构造函数证明不等式的八种方法[最终版]

第一篇：构造函数证明不等式的八种方法[最终版]

构造函数证明不等式的八种方法

一、移项法构造函数

例：

1、已知函数f(x)ln(x1)x，求证：当x1时，但有1

2、已知函数f(x)aex1ln(x1)x 1x12x（1）若f(x)在R上为增函数，求a的取值范围。

2（2）若a=1，求证：x0时，f(x)1x

二、作差法构造函数证明

1例：

1、已知函数f(x)x2lnx，求证：在区间(1,)上，函数f(x)的图象在函数

22g(x)x3的图象下方。

3思想：抓住常规基本函数，利用函数草图分析问题

2、已知函数f(x)nlnx的图象在点P(m,f(x))处的切线方程为y=x，设

n（1）求证：当x1时，g(x)0恒成立；（2）试讨论关于x的方g(x)mx2lnx，x

n程mxg(x)x32ex2tx根的个数。x3、换元法构造函数证明

例：

1、证明：对任意的正整数n，不等式ln(1)

2、证明：对任意的正整n，不等式ln(1)

3、已知函数f(x)ln(ax1)xxax，（1）若321n11，都成立。n2n31n113都成立。2nn2为yf(x)的极值点，求实数a

3的值；（2）若yf(x)在[1,)上增函数，求实数a的取值范围。（3）若a=-1时，方程f(1x)(1x)3b有实根，求实数b的取值范围。x4、从条件特征入手构造函数证明

例1 若函数yf(x)在R上可导且满足不等式xf(x)f(x)恒成立，且常数a,b满足'

ab，求证：af(a)bf(b)

5、主元法构造函数

例1.已知函数f(x)ln(1x)x，g(x)xlnx，（1）求函数f(x)的最大值；（2）设0ab，证明：0g(a)g(b)2g（ab)(ba)ln2

26、构造二阶导数函数证明导数的单调性

例1：已知函数f(x)aex12（1）若f(x)在R上为增函数，求a的取值范围； x，2（2）若a=1，求证：x0时，f(x)1x7、对数法构造函数（选用于幂指数函数不等式）

例1：证明当x0时，(1x)1

1xe1x8、构造形似函数

例1：证明当bae，证明ab2、已知m、n都是正整数，且1mn，证明：(1m)(1n)

思维挑战

1、设a0，f(x)x1lnx2alnx，求证：当x1时，恒有xlnx2alnx

12、已知定义在正实数数集上的函数f(x)

且b

3、已知函数f(x)ln(1x)

4、f(x)是定义在(0,)上的非负可导数，且满足xf(x)f(x)0，对任意正数a、b，若ab，则必有（）

A.af(x)bf(a)B.bf(a)af(b)C.af(a)f(b)D.bf(b)f(a)

-'2nmba212x2ax，g(x)3a2lnxb，其中a0，252a3a2lna，求证：f(x)g(x)2xb，求证：对任意的正数a、b恒有lnalnb1 1xa

第二篇：构造函数法证明不等式的八种方法

导数之构造函数法证明不等式

1、移项法构造函数 【例1】 已知函数f(x)ln(x1)x，求证：当x1时，恒有

1

【解】f(x)1ln(x1)x x11x1 x1x1∴当1x0时，f(x)0，即f(x)在x(1,0)上为增函数

当x0时，f(x)0，即f(x)在x(0,)上为减函数 故函数f(x)的单调递增区间为(1,0)，单调递减区间(0,)

于是函数f(x)在(1,)上的最大值为f(x)maxf(0)0，因此，当x1时，f(x)f(0)0，即ln(x1)x0∴ln(x1)x（右面得证）现证左面，令g(x)ln(x1)111x1，则g(x) 22x1x1(x1)(x1)当x(1,0)时,g(x)0;当x(0,)时,g(x)0，即g(x)在x(1,0)上为减函数，在x(0,)上为增函数，故函数g(x)在(1,)上的最小值为g(x)ming(0)0，110 x1111ln(x1)x ∴ln(x1)1，综上可知，当x1时,有x1x1∴当x1时，g(x)g(0)0，即ln(x1)

2、作差法构造函数证明 【例2】已知函数f(x)12xlnx.求证：在区间(1,)上，函数f(x)的图象在函数2g(x) 23x的图象的下方； 32312xxlnx，32【解】设F(x)g(x)f(x)，即F(x)1(x1)(2x2x1)则F(x)2xx=

xx21

(x1)(2x2x1)当x1时，F(x)=

x从而F(x)在(1,)上为增函数，∴F(x)F(1)∴当x1时 g(x)f(x)0，即f(x)g(x)，故在区间(1,)上，函数f(x)的图象在函数g(x)

3、换元法构造函数证明

【例3】证明：对任意的正整数n，不等式ln(只需令

10 623x的图象的下方。31111)23 都成立.nnn1x n32【解】令h(x)xxln(x1)，13x3(x1)2则h(x)3x2x在x(0,)上恒正，x1x12所以函数h(x)在(0,)上单调递增，∴x(0,)时，恒有h(x)h(0)0，即xxln(x1)0，∴ln(x1)xx 对任意正整数n，取x32231111(0,)，则有ln(1)23 nnnn4、从条件特征入手构造函数证明

【例4】若函数y=f(x)在R上可导且满足不等式xf(x)>－f(x)恒成立，且常数a，b满足a>b，求证：．af(a)>bf(b)

【解】由已知 xf(x)+f(x)>0 ∴构造函数 F(x)xf(x)，则F(x) xf(x)+f(x)>0，从而F(x)在R上为增函数。'ab ∴F(a)F(b)即 af(a)>bf(b)

5、构造二阶导数函数证明导数的单调性

x例．已知函数f(x)ae12x 2(1)若f(x)在R上为增函数,求a的取值范围;(2)若a=1,求证:x＞0时,f(x)>1+x x解：(1)f′(x)＝ ae－ｘ，∵ｆ（ｘ）在Ｒ上为增函数，∴f′(x)≥０对ｘ∈Ｒ恒成立，-ｘ即ａ≥ｘｅ对ｘ∈Ｒ恒成立 记ｇ（ｘ）＝ｘｅ，则ｇ′(ｘ)＝ｅ－ｘｅ=(1-x)e，当ｘ＞１时，ｇ′（ｘ）＜０，当ｘ＜１时，ｇ′（ｘ）＞０． 知ｇ（ｘ）在(-∞,1)上为增函数,在(1,+ ∞)上为减函数, ∴g(x)在x=1时,取得最大值，即g(x)max=g(1)=1/e, ∴a≥1/e, 即a的取值范围是[1/e, + ∞)

x(2)记F(X)=f(x)－(1+x)=ex-ｘ-ｘ-ｘ-x

12x1x(x0)2则F′(x)=e-1-x, xx令h(x)= F′(x)=e-1-x,则h′(x)=e-1 当x>0时, h′(x)>0, ∴h(x)在(0,+ ∞)上为增函数, 又h(x)在x=0处连续, ∴h(x)>h(0)=0 即F′(x)>0 ,∴F(x)在(0,+ ∞)上为增函数,又F(x)在x=0处连续, ∴F(x)>F(0)=0,即f(x)>1+x．

6.对数法构造函数（选用于幂指数函数不等式）例：证明当x0时,(1x)11xe1x2

7.构造形似函数

例：证明当bae,证明ab

例：已知m、n都是正整数，且1mn,证明：(1m)(1n)

强化训练：

1、设a0,f(x)x1lnx2alnx

求证：当x1时，恒有xln2x2alnx1

nmba3

2、已知定义在正实数集上的函数f(x)12x2ax,g(x)3a2lnxb,其中a>0，且2b 52a3a2lna，求证：f(x)g(x)2x，求证：对任意的正数a、b，1x3、已知函数f(x)ln(1x)恒有lnalnb1

b.a

4、f(x)是定义在（0，+∞）上的非负可导函数，且满足xf(x)f(x)≤0，对任意正数a、b，若a < b，则必有（）

（A）af(b)≤bf(a)（C）af(a)≤f(b)

（B）bf(a)≤af(b)（D）bf(b)≤f(a)

mx2 5．设函数f（x）=e+x﹣mx．

（1）证明：f（x）在（﹣∞，0）单调递减，在（0，+∞）单调递增；

（2）若对于任意x1，x2∈[﹣1，1]，都有|f（x1）﹣f（x2）|≤e﹣1，求m的取值范围．

6、已知函数.（1）讨论函数的单调性；

（2）设，证明：对任意.7．已知函数f（x）=x+ax﹣lnx，a∈R．

（1）若函数f（x）在[1，2]上是减函数，求实数a的取值范围；

2（2）令g（x）=f（x）﹣x，是否存在实数a，当x∈（0，e]（e是自然常数）时，函数g（x）的最小值是3，若存在，求出a的值；若不存在，说明理由；（3）当x∈（0，e]时，证明：

．

8．已知函数f（x）=alnx﹣ax﹣3（a∈R）．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若函数y=f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线的倾斜角为45°，对于任意的t∈[1，2]，函数范围；（Ⅲ）求证：

．

在区间（t，3）上总不是单调函数，求m的取值

29.设函数f（x）=（1+x）﹣2ln（1+x）

（1）若关于x的不等式f（x）﹣m≥0在[0，e﹣1]有实数解，求实数m的取值范围．（2）证明不等式：

10．已知函数，其中a为实数．

（n∈N）．

*（1）求函数f（x）的单调区间；

（2）若函数f（x）≥0对定义域内的任意x恒成立，求实数a的取值范围；（3）证明：对任意的正整数m，n，不等式

恒成立．

11．设函数f（x）=lnx﹣

﹣bx（Ⅰ）当a=b=时，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）令F（x）=f（x）+

＜x≤3），其图象上任意一点P（x0，y0）处切线的斜率k≤恒成立，求实数a的取值范围；

12.已知函数f（x）=x+2ax﹣alnx﹣1（1）a≠0时，讨论函数f（x）的单调性；

（2）若不等式2xlnx≤xf′（x）+a+1恒成立，其中f′（x）f（x）是f（x）的导数，求实数a的取值范围．

13.已知函数f(x)=ln

221x.1－x(Ⅰ)求曲线y=f(x)在点（0，f(0)）处的切线方程；

x3(Ⅱ)求证：当x∈(0,1)时，f(x)≥2(x+);

3x3(Ⅲ)设实数k使得f(x)>k(x+)对x∈(0,1)恒成立，求k的最大值.35

bex114.设函数f(x)=aelnx+,曲线y=f(x)在点（1，f(1)）处切线方程为y=e(x-1)+2.xx(Ⅰ)求a,b；

(Ⅱ)证明：f(x)>1.利用导数求函数单调性

x－xee15.已知函数f(x)=--2x.(Ⅰ)讨论f(x)的单调性

(Ⅱ)设g(x)=f(2x)-4bf(x),当x>0时，g(x)>0,求b的最大值；

16.函数f(x)=ln(x+1)-

17.已知函数f(x)=xcosx-sinx,x∈[0,ax(a>1)讨论f(x)的单调性 xaπ]，求证：f(x)≤0； 218、已知函数,，其中R.（1）讨论的单调性；

（2）若在其定义域内为增函数，求正实数的取值范围；

（3）设函数总有 , 当成立，求实数

时，若存在，对于任意的，的取值范围．

19、已知函数

.（Ⅰ）求函数的单调区间；

（Ⅱ）设，若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围.20、设函数表示的导函数，（其中）（1）求成立，求实数的单调区间（2）若对任意的的取值范围，都有

21、已知函数的单调性；（Ⅱ）若,当求实数 的取值范围． ,，其中R．（Ⅰ）讨论

在其定义域内为增函数，求正实数

时，若，的取值范围；（Ⅲ）设函数，总有

成立，22、已知函数.(Ⅰ)若，求曲线，若对任意

在处切线的斜率；(Ⅱ)求，均存在的单调区间；（Ⅲ）设，使得，求的取值范围。

第三篇：构造函数法证明不等式的八种方法

构造函数法证明不等式的八种方法

利用导数研究函数的单调性极值和最值，再由单调性来证明不等式是函数、导数、不等式综合中的一个难点，也是近几年高考的热点。

解题技巧是构造辅助函数，把不等式的证明转化为利用导数研究函数的单调性或求最值，从而证得不等式，而如何

2、移项法构造函数

【例2】已知函数f(x)ln(x1)x，求证：当x1时，恒有11ln(x1)x x111，从其导数入手即x1分析：本题是双边不等式，其右边直接从已知函数证明，左边构造函数g(x)ln(x1)可证明。根据不等式的结构特征构造一个可导函数是用导数证明不等式的关键。

1、从条件特征入手构造函数证明

【例1】若函数y=f(x)在R上可导且满足不等式xf(x)>－f(x)恒成立，且常数a，b满足a>b，求证：．af(a)>bf(b)

【变式1】若函数y=f(x)在R上可导且满足不等式f(x)>f(x)，且yf(x)1为奇函数.求不等式f(x)x2.求不等式(x2015)2f(x2015)4f(2)0的解集.3、作差法构造函数证明 【例3】已知函数f(x)12x2lnx.求证：在区间(1,)上，函数f(x)的图象在函数g(x)23x3的图象的下方； 分析：函数f(x)图象在函数g(x)的图象的下方不等式f(x)g(x)问题，设F(x)g(x)f(x)

4、换元法构造函数证明

【例4】（2007年，山东卷）证明：对任意的正整数n，不等式ln(1n1)11n2n3 都成立.分析：本题是山东卷的

5、对数法构造函数（选用于幂指数函数不等式）【例5】证明当x0时,(1x)11xe1x2

6、构造形似函数

【例6】证明当bae,证明abba7、构造二阶导数函数证明导数的单调性 【例7】已知函数f(x)aex12x2(1)若f(x)在R上为增函数,求a的取值范围;(2)若a=1,求证:x＞0时,f(x)>1+x

8、主元法构造函数

【例8】（全国）已知函数f(x)ln(1x)x,g(x)xlnx

(1)求函数f(x)的最大值；(2)设0ab,证明 ：0g(a)g(b)2g(ab2)(ba)ln2.【思维挑战】

1、（2007年，陕西）f(x)是定义在（0，+∞）上的非负可导函数，且满足xf(x)f(x)≤0，对任意正数a、b，若a

（A）af(b)≤bf(a)（B）bf(a)≤af(b)（C）af(a)≤f(b)（D）bf(b)≤f(a)

2、（2007年，安徽卷）已知定义在正实数集上的函数f(x)12x22ax,g(x)3a2lnxb,其中a>0，且b52a23a2lna，求证：f(x)g(x)

3、已知函数f(x)ln(1x)x1x，求证：对任意的正数a、b, 恒有lnalnb1ba.

第四篇：构造函数法证明导数不等式的八种方法

导数专题：构造函数法证明不等式的八种方法

1、利用导数研究函数的单调性极值和最值，再由单调性来证明不等式是函数、导数、不等式综合中的一个难点，也是近几年高考的热点。

2、解题技巧是构造辅助函数，把不等式的证明转化为利用导数研究函数的单调性或求最值，从而证得不等式，而如何根据不等式的结构特征构造一个可导函数是用导数证明不等式的关键。以下介绍构造函数法证明不等式的八种方法：

1、移项法构造函数 【例1】 已知函数f(x)ln(x1)x，求证：当x1时，恒有11ln(x1)x x

12、作差法构造函数证明 【例2】已知函数f(x)

3、换元法构造函数证明

【例3】（2007年，山东卷）证明：对任意的正整数n，不等式ln（4、从条件特征入手构造函数证明

【例4】若函数y=f(x)在R上可导且满足不等式xf(x)>－f(x)恒成立，且常数a，b满足a>b，求证：．af(a)>bf(b)

5、主元法构造函数

1223xlnx.求证：在区间(1,)上，函数f(x)的图象在函数g(x)x23的图象的下方；

1111)23 都成立.nnn1x)x,g(x)xlnx 例．（全国）已知函数f(x)ln((1)求函数f(x)的最大值；

(2)设0ab,证明 ：0g(a)g(b)2g（6、构造二阶导数函数证明导数的单调性 例．已知函数f(x)aexab)(ba)ln2.212x 2(1)若f(x)在R上为增函数,求a的取值范围;(2)若a=1,求证:x＞0时,f(x)>1+x

7.对数法构造函数（选用于幂指数函数不等式）例：证明当x0时,(1x)

8.构造形似函数

例：证明当bae,证明abba

【思维挑战】

1、（2007年，安徽卷）设a0,f(x)x1lnx2alnx

22求证：当x1时，恒有xlnx2alnx1，11xe1x2

2、（2007年，安徽卷）已知定义在正实数集上的函数

f(x)

52122x2ax,g(x)3a2lnxb,其中a>0，且ba3alna，求证：f(x)g(x)

22xb，求证：对任意的正数a、b，恒有lnalnb1.1xa3、已知函数f(x)ln(1x)

4、（2007年，陕西卷）f(x)是定义在（0，+∞）上的非负可导函数，且满足xf(x)f(x)≤0，对任意正数a、b，若a < b，则必有

（）

（A）af(b)≤bf(a)（C）af(a)≤f(b)

（B）bf(a)≤af(b)（D）bf(b)≤f(a)

第五篇：构造函数证明不等式

在含有两个或两个以上字母的不等式中，若使用其它方法不能解决，可将一边整理为零，而另一边为某个字母的二次式，这时可考虑用判别式法。一般对与一元二次函数有关或能通过等价转化为一元二次方程的，都可考虑使用判别式，但使用时要注意根的取值范围和题目本身条件的限制。

例1.设：a、b、c∈R，证明：a2acc23b(abc)0成立，并指出等号何时成立。

解析：令f(a)a2(3bc)ac23b23bc

⊿＝(3bc)24(c23b23bc)3(bc)2 ∵b、c∈R，∴⊿≤0 即：f(a)0，∴a2acc23b(abc)0恒成立。

当⊿＝0时，bc0，此时，f(a)a2acc23ab(ac)20，∴abc时，不等式取等号。

4例2.已知：a,b,cR且abc2,a2b2c22，求证： a,b,c0,。

3abc222解析：2 消去c得：此方程恒成立，a(b2)ab2b10，22abc2∴⊿＝(b2)24(b22b1)3b24b0，即：0b4同理可求得a,c0,

34。3② 构造函数逆用判别式证明不等式

对某些不等式证明，若能根据其条件和结论，结合判别式的结构特征，通过构造二项平方和函数：f(x)(a1xb1)2(a2xb2)2(anxbn)2

由f(x)0，得⊿≤0，就可以使一些用一般方法处理较繁琐的问题，获得简捷明快的证明。

例3.设a,b,c,dR且abcd1，求证：4a14b14c14d1﹤6。解析：构造函数：

f(x)(4a1x1)2(4b1x1)2(4c1x1)2(4d1x1)

2＝8x22(4a14b14c14d1)x4.(abcd1)由f(x)0，得⊿≤0，即⊿＝4(4a14b14c14d1)21280.∴4a14b14c14d142﹤6.例4.设a,b,c,dR且abc1，求解析：构造函数f(x)(＝(1axa)2(149的最小值。abc2bxb)2(3cxc)2

1492)x12x1,(abc1)abc111由f(x)0（当且仅当a,b,c时取等号），632149得⊿≤0,即⊿＝144-4（）≤0

abc111149

∴当a,b,c时，()min36 632abc

构造函数证明不等式

1、利用函数的单调性

+例

5、巳知a、b、c∈R，且a bmb[分析]本题可以用比较法、分析法等多种方法证明。若采用函数思想，构造出与所证不等式密切相关的函数，利用函数的单调性来比较函数值而证之，思路则更为清新。

ax+，其中x∈R，0

bxbx证明：令 f（x）= ∵b-a>0 ba+ 在R上为减函数 bxba+从而f（x）= 在R上为增函数

bx∴y= ∵m>0 ∴f（m）> f（0）

∴ama> bmb例

6、求证：ab1ab≤

ab1ab（a、b∈R）

[分析]本题若直接运用比较法或放缩法，很难寻其线索。若考虑构造函数，运用函数的单调性证明，问题将迎刃而解。

[证明]令 f（x）=

x，可证得f（x）在[0，∞)上是增函数（证略）1x 而 0<∣a+b∣≤∣a∣+∣b∣

得 f（∣a+b∣）≤ f（∣a∣+∣b∣）

即： ab1ab≤

ab1ab

[说明]要证明函数f(x)是增函数还是减函数，若用定义来证明，则证明过程是用比较法证明f(x1)与f(x2)的大小关系；反过来，证明不等式又可以利用函数的单调性。

2、利用函数的值域

例

7、若x为任意实数，求证：—

x11≤≤ 221x2[分析]本题可以直接使用分析法或比较法证明，但过程较繁。联想到函数的值域，于是构造函数f（x）= x11，从而只需证明f(x)的值域为[—，]即可。

1x222x2证明：设 y=，则yx-x+y=0 21x ∵x为任意实数 ∴上式中Δ≥0，即（-1）-4y≥0 1 411得：—≤y≤

22x11 ∴—≤≤

21x22 ∴y≤2[说明]应用判别式说明不等式，应特别注意函数的定义域。

另证：类比万能公式中的正弦公式构造三角函数更简单。

例

8、求证：必存在常数a，使得Lg（xy）≤ Lga.lg2xlg2y

对大于1的任意x与y恒成立。

[分析]此例即证a的存在性，可先分离参数，视参数为变元的函数，然后根据变元函数的值域来求解a，从而说明常数a的存在性。若s≥f(t)恒成立，则s的最小值为f(t)的最大值；若 s≤f(t)恒成立，则s的最大值为f(t)的最小值。

22证明：∵lgxlgy > 0(x>1,y>1)∴原不等式可变形为：Lga≥

lgxlgylgxlgy22

2（lgxlgy）2lgxlgy 令 f(x)= == 1222222lgxlgylgxlgylgxlgylgxlgy 而 lgx>0,lgy>0, ∴lgx+lgy ≥ 2lgxlgy > 0 ∴2lgxlgy≤1 22lgxlgy ∴ 1

从而要使原不等式对于大于1的任意x与y恒成立，只需Lga≥2即 a≥10

2即可。

故必存在常数a，使原不等式对大于1的任意x、y恒成立。

3、运用函数的奇偶性

xx<(x≠0)12x2xx 证明：设f（x）=-(x≠0)x122 例

9、证明不等式：

xxx2xx ∵f（-x）=-= x+ x122212xxx

[1-(1-2)]+ 12x2xx =-x+= f(x)x122 = ∴f(x)的图象关于y轴对称

x ∵当x>0时，1-2<0，故f(x)<0 当x<0时，根据图象的对称性知f(x)<0 故当 x≠0时,恒有f(x)<0 即：xx<(x≠0)x122 [小结]本题运用了比较法，实质是根据函数的奇偶性来证明的，本题也可以运用分类讨论思想。但利用偶函数的轴对称性和奇函数的中心对称性，常能使所求解的问题避免复杂的讨论。