第一篇：(教学设计)九上解直角三角形及其应用_数学_初中_张磊_3709031001
教学设计
一 提出问题, 导入新课
（互动）1.在三角形中共有几个元素?(生： 6个: 三个角, 三条边)2.Rt△ABC(∠C=90°)中, 除了直角外, 还有几个元素?(生： 5个: 边a, b, c 和角∠A,∠B)3.a, b, c, ∠A,∠B这5个元素中有哪些等量 关系呢?（生答）
分类: 三边之间关系: a²+b²=________(勾股定理)锐角之间关系: ∠A+∠B=________(互余)
边角之间关系: sinA=________, cosA=________, tanA=________, sinB=________, cosB=________, tanB=________(引导学生填写)有了这些关系, 在直角三角形中, 除直角外的五个元素中, 已知其中两个, 是否可以求出另外三个元素呢? 二 探究新知
1.你认为本节内容主要讲了什么? 2.你认为本节内容重点要掌握什么? 请5个同学谈谈自己看法, 点评后，再提出下列问题：（目的是培养学生的阅读能力和自学能力)教师肯定学生的观点和行为后, 在鼓励学生解决以下问题: 1.什么叫解直角三角形?(生答师板书)在直角三角形中, 除直角外, 由已知元素求出未知元素的过程, 叫做解直角三角形.2．什么条件下可以解直角三角形? 对于一个直角三角形, 是否知道两个元素, 就可以解这个直角三角形了? 生：已知两个元素中至少有一个是边（除直角外)(请学生思考回答后, 并请举例说明已知两个元素中至少有一个是边,不能都是角的道理)例1.在Rt△ABC中, ∠C=90°,∠B=42°6＇，c=287.4解这个直角三角形.(互动)分析:1.本题已知什么? 所求的元素有哪些?(生：已知三个元素∠C=90°,∠B=42°6＇，c=287.4, 所求的元素有∠A, a, b)2.求哪一个元素最简单?(生：另一个锐角A, 利用锐角互余)3.边a, b与已知边c和∠B有什么关系? 如何求?(生：由cosB= sinB= 得a=c cosB b=c sinB)思考： 求出a后求b还有哪些方法? 求出∠A后, 能否利用∠A求出a, b ?(生：求出a后, 还可以由勾股定理求b, 求出∠A后, 可由sinA= 求a, 由cosA= 求b)师：在计算时利用所求的量如果不比原始数据简便的话，最好用原始数据计算，并且可以减小误差；在计算时，应尽量避免开方运算。
板书解题过程.解：（1）∠A=90°-42°6＇=47°54´
（2）由cosB= 得 a=c cosB=287.4×0.7420=213.3(3)由sinB= 得b=c sinB=287.4×0.6704=192.7（互动）思考交流: 小结“已知一边一角, 如何解直角三角形?”
点评：先求另外一角, 然后选取恰当的函数关系式求另外两边.练一练:做课本P92练习第1,2题(请两学生上黑板板书), 教师点评后提问: 小结“已知两边, 如何解直角三角形?”（互动：学生合作交流作答）
师点评: 先求另外一边, 然后选取恰当的函数关系式求另外两角, 或先求一角,利用互余求另一角.师：解直角三角形在很多方面都有应用, 我们先来探讨如何利用它求三角形面积.例2.如图 在△ABC中, ∠A=55°,b=20cm, c=30cm.求三角形的面积(精确到0.1cm²)（互动）分析思考: 1.三角形的面积公式是什么?(S= ah)2.本题已知什么, 待求什么?(已知底, 待求高)3.如何作高线? 有几种方法? 每一种方法是否都行?(生：可作AB边上的高, 也可作AC边上的高, 这里只有作AB边上的高才可以)4.这里求高, 属于哪一类解直角三角形问题?(生：已知一边一角, 解直角三角形, 只要求出另一边)（让学生先写出解答过程）
(师板书)解:如图, 做AB边上的高CD 在Rt△ADC中, CD=AC﹒sinA=b﹒sinA 则△ABC的面积= AB CD= bc﹒sinA 所以当∠A=55°,b=20cm, c=30cm.时，有 S = bc﹒sinA = 20×30×sin55° = ×20×30×0.8192=245.8(cm²)教师点评: 本例得出S = bcsinA,（可作为三角形的面积公式.）
学生探讨: 三角形的面积是否可以用a,c以及夹角B或a,b及夹角C表示呢?(课后思考)三 巩固练习
做课本P92练习题第3题
先请同学思考并说出解题思路, 再上黑板板书.四 课堂小结
通过本节课学习, 我们学习了哪些知识? 有哪些收获和疑惑?(学生自由发言)学生归纳后, 教师点评: 1.如何利用直角三角形(除直角外)两个已知元素(至少有一个是边)去求其它元素, 以及解直角三角形的简单应用.2.要多观察, 多思考, 多归纳总结, 发现规律.五 布置作业
1.必做题: 2.选做题: 写出直角三角形(除直角外)的5个元素中, 两个已知元素(至少有一个是边)求另外三个元素的所以情况结果.六 板书设计
解直角三角形及其应用
一 概念 二 例题
1.直角三角形三边关系 例1 例2 2.直角三角形锐角之间关系 —————— ————— 3.直角三角形边角之间关系 —————— ————— 4.解直角三角形的定义 —————— —————
第二篇：九上解直角三角形及其应用公开课教案
典型课例
《解直角三角形及其应用》教学设计
东至县官港高级职业中学 冯松胜
教材分析和设计思想
锐角三角函数是在直角三角形的基础上加以定义的, 在学习概念之后又用于解直角三角形, 不仅是知识的循环, 还突显出三角函数在实际测量中的重要作用, 在把实际问题转化为数学问题之后, 就是运用解直角三角形的知识来解决的.本节课内容就是介绍解直角三角形的知识, 是三角函数知识运用的最基础的部分.因本节课内容较简单, 故采用“问题—自学—研究”的方法, 总体思路是教材让学生看, 规律让学生找, 道理让学生讲, 例题让学生做.让学生通过自主学习来解决问题，体现学生学习的主动性，培养学生主动学习的良好习惯。并且采用探究式教学模式，整个教学过程以学生动脑、动手为主，教师点拨引导为辅，鼓励学生合作交流，培养学生良好的品质素养。本节课以引导学生研究、探索、发现为主线，以激发学生参与教学活动、积极思维、创造性地解决问题为目标，主要从以下几个方面考虑：
1.尊重学生已有的知识和经验。本课教师首先引导学生回顾三角形中几个元素间的关系，激活学生原有的知识，为本课的学习作知识预备，然后让学生通过什么条件下可以解直角三角形的探究，体现出学生学习新知识是在原有的知识基础上的自我建构、自我生成的过程。
2.注重学生在学习过程中的自主体验。教学过程中教师给学生留出了充分的活动时间和想像空间，鼓励每位学生动手、动口、动脑，积极参与到活动和实践中来。教学中将操作实验、自主探索、合作交流、积极思考等学习方式贯穿数学学习的始终。
3.认真落实学生的主体地位，实现教师角色的转变。教师既是学生学习活动的组织者，又是学生学习活动的参与者，教师自始至终和学生一起共同探索，提出问题，让学生研究，使学生真正成为学习的主人，在积极参与的过程中感受探索的乐趣，使不同的学生得到不同的发展，满足了学生的求知、参与成功、交流和自尊的需要。教学过程的开放，为学生积极参与教学过程，充分发挥聪明才智提供了很大的空间，大大激活了学生的思维，培养了学生的创新精神和实践能力。教学目标 1.知识与技能
理解直角三角形中五个元素的关系, 会运用勾股定理, 直角三角形的两锐角互余及锐角三角函数解直角三角形.2.过程与方法
通过学生经历由感性到理性, 由具体到抽象的认识过程, 通过综合运用勾股定理, 直角三角形的两锐角互余及锐角三角函数解直角三角形, 逐步培养学生分析问题和解决问题的能力.3.情感态度和价值观
培养学生自主探究与合作交流的学习习惯.教学重难点
教学重点: 直角三角形的解法
教学难点: 锐角三角函数在解直角三角形中的灵活运用 教学方法
问题 － 自学 － 研究 教学过程
一 提出问题, 导入新课
（互动）1.在三角形中共有几个元素?(生： 6个: 三个角, 三条边)2.Rt△ABC(∠C=90°)中, 除了直角外, 还有几个元素?(生： 5个: 边a, b, c 和角∠A,∠B)3.a, b, c, ∠A,∠B这5个元素中有哪些等量
关系呢?（生答）
分类: 三边之间关系: a²+b²=________(勾股定理)锐角之间关系: ∠A+∠B=________(互余)
边角之间关系: sinA=________, cosA=________, tanA=________, sinB=________, cosB=________, tanB=________(引导学生填写)有了这些关系, 在直角三角形中, 除直角外的五个元素中, 已知其中两个, 是否可以求出另外三个元素呢? 二 探究新知
请同学们先阅读教材第91-92页, 回答下列问题:（约5分钟）1.你认为本节内容主要讲了什么? 2.你认为本节内容重点要掌握什么? 请5个同学谈谈自己看法, 点评后，再提出下列问题：（目的是培养学生的阅读能力和自学能力)教师肯定学生的观点和行为后, 在鼓励学生解决以下问题: 1.什么叫解直角三角形?(生答师板书)在直角三角形中, 除直角外, 由已知元素求出未知元素的过程, 叫做解直角三角形.2．什么条件下可以解直角三角形? 对于一个直角三角形, 是否知道两个元素, 就可以解这个直角三角形了? 生：已知两个元素中至少有一个是边（除直角外)(请学生思考回答后, 并请举例说明已知两个元素中至少有一个是边,不能都是角的道理)例1.在Rt△ABC中, ∠C=90°,∠B=42°6＇，c=287.4解这个直角三角形.(互动)分析:1.本题已知什么? 所求的元素有哪些?(生：已知三个元素∠C=90°,∠B=42°6＇，c=287.4, 所求的元素有∠A, a, b)2.求哪一个元素最简单?(生：另一个锐角A, 利用锐角互余)3.边a, b与已知边c和∠B有什么关系? 如何求?(生：由cosB= sinB= 得a=c cosB b=c sinB)思考： 求出a后求b还有哪些方法? 求出∠A后, 能否利用∠A求出a, b ?(生：求出a后, 还可以由勾股定理求b, 求出∠A后, 可由sinA= 求a, 由cosA= 求b)师：在计算时利用所求的量如果不比原始数据简便的话，最好用原始数据计算，并且可以减小误差；在计算时，应尽量避免开方运算。
板书解题过程.解：（1）∠A=90°-42°6＇=47°54´
（2）由cosB= 得 a=c cosB=287.4×0.7420=213.3(3)由sinB= 得b=c sinB=287.4×0.6704=192.7（互动）思考交流: 小结“已知一边一角, 如何解直角三角形?”
点评：先求另外一角, 然后选取恰当的函数关系式求另外两边.练一练:做课本P92练习第1,2题(请两学生上黑板板书), 教师点评后提问: 小结“已知两边, 如何解直角三角形?”（互动：学生合作交流作答）
师点评: 先求另外一边, 然后选取恰当的函数关系式求另外两角, 或先求一角,利用互余求另一角.师：解直角三角形在很多方面都有应用, 我们先来探讨如何利用它求三角形面积.例2.如图 在△ABC中, ∠A=55°,b=20cm, c=30cm.求三角形的面积(精确到0.1cm²)（互动）分析思考: 1.三角形的面积公式是什么?(S= ah)2.本题已知什么, 待求什么?(已知底, 待求高)3.如何作高线? 有几种方法? 每一种方法是否都行?(生：可作AB边上的高, 也可作AC边上的高, 这里只有作AB边上的高才可以)4.这里求高, 属于哪一类解直角三角形问题?(生：已知一边一角, 解直角三角形, 只要求出另一边)（让学生先写出解答过程）
(师板书)解:如图, 做AB边上的高CD 在Rt△ADC中, CD=AC﹒sinA=b﹒sinA 则△ABC的面积= AB CD= bc﹒sinA 所以当∠A=55°,b=20cm, c=30cm.时，有 S = bc﹒sinA = 20×30×sin55° = ×20×30×0.8192=245.8(cm²)教师点评: 本例得出S = bcsinA,（可作为三角形的面积公式.）
学生探讨: 三角形的面积是否可以用a,c以及夹角B或a,b及夹角C表示呢?(课后思考)三 巩固练习
做课本P92练习题第3题
先请同学思考并说出解题思路, 再上黑板板书.四 课堂小结
通过本节课学习, 我们学习了哪些知识? 有哪些收获和疑惑?(学生自由发言)学生归纳后, 教师点评: 1.如何利用直角三角形(除直角外)两个已知元素(至少有一个是边)去求其它元素, 以及解直角三角形的简单应用.2.要多观察, 多思考, 多归纳总结, 发现规律.五 布置作业
1.必做题: 课本P101 A组第1, 8题.2.选做题: 写出直角三角形(除直角外)的5个元素中, 两个已知元素(至少有一个是边)求另外三个元素的所以情况结果.六 板书设计
25.3 解直角三角形及其应用
一 概念 1.直角三角形三边关系 2.直角三角形锐角之间关系 3.直角三角形边角之间关系 4.解直角三角形的定义 二 例题
例1 —————— —————— —————— 例2 ————— ————— —————
第三篇：初中数学《解直角三角形及其应用》说课稿
各位老师：大家好!
今天我说课的题目是《解直角三角形及其应用》的第一课时，源自湘教版数学九年级下册第4章第三节。下面我将从教材分析，教法与学法，教学过程及教学评价四个方面进行阐述。
一、教材分析
(一)、教材的地位与作用
本节是在掌握了勾股定理，直角三角形中两锐角互余，锐角三角函数等有关知识的基础上，能利用直角三角形中的这些关系解直角三角形。通过本小节的学习，主要应让学生学会用直角三角形的有关知识去解决某些简单的实际问题。从而进一步把形和数结合起来，提高分析和解决问题的能力。它既是前面所学知识的运用，也是高中继续解斜三角形的重要预备知识。它的学习还蕴涵着深刻的数学思想方法(数学建模、转化化归)，在本节教学中有针对性的对学生进行这方面的能力培养。
(二)教学重点
本节先通过一个实例引出在直角三角形中，已知两边，如何求第三边，再引导学生如何求另外的两个锐角，这样一是为了巩固前面的知识，二是如何让学生正确利用直角三角形中的边角关系，逐步培养学生数形结合的意识，从而确定本节课的重点是：由直角三角形中的已经知道元素，正确利用边角关系解直角三角形。
(三)、教学难点
由于直角三角形的边角之间的关系较多，学生一下难以熟练运用，因此选择合适的关系式解直角三角形是本课的难点。
(四)、教学目标分析
1、知识与技能：本节课的目标是使学生理解解直角三角形的意义，能运用直角三角形的三个边角关系式解直角三角形，培养学生分析和解决问题能力。其依据是：新课标对学生数学学习的总体目标规定“获得适应未来社会生活和进一步发展所必需的重要数学知识”。
2、过程与方法：通过学生的探索讨论发现解直角三角形所需的最简条件，使学生了解体会用化归的思想方法将未知问题转化为已知问题去解决。其依据是新课标关于学生的学习观——“动手实践、自主探索与合作交流是学习数学的重要方式”。
3、情感态度与价值观：通过对问题情境的讨论，以及对解直角三角形所需的最简条件的探究，培养学生的问题意识，体验经历运用数学知识解决一些简单的实际问题，渗透“数学建模”的思想。其依据是：新课标对学生数学学习的总体目标规定“具有初步的创新精神和实践能力，在情感态度和一般能力方面都能得到充分发展”。
二、教法设计与学法指导
(一)、教法分析
本节课采用的是“探究式”教法。在以最简洁的方式回顾原有知识的基础上，创设问题情境，引导学生从实际应用中建立数学模型，引出解直角三角形的定义和方法。接着通过例题，让学生主动探索解直角三角形所需的最简条件。学生在过程中克服困难，发展了自己的观察力、想象力和思维力，培养团结协作的精神，可以使他们的智慧潜能得到充分的开发，使其以一个研究者的方式学习，突出了学生在学习中的主体地位。
教法设计思路：通过例题讲解，使学生熟悉解直角三角形的一般方法，通过对题目中隐含条件的挖掘，培养学生分析、解决问题能力。
(二)、学法分析
通过直角三角形边角之间关系的复习和例题的实践应用，归纳出“解直角三角形”的含义和两种解题情况。通过讨论交流得出解直角三角形的方法，并学会把实际问题转化为解直角三角形的问题。
学法设计思路：自主探索、合作交流的学习方式能使学生在这一过程中主动获得知识，通过例题的实践应用，能提高学生分析问题，解决问题的能力，以及提高综合运用知识的能力。
(三)、教学媒体设计：由于本节内容较多，为了节约时间，让学生更直观形象的了解直角三角形中的边角关系的变化，激发学生学习兴趣，因此我借助多媒体演示。
三、教学过程设计
本节课我将围绕复习导入、探究新知、巩固练习、课堂小结、学生作业这五个环节展开我的教学，具体步骤是：
(一)复习导入
◆师：前面的课时中，我们学习了直角三角形的边角关系，下面老师来看看大家掌握得怎样?
▲
1、直角三角形三边之间的关系?(a2+b2=c2，勾股定理)
2、直角三角形两锐角之间的关系?(∠A+∠B=900)
3、直角三角形的边和锐角之间的关系?
∠A的邻边
∠A的对边
∠A的对边
∠A的邻边
斜边
斜边
sin∠A= cos∠A= tan∠A=
生：学生回忆旧知,逐一回答。
★目的：温故而知新，使学生能用直角三角形的边角关系去解直角三角形。
◆师：把握了直角三角形边角之间的各种关系，我们就能解决与直角三角形有关的实际问题了，这节课我们学习“解直角三角形及其应用”，此环节用时约5分钟。
(二)探究新知
在这一环节中，我分如下三步进行教学，第一步：例题引入新课，得出解直角三角形的概念。
▲例1(课件展示).如图，一棵大树在一次强烈的地震中于离地面 10米 折断倒下，树顶在离树根 24米 处，大树在折断之前高多少?
解：利用勾股定理可以求出折断倒下部分的长度为：
26+10=36(米)
答：大树在折断之前高为36米。
◆师：例子中，能求出折断的树干之间的夹角吗?
生：学生结合前面复习的边角关系讨论，得出结论——利用锐角三角函数的逆过程。
★目的：让学生初步体会解直角三角形的含义、步骤及解题过程。
◆师：通过上面的例子，你们知道“解直角三角形”的含义吗?
生：学生讨论得出“解直角三角形”的含义(课件展示)：“在直角三角形中，除直角外由已知元素求出未知元素的过程，叫做解直角三角形。”
(学生讨论过程中需使其理解三角形中“元素”的内涵，至于“元素”的定义不作深究。)
◆师：所以上面例子中，若要完整解该直角三角形，还需求出哪些元素?能求出来吗?
生：学生结合定义讨论、探索其方法，从而得出结论——利用两锐角互余。
★目的：巩固解直角三角形的定义和目标，初步体会解直角三角形的方法——直角三角形的边角关系(勾股定理、两锐角互余、锐角三角函数)，此步骤用时约10分钟。
第二步：师生共同解答例2，巩固解直角三角形的方法。
◆师：上面的例子是给了两条边。那么，如果给出一个锐角和一条边，能不能求出其他元素呢?下面学习例2：(课件展示例2)
▲例2.如图，在Rt△ABC中，∠C=900，∠A=2608’，b=4，求∠B、a、c(精确到0.01)
解： ∠B=900-2608’ =63052’ b是∠A的邻边，c是斜边，于是
cos 2608’ = =
4从而
Cos2608’
c = ≈ 4.46
又∵ a是∠A的对边，于是
tan2608’ = =，从而 a = 4×tan 2608’ ≈ 1.96
◆师：a或c还可以用哪种方法求?
生：学生讨论得出方法，分析比较，从而得出——使用题目中原有的条件，可使结果更精确。
◆师：通过对上面两个例题的学习，如果让你设计一个关于解直角三角形的题目，你会给题目几个条件?如果只给两个角，可以吗?
生：学生讨论分析，得出结论。
★目的：使学生体会到(课件展示)“在直角三角形中，除直角外，只要知道其中2个元素(至少有一个是边)就可以求出其余的3个元素”，此步骤用时约10分钟。
第三步：师生共同总结出解直角三角形的条件及类型。
◆师：通过上面两个例子的学习，你们知道解直角三角形有几种情况吗?
生：学生交流讨论归纳(课件展示)：解直角三角形，只有下面两种情况：
(1)已知两条边;
(2)已知一条边和一个锐角。
★目的：培养学生善总结，会总结的习惯和方法，使不同层次的学生得到不同的发展，此步骤用时约3分钟。
(三)课堂练习：
课本116页练习题的第1、2、3题。
1、在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=53046’，b=3cm，求∠A、a、c(精确到0.01cm)。
2、在Rt△ABC中，∠C=90°，a=5.82cm，c=9.60cm，求b、∠A、∠B(角度精确到1’，长度精确到0.01cm)。
3、在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=38012’，c=15.68cm，求∠B、a、b(精确到0.01cm)
★目的：使学生巩固利用直角三角形的有关知识解决实际问题，提高学生分析问题、解决问题的能力，此环节用时约6分钟。
(四)课堂小结
让学生自己小结这节课的收获，教师补充、纠正。
1、“解直角三角形”是求出直角三角形的所有元素。
2、解直角三角形的条件是除直角外的两个元素，且至少需要一边，即已知两边或已知一边一锐角。
3、解直角三角形的方法：
(1)已知两边求第三边(或已知一边且另两边存在一定关系)时，用勾股定理(后一种需设未知数，根据勾股定理列方程);
(2)已知或求解中有斜边时，用正弦、余弦;无斜边时，用正切;
(3)已知一个锐角求另一个锐角时，用两锐角互余。
★目的：学生回顾本堂课的收获，体会如何从条件出发，正确选用适当的边角关系解题，此环节用时约6分钟。
(五)学生作业(此环节用时约6分钟)
课本120页习题4.3 A组第1、2、3题。
1、在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=28032’，c=7.92cm，求∠B(精确到1’)，a、b(精确到0.01cm)。
2、在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=46054’，a=12.36cm，求∠A(精确到1’)，b、c(精确到0.01cm)。
3、在Rt△ABC中，∠C=90°，a=3.68cm，b=5.24cm，求c(精确到0.01cm)以及∠A、∠B(精确到1’)。
四、教学评价
《新课程标准》提出了学生学习的方式是：“自主探索、动手实践、合作交流、勇于创新”。因此根据本节课的内容，为了更好地培养学生的创造能力，在教学中我注重引导学生运用探究学习的方法进行学习，确保了学生学习的有效性，激发了学生学习的欲望，学生真正成为了课堂的主人，在学生陈述自己探究结果时，我对学生不完整或不准确的回答适当地采用延迟性评价，不仅培养了学生对数学语言的表达能力和概括能力，同时充分挖掘了学生的潜能，也为学生提供了合作学习的空间，让学生在合作交流中提出问题并解决问题，从而发展了学生的合作探究能力。
第四篇：初中数学《解直角三角形及其应用》说课稿
各位老师：大家好!
今天我说课的题目是《解直角三角形及其应用》的第一课时，源自湘教版数学九年级下册第4章第三节。下面我将从教材分析，教法与学法，教学过程及教学评价四个方面进行阐述。
一、教材分析
(一)、教材的地位与作用
本节是在掌握了勾股定理，直角三角形中两锐角互余，锐角三角函数等有关知识的基础上，能利用直角三角形中的这些关系解直角三角形。通过本小节的学习，主要应让学生学会用直角三角形的有关知识去解决某些简单的实际问题。从而进一步把形和数结合起来，提高分析和解决问题的能力。它既是前面所学知识的运用，也是高中继续解斜三角形的重要预备知识。它的学习还蕴涵着深刻的数学思想方法(数学建模、转化化归)，在本节教学中有针对性的对学生进行这方面的能力培养。
(二)教学重点
本节先通过一个实例引出在直角三角形中，已知两边，如何求第三边，再引导学生如何求另外的两个锐角，这样一是为了巩固前面的知识，二是如何让学生正确利用直角三角形中的边角关系，逐步培养学生数形结合的意识，从而确定本节课的重点是：由直角三角形中的已经知道元素，正确利用边角关系解直角三角形。
(三)、教学难点
由于直角三角形的边角之间的关系较多，学生一下难以熟练运用，因此选择合适的关系式解直角三角形是本课的难点。
(四)、教学目标分析
1、知识与技能：本节课的目标是使学生理解解直角三角形的意义，能运用直角三角形的三个边角关系式解直角三角形，培养学生分析和解决问题能力。其依据是：新课标对学生数学学习的总体目标规定“获得适应未来社会生活和进一步发展所必需的重要数学知识”。
2、过程与方法：通过学生的探索讨论发现解直角三角形所需的最简条件，使学生了解体会用化归的思想方法将未知问题转化为已知问题去解决。其依据是新课标关于学生的学习观——“动手实践、自主探索与合作交流是学习数学的重要方式”。
3、情感态度与价值观：通过对问题情境的讨论，以及对解直角三角形所需的最简条件的探究，培养学生的问题意识，体验经历运用数学知识解决一些简单的实际问题，渗透“数学建模”的思想。其依据是：新课标对学生数学学习的总体目标规定“具有初步的创新精神和实践能力，在情感态度和一般能力方面都能得到充分发展”。
二、教法设计与学法指导
(一)、教法分析
本节课采用的是“探究式”教法。在以最简洁的方式回顾原有知识的基础上，创设问题情境，引导学生从实际应用中建立数学模型，引出解直角三角形的定义和方法。接着通过例题，让学生主动探索解直角三角形所需的最简条件。学生在过程中克服困难，发展了自己的观察力、想象力和思维力，培养团结协作的精神，可以使他们的智慧潜能得到充分的开发，使其以一个研究者的方式学习，突出了学生在学习中的主体地位。
教法设计思路：通过例题讲解，使学生熟悉解直角三角形的一般方法，通过对题目中隐含条件的挖掘，培养学生分析、解决问题能力。
(二)、学法分析
通过直角三角形边角之间关系的复习和例题的实践应用，归纳出“解直角三角形”的含义和两种解题情况。通过讨论交流得出解直角三角形的方法，并学会把实际问题转化为解直角三角形的问题。
学法设计思路：自主探索、合作交流的学习方式能使学生在这一过程中主动获得知识，通过例题的实践应用，能提高学生分析问题，解决问题的能力，以及提高综合运用知识的能力。
(三)、教学媒体设计：由于本节内容较多，为了节约时间，让学生更直观形象的了解直角三角形中的边角关系的变化，激发学生学习兴趣，因此我借助多媒体演示。
三、教学过程设计
本节课我将围绕复习导入、探究新知、巩固练习、课堂小结、学生作业这五个环节展开我的教学，具体步骤是：
(一)复习导入
◆师：前面的课时中，我们学习了直角三角形的边角关系，下面老师来看看大家掌握得怎样?
▲
1、直角三角形三边之间的关系?(a2+b2=c2，勾股定理)
2、直角三角形两锐角之间的关系?(∠A+∠B=900)
3、直角三角形的边和锐角之间的关系?
∠A的邻边
∠A的对边
∠A的对边
∠A的邻边
斜边
斜边
sin∠A= cos∠A= tan∠A=
生：学生回忆旧知,逐一回答。
★目的：温故而知新，使学生能用直角三角形的边角关系去解直角三角形。
◆师：把握了直角三角形边角之间的各种关系，我们就能解决与直角三角形有关的实际问题了，这节课我们学习“解直角三角形及其应用”，此环节用时约5分钟。
(二)探究新知
在这一环节中，我分如下三步进行教学，第一步：例题引入新课，得出解直角三角形的概念。
▲例1(课件展示).如图，一棵大树在一次强烈的地震中于离地面 10米 折断倒下，树顶在离树根 24米 处，大树在折断之前高多少?
解：利用勾股定理可以求出折断倒下部分的长度为：
26+10=36(米)
答：大树在折断之前高为36米。
◆师：例子中，能求出折断的树干之间的夹角吗?
生：学生结合前面复习的边角关系讨论，得出结论——利用锐角三角函数的逆过程。
★目的：让学生初步体会解直角三角形的含义、步骤及解题过程。
◆师：通过上面的例子，你们知道“解直角三角形”的含义吗?
生：学生讨论得出“解直角三角形”的含义(课件展示)：“在直角三角形中，除直角外由已知元素求出未知元素的过程，叫做解直角三角形。”
第五篇：[初中数学]直角三角形教学设计1 北师大版
第一章
证明
（二）2．直角三角形
（二）一、学生知识状况分析
学生在学习直角三角形全等判定定理“HL”之前已经接触过，只是原来仅属于了解阶段。现在是要重新认识这个定理，并且要掌握这个定理的证明以及利用这个定理解决相关问题有一个较高的要求。
二、教学任务分析
本节课的教学目标是： 1．知识目标：
①能够证明直角三角形全等的“HL”的判定定理，进一步理解证明的必要性 ②利用“HL’’定理解决实际问题 2．能力目标：
①进一步掌握推理证明的方法，发展演绎推理能力
②初步学会从数学的角度提出问题，理解问题，体验解决问题的多样性，发展实践能力和创新精神． 3．情感与价值观要求
①积极参与数学活动，对数学有好奇心
②形成实事求是的态度以及进行质疑和独立思考的习惯 4．教学重点及难点 HL定理的推导及应用
三、教学过程分析
本节课设计了六个教学环节：第一环节：提问质疑；第二环节：引入新课；第三环节：做一做；第四环节：议一议；第五环节：．课时小结；第六环节：课后作业。
第一环节：提问质疑
我们曾从折纸的过程中得到启示，作了等腰三角形底边上的中线或顶角的角平分线，运用公理，证明三角形全等，从而得出“等边对等角”。那么我们能否通过作等腰三角形底边的高来证明“等边对等角”．
要求学生完成，一位学生的过程如下： 已知：在△ABC中，AB=AC．
求证：∠B=∠C．
证明：过A作AD⊥BC，垂足为C，∴∠ADB=∠ADC=90° 又∵AB=AC，AD=AD，∴△ABD≌△ACD．
∴∠B=∠C（全等三角形的对应角相等）
在实际的教学过程中，有学生对上述证明方法产生了质疑。质疑点在于“在证明△ABD≌△ACD时，用了“两边及其中一边的对角对相等的两个三角形全等”．而我们在前面学习全等的时候知道，两个三角形，如果有两边及其一边的对角相等，这两个三角形是不一定全等的．可以画图说明．(如图所示在ABD和△ABC中，AB=AB，∠B=∠B，AC=AD，但△ABD与△ABC不全等)” ．
也有学生认同上述的证明。
教师顺水推舟，询问能否证明：“在两个直角三角形中，直角所对的边即斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等．”，从而引入新课。
第二环节：引入新课
1．“HL”定理．由师生共析完成
已知：在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C=∠C′=90°，AB=A′B′，BC=B′C′． 求证：Rt△ABC≌Rt△A′B′C′
证明：在Rt△ABC中，AC=AB一BC(勾股定理)． 又∵在Rt△ A' B' C'中，A' C' =A'C'=A'B'2一B'C'2(勾股定理)．
2AA'BCB'C'
AB=A'B'，BC=B'C'，AC=A'C'． ∴Rt△ABC≌Rt△A'B'C'(SSS)． 教师用多媒体演示：
定理
斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等．
这一定理可以简单地用“斜边、直角边”或“HL”表示．
从而肯定了第一位同学通过作底边的高证明两个三角形全等，从而得到“等边对等角”的证法是正确的．
练习活动：利用投影打出题目判断对错，让学生说明理由。
活动目的：让学生辨析一个命题的真假不是靠感觉而是
AD12BEC依赖于原有的定理或公理。要经过很好的理性思考之后才能判断对错。
活动过程如下：
判断下列命题的真假，并说明理由：
(1)两个锐角对应相等的两个直角三角形全等；
(2)斜边及一锐角对应相等的两个直角三角形全等；
(3)两条直角边对应相等的两个直角三角形全等；
(4)一条直角边和另一条直角边上的中线对应相等的两个直角三角形全等．
对于（1）、（2）、（3）一般可顺利通过，这里教师将讲解的重心放在了问题（4），学生感觉是真命题，一时有无法直接利用已知的定理支持，教师引导学生证明．
已知：R△ABC和Rt△A'B ' C'，∠C=∠C'=90°，BC=B'C'，BD、B'D'分别是AC、A'C'边上的中线且BD—B'D'(如图)．
求证：Rt△ABC≌Rt△A'B'C'． 证明：在Rt△BDC和Rt△B'D'C'中，∵BD=B'D',BC=B'C', ∴Rt△BDC≌Rt△B 'D 'C '(HL定理)． CD=C'D'．
又∵AC=2CD，A 'C '=2C 'D '，∴AC=A'C'． ∴在Rt△ABC和Rt△A 'B 'C '中，∵BC=B'C '，∠C=∠C '=90°，AC=A'C '，BCB'C'ADA'D'
∴Rt△ABC≌CORt△A'B'C(SAS)．
活动效果及注意事项:通过上述师生共同活动，学生板书推理过程之后可发动学生去纠错，教师最后再总结。这样的评价活动的效果估计应该是更好一些。
第三环节：做一做
问题
你能用三角尺平分一个已知角吗? 请同学们用手中的三角尺操作完成，并在小组内交流，用自己的语言清楚表达自己的想法．
学生完成的实况如下：
[生]用三角尺可以作已知角的平分线：如图，在已知∠AOB的两边上分别取点M，N，使OM=ON，再过点M作OA的垂线，过点N作OB的垂线，两垂线交于点P，那么射线OP就是么AOB的平分线．
[师]同学们表现都很棒．你能说明这样做的理由吗?也就是说，你能证明OP就是∠AOB平分线吗? [生]可以．已知：如上图，由作图步骤可知ON=OM，MP上OA，NP上OB，M、N分别为垂足．
求证：∠AOP=∠BOP．
证明：∵ MP⊥OA，NP⊥OB，∴∠OMP= ∠ NP=90°．
在Rt△OMP和Rt△ONP中，∵OP=OP，OM=ON.∴Rt△OMP≌Rt△ONP(HL定理)．
∠AOP=∠ZBOP(全等三角形的对应角相等)．
第四环节：议一议
如图，已知∠ACB=∠BDA=90°，要使△ACB≌BDA，还需要什么条件?把它们分别写出来．
这是一个开放性问题，答案不唯一，需要我们灵活地运用公理和已学过的定理，观察图形，积极思考，并在独立思考的基础上，通过同学之间的交流，获得各种不同的答案．
ONBMPA
(教师一定要提供时间和空间，让同学们认真思考，勇于向困难提出挑战)学生完成的实况如下：
[生]观察图形不难发现.在Rt△ACB和Rt△BDA中，除么∠ACB=∠BDA=90°外，它们有一条公共边，根据直角三角形全等的判定可知添加的条件可以是直角三角形的锐角，也可以是直角三角形中的直角边．从添加角来说，可以添加∠CBA=∠DAB或∠CAB=∠DBA；从添加边来说，可以是AC=BD，也可以是BC=AD．
[生]还可以将BC、AD的交点设为O，若OA=OB，则△ACB≌△BDA．
[师]第一位同学的想法思路清晰明了，第二位同学敢打破常规思路．独辟蹊径，并且很有见地．请同学们思考，第二位同学添加的条件可以吗?若可以，请同学们推导证明；若不可以，说明理由．
[生]我认为可以，我是这样推导出来的．
已知：如上图，AD、BC交于点O，且OB=OA．∠ACB=∠BDA=90°, 求证：△ACB≌△BDA． 证明：在Rt△ACO和Rt△BDO中 ∵AO=BO，∠ ACB=∠BDA=90° ∠AOC=∠△BOD(对顶角相等)，∴△ACO≌△BDO(AAS)． ∴AC=BD．又∵AB=AB，∴△ACB≌△BDA(HL定理)．
[生]我还有一种方法，如果把刚才添加的条件“OA=OB”改写成“OC=OD”，也可以使△ACB≌△BDA．
[师]请同学们思考这样做可以吗? [生]我认为可以．推导过程如下：
已知：如上图，∠ACB=∠BDA=90°，OC=OD． 求证：△ACB≌△BDA． 证明：在△AOC和△BOD中
∵∠ACB=∠BDA=90°，OC=OD，∠AOC=∠BOD(对顶角相等)，∴△AOC≌△BOD(ASA)． ∴AC=BD(全等三角形对应边相等)
CODAB
在△ACB和△BDA中，∵AB=AB，AC=BD，∠ACB=∠BDA，∴△ACB≌BDA(HL定理)．
[生]我又有一种想法，若添加∠CAD=∠DBC”，可以得出△ACB≌△BDA吗? [生]我认为不可以，因为添“∠CAD=∠DBC”，则在△AOC和△BOD中，有三个内角对应相等，不能证明△AOC≌△BOD，也就不能获得△ACB和△BDA全等的条件．
[师]同学们分析得很透彻，由此我们得到了六种不同的答案．例如.(1)AC=BD；(2)BC=AD；(3)∠CBA∠=∠DAB；(4)∠CAB=∠DBA；(5)OA=OB；(6)OC=OD，等．
下面我们再来看一例题．
[例题]如图，在△ABC≌△A'B'C'中，CD，C'D'分别分别是高，并且AC＝A'C'，CD=C'D'．∠ACB=∠A'C'B'．
求证：△ABC≌△A'B'C'．
分析：要证△ABC≌△A'B'C'，由已知中找到条件：一组边
AC=A'C'，一组角
ADBA'D'B'CC'∠ACB=∠A'C'B'．如果寻求∠A=∠A'，就可用ASA证明全等；也可以寻求么∠B=∠B'，这样就有AAS；还可寻求BC=B'C'，那么就可根据SAS．……注意到题目中，通有CD、C'D'是三角形的高，CD=C'D'．观察图形，这里有三对三角形应该是全等的，且题目中具备了HL定理的条件，可证的Rt△ADC≌Rt△A'D'C'，因此证明∠A=∠A' 就可行．
证明：∵CD、C'D'分别是△ABC△A'B'C'的高(已知)，∴∠ADC=∠A'D'C'=90°． 在Rt△ADC和Rt△A'D'C'中，AC=A'C'(已知)，CD=C'D'(已知)，∴Rt△ADC≌Rt△A'D'C'(HL)． ∠A=∠A'，(全等三角形的对应角相等)． 在△ABC和△A'B'C'中，∠A=∠A'(已证)，AC=A'C'(已知)，∠ACB=∠A'C'B'(已知)，∴△ABC≌△A'B'C'(ASA)．
第五环节：课时小结
本节课我们讨论了在一般三角形中两边及其一边对角对应相等的两个三角形不一定全等．而当一边的对角是直角时，这两个三角形是全等的，从而得出判定直角三角形全等的特殊方法——HL定理，并用此定理安排了一系列具体的、开放性的问题，不仅进一步掌握了推理证明的方法，而且发展了同学们演绎推理的能力．同学们这一节课的表现，很值得继续发扬广大．
第六环节：课后作业
习题1．5第1、2题
四、教学反思
本节HL定理的证明学生掌握得比较好，定理的应用方面尤其是“议一议”中的该题灵活性较强，给教师和学生发挥的余地较大，该题是一个开放题，结论和方法并不惟一，所以学生积极性非常高，作为教师要充分利用好这个资源，可以达到一题多解，举一反三的效果。
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