynk公司采取“非品牌”市场营销策略，ISO可满足商户个性化需求。可供销售代表选择的项目包括：转销售项目、自主布放ATM项目以及向非全功能的ATM布放点提供凭条打印机具项目等。公司还提供：端对端的交易处理、现金管理、与主要ATM网络机构的直联、报告、清算、账户余额查询等管理功能。

Lynk公司自有产权终端管理解决方案更加便利了其他ATM运营商更快地掌握重要功能信息。该方案内容包括消费者交易报告、消费者现金交易或读卡交易差错等。此类信息可以在线实时获取，帮助终端布放机构快速有效地对问题作出反应。

Lynk公司通过了全部主要的ATM网络机构的验证，符合他们“复杂而繁琐的要求”。

“Point of Banking”终端主要布放于美国东北部地区，是Lynk公司独树一帜的产品，由NYCE网络机构提供支持，属于“收银员激活”机具设备。当消费者刷卡和在商户店内签支票时，该机具可处理标准ATM交易并接受存款。

与许多其他高管一样，Chewning确信ATM的主要功能仍然在于取现，但她并不否认将来其它新应用出现的可能性。“我们一直不断地寻找新产品和新服务提供给ISO们；我们希望他们营销给ATM商户（的产品和服务）增值。正是不断地尝试和发现错误促进了应用。”她说。

第五章 展望未来

美国ATM业务所处的是成熟的市场：新的、来自银行的布放已经枯竭；市场整合使得小规模ISO的竞争更为激烈。然而，盈利机会依然存在——诸多因素的协同作用提供了盈利机会。这些因素包括：更优化、更低廉、更具兼容性的硬件以及来自消费者和商户的需求。

当前，拥有银行账户的大多数消费者已经意识到ATM是获取现金的途径之一，甚至许多不通过银行账户的业务也正在被ATM吸引，例如，银行、公司和政府使用借记卡发放工资和福利。美国Celent Communications市场调研公司的数据显示，到2010年，22%的未开立银行账户的家庭将通过ATM获得支付和福利。正如Celent公司预计的那样，取现仍将是ATM的首要功能。

Innovus公司总裁与首席执行官J.Michael Brown说：“我们曾与零售商开展购物优惠以及电话卡项目合作，但是，日常消费品的销售仍是驱动消费者消费的主要因素，此类消费还是需要现金支付。”

与其它类型的支付业务相同，规模经济推动了ATM市场的成长。

经过七年的发展，ISO开始主宰ATM布放市场。据德夫咨询顾问公司的《2002年ATM出机机构研究报告》披露，2001年，大型ISO平均运营3,689台ATM，小型ISO平均运营212台ATM，银行方面运营的ATM少于1,800台。

随着银行方面较少投放离行式ATM，到2004年，大型ISO布放机具的数量有望在2001年的基础上翻一番。

现在的问题是：增量机具布放在哪里？2002年，大多数ISO在便利店、加油站、超市、学校和购物商场选点；快餐业会不会成为下一个选择呢？电影院以及其他餐饮行业呢？

虽然未来ATM市场看来充满希望，但有些问题依然存在。银行可能不是大型的出机机构，但在行业中依然扮演关键角色，他们支持ISO接入ATM网络。Visa公司最近要求银行加强对其所支持ISO的控制，已经促使银行重新考虑他们与ISO的关系。

与ATM有关的欺诈以及其它风险，无论对银行还是ISO都不能等闲视之。前车之鉴，后事之师，银行与ISO已经从风险管理中得到沉痛的教训，尤其是信用卡和网上支付欺诈。为维护和提高ATM业务今天所提供的收益水平，ISO以及其它服务提供商需要接受教训并在ATM市场采取防范措施。

第二篇：美国种族简史读后感

美国种族简史读后感

1.前段时间读了老罗的《我的奋斗》，最大的收获是听说老罗推荐的这本书《美国种族简史》，美国种族简史读后感。读完这本书的最大感受是让我知道自己对历史是多么的浅保

首先，当然是对什么是美国有了一个更加深刻的了解。从种族的角度切入对于美国这样的移民-国家来说，也许是再适合不过的了。早就知道种族大熔炉这一说，可在我的浅薄的认识中，除了白人黑人黄种人这样的直观感受外，真的没多少有营养的。常听说，国人在面对白人的自惭，和面对印度人称“阿三”，这是什么样的变-态、无知和歧视心态埃

然后，算是逐渐认识世界的一个起点吧。真的很有必要读一读欧洲史，世界史，不能再这么无知的妄自菲薄和自欺欺人了。你说你连西西里岛在哪里都不知道，还人云亦云的在那边说什么《西西里的美丽传说》是一部不错的电影?

最后一点，是对文化的思考。书里有一句话大概是这么说的，文化本无优劣，只是在适应某一特定环境的时候才显出其好或坏。很不喜欢国人上来就自我践踏，这又是何必呢。文化这个东西，不是三言两语就能说的清楚的，在没明白这“是什么”的时候，别一个劲的要求“该怎么样”。

多点思考，让生活充满意义。

2.《美国种族简史》是一部水平不是很高的基于历史数字分析的美国种族形成及演化的著作，它以国籍为差异描述了爱尔兰、德国、意大利、犹太、华裔、黑人等一些带有明显标志的种族移居美国的过程，主要描写了这些移民刚开始贫苦的生活及极端恶劣的待遇，和这些种族融进美国文化的进程及所取得的进步，在一定程度上给出了美国种族观点形成的原因，最主要的一句话：“多元化并非人们一开始就抱有的理想，而是互不相容所造成的惨重牺牲迫使他们彼此相安共处的结果”给出了大部分答案。在读这本书的时候，我感觉不像是在读过去的美国，而更像是在读现在的中国，只不过中国的歧视不是基于种族，而是基于地域，中国人的地域歧视不见得比美国人的种族歧视要轻，且中国人的种族歧视可能更甚于美国人，由于中国人本身就是外国歧视的对象，所以表面上自然要“同情”一下被歧视的人，但中国人在心里是不会放弃任何一个可歧视的机会的。

美国移民在进入美国之初从事的全部是不需要技术、专业知识的出卖力气的体力活，在第二代、第三代移民才出现中产阶级和专业技术人员以及医生、教授、律师等体面的职业，因为我自身年龄、阅历的限制，对中国整体社会阶层的流向没有详细的掌握，但就这两年在北京这个地方，一半是观察、一半是臆测，像北京这种地方上演的正是美国一二百年前的景象，读后感《美国种族简史读后感》。往美国移民的种族，某一种族刚开始从事的职业都聚集在某些领域，爱尔兰人男人建筑铁路，女人当佣人，这两种工作后来被稍后来到的德国和意大利人先后占据，犹太人从事小买卖、衣服制作，中国人开洗衣房，开中餐馆，而这些与中国落后地区的人涌入发达地区又有什么区别，这些人有统一的称呼“民工”，建筑大楼，当保姆(佣人)，进“富-士-康”，可以说中国除了农民之外的几乎所有人在民工面前都不会感到不比他高一等，甚至是当地和外来人从事相同职业的人也会有一种优越感，中国现在基本上以一代农民工为主，二代农民工开始出现，由于政策原因，民工很难像美国移民(包括偷渡)在美国定居那样在北京、上海这些地方定居，但仍有相当数量的这些人的孩子在发达地区生活和接受教育，可以预见这一部分的孩子中从事中高等职业的比例一定会高于他们的父辈。

虽然这么说可能不太精确，但中国某一地区的人所从事的职业在中国相对固定，中部出农民、农民工，沿海出商人，山西出矿工，新疆人来北京几乎都卖羊肉串或开新疆风味的饭店，安徽、河南的富余劳动力在农闲时区新疆摘棉花，农民希望自己的孩子通过读书改变自己的前途，成功商人想让孩子做公务员或继承自己的事业，小商人则让孩子帮助扩展自己的生意，公务员想让孩子继续在这条稳路上走，上层社会的人想成为明星或政府高层，政府高层的子女则垄断某一行业，中国这一幕幕所上演的社会涌动的大潮总是在固定的方向流动，看似纷繁复杂，实则规律很难打破，正如海洋虽然广阔，但其海水循环仍有难以逆转的规律，例外总是存在，规律也可能暂时地失效，但总体上是很难改变的。

第三篇：美国期货市场简史

美国期货市场简史 – 作者: 利奥•梅拉梅德在美国，期货市场起源于芝加哥。它萌芽于自然的环境，以当时庞大的铁路枢纽为代表，将西部生产的产品运输至东部人口中心。芝加哥期货交易所于1848年开始营业，为交易者提供玉米、小麦、大豆等谷类产品的交易，在其大部分历史期间，它一直是全球最大的期货交易所。芝加哥期货交易所大楼修建于1885年，位于拉萨尔街和杰克逊大道，成为芝加哥的商业活力之象征。在芝加哥期货交易所成立五十周年后，芝加哥黄油与蛋类交易所于1898年成立，是1919年成立的芝加哥商品交易所的前身。芝加哥商品交易所的主营业务是黄油和鸡蛋，如同其原有名字一样。在20世纪60年代，芝加哥商品交易所推出活牛、生猪及猪腩等肉类的期货合约，并获得“猪腩建立的交易所”的殊荣。

在1971年，芝加哥商品交易所主席利奥•梅拉梅德（Leo Melamed）构思出金融产品的期货合约想法，彻底改变了期货市场。这一想法具有简单的逻辑：为业务及财务经理们提供其农产品对手方已成功使用超过百年的风险转移能力。为了实现这一目标，他发起创建了金融领域首家期货交易所——国际货币市场（IMM），并于1972年推出全球首个外汇合约。四年后，国际货币市场并入 CME，直至今日仍保留其财务部门。在接下来的三十年，金融期货被全球每个金融中心复制，而芝加哥也成为了风险管理的首都。

其它美国中心城市的期货交易历史类似于芝加哥，在堪萨斯城、明尼阿波利斯和纽约市分别成立期货交易所。其中，纽约商品交易所（NYMEX)在能源及金属类产品交易方面表现最为突出。芝加哥期货交易所和纽约商品交易所分别于2007年和2008年与芝加哥商品交易所进行合并，成立 CME 集团——当今世界上最大的期货交易所。

纵观这段历史，直到21世纪初，在每一个美国期货交易所的所有交易均通过公开喊价执行。然而，在1986年，利奥•梅拉梅德作为芝加哥商品交易所执行委员会主席，确信技术会迫使开展业务的方式发生根本性改变，领导战略规划委员会并提出创建一套电子交易系统——最终被称为 Globex。芝加哥商品交易所从而成为全球首家采用电子交易的期货交易所。今天，Globex 无疑是全球最先进且最有效的期货市场电子交易系统。

第四篇：美国种族简史读后感

《美国种族简史》读后感

文/段世超

应该是在2010年的时候我从大学舍友那里知道有这本书，他当时正在备考GRE考试去美国读研究生，当时他在读这本书。我看书通常是别人推荐了我才看，要么是朋友推荐，要么是看到书评，很少是我自己莫名其妙地找来一本书来看，除非是刚好那本书就是讲的话题我很感兴趣。

这本书在1981年就出版了，距今都有35年了。他讲的问题是各个国家或者是种族在美国发展的历史。里面运用了详尽的统计数字，比如某段时间里某种族移民的性别比例，某个年龄段的收入，某个年龄段女性生育孩子的数量，某个种族受教育的时间，某个种族参政的人数，等等。这些因素都被作者用来做出相关的推断，比如最初移民的男女比例，和移民的心态有关系，如果男性远远多于女性，那么这个种族对于美国还处于试探阶段，而假如男女比例接引1:1,那么说明这个种族是做了在美国定居打算的，因为如果要定居就会带着配偶一起移居美国。

书中介绍了爱尔兰人，德国人，意大利人，日本人，犹太人，华人，墨西哥人，黑人，波多黎各人等。大致来说，爱尔兰人早起在美国主要是干农活和低技术含量的工作，生活很艰苦；德国人以起精湛的技术和认真的态度为美国的很多领域做了很大贡献；意大利人由于南北的差异，在美国一直互相不睦；日本人早起在美国很多以做园艺工作起家，也有做农场主的，但是美国出台了很多限制日本人在美国买地的政策，更可怕的是在第二次世界大战期间，美国对日本人出台了残酷的隔离政策，让日籍华人受损极大；华人在美国和早起爱尔兰人一样做低技术含量的工作，加之美国一度出台限制中国人移民的政策，对于华人在美国的发展进行了很大的打压，但是华裔美国人和犹太人一样，都是在重重危机中坚韧地生活，且都还算成功，华裔美国人很多人进入高技术领域而成为专门人才；犹太人在美国也是备受歧视，但是他们在经济上的成功是不可否认的；墨西哥人和黑人以及波多黎各人就不一一介绍了。

这本书给我最大的感受是，各种族在美国的成长史，和国内各个省份外出迁移的情形在某种程度上有很多相似之处。我一直在思考，那些异乡人克服距离产生的陌生感，克服思乡的愁苦，来到一个也许是连语言都不通的地方打拼，最终将是“一将终成万骨枯”.当年南下深圳淘金的外省人，也是几家欢喜几家愁。此外，书中还用华人和犹太人在美国的经历讨论了一个有意思的问题，作者认为并不是教育改变了这两个种族在美国贫穷的处境，而是当他们经济稍好一点后开始重视教育的，也许之后重视教育加速和加剧了他们的成功。即使在今天，西方国家还在怀疑资助非洲的教育是否真的可以改变非洲贫穷落后的现状。孰是孰非，争论不休。

纵观国内，经济发达的地区往往是外来人员比较多的，比如长三角地区，珠三角地区；同时往往选择外出谋生的人更容易获得在其家乡不易获得的成功。有句话叫做“树挪死，人挪活”.放眼国际，那些经济发达的地区，也往往是乐于招商引资以及喜欢走出去投资的地区。就拿美国来说吧，每年那么多人希望去美国，希望可以拿到美国的绿卡，而美国也因此可以招揽到他需要的人才。换言之，全世界的国家都在为美国培养人才。我记得在印度电影《三傻大闹宝莱坞》那部电影里讲到，男主角所在的学校，即现实中的印度皇家理工学院的很多毕业生都去了美国，他们也引以为豪。再来看看国内的著名高校，是不是也是很多毕业生都去了美国呢？就我所在的研究所，也算是国内一流的生命科学研究机构了，但却很少碰到北大清华的毕业生，也不是没有，很少很少。我就问别人，北大清华的人都去哪里了？有人给了我一个相对合理的解释：北大清华最好的学生都出国了，稍差的留本校了，再不行才来上海，当然了他们如果不能去美国也不能留校，那他们宁愿选择就业。不过据说他们出国和留本校读研的比例很高。因此有人调侃说，国内有一流的高中生，二流的本科生，三流的研究生。因为，我们的高中教育世界一流，而高等教育不太好，有些优秀的高中毕业生已经选择了出国，本科毕业再出去一批，留在国内的读研的研究生只能是三流的。当然了，这些都是调侃的说法，似乎有些道理，但不一定是真的。

继续回到《美国种族史》吧，我猜即使我推荐这本书给大家，也不会有几个人真的去看，因为我也是看了很久才把它“啃完”,因为实在是趣味性有点低，也许这就是严肃历史书籍的通病吧。但是，假如你真的把它读完，绝对获益良多。这本书肯定没有那些所谓的自媒体人做的节目好看，但是这本书是纯干货，而且严谨很多。

2016年3月13日凌晨

第五篇：《数学发展简史》

《数学发展简史》

导言：为什么学习数学史 第一讲： 早期文明中的数学1．古埃及的数学 2．巴比伦的数学 3．中国早期的数学

主讲教师：王幼军

目 录

第二讲：古希腊的数学

1．希腊数学——从爱奥尼亚到亚历山大 2．亚历山大时期 第三讲：中国古代的数学 1．汉以前的中国数学

2．从魏晋到隋唐时期的中国数学 3．

十二、三世纪的宋元数学 第四讲：印度与阿拉伯的数学 1．印度的数学 2．阿拉伯数学 第五章：数学的复兴 1．中世纪的欧洲数学

2．经验主义数学观的形成及其对于近代数学实践的影响 3．三次、四次方程的求根公式的解决 4．三角学的历史 第六讲：近代数学的兴起 1．对数

2．解析几何的诞生 3．微积分的产生与发展 4．概率论的产生 第七讲：近代数学的发展 1．几何学的发展 2．代数学的发展 3．分析学的发展 4．公理化运动 第八讲：现代数学概观

1．集合论悖论与数学基础的研究 2．纯数学的发展 3．应用数学的发展 4．六十年代以后的数学

导言：为什么学习数学史

1．为了更全面、更深刻地了解数学

每一门学科都有它的历史，文学有文学史，哲学有哲学史，天文学有天文学史等等。数学有它自己的发展过程，有它的历史。它是活生生的、有血有肉的。无论是概念还是体系，无论是内容还是方法，都只有在与其发展过程相联系时，才容易被理解。可以说，不懂得数学史，就不能真心地理解数学。数学课本上的数学，经过多次加工，已经不是原来的面貌；刀斧的痕迹，清晰可见。数学教师要把课本上的内容放到历史的背景上考察，才能求得自己的理解；然后，才有可能帮助学生理解。

2．为了总结经验教训，探索发展规律

我国自古以来就非常重视历史、“前事之不忘，后事之师”（《战国策·赵策一》）早已成为人们的共识。英国哲学家培根（Francis Bacon，1561—1626）的名言“历史使人明智”（Histories make men wise）也是尽人皆知的成语。数学有悠久的历史，它的成长道路是相当曲折的。有时兴旺发达，有时衰败凋残。探索它的发展规律，可以指导当前的工作，使我们少走或不走弯路，更好地做出正确的判断，制定合理的政策。

3．为了教育的目的

（1）激发兴趣，开阔眼界，启发思维，经验证明，在数学课中加入数学史的讲授会使学生兴趣盎然。任何一个静止的事物，如果和它的历史联系起来，就会对它有浓厚的兴趣。教师讲授一条定理，如果不仅仅给出推导和证明，还指出它的思考路线，以及学者研究和发现定理的经过，课堂空气会立刻活跃起来。教师也可以适当介绍和本定理有关的典故和趣事。学生开阔了眼界．知道一个定理的发现过程竟如此曲折，印象会非常深刻。讲述定理的来龙去脉，可以开拓学生的思维，使他们从多个方面去思考问题。（如果不是专门的数学史课，史料的加入宜适而止，否则会喧宾夺主，冲淡了主题）

（2）表彰前贤，鼓励后进。

数学是人类智慧的结晶，是全世界人民宝贵的精神财富。今天数学的繁荣昌盛，实得力于千百年来数学工作者的辛勤劳动。饮水必须思源，数典不可忘祖，他们的丰功伟绩，理应载人史册。数学史的主要内容之一，就是记述他们的生平事迹和重要贡献，以供后人参考借鉴。其目的在于总结先辈的经验教训，学习他们不畏艰苦的创业精神。表彰前贤，足以鼓励后进。

4．文化的目的

数学是文明的一个组成部分。数学不仅仅是形式化、演绎化的思维训练，也不仅仅是一门严肃的、抽象的学科，数学其实是丰富多彩的文化的产物，数学中的几乎每一步进展都反映了推进者的个人背景、时间和地点的影响，也受到当时流行的价值观、社会思想和当时所有的资源的影响。所以，数学不仅是一种单纯的知识活动，它也拥有丰富的历史文化向度，人类丰富多彩的文化为它染上了浓重眩目的文化色彩。几乎任何一门数学分支的发展都反映了一定时代和地域所流行的价值观和各种因素的影响，这些因素包括游戏娱乐、美学欣赏、宗教信仰、哲学思考和实用价值探索等，在数学中它们是如此紧密地交织在一起，只要拆散和剔除其中的任何一个方面都将给数学带不可估量的损失。

为了探索及揭露数学发展的规律，也为了叙述的方便，常常将整个发展史划分为若干个阶段，这就是数学史的分期。分期的标准主要有两种，一种是根据数学本身的特点（通常叫做“内史”，另一种是根据社会的历史背景（“外史”），三是根据所接受的对象。本课程综合上述看法，采取下面的分期。1早期文明中的数学，2．初等数学的发展，4近代数学的兴起，5近现代数学发展，6现代数学发展概述。

学习资源：

1.李文林．数学史教程．北京：高等教育出版社，20020 2.梁宗巨，王青建，孙宏安，《世界数学通史》（上下册），辽宁教育出版社，2004 3.王青建，《数学史简编》，科学出版社，2004 4.张奠宙．数学史选讲．上海：上海科学技术出版社，1997 5.J.F.斯科特著，《数学史》，侯德润 张兰译，广西师范大学出版社，2002 6.(美国)卡茨著，《数学史通论》，李文林等译，高等教育出版社，2004 7.[美]H.伊夫斯，《数学史概论》（修订本），欧阳绛译，山西经济出版社，1986 8.刘钝(1993)，《大哉言数》，沈阳：辽宁教育出版社

9.M·克莱茵.数学：《确定性的丧失》，李宏魁译.长沙:湖南科学技术出版社,1999.10.李迪主编，《中外数学史教程》，福建教育出版社，1993

11.汪晓勤，韩祥临．中学数学中的数学史．北京：科学出版社，2002 12.http://math.ntu.edu.tw 13.http://math.ntnu.edu.tw/~horng

14.http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/ 15.http://math.clarku.edu/~djoyce

第一讲：早期文明中的数学

数学最早起源于适合人类生存的大河流域，例如尼罗河流域的埃及、两河流域的巴比伦、黄河长江流域的中国等。伴随着这些早期文明的发展，数学也开始了它的萌芽和进程。

在有文字记载之前人类就已经有了数概念。起初人们只能认识“有”还是“没有”，后来又渐渐有了“多”与“少”的朦胧意识。而“多”与“少”的意识原始人是在一一对应的过程中建立的。即把两组对象进行一一比较，如果两组对象完全对应，则这两个组的数量就相等，如果不能完全一一对应，就会出现多少。例如，据古希腊荷马史诗记载：波吕斐摩斯被俄底修斯刺伤后，以放羊为生。他每天坐在山洞口照料他的羊群，早晨母羊出洞吃草，出来一只，他就从一堆石子中捡起一颗石子儿；晚上母羊返回山洞，进去一只，他就扔掉一颗石子儿，当把早晨捡起的石子儿全部扔完后，他就放心了，因为他知道他的母羊全都平安地回到了山洞。

另一个方面，在长期的采集、狩猎等生产活动中原始人逐渐注意到一只羊与许多羊，一头狼与整群狼在数量上的差异。通过一只羊、一头狼与许多羊、整群狼的比较，就逐渐看到一只羊、一头狼、一条鱼、一棵树„„之间存在着某种共同的东西，即它们的单位性。由此抽象出数“1”这个概念。数“1”可以说是这类具有单个元素的集合的特征。可以认为，在人类发展的一个相当长的阶段上，人们最早具有的数的概念是“1”，与之相对应的是一个比较确定的观念——“多”。如上面的“数羊”，人们把一些被数物品用另外某些彼此同类的物品或标记来代替，如用手指、小石块、绳结、树枝、刻痕等。根据彼此一一对应的原则进行这种计算，也就是给每个被数物品选择一个相应的东西作为计算工具，这就是早期的记数。

最早可能是手算，即用手指计数。一只手上的5个指头可以被现成的用来表示5个以内事物的集合。两只手上的指头合在一起，可以数到10，再和脚趾联合在一起，可以数到20。有人认为，现在的罗马数字Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ就分别是1——4个手指的形象，Ⅴ是四指并拢拇指张开形象，10则画成ⅤⅤ，表示双手，后来又画成X，是ⅤⅤ的对顶形式。古代俄国把1叫做“手指头”，10则称为“全部”。这些都是古代手指计数的痕迹。亚里士多德曾经指出，今天10进制的广泛采用，只不过是人类绝大多数人生来就具有10个手指这样一个解剖学事实的结果。

手算能表示出的数目毕竟有限，即使再借助于脚趾，也不过数到20。当指头不敷用时，数到10时，摆一块小石头，双手就解放了，还可以继续数更大的数目。自然地人们会想到，可以不用手，直接用石头记数。但记数的石子堆很难长久保存信息，于是又有结绳记数。我国有“上古结绳而治，后世圣人，易之以书契”的说法。“结绳而治”一般解释为“结绳记事”或“结绳记数”。“书契”就是在物体上刻痕，以后逐渐发展成为文字。

结绳记事、记数，并不限于中国，世界各地都有，有些地方甚至到19世纪还保留这种方法，有些结绳事物甚至保存下来。例如，美国自然史博物馆就藏有古代南美印加部落用来记事的绳结，当时人们称之为基普：在一根较粗的绳子上拴系涂有颜色的细绳，再在细绳上打各种各样的结，不同的颜色和结的位置、形状表示不同的事物和数目。

结绳毕竟不甚方便，以后在实物（石、木、骨等）上刻痕以代替结绳。从现在的考古资料看，几乎所有的文明古国都经历过一个刻痕记数的阶段，只是各自的形式不同而已。

无论手算、结绳还是刻痕所记下来的数还不是现在意义上的数，只是物体集合蕴涵着的数量特性从一个物体集合转移到另一个物体集合上。也就是说，人们还不能脱离具体的物的集合来认识“数量”。但是，当人们可以任意选用这种随手可得的东西来记数时，就离形成数的概念为期不远了。

总之，在人类几万年的原始文明中，只限于一些零碎的、片断的、不完整的知识，有些人只能分辨一、二和许多，有些能够把数作为抽象的概念来认识，并采用特殊的字或记号来代表个别的数，甚至采用十、二十或五作为基底来表示较大的数，进行简单的运算。此外，古人也认识到最简单的几何概念，如，直线、圆、角等。直到公元前三千年左右巴比伦和埃及的数学出场，数学开始取得更多的进展。

1，古埃及的数学

背景非洲东北部的尼罗河流域，孕育了埃及的文化。在公元前3500—3000年间，这里曾建立了一个统一的帝国。目前我们对古埃及数学的认识，主要源于两份用僧侣文写成的纸草书，其一是成书于公元前1850年左右的莫斯科纸草书，另一份是

约成书于公元前1650年的兰德（Rhind）纸草书，又称阿默士（Ahmes）纸草书。阿默士纸草书的内容相当丰富，讲述了埃及的乘法和除法、单位分数的用法、试位法、求圆面积问题的解和数学在许多实际问题中的应用。

古埃及人将所有的分数都化成单位分数（分子为1的分数之和），在阿默士纸草书中，有很大一张分数表，把表示成单位分数之和

状分数古埃及人已经能解决一些属于一次方程和最简单的二次方程的问题，还有一些关于等差数列、等比数列的初步知识。例如，在兰德纸草书上有一个关于“堆算”的特殊篇章。这部分从本质上来说，包含的是用一元一次方程来解的问题。古代埃及人把未知数称为“堆”，它本来的意思是指数量是未知数的谷物的堆。其中一个方程式这样的：“有一堆，它的2/3加它的1/2，加它的1/7，再加全部共为33”用现在的形式写出来就是：

x2xxx33327埃及人还发展了卓越的几何学。有一种观点认为，尼罗河水每年一次的定期泛滥，淹没河流两岸的谷地。大水过后，法老要重新分配土地，长期积累起来的土地测量知识逐渐发展为几何学。古埃及人留下了许多气势宏伟的建筑，其中最突出的是约于公元前2900年兴建于下埃及的法老胡夫的金字塔，高达146.5米，塔基每边平约宽230米，任何一边与此数值相差不超过0.16米，正方程度与水平程度的平均误差不超过万分之一。与金字塔媲美的另一建筑群是上埃及的阿蒙神庙。其中卡尔纳克的神庙主殿总面积达5000平方米，有134根圆柱，中间最高的12根高达21米。这些宏伟建筑的落成，也离不开几何学知识。

埃及人能够计算简单平面图形的面积，计算出的圆周率为3.16049；他们还知道如何计算棱锥、圆锥、圆柱体及半球的体积。其中最惊人的成就在于方棱椎平头截体体积的计算，他们给出的计算过程与现代的公式相符。

2，巴比伦的数学

底格里斯河和幼发拉底河流域，希腊人称之为美索不达米亚（Mesopotamia），原意为两河之间的地方，统称为两河流域。在历史上两河流域一直是许多城邦以及定居的部族和游牧部族之间竞争角逐的场所。在两河流域的历史上，征服者和被征服者就像走马灯一样来来去去，其情形是极其复杂的。但是，两河流域是个大熔炉，在这里，许多不同的部族都是由竞争角逐而趋于融合，所以各个部族的文化和技术相互融合，从而使这个地区成了西亚的先进地区。

古代巴比伦国家的位置在美索不达米亚最靠近底格里斯河和幼发拉底河河床的地方。巴比伦城位于幼发拉底河河岸上，“巴比伦人”这个名称包括许多同时或先后居住在底格里斯河和幼发拉底河之间及其流域上的一些民族。其中苏美尔人（Sumerians）是两河流域古文明的奠基者）。公元1700年左右，阿摩利人汉默拉比Hammurabi王统治时期，文化得到高度的发展，这位君主以制定一部著名的法典而著称（《汉默拉比法典》），这个时期就是所称的古巴比伦王国。公元前八世纪，这个地区为原来住在底格里斯河上游的亚述人（Assyrians）所统治。亚述人尚武轻文，在文化方面很少有创造性的贡献，然而，亚述帝国的政治统一却也促进了文化的交流，使古代东方各地的文化得以融于一炉。对两河流域的古文化，亚述人也做过一些保存和整理工作。亚述帝国的最后一个名叫巴尼伯（Assurbanipal），曾经在尼尼微的宫殿里建了一座图书馆，那里收藏了二万二千块刻着楔形文字的泥板。一个世纪以后，亚述帝国为伽勒底人（Chaldeans）和米太人（Medes）所灭，在历史上美索不达米亚的这段时期（公元前7世纪）通常称为伽勒底时期，也称为新巴比伦帝国。公元前540年左右，新巴比伦帝国为居鲁士（Cyrus）统治下的波斯人所征服。公元前330年，希腊军事领袖亚历山大大帝（Alexander the Great）征服了这个地区。历史中所讲的巴比伦数学也到此为止。

从十九世纪前期开始，在美索不达米亚工作的考古学家们进行了系统的发掘工作，发现了大约五十万块刻着文字的泥板，仅仅在古代尼普尔旧址上就挖掘出五万块。在巴黎、柏林和伦敦的大博物馆中，在耶鲁、哥伦比亚河宾夕法尼亚大学的考古展览馆中，都珍藏着许多这类书板，书板有大有小，小的只有几平方英寸，最大的和一般的教科书大小差不多，中心大约有一英寸半厚。有的只是书板的一面有字，有时两面都有字，并且往往在其四边上也刻有字。

在公元前3500年以前，苏美尔人就已经发明了文字。苏美尔人用削尖了的芦苇管做笔，把这种文字刻在泥板砖的怌块上，在日光下或火炉上烘干，这种带有文字的泥板就称为泥板书。因为这种文字是刻在泥板上的，落笔处比较重，收笔处比较纤细，呈尖劈形，所以被称为“楔形文字”（Cuneiform）。在五十万块书板中，约有300块是被鉴定为载有数字表和一大批问题的纯数学书板。直到1935年，由于美国学者诺伊格包尔（Otto Neugebaur）和法国学者蒂罗。丹金（Thureau—Dangin）夫人的工作才取得突破。他们解释了一部分数学泥板，由于这些工作还在进行，或许不久的将来还会有新的发现。

古代巴比伦人是具有高度计算技巧的计算家，其计算程序是借助乘法表、倒数表、平方表、立方表等数表来实现的。巴比伦人书写数字的方法更值得我们注意。他们引入了以60为基底的位值制（60进制），希腊人、欧洲人直到16世纪还于数学计算和天文学计算中运用这个系统，直至现在60进制仍被应用于角度、时间等记录上。

3．中国早期的数学

中国古代数学的起源可以上溯到公元前数千年．《周易·系辞下》中说：“上古结绳而治，后世圣人易之以书契。百官以治，万民以察。”《说文解字·叙》记载：“及神农氏结绳而治而统其事。”《周易》郑玄注：“结绳为约，事大，大结其绳；事小，小结其绳。”《九家易》：“古者无文字，其有誓约之事，事大，大其绳；事小，小其绳。结之多少，随物众寡，各执以相考，亦足以相治也。”据此可知：结绳是神农或神农以前上古时期的一种记事方法，以绳结的大小约定事的大小，以绳结的多少约定物的多少。

契刻是较结绳晚出的一种记事方法，其作用主要是用于记数或作为契约的记数凭证。在许多古代典籍中都有关这方面的记载，《墨子·备城门》中曰：“守城之法：必数城中之木，十人之所举为十挈（契），五人之所举为五挈。凡轻重以挈为人数。”《周易》郑玄注：“书之于木，刻其侧为契，各持其一，后以相考合。”《列子·说符篇》说：“宋人有游于道得人遗契者，归而藏之，密数其齿，告邻人曰：„吾富可待也。‟”

在距今约五至六千年前的仰韶文化时期出土的陶器上还刻有表示数目的符号，说明此时已开始用文字符号取代结绳记事了。

西安半坡村出土的陶器上有直线、三角、方、菱形等各种对称和复杂的几何图案，半坡村遗址上有圆形和正方形的屋基。《史记》中记载：夏禹治水，“左规矩，右准绳”。这可以看作是中国古代几何学的起源。

在殷商（月公元前13世纪）的甲骨文中已经使用了十进制记数法，共有13个独立的符号，出现的最大数字为三万。商代还用10个天干和12个地支组成甲子、乙丑等60个名称来记60十天的日期。春秋战国时代又出现了十进位值制筹算记数法．而战国时代的《考工记》、《墨经》、《庄子》等著作中则探讨了许多抽象的数学概念，并记载了大量实用几何知识．

在记述中国古代早期数学内容的典籍中，《周易》是包含数学内容最丰富的著作，因而对中国古代数学家产生了极大的影响。比如，刘徽在《九章算术注》的序中就写道：“昔伏羲氏始作八卦，以通神明之德，以类万物之情。作九九之数，以合六爻之变。”实际上就把数学方法与《周易》中的六爻、八卦等内容联系起来了。

《周易》中的另一重要概念是太极。《周易》写道：“易有太极，是生两仪，两仪生四象，四象生八卦。”太极即太一，这段话讲的是八卦产生的原理，也试图解释天地造分、化成万物的原理。到周代（公元前11至公元前3世纪）又发展成64卦，表示64种事物。后经宋代陈抟的发展，便有了太极图。

《周易》中另一个与数学相关的内容是“河图洛书”。《周易》中有“河出图，洛出书，圣人则之”的记载。以后，有人又把河图洛书与八卦及九数联系起来。例如，孔安国认为：“河图者，伏羲氏王天下，龙马出河，遂则其文以画八卦。洛书者，禹治水时，神龟负文，而列于背，有数至九，禹遂因而第之，以成九类。”也就是说，在古人看来，八卦与九数实出于河图洛书。

西周初期能用炬测量高、深、广、远，知道勾股形中的勾

三、股

四、弦五及环炬为圆等知识。西周青铜器上的金文数字与商代数字基本一致，是我们今天文字的源泉。此时，已有整数和分数的四则远算，《韩诗外传》中还记载了公元前7世纪齐桓公招贤纳士之事，将会背“九九”乘法口诀的人当作贵客款待。

卜筮是原始人类共有的社会现象。中国古代常用龟甲和兽骨作为占卜工具，以决定事情的吉凶。筮，是按一定的规则得到特定的数字，并用它来预测事情的吉凶。《周礼》称：“凡国之大事，先筮后卜。”《史记·龟策列传》则说：“王者决定诸疑，参与卜筮，断以蓍龟，不易之道也。” 筮的工具起初是竹棍（以后出现的筹算数码则形成了中国古代用竹棍表示数字的传统），后来改用蓍草----一种有锯齿的草本植物。公元前500年左右的战国时代，算筹已得到普遍使用，算筹大多是特制的小竹棍，也有用木、骨、铁等材料制作的。算筹的记数法采用十进位制。《墨经》（约公元前4世纪）中说：“一少于二而多余五，说在建位。”即一在个位小于二，在十位就大于五，每个数字的大小除由它本身表示的数值决定外，还要看它在整个数中所处的位置。《孙子算经》（约公元4世纪）中描述了对筹算数字的摆放方法：“凡算之法，先识其位。一纵十横，百立千僵；千十相望，万百相当” 即：个位用纵式，十位用横式，百位用纵式，千位用横式，万位又用纵式，如此纵横相间，以免发生误会。并规定用空位表示零。说明有纵横两式：

总之，在人类早期的文明中，数学还处于萌芽时期，主要包括计数、算术、初步的代数和几何等知识。此时所呈现的数学更多的是经验、直观、零碎、片断的知识，还没有形成系统的理论体系、抽象的思维方法等。

第二讲：古希腊的数学

数学作为一门独立和理性的学科开始于公元前600年左右的古希腊。古希腊是数学史上一个“黄金时期”，在这里产生了众多对数学主流的发展影响深远的人物和成果，泰勒斯、毕达哥拉斯、柏拉图、欧几里德、阿基米德等数学巨匠不胜枚举。此外，在初等数学时期，东方的中国、印度与阿拉伯等地区也发展出了独具特色的数学知识。在中世纪后期的欧洲，在独特的中世纪文化中，东西方数学知识逐渐融合，为下一个阶段数学的快速发展奠定了基础。

1．希腊数学——从爱奥尼亚到亚历山大

古代希腊从地理疆城上讲，包括巴尔干半岛南部、小亚细亚半岛西部、意大利半岛南部、西西里岛及爱琴海诸岛等地区。这里长期以来由许多大小奴隶制城邦国组成，直到约公元前325年，亚历山大大帝（Alexander the Great）征服了希腊和近东、埃及，他在尼罗河口附近建立了亚历山大里亚城（Alexandria）。亚历山大大帝死后（323B.C.），他创建的帝国 分裂为三个独立的王国，但仍联合在古希腊文化的约束下，史称希腊化国家。统治了埃及的托勒密一世（Ptolemy the First）大力提倡学术，多方网罗人才，在亚历山大里亚建立起一座空前宏伟的博物馆和图 书馆，使这里取代雅典，一跃而成为古代世界的学术文化中心，繁荣几达千年之久！

希腊人的思想毫无疑问地受到了埃及和巴比伦的影响，但是他们创立的数学与前人的数学相比较，却有着本质的区别，其发展可分为古典时期和亚历山大时期两个阶段。

一、古典时期（600B.C.-300B.C.）

这一时期始于泰勒斯（Thales）为首的爱奥尼亚学派（Ionians），其贡献在于开创了命题的证明，为建立几何的演绎体系迈出了第一步。稍后有毕达哥拉斯（Pythagoras）领导的学派，这是一个带有神秘色彩的政治、宗教、哲学团体，以「万物皆数」作为信条，将数学理论从具体的事物中抽象出来，予数学以特殊独立的地位。

公元前480年以后，雅典成为希腊的政治、文化中心，各种学术思想在雅典争奇斗妍，演说和辩论时有所见，在这种气氛下，数学开始从个别学派闭塞的围墙里跳出来，来到更广阔的天地里。

埃利亚学派的芝诺（Zeno）提出四个著名的悖论（二分说、追龟说、飞箭静止说、运动场问题），迫使哲学家和数学家深入思考无穷的问题。智人学派提出几何作图的三大问题：化圆为方、倍立方体、三等分任意角。希腊人的兴趣在于从理论上去解决这些问题，是几何学从实际应用向演绎体系靠拢的又一步。正因为三大问题不能用标尺解出，往往使研究者闯入未知的领域中，作出新的发现：圆锥曲线就是最典型的例子；「化圆为方」问题亦导致了圆周率和穷竭法的探讨。

哲学家柏拉图（Plato）在雅典创办著名的柏拉图学园，培养了一大批数学家，成为早期毕氏学派和后来长期活跃的亚历山大学派之间联系的纽带。欧多克斯（Eudoxus）是该学园最著名的人物之一，他创立了同时适用于可通约量及不可通约量的比例理论。柏拉图的学生亚里士多德（Aristotle）是形式主义的奠基者，其逻辑思想为日后将几何学整理在严密的逻辑体系之中开辟了道路。

（1）泰勒斯﹝Tales of Miletus，约公元前625-前547﹞

古希腊哲学家、自然科学家。生于小亚细亚西南海岸米利都，早年是商人，曾游历巴比伦、埃及等地。泰勒斯是希腊最早的哲学学派──伊奥尼亚学派的创始人，他几乎涉猎了当时人类的全部思想和活动领域，被尊为“希腊七贤”之首。而他更是以数学上的发现而出名的第一人。他认为处处有生命和运动，并以水为万物的本源。泰勒斯在埃及时还曾利用日影及比例关系算出金字塔的高，说明相似形已有初步认识。在天文学中他曾精确地预测了公元前585年5月28日发生的日食，还可能写过《航海天文学》一书，并已知按春分、夏至、秋分、冬至划分四季是不等长的。

证明命题是希腊几何学的基本精神，泰勒斯在数学方面的划时代贡献是开始引入了命题证明的思想，它标志着人们对客观事物的认识从经验上升到理论。这在数学史上是一次不寻常的飞跃，其重要意义在于： 1.保证命题的正确性，使理论立于不败之地；

2.揭露各定理之间的内在联系，使数学构成一个严密的体系，为进一步发展打下基础； 3.使数学命题具有充份的说服力，令人深信不疑。

数学自此从具体的、实验的阶段过渡到抽象的、理论的阶段，逐渐形成一门独立的、演译的科学。

毕达哥拉斯（以下简称毕氏）于纪元前580年左右出生于生于希腊东部萨摩斯﹝今希腊东部小岛﹞，正是希腊黄金时代的初期，也是罗马帝国建国的时代。在我们东方来说，就是释迦牟尼与孔子的道学，正流行的时代。毕达哥拉斯早年曾在锡罗斯岛向费雷西底﹝Pherecydes﹞学习，又曾师事伊奥尼亚学派的安约西曼德﹝Anaximander﹞，以后游历埃及、巴比伦等地，接受古代流传下来的天文、数学知识。他最后定居在克罗托内﹝Crotone﹞，在那里建立一个宗教、政治、学术合一的团体──毕达哥拉斯学派，它是继伊奥尼亚学派后古希腊第二个重要的学派。这个团体后来在政治斗争中遭到破坏，他逃到塔兰托(Metapontum)，后终于被杀害。毕氏学派有一个教规，就是一切发现都归功于学派的领袖，且对外保密，故讨论其学术成就时，很难将毕达哥拉斯本人和他的学派分开。

毕氏学派将抽象的数作为万物的本源，“万物皆数”使他们的信条之一。但是，研究数的目的不是为了实际应用，而是通过揭露数的奥秘来探索宇宙的永恒真理。他们将学问分为四类，即算术、音乐﹝数的应用﹞、几何﹝静止的量﹞、天文﹝运动的量﹞；根据“简单整数比”原理创造一套音乐理论；对数作过深入研究，并得到很多结果，将自然数进行分类，如奇数、偶数、完全数、亲合数、三角数、平方数、五角数、六角数等等；发理勾股定理﹝西方称为毕达哥拉斯定理﹞和勾股数﹝西方称

为毕达哥拉斯数﹞；发现五种正多面体；发现不可通约量,甚至于音乐上也可目睹到他所遗留的许多事迹。下面我们来列举十数种毕氏学派的贡献,供大家见赏。

毕达哥拉斯定理是说：一直角三角形中的斜边平方等于两直角边之平方和。如设三角形 ABC 三个边为 a,b,c，其中 c 为斜边（如图一），则其间的关系为：a2 + b2 = c2

（3），芝诺﹝Zero of Elea，约公元前490-约前425﹞

芝诺生活在古希腊的埃利亚城邦，他是埃利亚学派的著名哲学家巴门尼德﹝Parmenides﹞的学生和朋友。芝诺因其悖论而

著名，并因此在数学和哲学两方面享有不朽的声誉。数学史家F‧卡约里﹝Cajori﹞说：“芝诺悖论的历史，大体上也就是连续性、无限大和无限小这些概念的历史。”由于芝诺的著作没能流传下来，故只能通过批评他的亚里士多德及其诠释者辛普里西奥斯才得以了解芝诺悖论的要旨的。现存的芝诺悖论至少有8个，其中关于运动的4个悖论：二分说、阿基里斯追龟说、飞箭静止说、运动场悖论尤为著名。前三个悖论揭示的是事物内部的稠密性和连续性之间的区别，是无限可分和有限长度之间的矛盾。他并不是简单地否认运动，而是反对那种认为空间是点的总和、时间是瞬刻的和的概念，他想证明在空间作为点的总和的概念下运动是不可能的。第4个悖论是古代文献中第一个涉及相对运动的问题。

芝诺编造这些悖论的目的何在，历来有许多争论。有人认为是为了反对“多”与“变化”，以维护他的师父 Parmenides（约纪元前五世纪）的万有是“一”与“不变”之学说。从毕氏学派失败的背景来观察，芝诺是对于离散性、连续性、无穷大、无穷小等诡谲概念作诘疑。千古以来可以说是切中数学的核心。芝诺的功绩在于把动和静的关系、无限和有限的关系、连续和离散的关系惹人注意地摆了出来，并进行了辩证的考察。虽然不能肯定他对古典希腊数学的发展有无直接的重要影响，但有一点决不是偶然的巧合：柏拉图写作对话《巴门尼德》篇时，因为其中讨论的主要话题之一是芝诺的观点，芝诺也是书中的主角之一，因此在柏拉图学园中很自然地热烈讨论起芝诺悖论来。当时欧多克索斯正在柏拉图学园中攻读和研究数学与哲学。欧多克索斯在稍后的时间里创立了新的比例论，从而克服了因发现无理数而出现数学危机，并完善了穷竭法，巧妙地处理了无穷小问题。

罗素称赞道：“几乎所有从芝季诺时代到今日所建构出的有关时间、空间与无穷的理论，都可以在季诺的论证里找到背景基础。”

（4），诡辩学派

希波战争以后，希腊商务繁荣，雅典成为文人荟萃的中心。爱奥尼亚学派的哲学家Anaxagoras（B.C.499——427）开始将爱奥尼亚的哲学输入雅典，毕达格拉斯学派的人也群聚于此，只是过去秘密的作风已不复见。雅典人崇尚公开的精神。在公开的讨论中，要想取得胜利，必须具有雄辩、修辞、哲学及数学知识。于是“诡辩学派”应运而生。“诡辩”(Sophism)一词是使人智慧的意思，也译作“哲人学派”或“智人学派”。

经过两千多年的努力，数学家利用代数方法终于证明了三大难题都无解。化圆为方相当于求√π，它不是任何整系数方程的根，因而不可能用尺规作出，1882年由德国数学家林德曼证明。倍立方相当于求3√2，法国数学家范齐尔于1837年证明用尺规作不出等分任意角难在任意，有些角如90度角三等分是可以的。

（5），柏拉图﹝Plato，约公元前427——前347﹞

公元前427年，柏拉图出生于雅典，他自幼受到良好而完备的教育，少年时代勤奋好学、多才多艺且体格健壮。除了家庭的熏陶之外，给他影响最为深远的莫过于正直善辩的哲学家苏格拉底﹝Socrates﹞了，而苏格拉底以不敬神和蛊惑青年的罪名

被处死的悲剧给柏拉图极大的刺激，随着年岁的增长，他对当时的政客、法典和习俗愈来愈感到厌恶，从而决心继承苏格拉底的哲学思想，并从事于缔造理想国家的理论研究。柏拉图曾在非洲海岸昔兰尼跟狄奥多鲁斯﹝Theodorns﹞学数学，并成为著名的阿尔希塔斯的知心朋友。约公元前387年，他回到雅典创办他的著名学园，这是一所为系统地研究哲学和科学而开设的高等院校，成为早期毕氏学派和后来长期活跃的亚历山大里亚数学学派之间联系的纽带。公元前347年，柏拉图以八十岁高龄死于雅典。

作为一位哲学家，柏拉图对于欧洲的哲学乃至整个文化的发展，有着深远的影响。特别是他的认识论，数学哲学和数学教育思想，在古希腊的社会条件下，对于科学的形成和数学的发展，起了不可磨灭的推进作用。

从柏拉图的著作中，可以看到数学哲学领域的最初的探究。柏拉图的数学哲学思想是同他的认识论，特别是理念论分不开的。他认为数学所研究的应是可知的理念世界中的永恒不变的关系，而不是可感的物质世界中的变动无常的关系。因此，数学的研究对象应是抽象的数和理想的图形。他在《理想国》中说：“我所说的意思是算术有很伟大和很高尚的作用，它迫使灵魂就抽象的数进行推理，而反对在论证中引入可见的和可捉摸的对象。”他在另一处谈到几何时说：“你岂不知道，他们虽然利用各种可见的图形，并借此进行推理，但是他们实际思考的并不是这些图形，而是类似于这些图形的理想形象。„„他们力求看到的是那些只有用心灵之日才能看到的实在。”

如果说数学概念的抽象化定义始于毕达哥拉斯学派，那么，柏拉图及其学派则把这一具有历史意义的工作大大地向前推进了。他们不仅把数学概念和现实中相应的实体区分开来，并把它和在讨论中用以代表它们的几何图形严格地分开。柏拉图是从理念论的角度去探讨数学概念的涵义的。亚里士多德阐释说，柏拉图是将数学对象置于现实对象与理念之间的，数学对象因其常驻不变而区别于现实对象，又因其可能有许多同类对象而区别于理念。

柏拉图十分强调脱离直观印象的纯理性证明，并严格地把数学作图工具限制为直尺圆规。这种主张对于形成欧几里德几何公理演译体系，不无促进作用。

柏拉图也十分重视整数的学问，他在很大程度上继承了毕氏学派的『万物皆数』的观点。他认为宇宙间的天体以至万物都是按照数学规律来设计的。依赖感官所感觉到的世界是混乱和迷离的，因而是不可靠的和无价值的，只有通过数学才能领悟到世界的实质。

此外，柏拉图学派在数学中引入了分析法和归谬法；他给出了点、线、面、体的定义；他对轨迹也有较早的认识，还研究了棱柱、棱锥、圆柱、圆锥的问题。在算术方面，他们发现了级数的不少重要性质。在天文学方面，他们不只是追寻天文观测的表象，而是寻求完美的有关天体的数学理论。总之，柏拉图学派主张严密的定义与逻辑证明，促成了数学的科学化。

自公元前387年开始，柏拉图就把创建和主持学园教育作为自己最重要的事业。虽然他认为学园的办学宗旨是培养具有哲学头脑的优秀政治人材，直至造就一个能够胜任治国重任的哲学王，但他深信：从事数学研究能培养人的思维能力，并因此是哲学家和那些要治理他的理想国的人所必须具备的基本素养。故学园在具体课程设计上继承和发展了毕氏学派的以数学为主课的方针。据说，他的学园门口写着：“不懂几何者，不得入内”。

柏拉图倡导多层次的数学教育，在某种意义上也体现了一种因材施教的原则。柏拉图首次提出了普及数学教育的主张：『应该严格规定贵城邦的全体居民务必学习几何。„„经验证明，学过几何的人在学习其它任何学问时，要比未学过几何的人快得多。』在柏拉图的指导下，学园的数学教育取得极大的成功。在公元前四世纪的希腊，绝大多数知名数学家都是柏拉图的学生或朋友，他们以柏拉图学园为数学交流活动的中心场所，形成以柏拉图为核心的学派，史称柏拉图学派。

美国数学史家博耶评论说：“虽然柏拉图本人在数学研究方面没有特别杰出的学术成果，然而，他却是那个时代的数学活动的核心„„，他对数学的满腔热诚没有使他成为知名数学家，但却赢得了‘数学家的缔造者’的美称。”

（6），歐多克索斯﹝Eudoxus，约公元前400-前347﹞

欧多克索斯是古希腊时代成就卓著的数学家和天文学家，生于尼多斯。曾受教于柏拉图及阿尔希塔斯。

欧多克索斯对数学的最大功绩是创立了关于比例的一个新理论。他首先引入“量”的概念，将“量”和“数”区别开来。

用现代术语来说，他的“量”指的是连续量，而“数”是离散的，仅限于有理数。其次，改变“比”的定义为：“比”是同类量之间的大小关系。从这一定义出发可以推出有关比例的若干命题，而不必考虑这些量是否可公度。这在希腊数学史上是一个大突破。其创立之比例论，成为欧几里得《几何原本》，特别是其中五、六、十二卷的主要内容。事实上，19世纪的无理数理论是欧多克索斯思想的继承和发展。不过欧多克索斯理论是建立在几何量的基础之上的，因而回避了把无理数作为数来处理。尽管如此欧多克索斯的这些定义无疑给不可公度比提供了逻辑基础。为了防止在处理这些量时出错，他进一步建立了以明确公理为依据的演绎体系，从而大大推进了几何学的发展。从他以后，几何学成了希腊数学的主流。（7），亚里士多德（Aristotle，公元前384—公元前322）

亚里士多德出生于希腊北部的斯塔吉拉，父亲是马其顿国王的御医。公元前367年，17岁的亚里士多德到当时希腊的文化中心雅典，进入柏拉图的阿卡德米学园学习。由于他聪敏过人，深受柏拉图的喜爱，成为柏拉图的得意门生。他在学园一共学习了20年，直到柏拉图去世。柏拉图去世以后，他到小亚细亚各城邦去讲学。公元前343年，他42岁时，应马其顿王的邀请，担任王子亚力山大的老师。当时亚力山大只有13岁。公元前335年，亚里士多德回到雅典，创办一所学园，名叫吕克昂（Lyceum）。他在这里从事学术研究和教学活动达13年。亚力山大王去世以后，他被迫离开雅典，把吕克昂交给别人管理。次年病逝，享年63岁。他去世以后，吕克昂继续存在了几百年。

如果说柏拉图是一位综合型的学者，那亚里士多德就是一位分科型的学者。他总结了 前人已经取得的成就，创造性的提出自己的理论，在几乎每一学术领域，亚里士多德都留 下了自己的著作。从第一哲学著作《形而上学》，物理学著作《物理学》、《论生灭》、《论天》、《天象学》、《论宇宙》，生物学著作《动物志》、《论动物的历史》、《论 灵魂》，到逻辑学著作《范畴篇》、《分析篇》，伦理学著作《尼各马可伦理学》、《大 伦理学》、《欧德谟斯伦理学》，以及《政治学》、《诗学》、《修辞学》等，他的著作 几乎遍及每一个学术领域，他是一位名符其实的百科全书式的学者。

亚里士多德对数学的本性及其与物理世界的关系所发表的看法影响很大。例如，他讨论定义：一个定义只能告诉我们一件事物是什么，并不说明它一定存在。定义了的东西是否存在有待证明。亚里士多德还讨论数学的基本原理： 把公理个公设加以区别。公理是一切科学所公有的真理，而公设只是为某一门科学所接受的第一性原理。亚里士多德认为逻辑原理都是公理，公设无需是不言自明的，其是否为真受所推出的结果检验，列出的公理和公设数目越少越好。这些思想对以后欧几里德的思想起了重要的影响。

亚里士多德的另一个重大贡献就是创立逻辑学。他的逻辑对数学也产生了极大的影响，他的逻辑基本原理，如矛盾律：一个命题不能既是真又是假的；排中律：一个命题必须是真的或是假的„„等原理是数学中间接证法的核心。

2.亚历山大时期（300B.C——641A.D.）

这一阶段以公元前30年罗马帝国吞并希腊为分界，分为前后两个时期。亚历山大前期和亚历山大后期，前期出现了希腊化数学的黄金时期，代表人物是名垂千古的三大数学家：欧几里得（Euclid）、阿基米得（Archimedes）及阿波罗尼乌斯（Appollonius）。欧几里得总结古典希腊数学，用公理方法整理几何学，写成13卷《几何原本》（Elements）。这部划时代历史巨著的意义在于它树立了用公理法建立起演绎数学体系的最早典范。阿基米得是古代最伟大的数学家、力学家和机械师。他将实验的经验研究方法和几何学的演绎推理方 法有机地结合起来，使力学科学化，既有定性分析，又有定量计算。阿基米得在纯数学领域涉及的范围也 很广，其中一项重大贡献是建立多种平面图形面积和旋转体体积的精密求积法，蕴含着微积分的思想。阿波罗尼乌斯的《圆锥曲线论》（Conic Sections）把前辈所得到的圆锥曲线知识予以严格的系统化，并做出新的贡献，对17 世纪数学的发展有着巨大的影响。亚历山大图书馆馆长埃拉托塞尼（Eratosthenes）也是这一时期有名望的学者。

亚历山大后期是在罗马人统治下的时期，但是希腊的文化传统尚未被破坏，学者还可继续研究，然而已没有前期那种磅礡的气势。这时期出色的数学家有海伦（Heron）、托勒密（Plolemy）、丢番图（Diophantus）和帕普斯（Pappus）。丢番图的代数学在希腊数学中独树一帜；帕波斯的工作是前期学者研究成果的总结和补充。之后，希腊数学处于停滞状态。

公元641年，阿拉伯人攻占亚历山大里亚城，图书馆再度被焚（第一次是在公元前46年），希腊数学悠久灿烂的历史，至此终结。亚历山大里亚有创造力的日子也随之一去不复返了。

（1）欧几里得﹝Euclid，约公元前330─约公元前275﹞

关于欧几里得，除了知道他是历时长久的亚历山大数学学派的奠基人外，对他的生平所知甚少，仅估计他很可能在雅典的柏拉图学园受过数学训练。

在欧几里得之前，古希腊的数学知识已经累积得相当丰富，于是有人将它们整理成册，例如希波克拉底就是第一位进行汇

编的人。欧几里得也总结了他那个时代古希腊的所有数学成果，编辑成13卷的《几何原本》，以下简称《原本》。此书最重要的特色是公理化系统的结构：由少数几条公理(axioms)出发，推导出所有的几何定理。公理是「直观自明」的真理，是数学的源头，无法证明，也不必证明。欧氏的旷世名著，使得其它版本都黯然无光，乃至消失。《几何原本》所引起的效果正如古人所说：“月升灯失色，风起扇无功”。

欧几里得的《几何原本》﹝Elements﹞是一部划时代的著作，就其大部份内容来说，是对于公元前七世纪以来，希腊几何积聚起来的丰富成果作出高度成功的编纂和系统的整理，其主要功绩在于对命题的巧妙选择，和把它们排列进由少数初始假定出发，演绎地推导出的合乎逻辑的序列中。换言之，《原本》伟大的历史意义在于它是用公理方法建立起演绎体系的最早典范。

五条公设

1.过相异两点，能作且只能作一直线（直线公理）。2.线段(有限直线)可以任意地延长。

3.以任一点为圆心、任意长为半径，可作一圆(圆公理)。4.凡是直角都相等(角公理)。

5.两直线被第三条直线所截，如果同侧两内角和小于两个直角，则两直线作延长时在此侧会相交。五条公理

1.跟同一个量相等的两个量相等；即若 a=c 且 b=c，则 a = b（等量代换公理）。2.等量加等量，其和相等；即若 a=b 且 c=d，则 a+c = b+d（等量加法公理）。3.等量减等量，其差相等；即若 a=b 且 c=d，则 a-c = b-d（等量减法公理）。4.完全迭合的两个图形是全等的（移形迭合公理）。5.全量大于分量，即 a+b>a（全量大于分量公理）。一般公理不止适用于几何学，对于其它学科也行得通。23 个定义

（2）“数学之神”──阿基米德（Archimedes，公元前287～公元前212）

阿基米德于公元前２８７年出生在意大利半岛南端西西里岛的叙拉古（Syracuse）的贵族之家。父亲是位数学家兼天文学家。阿基米德从小有良好的家庭教养，他在年轻时曾在亚力山大求学，不过大半生都待在他老家西西里岛的叙拉古，受国王 Hieron 的赞助从事研究工作。

阿基米德与欧几里德、阿波罗尼并列为希腊三大数学家，也有人甚至说他是有史以来最伟大的三个数学家之一（其他二位

是牛顿与高斯）。他的主要数学贡献是求面积和体积的工作。在他之前的希腊数学不重视算术计算，关于面积和体积，数学家们顶多证明一下两个面积或体积的比例就完了，而不再算出每一个面积或体积究竟是多少。当时连圆面积都算不出来，因为比较精确的π值还不知道。从阿基米德开始，或者说从以阿 基米德为代表的亚历山大里亚的数学家开始，算术和代数开始成为一门独立的数学学科。阿基米德发现的一个著名的定理是：任一球的面积是外切圆柱表面积的三分之二，而任一球的体积也是外切圆柱体积的三分之二。这个定理是从球面积等于大圆面积的四倍这一定理推来的，据说，该定理遵遗嘱被刻在阿基米德的墓碑上。

阿基米德发明了求面积和体积的“平衡法”，求出面积或体积后再用“穷竭法”加以证明。阿基米德“平衡法”与“穷竭法”的结合是严格证明与创造技巧相结合的典范。阿基米德的“平衡法”，将需要求积的量分成一些微小单元，再与另一组微小单元进行比较，而后一组的总和比较容易计算。因此，“平衡法”实际上体现了近代积分法的基本思想，是阿基米德数学研究的最大功绩。但是，“平衡法”本身必须以极限论为基础，阿基米德意识到了他的方法在严密性上的不足，所以他用平衡法求出一个面积或体积后，必再用穷竭法加以严格的证明。

《抛物线求积法》研究了曲线图形求积的问题，并用穷竭法建立了这样的结论：“任何由直线和直角圆锥体的截面所包围的弓形（即抛物线），其面积都是其同底同高的三角形面积的三分之四。”他还用力学权重方法再次验证这个结论，使数学与力学成功地结合起来。

《论螺线》，是阿基米德对数学的出色贡献。他明确了螺线的定义，以及对螺线的面积的计算方法。在同一著作中，阿基米德还导出几何级数和算术级数求和的几何方法。

《论锥型体与球型体》，讲的是确定由抛物线和双曲线其轴旋转而成的锥型体体积，以及椭圆绕其长轴和短轴旋转而成的球型体的体积。

（3）阿波罗尼奥斯（Apollonius，公元前262-190）

阿波罗尼奥斯出生于小亚细亚（今土尔其一带），年轻时曾在亚历山大城跟随欧几里得的学生学习，后到小亚细亚西岸的帕加蒙王国居住与工作，晚年又回到亚历山大。阿波罗尼奥斯的主要数学成就是在前人工作的基础上创立了相当完美的圆锥曲线理论，编著《圆锥曲线论》。

阿波罗尼奥斯用统一的方式引出三种圆锥曲线后，便展开了对它们性质的广泛讨论，内容涉及圆锥曲线的直径、公轭直径、切线、中心、双曲线的渐进线、椭圆与双曲线的焦点以及处在不同位置上的圆锥曲线的交点数等。《圆锥曲线论》中包含了许多即使按今天的眼光看也是很深奥的问题。第5卷中关于定点到圆锥曲线的最长和最短线段的探讨，实质上提出了圆锥曲线的法线包络即渐屈线的概念，它们是近代微分几何的课题。第3、4卷中关于圆锥曲线的极点与极线的调和性质的论述，则包含了射影几何学的萌芽思想。

（4）埃拉托塞尼﹝Eratosthenes，约公元前276─约前195﹞

埃拉托塞尼出生于地中海南岸的昔兰尼﹝现北非利比亚舍哈特﹞，卒于亚历山大。他早年在雅典学习，大约四十岁时，接

受埃及的托勒玫三世的邀请，来到亚历山大当他儿子的家庭教师，约公元前235年起担任亚历山大附设于博物馆的图书馆馆长。埃拉托塞尼晚年因患眼疾，以致双目失明，他无法忍受不能读书的痛苦，竟绝食而死。

埃拉托塞尼在当时所有的知识领域里都是奇才。他是一位杰出的数学家、天文学家、地理学家、历史学家、哲学家、诗人和运动员。早年在雅典受过教育，先后师事逍遥学派的阿里斯顿，柏拉图学派的阿凯西劳斯和犬儒学派的塞翁等。后到亚历山大，又跟随诗人卡利马科斯学习诗词。他的博学多才，后来赢得“五项全能”﹝Pentathlus﹞的雅号。他是阿基米德的挚友，曾受到阿基米德的高度评价。著作有《地理学》、《地球的测量》、《倍立方问题》、《论平均值》、《柏拉图》等，可惜只有很少的片断流传下来。埃拉托塞尼最受人赞扬和传诵的业绩是测量地球的周长，其特点是原理简单，方法易行，结果也较精确。他的另一项脍炙人口的发明是寻找素数的方法，即所谓埃拉托塞尼筛，记载于尼科马霍斯《算术入门》第十三章中，即要在自然数列中从小到大找出素数，先从3开始，将奇数列写出，3是第一个素数，将3后面所有3的倍数都划去；3后面第一个未被划去的数是5，将5后面所有5的倍数都划去；5后面第一个未被划去的数是7，将7后面所有7的倍数都划去，重复这一步骤，直到所写出的数列最后一个数，未被划去的就是素数。

（5）海伦（Heron of Alexandria, 公元62年左右）

希腊数学家、力学家、机械学家。约公元62年活跃于亚历山大，在那里教过数学、物理学等课程。他多才多艺，善于博采众长。在论证中大胆使 用某些经验性的近似公式，注重数学的实际应用。主要贡献是《度量论》一书。该书共3卷，分别论 述平面图形的面积，立体图形的体积和将图形分成比例的问题。其中卷Ｉ第8题给出著名的海伦公式 的证明，设三角形边长分别是a、b、c，s是半周长（即s=(a+b+c)/2），Δ是三角形的面积，则有Δ＝

。海伦用文字叙述了这一公式的证明，并举例加以 说明。现已公认海伦公式是阿基米德发现的，但这个名称已成为习惯用法。他的成就还有：正3到正12边形面积计算法；长方台体积公式；求立方根的近似公式等。

（6）丢番图﹝Diophantus of Alexandria，约公元250年前后﹞

对于丢番图的生平事迹，人们知道得很少。但在一本《希腊诗文选》﹝The Greek anthology﹞【这是公元500年前后的遗

物，大部份为语法学家梅特罗多勒斯﹝Metrodorus﹞所辑，其中有46首和代数问题有关的短诗﹝epigram﹞。

亚历山大的丢番图对代数学的发展起了极其重要的作用，对后来的数论学者有很深的影响。他有几种著作，最重要的是《算术》，还有一部《多角数》，另一些已遗失。《算术》是一部划代的著作，它在历史上影响之大，可和欧几里得的《几何原本》相媲美。

丢番图的《算术》是讲数论的，它讨论了一次、二次以及个别的三次方程，还有大量的不定方程。现在对于具有整数系数的不定方程，如果只考虑其整数解，这类方程就叫做丢番图方程，它是数论的一个分支。不过丢番图并不要求解答是整数，而只要求是正有理数。从另一个角度看，《算术》一书也可以归入代数学的范围。代数学区别于其它学科的最大特点是引入了未知数，并对未知数加以运算。就引入未知数，创设未知数的符号，以及建立方程的思想﹝虽然未有现代方程的形式﹞这几方面来看，丢番图的《算术》完全可以算得上是代数。

（7）帕普斯﹝Pappus of Alexandria，约公元300─350年﹞

公元4世纪，希腊数学已成强弩之末。“黄金时代”﹝300 B.C─200 B.C﹞几何巨匠已逝去五、六百年，公元前146年亚历山大被罗马人占领，学者们虽然仍能继续研究，然而已没有他们的先辈那种气势雄伟、一往无前的创作精迪。公元后，兴趣转向天文的应用，除门纳劳斯﹝Menelaus of Alexandria公元100前后﹞、托勒密﹝Claudius Ptolemy，约公元85-165﹞在三角学方面有所建树外，理论几何的活力逐渐雕萎。此时亚历山大的帕普斯正努力总结数百年来前人披荆斩棘所取得的成果，以免年久失传，叙写了希腊数学的最后一页。

帕普斯给欧几里得《几何原本》和《数据》以及托勒密的《至大论》和《球极平面投影》作过注释。写成八卷的《数学汇编》﹝Mathematical Collection﹞──对他那个时代存在的几何著作的综述评论和指南，其中包括帕普斯自己的创作。但第一卷和第二卷的一部份已遗失，许多古代的学术成果，由于有了这部书的存录，才能让后世人得知。例如芝诺多努斯的《等周论》，经过帕普斯的加工，被编入于第五卷之中。当中有关于“圆面积大于任何同周长正多边形的面积”、“球的体积大于表面积相同的圆锥、圆柱”、“表面积相同的正多面体，面积愈多体积愈大”等命题。对于希腊几何三大问题也作了历史的回顾，并给出几种用二次或高次曲线的解法。在第七卷中则探讨了三种圆锥曲线的焦点和准线的性质，还讨论了“不面图形绕一轴旋转所产生立体的体积”，后来这叫做“古尔丁定理”，因为后者曾重新加以研究。

总括而言，希腊数学的成就是辉煌的，它为人类创造了巨大的精神财富，不论从数量还是从质量来衡量，都是世界上首屈一指的。比希腊数学家取得具体成果更重要的是：希腊数学产生了数学精神。即数学证明的演绎推理方法。数学的抽象化以及

自然界依数学方式设计的信念，为数学乃至科学的发展起了至关重要的作用。而由这一精神所产生的理性、确定性、永恒的

第三章．中国古代的数学 1．汉以前的中国数学

几乎和古希腊同时的战国时期的百家争鸣也促进了中国数学的发展，一些学派还总结和概括出与数学有关出的许多抽象概念。其中著名的有《墨经》中关于几何的定义和命题，例如，圆，一中同长也，即圆是从中心到周界有相同长度的图形。平，同高也，即平行线之间的高度相同。等等。

周秦以来逐渐发展起来的中国古代数学，经过汉代更进一步的发展，已经逐渐形成了完整的体系，中国传统数学自古就受到天文历法的推动，秦汉时期天文历法有了明显的进步，涉及的数学知识水平也相应提高。西汉末年编纂的《周髀算经》是一部以数学方法阐述的天文著作，用对话一问一答的形式写出的，提出勾股定理的特例和提出测太阳高、远的方法，为后来重差术的先驱。

《九章算术》是战国、秦、汉封建社会创立并巩固时期数学发展的总结，就其数学成就来说，堪称是世界数学名著。例如分数四则运算、今有术(西方称三率法)、开平方与开立方(包括二次方程数值解法)、盈不足术(西方称双设法)、各种面积和体积公式、线性方程组解法、正负数运算的加减法则、勾股形解法(特别是勾股定理和求勾股数的方法)等。其中方程组解法和正负数加减法则在世界数学发展上是遥遥领先的。就其特点来说，它形成了一个以算法为中心、与古希腊数学完全不同的独立体系。

总之，《九章算术》有几个显著的特点：采用按类分章的数学问题集的形式；算式都是从筹算记数法发展起来的；以算术、代数为主，很少涉及图形性质；重视应用，缺乏理论阐述等。

2．从魏晋到隋唐时期的中国数学

东汉《九章算术》出现以后，注释与修正的工作在不断进行着。魏晋赵爽作《勾股方圆图注》，利用勾股定理完成一般一元二次方程(首项系数可以为负，三国时代，刘徽注《九章算术》(263年)。《九章算术》中取圆周率为3，刘徽提出「割圆术」，计算正192边形的面积，求得3.141的三位小数近似值。其后南北朝祖冲之(429-500)更把这结果向前推进，在《缀术》一书中，找到3.1415926的密率。

如果将《九章算术》的内容当作中国数学的雏型，那么自东汉到隋唐(即公元第二世纪到第十世纪)，可称为它的发展期，隋唐以后渐臻成熟。到十三世纪南宋及元初，才进入中国数学的黄金时代。

著作方面，唐朝《新唐书艺文志》中收录的《十部算经》(李淳风注)很 能够反应发展期的数学水平。《十部算经》除收集早期的《周髀》《九章》之外还包罗了

《海岛算经》(刘徽，263年)《孙子算经》、《夏侯阳算经》、《张丘建算经》(皆为第三、四世纪之作，但夏侯阳现传本则迭经增补，搜集的材料包含到第八世纪的有关内容)《五曹算术》、《五经算术》(《五曹》为官吏手卌，《五经》则倾向玄学，无甚内容)《辑古算经》(唐、王孝通，626年稍后定成)另外亦含第五世纪祖冲之所作《缀术》，惜已失传。十三世纪宋朝再刻《十部算经》时，便以《数术记遗》代之，成为现存的《算经十书》。

3．十二、三世纪的宋元数学

宋元两代，中国数学进入了黄金时期，尤其到了十三世纪成就更趋辉煌。不只相对于中国本身古来的数学得到空前的发展，放眼于当时阿拉伯、印度及欧洲各地的数学水平，也是处于领先的地位。

宋元黄金时期的数学家一般以南方的秦九韶、杨辉，北方的李治、朱世杰为代表，合称秦、李、杨、朱四大家。事实上，四家之前有北宋支持王安石变法的沈括(1031-95)。沈括晚年着有《梦溪笔谈》，讨论「隙积术」，开创了高阶等差级数的研究。又有楚衍(与沈括约同时代在司天监工作)的学生贾宪，作「增乘开方法」引进随乘随加的方法，开平方开立方法。由于随乘随加的方法暗含着二项式定理的系数分配，这种开方法马上可以推广到高次开方,为其后不久刘益，秦九韶作一般高次方程的数值解法铺路。在西方，高次方程的数值解法要延到十九世纪才由 Ruffini(1804)与Horner(1819)具体提出，西方数学惯称为Horner method(霍纳方法)。

值得注意，不管在代数方法或转化方法上，中国数学家在定量方面的努力都已接近饱和，必须转向去做些定性的工作。例如在代数方法上有了天元术、四元术，便须转个方向去考虑根与系数的定性关系，才能再往前推进，做出像十九世纪 Abel, Galois 的方程论那样的工作。而在转化方法上，有了个别关系也须要改做些定性的考虑，到定性方面去找寻有系统的转化关系，发展出像解析几何之类的工作。

但变量数学终究不曾出现在中国，道理还是社会条件不够，当时中国社会以天文历法所需的数学最为繁复。内插法是一种逼近，隐约有了变量数学成份。但变量数学得以发展的真正关键在于引入变化率。日月五星的运行虽也有变量，但运行的瞬间速度在当时还不必去考虑，不像在欧洲，力学已发展到须要找出运动规律的时候了。十三世纪前的中国数学在局部化方法上所作的贡献只限于三次函数的内插逼近及早先祖冲之的 Cavalieri 原理。

宋元以后，明代理学对科学技术与思想发展造成一定束缚。除程大位《算法统宗》继吴敬,徐心鲁等人将筹算改良，发展为珠算，便利四则计算之外，明朝两百年间，不仅没继承宋元数学而持续发展，甚至宋元著作散失，数学水平普遍下降。明末清初，西方传教士陆续来华之时，中国数学正处低潮时期，两种文化的交会结束了中国本土数学的发展。

第四讲章．印度与阿拉伯的数学

1．印度的数学

印度是世界上文化发达最早的地区之一，印度数学的起源和其它古老民族的数学起源一样，是在生产实际需要的基础上产生的。但是，印度数学的发展也有一个特殊的因素，便是它的数学和历法一样，是在婆罗门祭礼的影响下得以充分发展的。再加上佛教的交流和贸易的往来，印度数学和近东，特别是中国的数学便在互相融合，互相促进中前进。另外，印度数学的发展始终与天文学有密切的关系，数学作品大多刊载于天文学著作中的某些篇章。

约在三千七百年前，Harappa 文化已开始式微。等到约三千五百年前，亚利安人从中亚进入印度的恒河流域时，这支文化已经消失殆尽。

亚利安人发展了世袭的种姓制度，婆罗门（教士）与武士享有统治权。婆罗门掌管知识，并且不让平民有一丝一毫的教育；为此，他们反对写作，而婆罗门教圣诗吠陀(Veda)则以口述承传。亚利安人在印度头一千年的历史就因文献不足而不清不楚。在数学方面，我们只能从吠陀的经文中看出，他们和别的民族一样，也在天文方面花了一些心思。公元前六世纪，佛教兴起，屏弃了婆罗门教的闭锁性格，于是文学萌芽，历史也开始有了可靠的文献。

公元前326年，亚历山大大帝曾经征服了印度的西北部，使得希腊的天文学与三角学传到了印度。紧接着亚历山大大帝之后，孔雀王朝（Maurya，公元前320～185年）兴起，在其阿育王时代（公元前272～232年）势力达到顶峰，领土不但包括印度次大陆的大部分，而且远如阿富汗都在其控制之下。阿育王以佛教为国教，每到一重要城市总要立下石柱。从数学的眼光来看，这些石柱让人感兴趣，因为在石柱上我们可以找到印度阿拉伯数字的原形。

从八世纪开始印度教兴起，同时回教势力也开始侵入，佛教在两者夹攻之下逐渐式微。到了公元1200年左右，佛教在其出生地的印度差不多就完全消失了。这种宗教信仰的变迁，对印度的文化是有非常具大的影响的。印度的数学从此之后就停止不前。

十六世纪初，中亚的蒙古人后裔，南下印度，建立了回化的蒙兀儿帝国。到了十九世纪，英国的势力完全取代了蒙兀儿，成为印度的主宰者。这一段时期，印度虽然有比较统一的局面，但数学方面仍然没有进展。因此十二世纪的 Bhaskara 可以说是印度传统数学的最后一人。直到二十世纪初，印度数学会成立（1907年），出版学会杂志（1909年），而且又产生了数学怪才Ramanujan（1887～1920年），印度的数学终于渐有起色，而投入了世界数学的发展洪流中。

然而印度的传统数学在算术及代数方面则有相当的成就；这些包括建立完整的十进制记数系统，引进负数的观念及计算，使代数半符号化，提供开方的方法，解二次方程式及一次不定方程式等。

拉普拉斯对十进位值制记数法的评价：“用十个记号来表示一切的数，每个记号不但有绝对的值，而且有位置的值，这种巧妙的方法出自印度。这是一个深远而又重要的思想，它今天看来如此简单，以致我们忽视了它的真正伟绩。但恰恰是它的简单性以及对一切计算都提供了极大的方便，才使我们的算术在一切有用的发明中列在首位；而当我们想到它竟逃过了古代最伟大的两位人物阿基米德和阿波罗尼斯的天才思想的关注时，我们更感到这成就的伟大了。”

2．阿拉伯数学

从九世纪开始，数学发展的中心转向阿拉伯和中亚细亚。自从公元七世纪初伊斯兰教创立后，很快形成了强大的势力，迅速扩展到阿拉伯半岛以外的广大地区，跨越欧、亚、非三大洲。在这一广大地区内，阿拉伯文是通用的官方文字，这里所叙述的阿拉伯数学，就是指用阿拉伯语研究的数学。

从八世纪起，大约有一个到一个半世纪是阿拉伯数学的翻译时期，巴格达成为学术中心，建有科学宫、观象台、图书馆和一个学院。来自各地的学者把希腊、印度和波斯的古典著作大量地译为阿拉伯文。在翻译过程中，许多文献被重新校订、考证和增补，大量的古代数学遗产获得了新生。阿拉伯文明和文化在接受外来文化的基础上，迅速发展起来，直到15世纪还充满活力。

三角学在阿拉伯数学中占有重要地位，它的产生与发展和天文学有密切关系。阿拉伯人在印度人和希腊人工作的基础上发

展了三角学。他们引进了几种新的三角量，揭示了它们的性质和关系，建立了一些重要的三角恒等式。给出了球面三角形和平面三角形的全部解法，制造了许多较精密的三角函数表。其中著名的数学家有：阿尔‧巴塔尼﹝Al-Battani﹞、阿卜尔‧维法﹝Abu'l-Wefa﹞、阿尔‧比鲁尼﹝Al-Beruni﹞等。系统而完整地论述三角学的著作是由十三世纪的学者纳西尔丁﹝Nasir ed-din﹞完成的，该著作使三角学脱离天文学而成为数学的独立分支，对三角学在欧洲的发展有很大的影响。

第五讲：数学的复兴 1．中世纪的欧洲数学

罗马人活跃于历史舞台上的时期大约从公元前七世纪至公元五世纪。他们在军事上和政治上曾取得极大成功，在文化方面也颇有建树，但他们的数学却很落后，只有一些粗浅的算术和近似的几何公式。著名的科学书籍有维特鲁维尼斯的《建筑十书》﹝公元前14年﹞。书中比较注重处理数学问题，使用了建筑物的平面体和立视图，可以看到画法几何的萌芽。此外，罗马人对历法改革也有一定的贡献。中世纪原指古代文化衰落（五世纪）到意大利文艺复兴（十五世纪）之间漫长的一千年。从科学史角度来看，在这段时期内，人类从希腊科学文明和罗马统治的高峰跌落，再沿着现代知识的斜坡挣扎向上。这一时期只出现少数几位热心学术的学者和教士：殉道的罗马公民博埃齐﹝Boethius﹞，英国的教士学者比德﹝Bede﹞和阿尔克温﹝Alcuin﹞，著名的法国学者、教士热尔拜尔﹝Gerbert﹞──他后来成了教皇西尔维斯特二世﹝Pope Sylvester II﹞。

在这样一种价值取向下，数学的最基本的思想、方法和观念等成分渐渐被吸纳进基督教体系中去，并成为构建基督教体系所必须的条件之一。这一点特别明显地体现在九世纪著名的经院哲学家和神学家萨阿迪亚·果昂(Saadia Gaon，892-942)的著作中。在他的系统的神学理论中已经曾现出十九世纪和二十世纪数学所特有的某些方法和思维过程。如萨阿迪亚在他的著作中曾

把上帝的存在作为假定，而上帝的唯一性被证明出来，并且以后所赋予上帝的一些性质通过抽象推理和《圣经》的象征手法有趣地结合而推导出来。在这里希腊人的方法与希伯来传统结合起来。这也引出了近现代数学中的“唯一性问题”。

这种思想经过几个世纪的酝酿，最终在十六、十七世纪达到其顶峰，让我门看一看法国数学家、哲学家笛卡儿带有强烈的唯意志论特征的一段话：“数学真理，如同其他一切受造之物一样，也都是由上帝所确立，并依赖于上帝。„„上帝能够做我们所理解的一切事情，我们不可以说上帝无法做我们所不理解的事情。因为，认为我们的想象力可以穷尽上帝力量的那种想法是？越而狂妄的。”所以，对于此时的欧洲学者来说，上帝就是一位至高无上的数学家，人类不可能指望像上帝那样清楚地明白上帝的意图，但人至少可以通过谦恭的态度和理性的思考来接近上帝的思想，就可以明白神创造的世界。近代数学的产生和进展就直接得益于这种宗教观念的提升和促进，由此为近代数学发展超越古希腊阶段提供了一个必要的形而上学基础。

十二世纪是数学史上的大翻译时期，是知识传播的世纪，由穆斯林保存下来的希腊科学和数学的经典著作，以及阿拉伯学者写的著作开始被大量翻译为拉丁文，并传入西欧。当时主要的传播地点是西班牙和西西里，著名的翻译家有巴思的英国修士阿德拉特﹝Adelard﹞、克雷莫纳的格拉多﹝Gherardo﹞、切斯特的罗伯特﹝Robert﹞等等。

十四世纪相对地是数学上的不毛之地，这一时期最大的数学家是法国的N‧奥雷斯姆﹝Oresme﹞，在他的著

作中，首次使用分数指数，还提出用坐标表示点的位置和温度的变化，出现了变量和函数的概念。他的工作影响到文艺复兴后包括笛卡尔在内的学者。

2．经验主义数学观的形成及其对于近代数学实践的影响

在古希腊哲学家毕达哥拉斯和柏拉图那里，数学是一门独立的、专门的学科，它被赋予了完美与和谐的性质。他们把数学孤立起来看待，认为数学是人们通往理念世界的阶梯，而当完美的数学与不完美的可感知世界产生矛盾时，现实是被校正的对象。柏拉图尤其认为在现象世界中物质阻碍了对数学理念的精确反映。柏拉图甚至憎恶“几何学”这个名词，他认为在几何学这门学科中存在着太多的使人联想起受做工作的名词，“这门学科所用的语言散发着奴隶的气息”，数学研究是一种崇高而且有哲理性的职业，但与应用有关的则是卑劣粗俗的[8]。

在文艺复兴时期，毕达哥拉斯和柏拉图所强调的自然是依照数学设计的信念广泛地为欧洲的知识分子所接受。

近代数学在这种完全崭新的文化氛围中迈开了步伐。由于技工与学者相互合作、逻辑思辨与实验科学携手大大刺激了数学中新的观点、新的理论和方法的产生，这时，数学一方面从实验的自然科学中吸取了的灵感，激发了众多新学科的创造，如对数、三角学的形成，微积分的产生与分析学的发展都是建立在自然科学的研究的基础上的。另一方面，数学的成果也日益广泛的被应用到其他自然科学的研究中去。实际上，从开普勒、笛卡尔、伽利略、牛顿到十八世纪的拉普拉斯，他们在一般方法上或具体研究中都是以数学家的身份去探索自然的。依靠数学的指导，建立定量化的规律，从而导出了极有价值的科学成果。

这一时期，在数学中首先发展起来的是透视法。艺术家们把描述现实世界作为绘画的目标，研究如何把三维的现实世界绘

制在二维的画布上。

文艺复兴时期更出版了一批普及的算术书，内容多是用于商业、税收测量等方面的实用算术。印度─阿拉伯数码的使用使

算术运算日趋标准化。

符号代数学的最终确立是由16世纪最著名的法国数学家韦达﹝Viete﹞完成的。他在前人工作的基础上，于1591年出版了

名著《分析方法入门》﹝In artem analyticam isagoge﹞，对代数学加以系统的整理，并第一次自觉地使用字母来表示未知数和已知数，使代数学的形式更抽象，应用更广泛。韦达在他的另一部著作《论方程的识别与订正》﹝De aequationum recognitione et emendatione, 1615﹞中，改进了三、四次方程的解法，还对n = 2、3的情形，建立了方程根与系数之间的关系，现代称之为韦达定理。

文艺复兴时期在文学、绘画、建筑、天文学各领域都取得了巨大的成就。数学方面则主要是在中世纪大翻译运动的基础上，吸收希腊和阿拉伯的数学成果，从而建立了数学与科学技术的密切联系，为下两个世纪数学的大发展作了准备。

3．三次、四次方程的求根公式的解决

代数学在文艺复兴时期获得了重要发展。最杰出的成果是意大利学者所建立的三、四次方程的解法。卡尔达诺在他的著作《大术》﹝Ars magna，1545﹞中发表了三次方程的求根公式，但这一公式的发现实应归功于另一学者塔尔塔利亚﹝Tartaglia﹞。四次方程的解法由卡尔达诺的学生费拉里﹝Ferrari﹞发现，在《大术》中也有记载。稍后，邦贝利﹝Bombelli﹞在他的著作中阐述了三次方程不可约的情形，并使用了虚数，还改进了当时流行的代数符号。

4．三角学的历史

早期三角学不是一门独立的学科，而是依附于天文学，是天文观测结果推算的一种方法，因而最先发展起来的是球面三角学．希腊、印度、阿拉伯数学中都有三角学的内容，可大都是天文观测的副产品．例如，古希腊门纳劳斯（公元100年左右）著《球面学》，提出了三角学的基础问题和基本概念，特别是提出了球面三角学的门纳劳斯定理；50年后，另一个古希腊学者托勒密著《天文学大成》，初步发展了三角学．而在公元499年，印度数学家阿耶波多也表述出古代印度的三角学思想；其后的瓦拉哈米希拉（约505～587）最早引入正弦概念，并给出最早的正弦表；公元10世纪的一些阿拉伯学者进一步探讨了三角学．当然，所有这些工作都是天文学研究的组成部分．直到纳西尔丁（1201～1274）的《横截线原理书》才开始使三角学脱离天文学，成为纯粹数学的一个独立分支．而在欧洲，最早将三角学从天文学独立出来的数学家是德国人雷格蒙塔努斯（1436～1476）．

近代三角学是从欧拉的《无穷分析引论》开始的．他定义了单位圆，并以函数线与半径的比值定义三角函数，他还创用小写拉丁字母ａ、ｂ、ｃ表示三角形三条边，大写拉丁字母Ａ、Ｂ、Ｃ表示三角形三个角，从而简化了三角公式．使三角学从研究三角形解法进一步转化为研究三角函数及其应用，成为一个比较完整的数学分支学科．而由于上述诸人及19世纪许多数学家的努力，形成了现代的三角函数符号和三角学的完整的理论

第六讲：近代数学的兴起

在数学史上，十七世纪初到十九世纪20年代这段时间被称为近代数学时期。对数的产生、牛顿、莱布尼茨的微积分、帕斯卡等人的概率论等都是这一阶段的重要成果。

1．对数

16世纪末至17世纪初的时候，当时在自然科学领域（特别是天文学）的发展上经常遇到大量精密而又庞大的数值计算，于是数学家们为了寻求化简的计算方法而发明了对数。

德国的史提非（1487-1567）在1544年所著的《整数算术》中，写出了两个数列，左边是等比数列（叫原数），右边是一个等差数列（叫原数的代表，或称指数，德文是Exponent，有代表之意）。

英国的布里格斯在1624年创造了常用对数。

1619年，伦敦斯彼得所著的《新对数》使对数与自然对数更接近（以e=2.71828...为底）。

最早传入我国的对数著作是《比例与对数》，它是由波兰的穆尼斯（1611-1656）和我国的薛凤祚在17世纪中叶合 编而成的。当时在lg2=0.3010中，2叫「真数」，0.3010叫做「假数」，真数与假数对列成表，故称对数表。后来改用 「假数」为「对数」。

2.解析几何的诞生

几何学及综合几何式的思考方式是希腊数学的传统。几何学几乎是数学的同义词，数量的研究也包含其中。这种趋势直到十七世纪上半叶才渐有改变；那时候代数学已较成熟，同时科学发展也逼使几何学寻求更有效的思考工具，更能量化的科学方法。在此双重刺激之下，解析几何学就诞生了。

在希腊人的观点中，圆锥曲线就是圆锥被平面割截的截痕，但若死守这种观点，圆锥曲线的性质就甚难推演。Apollonius 由圆锥截痕的定义导出圆锥曲线中一些几何量所具有的代数关系式，然后以这些关系式为基础再导出其它的性质。这些关系式，经稍微的变形，用现代的观点来看是这样的。

代数学本身尚未完全成熟也使解析几何的想法未能迅速推广开来。那时，负数的观念并不成熟，尤其是，几何的量不能与负数有关，所以许多可以统一处理的情形，都得分成好几个状况，分别处理，而且只有在第一象限才有图形。

3.微积分的产生与发展

微积分思想的萌芽可以追溯到古希腊时代。公元前5世纪，德谟克利特创立原子论，把物体看成由大量的不可分割的微小部份﹝称为原子﹞迭合而成，从而求得物体体积。公元前4世纪，欧多克索斯建立了确定面积和体积的新方法──穷竭法，从中可以清楚地看出无穷小分析的原理。阿基米得成功地把穷竭法、原子论思想和杠杆原理结合起来，求出拋物线弓形面积和回转锥线体的体积，他的种种方法都孕育了近代积分学的思想。

事实上，17世纪早期不少数学家在微积分学的问题上做了大量的工作，但只停留在某些具体问题的细节之中，他们缺乏对这门科学的普遍性和一般性的认识。微积分学的最终创立要归功于英国数学家牛顿和德国数学家莱布尼兹。

4.概率论的产生

（1）．概率的起源——随机性游戏

作为一门经验科学的古典概率论最直接起源于一种相当独特的人类行为思想的探索：人们对于机会性游戏的研究思考。所谓机会性游戏是靠运气取胜一些游戏，如赌博等。这种游戏不是哪一个民族的单独发明，它几乎出现在世界各地的许多地方，如埃及、印度、中国等。在自古至今各国文献的记载中，有关赌博等机会性游戏的记载的文献是非常丰富的，赌博手册的存在、各种随机发生器的发明，各个时代和国家经常展开的反对赌博的斗争活动等都是早年机会性游戏流传的明证。

帕斯卡和费马正确解决了“点问题”的这一事件被伊夫斯）称为“数学史上的一个里程碑”。

（2）．概率论与统计学的结合

概率论产生于人类的一种特殊的活动——机会性的游戏，而培育它成长壮大的其他因素却丰富多彩。首先是一门与经济、政治和宗教信仰等有密切关系的关于数据的学问——统计学对概率论发展产生了重大的影响。

正是伯努利具体地指出了概率论可以走出赌桌旁而迈向更广阔的天地这一光辉前景。他的大数定律成为概率论从一系列人们视之为不怎么高尚的赌博问题转向在科学、道德、经济、政治等方面有价值和有意义的应用的一块塌脚石，从而吸引了欧拉、拉格郎日、达朗贝尔、孔多塞、拉普拉斯等一大批数学家投身于其中。

（3）．概率论与分析学等领域的结合

伯努利的工作也显示了逐渐发展的统计是概率论施展潜力的最重要的舞台。但是由于统计学所研究的许多现象比赌博中的输赢等现象要复杂得多，许多问题涉及到连续和无限的情形，这样主要以离散组合方法为主的古典概率论就显得不是很充分了。所幸的是十八世纪分析学的发展为概率论方法的扩展提供了及时的条件，于是分析的方法开始大规模地进入了概率论研究的领域。早期在这方面做出重要尝试的是与伯努利几乎同时对概率论做出重要贡献的另一位数学家棣莫弗（1667—1754）。

在数学分析与概率论的结合方面做出有益尝试的数学家们还有：伯努利家族众多科学成员中的一员丹尼尔.伯努利（Daniel Bernoulli，1700—1782）研究了由他的哥哥尼古拉.伯努利（Nikolaus）在1713年首先提出的著名的彼得堡（Petersburg）悖论。丹尼尔.伯努利在其工作中还明确地示范了怎样将微积分（60年前发明的）应用于概率的研究。欧拉（Leonard Euler，1707—

1783）分类整理了许多概率问题；拉格朗日（Joseph Lagrange，1736—1813）更是系统地把微积分应用于概率论，由此把概率论推进了一大步。

（4）．概率论与社会科学的结合

在十八世纪，除了当时非常有效的数学工具——数学分析，以及统计学和误差测量等方面与概率论的广泛结合之外，概率论发展的另一个重要特征就是它的应用范围大幅度地向社会学领域中扩展，这种倾向与当时的社会精神氛围有着极其密切的关系。在十八世纪，“理性”是贯穿始终的一个中心，这个词表达出了这个世纪的人们的希望和为之奋斗的一切东西。所谓理性一般是指正确方法的关键，它也指自然界的秩序，也表示逻辑上有效的论证，就像数学中的论证那样。所以，数学一直被作为秩序和理性的典范。而此时正是经典的自然科学领域结出辉煌硕果的时期，许多知识分子也希望建立一门像自然科学那样以数学的方法为基础的关于人和社会的科学。这一切与自笛卡尔以来人们所认为的数学具有普遍特征的观点是一脉相承的。

第七讲：近代数学的发展

十九世纪二十年代以来，数学发展的主要特征是空前的创造精神和高度的严格精神相结合，这个世纪的数学成果超过以往所有数学成果的总和，其中最典型的成就应当属分析学的严格化；射影几何的复兴及非欧几何的诞生；代数学中群论和非交换代数学的产生；以及公理化运动化的开端等。这些事件具有重大的意义，从某种程度来说它们改变了人类的思维方法，并且最终影响到人们对数学的本性的理解，这些事件也深深地影响了二十世纪数学的发展趋势，主要反映在纯粹数学方面。

1．几何学的发展

（1）射影几何学的复兴

19世纪，几何学领域的首先的一个突出的进展是关于射影几何学的研究。

射影几何学讨论平面或空间图形的射影性质。所谓射影性质就是在射影变换下保持不变的几何性质，如三点共线、三线共点等，这些性质如此众多，且各不相同，因此，为了使这繁杂的知识变得有条理，人们常采取建立在定理的推演方法的基础上的分类原则。按照这种分类原则可以区分出“综合”与“分析”两大类方法。综合法就是欧几里得公理化方法，它将学科建立在纯粹的几何基础之上，而与代数及数的连续概念无关，其中的定量都是从一组称为公理或公设的原始例题推导出来的。分析法则是建立在引入数值坐标的基础上，并且应用代数的技巧。这种方法给数学带来了深刻的变化，它将几何、分析和代数统一成为一个有机的体系。

（2）非欧几何的创立

19世纪几何学最重要的成就，应当首推30年代创立的非欧几何学。

非欧几何的历史，便开始于努力清除对欧几里得平行公理的怀疑。据说，在欧几里得以后果的两千多年的时间里，几乎难以发现一个没有试证过第五公设的大数学家。但是，两千多年来许多数学这在这方面的努力都失败了。这是因为：除了他们一直没有找到一个比平行公理更好的假设之外，在他们的每一个所谓“证明”中，都自觉不自觉、或明或暗地引进了一些新的假设，而每个新假设都与第五公设等价：即在某给定的公理的基础上加上第五公设可以推导出这一命题；反之；反之在此组公理基础上加上这个命题也可以推导出第五公设。所以，在本质上他们并没有证明第五公设，只是在整个公理体系中，把第五公设用等价命题来代替罢了。例如：公元4世纪的普洛克拉斯（Proclus）试图通过把平行于已知直线的线定义为和已知直线有给定固定距离所有点的轨迹的方法，来废除特殊的平行公理，但是他没有意识到，他只是把困难转移到另一个地方罢了，因为，必须证明这样的点的轨迹的确是一条直线，当然证明这一点是困难的。但如果承认这个命题是一个公理，那么容易证明：这个公理和平行公理是等价的。

到17、18世纪，许多数学家，如意大利耶稣会教士萨开里（Girolano Sacheri，1667-1733）、瑞士的兰伯特（Johann Heinrich Lambert，1728-1777）、法国的分析数学家拉格朗日（Lagrange，1736-1813）和勒让德（Legendre，1752-1833）、匈牙利的W·波

尔约（WBolyai，1775-1813）等，为了试证平行公设，而改用反证法，即从第五公设不成立的情况着手，追穷它能否得出与已知定理相矛盾的结果。如果得不出，它又会产生怎样的事实。实际上，这样的思想方法，已经开辟了一条通向非欧几何的道路，并且得出了许多耐人寻味的事实。而这些事实正是从第五公设不成立这一假定下推导出来的，这恰恰就是非欧几何学中的定理。

罗巴切夫斯基（1793-1856）于1826年2月在喀山大学数理系的一次会议上提出了关于非欧几何的思想。1829年，他正式发表了题为《论几何学基础》的论文，以后，他又发表了题为《具有平行的完全理论的几何新基础》等多篇著作，论述他关于平行公设的研讨以及对新创立几何体系的探索。

到了19世纪末期，非欧几何逐渐被人们所接受，非欧几何的产生具有极为深远的意义，它把几何学从传统的模型中解放出来，“只有一种可能的几何”这个几千年来根深蒂固的信念动摇了，从而为创造许多不同体系的几何打开了大门。1873年，一位英国数学家把罗巴切夫斯基的影响比作由哥白尼的日心说所引起的科学革命。希尔伯特也称非欧几何是“这个世纪的最富有建设性和引人注目的成就”。

2.代数学的发展

（1）群论的诞生

群的思想起源于求解高次方程的根的问题。在18世纪末和20世纪初，代数学中的中心问题之一仍是代数方程的代数解法，这个问题的根本困难在于求一个未知数的n次代数方程的解法，可以用系数的加、减、乘、除和开方的有限次运算表示出根的公式，也称根式解法。

19世纪末期，群论几乎渗入到当时数学的各个领域中去，例如1872年，克莱因在他著名的“埃尔朗根纲领”中指出，变换群可用来对几何进行分类；F·克莱因和庞加莱在研究自守函数的过程中曾用到其它类型的无限群；1870年左右，S·李开始研究连续变换群的概念，并用它们阐明微分方程的解，将微分方程进行分类；在代数中，群作为一个综合的基本结构成为抽象代数在20世纪兴起的重要因素；此外，群论在近代物理学中也有重要的应用。

（2）非交换代数学的产生 1．代数结构

在19世纪早期，代数和几何有着相似的经历，人们把代数单纯地看作是符号化的算术，也就是说，在代数中，凡量都可以用字母表示，然后按照对数字的算术运算法则对这些字母进行计算，例如，这些运算法则中最基本的五条是：加法交换律、乘法交换律、加法结合律、乘法结合律、乘法在加法上的分配律。而随着伽罗瓦的群的概念的引入，19世纪中叶的代数在保持上述这种基础的同时，又把它大大地推广了。这时，在代数中还考察比数（自然数、整数、负数等）具有更普遍得多的性质的“数”——元素。比如，上述关于数的五条基本性质，也可以看作是其它完全不同的元素体系的性质，也就是说，存在有共同代数结构的公设，并且，逻辑上隐含于这些公设的任何定理，可被用于满足这五条基本性质的任何元素来解释。从这个观点上说，代数不再束缚于算术上，代数就成了纯形式的演绎研究。

2．向量

19世纪后期，复数成为研究平面向量的有效工具。但是，复数只能表示平面向量，而物理学中处理的量涉及的总是三维空间向量。困此，迫切需要一种能处理空间向量的数学理论。四元数的诞生自然引起了很大的反响，数学物理家们从四元数中找到了处理空间向量的数学理论，因为四元数中含有三维向量的标准研究式xi+yj+zk。但是，在哈密顿那里，向量只是四元数的部分，而不是作为独立的数学实体处理的。从四元数到向量需要迈出主要一步是把向量从四元数中独立出来。电磁理论的发明者，伟大的英国数学物理学家之一麦克斯韦（1831-1879）在区分出哈密顿的四元数的数量部分和向量部分的方向上迈出了第一步。其后，在19世纪80年代初期由数学物理学家吉布斯（1839-1903）和希维赛德（1850-1925）各自独立地开创了一个独立于四元数的新课题——三维向量分析。

3．矩阵

另一个不可交换的代数——矩阵理论是英国数学家凯莱创造的。他是在研究线性变换下的不变问题时，为简化记号引入矩阵概念的。凯莱定义了两个矩阵相等、两个矩阵的乘法、矩阵的加法。在所得到的矩阵代数中，可以证明：乘法不满足交换律。

总之，正象非欧几何的创立为新几何学的创立开辟了道路一样。四元数、超复数、向量、矩阵等新的代数体系的出现，也成为代数学上的一次革命。它们首先把数学家们从传统的观念中解放出来，并为新的代数学——现代抽象代数学的创立打开了大门。

3．分析学的发展

（1）微积分的严格化

自17世纪中叶微积分建立以后，分析学各个分支象雨后春笋般迅速发展起来，其内容的丰富，应用的广泛使人应接不暇。它的高速发展，使人们无暇顾及它的理论基础的严密性，因而也遭到了种种非难。到19世纪初，许多迫切的问题得到了基本解决。大批数学家又转向了微积分基础的研究工作。以极限理论为基础的微积分体系的建立是19世纪数学中最重要的成就之一。

微积分中，这种缺乏牢固的理论基础和任意使用发散级数的状况，被当时一些数学家认为是数学的耻辱。这些问题，虽然经过了整整一个半世纪的修正和改进，仍未得到完满的解决。但是人们已经从正反两方面积累了丰富的材料，为解决这些问题准备了条件。从19世纪20年代起，经过许多数学家的努力，到19世纪末，微积分的理论基础基本形成。在这方面做出突出贡献的主要有数学家波尔查诺、柯西、魏尔斯特拉斯等。

集合论的建立

在分析学的重建运动中，德国数学家康托尔开始探讨了前人从未碰过的实数点集，这是集合论研究的开端。到1874年康托尔开始一般地提出“集合”的概念。他对集合所下的定义是：把若干确定的有区别的（不论是具体的或抽象的）事物合并起来，看作一个整体，就称为一个集合，其中各事物称为该集合的元素。人们把康托尔于1873年12月7日给戴德金的信中最早提出集合论思想的那一天定为集合论诞生日。

但是随着岁月的流逝，集合论日臻完善，并且以其巨大的生命力展现在人们面前。集合论的诞生被誉为是数学史上一件具有革命性意义的事件，英国哲学家罗素把康托尔的工作称为“可能是这个时代所能夸耀的最巨大的成就。”康托尔生前曾充满自信地说：“我的理论犹如磐石一般坚固，任何反对它的人到头来都将搬起石头砸自己的脚„„。”历史的事实证实了这一点，康托尔和他它的集合论最终获得了世界的承认，至今享有极高的声誉，它已经深入到数学的每一个角落。正如大数学家希尔伯特所指出的那样“没有人能把我们从康托尔所创造的乐园里赶走！”

4.公理化运动

概括地说，公理观点可以叙述如下：在演绎系统中，为了证明一个定理，就必须证明这个定理是某些以前已经证明过的命题的必然的逻辑推论，而这些命题本身又必须用其它命题来证明，等等。这个过程不可能是无限的，因此，必须有少数不定义的术语和公认成立而不要求证明的命题（称为公理或公设），从这些公理出发，我们可以试图通过纯逻辑的推理来导出所有其它的定理。如果科学领域的事实，有这样的逻辑顺序，那么就说这个领域是按公理形式表示了。

（1）、算术的公理化

对于分析，几何等分支的基础问题的进一步探讨，使得数学家们关心起算术的基础。然而，直到19世纪末，算术中一些最基本的概念，如：什么是数？什么是0？什么是1？什么是自然数的运算等，却很少有人解释过。

（2）初等几何的公理化

自从欧几里得时代以来，几何学就成为公理化学科的典范，很多世纪，欧几里得体系是被集中研究的对象。但是在19世纪后期，数学家们才明白：如果一切初等几何都要从欧氏系统推演出来，那么欧氏公理必须加以修改和补充。

（3）其它数学对象的公理化

公理化的思想风靡于世，它日益渗透到每一个领域中去。例如，在19世纪初解代数方程而引进的群及域的概念，在当时都是十分具体的，如置换群。只有到19世纪后半叶，才逐步有了抽象群的概念并用公理刻画它，群的公理由四条组成，即封闭性公理，两个元素相加（或相乘）仍对应唯一的元素；运算满足结合律；有零元及逆元素存在，等等。公理化的思想深深地影响着现代数学的发展。20世纪初的数学发展的趋势之一就是数学分支的公理化。例如1933年，苏联数学家A.H.柯尔莫戈洛夫在他的《概率论基础》一书中给出了一套严密的概念论公理体系。特别应当指出的是：公理化运动最大的成果之一是它已经创立了一门新学科——数理逻辑。

第八讲 现代数学概观

“现代数学”一词已为人们所常用，但现代数学时期却很难用一个确定的年代作为开始的时间，一般来讲，是从20世纪初开始的。现在，20世纪即将结束，它留给人们一笔丰富的数学财产。这个世纪数学发展速度之快、范围之广、成就之大、远远超出人们的预料，数学的发展在改变着人们对数学的认识。数学本身也在不断分化出更多的二级、三级，甚至更细小的学科和思想，而在不同的学科之间，几乎没有共同的语言。在这里我们所能给出的，仅仅是极为粗略的概述。

1．集合论悖论与数学基础的研究

康托的集合率与数学的关系从来没有顺利过。1900年左右，正当康托的思想逐渐被人接受时，一系列完全没有想到的逻辑矛盾，在集合论里的边缘被发现了。开始，人们并不直接称之为矛盾，而是只把它们看成数学中的奇特现象。人们认为，集合的概念结构的组成还没有达到十分令人满意的程序，只需对基本定义修改，一切事情都会好起来。

在有限集合中，推理有效的逻辑法则的一个特殊例子是排中律，布劳威尔反对把它应用于无限集中。支撑这个法则的假设是每一个数学陈述都可以判断是真或假，而不依赖于我们用于判断真值的方法。对布劳威尔来说，纯粹地假设的真值是一个错误。只有一个自明的构造通过有限步骤建立起来时，才可以说断定一个给定的数学陈述是真的。因为并不能预先保证能够找到这样的一个构造。所以我们就无权假设有一个陈述要么是真的，要么是假的。例如：布劳威尔问：“在π的小数表达式中有十个连续的数学形成0123456789的形式，这个陈述是真还是假？”因为这显然需要我们判定在π中有0123456789形式，或者证明没有这样的形式，但是因为π是一无穷小数，也就不存在作出这个决定的方法，所以人们就不能应用排中律说这个陈述是真或假的。另一方面，从直觉主义者的立场来说，断言 或是素数或是合数，而不必说二者之一成立。因为有一种方法，（如果不怕麻烦去应用它的话），也就是一个有效法则能够决定两者之一哪个是正确的。

抛弃排中律和抛弃以此为根据的非构造的存在性证明，对希尔伯特来说是过于激进的一步，以至于不能接受。他说：“禁止数学家用排中律，就象禁止天文学家用望远镜或拳击者用拳一样。”对他来说，布劳威尔不会赞同证明传统数学是相容的能够恢复数学的意义的主张。这样他写道：“用这种方式不会得到任何有数学价值的东西，没有被悖论制止的一个假的理论仍然是假的。就象一个没有被法庭禁止的犯罪行为仍然是犯罪一样。”

2.纯数学的发展

20世纪初，除了围绕惊心动魄的关于数学基础所展开的争论之外，由19世纪70年代以来发展起来的数学的抽象化和公理化的趋势一直受人重视，人们已经意识到抽象理论几乎具有囊括一切的本领。建立起这样的抽象理论成为许多数学家的奋斗目标，而这些人又影响到他们的弟子以及以后几代数学家，使得他们不但非常重视数学的公理化、严密性和抽象性，而且倾向于将这些特性永远看作数学的本质。在20世纪产生的众多的纯粹数学中，最具有代表性的应当属拓扑学、泛函分析和抽象代数学。这三门学科可以说是现代数学的三大理论支柱。20世纪，围绕着这三个领域产生了形形色色的数学分支，时至今日，人们

似乎形成了这样的一个观念，一个人不能阅读用抽象代数、拓扑和泛函分析的语言写成的书籍，就不能自认为真正掌握了现代数学知识，下面简略介绍这三门学科的历史。

（1）拓扑学

有关拓扑学的某些问题可以追溯到17世纪，1679年莱布尼兹发表《几何特性》一文，试图阐述几何图形的基本几何特点，采用特别的符号来表示它们，并对它们进行运算来产生新的性质。莱布尼兹把他的研究叫做位置分析或位置几何学，并另外宣称应建立一门能直接表示位置的真正几何的学问，这是拓扑学的先声。

1736年，欧拉解决了著名的哥尼斯堡七桥问题。这个问题是，能否在散步中连续地经过如图（6-1的左图）所示的七座桥且每座桥只走一次。欧拉解决问题的方式具有拓扑意义，他简化了这个问题的表示法，用点代表陆地，用线段或弧代表桥，将问题改变成：能否一笔画出下图中的右图。

（2）泛函分析

泛函分析有两个源头。第一个源头是变分法。早在17世纪末18世纪初，约翰·伯努利关于最速降线的工作就可以看成是泛函数研究的开端。这个问题及后来提出的各种变分问题一般都可归结为求形如 或更复杂一些的积分的极值。这里函数 是在某个集合Y上变动。变分法研究以函数y为自变元的函数J(y)。把这里的y视为点，Y视为函数空间的观念是在很晚才形成的。泛函的抽象理论开始于意大利数学家沃尔泰拉（1860-1940）关于变分法的工作，他研究所谓“线的函数”时指出：每一个线的函数是一个实值函数F，它的值取决于定义在某个区间[a, b]上的函数y(x)的全体。全体y(x)被看作一个空间，每个y(x)看作空间中的一个点。对于y(x)的函数J(y)，沃尔泰拉曾引进连续、微商和微分的定义。法国数学家阿·达马首先称这种函数的函数J(y)为“泛函”，而阿·达马的学生莱维则给泛函的分析性质的研究冠上了泛函分析的名称。

（3）抽象代数学

抽象代数是20世纪初期的数学中最伟大的成果之一，它的产生可以追溯到19世纪。在19世纪，代数学中发生了几次革命性的变革最终促进了抽象代数学的产生，首先是由于阿贝尔和伽罗瓦等人的工作结束了代数学中以解方程为主的时代，并促使人们对于代数学所研究的对象采取一种更为抽象的形式，并且，他们的工作也是后来抽象群论的第一个来源，自19世纪以来，引起代数学的变革并最终导致抽象代数学产生的工作还有许多，这些工作大致可以分属于群论、代数理论和线性代数这三个主要方面。到19世纪末期，数学家们从许多分散出现的具体研究对象抽象出它们的共同特征来进行公理化研究，完成了来自上述三个方面工作的综合，至此可以说，代数学已发展成为抽象代数学。近代一些德国数学家对这一综合的工作起到主要作用，自十九世纪末戴德金和希尔伯特的工作开始，在韦伯（1842-1913）的巨著《代数教程》的影响下，施泰尼茨（1871-1928）于1911年发表了重要论文《域的代数理论》，对抽象代数学的建立贡献很大。

（4）布尔巴基学派

随着三大理论支柱的建立，20世纪以来，数学越来越向着日益抽象的趋势发展，三十年代，对于推动这种趋势进一步发展的是尼古拉·布尔巴基的工作。

1939年，布尔巴基出版了一部书名朴实的长篇巨著——《数学原理》，全书分成许多卷，这本书马上引起了数学界极大关注。但是，关于书的作者人们却一无所知，1949年，有人在一篇有关布尔巴基教授的生平简介中提到，他从前是波尔达维亚皇家科学院院士，当时居住在法国的南锡。但是以后不久，大约在1953-1954年，他似乎又与南加哥大学数学研究所有了联系。

3.应用数学的发展

20世纪现代数学变得抽象化的同时，数学应用的范围也变得更加广泛了。数学不仅仅应用于天文、物理、力学等传统的领域，而且涉及到了人们以往认为的与数学的相互关系不大的生物、地理、化学等领域。今天，可以说几乎所有的科学领域都渗入了数学的概念和方法，而数学本身由于在这些学科上的应用也不断地丰富起来，数理统计学和生物数学的兴起和发展充分说

明了这一点。

与数理统计学的兴起和发展相互推动的是另一门应用学科——生物数学的兴起。以往生物学的研究工作大多停留在描述生命现象和定性研究的阶段，对数学的需求自然显得不太迫切，许多人对于“生物学的研究中究竟能用到多少数学知识？”这个问题持消极态度，但事实证明生物学的深入研究必然会遇到大量数学问题。生物界现象的复杂程度远远超过物理现象和化学现象。特别是在定量研究方面更加困难，因此，进行研究所使用数学工具必然多样化。如基因的地理分布、种群的年龄分布、森林病毒的蔓延等等。这些问题的研究都要涉及到种群大小的计算、估计和预测，这是概率论的基本内容。沃尔泰拉模型中用的微分方程、进化论和试验设计发展了数理统计学；遗传结构离不开抽象代数等等。这些都是数学与生物学相互结合的典型事例。到现在为止，生物数学已经有了生物统计学、生物微分方程、生物系统分析、生物控制、运筹、对策等分支。有人预言：“21世纪可能是生物数学的黄金时代。”

应用数学最迅猛的发展开始于四十年代。第二次世界大战期间反法西斯战争的需要，以及战后经济发展的需要等大大促进了该学科的发展。例如：

计算机的出现，使计算数学迅猛发展。一些由于计算量过大而搁置不用的应用方法，这时获得了新的实用价值。线性规划、动态规划、优选法等最优化理论迅速成长起来。应用数学有了电子计算机，如虎添翼，20世纪初期强调抽象理论的趋势至此有了新的变化。

4.六十年代以后的数学

20世纪60年代以后，数学理论更加抽象。这个时期，除了某些重大的传统科目，如集合论、代数、拓扑、泛函、分析、概率论、数论等等学科有许多重大的进展外，还有许多新兴的分支出现，其中，最引人注目是：非标准分析、模糊数学、突破理论。此外，由于电子计算机的广泛应用，使得数学发展的趋势又有了新变化。

（1）非标准分析

在牛顿—莱布尼兹时代，微积分的基础理论是不严格的；那时，牛顿、莱布尼兹的无穷小游移不定——有时被认为是0，有时被认为不是0，他们自己不能自圆其说，因此，遭到了很多的批评，直到19世纪，才由柯西、波尔查诺、魏尔斯特拉斯等人把微积分的理论建立在严格的极限理论基础上。从此，分析中的无穷小量和无穷大量作为数就再也不存在了，偶而提到，也只是“某变量趋于无穷大”之类的句子，只不过是习惯性的说法而已。但是，1960年秋，罗宾逊（Robinson，Abraham，1918-1974，生于德国人，犹太人，1962年去美国）在普林顿大学的一次报告中却指出，利用新的方法可以使分析学中久已废黜的“无穷小”、“无穷大”的概念重新纳于合法的地位。1961年在《荷兰科学院报告》上刊登了罗宾逊的题为“非标准分析”的文章，表明这一新分支已经形成。

（2）模糊数学

经典集合论已经成为现代数学的基础。在经典集合论中，当确定一个元素是否属于某集合时，只能有两种回答：“是”或者“不是”，它只能表示出现实事物的“非此即彼”状态，然而在现实生活中，却有着大量的“亦此亦彼”的模糊现象，比如“高个子”、“年轻人”、“漂亮的人”等一些更复杂的情况，这样一类问题以经典集合论为基础的数学就不能处理。为了解决这类矛盾，1965年，美国加利福尼亚州立大学的扎德（Zadeh，L.A，1921-）发表了论文《模糊集合》，其中，他提出了一种崭新的数学思想。他引进了“隶属度”的概念。

此后，在电子计算机的配合下，形成了一个数学的新分支——模糊数学，并且很快应用到各个领域中去。（3）突变理论

如果说微积分的主要研究对象是连续变化的现象，那么突变理论的基本思想则是运用拓扑学、奇点理论和结构稳定性等数学工具描述客观世界各种形态、结构的突然性变化，如火山爆发、胚胎变异、神经错乱、市场崩溃等一系列不连续的变化现象。

但是，突变理论产生的时间毕竟很短，它的理论还远不够完善，对它也还存在着不同的意见和看法，因此，现在对它做出更准确的评价，似乎为时尚早。

（4）电子计算机对数学发展的影响

20世纪科学技术的卓越成就之一是电子计算机的产生。自从1944年第一台计算机问世以来，计算机已经深深地影响到整个人类的生活，包括数学在内，人们普遍认为，电子计算机的出现标志着一个新时代——信息时代的到来。

1．四色问题的解决

四色问题称四色猜想，1852年由伦敦大学的学生佛·格思里（Francis Guthrie）提出，当时他观察到：如果近邻区域着以不同的颜色，那么用四种颜色足够给任何画在平面上的地图着色。他由此提出疑问：是否能够从数学上对此加以证明。

2．几何学的新动向

自欧几里得时代以来，几何学一直是基础数学的一个主要支柱，由于本世纪中期的新数学运动的影响，几何学经历了几十年衰退，但是到了七十年代，数学中的几何学观念又开始复兴，这主要靠的是新理论工具的开发和计算机图像显示的威力，客观地说，几何学在数学上又在起着核心作用，就如同在古希腊时代一样。举例来说，在1986年的3名菲尔兹奖获得者中，几何学占了2名，这是为了奖励迈克尔·弗里德曼（Michael Freedman）和西蒙·唐纳森（Simou Donaldson）在四维流形几何方面的贡献。

计算机绘图为把几何学技术推广到其它数学领域提供了新的有效手段。开始相互合作，最近在美国明尼苏达大学进行的几何学大型计算的研究项目就是一个例子。

3．非线性动力学

对非线性问题（如流体的紊流）的数学的分析只是在最近几年才能进行，这是因为新的解析法、巧妙的数值模拟和计算机图象显示，使这类问题的解决已成为可能。应用范围从机翼剖面的设计到等离体物理学，从油料回收到燃烧过程的研究等。