数学分析考试要求

第一篇：数学分析考试要求

601 数学分析 考试基本要求

一实数集与函数

（1）掌握实数的基本性质和确界原理，建立实数集确界概念；（2）理解函数的概念，熟悉与函数性态有关的一些常见术语。

二数列极限

（1）理解数列极限的概念（2）了解收敛数列的性质，理解数列收敛性的判别法。掌握并会证明收敛数列性质、极限的唯一性、单调性、保号性及不等式性质；（3）掌握并会证明收敛数列的四则运算定理、迫敛性定理及单调性定理，并会用这些定理求某些收敛数列的极限。

三 函数极限

（1）准确建立函数极限(包括单侧极限)概念，理解函数极限的ε－δ，ε－M定义；（2）掌握函数极限的基本性质：唯一性、局部保号性、不等式性质以及有理运算性质等；(3)掌握Heine定理与Cauchy准则；(4)掌握两个重要极限；(5)掌握无穷小（大）量及其阶的概念，并由此求出某些函数的极限。

四函数的连续性

（1）理解函数在一点连续（含单侧连续）的定义；（2）掌握连续函数的局部性质，连续函数的有理运算性质并能加以证明，熟悉复合函数的连续性和反函数的连续性；(3)理解初等函数在其有定义的区间上都是连续的，并能运用连续性的概念以及连续函数的性质加以证明，能熟练运用这一结论求初等函数的极限；(4)掌握闭区间上连续函数的重要性质，理解其几何意义，并能在各种有关的具体问题中加以运用。

五 导数和微分

（1）掌握导数与微分概念，了解它们的几何意义；（2）能熟练运用导数的运算性质和求导法则求函数的导数（特别是求复合函数的导数）；（3）理解单侧导数，可导性和连续性的关系，高阶导数的求法；（4）了解导数的几何意义，微分在近似计算中的应用。

六 微分中值定理及其应用

（1）理解并掌握中值定理的几何意义。（2）掌握常用的一些Taylor公式；掌握Taylor公式中的Lagrange余项和Peano余项。（3）能灵活运用L’Hospital法则处理不定式极限。（4）掌握利用导数性质讨论函数性质的方法。（5）掌握用微分学知识解决应用问题的基本能力，如函数单调性的判定，不等式的证明，极限问题等。

七 实数的完备性

（1）理解刻划实数完备性的确界定理、单调有界定理、闭区间套定理、致密性定理、有界覆盖定理、Cauchy收敛原理等几个等价命题，并且会用确界定理证明一些问题；(2)会用“闭区间套定理”的二分法证明；“致密性定理”的抽子列法证明，并能证明其它的一些定理；(3)会用单调有界定理与数列极限的Cauchy收敛原理来证明一些极限存在与不存在；(4)掌握运用基本定理证明闭区间上连续函数的性质，理

解其证明的思想方法；(5)了解数列的上极限和下极限的概念及其与数列极限的关系。

八不定积分

(1)掌握原函数与不定积分的概念；(2)熟练掌握并能灵活应用基本积分公式；(3)熟练掌握凑微分法；（4）掌握换元积分法，特别能较熟练地使用三角代换、根式代换；（5）掌握用分部积分法化不定积分成代数方程，从而求解不定积分的方法；（7）掌握部分分式法解有理函数的不定积分的方法；（8）能灵活地处理三角函数的不定积分。

九定积分

(1)理解定积分的定义及其几何意义和物理意义；（2）了解达Darboux上、下和的性质；（3）掌握可积的充要条件，并能用以证明三类函数的可积性；（4）掌握定积分的性质，并能进行简单的推理论证和计算；（5）掌握积分上限函数的性质，并能在解题中应用这个性质；（6）掌握Newton－Leibniz公式，能熟练地进行积分计算；（7）能综合运用换元法、分部积分法和定积分的性质进行定积分的计算。

十 定积分的应用

（1）掌握平面图形的面积、平面曲线的弧长；(2)掌握已知平行截面面积的立体的体积、旋转曲面的面积；(3)理解微元法；(4)了解积分在物理中的某些应用、定积分的近似计算。

十一反常积分

（1）理解两种类型反常积分的定义、性质；（2）会用定义与性质计算两种反常积分值；（3）掌握两种反常积分收敛的判断法：比较判别法、Cauchy判别法、Abel判别法和Dirichlet判别法来判别积分收敛；（4）能用比较判别法、Cauchy判别法、Cauchy收敛原理判别反常积分的敛散性；（5）掌握两类积分绝对收敛和条件收敛概念。

十二 数项级数

（1）理解数项级数和数列极限的关系，会用“-N”语言表述级数收敛或发散。（2）掌握Cauchy收敛原理，能用Cauchy原理证明级数收敛与发散，熟练掌握级数的必要条件。（3）掌握正项级数敛散的比较原则，Cauchy判别法，达朗贝尔判别法，Cauchy积分判别法。（4）掌握Leibniz判别法，Abel判别法和Dirichlet判别法，判断级数的条件收敛。（5）理解级数收敛、绝对收敛、条件收敛之间的关系，了解绝对收敛和条件收敛级数的主要性质，会对含有一个参数的级数确定其绝对收敛域和条件收敛域。十三 函数列与函数项级数

（1）能用数项级数收敛判别法讨论函数项级数的收敛性，研究函数项级数与函数列收敛域；（2）理解一致收敛概念，能从定义出发证明函数列或函数项级数的一致收敛和非一致收敛；（3）掌握Cauchy收敛原理，并能应用于判别一致收敛与非一致收敛；（4）掌握各种判别法，研究函数列或函数项级数的一致收敛性；（5）利用一致收敛性证明极限函数和函数的连续性、可微性与可积性。反过来，从和函数或极限函数的分析性质研究函数项级数或函数列的一致收敛性（Dini定理）。

十四幂级数

（1）掌握求幂级数的收敛半径的方法，确定收敛区间端点的敛散性；（2）掌握幂级数在收敛区间内的内闭一致收敛性，幂级数和函数的分析性质；（3）用等比数列求和公式，或通过利用幂级数逐项求导逐项求积的性质，可化为等比数列求和求出某些幂级数的和函数的初等形式。

十五Fourier级数

（1）了解三角级数的正交性，并能在某些积分计算中加以应用；（2）会计算可积函数的Fourier系数；

（3）掌握收敛定理的条件与结论，会用收敛定理将以

2为周期的函数展成Fourier级数；（4）掌握奇、偶函数的Fourier级数展开的特点，会将定义在某区间上的函数按要求展成正弦级数或余弦级数；（5）能利用Fourier展开求一些简单级数的和；（6）了解黎曼－勒贝格引理的内容及它的一些简单应用。十六多元函数的极限和连续

（1）掌握平面点集、邻域、中心邻域的表示法；（2）会判别一般平面点集是开集还是闭集，有界还是无界，是否是区域、开区域、闭区域，会写出其边界；（3）了解平面点集的矩形套定理、聚点定理、有限覆盖定理，理解它们与直线上有关定理相互关系；（4）掌握平面点列收敛的ε-N定义及柯西收敛原理；

（5）理解二元函数的概念及几何意义，并能推广到多元函数；会确定一般二元函数的定义域及连续范围；

（6）理解二元函数极限ε-N定义，会依定义证明不太复杂的二重极限；（7）掌握累次极限概念，能通过具体反例分析二重极限与累次极限的关系；（8）理解二元函数连续性及一致连续性的定义，会依定义讨论连续性及有关的简单命题，理解有界闭域上连续函数的性质。

十七多元函数微分学

（1）掌握偏导数与全微分的定义、复合函数的求导法则；（2）掌握可微的条件、复合函数的全微分、一阶全微分形式不变性、高阶偏导数、中值定理、Taylor公式；（3）理解可微性几何意义及应用、极值问题；（4）了解方向导数与梯度。

十八隐函数定理及其应用

（1）理解隐函数定理的有关概念，及隐函数存在的条件；（2）了解隐函数组，反函数组的有关概念，理解二元隐函数组存在的条件，了解反函数组存在的条件；（3）掌握隐函数的微分法在几何方面的应用，会把实际问题抽象为条件极值并予以解决。

十九 含参量积分

（1）理解含参变量常见积分作为参量的函数，掌握它的连续性、可微性和可积性的条件，并能应用这些条件讨论一些含参量常见积分的有关性质；（2）理解含参量广义积分及一致收敛概念，会从定义或Cauchy收敛原理出发证明积分的一致收敛性或非一致收敛性；（3）掌握和利用M－判别法、Dirichlet判别法、Abel判别法，判别一些常见积分的一致收敛性；（4）掌握含参量广义积分的分析性质：连续性、可微性、可积性；（5）掌握Euler积分的定义、性质、递推公式及它们之间的关系，并用于计算积分。

二十 曲线积分

（1）掌握第一型曲线积分的定义、第一型曲线积分的计算、第二型曲线积分的定义、第二型曲线积分的计算；（2）了解第一型曲线积分的意义、第二型 曲线积分的意义、两类曲线积分的关系。二十一 重积分

（1）掌握将重积分化为累次积分的计算方法，并会交换积分顺序；（2）掌握二重积分的极坐标变换，三重积分的柱坐标、球坐标、广义球坐标变换，掌握一些简单的一般变换，以达到简化重积分计算的目的；

（3）能正确地使用对称性；正确地处理被积函数中含有绝对值符号及一般分段函数的重积分计算；（4）能用重积分计算平面图形的面积，空间立体的体积、物体的质量、重心、转动惯量等。（5）了解重积分。

二十二 曲面积分

（1）掌握第一型曲面积分的概念、几何意义和计算；（2）理解曲面的侧，熟练掌握第二型曲面积分的定义、物理意义和计算，了解两类曲面积分的联系（3）掌握Gauss公式与Stokes公式；（4）了解场论初步。

第二篇：数学分析考试大纲

625数学分析考试大纲

一、考试目的

《数学分析》作为全日制硕士研究生入学考试的专业基础课考试，其目的是考察考生是否具备进行本学科各专业硕士研究生学习所要求的水平。

二、考试的性质与范围

本考试是一种测试应试者综合运用所学的数学分析的知识的尺度参照性水平考试。考试范围包括数学分析的基本的概念，理论和方法，考察考生的理解、分析、解决数学分析问题的能力。

三、考试基本要求

1.熟练掌握数学分析的基本概念、命题、定理； 2．综合运用所学的数学分析的知识的能力

四、考试形式

闭卷考试。

五、考试内容（或知识点）

一、数列极限

数列、数列极限的 定义，收敛数列——唯一性、有界性、保号性、不等式性、迫敛性、四则运算，单调有界数列极限存在定理。柯西准则，重要极限。

二、函数极限

函数极限。定义，定义，单侧极限，函数极限的性质——唯一性、局部有界性、局部保号性、不等式性、迫敛性、四则运算、归结原则（Heine 定理）。函数极限的柯西准则。

无穷小量及其阶的比较，无穷大量及其阶的比较，渐近线。

三、函数的连续性

函数在一点的连续性、单侧连续性、间断点及其分类。在区间上连续的函数，连续函数的局部性质——有界性、保号性。连续函数的四则运算。复合函数的连续性。闭区间上连续函数的性质——有界性、取得最大值最小值性、介值性、一致连续性、反函数的连续性，初等函数连续性。

四、导数和微分

导数定义，单侧导数、导函数、导数的几何意义、费马(Fermat)定理。和、积、商的导数、反函数的导数、复合函数的导数、初等函数的导数、参变量函数的导数、高阶导数、微分概念、微分的几何意义、微分的运算法则。

五、微分中值定理

Roll、Lagrange、Cauchy中值定理，不定式极限，洛比达（L’Hospital）法则，泰勒（Taylor）定理。（泰勒公式及其皮亚诺余项、拉格朗日余项、积分型余项）。极值、最大值与最小值。曲线的凸凹性。拐点，函数图的讨论。

六、实数的完备性

区间套定理，数列的柯西（Cauchy）收敛准则，聚点原理，有界数列存在收敛子列，有限覆盖定理。

七、不定积分

原函数与不定积分，换元积分法、分部积分法，有理函数积分法，三角函数有理式的积分法，几种无理根式的积分。

八、定积分

牛顿——莱布尼茨公式，可积的必要条件，可积的充要条件，可积函数类。绝对可积性，积分中值定理，微积分学基本定理。换元积分法，分部积分法。

九、定积分的应用

简单平面图形面积。有平行截面面积求体积，曲线的弧长与微分。微元法、旋转体体积与侧面积，物理应用（引力、功等）。

十、反常积分

无穷限反常积分概念、柯西准则，绝对收敛、无穷限反常积分收敛性判别法：比较判别法，狄利克雷（Dirichlet）判别法，阿贝尔（Abel）判别法。无界函数反常积分概念，无界函数反常积分收敛性判别法。

十一、数项级数

级数收敛与和，柯西准则，收敛级数的基本性质，正项级数比较原则。比式判别法与根式判别法、积分判别法。一般项级数的绝对收敛与条件收敛，交错级数，莱布尼茨判别法，狄利克雷（Dirichlet）判别法，阿贝尔（Abel）判别法。绝对收敛级数的重排定理。

十二、函数列与函数项级数

函数列与函数项级数的收敛与一致收敛概念，一致收敛的柯西准则。函数项级数的维尔斯特拉斯（Weierstrass）优级数判别法，狄利克雷（Dirichlet）判别法，阿贝尔（Abel）判别法，函数列极限函数与函数项级数和的连续性、逐项积分与逐项求导。

十三、幂级数

幂级数的收敛半径与收敛区间，一致收敛性、连续性、逐项积分与逐项求导，幂级数的四则运算。

泰勒级数、泰勒展开的条件，初等函数的泰勒展开。

十四、傅里叶（Fourier）级数

三角级数、三角函数系的正交性、傅里叶（Fourier）级数，贝塞尔（Bessel）不等式，黎曼——勒贝格定理，按段光滑且以2π为周期的函数展开，傅里叶级数的收敛定理，以2π为周期的函数的傅里叶级数，奇函数与偶函数的傅里叶级数。

十五、多元函数的极限和连续

平面点集概念（邻域、内点、界点、开集、闭集、开域、闭域），平面点集的基本定理——区域套定理、聚点原理、有限覆盖定理。二元函数概念。二重极限、累次极限，二元函数的连续性、复合函数的连续性定理、有界闭域上连续函数的性质。

十六、多元函数的微分学

偏导数及其几何意义，全微分概念，全微分的几何意义，全微分存在的充分条件，全微分在近似计算中的应用，复合函数的偏导数与全微分，一阶微分形式不变性，方向导数与梯度，混合偏导数与其顺序无关性，高阶导数，高阶微分，二元函数的泰勒定理，二元函数的极值。

十七、隐函数定理

隐函数概念、隐函数定理、隐函数求导。

隐函数组概念、隐函数组定理、隐函数组求导、反函数组与坐标变换，函数行列式。几何应用，条件极值与拉格朗日乘数法。

十八、含参量积分

含参量积分概念、连续性、可积性与可微性，积分顺序的交换。含参量反常积分的收敛与一致收敛，一致收敛的柯西准则。维尔斯特拉斯（Weierstrass）判别法。连续性、可积性与可微性，Gamma函数。

十九、曲线积分

第一型和第二型曲线积分概念与计算，两类曲线积分的联系。

二十、重积分

二重积分定义与存在性，二重积分性质，二重积分计算（化为累次积分）。格林（Green）公式，曲线积分与路径无关条件。二重积分的换元法（极坐标与一般变换）。三重积分定义与计算，三重积分的换元法（柱坐标、球坐标与一般变换）。重积分应用（体积，曲面面积，重心、转动惯量、引力等）。无界区域上的收敛性概念。无界函数反常二重积分。在一般条件下重积分变量变换公式。

二十一、曲面积分

曲面的侧。第一型和第二型曲面积分概念与计算，高斯公式。斯托克斯公式。场论初步（梯度场、散度场、旋度场）。

六、考试题型

计算题、证明题。

七、参考书目：本科通用教材

864高等代数考试大纲

一、考试目的

《高等代数》作为全日制硕士研究生入学考试的专业基础课考试，其目的是考察考生是否具备进行本学科各专业硕士研究生学习所要求的水平。

二、考试的性质与范围

本考试是一种测试应试者综合运用所学的高等代数的知识的尺度参照性水平考试。考试范围包括高等代数的基本的概念，理论和方法，考察考生的理解、分析、解决代数问题的能力。

三、考试基本要求

1.熟练掌握高等代数的基本概念、命题、定理； 2．综合运用所学的高等代数的知识的能力

四、考试形式 闭卷

五、考试内容（或知识点）1．多项式

数域，一元多项式，整除的概念，最大公因式，因式分解定理，重因式，多项式函数，复系数与实系数多项式的因式分解，有理系数多项式，多元多项式，对称多项式。

2、行列式

排列，n级行列式的定义，n级行列式的性质，n级行列式的展开，行列式按一行（列）展开，克拉默（Cramer）法则，拉普拉斯（Laplace）定理，行列式的乘法规则。

3． 线性方程组

消元法，n维向量空间，线性相关性，矩阵的秩，线性方程组有解判别定理，线性方程组解的结构。

4． 矩阵

矩阵的概念，矩阵的运算，矩阵乘积的行列式与秩，矩阵的逆，矩阵的分块，初等矩阵，分块乘法的初等变换及应用。

5． 二次型

二次型的矩阵表示，标准型，唯一性，正定（半正定）二次型。

6． 线性空间

集合、映射，线性空间的定义与简单性质，维数、基与坐标，基变换与坐标变换，线性子空间，子空间的交与和，子空间的直和，线性空间的同构。

7． 线性变换

线性变换的定义，线性变换的运算，线性变换的矩阵，特征值与特征向量，对角矩阵，线性变换的值域与核，不变子空间，若当（Jordan）标准形介绍，最小多项式。

8． λ-矩阵

λ-矩阵的定义，λ-矩阵在初等变换下的标准型，不变因子，矩阵相似的条件，初等因子，若当（Jordan）标准形的理论推导，矩阵的有理标准形。

9． 欧几里得空间 定义与基本性质，标准正交基，同构，正交变换，子空间，对称矩阵的标准形，向量到子空间的距离与最小二乘法。

10． 双线性函数

线性函数，对偶空间，双线性函数，对称（反对称）双线性函数。

六、考试题型

计算题、证明题

七、参考书目：本科通用教

第三篇：《数学分析》考试知识点.

《数学分析》考试知识点

题目类型及所占比例：

填空题（20分）、解答题（60分）、证明题(70分)

考试范围：

一、极限和函数的连续性 考试内容： 映射与函数的概念及表示法，函数的四则运算、复合函数与反函数的求法，函数的有界性、奇偶性、单调性与周期性； 数列与函数极限的定义与性质，函数的左右极限，无穷小量与无穷大量的概念及关系、无穷小量与无穷大量的阶，极限的计算； 3 函数的连续性和一致连续性； 4 实数系的连续性； 5 连续函数的各种性质。考试要求： 理解映射与函数的概念，掌握函数的表示法；会函数的四则运算、复合运算；知道反函数及隐函数存在的条件及求法；了解初等函数的概念，会求初等函数的定义域； 理解函数与数列极限(包括左右)的概念，会用极限的概念证明有关极限的命题；熟练掌握极限的四则运算及性质；会问题及简单的求 函数熟练掌握数列极限与函数极限的概念；理解无穷小量的概念及基本性质。掌握极限的性质及四则运算性质，能够熟练运用两面夹原理和两个特殊极限。掌握实数系的基本定理。熟练掌握函数连续性的概念及相关的不连续点类型。熟练掌握闭区间上连续函数的性质。二、一元函数微分学 考试主要内容：微分的概念、导数的概念、微分和导数的意义；求导运算；微分运算；微分中值定理；洛必达法则、泰勒展式；导数的应用。

考试要求：理解导数和微分的概念。熟练掌握函数导数与微分的运算法则，包括高阶导数的运算法则、复合函数求导法则，会求分段函数的导数。熟练掌握Rolle中值定理，Lagrange中值定理和Cauchy中值定理以及Taylor展式。能用导数研究函数的单调性、极值，最值和凸凹性。掌握用洛必达法则求不定式极限的方法。三、一元函数积分学

考试主要内容：定积分的概念、性质和微积分基本定理；不定积分和定积分的计算；定积分的应用；广义积分的概念和广义积分收敛的判别法。

考试要求：理解不定积分的概念。掌握不定积分的基本公式，换元积分法和分部积分法，会求初等函数、有理函数和三角有理函数的积分。掌握定积分的概念，包括可积性条件。掌握定积分的性质，熟练掌握微积分基本定理，定积分的换元积分法和分部积分法以及积分中值定理。能用定积分表达和计算如下几何量与物理量。理解广义积分的概念。熟练掌握判断广义积分收敛的比较判别法，Abel判别法和Dirichlet判别法；其中包括积分第二中值定理。

四、无穷级数

考试主要内容：数项级数的概念、数项级数敛散的判别法；级数的绝对收敛和条件收敛；函数项级数的收敛和一致收敛及其性质、收敛性的判别；幂级数及其性质、泰勒级数和泰勒展开。

考试要求：理解数项级数敛散性的概念，掌握数项级数的基本性质。熟练掌握正项级数敛散的必要条件，比较判别法，Cauchy判别法，D‘Alembert判别法与积分判别法。熟练掌握任意项级数绝对收敛与条件收敛的概念及其相互关系。熟练掌握交错级数的Leibnitz判别法。掌握绝对收敛级数的性质。熟练掌握函数项级数一致收敛性的概念以及判断一致收敛性的Weierstrass判别法。Abel判别法、Cauchy判别法和Dirichlet判别法。掌握幂级数及其收敛半径的概念，熟练掌握幂级数的性质。能够将函数展开为幂级数。了解Fourier级数的概念与性质。

五、多元函数微分学与积分学

考试主要内容：多元函数的极限与连续、全微分和偏导数的概念、重积分的概念及其性质、重积分的计算；曲线积分和曲面积分；反常积分的定义和判别。

考试要求：理解多元函数极限与连续性，偏导数和全微分的概念，会求多元函数的偏导数与全微分。掌握隐函数存在定理。会求多元函数极值和无条件极值，了解偏导数的几何应用。掌握重积分、曲线积分和曲面积分的概念与计算。熟练掌握Gauss公式、Green公式和Stoks公式及其应用。

六、含参变量积分

考试主要内容：含参变量积分的概念、性质。

考试要求：了解含参变量常义积分的概念与性质。熟练掌握变上限积分。

参考书目：

《数学分析》，华东师大数学系编，高教出版社，2001年6月（三版）《数学分析》，陈传璋等编，高教出版社

第四篇：《数学分析》考试大纲

漳州师范学院2013年硕士研究生入学考试

《数学分析》考试大纲

一、考试基本要求：

以检验考生理解《数学分析》的基本概念，基本理论，掌握《数学分析》的基本方法和基本技巧的熟练程度为主。

二、考试方法和时间：

考试方法为笔试，考试时间为3小时。

三、考核知识点：

1．数列极限、函数极限的定义及性质；N、方法的证明；数列极限、函数极限的各种计算方法。

2．连续性的定义及性质；连续性、一致连续性的证明及其应用。

3．微分和导数的概念及导数的几何意义；微分中值定理、Taylor公式、不等式的证明及导数在研究函数中的应用。

4．不定积和定积分的定义；积分中值定理、牛顿－莱布尼兹公式、定积分的计算和有关的证明。

5．数项级数收敛、发散的判别法, 函数项级数一致收敛的判别法；幂级数的收敛半径、收敛域、级数和函数的求法及函数的Taylor展开。

6．平面点集；二元函数极限、连续的定义及多元函数极限的求法；多元函数偏导数及全微分的定义、计算及有关的证明。

7．广义积分、含参量积分的各种敛散性判别法及含参量广义积分的一致收敛性判别法；含参量积分及含参量广义积分的连续性、可微性、可积性及其它们的应用。

8．二重积分、三重积分的计算；第一类曲线积分、第一类曲面积分、第二类曲线积分、第二类曲面积分的计算；格林公式、高斯公式、斯托克斯公式的应用。

四、参考书目：

复旦大学数学系欧阳光中等编，数学分析(上、下册)（第三版），高等教育出版社，2007年。

漳州师范学院数学与信息科学系

2012年9月

第五篇：01数学分析考试大纲

01 《数学分析》考试大纲

一、总要求

考生应按本大纲的要求，了解或理解数学分析中的函数、极限和连续、实数的基本理论、一元函数微分学、一元函数积分学、多元函数微积分学、无穷级数的基本概念与基本理论；学会、掌握或熟练掌握上述各部分的基本方法。应注意各部分知识的结构及知识的内在联系；应具备有一定的抽象思维能力、逻辑推理能力、运算能力、空间想象能力；能运用基本概念、基本理论和基本方法正确地推理证明，准确地计算；能综合运用所学知识分析并解决简单的实际问题。

本大纲对内容的要求由低到高，对概念和理论分为“了解”和“理解”两个层次；对方法和运用分为“会”、“掌握”、和“熟练掌握”三个层次。

二、教材 《数学分析》（上、下），华东师范大学数学系编（第三版），高等教育出版社

三、内容

一、函数、极限和连续（1）函数 1．知识范围（1）函数的概念

函数的定义

函数的表示法

分段函数（2）函数的简单性质

单调性` 奇偶性 有界性

周期性（3）反函数

反函数的定义 反函数的图像（4）函数的四则运算与复合运算（5）基本初等函数

幂函数

指数函数 对数函数

三角函数

反三角函数（6）初等函数 2．要求

（1）理解函数的概念。学会函数的定义域、表达式及函数值。会求分段函数的定义域、函数值，并会作出简单的分段函数的图像。

（2）理解和掌握函数的单调性、奇偶性、有界性、周期性，会判断函数的类型。（3）理解和掌握函数的四则运算与复合运算，熟练掌握复合函数的复合过程。（4）掌握基本初等函数的简单性质及图像。（5）掌握初等函数的概念。

（6）会建立简单实际问题的函数关系式。

（二）极限 1．知识范围

（1）数列极限的概念

数列、数列极限的ε-N定义（2）数列极限的性质

唯一性，有界性，四则运算定理，夹逼定理，单调有界定理（3）函数极限的概念

函数在一点处极限的定义，左、右极限及其与极限的关系，x趋于无穷时函数的极 限，函数的几何意义

（4）函数极限的定理

唯一性定理，夹逼定理，四则运算定理（5）无穷小量和无穷大量

无穷小量与无穷大量的定义，无穷小量与无穷大量的关系，无穷小量与无穷大量的性质，两个无穷小量的阶的比较

（6）两个重要的极限 2．要求

（1）理解极限的概念，能根据极限的概念分析函数的变化趋势。会求函数在一点处的左、右极限，理解函数在一点处极限存在的充分必要条件

（2）理解极限的有关性质，掌握极限的四则运算法则

（3）理解无穷小量、无穷大量的概念，掌握无穷小量的性质、无穷小量与无穷大量的关系。会进行无穷小量的阶的比较。会运用等价无穷小量代换求极限。

（4）熟练掌握用两个重要的极限求极限的方法

（三）连续 1．知识范围

（1）函数连续的概念

函数在一点处连续的定义，左连续与右连续，函数在一点处连续的充分必要条件，函数的间断点及其分类

（2）函数在一点处连续的性质

连续函数的四则运算，复合函数连续性，反函数的连续性（3）闭区间上连续函数的性质

有界性定理，最大值与最小值定理，介值性定理（4）初等函数的连续性 2．要求

（1）理解函数在一点连续与间断的概念，掌握判断函数在一点的连续性，理解函数在一点连续与极限存在的关系

（2）会求函数的间断点及确定其类型

（3）掌握在闭区间上连续函数的性质，会运用介值定理推证一些简单命题（4）理解初等函数在其定义区间上的连续性，并会利用连续性求极限 二、一元函数微分学

（一）导数与微分 1．知识范围（1）导数的概念

导数的定义，左导数，右导数，导数的几何意义与物理意义，可导与连续的关系（2）求导法则与导数的基本公式

导数的四则运算，反函数的导数，导数的基本公式（3）求导方法

复合函数的求导法，隐函数的求导法，对数求导法，由参数方程确定的函数的求导法，求分段函数的导数

（4）高阶导数的概念 高阶导数的定义及计算（5）微分

微分的定义，微分与导数的关系，微分法则，一阶微分形式的不变性

2．要求

（1）理解导数的概念及其几何意义，可导性与连续性的关系，会运用定义求函数在一点处的导数

（2）会求曲线上一点处的切线方程与法线方程

（3）熟练掌握导数的基本公式、四则运算法则及复合函数和反函数求导方法

（4）掌握隐函数的求导法、对数求导法以及由参数方程确定的函数的求导方法，会求分段函数的导数

（5）理解高阶导数的概念，会求简单函数的n阶导数

（6）理解函数和微分概念，掌握微分法则，掌握微分与可导的关系，会求一阶微分

（二）中值定理及导数的应用 1．知识范围（1）中值定理

罗尔中值定理

拉格朗日中值定理 柯西中值定理（2）洛必达法则

（3）函数增减性的判定法

（4）函数的极值与极值点

最大值与最小值（5）曲线的凹凸性、拐点（6）曲线的渐近线（7）泰勒公式 2．要求

（1）理解罗尔中值定理、格朗日中值定理、柯西中值定理它们的几何意义，会用它们证明根的存在性和简单的不等式，（2）熟练掌握用洛必达法则求“”“0”“”“1”“00”“”型未定式的极限的方法

（3）熟练掌握利用导数判定函数单调性及求函数单调增、减区间的方法，会用函数的单调性证明简单不等式

（4）理解函数极值的概念。掌握求函数的极值和最值的方法，并会解简单的应用问题

（5）会判断曲线的凹凸性，会求曲线的拐点（6）会作简单函数的图形

（7）理解函数的泰勒公式，泰勒公式的拉格朗日型余项，掌握几个基本初等函数的泰勒公式 三、一元函数积分学

（一）不定积分 1．知识范围

（1）不定积分的概念

原函数与不定积分的定义

原函数存在定理

不定积分的性质（2）基本积分公式（3）换元积分法

第一换元法，第二换元法（4）分部积分法

（5）一些简单的有理函数和可化为有理函数的积分 2．要求

000（1）理解原函数与不定积分的概念及其关系，掌握不定积分的性质，了解原函数存在性定理

（2）熟练掌握不定积分的基本公式

（3）熟练掌握不定积分的第一换元法，掌握第二换元法（4）熟练掌握不定积分的分部积分法（5）会求简单有理函数的不定积分

（二）定积分 1．知识范围

（1）定积分的概念

定积分的定义及几何意义，可积的必要条件和充分条件 可积函数类（2）定积分的性质（3）微积分学基本定理

（4）换元积分法与分部积分法（5）泰勒公式的积分型余项

（6）广义积分的概念

广义积分的收敛性判别法（7）定积分的应用 2．要求

（1）理解定积分的概念及其几何意义，掌握定积分的积分和、上和、下和的概念，定积分可积的充分条件、必要条件和充要条件

（2）掌握定积分的基本性质

（3）掌握变上限定积分是变上限的函数，掌握对变上限定积分的求导方法（4）掌握牛顿---莱布尼茨公式

（5）掌握定积分的换元积分法和分部积分法

（6）理解无穷限广义积分和无界函数广义积分的概念及几何意义

（7）掌握非负函数广义积分收敛性的比较判别法，了解阿贝尔和狄里克莱判别法（8）掌握定积分在几何计算平面图形的面积、旋转体的体积、曲线的弧长、旋转曲面的面积、和物理上计算压力、功、重心等简单应用

四、实数完备性理论的知识 1．知识范围

（1）实数完备性的基本定理

（2）闭区间上连续函数性质的证明 2．要求

（1）了解实数系的构造理论（2）理解实数完备性定理的各个定理：区间套定理 柯西收敛准则，有限覆盖定理，聚点定理，确界原理，单调有界性定理和这些定理的等价性

（3）理解闭区间上连续函数性质的证明

（4）了解实数完备性定理在证明数学命题中的应用

五、多元函数微分学

（一）多元函数微分学 1．知识范围（1）多元函数

平面点集，R上的完备性定理，多元函数的定义，二元函数的定义域，二元函数的几何意义，二元函数极限，累次极限，二元函数的连续性概念，有界闭区域上连续函数的性质 2 4（2）可微性，偏导数与全微分，偏导数，全微分的概念，可微性的几何意义与应用

（3）复合函数的求导法则 复合函数的全微分（4）方向导数与梯度

（5）高阶偏导数，中值定理和泰勒公式，极值问题

（6）隐函数概念，隐函数存在性条件的分析，隐函数定理 隐函数的求导，隐函数组概念 隐函数组定理，反函数组与坐标变换

（7）平面曲线的切线与法线 空间曲线的切线与法平面 曲面的切平面与法线（8）条件极值 2．要求

（1）了解平面点集，R上的完备性定理，多元函数的定义，二元函数的定义域，二元函数的几何意义，二元函数极限，累次极限，二元函数的连续性概念，有界闭区域上连续函数的性质

（2）掌握偏导数、全微分的概念，可微性的几何意义与应用

（3）熟练掌握一阶、二阶偏导数的计算，掌握复合函数偏导数和全微分的计算（4）掌握方向导数，梯度的计算，了解隐函数定理，掌握隐函数及隐函数组的的微分的计算

（5）掌握平面曲线的切线与法线 空间曲线的切线与法平面 曲面的切平面与法线的方程的计算

（6）了解二元函数泰勒公式，熟练掌握二元函数的无条件极值的计算，掌握条件极值的拉格朗日乘数法

六、多元函数积分学 1．知识范围

（1）二重积分的概念，二重积分的可积条件，一般区域上的二重积分，二重积分的计算，二重积分的换元法，含参量积分的导数

（2）三重积分的概念，化三重积分为累次积分，三重积分的换元法（3）重积分的应用，曲面的面积，重积分在物理学上的应用

（4）第一型曲线积分和第一型曲面积分的概念，第一型曲线积分和第一型曲面积分的计算

（5）第二型曲线积分和第二型曲面积分的概念，第二型曲线积分和第二型曲面积分的计算

（6）格林公式，曲线积分与路径的无关性（7）高斯公式，斯托克斯公式 2．要求

（1）了解二重积分的概念、二重积分的可积条件、一般区域上的二重积分，熟练掌握直角坐标系下二重积分的计算，掌握二重积分的换元法、含参量积分的导数

（2）了解三重积分的概念，掌握直角坐标下化三重积分为累次积分

（3）了解第一型曲线积分和第一型曲面积分的概念，掌握第一型曲线积分和第一型曲面积分的计算，了解第二型曲线积分和第二型曲面积分的概念，掌握第二型曲线积分和第二型曲面积分的计算

（4）了解格林公式，曲线积分与路径的无关性（5）了解高斯公式，知道斯托克斯公式

七、无穷级数

（一）数项级数 5 1．知识范围

（1）数项级数的概念，级数的收敛与发散，级数的基本知识，级数收敛的必要条件

（2）正项级数敛散性判别法，比较判别法，比值判别法

（3）任意项级数，交错级数，绝对收敛，条件收敛，莱布尼兹判别法

2．要求

（1）了解数项级数的概念，级数的收敛与发散，级数的基本知识，级数收敛的必要条件

（2）熟练掌握正项级数敛散性的比较判别法和比值判别法（3）了解任意项级数、交错级数、绝对收敛、条件收敛的概念（4）掌握交错级数收敛的莱布尼兹判别法.（三）幂级数 1．知识范围

（1）幂级数收敛区间（2）幂级数的性质（3）幂级数的运算

（4）泰勒级数与初等函数的幂级数展开式 2．要求

（1）了解幂级数、幂级数的收敛半径、收敛区间的概念

（2）了解幂级数在收敛区间内的性质（和、差、逐项求导、逐项积分）（3）掌握幂级数的收敛半径、收敛区间的的求法

（4）会运用基本初等函数的麦克劳林公式将一些简单的初等函数展开为幂级数