高数小结论(48个小结论,以后会继续增添)

第一篇：高数小结论(48个小结论,以后会继续增添)

高数小结论

1． 等价无穷小（x→0）

(1).sinxxtanxe1ln[1x]arcsinxarctanx(2).1cosxax12x2(3).(1x)1ax(4).a1xlna(5).1n1x(6).n1x1xnxnxlna0|x|x

(7).loga(1x)0x2时2时122．

x2sinxxtanx1cosx3．如果limU1,limV则limUVelim(U1)V

4.f(x)f(x)2f(x)f(x)表示偶函数，表示奇函数

2直线L:ykxb为函数yf(x)的渐近线的充分必要条件为：5．klimf(x)xxblim[f(x)kx]x这里的包括和

6． 常见函数的导数

(记熟后解题快)(x)'12x11()'2xx(x)'x(1lnx)

xx7.关于n阶导数的几个重要公式(sinx)(n)sin(xnn2)n2)(cosx)(n)cos(xnn2)n2)(sinkx)(x)(e)xn(n)(n)ksin(x(coskx)(a)(x(n)(n)kcos(xxnn!e(n)x(a)(lna))(n)

n1(n)1txn!(tx)(1)n1(1tx)(1)n!(tx)n1n[ln(tx)](n)(n1)!n(tx)8.泰勒公式(用来求极限)sinxxe1xaxx33!x2xx55!3o(x)o(x)x236cosx1x2!2xx4!24o(x)x352!3!ln(1x)xa(a1)(a2)3!xo(x)cotx1xx33323o(x)3(1x)1axa(a1)2!3 tanxxx33o(x)16xxo(x)333o(x)x16xo(x)33

arcsinxxarctanxxarccosx2323o(x)xo(x)333tan(tanx)xsin(sinx)x13xo(x)339． 重要不定积分

(sinx)dx(2n1)cosx(sinx)secxdx2n1(secx)(2n2)dx(sinx)(cosx)(2n1)(2n1)(secx)2nd(tanx)(2n1)

(tanx)(cosx)1dx(2n1)sinxx2[1(cotx)](cotx)(2n1)2ndcotx

1cosxdxtanC

1sinxn1dxtanxsecxC21tanx2C

(tanx)dx(cotx)n(tanx)(cotx)n(secx)(secx)(cscx)(cscx)22dx(tanx)nd(tanx)1(tanx)n2

22dxndx(cotx)d(cotx)1(cotx)2

tanxdxln|cosx|Ccotxdxln|sinx|C

secxdxln|secxtanx|Ccscxdxln|cscxcotx|Cx214

(sinx)dx(cox)dx2214sin2xCx2

sin2xC(tanx)dxtanxxC(cotx)22

dxcotxxCxxdx2adx221aarctanxaCxa|C22xadx22ln|x12aln|adx22xaxaxa

|Cax22arcsin2Ceeaxdx222a2aarcsin2xax22axC22

2xadx2e2ln|xax2xa|x2xaC22axcosbxdxsinbxdxabe2ax(acosbxbsinbx)C

(asinbxbcosbx)Caxab210． y=sinwx(w>0)

它的半个周期与x轴围成的面积为s=2/w

把它的半个周期分成三等分,中间的那部分面积为s’=1/w

显然s=2s’

SS'w0sinwxdx2w1w

3w23wsinwxdx11.定积分部分

（1）如果函数f（x）在[-a,a]上连续

（2）aaa0f(x)dx[fx()fx(dx)]0(如果fx(为)奇函数a0))2f(xdx)如(果fx(为)偶函数coskxdx0sinkxdx0(coskx)

2dx(sinkx)dx2设k,lN,且k则,l0(3)coskxsilnxdxcolsxdxsilnxdxcoskx

00sinkxaTa(4).设f(x)是以周期为T的连续函数

(1).f(x)dxT0Tf(x)dxT02T2f(x)dx

(2).anTaf(x)dxnf(x)dx(5).特殊积分



00000eeeeu2dudx1a2(a0)wpwppw2222axptsinwtdtcoswtdtdx(p0,w0)(p0,w0)

ptsinxx2(6).关于三角函数定积分简化(注意：f(x)是定义在[0,1]上的函数)(1)20f(sinx)dx20f(cosx)dx20特别的2020(sinx)dxn20(cosx)dxn(2)0f(sinx)dx2nf(sinx)dx220nf(cosx)dx20特别的(sinx)dx20(sinx)dx2(cosx)dxn(3)(cosx)dx0n0(n为奇数)202(4)20(cosx)dxn（n为偶数）(n为奇数)(sinx)dxn04(5)2020(sinx)dxn（n为偶数）(n为奇数)(cosx)dxn04(6)(7)2020(cosx)dxnn（n为偶数）(sinx)dx(sinx)dxnn20(cosx)dx..................23122(n为正奇数)20n1n3n5nnn2n4n2n4n1n3n5

(n为正偶数)(8)0xf(sinx)dx20f(sinx)dx11.图像分段的函数不一定是分段函数（如y=1/x）分段函数的图像也可以是一条不断开的曲线（如y=|x|）

12.如何证明一个数列是发散的？

（1）只要找到的两个子数列收敛于不同的值

（2）找一个发散的子数列 13.必记极限

(1)limnn!nnn0(2)limx0nn(3)limxlnx0

(4)limx1x0x(5)limannn!014.函数f(x)在[a,b]有定义，且|f(x)|在[a,b]上可积，此时f(x)在[a,b]上的积分不一定存在 列如：

f(x)15． 注意

若f'(a)0，只能得到结论：f(x)在a点严格增加。即x(a,a)有f(x)f(a)x(a,a)有f(x)f(a);但不能得到结论：f(x)在U（a,）内单调增大1-1x为有理数x为无理数

16．设f(x)=|x-a|g(x),其中g(x)在x=a处连续，则f(x)在x=a处可导g(a)=0应用：求函数f(x)=|x(x-1)(x-2)|(x-3x+2)的可导的点显然为1,22

17.函数取得极值的第二充分条件

设f(x)在x0处n阶可导，且f'(x0)f''(x0)f'''(x0)ff(n)(n1)(x0)0(x0)0(2n)(n)(1)n2k且f(2)n2k且f(3)n=2k+1(x0)0f(x0)为极大值(x0)0f(x0)为极小值f(x0)不是极值点

(n)18.拐点的第二充分条件

设f(x)在x0处n阶可导（n>2且为奇数）

若f''(x0)f'''(x0)f则(x0,f(x0))为拐点(n1)(x)00，fn((x)00)19.用求导法判断数列的单调性 设An1f(An),AnI则：(1)(2)A2A1A2A1若f(x)在区间I上单调递增{An}{An}

注意：若f(x)在区间I上单调递减则：A2n1与A2n两数列具有相反的单调性20.题目中如果出现f''(x)0f'(x)单调 21．ln(x1x2)x22． 无穷小小谈

当x0时，有(1)当0nmxmn(x0)

o(x)mnn(2)当0nmo(x)o(x)o(x)(3)当0nmo(x)xmnmo(xmn)

注意：两个o()不可以相除(4)当m,n0xo(x)o(xmnnmn))o(x)o(x)o(xmn23． 无穷个无穷小之和与无穷个无穷小之积一定都是无穷小吗？？？？？

哈哈！显然都是NO111之和：lim(nnnn1n)1其(中1有无穷多个n))

之积：取knn!10n(其中nk,3n1,2,3n

!)显然1nn!n!n!n!n(!)2nnnn(24．反三角

(1)arctxan1arctanx2t(2)arcsin(sint),0t

2

t求A(b),2t25．

a2a1|xb|dx的最小值a1a22时Amin(b)14

(a1a2)2结论：当b 26.ba(xab2)dx0

27．lnxdx1

0128．10x(1x)dx19mn10x(1x)dxnm作用：x(1x)dx010

x(1x)dx9这下就好求了29．

若f(x)在[a,b]上可积则f(x)dxabba1f(abx)dxbabaf(x)dx2[f(x)f(abx)]dx特别的当a0时，有如下推论：（1）f(x)dx0bb0

f(bx)dx（2）f(x)dx0b12b0[f(x)f(bx)]dx若f(x)在[a,b]上可积,则：30．0f(x)dx01x211f()dxx2C

0[f(x)1x2 1f()]dxx31．f(x)f'(x)dxf(x)2232．连续函数必有原函数且原函数连续，若f（x）是不连续的分段函数，则f（x）的原函数就一定不存在 33．

有极限连续可微偏导连续 

有定义偏导存在34．对

0f(sinx)dx220f(sinx)dx进行推广：设f(x)在[0,1]上连续，且abn(n0,1,2...)有以下结论：（1）n为奇数 n为偶数babaxf(sinx)dxxf(cosx)dxn2n2babaf(sinx)dxf(cosx)dx（2）若f(x)为偶函数，则

baxf(sinx)dxxf(cosx)dxn2n2babf(sinx)dxf(cosx)dxbaa35． 线、面积分中的对称简化

（1）对弧长的曲线积分设连续且分段光滑的平面线弧L关于y轴对称，函数f(x,y)在L上有定义L 且连续，为x0的半个区域，则：2若f(-x,y)=f(x,y)若f(-x,y)=-f(x,y)例一2

Lf(x,y)dsf(x,y)ds222L2f(x,y)ds2L0I=(xyx)ds,L为y=axLLL解：I=(xyx)dsxydsxds02LxdsL22222acosad02222a3

2例二IL(xy)ds,L为xyR32解：IL(xy)ds=0自己体会一下，为什么？）xds+yds=0+0=（LL33（2）对坐标的曲线积分A.设连续且分段光滑的平面有向曲线弧L关于y轴对称，函数P(x,y)在L上有定义L且连续，为x0的半个区域，则：2若P(-x,y)=P(x,y)若P(-x,y)=-P(x,y)例一解:I例二解：I

LP(x,y)dx2LP(x,y)dx2LP(x,y)dx0Rx,方向为从左到右22Lxy(ydxxdy),其中L为y22LLLxy(ydxxdy)xydxxydy0Lxydy0(这要用到下面B的结论)2222222

ILxydy,其中L为双纽线的右半支：(x+y)=a(x-y),x0的逆时针方向2由于图像关于x轴对称，则I0 B.设连续且分段光滑的平面有向曲线弧L关于y轴对称，函数P(x,y)在L上有定义且在左半平面部分L1与右半平面部分L2方向相反，则：若P(-x,y)=P(x,y)若P(-x,y)=-P(x,y)LP(x,y)dy0(上面讲到的就是用的这个结论)LP(x,y)dy2P(x,y)dyL1

注意：这里的方向相反是指：关于哪个轴对称就关于谁的方向相反对于关于x轴对称的情况就不写了，其实是一个道理！一定要把A,B好好的比较看看两者之间的区别与联系例一ILx|y|dx,其中L为yx上从A(1,1)到B(1,1)的一段弧2解：L关于x轴对称且方向相反且被积函数x|y|为y的偶函数故I=0例二IdxdyABCD|x||y|,其中ABCD是A(1,0)B(0,1)C(-1,0)D(0,-1)为顶点的正方形的边界线，方向为逆时针方向解：I

dxABCD|x||y|+dyABCD|x||y|1|x||y|第一部分积分：曲线关于x轴对称，且方向相反，而函数是y的偶函数，故积分为0，同理第二部分积分也为0故I=0(3)对面积的曲面积分设分片光滑的曲面关于yoz平面对称，f(x,y,z)在上连续，则有：当f(-x,y,z)=-f(x,y,z)时，当f(-x,y,z)=f(x,y,z)时2是中x0的一半f(x,y,z)ds0f(x,y,z)ds=2

2f(x,y,z)ds对于关于zox,xoy的平面对称有类似的性质例一I(xyz)ds,其中为球面xyza上z（h0

解：关于xoz面对称，故Ia4

(4)对坐标的曲面积分设分片光滑的曲面关于yoz面对称，函数p(x,y,z)在上连续，一半，则：当f(-x,y,z)=f(x,y,z)时，当f(-x,y,z)=-f(x,y,z)时2是中x0的

f(x,y,z)dydz0f(x,y,z)dydz=22f(x,y,z)dydz 例一Ixyzdxdy,其中是球面xyz1的外侧在x0,y0222的部分。解：关于xoy面对称，故I例二I=xyzdxdy22xyzdxdy25

2xdydzydzdxzdxdy,其中为曲线弧段z=y(x0,1z4)222绕z轴旋转所成的旋转曲面的非封闭侧。解：显然曲面关于yoz,zox面对称，故Izdxdy212

36．轮换对称性在积分计算中的应用举例

1.设函数f(x,y)在有界闭区域D上连续，D对坐标x,y具有轮换对称性，则：Df(x,y)dxdyDf(y,x)dxdy

何为轮换对称性：将x,y互换后D不变

例一I(3x2y)dxdy,其中D为xy2与两坐标轴围成D解：D关于x,y具有轮换对称性，则:I例二I2(3x2y)dxdy=D(3y2x)dxdyD52(xy)dxdy5xdxdyDD203

22(yx)dxdy222xyR解：I2(yx)dxdy22222(xy)dxdyI,故I0222xyRxyR2.设函数f(x,y,z)在空间有界闭区域上连续，对坐标x,y具有轮换对称性，则：f(x,y,z)dvf(y,x,z)dv2222例一求(xyz)dv,为x0,y0,z0,xyzR解：由于积分区域关于x,y,z具有轮换对称性，则：xdv=ydvzdv(xyz)dv3zdv223162R24例二求Ihh0）围成的区域(zxy)dv,为zxy和z（解：积分区域关于x,y具有轮换对称性I(zxy)dv22(zyx)dv22122zdv3h3

3.设L是xoy面上一条光滑的曲线弧，L对坐标x,y具有乱换对称性，f(x,y)在L上连续，则：Lf(x,y)dsLf(y,x)ds22232例一IxL3ds,L为星形线xy3a3解：显然L对x,y具有轮换对称性，则：223dsydsL2I例二xL31232(x2L2y3)ds22122253a3ds3aL求(xz)ds,F是圆周xyzR,xyz0F解：F关于x,y,z具有轮换对称性，则：xds=yds=zds,F2FF222xds=yds=zdsFFF2故(xz)dsF13(xF2yz)ds213(xyz)dsFR23dsF2R33

4.设L是xoy面上一条光滑的或者分段光滑的有向曲线弧，L对坐标x,y具有轮换对称性，f(x,y)在L上连续，则：LLf(x,y)dsf(y,x)dsL

或者f(x,y)ds+f(y,x)ds=0L例一Iydxxdy,L为xyR上A(R,0)到B(0,R)的一段弧LL222222解：L对坐标x,y具有轮换对称性，故ydxxdy=0例二I33ydxydx,L为双纽线(xy)2axy位于第一象限部分L

取逆时针方向22解：L关于x,y具有轮换对称性，则y3dxx3dy=0L5.设是光滑曲面或者分片光滑曲面，对坐标x,y具有轮换对称性，f(x,y,z)在上连续，则：例一f(x,y,z)dsf(y,x,z)dsI解：(x212y214z)ds,:xyzR222222Ixds2(x122yds1422zds121473212yz)ds(1)zds2(1例二I解：11)43(xyz)ds222222R24(axbycz)ds,:xyzR位于第一挂限部分xdsydszds14

I(abc)zdsR(abc)36.设是光滑曲面或者分片光滑曲面，对坐标x,y具有轮换对称性，f(x,y,z)在上连续，则：

f(x,y,z)dydzf(y,x,z)dzdx例一I(yz)dydz(zx)dzdx(xy)dxdy,为zxy22(0zh)的外侧解：关于x,y具有轮换对称性，则：(yz)dydz=(xz)dxdz(xy)dxdy(yx)dydx0xydydzyzdzdxzxdxdy,为平面xyz1位于第一挂限的外侧所以I0例二I解：关于x,y,z具有轮换对称性，则：xydydzzydydx18zxdxdyI3xydydz

37.广义的罗尔定理

设f(x)满足：(1)在区间(a,)上连续(2)在区间(a,)内可导(3)limf(x)limf(x)xax

则：a使得f'()038.需要记忆的反例

(1)(2)f(x)|x|在x0处不可导f(x)1f(x)0x0x0在x0点不可导应用：设f(0)0,则f(x)在x0点处可导的充分必要条件为:(A)lim(C)limf(1cosh)hh2存在存在h0(B)limf(1e)hhh存在存在h0f(hsinh)2h0(D)limf(2h)f(h)h0用(1)检验AC,用(2)检验D,答案为B(1)若','且lim则：()('')(2)若','且lim则：()('')139.1

40.特别要注意的地方

设f(x)为(,)上的连续，函数F(x)为f(x)的一原函数，则：(1)f(x)为奇函数f(x)任意原函数F(x)为偶函数(2)f(x)为偶函数f(x)的原函数只有一个是奇函数,即为f(t)dt0x(3)f(x)任意原函数F(x)为周期函数f(x)为周期函数(4)f(x)以T为周期的函数且T0

f(x)dx0f(x)任意原函数F(x)以T为周期(5)函数的单调性与其原函数的单调性之间没有逻辑上的因果关系

41.几个极限之间的关系

1.若limanan则lima1a2annnna2.若limana且an0n则lim则limnna1a2anaanaanan1a3.若limanan1na且an0nn

n但要注意：若limnana且an0，不能推出lim反例：an2(n为偶数)=3(n为奇数)

42.函数与其反函数图像交点问题

函数与其反函数图像交点有如下两个结论：(1)设f(x)是增函数，其反函数为f(x)，如果这两个函数图像有交点，则交点必在函数yx上(2)设f(x)是减函数，其反函数为f(x)，如果这两个函数图像有交点，则交点不一定都在函数yx上例如：yx2,其反函数就是其本身11

43．阶乘不等式

阶乘不等式在极限证明中的应用(1)设n为自然数，则(应用：证明limn!nnnnnn)n!e()e2n0nne()n!n!2e,n时，e0，证明:nlim0nnnnnnn22n证明limannn!0(a为任意实数)证明:a0，显然成立a0,0|aen|a|enn||a|()()n!nnn|a|e|a|enn时，0,()0nn根据夹逼准则：lim(2)一些不常用的，可以记忆玩玩1设p2且p为实常数，则n!(2当n4时，n!(n)。nlnn。annn!n0np)p

3当n2时，则n!(lnn)

44．中值定理

罗尔定理yf(x)满足:(1)在区间[a,b]上连续(2)区间(a,b)内可导(3)f(a)f(b)在区间(a,b)内至少存在一点使得f'()0注意：该定理的条件只是充分的，本定理可以推广为：yf(x)在区间(a,b)内可导,limf(x)limf(x)xaxb

在区间(a,b)内至少存在一点使得f'()0拉格朗日定理yf(x)满足:(1)在区间[a,b]上连续(2)区间(a,b)内可导在区间(a,b)内至少存在一点使得f'()f(b)f(a)ba

柯西定理f(x)及F(x)满足:(1)在区间[a,b]上连续(2)区间(a,b)内可导(3)区间(a,b)内F'(x)0在区间(a,b)内至少存在一点使得f(b)f(a)F(b)F(a)f'()F'()

45．需注意的地方

可积与连续之间的关系1.闭区间上的连续函数一定是可积的；2.可积函数不一定是连续的，但是一定有无穷多个处处稠密的连续点可积与存在原函数之间的关系1.f(x)存在原函数，但其不一定可积，例如f(x)1x,x(0,)

2.f(x)在[a,b]上可积，但f(x)不一定存在原函数，例如： 46．用泰勒公式分解既约分式

用泰勒公式分解既约真分式(以下只给出结论)设P(x)Q(x)是既约真分式，Q(x)在复数范围内可以分解为(xa1)1(xa2)2(xar)r,则nnn其能唯一分解为：P(x)Q(x)[b11n1(xa1)bi1b12n11(xa1)bi2b1n1(xa1)bini][b21n21nr(xa2)b22n212nr1(xa2)b2n2(xa2)br][j(xai)ni(xai)ni1(xa1)][brbrnr(xar)(xar)(xar)]其中bi(i1,2,,r;j1,2,ni)都是待定的常数设fi(x)例一P(x)(xa1)1(xa2)2(xai1)将3x(x1)(x1)2nnni1(xai1)ni1(xar)nr,且bijfi(j1)(ai)(j1)!分成部分分式3x,则f1(1)3434,f2(1)2(x1)2解：令f1(x)f2(x)例二将(x1)3xx13x2,则f2'(1)=3[1321](x1)(x1)24x1x12x7x(x1)(x3)分成部分分式,f1(0)f2(1)94112112(x3)73解：f1(x)f2(x)f3(x)2x7(x1)(x3)2x7x(x3)2x7x(x1),73x,f3(3)94(x1)2x7x(x1)(x3)=由此可见此法对分母都是一次时特别简单例三将9x24x48x(x1)(x2)3432分成部分分式2解：f1(x)f2(x)f2'''(2)3!39x24x48x(x2)324,f1(1)1,f2(2)24,f2'(2)12,f2''(2)2!9x24x48x(x1)12

69x24x48x(x1)(x2)41x124(x2)412(x2)36(x2)21x247．求不定积分的几种特殊技巧 求定积分的几种特殊技巧1.定义在对称区间[a,b]上的任何函数都可以表示为一个奇函数与一个偶函数之和f(x)f(x)2f(x)f(x)表示偶函数，表示奇函数22.f(x)定义在对称区间[a,-a]上f(x)为奇函数时，f(x)为偶函数时，2x2aaf(x)dx0f(x)dx2f(x)dx0aaa(1)求定积分xln(1e)dx(x)f(x)f(x)2x22xln(1e)xln(1e2xxx)xln(1e)x12x表示奇函数12x]dx2222xln(1e)dx=xln(1e)12x212xdx222[xln(1e)x2212xdx2020xdx1283ln(x1x)1x22(2)求定积分1dx2值得注意的是一眼看去ln(x1x)1x2不是奇函数，实际求一下发现它是奇函数3.巧用几何意义求定积分求ba(xa)(bx)dx(ba)(xa)(bx)(ba2)(x2解：被积函数f(x)ab2)是以(2ab2,0)为ba11ba222圆心，为半径的上半圆，上半圆的面积为S=r()(ba)22228根据定积分的几何意义，ba(xa)(bx)dx8(ba)24.前面我面有这样一个结论：xf(sinx)dx0ba20f(sinx)dx现在我们再给出特殊一点的式子：xf(x)dx?以下有结论：设函数f(x)在[a,b]上连续，且f(x)关于xab2对称，则：baxf(x)dxab2baf(x)dx

48．矩阵积分法

设ui(ui1)'vivi1dx(i1,2,)函数序列一：u0,u1,u2,un,函数序列二：v0,v1,v2,vn,一.形如xsinaxdx的积分函数序列一：u0x,u1nx函数序列二：v0sinax,v1nn1n,unn!cosax,vn(1)ann1asin[ax2n]函数序列一和函数序列二作为矩阵的一二行，构造一个辅助矩阵，就可以方便的求得结果求(x2x3)sin3xdxx2x3sin3x1cosx3333x226x19sin3x1276cos3x1810sin3x111132原式(x2x3)(cosx)(3x2)(sin3x)6x(cos3x)6(sin3x)392781cos3x(x2x3)3nnax13(3x2)92sin3x2x9cos3x227sin3xC注：按unvn1规则进行斜线相乘，每一项正负交替出现二.形如xcosaxdx，xedx的积分方法与上述一样三.形如eaxsinbxdx的积分2函数序列一：u0sinbx,u1bcosbx,u2bsinbx函数序列二：v0e,v1求e2xax1ae,v2ax1a2eaxsin3xdx的积分3cos3x12122xsin3x9sin3xe2xe2x1414e2xe2x原式esin3x2x3cos3x(1)213sin3x2212x(9sin3x)edx4cos3x)e2x

解方程解得：esin3xdx(313C最后一项是(1)n2u2v2dx,实际上n就取2,最后一项就是u2v2dx49.一个值得关注的题目

第二篇：高数小结论

高数小结论

1． 等价无穷小（x→0）

(1).sinxxtanxex1ln[1x]arcsinxarctanx1(2).1cosxx22(3).(1x)a1ax(4).ax1xlnax(5).1n1xnx(6).n1x1n(7).loga(1x)0x2．

xlna0|x|2时2时

sinxxtanx11cosxx22 3．如果limU1,limV则limUeVlim(U1)V4.[f(x)+f(-x)]/2表示偶函数

[f(x)-f(-x)]/2表示奇函数

5．直线L：y=kx+b 为y=f(x)的渐近线的充分必要条件为：

k=lim f(x)/x(x→∞)

b=lim [f(x)-kx](x→∞)注意：这里的∞，包括+∞和-∞ 要分开讨论 6． 常见函数的导数

(记熟后解题快)

(√x)’=1/2√x

(1/x)’=-1/x^2

(x^x)’=(x^x)(1+lnx)

7.关于n阶导数的几个重要公式

(sinx)^(n)=sin(x+nπ/2)

(cosx)^(n)=cos(x+nπ/2)

(sinkx)^(n)=k^nsin(kx+nπ/2)

(coskx)^(n)=k^ncos(kx+nπ/2)

(x^n)^(n)=n！

(a^x)^(n)=a^x(lna)^n

(e^x)^(n)=e^x

(1/t-x)^(n)=n！/(t-x)^(n+1)

(1/t+x)^(n)= n！(-1)^n/(t+x)^(n+1)

[ln(t+x)]^(n)=(n-1)！(-1)^(n-1)/(t+x)^n 8.泰勒公式(用来求极限)

sinx=x-x^3/3！+x^5/5！+o(x^6)

cosx=1-x^2/2！+x^4/4！+o(x^5)

e^x=1+x+x^2/2！+x^3/3！+o(x^3)

ln(1+x)=x-(1/2)x^2+(1/3)x^3+o(x^3)

(1+x)^a=1+ax+[a(a-1)/2！]x^2+o(x^2)

tanx=x+(1/3)x^3+o(x^3)

arctanx=x-(1/3)x^3+o(x^3)

cotx=1/x –x/3+o(x)

tan(tanx)=x+(2/3)x^3+o(x^3)sin(sinx)=x-(1/3)x^3+o(x^3)9． 重要不定积分

secxdx(secx)(2n2)dx(secx)2nd(tanx)(sinx)(2n1)cosx(sinx)2n1(sinx)(2n1)(cosx)(2n1)(tanx)(2n1)dx[1(cotx)2]n(cosx)(2n1)sinx(cotx)(2n1)dx dx1xdxtanC 1cosx212dxtanxsecxCC 1sinxx1tan2(secx)2nd(tanx)(tanx)dx(tanx)dx(tanx)22(secx)1(tanx)nn(cscx)2(cotx)nd(cotx)(cotx)dx(cotx)(cscx)2dx1(cotx)2 nntanxdxln|cosx|Ccotxdxln|sinx|Csecxdxln|secxtanx|Ccscxdxln|cscxcotx|C x1sin2xC24x12(cox)dxsin2xC242(sinx)dx2(tanx)dxtanxxC(cotx)2dxcotxxCdx1xarctanCx2a2aadx22x2a2ln|xxa|C

dx1xax2a22aln|xa|CdxxarcsinCa2x2aa2xx2axdxarcsinax2C2a2

2ax2x2a2dxln|xx2a2|xa2C2222axeaxecosbxdxa2b2(acosbxbsinbx)C axeaxesinbxdx(asinbxbcosbx)Ca2b210． y=sinwx(w>0)

它的半个周期与x轴围成的面积为s=2/w

把它的半个周期分成三等分,中间的那部分面积为s’=1/w

显然s=2s’

20w 1S'23wsinwxdxw3wSwsinwxdx11.定积分部分

（1）如果函数f（x）在[-a,a]上连续

aaf(x)dx[fx()fx(dx)]0a0(如果fx(为奇函数)a0)2f(xdx)如果(fx(为偶函数))（2）

coskxdx0sinkxdx0 (coskx)^2dx(sinkx)^2dx

(3).设k,lN,且kl,则coskxsinlxdx0coskxcoslxdx0

sinkxsinlxdx0(4).设f(x)是以周期为T的连续函数

(1).aTaf(x)dxf(x)dx0TT2T2f(x)dx

(2).anTaf(x)dxnf(x)dx0T(5).特殊积分



0eudueaxdx221(a0)a0w

(p0,w0)0p2w2pptecoswtdt(p0,w0)0p2w2sinxdx0x2(6).关于三角函数定积分简化(注意：f(x)是定义在[0,1]上的函数)eptsinwtdt20

20(1)f(sxindx)f(2)f(sxindx)0(xcdxos)特别的20x(dxsin)20nxndx(cos)0n20n00202fx(sdxin)(co特别的s)f2xdx20xdx(sin)xdx2(s2inx)ndx2(cos)(3)0n(cxosdx)(n为奇数)022(coxsndx)n(sxi)ndx（n为偶数）(n为奇数)(4)20042(sinx)ndx0（n为偶数）(n为奇数)(5)(cosx)ndx022042(cosx)ndx020（n为偶数）(6)(sinx)ndx(cosx)ndx00(7)2(sinx)ndxn1n3n52.........(n为正奇数)nn2n43n1n3n51.........(n为正偶数)nn2n422(8)xf(sinx)dx020f(sinx)dx

11.图像分段的函数不一定是分段函数（如y=1/x）分段函数的图像也可以是一条不断开的曲线（如y=|x|）

12.如何证明一个数列是发散的？

（1）只要找到的两个子数列收敛于不同的值

（2）找一个发散的子数列 13.必记极限

n!(1)limnnn 01(2)linmnn(3)lixmxlnx0x(4)lixmx00114.函数f(x)在[a,b]有定义，且|f(x)|在[a,b]上可积，此时f(x)在[a,b]上的积分不一定存在 列如：

f(x)15． 注意 1-1x为有理数

x为无理数若f'(a)0，只能得到结论：f(x)在a点严格增加。即x(a,a)有f(x)f(a)x(a,a)有f(x)f(a);但不能得到结论：f(x)在U（a,）内单调增大15．

设f(x)=|x-a|g(x),其中g(x)在x=a处连续，则f(x)在x=a处可导g(a)=0应用：求函数f(x)=|x(x-1)(x-2)|(x2-3x+2)的可导的点显然为1,216.函数取得极值的第二充分条件

设f(x)在x0处n阶可导，且f'(x0)f''(x0)f'''(x0)f(n1)(x0)0f(n)(x0)0(2n)(1)n2k且f(n)(x0)0f(x0)为极大值(2)n2k且f(n)(x0)0f(x0)为极小值(3)n=2k+117.拐点的第二充分条件

f(x0)不是极值点设f(x)在x0处n阶可导（n>2且为奇数）

若f''(x)f'''(x)f则(x,f(x))为拐点0000(n1)(x)0，f0n()(x)00.用求导法判断数列的单调性 设An1f(An),AnI若f(x)在区间I上单调递增则：(1)(2)A2A1{An}A2A1{An}

注意：若f(x)在区间I上单调递减则：A2n1与A2n两数列具有相反的单调性19.题目中如果出现f''(x)0f'(x)单调 20．ln(x1x2)x(x0)21． 无穷小小谈

当x0时，有(1)当0nmxmo(xn)(2)当0nmo(xm)o(xn)o(xn)o(xm)mn(3)当0nmo(x)nx注意：两个o()不可以相除(4)当m,n0xmo(xn)o(xmn)o(xm)o(xn)o(xmn)22． 无穷个无穷小之和与无穷个无穷小之积一定都是无穷小吗？？？？？

哈哈！显然都是NO11111之和：lim()1其中(有无穷多个)nnnnnn

kn之积：取0(其中nk,1,2,3)n!1n2n3nnnn(!)n显然1nn!n!n!n!n(!)23．反三角

(1)arctxan

1arctanx2t,0t2

(2)arcsin(sint)t,a2a12t24．

求A(b)|xb|dx的最小值aa结论：当b12时21Amin(b)(a1a2)24

25.ba(xab)dx0 226．lnxdx1

010127． x(1x)dxxn(1x)mdx0191900mn1

作用：x(1x)dxx(1x)dx这下就好求了

第三篇：高数小结论

高数小结论

1． 等价无穷小（x→0）

(1).sinxxtanxex1ln[1x]arcsinxarctanx1(2).1cosxx22(3).(1x)a1ax(4).ax1xlnax(5).1n1xnx(6).n1x1n(7).loga(1x)0x2．

xlna0|x|2时2时

sinxxtanx11cosxx22 3．如果limU1,limV则limUeVlim(U1)V4.f(x)f(x)f(x)f(x)表示偶函数，表示奇函数

22直线L:ykxb为函数yf(x)的渐近线的充分必要条件为：5． f(x)klimblim[f(x)kx]这里的包括和xxx6． 常见函数的导数

(记熟后解题快)(x)'12x11()'2xx(xx)'xx(1lnx)

7.关于n阶导数的几个重要公式

n)2n(sinkx)(n)knsin(x)2(xn)(n)n!(sinx)(n)sin(x(ex)(n)ex1(n)(1)nn!()tx(tx)n1n)2n(coskx)(n)kncos(x)2(ax)(n)(ax)(lna)n

1(n)n!()tx(tx)n1(cosx)(n)cos(x[ln(tx)](n)(1)n1(n1)!(tx)n1(n)(1)nn!n()aaxb(axb)n18.泰勒公式(用来求极限)

(ln(axb))(n)(1)n1(n1)!a(axb)nnx3x5x2x46sinxxo(x)cosx1o(x5)3!5!2!4!x2x3x2x3x3e1xo(x)ln(1x)xo(x3)2!3!23a(a1)2a(a1)(a2)3(1x)a1axxxo(x3)2!3!x31x tanxx o(x3)cotxo(x)3x311arcsinxxx3o(x3)arccosxxx3o(x3)626x3arctanxxo(x3)321tan(tanx)xx3o(x3)sin(sinx)xx3o(x3)339． 重要不定积分

secxdx(secx)(2n2)dx(secx)2nd(tanx)(sinx)(2n1)cosx(sinx)2n1(sinx)(2n1)(tanx)(2n1)(cosx)(2n1)dx[1(cotx)2]n(cosx)(2n1)sinx(cotx)(2n1)dcotx dx1xdxtanC 1cosx212dxtanxsecxCC 1sinxx1tan2(secx)2nd(tanx)(tanx)dx(tanx)dx(tanx)22(secx)1(tanx)nn(cscx)2(cotx)nd(cotx)(cotx)dx(cotx)(cscx)2dx1(cotx)2 nntanxdxln|cosx|C cotxdxln|sinx|Csecxdxln|secxtanx|C cscxdxln|cscxcotx|Cx1sin2xC24

x12(cox)dxsin2xC242(sinx)dx2(tanx)dxtanxxC(cotx)dxcotxxC2

dx1xarctanCx2a2aadx22x2a2ln|xxa|C

dx1xax2a22aln|xa|CdxxarcsinCa2x2aa2xx2axdxarcsinax2C2a2 2ax2x2a2dxln|xx2a2|xa2C2222axeaxecosbxdxa2b2(acosbxbsinbx)C axeaxesinbxdx(asinbxbcosbx)Ca2b210． y=sinwx(w>0)

它的半个周期与x轴围成的面积为s=2/w

把它的半个周期分成三等分,中间的那部分面积为s’=1/w

显然s=2s’

20w 1S'23wsinwxdxw3wSwsinwxdx11.定积分部分

（1）如果函数f（x）在[-a,a]上连续

aaf(x)dx[fx()fx(dx)]0a0(如果fx(为奇函数)a0)2f(xdx)如果(fx(为偶函数)2)（2）coskxdxsinkxdx0

(coskx)dx(sinkx)dx

2 设k,lN,且k则,l:(3)

kxcosaTsilnxdxTcoskxcolsxdxT2T2sinkxsilnxdx0

(4).设f(x)是以周期为T的连续函数

(1).af(x)dxf(x)dx0f(x)dx

(2).anTaf(x)dxnf(x)dx0T(5).特殊积分



0eudueaxdx221(a0)a0w

(p0,w0)0p2w2pptecoswtdt(p0,w0)0p2w2sinxdx0x2(6).关于三角函数定积分简化(注意：f(x)是定义在[0,1]上的函数)eptsinwtdtn0(1)20f(sinx)dx20f(cosx)dx0特别的(sinx)dx2(cosx)ndx20(2)f(sinx)dx22f(sinx)dx22f(cosx)dx00特别的(sinx)dx22(sinx)dx22(cosx)ndx000nn(3)(cosx)ndx00(n为奇数)022(cosx)ndx0（n为偶数）(n为奇数)(4)(5)20(sinx)ndx42(sinx)ndx0（n为偶数）(n为奇数)20(cosx)ndx042(cosx)ndx0（n为偶数）(6)20(sinx)dxn20(cosx)ndx0(7)2(sinx)ndxn1n3n52.........(n为正奇数)nn2n43n1n3n51.........(n为正偶数)nn2n422

(8)xf(sinx)dx020f(sinx)dx11.图像分段的函数不一定是分段函数（如y=1/x）分段函数的图像也可以是一条不断开的曲线（如y=|x|）

12.如何证明一个数列是发散的？

（1）只要找到的两个子数列收敛于不同的值

（2）找一个发散的子数列 13.必记极限

(1)limnnn!0nn(2)limnn(3)limxlnx0 x0x(4)limx1x0an(5)lim0nn!14.函数f(x)在[a,b]有定义，且|f(x)|在[a,b]上可积，此时f(x)在[a,b]上的积分不一定存在 列如：

f(x)15． 注意 1-1x为有理数

x为无理数若f'(a)0，只能得到结论：f(x)在a点严格增加。即x(a,a)有f(x)f(a)x(a,a)有f(x)f(a);但不能得到结论：f(x)在U（a,）内单调增大16．

设f(x)=|x-a|g(x),其中g(x)在x=a处连续，则f(x)在x=a处可导g(a)=0应用：求函数f(x)=|x(x-1)(x-2)|(x2-3x+2)的可导的点显然为1,217.函数取得极值的第二充分条件

设f(x)在x0处n阶可导，且f'(x0)f''(x0)f'''(x0)f(n1)(x0)0f(n)(x0)0(2n)(1)n2k且f(n)(x0)0f(x0)为极大值(2)n2k且f(n)(x0)0f(x0)为极小值(3)n=2k+118.拐点的第二充分条件

f(x0)不是极值点设f(x)在x0处n阶可导（n>2且为奇数）

若f''(x)f'''(x)f则(x,f(x))为拐点0000(n1)(x)0，f0n()(x)00

19.用求导法判断数列的单调性

设An1f(An),AnI若f(x)在区间I上单调递增则：(1)(2)A2A1{An}A2A1{An}

注意：若f(x)在区间I上单调递减则：A2n1与A2n两数列具有相反的单调性20.题目中如果出现f''(x)0f'(x)单调 21．ln(x1x2)x(x0)22． 无穷小小谈

当x0时，有(1)当0nmxmo(xn)(2)当0nmo(xm)o(xn)o(xn)o(xm)mn(3)当0nmo(x)nx注意：两个o()不可以相除(4)当m,n0xmo(xn)o(xmn)o(xm)o(xn)o(xmn)23． 无穷个无穷小之和与无穷个无穷小之积一定都是无穷小吗？？？？？

哈哈！显然都是NO11111之和：lim()1其中(有无穷多个)nnnnnn

kn之积：取0(其中nk,1,2,3)n!1n2n3nnnn(!)n显然1nn!n!n!n!n(!)24．反三角

(1)arctxan

1arctanx2t,0t2

(2)arcsin(sint)t,a2a12t25．

求A(b)|xb|dx的最小值aa结论：当b12时21Amin(b)(a1a2)24 26.ba(xab)dx0 227．lnxdx1

010128．29． x(1x)dxxn(1x)mdx0191900mn1

作用：x(1x)dxx(1x)dx若f(x)在[a,b]上可积则f(x)dxf(abx)dxaabb这下就好求了1baf(x)dx2a[f(x)f(abx)]dx

特别的当a0时，有如下推论：b（1）f(x)dxf(bx)dx00bb1b（2）0f(x)dx20[f(x)f(bx)]dxb若f(x)在[a,b]上可积,则：30． 111110f(x)dx0x2f(x)dx20[f(x)x2f(x)]dxf2(x)C 31．f(x)f'(x)dx232．连续函数必有原函数且原函数连续，若f（x）是不连续的分段函数，则f（x）的原函数就一定不存在 33．

有极限连续

可微偏导连续 有定义偏导存在34．对

0f(sinx)dx22f(sinx)dx进行推广：0设f(x)在[0,1]上连续，且abn(n0,1,2...)有以下结论：nbf(sinx)dxaa2bnb n为偶数xf(cosx)dxf(cosx)dxaa2（2）若f(x)为偶函数，则（1）n为奇数bxf(sinx)dxnxf(sinx)dxa2bnxf(cosx)dxa2bbabf(sinx)dxf(cosx)dxa35． 线、面积分中的对称简化

（1）对弧长的曲线积分设连续且分段光滑的平面线弧L关于y轴对称，函数f(x,y)在L上有定义L 且连续，为x0的半个区域，则：

2若f(-x,y)=f(x,y)s2f(x,y)dsLf(x,y)dL2若f(-x,y)=-f(x,y)Lf(x,y)ds0例一I=(xyx2)ds,L为y=a2x2L解：I=(xyx2)dsxydsx2ds02Lx2dsLLL222a2cos2ad02a3

例二3222I(xy)ds,L为xyRL33解：I(xy)ds=xds+y（自己体会一下，为什么？）ds=0+0=0LLL（2）对坐标的曲线积分A.设连续且分段光滑的平面有向曲线弧L关于y轴对称，函数P(x,y)在L上有定义L 且连续，为x0的半个区域，则：2若P(-x,y)=P(x,y)P(x,y)dx2LP(x,y)dxL2若P(-x,y)=-P(x,y)例一LP(x,y)dx0Ixy(ydxxdy),其中L为yR2x2,方向为从左到右LLLLL解:Ixy(ydxxdy)xy2dxx2ydy0x2ydy0(这要用到下面B的结论)例二解： 2222222Ixydy,其中L为双纽线的右半支：(x+y)=a(x-y),x0的逆时针方向L

由于图像关于x轴对称，则I0B.设连续且分段光滑的平面有向曲线弧L关于y轴对称，函数P(x,y)在L上有定义且在左半平面部分L1与右半平面部分L2方向相反，则：若P(-x,y)=P(x,y)若P(-x,y)=-P(x,y)LP(x,y)dy0(上面讲到的就是用的这个结论)LP(x,y)dy2P(x,y)dyL1

注意：这里的方向相反是指：关于哪个轴对称就关于谁的方向相反对于关于x轴对称的情况就不写了，其实是一个道理！一定要把A,B好好的比较看看两者之间的区别与联系例一Ix|y|dx,其中L为y2x上从A(1,1)到B(1,1)的一段弧L解：L关于x轴对称且方向相反且被积函数x|y|为y的偶函数故I=0例二Idxdy,其中ABCD是A(1,0)B(0,1)C(-1,0)D(0,-1)为ABCD|x||y| 顶点的正方形的边界线，方向为逆时针方向dxdy解：I+ABCD|x||y|ABCD|x||y|第一部分积分：曲线关于x轴对称，且方向相反，而函数是y的偶函数，故积分为0，同理第二部分积分也为0故I=0(3)对面积的曲面积分设分片光滑的曲面关于yoz平面对称，f(x,y,z)在上连续，则有：当f(-x,y,z)=-f(x,y,z)时，当f(-x,y,z)=f(x,y,z)时对于关于zox,xoy的平面对称有类似的性质1|x||y|2是中x0的一半

f(x,y,z)ds0f(x,y,z)dsf(x,y,z)ds=22例一I2222(xyz)ds,其中为球面xyza上z（h0

解：关于xoz面对称，故Izxds

(4)对坐标的曲面积分设分片光滑的曲面关于yoz面对称，函数p(x,y,z)在上连续，一半，则：当f(-x,y,z)=f(x,y,z)时，当f(-x,y,z)=-f(x,y,z)时2是中x0的

f(x,y,z)dydz0f(x,y,z)dydz=2f(x,y,z)dydz2

例一I的部分。xyzdxdy,其中是球面x2y2z21的外侧在x0,y0解：关于xoy面对称，故I例二2xyzdxdy2xyzdxdy52

I=x2dydzy2dzdxz2dxdy,其中为曲线弧段z=y2(x0,1z4)绕z轴旋转所成的旋转曲面的非封闭侧。解：显然曲面关于yoz,zox面对称，故Iz2dxdy21

36．轮换对称性在积分计算中的应用举例

1.设函数f(x,y)在有界闭区域D上连续，D对坐标x,y具有轮换对称性，则：f(x,y)dxdyf(y,x)dxdyDD

何为轮换对称性：将x,y互换后D不变

例一I(3x2y)dxdy,其中D为xy2与两坐标轴围成D解：D关于x,y具有轮换对称性，则:I例二I(3x2y)dxdy=D(3y2x)dxdyD520

(xy)dxdy5xdxdy23DDx2y2R2(y2x2)dxdy解：Ix2y2R2(y2x2)dxdyx2y2R2(x2y2)dxdyI,故I02.设函数f(x,y,z)在空间有界闭区域上连续，对坐标x,y具有轮换对称性，则：f(x,y,z)dvf(y,x,z)dv例一求(xyz)dv,为x0,y0,z0,x2y2z2R2解：由于积分区域关于x,y,z具有轮换对称性，则：xdv=ydvzdv(xyz)dv3zdv3R416例二求I(zx2y2)dv,为zx2y2和z（hh0）围成的区域解：积分区域关于x,y具有轮换对称性I(zx2y2)dv(zy2x2)dv132zdvh23

3.设L是xoy面上一条光滑的曲线弧，L对坐标x,y具有乱换对称性，f(x,y)在L上连续，则：f(x,y)dsf(y,x)dsLL例一Ixds,L为星形线xyaL232323232323解：显然L对x,y具有轮换对称性，则：222511Ixdsyds(x3y3)dsa3ds3a32L2LLL例二22222求(xz)ds,F是圆周xyzR,xyz0F解：F关于x,y,z具有轮换对称性，则：xds=yds=zds,FFF2222xds=yds=zdsFFF11R2222故(xz)ds(xyz)ds(xyz)ds3F3F3F2R3ds3 F4.设L是xoy面上一条光滑的或者分段光滑的有向曲线弧，L对坐标x,y具有轮换对称性，f(x,y)在L上连续，则：f(x,y)dsf(y,x)dsLL

或者f(x,y)ds+f(y,x)ds=0LL例一Iydxxdy,L为xyR上A(R,0)到B(0,R)的一段弧L解：L对坐标x,y具有轮换对称性，故ydxxdy=0L例二2222Iydxydx,L为双纽线(xy)2axy位于第一象限部分L2323

取逆时针方向解：L关于x,y具有轮换对称性，则ydxxdy=0L23235.设是光滑曲面或者分片光滑曲面，对坐标x,y具有轮换对称性，f(x,y,z)在上连续，则：f(x,y,z)dsf(y,x,z)ds11I(x2y2z2)ds,:x2y2z2R224解：1111I(x2y2z2)ds(1)z2ds24241117(1)(x2y2z2)dsR42433例二I解：2222(axbycz)ds,:xyzR位于第一挂限部分例一xdsydszds222xdsydszds

1I(abc)zdsR3(abc)46.设是光滑曲面或者分片光滑曲面，对坐标x,y具有轮换对称性，f(x,y,z)在上连续，则：

f(x,y,z)dydzf(y,x,z)dzdx例一I(0zh)的外侧(yz)dydz(zx)dzdx(xy)dxdy,为zx2y2解：关于x,y具有轮换对称性，则：(yz)dydz=(xz)dxdz所以I0例二I(xy)dxdy(yx)dydx0xydydzyzdzdxzxdxdy,为平面xyz1位于第一挂限的外侧解：关于x,y,z具有轮换对称性，则：xydydzzydydxzxdxdy

1I3xydydz837.广义的罗尔定理

设f(x)满足：(1)在区间(a,)上连续(2)在区间(a,)内可导(3)limf(x)limf(x)xax则：a使得f'()038.需要记忆的反例

(1)(2)f(x)|x|在x0处不可导f(x)1f(x)0x0x0在x0点不可导应用：设f(0)0,则f(x)在x0点处可导的充分必要条件为: f(1cosh)f(1eh)(A)lim存在(B)lim存在h0h0h2hf(hsinh)f(2h)f(h)(C)lim存在(D)lim存在h0h0h2h用(1)检验AC,用(2)检验D,答案为B(1)若','且lim39.11 则：()('')(2)若','且lim则：()('')

40.特别要注意的地方

设f(x)为(,)上的连续，函数F(x)为f(x)的一原函数，则：(1)f(x)为奇函数f(x)任意原函数F(x)为偶函数(2)f(x)为偶函数f(x)的原函数只有一个是奇函数,即为f(t)dt0x(3)f(x)任意原函数F(x)为周期函数f(x)为周期函数(4)f(x)以T为周期的函数且f(x)dx0f(x)任意原函数F(x)以T为周期0T

(5)函数的单调性与其原函数的单调性之间没有逻辑上的因果关系

41.几个极限之间的关系

1.若limanan则lim2.若limana且an0na1a2anann则limna1a2anann3.若limana且an0nan1n则limnanaananan1

但要注意：若limnana且an0，不能推出lim反例：an2(n为偶数)=3(n为奇数)

42.函数与其反函数图像交点问题

函数与其反函数图像交点有如下两个结论：(1)设f(x)是增函数，其反函数为f1(x)，如果这两个函数图像有交点，则交点必在函数yx上(2)设f(x)是减函数，其反函数为f(x)，如果这两个函数图像有交点，则交点不一定都在函数yx上例如：yx2,其反函数就是其本身

1 43．阶乘不等式

阶乘不等式在极限证明中的应用nn(1)设n为自然数，则()nn!e()ne2n!应用：证明limn0nnne()nn!een!证明:n2nn,n时，n0，limn0nnnn22an证明lim0(a为任意实数)nn!证明:a0，显然成立ane|a|ena0,0|||an|()n()n!nn|a|e|a|enn时，0,()0nnan根据夹逼准则：lim0nn!(2)一些不常用的，可以记忆玩玩n1。设p2且p为实常数，则n!()pp2。当n4时，n!(n)nn

3。当n2时，则n!(lnn)lnn

44．中值定理

罗尔定理yf(x)满足:(1)在区间[a,b]上连续(2)区间(a,b)内可导(3)f(a)f(b)在区间(a,b)内至少存在一点使得f'()0注意：该定理的条件只是充分的，本定理可以推广为：yf(x)在区间(a,b)内可导,limf(x)limf(x)xaxb

在区间(a,b)内至少存在一点使得f'()0拉格朗日定理yf(x)满足:(1)在区间[a,b]上连续(2)区间(a,b)内可导在区间(a,b)内至少存在一点使得f'()柯西定理f(x)及F(x)满足:(1)在区间[a,b]上连续(2)区间(a,b)内可导(3)区间(a,b)内F'(x)0在区间(a,b)内至少存在一点使得f(b)f(a)f'()F(b)F(a)F'()

f(b)f(a)ba

45．需注意的地方

可积与连续之间的关系1.闭区间上的连续函数一定是可积的；2.可积函数不一定是连续的，但是一定有无穷多个处处稠密的连续点可积与存在原函数之间的关系11.f(x)存在原函数，但其不一定可积，例如f(x),x(0,)x2.f(x)在[a,b]上可积，但f(x)不一定存在原函数，例如：

46．用泰勒公式分解既约分式

用泰勒公式分解既约真分式(以下只给出结论)设P(x)是既约真分式，Q(x)在复数范围内可以分解为(xa1)n1(xa2)n2(xar)nr,则Q(x)其能唯一分解为：b11b12b1n1b21b22b2n2P(x)[][]Q(x)(xa1)n1(xa1)n11(xa1)(xa2)n2(xa2)n21(xa2)bi1bi2binibr1br2brnr[][](xai)ni(xai)ni1(xa1)(xar)nr(xar)nr1(xar)其中bij(i1,2,,r;j1,2,ni)都是待定的常数fi(j1)(ai)P(x)j设fi(x),且bi(xa1)n1(xa2)n2(xai1)ni1(xai1)ni1(xar)nr(j1)!例一3x分成部分分式2(x1)(x1)3x3解：令f1(x),则f(1)1(x1)243x33f2(x),则f2'(1),f2(1)x1423x3121=[]22(x1)(x1)4x1(x1)x12x7将分成部分分式x(x1)(x3)2x77解：f1(x),f1(0)(x1)(x3)32x79f2(x),f2(1)x(x3)42x71f3(x),f3(3)x(x1)122x7791=x(x1)(x3)3x4(x1)12(x3)将9x324x248x将分成部分分式4(x1)(x2)9x324x248x解：f1(x),f1(1)1(x2)4f''(2)9x324x248xf2(x),f2(2)24,f2'(2)12,26(x1)2!f2'''(2)13!9x324x248x1241261(x1)(x2)4x1(x2)4(x2)3(x2)2x2例二由此可见此法对分母都是一次时特别简单例三 47．求不定积分的几种特殊技巧

求定积分的几种特殊技巧1.定义在对称区间[a,b]上的任何函数都可以表示为一个奇函数与一个偶函数之和f(x)f(x)f(x)f(x)表示偶函数，表示奇函数222.f(x)定义在对称区间[a,-a]上f(x)为奇函数时，f(x)dx0aaf(x)为偶函数时，f(x)dx2f(x)dxa0aa(1)求定积分xln(1ex)dx22f(x)f(x)xln(1ex)xln(1ex)1(x)xln(1ex)x2表示奇函数22222221121212xxx22xln(1e)dx=2xln(1e)2x2xdx2[xln(1e)2x]dx22xdx280x2dx03ln(x1x2)(2)求定积分dx11x21ln(x1x2)值得注意的是一眼看去不是奇函数，实际求一下发现它是奇函数21x3.巧用几何意义求定积分求ba(xa)(bx)dx(ba)ba2ab2ab)(x)是以(,0)为222ba11ba2圆心，为半径的上半圆，上半圆的面积为S=r2()(ba)222228解：被积函数f(x)(xa)(bx)(根据定积分的几何意义，(xa)(bx)dxab(ba)284.前面我面有这样一个结论：xf(sinx)dx0baf(sinx)dx02ab对称，则：2现在我们再给出特殊一点的式子：xf(x)dx?以下有结论：设函数f(x)在[a,b]上连续，且f(x)关于xbaabbxf(x)dxf(x)dx2a

48．矩阵积分法

设ui(ui1)'vivi1dx(i1,2,)函数序列一：u0,u1,u2,un,函数序列二：v0,v1,v2,vn,一.形如xnsinaxdx的积分函数序列一：u0xn,u1nxn1,unn!1(1)n函数序列二：v0sinax,v1cosax,vnnsin[axn]aa2函数序列一和函数序列二作为矩阵的一二行，构造一个辅助矩阵，就可以方便的求得结果求(x32x3)sin3xdxx32x3sin3x3x226x601111cosxsin3xcos3xsin3x3927811111原式(x32x3)(cosx)(3x22)(sin3x)6x(cos3x)6(sin3x)3927811(3x22)2x23cos3x(x2x3)sin3xcos3xsin3xC39927注：按unvn1规则进行斜线相乘，每一项正负交替出现nax二.形如xncosaxdx，xedx的积分方法与上述一样三.形如eaxsinbxdx的积分函数序列一：u0sinbx,u1bcosbx,u2b2sinbx函数序列二：v0eax,v1求e2xsin3xdx的积分sin3xe2x原式12xe23cos3x12xe4

1ax1e,v22eaxaa9sin3x12x11esin3xe2x3cos3x(1)22(9sin3x)e2xdx244232x解方程解得：esin3xdx(sin3xcos3x)e2xC1313最后一项是(1)n2u2v2dx,实际上n就取2,最后一项就是u2v2dx49.函数的可积性与原函数存在性

定理1(1)：若f为[a,b]上的连续函数，则f在[a,b]上可积(2)：若f是[a,b]上只有有限个间断点的有界函数，则f在[a,b]上可积(3)：若f是[a,b]上的单调函数则f在[a,b]上可积注：即使单调函数有无穷多个间断点，仍不失其可积性0如函数：f(x)1n在区间[0,1]上可积x011xn1nn1,2,3........定理2若f为[a,b]上的连续函数，则f在[a,b]上的原函数存在定理3

(1)：若f在[a,b]上含有第一类间断点，则f在[a,b]上不存在原函数(2)：若f在[a,b]上有无穷型间断点，则f在[a,b]上不存在原函数(3)：若f在[a,b]上存在原函数，若f存在间断点，则f在[a,b]上的间断点是第二类的

50.函数性质在原函数与其导函数之间的传递性

命题1有界不交互传递F(x)在有限空间(a,b)无界，f(x)必无界，反之不成立1反例：F(x)xsin,x(0，1)F(x)在(0，上有界1)x111则f(x)sin2cos在(0，1)上无界xxx

命题2单调不交互传递F(x)为凸性或凹性单调函数时，f(x)具有单调性 f(x)具有单调不变号性时，F(x)必有单调性命题3奇偶性 F(x)为奇(偶)，则f(x)为偶(奇)f(x)为奇(偶)，则F(x)为一偶函数常数(一奇函数常数)命题4周期性

TF(x)以T为周期，f(x)以T为周期f(x)以T为周期且f(x)dx0F(x)以T为周期0

第四篇：高数小结论a

高数小结论

1． 等价无穷小（x→0）

(1).sinxxtanxex1ln[1x]arcsinxarctanx1(2).1cosxx22(3).(1x)a1ax(4).ax1xlnax(5).1n1xnx(6).n1x1n(7).loga(1x)0x2．

xlna0|x|2时2时

sinxxtanx11cosxx22 3．如果limU1,limV则limUeVlim(U1)V4.[f(x)+f(-x)]/2表示偶函数

[f(x)-f(-x)]/2表示奇函数

5．直线L：y=kx+b 为y=f(x)的渐近线的充分必要条件为：

k=lim f(x)/x(x→∞)

b=lim [f(x)-kx](x→∞)注意：这里的∞，包括+∞和-∞ 要分开讨论 6． 常见函数的导数

(记熟后解题快)

(√x)’=1/2√x

(1/x)’=-1/x^2

(x^x)’=(x^x)(1+lnx)

7.关于n阶导数的几个重要公式

(sinx)^(n)=sin(x+nπ/2)

(cosx)^(n)=cos(x+nπ/2)

(sinkx)^(n)=k^nsin(kx+nπ/2)

(coskx)^(n)=k^ncos(kx+nπ/2)

(x^n)^(n)=n！

(a^x)^(n)=a^x(lna)^n

(e^x)^(n)=e^x

(1/t-x)^(n)=n！/(t-x)^(n+1)

(1/t+x)^(n)= n！(-1)^n/(t+x)^(n+1)

[ln(t+x)]^(n)=(n-1)！(-1)^(n-1)/(t+x)^n 8.泰勒公式(用来求极限)

sinx=x-x^3/3！+x^5/5！+o(x^6)

cosx=1-x^2/2！+x^4/4！+o(x^5)

e^x=1+x+x^2/2！+x^3/3！+o(x^3)

ln(1+x)=x-(1/2)x^2+(1/3)x^3+o(x^3)

(1+x)^a=1+ax+[a(a-1)/2！]x^2+o(x^2)

tanx=x+(1/3)x^3+o(x^3)

arctanx=x-(1/3)x^3+o(x^3)

cotx=1/x –x/3+o(x)

tan(tanx)=x+(2/3)x^3+o(x^3)sin(sinx)=x-(1/3)x^3+o(x^3)9． 重要不定积分

secxdx(secx)(2n2)dx(secx)2nd(tanx)(sinx)(2n1)cosx(sinx)2n1(sinx)(2n1)(cosx)(2n1)(tanx)(2n1)dx[1(cotx)2]n(cosx)(2n1)sinx(cotx)(2n1)dx dx1xdxtanC 1cosx212dxtanxsecxCC 1sinxx1tan2(secx)2nd(tanx)(tanx)dx(tanx)dx(tanx)22(secx)1(tanx)nn(cscx)2(cotx)nd(cotx)(cotx)dx(cotx)(cscx)2dx1(cotx)2 nntanxdxln|cosx|Ccotxdxln|sinx|Csecxdxln|secxtanx|Ccscxdxln|cscxcotx|C x1sin2xC24x12(cox)dxsin2xC242(sinx)dx2(tanx)dxtanxxC(cotx)2dxcotxxCdx1xarctanCx2a2aadx22x2a2ln|xxa|C

dx1xax2a22aln|xa|CdxxarcsinCa2x2aa2xx2axdxarcsinax2C2a2

2ax2x2a2dxln|xx2a2|xa2C2222axeaxecosbxdxa2b2(acosbxbsinbx)C axeaxesinbxdx(asinbxbcosbx)Ca2b210． y=sinwx(w>0)

它的半个周期与x轴围成的面积为s=2/w

把它的半个周期分成三等分,中间的那部分面积为s’=1/w

显然s=2s’

20w 1S'23wsinwxdxw3wSwsinwxdx11.定积分部分

（1）如果函数f（x）在[-a,a]上连续

aaf(x)dx[fx()fx(dx)]0a0(如果fx(为奇函数)a0)2f(xdx)如果(fx(为偶函数))（2）

coskxdx0sinkxdx0 (coskx)^2dx(sinkx)^2dx

(3).设k,lN,且kl,则coskxsinlxdx0coskxcoslxdx0

sinkxsinlxdx0(4).设f(x)是以周期为T的连续函数

(1).aTaf(x)dxf(x)dx0TT2T2f(x)dx

(2).anTaf(x)dxnf(x)dx0T(5).特殊积分



0eudueaxdx221(a0)a0w

(p0,w0)0p2w2pptecoswtdt(p0,w0)0p2w2sinxdx0x2(6).关于三角函数定积分简化(注意：f(x)是定义在[0,1]上的函数)eptsinwtdt20

20(1)f(sxindx)f(2)f(sxindx)0(xcdxos)特别的20x(dxsin)20nxndx(cos)0n20n00202fx(sdxin)(co特别的s)f2xdx20xdx(sin)xdx2(s2inx)ndx2(cos)(3)0n(cxosdx)(n为奇数)022(coxsndx)n(sxi)ndx（n为偶数）(n为奇数)(4)20042(sinx)ndx0（n为偶数）(n为奇数)(5)(cosx)ndx022042(cosx)ndx020（n为偶数）(6)(sinx)ndx(cosx)ndx00(7)2(sinx)ndxn1n3n52.........(n为正奇数)nn2n43n1n3n51.........(n为正偶数)nn2n422(8)xf(sinx)dx020f(sinx)dx

11.图像分段的函数不一定是分段函数（如y=1/x）分段函数的图像也可以是一条不断开的曲线（如y=|x|）

12.如何证明一个数列是发散的？

（1）只要找到的两个子数列收敛于不同的值

（2）找一个发散的子数列 13.必记极限

n!(1)limnnn 01(2)linmnn(3)lixmxlnx0x(4)lixmx00114.函数f(x)在[a,b]有定义，且|f(x)|在[a,b]上可积，此时f(x)在[a,b]上的积分不一定存在 列如：

f(x)15． 注意 1-1x为有理数

x为无理数若f'(a)0，只能得到结论：f(x)在a点严格增加。即x(a,a)有f(x)f(a)x(a,a)有f(x)f(a);但不能得到结论：f(x)在U（a,）内单调增大16．

设f(x)=|x-a|g(x),其中g(x)在x=a处连续，则f(x)在x=a处可导g(a)=0应用：求函数f(x)=|x(x-1)(x-2)|(x2-3x+2)的可导的点显然为1,217.函数取得极值的第二充分条件

设f(x)在x0处n阶可导，且f'(x0)f''(x0)f'''(x0)f(n1)(x0)0f(n)(x0)0(2n)(1)n2k且f(n)(x0)0f(x0)为极大值(2)n2k且f(n)(x0)0f(x0)为极小值(3)n=2k+118.拐点的第二充分条件

f(x0)不是极值点设f(x)在x0处n阶可导（n>2且为奇数）

若f''(x)f'''(x)f则(x,f(x))为拐点0000(n1)(x)0，f0n()(x)00.用求导法判断数列的单调性 设An1f(An),AnI若f(x)在区间I上单调递增则：(1)(2)A2A1{An}A2A1{An}

注意：若f(x)在区间I上单调递减则：A2n1与A2n两数列具有相反的单调性20.题目中如果出现f''(x)0f'(x)单调 21．ln(x1x2)x(x0)22． 无穷小小谈

当x0时，有(1)当0nmxmo(xn)(2)当0nmo(xm)o(xn)o(xn)o(xm)mn(3)当0nmo(x)nx注意：两个o()不可以相除(4)当m,n0xmo(xn)o(xmn)o(xm)o(xn)o(xmn)23． 无穷个无穷小之和与无穷个无穷小之积一定都是无穷小吗？？？？？

哈哈！显然都是NO11111之和：lim()1其中(有无穷多个)nnnnnn

kn之积：取0(其中nk,1,2,3)n!1n2n3nnnn(!)n显然1nn!n!n!n!n(!)24．反三角

(1)arctxan

1arctanx2t,0t2

(2)arcsin(sint)t,a2a12t25．

求A(b)|xb|dx的最小值aa结论：当b12时21Amin(b)(a1a2)24

26.ba(xab)dx0 227．lnxdx1

010128．29． x(1x)dxxn(1x)mdx0191900mn1

作用：x(1x)dxx(1x)dx若f(x)在[a,b]上可积则f(x)dxf(abx)dxaabb这下就好求了1baf(x)dx2a[f(x)f(bx)]dx

特别的当a0时，有如下推论：b（1）f(x)dxf(bx)dx00bb1b（2）0f(x)dx20[f(x)f(bx)]dxb若f(x)在[a,b]上可积,则：30． 111110f(x)dx0x2f(x)dx20[f(x)x2f(x)]dxf2(x)C 31．f(x)f'(x)dx232．连续函数必有原函数且原函数连续，若f（x）是不连续的分段函数，则f（x）的原函数就一定不存在 33．

有极限连续

可微偏导连续 有定义偏导存在34．对

0f(sinx)dx22f(sinx)dx进行推广：0设f(x)在[0,1]上连续，且abn(n0,1,2...)有以下结论：nbf(sinx)dxaa2bnb n为偶数xf(cosx)dxf(cosx)dxaa2（2）若f(x)为偶函数，则（1）n为奇数bxf(sinx)dxnxf(sinx)dxa2bnxf(cosx)dxa2bbabf(sinx)dxf(cosx)dxa35． 线、面积分中的对称简化

（1）对弧长的曲线积分设连续且分段光滑的平面线弧L关于y轴对称，函数f(x,y)在L上有定义L 且连续，为x0的半个区域，则：

2若f(-x,y)=f(x,y)s2f(x,y)dsLf(x,y)dL2若f(-x,y)=-f(x,y)Lf(x,y)ds0例一I=(xyx2)ds,L为y=a2x2L解：I=(xyx2)dsxydsx2ds02Lx2dsLLL222a2cos2ad02a3

例二3222I(xy)ds,L为xyRL33解：I(xy)ds=xds+y（自己体会一下，为什么？）ds=0+0=0LLL（2）对坐标的曲线积分A.设连续且分段光滑的平面有向曲线弧L关于y轴对称，函数P(x,y)在L上有定义L 且连续，为x0的半个区域，则：2若P(-x,y)=P(x,y)P(x,y)dx2LP(x,y)dxL2若P(-x,y)=-P(x,y)未完待续

LP(x,y)dx0

第五篇：高数小结论(完结版)

高数小结论

1． 等价无穷小（x→0）

(1).sinxxtanxex1ln[1x]arcsinxarctanx1(2).1cosxx22(3).(1x)a1ax(4).ax1xlnax(5).1n1xnx(6).n1x1n(7).loga(1x)0x2．

xlna0|x|2时2时

sinxxtanx11cosxx22 3．如果limU1,limV则limUeVlim(U1)V4.f(x)f(x)f(x)f(x)表示偶函数，表示奇函数

22直线L:ykxb为函数yf(x)的渐近线的充分必要条件为：5． f(x)klimblim[f(x)kx]这里的包括和xxx6． 常见函数的导数

(记熟后解题快)(x)'12x11()'2xx(xx)'xx(1lnx)

7.关于n阶导数的几个重要公式

n)2n(sinkx)(n)knsin(x)2(xn)(n)n!(sinx)(n)sin(x(ex)(n)ex1(n)(1)nn!()tx(tx)n1n)2n(cosx)(n)cos(x)2(ax)(n)(ax)(lna)n(cosx)(n)cos(x(1(n)n!)tx(tx)n1(n)

[ln(tx)](1)n1(n1)!(tx)n8.泰勒公式(用来求极限)x3x5x2x46sinxxo(x)cosx1o(x5)3!5!2!4!x2x3x2x3x3e1xo(x)ln(1x)xo(x3)2!3!23a(a1)2a(a1)(a2)3(1x)a1axxxo(x3)2!3!x31x tanxx o(x3)cotxo(x)3x311arcsinxxx3o(x3)arccosxxx3o(x3)626x3arctanxxo(x3)321tan(tanx)xx3o(x3)sin(sinx)xx3o(x3)339． 重要不定积分

secxdx(secx)(2n2)dx(secx)2nd(tanx)(sinx)(2n1)cosx(sinx)2n1(sinx)(2n1)(cosx)(2n1)(tanx)(2n1)dx[1(cotx)2]n(cosx)(2n1)sinx(cotx)(2n1)dx dx1xdxtanC 1cosx212dxtanxsecxCC 1sinxx1tan2(secx)2nd(tanx)(tanx)dx(tanx)dx(tanx)(secx)21(tanx)2nn(cscx)2(cotx)nd(cotx)(cotx)dx(cotx)(cscx)2dx1(cotx)2 nntanxdxln|cosx|C cotxdxln|sinx|Csecxdxln|secxtanx|C cscxdxln|cscxcotx|Cx1sin2xC24

x12(cox)dxsin2xC242(sinx)dx2(tanx)dxtanxxC(cotx)dxcotxxC2

dx1xarctanCx2a2aadx22ln|xxa|Cx2a2

dx1xax2a22aln|xa|CdxxarcsinCa2x2aa2xx2axdxarcsinax2C2a2 2ax2x2a2dxln|xx2a2|xa2C2222axeaxecosbxdxa2b2(acosbxbsinbx)C axeaxesinbxdx(asinbxbcosbx)C22ab10． y=sinwx(w>0)

它的半个周期与x轴围成的面积为s=2/w

把它的半个周期分成三等分,中间的那部分面积为s’=1/w

显然s=2s’

20w 1S'23wsinwxdxw3wSwsinwxdx11.定积分部分

（1）如果函数f（x）在[-a,a]上连续

（2）aaf(x)dx[fx()fx(dx)]0a0(如果fx(为奇函数)a0)2f(xdx)如果(fx(为偶函数))coskxdx0sinkxdx0 (coskx)dx(sinkx)dx22设k,lN,且k则,l(3)coskxsilnxdxcolsxdxsilnxdx000

coskxsinkx(4).设f(x)是以周期为T的连续函数

(1).aTaf(x)dxf(x)dx0TT2T2f(x)dx

(2).anTaf(x)dxnf(x)dx0T(5).特殊积分



0eudueaxdx221(a0)a0w

(p0,w0)0p2w2pptecoswtdt(p0,w0)0p2w2sinxdx0x2(6).关于三角函数定积分简化(注意：f(x)是定义在[0,1]上的函数)eptsinwtdtn0(1)20f(sinx)dx20f(cosx)dx0特别的(sinx)dx2(cosx)ndx20(2)f(sinx)dx22f(sinx)dx22f(cosx)dx00特别的(sinx)dx2(sinx)dx22(cosx)ndx0200nn(3)(cosx)ndx00(n为奇数)022(cosx)ndx0（n为偶数）(n为奇数)(4)(5)20(sinx)ndx42(sinx)ndx0（n为偶数）(n为奇数)20(cosx)ndx042(cosx)ndx0（n为偶数）(6)20(sinx)ndx20(cosx)ndx0(7)2(sinx)ndxn1n3n52.........(n为正奇数)nn2n43n1n3n51.........(n为正偶数)nn2n422

(8)xf(sinx)dx020f(sinx)dx11.图像分段的函数不一定是分段函数（如y=1/x）分段函数的图像也可以是一条不断开的曲线（如y=|x|）

12.如何证明一个数列是发散的？

（1）只要找到的两个子数列收敛于不同的值

（2）找一个发散的子数列 13.必记极限

(1)limnn!0nn

(2)limnn1n(3)limxlnx0x0(4)limxx1x014.函数f(x)在[a,b]有定义，且|f(x)|在[a,b]上可积，此时f(x)在[a,b]上的积分不一定存在 列如：

f(x)15． 注意 1-1x为有理数

x为无理数若f'(a)0，只能得到结论：f(x)在a点严格增加。即x(a,a)有f(x)f(a)x(a,a)有f(x)f(a);但不能得到结论：f(x)在U（a,）内单调增大16．

设f(x)=|x-a|g(x),其中g(x)在x=a处连续，则f(x)在x=a处可导g(a)=0应用：求函数f(x)=|x(x-1)(x-2)|(x2-3x+2)的可导的点显然为1,217.函数取得极值的第二充分条件

设f(x)在x0处n阶可导，且f'(x0)f''(x0)f'''(x0)f(n1)(x0)0f(n)(x0)0(2n)(1)n2k且f(n)(x0)0f(x0)为极大值(2)n2k且f(n)(x0)0f(x0)为极小值(3)n=2k+118.拐点的第二充分条件

f(x0)不是极值点设f(x)在x0处n阶可导（n>2且为奇数）

若f''(x)f'''(x)f则(x,f(x))为拐点0000(n1)(x)0，f0n()(x)00.用求导法判断数列的单调性 设An1f(An),AnI若f(x)在区间I上单调递增则：(1)(2)A2A1{An}A2A1{An}

注意：若f(x)在区间I上单调递减则：A2n1与A2n两数列具有相反的单调性20.题目中如果出现f''(x)0f'(x)单调 21．ln(x1x2)x(x0)22． 无穷小小谈

当x0时，有(1)当0nmxmo(xn)(2)当0nmo(xm)o(xn)o(xn)o(xm)mn(3)当0nmo(x)nx注意：两个o()不可以相除(4)当m,n0xmo(xn)o(xmn)o(xm)o(xn)o(xmn)23． 无穷个无穷小之和与无穷个无穷小之积一定都是无穷小吗？？？？？

哈哈！显然都是NO11111之和：lim()1其中(有无穷多个)nnnnnn

kn之积：取0(其中nk,1,2,3)n!1n2n3nnnn(!)n显然1nn!n!n!n!n(!)24．反三角

(1)arctxan

1arctanx2t,0t2

(2)arcsin(sint)t,a2a12t25．

求A(b)|xb|dx的最小值aa结论：当b12时21Amin(b)(a1a2)24

26.ba(xab)dx0 227．lnxdx1

010128．29． x(1x)dxxn(1x)mdx0191900mn1

作用：x(1x)dxx(1x)dx若f(x)在[a,b]上可积则f(x)dxf(abx)dxaabb这下就好求了1baf(x)dx2a[f(x)f(bx)]dx

特别的当a0时，有如下推论：b（1）f(x)dxf(bx)dx00bb1b（2）0f(x)dx20[f(x)f(bx)]dxb若f(x)在[a,b]上可积,则：30． 111110f(x)dx0x2f(x)dx20[f(x)x2f(x)]dxf2(x)C 31．f(x)f'(x)dx232．连续函数必有原函数且原函数连续，若f（x）是不连续的分段函数，则f（x）的原函数就一定不存在 33．

有极限连续

可微偏导连续 有定义偏导存在34．对

0f(sinx)dx22f(sinx)dx进行推广：0设f(x)在[0,1]上连续，且abn(n0,1,2...)有以下结论：nbf(sinx)dxaa2bnb n为偶数xf(cosx)dxf(cosx)dxaa2（2）若f(x)为偶函数，则（1）n为奇数bxf(sinx)dxnxf(sinx)dxa2bnxf(cosx)dxa2bbabf(sinx)dxf(cosx)dxa35． 线、面积分中的对称简化

（1）对弧长的曲线积分设连续且分段光滑的平面线弧L关于y轴对称，函数f(x,y)在L上有定义L 且连续，为x0的半个区域，则：

2若f(-x,y)=f(x,y)s2f(x,y)dsLf(x,y)dL2若f(-x,y)=-f(x,y)Lf(x,y)ds0例一I=(xyx2)ds,L为y=a2x2L解：I=(xyx2)dsxydsx2ds02Lx2dsLLL222a2cos2ad02a3

例二3222I(xy)ds,L为xyRL33解：I(xy)ds=xds+y（自己体会一下，为什么？）ds=0+0=0LLL（2）对坐标的曲线积分A.设连续且分段光滑的平面有向曲线弧L关于y轴对称，函数P(x,y)在L上有定义L 且连续，为x0的半个区域，则：2若P(-x,y)=P(x,y)P(x,y)dx2LP(x,y)dxL2若P(-x,y)=-P(x,y)例一LP(x,y)dx0Ixy(ydxxdy),其中L为yR2x2,方向为从左到右LLLLL解:Ixy(ydxxdy)xy2dxx2ydy0x2ydy0(这要用到下面B的结论)例二解： 2222222Ixydy,其中L为双纽线的右半支：(x+y)=a(x-y),x0的逆时针方向L

由于图像关于x轴对称，则I0B.设连续且分段光滑的平面有向曲线弧L关于y轴对称，函数P(x,y)在L上有定义且在左半平面部分L1与右半平面部分L2方向相反，则：若P(-x,y)=P(x,y)若P(-x,y)=-P(x,y)LP(x,y)dy0(上面讲到的就是用的这个结论)LP(x,y)dy2P(x,y)dyL1

注意：这里的方向相反是指：关于哪个轴对称就关于谁的方向相反对于关于x轴对称的情况就不写了，其实是一个道理！一定要把A,B好好的比较看看两者之间的区别与联系例一Ix|y|dx,其中L为y2x上从A(1,1)到B(1,1)的一段弧L解：L关于x轴对称且方向相反且被积函数x|y|为y的偶函数故I=0例二Idxdy,其中ABCD是A(1,0)B(0,1)C(-1,0)D(0,-1)为ABCD|x||y| 顶点的正方形的边界线，方向为逆时针方向dxdy解：I+ABCD|x||y|ABCD|x||y|第一部分积分：曲线关于x轴对称，且方向相反，而函数是y的偶函数，故积分为0，同理第二部分积分也为0故I=0(3)对面积的曲面积分设分片光滑的曲面关于yoz平面对称，f(x,y,z)在上连续，则有：当f(-x,y,z)=-f(x,y,z)时，当f(-x,y,z)=f(x,y,z)时对于关于zox,xoy的平面对称有类似的性质1|x||y|2是中x0的一半

f(x,y,z)ds0f(x,y,z)dsf(x,y,z)ds=22例一I2222(xyz)ds,其中为球面xyza上z（h0

解：关于xoz面对称，故Izxds(4)对坐标的曲面积分设分片光滑的曲面关于yoz面对称，函数p(x,y,z)在上连续，一半，则：当f(-x,y,z)=f(x,y,z)时，当f(-x,y,z)=-f(x,y,z)时2是中x0的

f(x,y,z)dydz0f(x,y,z)dydz=2f(x,y,z)dydz2例一I的部分。xyzdxdy,其中是球面x2y2z21的外侧在x0,y0解：关于xoy面对称，故I例二2xyzdxdy2xyzdxdy52

I=x2dydzy2dzdxz2dxdy,其中为曲线弧段z=y2(x0,1z4)绕z轴旋转所成的旋转曲面的非封闭侧。解：显然曲面关于yoz,zox面对称，故Iz2dxdy21

36．轮换对称性在积分计算中的应用举例

1.设函数f(x,y)在有界闭区域D上连续，D对坐标x,y具有轮换对称性，则：f(x,y)dxdyf(y,x)dxdyDD

何为轮换对称性：将x,y互换后D不变

例一I(3x2y)dxdy,其中D为xy2与两坐标轴围成D解：D关于x,y具有轮换对称性，则:I例二I(3x2y)dxdy=D(3y2x)dxdyD520

(xy)dxdy5xdxdy23DDx2y2R2(y2x2)dxdy解：Ix2y2R2(y2x2)dxdyx2y2R2(x2y2)dxdyI,故I02.设函数f(x,y,z)在空间有界闭区域上连续，对坐标x,y具有轮换对称性，则：f(x,y,z)dvf(y,x,z)dv例一求(xyz)dv,为x0,y0,z0,x2y2z2R2解：由于积分区域关于x,y,z具有轮换对称性，则：xdv=ydvzdv(xyz)dv3zdv3R416例二求I(zx2y2)dv,为zx2y2和z（hh0）围成的区域解：积分区域关于x,y具有轮换对称性I(zx2y2)dv(zy2x2)dv132zdvh23

3.设L是xoy面上一条光滑的曲线弧，L对坐标x,y具有乱换对称性，f(x,y)在L上连续，则：f(x,y)dsf(y,x)dsLL例一Ixds,L为星形线xyaL232323232323解：显然L对x,y具有乱换对称性，则：222511Ixdsyds(x3y3)dsa3ds3a32L2LLL例二22222求(xz)ds,F是圆周xyzR,xyz0F解：F关于x,y,z具有乱换对称性，则：xds=yds=zds,FFF2222xds=yds=zdsFFF11R2222故(xz)ds(xyz)ds(xyz)ds3F3F3F2R3ds3 F4.设L是xoy面上一条光滑的或者分段光滑的有向曲线弧，L对坐标x,y具有轮换对称性，f(x,y)在L上连续，则：f(x,y)dsf(y,x)dsLL

或者f(x,y)ds+f(y,x)ds=0LL例一Iydxxdy,L为xyR上A(R,0)到B(0,R)的一段弧L解：L对坐标x,y具有轮换对称性，故ydxxdy=0L例二2222Iydxydx,L为双纽线(xy)2axy位于第一象限部分L2323

取逆时针方向解：L关于x,y具有轮换对称性，则ydxxdy=0L23235.设是光滑曲面或者分片光滑曲面，对坐标x,y具有轮换对称性，f(x,y,z)在上连续，则：f(x,y,z)dsf(y,x,z)ds11I(x2y2z2)ds,:x2y2z2R224解：1111I(x2y2z2)ds(1)z2ds24241117(1)(x2y2z2)dsR42433例二I解：2222(axbycz)ds,:xyzR位于第一挂限部分例一xdsydszds222xdsydszds

1I(abc)zdsR3(abc)46.设是光滑曲面或者分片光滑曲面，对坐标x,y具有轮换对称性，f(x,y,z)在上连续，则：

f(x,y,z)dydzf(y,x,z)dzdx例一I(0zh)的外侧(yz)dydz(zx)dzdx(xy)dxdy,为zx2y2解：关于x,y具有轮换对称性，则：(yz)dydz=(xz)dxdz所以I0例二I(xy)dxdy(yx)dydx0xydydzyzdzdxzxdxdy,为平面xyz1位于第一挂限的外侧解：关于x,y,z具有轮换对称性，则：xydydzzydydxzxdxdy

1I3xydydz8

37.广义的罗尔定理

设f(x)满足：(1)在区间(a,)上连续(2)在区间(a,)内可导(3)limf(x)limf(x)xax则：a使得f'()0

38.需要记忆的反例

(1)(2)f(x)|x|在x0处不可导f(x)1f(x)0x0x0在x0点不可导应用：设f(0)0,则f(x)在x0点处可导的充分必要条件为: f(1cosh)f(1eh)(A)lim存在(B)lim存在2h0h0hhf(hsinh)f(2h)f(h)(C)lim存在(D)lim存在h0h0h2h用(1)检验AC,用(2)检验D,答案为B(1)若','且lim39.11 则：()('')(2)若','且lim则：()('')40.特别要注意的地方

设f(x)为(,)上的连续，函数F(x)为f(x)的一原函数，则：(1)f(x)为奇函数f(x)任意原函数F(x)为偶函数(2)f(x)为偶函数f(x)的原函数只有一个是奇函数,即为f(t)dt0x(3)f(x)任意原函数F(x)为周期函数f(x)为周期函数(4)f(x)以T为周期的函数且f(x)dx0f(x)任意原函数F(x)以T为周期0T

(5)函数的单调性与其原函数的单调性之间没有逻辑上的因果关系