新初三暑期英语学习攻略

第一篇：新初三暑期英语学习攻略

新初三暑期英语学习攻略

2014年的中考已经结束，对于初二的同学们来说即将升入初三，迎接人生第一次重大考试，压力可想而知。那么，如何充分利用好这次的暑假，提前进入中考预热阶段呢？在这里，北京新东方中小学一对一谭静老师给同学们一些暑期中考复习的建议。

一、初二同步复习

在暑假的学习过程中，同学们可以更注重和学校教材的同步语法重点难点的查漏补缺，夯实基础，养成巩固复习的学习习惯，为新学年新知识点的学习做好铺垫。同时，也要兼顾涉及一些中考模拟题，提前了解中考题型及难度，有助于快速进入备考状态。

英语这门学科需要大量的单词记忆，而同学们普遍反应单词背了就忘。针对这一问题，建议大家在积累新的单词的同时，兼顾已经背过的单词，反复听写检验，通过重复记忆，克服了忘记单词这一难题。

二、第一轮中考复习

在初二的查漏补缺过程中巩固了基础知识，因此同学们在中考一轮复习时进度可以适度加快，语法部分的复习可以参考历年北京市的模拟题及真题，难度不是很大。同学们可以通过自测的方法检验语法专题薄弱环节，再逐个击破，强化练习。其次，是完型、阅读、写作。题目难度较大，同学

们可以通过大量的练习，总结出一些方法技巧，并且在做题过程中注重单词的积累。在进行中考真题及模拟题的练习时，用错题本将错题按照知识点与模块分类总结，作为考前复习依据。

三、第二轮中考复习

第一轮中考复习结束后，养成每天背单词听写单词的学习习惯，可以有效提升学习能力。这时候同学们需要重点关注五选四，任务型阅读以及完成句子等分值较少的题型。每天定时定量的做题，关注逻辑关系对解题的重要性，以及重点词组与句型的灵活应用。将基础题的分值拿到手，确保万无一失。

最后，希望同学们通过努力，圆梦中考，铸就属于自己的辉煌！

第二篇：初三数学学习攻略

初三数学学习攻略

进入初三，随着知识难度的增加，不少同学会对数学感到头疼，如何在初三学好数学，进而在中考考出好成绩，成为同学们急切关心的问题。

☆会读课本，弄清例题

想学好数学，首先要会读课本，读课本不是简单读，而是在理解的基础上把每一个概念、公理、定理和公式弄清楚明白。千万不要忽视最基本的概念、公式等，“不定项选择题”就要靠清晰的概念来明辨对错，如果概念不清就会感觉模棱两可，最终造成误选。因此，要把已经学过的教科书中的概念整理出来，通过读一读、抄一抄加深印象，特别是容易混淆的概念更要彻底搞清，不留隐患。此外，要把例题都搞清楚，课本上的每一个例题具有代表性，应弄透彻。

☆多做习题，善于分析

弄明白最基本的概念和例题后，同学们在自习课和课余时间应多做习题。在做题时一定要养成计算准确的好习惯，如果你会做一个题，却因为计算马虎而最后答案错误，那就得不偿失了。而且，在做题中要注重发现题与题之间的内在联系，绝不能“傻做”。在做一道与以前相似的题目时，要会通过比较，发现规律，穿透实质，以达到“触类旁通”的境界。特别是几何题中添加辅助线的方法很有规律性，在做题中要特别记牢。

☆记录错题，避免再犯

俗话说，“一朝被蛇咬，十年怕井绳。”可是同学们常会一次又一次地掉入相似甚至相同的“陷阱”里。因此，建议大家在平时的做题中就要及时记录错题，还要想一想为什么会错、以后要特别注意哪些地方，这样就能避免不必要的失分。毕竟，中考中是“分分必争”，一分也失不得。

学好数学其实并不难，只要同学们跟随老师的进度走，把每个知识点弄明白，加强针对性的练习，就能在初三一年内有效地提升数学成绩。相信经过一番努力，你的成绩会有明显提高。

物理课堂：先了解自己再学物理

新一届的初三生将回到校园，开启自己为中考而奋斗的新学年。中考是一个没有硝烟的战场，为了在战场上取得胜利，现在起，同学们就该着手做准备了。在开学前的这两个星期里，同学们可以做点什么呢？

——利用暑假，总结得失

经过一年的学习，同学们应该对物理这门学科的特点有所了解了，利用假期，要好好总结自己的得与失。开学前，同学们最重要的任务就是了解自己。了解自己主要是指了解自己的物理学习现状：哪部分知识学得最好、哪些知识学得不扎实；自己学习物理的优势或劣势是记忆还是理解？解答实验题还是计算题时自己比较吃力……怎样才能把自己的学习现状分析清楚呢？一是回忆以往的测验考试；二是分析一下自己曾经积累的错题(或分析收集试卷中的错题)，弄清是哪一类习题经常出问题，那这类知识就是自己

学得不扎实的内容或“弱项”。此外，同学们可总结自己的学习方法，看看哪些方法是合适自己的，哪些方法对自己没用。对于好的学习方法要保留，而不好的就可以抛弃。

——提前预习，把握要点

俗话说“温故而知新”，在对初二物理进行复习的基础上，可提前预习初三物理的内容。预习应该以课本为主。翻开课本后，可以先看一下目录，了解一下一共有几章，每一章主要在讲什么问题，对所学知识做到心中有数。预习时，遇到不明白的地方，要做一个记号。开学后，对于有记号的地方，要重点听老师讲解，力求弄明白透彻。预习完每一节后，应做一下课后的练习题，这样可加深自己对所学内容的印象，提高自己利用物理知识解决物理现象的能力。预习一遍后，同学们可以对所学的物理知识进行归纳总结，整合出一个知识体系和知识框架，在整个框架内对知识点进行查漏补缺。

物理是一门以生活为基础的学科，包含力、热、声、光、电、磁等内容，涉及面很广。要想学好物理，关键是一个“透”字。也就是说，如果你对所学的知识完全弄明白透彻了，那么做题考试都不成问题；而如果你对所学知识似懂非懂，或只知其一不知其二，那样就存在问题。另外，从今年的中考试卷来看，文字题的分量有所增加。这类题往往是给出一组数据或一个结论，让你叙述理由和现象，这不仅要求同学们熟知各种物理现象和结论，也要求同学们有较好的语言表达能力。因此，同学们在这些方面也要所注意。

化学实验室：初三化学早起步

进入初三后，同学们将会接触一门新的基础自然科学———化学。在短短的一年时间里，同学们将会学习一些化学的基本知识，掌握一些化学实验的基本技能，同时还要应付大大小小的考试。那么，为迎接中考，同学们应该如何学好化学这门功课呢？只要早起步，起好步，以后学习起来就比较顺利了。

◆提前预习

同学们可利用开学前的这段时间，对化学课本进行翻阅，了解一些基本的化学概念，熟悉一些化学实验的基本操作。化学是“理科中的文科”，因此记忆的东西比较多，尤其是刚开始接触化学时，需要同学们掌握的基本概念和知识点较多，这就要求同学们去扎实记忆，为以后的学习打下好的基础。

◆认真听课

开学后，同学们学习化学，可以在老师的带领下，随着教学的进度往前走。这个时候，最重要的就是认真听讲，把每堂课的知识点都弄明白。功在课堂，利在课后，如果在课堂上能基本掌握所学的基础知识和技能，课后复习和做作业都不会发生困难；如果上课时不注意听讲，当堂没听懂，在课堂上几分钟就能解决的问题，课后可能要花费几倍的时间才能补上。因此，同学们在课堂上集中精力听好每一堂课，是学好化学的关键。听课时，一定要聚精会神，集中注意力，不但要认真听老师的讲解，还要特别注意老师讲课的思路和反复强调的重点及难点。边听课边记笔记，遇到没有听明白或没记下来的地方要做些记号，课后及时请教老师或同学。

◆动手实验

化学是一门以实验为基础的学科。观察老师演示实验的操作、现象，独立地做好学生实验，上好实验课，是学好化学的基础。

首先，同学们在课堂上要认真观察老师所做的每一个演示实验的操作和实验现象。化学实验是很生动、很直观的，实验中千变万化的现象最能激发学生的兴趣，但如果同学们只图看热闹，光看现象，不动脑子思考，看完了不知道是怎么回事，无助于学习的提高，所以，观察要有明确的目的，目的明确了才能抓住观察的重点。

其次，要上好学生实验课，课前必须进行预习，明确实验目的、实验原理和操作步骤。进行实验时，自己要亲自动手，不做旁观者，要认真做好实验内容里所安排的每一个实验，在实验过程中要集中注意力，严格按实验要求操作，对实验过程中出现的各种现象，要耐心细致地观察，认真思考，准确如实地记录。

任老师提醒新一届初三生，对于化学的学习，同学们应报着平常心去学习，没必要有畏难情绪。兴趣是最好的老师，同学们可以观察生活中出现的各种化学现象，然后用所学化学知识去解释，只要有足够的兴趣，学好化学并不难！

把握中考特点 科学复习政治

初三这一年，政治的学习面临着任务重、时间紧的局面，同时存在概念繁多、运用能力要求高等学科特点，因此科学的复习显得尤为重要，它不仅能使政治基础好的同学更上一层楼，也可以使基础不太扎实的同学找到一个着力点，从而为政治学习的提高提供一个有利的平台。可以说初三政治复习的好坏将直接影响中考的成绩。在此，不妨借鉴一些老师和过来人的建议和经验———

——了解新教材与课堂进度

无论教材如何变化，考试说明当中的内容和知识点基本不会变，同学们只要紧跟老师的步伐，教材的变化与否不会产生很大影响。

开学后，初三学生将对新课本进行学习，重点是国家的国情、路线、方针、政策，对该课本的学习与复习将随着寒假的开始而完成。第二学期开学后，将对初

一、初二年级的政治课本进行复习，而热点、专题的复习预计在4、5月份开始，随后便进入最后的自由复习阶段。

——科学复习方法三步走

初

一、初二因为是单纯对当年的政治课本进行学习，记忆起来相对比较轻松，但想到初三是对三年来所有的内容进行消化和吸收，加上有些同学记忆力并不是太好，背得快，忘得也快，心里难免会打退堂鼓。如何应对，老师为大家支了三招：

1、紧抓课堂45分钟

考虑到同学们课下由于要对诸学科进行同时复习，时间相当紧这一因素，老师提倡要充分利用课上时间。在每一个45分钟内都要做到：对老师反复强调的问题要特别给予重视；学习老师分析问题和解决问题的思路；认真做好笔记，但要把握听为主、记为辅的原则，为了节约时间，老师提到的，书本上有的要勾画，没有的再记笔记；最后尽量达到当堂内容当堂消化的效果。如此行之，只要在每周末或月末进行政治的总复习即可，这样同学们在课下便可以节约很多时间去学习其他科目。

2、关注热点时事政治

根据以往的经验总结，中考政治题中的前3-4道单项选择题一般是对纯时事政治的考查，热点时事也将作为背景材料在其他的题目中出现。这些必须引起同学们对时事的足够重视。要时时关心身边事，尤其是与自己切身利益相关的时事。考试说明提出，2009年中考时事的考查范围是从2008年的3、4月份到2009年的3、4月份，因此必须对此之间的时事予以关注。

3、正确看待开卷考试

有的同学认为，政治既然是开卷考试，考试前翻翻书，抄抄重点不就万事大吉了！老师指出，千万不要存在这种侥幸心理。正因为是开卷，同学们才更应该重视。因为这样对政治的考查就不仅仅是简单的将书本知识照搬到试卷上了，它对同学们的综合运用和分析能力有了更高的要求。当然可以在书本上抄写一些自己认为的或是老师强调的重点题目，但这样做只能是让同学们心里更有底，也可以说是一种自我安慰，碰到中考原题的几率几乎为零，因此切记不要将其视为救命稻草。

-政治复习小技巧

1、按复习内容的多少，准备数张8开大白纸，为了阅读或拿着方便可以折叠成三等份，将知识点按章节或自己的复习思路记录在纸上，可以是重要概念的关键词，也可以是老师反复强调的重点知识，抑或是知识的框架结构。因为是自己的总结，所以印象会很深刻。没事的时候拿出来看一遍也很方便。

2、晚上睡觉之前躺在床上，将自己在白天写的各科的重要知识点、小总结拿出来看一遍。如果你按照上面提到的方法进行了整理，那么此时数张8开白纸将会对你有很大的帮助。说明一下，在这个方法的实行中，如果感觉自己有精力去记忆的话，当然很好，但是对辛苦了一天的同学们来说，不必刻意去背诵，只需蜻蜓点水般看一遍或读一遍即可，剩下的就让睡眠来帮你吧。

3、在解答论述题时，条理是否清晰将会对你的分数产生直接影响。那么从现在开始，就养成按条理、分段落进行论述题的解答吧。在每一个小段落前标明1、2、3、4；每个段落开头的几个字一定要是你对该段落总结的小提纲。这样不仅使你的卷面整洁，还能使解题思路一目了然得呈现给阅卷老师，从而使老师在心理上先给你判定一个比实际偏高的分值。

最后还要提醒备战中考的同学们平时要特别注意自己的字体，漂亮的字体也会为你的试卷增色不少。如此简单的几个技巧，何乐而不为呢！

方法得当 轻松攻克历史

对于新一届初三生来说，不少同学认为历史这门学科有大量需要记忆的东西，感觉如芒在背。其实，同学们不必对历史这门科目有什么抵触心理，该面对的终究还是要面对，只要学习方法得当，就能在学习历史的过程中品味出乐趣。

☆“总分总”预习方法

进入初三，同学们全面展开了对历史中世界史部分的学习。利用暑假这一段时间，可以进行世界史的预习，这将使同学们在开学后学习世界史时做到胸有成竹、游刃有余。在这里，“总分总”的预习方法是老师尤为提倡的。

总。世界史每个单元一开始，都会有一段单元概要。这段单元概要可以说是每一章的精华所在，该章的总体时代特征、该章所反映内容对整个世界史的影响、重大事件的串联性总结等都会在其中一一体现。由于其短小精悍，同学们可以很容易地在头脑中留下对每一章知识的总体印象，及时把握重点内容。

分。总体把握章节内容后，对每一节内容进行预习便成了第二个必不可少的环节。将小节内容大致浏览后，找出历史事件的起因、经过、结果、影响、意义等，继而结合每一小节的练习题进行巩固。这样不紧花费时间短，记忆也会相当深刻。

总。在上面两个步骤完成之后，便进入第三个环节———总结。这可谓是“总分总”预习方法的点睛之笔。它与开始时的总体把握并不相同，是在详细学习章节内容后对知识进行的反思，是同学们对世界史的切身感受。因此，同学们在这一过程中完全可以自己去发现问题，找出在预习过程中遗漏的或不明白的地方，待到开学上课时与同学、老师进行交流。

☆历史复习要“三步走”

尽早熟悉历史复习的基本方法，并将其运用到初三全年的历史学习中是大有裨益的。在中考的大背景下，复习历史要三步走：

第一，立足基础知识。中考着重考查基础知识，因此在历史复习中，巩固基础知识的复习显得特别重要。同学们在历史复习的第一阶段要重点夯实基础，全方位对知识进行梳理，决不遗漏中考范围内的任何一个知识点。另外复习基础知识时，不能照本宣科，一定对基础知识进行必要的分析和突破，否则哪怕是熟读课文，但遇到课本上没有的题目，仍然无法应对。

第二，将基础知识专题化、综合化。在复习课本基础知识的过程中，同学们对历史知识的掌握逐渐由薄到厚，不过大量的信息也使同学们记得多忘得多，这就迫切需要将这些知识系统化、专题化整理，即由厚变薄。用一根根线索将众多的知识点联系起来，这样就可以清晰地掌握历史的发展脉络，从而达到纲举目张的效果。例如，复习中国近代史，列强侵华是一条重要线索。近代列强不断侵略中国，企图把中国变为它的殖民地，这是世界资本主义发展的产物，是资本主义国家开拓殖民地，争夺世界霸权的重要组成部分。西方列强先后发动了两次鸦片战争，中法战争，甲午中日战争，八国联军侵华战争，中日战争等。复习中，要落实到每一个知识点，即熟知每次战争爆发的背景、时间、经过、结果、影响等，做到点线面结合，复习到位。另外，专题复习不仅要纵向联系，还需横向联系。例如，复习资本主义社会的两次工业革命这一专题时，同学们可以横向思考：这两次工业革命分别给中国带来什么了影响。横向思考可以让同学们认识到：中国是世界的一个组成部分，中国影响着世界，同样世界也影响着中国。

第三，把现实生活中的时政热点问题，与所学的历史知识相联系，以提高解答实际问题的能力。近年来，中考历史部分都出现了一些较为灵活的题型，它们贴近生活实际，关注日常生活中的时政热点问题。这就要求同学们在复习过程中要关注时政热点，联系所学知识，进行归纳、分析、比较，发表自己的看法，从而提高解答实际问题的能力。

☆轻松应对开卷考试

虽说中考历史是开卷考试，但对历史知识点扎实的记忆依旧是同学们必须具备的。因此同学们在学习历史的过程中一定要对知识点随时随地进行重复记忆。开卷考试注重考查学生的能力，单纯的记忆是行不通的，因此网络式和串联式的记忆方法将成为同学们的好帮手。比如同学们在学完三次工业革命后就可以对它们发生的时间、标志、进程、影响等等进行一个系统的整理和总结。此外，同学们都知道每一

册书后面都附有一个历史大事件时间表，但对于大家来说太过简略，同学们可以对其进行扩充再进行记忆。

开卷考试与闭卷考试没有绝对的界限，在初三前期对学生们的测试依旧采取闭卷形式，但在平时的授课过程中，老师会组织同学们对历史问题进行讨论，拓展同学们的思维；在解答课后习题或历年真题时也会适当训练同学们应对开卷考试的能力。因此同学们只要紧跟老师的步伐，就能够轻松应对开卷考试。

第三篇：英语学习攻略范文

英语飙升的好方法

很久没有深入细致地学英语了，越来越懒惰、钝化了！这个年代无疑还是要把英语学好。今天看到这篇文章感触颇多，就摘抄下来和大家分享，共勉！

网络时代学英语其实很简单，但是大部分人花在找英语学习资料上的时间比学英语本身还多，我不敢说我的方法一定是最好的，但是我敢保证从现在开始随便谁不要再去找学习资料，每天花两个钟头照我说的做，坚持三个月的提高会超过你过去三年。

不废话了，就按照听说读写一个个来。

听:

网上比较有代表性的论坛是普特上面的听力资源很丰富，沪江 和旺旺上一些材料的也很不错，从中间随便挑一个网站坚持即可。但是千万不要一个个都听过来。记住，开始阶段100篇文章听一遍，不如一篇文章听100遍。如果基础比较弱，那么每天慢速VOA（大概比四级听力稍难一些）听两篇，每篇10遍以后再看原文，弄清楚每个单词的意思，看完以后再听10遍以上。保证两周以后你回去听四六级听力会很不耐烦。过了慢速就可以听常速了，还是精听为主泛听为辅。常速还不过瘾，可以去找talkshow来听，譬如Saturday Night，在优酷或者土豆上都有。不要问这样做有没有效果，我坚持了三个月，以后看美剧大部分时间不需要看字幕。顺便说下论坛的作用，上论坛不要问这个词什么意思这类低级问题，不要指望别人替你查字典，别人的时间也是时间。但是一个句子弄不懂，就不要自个儿纠结了，尽管去问。另外要懂得投桃报李，有能力也尽量去回答别人的问题，教学相长。

说:

说起来很奇妙，我起初也只是打算先过听力关，按照上面的步骤坚持了3个月，不过在听的同时跟着读，后来因为听的太烂太无聊，会跟着录音一起背，两个月下来发现开口说英语变成了很自然的事情。回头来看，英语的口语真的是看似入门很难，但是真的进去了也就那么回事。不过高口训练的英汉对译还是很有用的，实际上拿新概念的材料就可以做，无非是看这英文说汉语看着汉语说英文，然后再对照原文进行纠正。

再强调一下，我不是生来语言高手，四级考了两次，现在周围人觉得我英语很牛，实际上只要我的方法谁都能学会，看你能不能坚持。

读:

读的一个基础是单词量，单词不够的话读书是痛苦不是享受。四级单词是最最最起码的要求，有了四级基础，语法还凑合的话，建议直接看上国外报纸网站看文章，建议看经济学人，或者纽约时报每天不要看多，看一篇就够了。开始碰到生词会很多，感觉很难受，但是一定要坚持，碰到所有不会的单词，都要记下来弄懂。碰到不会的单词怎么办，查谷歌字典 http://dict.google.com，或者 韦试辞典的在线版 /

单词如果今天记住明天忘怎么办，最简单的办法，找本专门的本子记下来，不要大本子，要可以随身带的那种；如果能经常上网，也可以试一下一起背单词这个网站，可以让你在线背单词，跟本子比最大好处就是不怕学习记录丢了，而且它有记忆曲线的功能可以提醒你复习。

再说一点，英语阅读材料中，最简单的是专业文章，其次是新闻，最难的是小说。我花了一年多时间就毫不费力的可以读懂纽约时报，但是很久以后才能勉强读完Da Vinci Code。但是真的读完一本几百页的小说，带来的成就感是读几篇文章难以比拟的。

写:

这个其实要看个人目标了，如果是达到和他人书信email交流的目的，其实前面3个步

骤下来，写已经完全不是问题了。

如果还要追求文笔，可以去看看华尔街日报中文版VOA Special English Vocabulary 1500

6.英文锁定，每日读图

子曰电影网的电影剧本下载太多了

看电影学英语中华网关于VOA的听力技巧的一些文章，当然也有别的好东东

第四篇：新初三暑期学习计划——数学

新初三暑期学习计划——数学

一般初中生学得快，忘得快。如果在暑期没有及时复习和习题的巩固。新初三开学前的预习检测考试都不甚理想。这一点和初中生的生理特点以及记忆特点是一致的。特别是在数学学习方面，下面整理了新初三暑期学习四步走，供学生和家长参考：

一、明确目标，稳扎稳打。在有限的时间内学得更可能多的知识固然是好事。可是如果不扎实。还不如去旅游去放松。同学们可以选择两个单元或者三个单元。先仔细读完课本。看懂课本中的例题以及讲解。(如果有时间。可以买一些辅导资料回家看。要边看边批注。勾出重要定义或者解法)。看完题目以后要认真完成学探诊或者启动作业本上的相关练习(可以对答案，可以自己改)尽量在一周或者一周半完成整个一章的学习。

二、自我回顾。例如在学完圆以后，在学习二次函数或者解角三角形的时候，可以选取一两个小时。完成已经学完的单元的单元测试。测验一下自己的能力如何。有没有遗忘学会的知识点。

三、合理安排学习时间，避免劳累感。数学的学习完全可以是零碎时间的利用。没有必要特意安排整块的时间去学习。我建议同学们这样去做：早上八点到九点。看完课本的一小

第 1 页 节内容。完成书中的练习和习题。下午四点到五点，可以做一做练习册上的题目。中午或者晚上。可以花上一刻钟左右的时间看看辅导资料。每一刻钟看明白五到十个例题，长期坚持。就是很大的收获。量变会产生质变。成绩的提高自然理所当然。

四、为中考而准备。去书店买几本中考的复习资料。

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第五篇：暑期攻略

勾股定理证明方法大全

背景知识了解：

勾股定理又叫毕氏定理：在一个直角三角形中，斜边边长的平方等于两条直角边边长平方之和。据考证，人类对这条定理的认识，少说也超过 4000 年！又据记载，现时世上一共有超过 300 个对这定理的证明！

勾股定理是几何学中的明珠，所以它充满魅力，千百年来，人们对它的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者，有普通的老百姓，也有尊贵的政要权贵，甚至有国家总统。也许是因为勾股定理既重要又简单，更容易吸引人，才使它成百次地反复被人炒作，反复被人论证。1940年出版过一本名为《毕达哥拉斯命题》的勾股定理的证明专辑，其中收集了367种不同的证明方法。实际上还不止于此，有资料表明，关于勾股定理的证明方法已有500余种，仅我国清末数学家华蘅芳就提供了二十多种精彩的证法。这是任何定理无法比拟的。

几种经典的证明方法：

一、传说中毕达哥拉斯的证法

左边的正方形是由1个边长为的正方形和1个边长为的正方形以及4个直角边分别为、，斜边为的直角三角形拼成的。右边的正方形是由1个边长为的正方形和4个直角边分别为、，斜边为的直角三角形拼成的。因为这两个正方形的面积相等，所以可以列出等式，化简得。

在西方，人们认为是毕达哥拉斯最早发现并证明这一定理的，但遗憾的是，他的证明方法已经失传，这是传说中的证明方法，这种证明方法简单、直观、易懂。

二、赵爽弦图的证法

边长为的正方形可以看作是由4个直角边分别为、，斜边为 的直角三角形围在外面形成的。因为边长为的正方形面积加上4个直角三角形的面积等于外围正方形的面积，所以可以列出等式，化简得。

这种证明方法很简明，很直观，它表现了我国古代数学家赵爽高超的证题思想和对数学的钻研精神，是我们中华民族的骄傲。

三、美国总统加利菲尔德的证法

这个直角梯形是由2个直角边分别为、，斜边为 的直角三角形和1个直角边为 的等腰直角三角形拼成的。因为3个直角三角形的面积之和等于梯形的面积，所以可以列出等式，化简得。

这种证明方法由于用了梯形面积公式和三角形面积公式，从而使证明更加简洁，它在数学史上被传为佳话

应用勾股定理犯的错误：

⑴勾股定理及其逆定理是平面几何中的重要定理,其应用非常广泛.我们在应用这两个定理解题时,常常会出现错解,现将错误归纳剖析如下,以引起我们的重视.一、忽视题目中的隐含条件

例1在Rt△ABC中,a、b、c分别为三条边,∠B=90°,如果a=3cm,b=4cm,求边c的长.误解:∵△ABC是直角三角形,∴a2+b2=c2,即32+42=c2,解得c=5(cm).剖析:上面的解法,忽视了题目中∠B=90°,b是斜边的隐含条件.正解:∵∠B=90°,∴a2+c2=b2,c=b2-a2!=42-32!=!7(cm).二、忽视定理成立的条件

例2 在边长都是整数的△ABC中,AB>AC,如果AC=4cm,BC=3cm,求AB的长.误解:由“勾3股4弦5”知AC=4cm,BC=3cm,AB>AC,∴AB=5cm.剖析:这种解法受“勾3股4弦5”思维定势的影响,见题中有BC=3,AC=4,就认为AB=5,而忘记了“勾3股4弦5”是在直角三角形的条件下才成立,而本题中没有指明是直角三角形,因此,只能用三角形三条边之间的关系来解。

欧几里得在他的《几何原本》中给出了勾股定理的推广定理：“直角三角形斜边上的一个直边形，其面积为两直角边上两个与之相似的直边形面积之和”。

从上面这一定理可以推出下面的定理：“以直角三角形的三边为直径作圆，则以斜边为直径所作圆的面积等于以两直角边为直径所作两圆的面积和”。

勾股定理还可以推广到空间：以直角三角形的三边为对应棱作相似多面体，则斜边上的多面体的表面积等于直角边上两个多面体表面积之和。

若以直角三角形的三边为直径分别作球，则斜边上的球的表面积等于两直角边上所作二球表面积之和。

总之，在勾股定理探索的道路上，我们走向了数学殿堂。

勾股定理的几个应用：

1、怎样用勾股定理解决面积问题

求分别以直角三角形的三条边为边长的正方形的面积之间的关系，关键是找出正方形的面积与三角形的边之间的关系．

如图（1）所示，分别以Rt△ABC的三边为边向外作三个正方形，其面积分别用S1、S2、22S3表示，可以很容易得出S1、S2、S3之间的关系．因为△ABC为直角三角形，所以AB＝AC2222＋BC，而S1＝AB，S2＝BC，S3＝AC，故S1＝S2＋S3，图（2）中S1、S2、S3之间的关系也可以用以上方法得到．

CS3AS1(1)BAS1CS2S3S2B

(2)

2、立体图形中的最短路径问题（1）圆柱中的最短路径．

如图①所示，圆柱的底面周长为20cm，高为4，BC是上底面的直径，一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C，试画出蚂蚁爬行的最短路径．

因为爬行是在立体图形的表面上进行的，所以可以把立体图形转化成平面图形，即它的侧面展开图（如图②所示），再看出发点与目的点之间是哪条线段，需要时可根据勾股定理求出这条线段的长度．

BCBCA①DAD②

（2）正方体中的最短路径． 如图③中的正方体，棱长为1，若一只小虫从点A爬到点C，它爬行的最短路径是多少？ 将正方体展开后（如图④所示），因为从点C出发有三条棱，故点C有三处位置，即点C1、C2、C3，分别连结AC1、AC2、AC3，可得它们的长度都是，故这只小虫爬行的最短路径为．

注意：当图③中的立体图形为长方体时，也是用同样的方法进行分情况比较，但沿这些不同路径，所走路程可能会不同．

CC3A③④C1C2A

经典例题：

例.如图所示，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长是7cm，则正方形A、B、C、D的面积之和为__________．

CBAEFDG 分析：由勾股定理，得正方形A、B的面积之和是正方形E的面积，而正方形C、D的面积之和是正方形F的面积．同理，正方形E、F的面积之和是正方形G的面积．所以这四个

2正方形的面积之和是大正方形G的面积49cm．