不动点法,特征根法总结

第一篇：不动点法,特征根法总结

不动点法

aanbaxb2an1xcx 设 有candcxd此方程的两个根为

(da)xb0

x1,x2，2c11p（其中p,则有an1x1anx1adan1x1anx1q,则有an1x2anx2）(1)若x1x2(2)若x1x2acx1q（其中

acx2）

特征根法

1.数列的一阶特征方程

anpan1q当

xp0,1,q0时，称

qxpxq是数列{an}的一阶特征方程，其根

1p叫

n1{a}a(ax)px 做特征方程的特征根，这时数列1n的通项公式为：n

2.数列的二阶特征方程

an2pan1qan在数列

{an}中，a1与a2已知，且an2pan1qan（p,q是常数），则称xpxq是数列{an}的二阶特征方程，其根x1,x2叫做特征方程的特征根。

（1）当2x1x2时，设有anAxBxn1n2n1

（2）当x1x2时，设有an(AnB)x

分别代入 a1,a2解得A,B,代入确定an

第二篇：不动点法求数列通项的证明

对于an1AanB的递推式，两端减x后得到 anC

(Ax)an(BCx)AxBCx(an)anCanCAx

BCx，这个方程与在递推式中令an1an得的方程是Axan1x为了能构成等比数列，则令x

一样的，有点类似于令f(x)=x形式，所以称这种方法为不动点法 得到x的值，于是原式为an1xAx(anx)anC

若x有两个不等根x1,x2（包括虚数根）则分别代入后得 an1x2Ax2Ax1(anx2)和an1x1(anx1)anCanC

两式相除得anx1an1x1Ax1anx1即可，构造等比数列{anx2an1x2Ax2anx2

112构造等差数列即可 an1xanxAC若得到的是等根x，则不能按上述构造等比数列 只能考虑等差数列求得

第三篇：河南省2021年高三专题复习用不动点法求数列通项

用不动点法求数列的通项

定义：方程的根称为函数的不动点.利用递推数列的不动点，可将某些递推关系所确定的数列化为等比数列或较易求通项的数列，这种方法称为不动点法.定理1：若是的不动点，满足递推关系，则，即是公比为的等比数列.证明：因为

是的不动点

由得

所以是公比为的等比数列.定理2：设，满足递推关系，初值条件

（1）：若有两个相异的不动点，则

（这里）

（2）：若只有唯一不动点，则

（这里）

证明：由得，所以

（1）因为是不动点，所以，所以

令，则

（2）因为是方程的唯一解，所以

所以，所以

所以

令，则

例1：设满足，求数列的通项公式

例2：数列满足下列关系：，求数列的通项公式

定理3：设函数有两个不同的不动点,且由确定着数列,那么当且仅当时,证明:

是的两个不动点

即

于是,方程组有唯一解

例3：已知数列中，求数列的通项.其实不动点法除了解决上面所考虑的求数列通项的几种情形,还可以解决如下问题:

例4：已知且,求数列的通项.解:

作函数为,解方程得的不动点为

.取,作如下代换:

逐次迭代后,得:

已知曲线．从点向曲线引斜率为的切线，切点为．

（１）求数列的通项公式；

（２）证明：

设为实数，是方程的两个实根，数列满足，（…）．（1）证明：，；（2）求数列的通项公式；（3）若，求的前项和．

已知函数，是方程的两个根（），是的导数，设，．

（1）求的值；

（2）证明：对任意的正整数，都有；

（3）记，求数列的前项和

13陕西文21．（本小题满分12分）已知数列满足，.令，证明：是等比数列；

(Ⅱ)求的通项公式。

2山东文20.（本小题满分12分）等比数列{}的前n项和为，已知对任意的，点，均在函数且均为常数)的图像上.（1）求r的值；（11）当b=2时，记

求数列的前项和

w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

第四篇：幼儿园定点法、追踪法、扫描法观察记录

结构游戏——四条腿的动物（长颈鹿）

观察方法：扫描观察法

观察时间：2012年5月17日

开始时间：下午3点30分

结束时间：下午4点00分

观察地点：小五班活动室

观察对象：小五班全体幼儿

观察学生：杨远平

翁老师准备了一堂长颈鹿的建构游戏课。翁老师先介绍了长颈鹿的身体部位的组成，用了哪些积木搭成长颈鹿后，才让孩子们开始自由的操作积木。游戏开始后小朋友们也都很专注的做长颈鹿，孩子们有的先拼身子有的先拼长颈鹿的脚，几乎所有小朋友都能较快的选择自己需要的积木，并且将积木一个一个搭起来，把每一个身体部位都放到了正确的位置上，并且哪一个需要四个脚的积木哪一个是需要两个脚的积木都分的比较清楚。大约一分多钟后，有几个小朋友已经搭好了第一只长颈鹿，比如第二桌的欣欣就快速搭好了一只绿色的长颈鹿。同时也有几个小朋友还在做长颈鹿的脚或者做长颈鹿的身子，进度比较慢。有一个小女生不知道怎么把长颈鹿的身子合起来不会散掉，她只是拿了四片积木放在桌子上堆成身子的形状，并没有固定住，四片积木是分开的。这期间，有的小朋友把长颈鹿搭的比较扁，只用了一片或者两片积木搭成，以至于站不稳。其中有一个男生轩轩和一个女生琪琪没有拼长颈鹿，而是自己随意的把积木搭起来，搭的又高又大看不出来是什么。在进行了大约十分钟后，基本上所有的小朋友都搭好了一只长颈鹿，快的几个小朋友搭好了两到三只长颈鹿。并且所有小朋友都把搭好的积木放到了展览台上，每一个小朋友都认真观察了其他小朋友做的长颈鹿。在翁老师的指导下，小朋友一起欣赏了做的好看的长颈鹿，小朋友做的长颈鹿也都和老师的不一样，头转的方向也不一样，比较有创意。同时也发现了做的不对的长颈鹿，比如有的做的高而扁，站不稳，有的少搭了腿，有的忘了加尾巴等。整体下来，只有个别小朋友拼起来比较吃力，需要教师从旁指导。

分析：

1.小五班的幼儿的观察能力、动手能力以及创新能力的发展比较不错。但是发展情况也因人而异，有的孩子发展的比较快，做的也比较快，发展的比较慢的做的比较慢。有的幼儿能自己搭一只与老师不一样的长颈鹿，而有的幼儿搭出来的和老师的一模一样。

2.幼儿在拼积木过程中，遇到问题时，教师多采取让其先自己想办法解决，当幼儿想不出来时，教师给予适当的指导。

3.教师对表现的比较优异的幼儿予以表扬，同时也鼓励做的比较慢的幼儿。

4.幼儿在建构过程中，能互相帮助，当其他小朋友找不到所需要的积木时，其他幼儿能帮忙寻找。这一点是很好的。

5.在幼儿结束游戏后，教师带小朋友一起欣赏，并且让幼儿自我发现和观察做的不对的地方，这个锻炼了幼儿的观察力，并且也同时提醒了幼儿下次再进行结构游戏时应注意的地方。

表演游戏——三只羊

观察方法：定点观察法

观察时间：2012年5月16日

开始时间：下午3点40分

结束时间：下午4点10分

观察地点：小五班活动室

观察对象：小五班八名幼儿

观察学生：杨远平

下午翁老师与小朋友一起回忆了三只羊的故事。并且绘声绘色的把每一个动物的表情和动作与小朋友一起表演了出来。三只羊的故事中主要有大灰狼、大羊、中羊和小羊四个角色。翁老师每次都邀请了四个小朋友上去表演。第一次老师邀请了郭瑞祥扮演大灰狼。林成轩、林伟文和郑成雪分别扮演了大羊、中羊和小羊。老师负责念旁白。第一只小羊要上山去吃青草，大灰狼听见走路声，就问：“谁呀？”郭瑞祥站在桌子旁，笑笑地表演着，雪雪回答说：“我是小羊”。这时候大灰狼又问：“你来干什么？”小羊回答说：“上山来吃青草。”大灰狼还是笑嘻嘻的说：“我要吃掉你。”小羊听了也不害怕慢慢的跑了下去。紧接着中羊也来了，在教师的指导下，中羊跑走的速度比较快，但是大灰狼郭瑞祥还是笑笑地问，没有表现出大灰狼的恶狠狠的表情。在小羊、中羊和大羊一起上山的时候，大羊轩轩想了想说：“不要害怕，我们一起上山去要是碰见大灰狼，小羊用头撞，中羊跟我一起用脚踢，让大灰狼滚下山，摔死它。”上山后，大灰狼依旧是笑嘻嘻的站在那里，三只羊分别用头撞用脚踢的时候大灰狼还是很开心，没有表现出被打了的表情和动作。相反的三只羊都分别把自己的动作表现出来。第二次老师又请了新的四个小朋友来表演游戏。在老师的指导下，第二次表演的小朋友表演的比较完整，并且表情和动作也表现的比较好。张茜小朋友伸出小手做出大灰狼的张牙舞爪的动作，声音也用的比较雄厚些。三只小羊陈思嘉、刘顺丰和吴紫涵也完整的把自己的动作和声音表演出来。吴紫涵举起小手放在头上当羊角咩咩的跑上山去，并且用了比较轻的声音说“我是小羊”“上山来吃青草”。三只羊从大到小有序的排队上山，并且用了大羊想的办法，小羊吴紫涵用头顶了大灰狼的肚子，中羊刘顺风和大羊陈思嘉用脚踢大灰狼，大灰狼张茜被打了后“哎呦呦”的叫了一下。

分析：

1.2.小五班的幼儿对表演游戏是比较感兴趣的，并且在老师提问大灰狼和羊的动作、表情、声音的时候，小朋友通过已有的经验都表现出来了。在老师的指导下，幼儿角色分配明确，并且每一个幼儿基本能表现出自己所扮演的角色。但是，在表演的过程中，幼儿没有真正投入到表演中，比如被打了的大灰狼还在笑，要逃跑的羊是慢悠悠的下去等。

3.4.教师在旁的适当的指导是比较重要的，这样让这个表演游戏更加完整，同时也解决了有些小朋友不知道自己现在该表演什么的问题。幼儿表演的时候表情是做的比较不到位的，幼儿在这方面还是有待于提高的，八

个小朋友在表演的时候都是很开心的，没有根据情节去改变表情，说明小朋友很感兴趣，但是没有弄明白应该用什么表情。

5.幼儿把要说的语言都记得比较清楚，这一点是比较好的。

角色游戏——娃娃家区域活动

观察方法：追踪观察法

观察时间：2012年5月17日

开始时间：上午10点20分

结束时间：上午10点40分

观察地点：娃娃家活动区域

观察对象：小五班郭瑞祥小朋友

观察学生：杨远平

在老师宣布可以进入自己喜欢的区域进行玩游戏的时候，郭瑞祥来到了娃娃家活动区域，拿了爸爸的角色牌。他进入区域后，郭瑞祥把娃娃拿进微波炉，被游博秋拿出来后，他又把娃娃放进微波炉，两个来回两三回后，他终于把娃娃放进微波炉，并且很开心的转动了一下微波炉开关然后说：“就快可以吃了”。拿出来后说“开饭罗，开饭罗。”并且把娃娃放到桌子上。后又咬娃娃，并且打娃娃，把娃娃仍在地板上，后又跑去切菜炒菜区。郑老师过来干预第一次，“怎么三个人都在这里，娃娃怎么在地板上？”随即郭瑞祥又跑到娃娃旁边，没有捡起娃娃，反而是用脚踩娃娃，然后离去。接着又来到了炒菜的锅前，把拿出来的菜放到锅里抄了一下，但同时“奶奶”和“爷爷”也在炒菜这里，三个人在抢来抢去。郑老师第二次过来提醒后，郭瑞祥来到了坐垫上，把其中一只娃娃抱起来并坐到坐垫上，照顾宝宝，同时伸手拍了拍躺在旁边的另外一只宝宝。一分钟不到，他就站起来把娃娃放到了坐垫上，他自己来到了娃娃家中切菜和洗菜的水池前，认真的切菜。但是他在切菜时，没有注意一次只能切一种菜，而是抓了一大把，用刀子切了就下，就放到盘里，并且全部倒到锅里去。就这样切菜然后把菜倒进锅里持续了两分多钟左右，他突然跑过去抱起娃娃，并且把娃娃试图放进微波炉，在“爷爷”的阻止下，他生气地把娃娃扔到了地板上。郑老师第二次过来“郭瑞祥，你到底在干吗，你怎么可以把宝宝一下子丢出去？赶快去捡起来。”郭瑞祥跑过去把娃娃捡了起来，并且放到了坐垫上。然后去炒菜区，帮忙拿拿盘子等。四处闲晃了一分多钟后，老师的音乐声响起来，三个人忙着收拾玩具。游戏结束。

分析：

1.2.3.4.5.幼儿进入娃娃家后，三个人没有提前分工好自己要做什么，以至于一度出现了三个人抢做一件事情。郭瑞祥不知道爸爸的身份应该做些什么，抱娃娃是他不喜欢的。他对宝宝的行为也都是又打又踩的，但表情是开心的，说明他没有认识到自己这个行为是错误的。郭瑞祥把娃娃甩到地板上，说明了他没有遵守游戏规则，老师前天刚说娃娃怎么抱，怎么照顾娃娃，他都是没有遵守的。他与同伴的合作还是不错的，后面知道帮忙拿拿盘子，或者是把菜端到桌上来，这个变现的比较好。他把娃娃放进微波炉这个行为是值得我们去思考的，他没有弄清楚虽然这个事假的娃娃，但是不能把娃娃放进去微波炉，没有弄清楚娃娃的身份。

第五篇：薛法根桂花雨.doc

《桂花雨》课堂教学实录

执教者：薛法根（著名特级教师）整理与评析：叶秋莲（徽州区下街小学）

师：今天我们学习新课文《桂花雨》，请同学们看到黑板上的读拼音写词语，请你写在笔记本上，看谁写得又对又快。（学生写，略）

师：边巡视边笑着说：“有人在偷看，偷看课文可以，不要偷看同桌的，说不定他也是错的。”

[以轻松幽默的方式告诉学生，不会写的时候要去查找正确的答案。小学生识记生字第一印象很重要，如果今天因为看别人写的是个错的，久而久之，那以后想改正就有点难了，所以第一印象一定要正确。]

（学生陆续写好并举手）

师：请第一名的上来写第一行，第二名的上来写第二行。

[师生一起批阅第一行词语：（糕）饼（尤）其新（鲜）]

师：完全正确奖励他一颗五角星，请写对的同学也奖励自己一颗五角星。（生在本子上奖励自己一颗五角星。）

师：请你们把这三个词语连起来再加个句号读一读。

生：糕饼尤其新鲜。

[从字到词再到句子，教得轻松自然如行云流水，不流任何痕迹，这就是薛老师的高明之处。]

师：“尤其”相当于哪一个词的意思，看谁聪明。

生：非常

师：不是很准确

生1：特别生2：格外

师：对了，有“特别”、“格外”的意思。

（师生共同批阅第二行，批到“吩咐”一词，问写这词的同学。）

师：“吩咐”，我们两人谁可以吩咐谁？

生：老师，您可以吩咐我。

师：那在家里，谁可以吩咐谁啊？

生1：爸爸妈妈生2：爷爷奶奶生3：外公外婆

师：那你可以吩咐谁啊？

生1：我没人可以吩咐，在家里没人比我小。（众笑）

生2：我在家里可以吩咐我的弟弟和妹妹。

[“吩咐”一词适用于长辈对晚辈，薛老师采用师生对话的形式轻松解决这一问题。]

（批到错词“挑捡”）

众生：错了！

师：错了？

众生：对了！（众笑）

师：到底是错了还是对了，别看我，去看你的书。

（看书后，师生共同改正“捡”为“拣”，重点区分两字的不同含义，随机进行了选取字填空的训练。）

师：请全对的同学奖自己一颗五个角的星——五角星，错一个的奖自己一颗三个角的星——三角形，错两个的有没有角啊。

[评：字词教学不一定每个都教，学生会的就不用再教。在这一环节薛老师进行了选择性教学，对关键性的词语“尤其、吩咐、挑拣”他作了重点教学。]师：这些词都出现在今天要学的这篇课文里，这篇文章的作者是琦君，原名潘希真„„（略）

师：请你们自己把课文读一读，并想象摇桂花的情景，并试着用一个字概括。（生自读课文，略）

[让学生带着任务去读书，并且任务布置得简洁明了，不拖泥带水。]师：这一场又一场的桂花雨给人留下一个什么样的印象呢？

生1：美！生2：香！生3：乐！

师：谁愿意来读读课文的第一自然段？

生：小时候，我最喜欢桂花。

师：有一个字要读重音，你知道是哪个字吗？

生：“最”，再次读“小时候，我最喜欢桂花。桂花树不像梅花那么有姿态，笨笨拙拙的。不开花时，只是满树茂密的叶子；开花季节，也得仔细地从绿叶丛里找细花。桂花不与繁花斗艳，可是它的香气味儿真是迷人。”

师：满树的叶子好看吗？

生：不好看！

师：那满树光秃秃的好看？

生：好看！（被老师这么一追问，意识到前面说满树的叶子不好看的失误，连忙改口说“好看”。）

师：那作者为什么说满树的叶子不太好看？

生：太平淡了，全是叶子，要花搭配的才好看。

师：那你认为桂树的花好看吗？

生：不太好看，太小了！

师：那桂树这个不好，那个不好，就是什么好？

生：香气迷人！

师：请你再读这一自然段。

生：桂花树不像梅花那么有姿态，笨笨拙拙的。

师：嗯，不好看！

生：不开花时，只是满树茂密的叶子；

师：嗯，不好看！

生：开花季节，也得仔细地从绿叶丛里找细花。

师：嗯，不好看！

生：桂花不与繁花斗艳，可是它的香气味儿真是迷人。

师：嗯，这一点好！同学们，作者不直接写它好的地方，而是先写这个不好，那个不好，最后写就是这一点“香”好，你知道这是为什么吗？

生1：比较！突出！生2：衬托！生3：反衬！

师：对，这就是反衬。

[老师引导学生感悟“反衬”这一写作手法时真可谓润物细无声啊，并且在此处他力求做到点到为止，不做深究，这也是符合课标精神的。]

(师请一女生再次读课文第一自然段，读毕。)

师：你读得真迷人！

[当学生表现优秀时，不吝啬赞美之词，及时给学生戴一顶“高帽子”。]师：接下来请你们自读二、三、四自然段，请读到表现香的句子用线画下来。（生自读自悟）

生：桂花开得最茂盛时，不说香飘十里，至少前后左右十几家邻居，没有不浸在桂花香里的。

师：哪一个字突出了香？

生：浸

师：你浸在水里过吗？水看得见吗？

生：看得见

师：摸得着吗？

生：摸得着

师：那香味呢？看得见吗？

生：看不见

师：摸得着吗？

生：摸不着

师：感觉得到吗？

生：感觉不到。（惯性发生口误，众笑，生忙改口道“感觉得到”

师：一个“浸”字，就把香味写得好像看得见、摸得着、感觉得到的东西，把无形的东西写得更真切了，这个字就用得好。

生：桂花纷纷落下来，落得我们满头满身，我就喊：“啊！真像下雨！好香的雨呀！”

师：哪个字体现了“乐”？

生：落

师：课文中有父亲体会到的香吗？

生齐：细细香风淡淡烟，竞收桂子庆丰年。儿童解得摇花乐，花雨缤纷入梦甜。

师：是啊，父亲把桂花的香、桂花的甜、桂花的美以及摇花的乐用一首诗表达出来了，请同学们再读这首诗，读出桂花的香、乐、甜、美。

（师生一起美美地把这首诗读了一遍。）

师：课文中除了讲父亲体会到的，还有母亲体会到的香吗？

生：以后我从外地回家，总要捧一大袋桂花给母亲。可是母亲常常说：“外地的桂花再香，还是比不得家乡旧宅院子里的金桂。

师：“外地”是什么意思？（师趁机介绍作者由瞿溪迁往杭州的历史，并相 机介绍杭州“满觉垅”的桂花闻名天下。）

[此处插入了一些课外知识，从表面上看，仿佛“节外生枝”，但从整体教学思路来看，却是“顺理成章”。这样既拓宽了学生的知识面，又为学习下文作了铺垫。]

师：你说杭州“满觉垅”的桂花不香吗？母亲为什么说比不过家乡旧宅院子里的金桂？

生1：母亲爱自己的家乡，所以说比不过家乡旧宅院子里的金桂香。

生2：少了摇花的乐，所以说比不过家乡旧宅院子里的金桂香。

生3：儿子摇花乐，母亲看着儿子快乐，自己也快乐，全家人都沉浸在“乐”中，所以说外地的花再香也比不过家乡的花香。

师：她是不是比香气的浓和淡，她是比什么？

生：情的浓和淡

师：这是一种不同寻常的情，是什么情？生：乡情

师：作者写这篇文章的时候，他在哪里？生：台湾

师：作者去了台湾就再也没有回来了，在这段日子里他的父亲母亲相继去世，你想一想作者写父亲母亲的有关句子是什么样表情？

生：泪流满面

师：想念家乡，又不能回去，这种忧伤就是——生齐：乡愁

师生齐读：每到这时，我就会想起童年时代的“摇花乐”和那阵阵的桂花雨。

[引导学生读这样的文章，不能只看作者写了什么，而要看作者在其中表达了什么样的感情，这个感情才是文章的灵魂！本文桂花香气中弥漫着作者淡淡的乡愁，散落着作者细细的怀旧情这就是要引导学生好好体会的，要体会这样的情感，这时就要抓关键点来体会，什么是关键点，那么父亲的话、母亲的话就是关键点。]

师：桂花雨让作者魂牵梦绕，并板书“桂花还是故乡的香。”

师：请同学们把这句话抄在笔记本上，并想像一下，当你有一天离开了婺源，你会说什么？请你模仿这个句子“（）还是故乡的（）”再写两三句。

（生写师巡视，巡视的过程发现不妥的句子加以纠正，比如“砚台还是家乡的黑”不妥。）

（生一边汇报一边把自己写的内容板书在黑板上。）

师：桂花还是故乡的香。

生1：茶还是故乡的浓。

生2：梨还是故乡的甜。

生3：月饼还是故乡的酥。

生4：丝绸还是故乡的柔。

生5：水还是故乡的清。

生6：鱼还是故乡的肥。

生7：山还是故乡的秀。

生8：人还是故乡的亲。

生9：月还是故乡的明。

（师生齐读以上编写的内容，台下一片赞叹声、掌声。）

[这一教学环节组织得这么周密，雕琢得这么精细，使孩子们感到有趣——趣味盎然；有情——情意浓浓；有味——回味无穷；可以说是薛老师智慧、经验、风格的体现。]

师：看这就是一首小诗嘛，谁来为它取个题目。

生1：家乡美

师：俗了

生2：回忆

师：有点莫名其妙了

生：乡情

师：带了点淡淡的忧伤

生：乡愁

[要体会字词的用法，用字用词一定要准确，语文教学要变得清晰，要教得清清楚楚。]

师：桂花雨，好香的雨啊。这香字当中，隐藏着作者童年时的美好回忆。但六十

多岁了，作者还要写自己童年时的摇花乐，她要表达的是淡淡的乡愁。请记住这散文题目„„

生：桂花雨

师：让这阵阵桂花雨留在大家心底，也让这淡淡的乡愁留在大家心底。今天的课就上到这里，请你们课后比较阅读有关表达乡情的文章，并想一想它们在思想上、情感上有什么不同。

（下课）

总评：《语文课程标准》指出：“阅读教学是教师、学生、文本三者对话的过程。”这堂课不仅体现了老师与文本对话的深度，也凸显了孩子与教材对话的过程，更彰显了师生间的对话式的交流。它昭示着教育的平等、民主，昭示着教育的人文关怀。特别是老师的读、写训练的巧妙安排，真可谓“匠心独运”！本节课还充分体现了教师是学生学习活动中的组织者、引导者、参与者的角色定位。]