10.2 二个基本原理及分组问题5则范文

第一篇：10.2 二个基本原理及分组问题

§10.2 二个基本原理及分组问题

例1：（1）把11本不同的书，分成四组，每组本数是1，2，3，5有几种分组方法？

（2）把11本不同的书，分成四组，每组本数是2，2，2，5，有几种分组方法？

（3）把11本不同的书，分成五组，每组本数是2，2，3，3，1，有几种分组方法？

（4）把11本不同的书，借给五个同学，每人本数是2，2，3，3，1，有几种不同的借法？

例2：集合A中有4个元素，集合B中有3个元素。

（1）从A到B的映射有几个？（2）B中每个元素都有原象的映射有几个？

例3：（1）一共有多少个五位偶数？（2）一共有多少个数字必须重复的五位偶数？

例4：（1）有不同的文艺书5本，不同的数学书4本，从中取书有几种取法？

（2）有相同的文艺书5本，相同的数学书4本，从中取书，有几种取法？

（3）有相同的文艺书5本，不同的数学书4本，从中取书，有种取法？

【备用题】有且只有2个数字相同的三位数，一共有多少个？

【基础训练】

1、a, b是异面直线；a上有6个点，b上有7个点，这13个点可确定平面的个数是：（）

3331111 A、C6C、C6D、C13 C7C7B、C6C7

x2y2

1的焦点在y轴上，且a∈{－3，－2，－1，1，2}，b∈{－2，－1，1，2，3，4}，则不同双曲线

2、双曲线ab

2111111的条数是：（）A、C5 C7B、C2C2C、C3C4D、C123、17本不同的书，分成6组，每组本数分别是2，2，3，3，3，4，则不同的分组方数，种数是：（）

A、123334C5C15C13C10C7C4

23A2A3223334B、C17C15C13C10C7C4C、223334C17C15C13C10C7C426A2A6223346D、C17C15C13C10C4C64、由数字0，1，2，3，4可组成多少个三位数。

5、一栋楼有4个出入门，某人从任一门进入，从另一门走出，不同走法种数是。

6、同室4人各写一张贺卡，先集中起来，然后每人从中拿一张别人送出的贺卡，则4张贺卡不同分配方式有

【拓展练习】

221、将5个不同的小球放入二个不同的抽屉里，不同的放法种数是（）A、A5B、C5C、25D、522、把6本不同的书全部借给4个同学，每人的本数是2，2，1，1，则不同的借法种数是（）

A、2211C6C4C2C1

22A2A***B、C6C4C2C1A4C、A6A4A2A4D、A6A4A2A1A43、袋中有编号为1，2，3…10的10个小球，从中任取3个小球，取出3个小球，恰是一个编号大于5，一个编号小于

331111115，不同取法种数是：（）A、C10B、A10C、A4A1A5D、C4C1C54、平面M//平面N，平面M上有3个不同的点，平面N上有4个不同的点，由这7个点最多可决定体积不同的四面体的个数是。

5、（1）把6本不同的书，分成四组，每组本数是1，1，1，3，有几种分组方法。

（2）把6本不同的书，借给四个同学，每人的本数是1，1，2，2，有几种不同借法

6、把10个运动员分成三组，每组人数是3，3，4，再把4个教练分成二组，每组人数是2，2，一组教练指导一组运动员（有一组运动员没有教练），有几种训练方法.7、（1）不同的中文书5本，不同的英文书4本，不同的日文书3本，从中取书有几种不同方法

（2）不同的中文书5本，不同的英文书4本，不同的日文书3本，从中取出不是同一国文字的书二本有几种不同取法。

（3）从5本相同的中文书，4本相同的英文书，3本相同的日文书取书，有几种方法8、120个有多少个正约数。

9、用0，2，3，5，7这5个数字，可组成多少能被5整除的四位数。（要写步骤）

（1）数字不重复。

（2）数字可以重复。

11、从1至100这100个自然数中，每取出两个数，它们和大于100，有多少种取法？（要写步骤）

第二篇：分组问题xuesheng

概率中的分组问题

一、分组问题是排列组合中的一个难点，主要有以下三种情况.１.非平均分组问题

在非平均分组问题中，不管是给出组名或不给出组名，其分组的方法相同.【例１】 把１２个人分成如下三组，分别求出以下各种分组的方法数.（１）分成甲、乙、丙三组，其中甲组７人、乙组３个、丙组２人.（２）分成三组，其中一组７人、一组３人、一组２人.解：（１）先从１２人中任选７人为甲组，余下５人中任选３人为乙组，剩下２人为丙组，则共有种不同的分组方法.（2）先从１２人中任选７人为一组有人有平均分组问题

【例２】 有６本不同的书，按下列要求分配，各有多少种不同的分法？

（１）分给甲、乙、丙三人，每人两本.（２）平均分成三份.解：（１）从６本书中任取２本给一个人，再从剩下的４本中取２本给另一个人，剩下的２本给最后一人，共有＝９０种分法.种选法，剩下的２人为一组，共有

种选法，再从余下５人中任选３

种不同的方法.（２）设平均分成三堆有x种方法，再分给甲、乙、丙三人每人得２本，则应有

∴ ＝１５种不同的分法.一般地，把n、m个不同元素平均分到m个不同的位置，有种方法，把n、m个不同元素平均分成m组有

局部平均分组问题

种分法.某些分组问题中，有一部分组之间的元素的个数相同，但又不是所有组的元素都相同，这样的分组称为局部平均分组.解决这问题同样要考虑分组时是否给出了组名.【例３】（１）把６本不同的书分给４人，两人各得１本，另外两人各得２本，有几种分法？

（２）把６本不同的书分成４份，两份各１本，两份各２本，有几种分法？

（１）可按下面步骤完成：先将６本书分成１本、１本、２本、２本４个部分，然后让四个人去全排列取书，即有

种.（２）先把６本书分成１本、１本、２本、２本的４堆，由于两个１本与两个２本是无区别（没有顺序）的，因此，所求的分法数为

种.【点评】 两个问题同属局部平均分组问题，但（１）中指定分给了４个人，相当于指定了组名，而（２）没有给出组名，因此分组的情况是不相同的.事实上，（１）中相当于把４本书分成两份２本，两份１本，共有种分配方法，然后把它分给４个人.在元素相同的组中，若没给出具体的组名，则必须除以相同元素的组数的阶乘，若把问题改为：把６本不同的书分成Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ四堆，其中Ａ、Ｂ各２本，Ｃ、Ｄ各１本，则有几种分法？ 该问题的分法有

二.挡板模型与分组问题

【例４】 ５个教师分配到３个班参加活动，每班至少１人，有几种不同的分法？

错解： 把５个老师排成一排，中间投入四块挡板：０|０|０|０|０，只要在４块挡板中任取２块，一共有＝６种不同的方法.错因： ５个教师是互不相同的，而用挡板时，要求这些元素必须相同.种分法.正解：先把５位老师分成三堆，有两类：１、１、３和１、2、2分别有和种，再分到三个班里，共有

3.挡板模型与双排问题

＝１５０种.在元素无区别分配问题中，通常考虑用挡板模型来解决，但一定要注意题目给出的条件，否则极易出错.【例５】 从５个班中选１０人组成一个篮球队（无任何要求），有几种选法？

错解： 选把１０个指标排好，插入９块挡块：０|０|０|０|０|０|０|０|０|０ 然后在９块挡板中任取４块即可分成５份，有

＝１２６种分法.错因： 问题并没有给出“每班至少１人”这个条件，而采用挡板解决时，实际上它就是要求每班至少有１人参加.事实上，这１０个名额可给一个班，也可给两个班„

正解：因为把１０个指标分成５个部分，只须４块挡板，称为第一类元素，１０个指标为第二类元素，共１４个元素.当这些元素都有区别时共有

种排法.但１０个指标，４块挡板各组之间不管怎么变化，其实就是一种情况的共有＝１００１种不同分法（或）.【点评】 当分组数超过３个时，若没有给出“每组至少有１个”这个条件时，是不能用挡板法解决的，而要用双排列方法解决.而双排问题就是把元素分成相同的两类，然后加以解决.两类元素排列的问题涉及面很广，它实质上就是有重复元素排列的一种简单情形，在历年的高考中时有出现，应予以重视.

第三篇：分组分配问题(教学设计)

排列组合中的分组分配问题学案

例题1.（1）把a,b,c 三本不同的书分成2组，一组2本，一组1本，有多少种不同的分法？

变式1：有a,b,c,d 4本不同的书,分成两组,一组1本，一组3本，有多少种不同的分法?

变式2：6本不同的书分成三组，一组1本，一组2本，一组3本，有多少种不同的分法?

（2）把a,b,c 三本不同的书分成3组，每组1本，有多少种不同的分法？能用组合数表示出来吗？

变式1：有a,b,c,d 4本不同的书,平均分成两组, 有多少种不同的分法？

变式2：有6本不同的书平均分成两组，每组3本，有多少种不同的分法？

变式3：有6本不同的书平均分成三组，每组2本，有多少种不同的分法？

小结1:(1)平均分组是无序的,各组合数相乘时产生了顺序,故应消序减重(除以平均组数的全排列);(2)不平均分组是有序的,不需要消序减重

例题2.有5本不同的书,分成三组, 有多少种不同的分法?

练习:有6本不同的书,分成三组，有多少种不同的分法?

小结2:局部平均分组应局部消序减重.例题3.有6本不同的书分给甲、乙、丙三人

(1)若每人2本,有多少种不同的分配方法?(2)若甲得1本,乙得2本,丙得3本,有多少种不同的分配方法?(3)若一人1本,一人2本,一人3本, 有多少种不同的分配方法?(4)若一人4本,另两人各1本,有多少种不同的分配方法? 小结3对于分配问题:分步处理,先分组,然后再分配.例题4（2009浙江卷理）甲、乙、丙3人站到共有7级的台阶上，若每级台阶最多站2人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法种数是

（用数字作答）

变式1:甲、乙、丙等5人站到共有7级的台阶上，若每级台阶最多站2人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法种数是

（用排列数与组合数作答即可）

变式2：甲、乙、丙等6人站到共有7级的台阶上，若每级台阶最多站2人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法种数是

（用排列数和组合数作答即可）

真题回放：

1.（2009重庆卷理）将4名大学生分配到3个乡镇去当村官，每个乡镇至少一名，则不同的分配方案有 种

2.(2010年高考全国2卷理数6）将标号为1，2，3，4，5，6的6张卡片放入3个不同的信封中．若每 个信封放2张，其中标号为1，2的卡片放入同一 信封，则不同的方法共有__________（A）12种（B）18种（C）36种（D）54种

3.（2010年高考江西卷理科14）将6位志愿者分成4组，其中两个组各2人，另两个组各1人，分赴世博会的四个不同场馆服务，不同的分配方案有 种(用数字作答).思考题：

4个不同的球，4个不同的盒子，把球全部放入盒内。（1）恰有1个盒子不放球，共有多少种放法？

（2）恰有1个盒子内放2个球，共有多少种放法？

（3）恰有2个盒子不放球，共有多少种放法？

第四篇：排列组合中的分组问题

排列组合中的分组问题

山西省交城中学校

王峰峰

分组问题是排列组合教学中的一个重点和难点。某些排列组合问题看似非分组问题，实际上可运用分组问题的方法来解决。

一、分组与分配的区别

将n个不同元素按照某些条件分配给k个不同的对象，称为分配问题。分定向分配和不定向分配两种情况。

将n不同元素按照某些条件分成k组，称为分组问题。分组问题有整体平均分组、部分平均分组、不平均分组三种情况。

分组问题和分配问题是有区别的，前者组与组之间只要元素个数相同是不区分的；而后者即使两组元素个数相同，但因对象不同，仍然要区分的。对于后者必须先分组后排列。

二、基本的分组问题

例1.六本不同的书，分为三组，每组两本，有多少种分法？

22分析：分组与顺序无关，是组合问题。分组数是C26C4C2=90(种)，这90种分组实际上重复了6次。我们不妨把六本不同的书写上1、2、3、4、5、6六个号码，考察以下两种分法：(1，2)(3，4)(5，6)与(3，4)(1，2)(5，6)，由于书是均匀分组的，三组的本数一样，又与顺序无关，所以这两种分法是同一种分法。以上的分组方法实际上加入了组的顺序，因此还应取消分组的顺序，即除以组数的全排列数A33，所以分法是222C6C4C2=15(种)。

3A3整体平均分组是指将所有元素分成所有组元素个数相等的组。

例2.六本不同的书，分为三组，一组四本，另外两组各一本，有多少种分法？

11分析：先分组，方法是C4那么其中有没有重复的分法呢？我们发现，6C2C1=30(种)，其中两组的书的本数都是一本，因此这两组有了顺序，而与四本书的那一组，由于书的411C6C2C1本数不一样，不可能重复。所以实际分法是=15(种)。2A2部分平均分组是指将所有元素分成部分组元素个数相等的组。

例3.六本不同的书，分为三组，一组一本，一组二本，一组三本，有多少种分法？

233分析：先分组，方法是C16C5C3，那么还要不要除以A3？我们发现，由于每组的书

23的本数是不一样的，因此不会出现相同的分法，即共有C16C5C3=60(种)分法。

不平均分组是指将所有元素分成元素个数彼此不相等的组。

通过以上三个例题的分析，我们可以得出分组问题的一般方法。

一般地，n个不同的元素分成p组，各组内元素数目分别为m1,m2,m3,,mp，其中k组内元素数目相等，那么分组方案是

23pCn1Cnm1Cnm1m2„CmpmmmmAkk。

三、基本的分配问题 1.定向分配问题

例1.六本不同的书，分给甲、乙、丙三人，求在下列条件下各有多少种不同的分配方法？

（1）甲两本、乙两本、丙两本；（2）甲一本、乙两本、丙三本；（3）甲四本、乙一本、丙一本。

分析：由于分配给三人，每人分几本是一定的，属分配问题中的定向分配问题，由分布计数原理不难解出：

222（1）C6C4C90

123（2）C6C5C360 411（3）C6C2C130

2.不定向分配问题

例2.六本不同的书，分给甲、乙、丙三人，求在下列条件下各有多少种不同的分配方法？

（1）每人两本；

（2）一人一本、一人两本、一人三本；（3）一人四本、一人一本、一人一本。

分析：此题属于分配中的不定向分配问题。由于分配给三人，同一本书给不同的人是不同的分法，所以是排列问题。实际上可看作“分为三组，再将这三组分给甲、乙、3丙三人”，因此需要将分组方法数再乘以A36，即

222C6C4C3（1）A390 3A31233（2）C6C5C3A3360 32C1（3）C6C2A390

A2411结论:一般地，如果把不同的元素分配给几个不同对象，并且每个不同对象可接受的元素个数没有限制，那么实际上是先分组后排列的问题，即分组方案数乘以不同对象数的全排列数。（解不定向分配题的一般原则：先分组后排列）

例3.六本不同的书，分给甲、乙、丙三人，每人至少一本，有多少种分法？

分析：六本书和甲、乙、丙三人都有“归宿”，即书要分完，人不能空手。因此，考虑先分组，后排列。先分组，六本书怎么分为三组呢？有三类分法：(1)每组两本，(2)分别为一本、二本、三本，(3)两组各一本，另一组四本。所以根据加法原理，分组法是222411C6C4C2+123+C6C2C1=90(种)。再考虑排列，即再乘以3。所以一共有540种不C6C5C3A332A3A2同的分法。

四、分组、分配问题的变形问题

例1.四个不同的小球放入编号为1，2，3，4的四个盒子中，恰有一个空盒的放法有多少种？

分析：恰有一个空盒，则另外三个盒子中小球数分别为1，1，2。实际上可转化为

112C4C3C2先将四个不同的小球分为三组，两组各1个，另一组2个，分组方法有(种)，2A2112C4C3C24然后将这三组再加上一个空盒进行全排列，即共有A4=144(种)。2A2例2.有甲、乙、丙三项任务，甲需2人承担，乙、丙各需1人承担，从10人中选派4人承担这三项任务，不同的选法有多少种？

分析：先考虑分组，即10人中选4人分为三组，其中两组各一人，另一组二人，112C10C9C8共有(种)分法。再考虑排列，甲任务需2人承担，因此2人的那个组只能承担2A2甲任务，而一个人的两组既可承担乙任务又可承担丙任务，所以共有112C10C9C82=2520(种)不同的选法。A22A2例3.设集合A1,2,3,4，B6,7,8，A为定义域，B为值域，则从集合A到集合B的不同的函数有多少个？

分析：由于集合A为定义域，B为值域，即集合A、B中的每个元素都有“归宿”，而集合B的每个元素接受集合A中对应的元素的数目不限，所以此问题实际上还是分组后分配的问题。先考虑分组，集合A中4个元素分为三组，各组的元素数目分别为1、112C4C3C21、2，则共有(种)分组方法。再考虑分配，即排列，再乘以A33，所以共有2A2112C4C3C23=36(个)不同的函数。A32A2

练习：

1.[2014·浙江卷] 在8张奖券中有一、二、三等奖各1张，其余5张无奖．将这8张奖券分配给4个人，每人2张，不同的获奖情况有________种．(用数字作答)2.[2014·全国卷] 有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有（）A．60种

B．70种

C．75种

D．150种

3.（2013年北京卷）将序号分别为1,2,3,4,5的5张参观券全部分给4人,每人至少1张,如果分给同一人的2张参观券连号,那么不同的分法种数是_________.4.（2012年新课标卷）将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有（）（A）12种

（B）10种

(C)9种

（D）8种

第五篇：分组竞赛

分组竞赛规则

1、竞赛时间：每月13日至下月12日。

2、竞赛分类：进步奖：全体员工根据历史业绩最高点，取进步幅度最大的前3名。(保底

期间不计算进步奖)竞赛奖：当月13日至下月12日之间（SPA技师1-31日），足浴技师实际 业绩总和/ 整组上班天数的前2名，SPA技师按整月计算。

1、足浴技师奖励每月前2组，最后一组“安慰奖”。

2、SPA奖励每月前1名，SPA只奖1名，最后一名“安慰奖”。

3、男技师奖励每月前2名，最后一名“安慰奖”。

3、竞赛分组：

1、女技师每月13日根据上月业绩总和进行排名1....，共分五组。@ 第一组：1.10.11.20.21.30.31 第二组：2.9.12.19.22.29.32 第三组：3.8.13.18.23.28.33 第四组：4.7.14.17.24.27.34 第五组：5.6.15.16.25.26.35

2、男技师每月13日根据上月所上业绩总和进行排名1...。

3、SPA技师每月13日根据上月业绩总和进行排名1...。

4、竞赛奖励：进步奖：进步幅度最大的前3名每人2张足浴卷。

竞赛奖：

1、一等奖：女：待定。男：飞科/飞利浦剃须刀

2、二等奖：女：待定。

3、整组奖励，获胜组1人1份。（奖品每月更换）

补充说明：奖品大家有什么意见可以提，随机变换。安慰奖：

1、15号大扫除例会出来接受全体员工的安慰奖集体鼓励一

下并献歌一首。（不接受安慰奖者500元/次）

2、整组奖励。

说明：业绩=钟数提成+修脚提成+泡药提成+推SPA提成+推卡提成==实际业绩