高数工(I)考点及应用与证明题练习（小编整理）

第一篇：高数工(I)考点及应用与证明题练习

工学本科《高等数学(一)》试卷考点

一、极限与连续

1．数列的极限

2．函数的极限

3．无穷小的运算及比较

4．夹逼准则与两个重要极限

5．函数的连续性与间断点

6．洛必达法则二、一元函数的微分学

1．导数的概念

2．显函数的一、二阶导数

3．隐函数与参数方程的一阶及简单的二阶导数

4．微分的概念与运算

5．微分中值定理（不含柯西中值定理）

6．函数的单调性与极值

7．曲线的凹凸性与拐点

8．函数的最大值最小值

9．曲率（不含曲线方程为参数方程与极坐标方程的曲率问题）

三、一元函数的积分学

1．不定积分的概念与性质

2．不定积分的凑微分法

3．不定积分的第二换元法

4．不定积分的分部积分法

5．定积分的概念与性质

6．积分变上限函数

7．定积分的换元法

8．定积分的分部积分法

9．反常积分

10．定积分的应用（不含引力）

四、微分方程

1．微分方程概念

2．可分离变量的微分方程

3．齐次方程

4．一阶线性微分方程

5．可降阶的高阶微分方程

6．高阶线性微分方程

7．二阶常系数齐次线性微分方程

8．二阶常系数非齐次线性微分方程（只要求特解的形式）

试题类型及分值分布：

或

一、应用题

1.求由抛物线y与直线yx所围成的平面图形的面积，并求这一平面图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积.2．用铁皮制作一个容积为8立方米的有盖圆柱形桶，问桶底半径与桶高等于多少时，所用铁皮的面积最小？

3、过平面上点P(1,4)引一直线，要使它在两坐标轴上的截距都是正的，且它们的和为最小，求此直线方程.4、求心脏线a(1cos)(a0)的长度.5、周长为2L的等腰三角形，绕其底边旋转一周，求使这种旋转体体积最大时，等腰三角形的底边之长.6、一弹簧原长1米，把它压缩1厘米所用力为5克，求把它从80厘米压缩到60厘米所作的功。7.在椭圆

x2a

2y2b2

1内作内接矩形，试问其长、宽各为多少时，矩形面积最大？

此时面积值等于多少？

8.设曲线xy，x2y2及y0围成以平面图形.（1）求这个平面图形的面积；（2）求此平面图形绕x旋转而成的立体的体积.9.设有曲线y4x2(0x1)和直线yc(0c4).记它们与y轴所围成图形的面积为A2.问c为何值时，可使1，它们与直线x1所围成图形的面积为A

AA1A2最小？并求出A的最小值.10.一质点，沿抛物线yx(10x)运动，其横坐标随着时间t的变化规律为，求该质点的纵坐标在点M(8,16)的变化xt（t的单位为秒，x的单位为米）率.11、已知曲线ylnx，求曲率取极值的点.12、求由圆周x2y225，抛物线16y3x2及x轴围成的在第一象限的平面图形绕x轴旋转一周所得立体的体积V.13．用薄铁皮做成一个容积为V0的有盖长方体匣，其底为正方形，由于下底面无需喷漆，故其每单位面积成本仅为其余各面的一半，问长方体匣的底面边长为多少时，才能使匣子的造价最低？

14．半径为2米的圆柱形水池充满了水，现要从池中将水吸出，使水面降低5米，问需作多少焦耳的功？

15．某工厂生产某种产品，每批至少生产5(百台)，最多生产20(百台)，如生产

问x(百台)的总成本C(x)x36x229x15,可得收入R(x)20xx2(万元)，每批生产多少时，可使工厂获得最大利润.16．一矩形闸门宽10米，高6米，铅直沉入水中，问闸门上边界面下沉多少米时，闸门所受的压力等于上边界与水面相齐时闸门所受水的压力的两倍.17．抛物线yx2(第一象限部分)上求一点，使过该点的切线与直线y0,x8相交所围成的三角形的面积为最大.x

218．求曲线yx,y及直线y1所围平面图形的面积A以及其绕y轴旋转所

产生的旋转体的体积Vy.二、证明题：

abaab

ln.abb



22、当0x时，证明sinxx

2

1、设ab0，证明：

3、设f(x),g(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，且f(a)f(b)0,g(x)0，试

证：至少存在一个(a,b)，使f()g()g()f()

4、当x4时，2xx2.5、当x0时，证明：

x

ln(1x)x.1x6、证明：当x0,x1时，xlnxx

17、设f(x)为可导的偶函数，f''(0)存在且不为零，证明：x0是f(x)的极值点.8、设f(x)0,f(0)0,证明：当x0时，f(x)xf(x)

x39、证明不等式arctanxx,(x0)。

第二篇：08-09高数I(A)参考答案

2008-2009学年第一学期

2008级电气、电子、机制、农机、土木工程、工程管理、网络工程、计算机、物理专业

高等数学1 试卷A 参考答案

一、填空题(填对每空得3分，填错或不填每空得0分，计30分)1．2．

[1,2]

．．

2sin2

3．1． 4．

ln32

．

5．2． 6．7．8．9．10．

f(xb)f(xa)

．



2

． ．

．

c2e

x

yy0yc1e

x

5x

．

二、计算不定积分（每小题5分，计10分）1．解：

x

9x

dx



x

9x9x9x

dx

………………………………2分





2．解：

lnxxdx

x

9x9x

2dx，…………………………3分

． ………………………5分

2129

xln(9x)c22



2x

x



lnxdx

x

dxx

12



lnx2，…………………………3分

2x

lnx2x

dx

2x

lnx4x

c

．…………………………5分

三、计算定积分（每小题5分，计10分）

1．解： 

641

dxx

xt

x



6tdtt

t

……………………………2分

61

6

1tdtt11

6dt

1t1t1

12

tt1dt

t1

……………………3分

1213

6tttln(t1)231

116ln





．………………5分

2．解： 

1sin2xdx



12sinxcosxdx







cosxsinxdx

……………………2分





(cosxsinx)dx







(cosxsinx)dx



……3分

sinxcosx2

2

2sinxcosx

．………………5分

d

四、求函数y

y(x)的二阶导数

ad(sitn)ad(cots)3sin

y

dx

（每小题6分，计12分）

1．解：

dydx





dydx

tcosttsint

3cos

tant，…………………………4分



dtantad(cos

t)

2

sec3acos

ttsint



3acos

tsint

．…………………………………6分

2．解：方程两边同时微分得

bd(x)ad(y)d(ab)

即b2xdx整理得

dydx



aydy0

bxay，…………………4分

从而得

dydx

b(yx

dydx)

ay

．)

4b(yx

ayb

243

bxay

b(aybx)

ay



ay

．…………6分

五、积分应用题（6分×2题＝12分）1．解：在函数yxarctanx中令y0得x

所以，所求图形面积为

0，A





xarctan

xdxxarctanx

12



x

1x

dx………4分



x

x

arctan

x0



2．…………………6分

2．解

ye由

x

ye

得两曲线的交点为(0,0)，所以，图形绕x轴旋转一

周所得旋转体的体积为

Vx



[(e)(e

x2x)]dx……………………………4

分 分

12x12x

ee

22





(e

e

2

2)． ……………6

六、求解微分方程（12分）

解：方程变形为

式

得

xe

dyc

y

dxdy

xy，成为一阶线性微分方程，由通解公



ye

y



dy

dy

…………………………… 4分



e

cye

c

ye

dy

y



e

yy

e



ce

y

y1，…………………… 8分

由y

x1

1求得c

3e；

1的特解为x3e

y1

从而微分方程满足y

分

x1

y1

． ………1

2七、导数应用题（14分）解：函数y

x

1x的定义域为(,0)

(0,)，又y令y当x

2x

1x

4

2x

1

x，y

00

2

2x



2(x

1)

x

．……4分

分

得

x

；令y

得 x1．…………… 6

0及0x

时，y

；当x



时，y

．

所以，区间(,0),(0,]为曲线的单调减区间，[,)为曲线的单调增区间；当x



时取得极小值为y



；…………… 10分

当x1及x0时，y0；当1x0，y0．

所以，区间(,1],(0,)为曲线的凹区间，[1,0)为曲线的凸区间；当x1时y0，即点(1,0)是曲线的拐点．…………… 14分

第三篇：考研高数证明题的解题方法

分析法，综合法，反证法，都是欧氏分析方法。欧氏分析方法起自于欧氏几何，早在公元前400年左右即为人类总结运用。

构造法是微积分学，代数学自身的方法。

分析法——尽可能由已知条件挖掘信息，并以此为起点作逻辑推理。

一元微积分讲究条件分析。要用分析法，就需要对各个概念理解准确，强弱分明；推理有序，因果清晰。为了弥补非数学专业学生的“短板”，我建议大家把考研题目中出现頻率较高的典型条件，预先推个滚瓜烂熟。比如

已知条件“f（x）连续，且x趋于0时，lim(f（x）/x)= 1”的推理。

（见讲座（9）基本推理先记熟。）

已知条件“f（x）在点x0可导，且f ′(x0)> 0 ”的推理。

（这是阐述“一点可导且导数大于0与一段可导且导数大0的差别；证明洛尔定理（费尔玛引理），达布定理，……，等的关键。

见讲座（11）洛尔定理做游戏；讲座（17）论证不能凭感觉。）

已知条件“非零矩阵AB = 0”的推理。

（见讲座（42）矩阵乘法很惬意。）

已知“含参的三阶方阵A能与对角阵相似，且A有二重特征值。计算参数。”的推理。

（见讲座（48）中心定理路简明。）

“已知连续型随机变量X的分布函数或随机向量（X，Y）的密度函数，求函数型随机变量U = φ(x)或U =φ(x，y)”的推理计算

（见讲座（78）分布函数是核心。）

一个娴熟的推导就是一条高速路啊。你非常熟练了吗？！

综合法 —— 由题目要证明的结论出发，反向逻辑推理，观察我们究竟需要做什么。

最典型的范例是考研数学题目“证明有点ξ，满足某个含有函数及其导数的关系式”。

例设函数f(x)在闭区间[0，1]上连续，在开区间（0，1）内可导，且f(0)= 0，则区间（0，1）内至少有一点ξ，使得

f(ξ)f ′(1―ξ)= f ′(ξ)f(1―ξ)

分析（综合法）即要证明

f(ξ)f ′(1―ξ)― f[b′(ξ)f(1―ξ)= 0

点ξ是运用某个定理而得到的客观存在。用x替换ξ，就得到刚运用了定理，还没有把点ξ代入前的表达式。即

f(x)f ′(1―x)― f′(x)f(1―x)= 0

（在点 x =ξ 成立）

联想到积函数求导公式，即（f(x)f(1―x)）′= 0

（在点 x =ξ 成立）

这就表明应该作辅助函数F(x)= f(x)，证明其导数在（0，1）内至少有一零点。

易知F(0)= F(1)= 0，且F(x)在 [a, b] 连续，在（a, b）内可导，可以应用洛尔定理证得本题结论。当然，题型多种多样，但这总是一条基本思路。如果关系式中有高阶导数，那要考虑试用泰勒公式。反证法 —— ……。

这是大家都较为熟悉的方法。但是你也许没有注意到，用反证法简单可证的一个小结论，在微积分中有着很广的应用。粗糙地说，这就是

“A极限存在（或连续，或可导）+ B极限不存在（或不连续，或连续不可导）= ？”

随便选一说法用反证法，比如

如果，“连续A + 不连续B = 连续C”

则“ 连续C-连续A = 不连续B”

这与定理矛盾。所以有结论： 连续函数与不连续函数的和一定不连续。不过要注意，证明是在“同一个点”进行的。

作为简单逻辑结论，自然类似有：

（同一过程中）A极限存在 + B极限不存在 = C极限一定不存在（同一个点处）A可导 + B连续不可导 = C一定连续不可导

还可以在级数部份有：

收敛 + 发散 = 发散，绝敛 + 条敛 = 条敛

对于乘法，由于分母为0时逆运算除法不能进行，必须首先限定以确保用反证法获得结论。比如

“若f（x）在点x0可导，且f（x0）≠ 0，g（x）在点x0 连续不可导，则 积函数y = f（x）g（x）在点x0一定连续不可导。”

（见讲座（8）求导熟练过大关。）

对于积函数y = f（x）g（x）求极限，我们由此得到了一个小技术。即

“非零极限因式可以先求极限。”（见讲座（16）计算极限小总结。）

（画外音：或是分子的因式，或是分母的因式，只要极限非0，就先给出极限，再“骑驴看唱本”……。）构造法 ——（难以“言传”，请多意会。）

老老实实地写，实实在在地描述，水到渠成有结论。这是微积分自家的方法 ——“构造法”。但是在构造法思维过程中，往往也综合运用着分析法，综合法，反证法。

“证明有界性”，也许最能显示“构造”手段，即把变量的“界”给构造出来。*例

已知函数 f（x）在 x≥a 时连续，且当x → +∞ 时f（x）有极限A，试证明此函数有界。

分析本题即证，∣f（x）∣≤ C

讨论有界性，我们只学了一个定理，在闭区间上连续的函数有界。本题中如何“管住”那个无穷的尾巴呢？那就看你能否体验条件“x → +∞ 时f（x）有极限A”，即

“我们一定可以取充分大的一点x0，使得x > x0时，总有∣f（x）∣≤∣A∣+1 ”

把半直线x≥a分成 [a，x0] 与 x > x0两部分，就能“构造”得∣f（x）∣≤ C

（（祥见讲座（9）基本推理先记熟。）

在讲座（11）“洛尔定理做游戏”中讲的“垒宝塔”游戏，在讲座（13）“图形特征看单调”中讲的“逐阶说单调”，都是构造法的讨论方式。

每完成一个题目，不妨想想用的什么方法。你也许提高得更快。

第四篇：高数小结与心得

学习高数的心得体会

经过将近一年的学习，我们对高数进行了系统性的学习，不仅在知识反方面得到了充实，在思想方面也得到了提高，就我个人而言，我认为高等数学有以下几个显著特点：1）识记的知识相对减少，理解的知识点相对增加；2）不仅要求会运用所学的知识解题，还要明白其来龙去脉；3）联系实际多，对专业学习帮助大；4）教师授课速度快，课下复习与预习必不可少。

在大学之前的学习时，都是老师在黑板上写满各种公式和结论，我便一边在书上勾画，一边在笔记本上记录。然后像背单词一样，把一堆公式与结论死记硬背下来。哪种类型的题目用哪个公式、哪条结论，老师都已一一总结出来，我只需要将其对号入座，便可将问题解答出来。而现在，我不再有那么多需要识记的结论。唯一需要记住的只是数目不多的一些定义、定理和推论。老师也不会给出固定的解题套路。因为高等数学与中学数学不同，它更要求理解。只要充分理解了各个知识点，遇到题目可以自己分析出正确的解题思路。所以，学习高等数学，记忆的负担轻了，但对思维的要求却提高了。每一次高数课，都是一次大脑的思维训练，都是一次提升理解力的好机会。

高等数学的学习目的不是为了应付考试，因此，我们的学习不能停留在以解出答案为目标。我们必须知道解题过程中每一步的依据。正如我前面所提到的，中学时期学过的许多定理并不特别要求我们理解其结论的推导过程。而高等数学课本中的每一个定理都有详细的证明。最初，我以为只要把定理内容记住，能做题就行了。然而，渐渐地，我发现如果没有真正明白每个定理的来龙去脉，就不能真正掌握它，更谈不上什么运用自如了。于是，我开始认真地学习每一个定理的推导。有时候，某些地方很难理解，我便反复思考，或请教老师、同学。尽管这个过程并不轻松，但我却认为非常值得。因为只有通过自己去探索的知识，才是掌握得最好的。

总而言之，高等数学的以上几个特点，使我的数学学习历程充满了挑战，同时也给了我难得的锻炼机会，让我收获多多。

进入大学之前，我们都是学习基础的数学知识，联系实际的东西并不多。在大学却不同了。不同专业的学生学习的数学是不同的。正是因为如此，高等数学的课本上有了更多与实际内容相关的内容，这对专业学习的帮助是不可低估的。比如“常用简单经济函数介绍”中所列举的需求函数，供给函数，生产函数等等在西方经济学的学习中都有用到。而“极值原理在经济管理和经济分析中的应用”这一节与经济学中的“边际问题”密切相关。如果没有这些知识作为基础，经济学中的许多问题都无法解决。

当我亲身学习了高等数学，并试图把它运用到经济问题的分析中时，才真正

体会到了数学方法是经济学中最重要的方法之一，是经济理论取得突破性发展的重要工具。这也坚定了我努力学好高等数学的决心。希望未来自己可以凭借扎实的数理基础，在经济领域里大展鸿图。

高等数学作为大学的一门课程，自然与其它课程有着共同之处，那就是讲课速度快。刚开始，我非常不适应。上一题还没有消化，老师已经讲完下一题了。带着几分焦虑，我向学长请教学习经验，才明白大学学习的重点不仅仅是课堂，课下的预习与复习是学好高数的必要条件。于是，每节课前我都认真预习，把不懂的地方作上记号。课堂上有选择、有计划地听讲。课后及时复习，归纳总结。逐渐地，我便感到高数课变得轻松有趣。只要肯努力，高等数学并不会太难。

虽然说高等数学在我们的实际生活中，并没有什么实际的用途，但是通过学习高等数学，我们的思想逐渐成熟，高等数学对我们以后的学习奠定了基础，特别是理科方面的学习，所以说，在今后的学习中，可以充分的运用数学知识，不断地完善自己。

第五篇：2018考研数学：高数最容易出证明题的知识点

2018考研数学：高数最容易出证明题的知识点

来源：智阅网

考研数学难题一般出现在高等数学，所以我们一定对高等数学重点进行复习。高等数学题目中比较困难的是证明题，在整个高等数学，容易出证明题的地方如下：

一、数列极限的证明

数列极限的证明是数一、二的重点，特别是数二最近几年考的非常频繁，已经考过好几次大的证明题，一般大题中涉及到数列极限的证明，用到的方法是单调有界准则。

二、微分中值定理的相关证明

微分中值定理的证明题历来是考研的重难点，其考试特点是综合性强，涉及到知识面广，涉及到中值的等式主要是三类定理：

1.零点定理和介质定理;

2.微分中值定理;

包括罗尔定理，拉格朗日中值定理，柯西中值定理和泰 勒定理，其中泰勒定理是用来处理高阶导数的相关问题，考查频率底，所以以前两个定理为主。

3.微分中值定理

积分中值定理的作用是为了去掉积分符号。

在考查的时候，一般会把三类定理两两结合起来进行考查，所以要总结到现在为止，所考查的题型。

三、方程根的问题

包括方程根唯一和方程根的个数的讨论。

四、不等式的证明

五、定积分等式和不等式的证明

主要涉及的方法有微分学的方法：常数变异法;积分学的方法：换元法和分布积分法。

六、积分与路径无关的五个等价条件

这一部分是数一的考试重点，最近几年没涉及到，所以要重点关注。

上面我们讲述的这几个点是我们复习的重点，在历年考试中，考察的频率较高，考生们一定要重点关注。2018汤家凤《考研数学复习大全》（数学一）这本书对我们的考试帮助很大，考生们一定要好好利用。