3.2勾股定理的“无字证明”

第一篇：3.2勾股定理的“无字证明”

学英语报社http://全新课标理念，优质课程资源 ·勾股定理的“无字证明”

·教学目标

知识目标: 了解勾股定理的“无字证明”法，能通过拼图并根据面积等验证勾股定。能力目标: 通过拼图活动，尝试验证勾股定理，培养学生的动手实践和创新能力。情感目标: 让学生经历查询资料、自主探究、合作交流、观察比较、计算推理、动手

操作等过程，获得一些研究问题的方法，取得成功和克服困难的经验，培

养学生良好的思维品质，增进他们数学学习的信心。

· 教学重点: 了解勾股定理的“无字证明”法，分析和欣赏几种常见的验证勾股定理的方法。

·教学难点:通过拼图，探求验证勾股定理的“无字证明”法。

·教学方法:启发、合作交流和直观演示。

·教学过程:

（一）创设情境，引入新课

在精彩的几何学世界中，有着无数条定理，毕达哥拉斯定理（勾股定理）是其中最耀眼的一个。毕达哥拉斯定理被发现到至今已有五千多年的历史了，其证明方法至少有370多种，其中包括大物理学家爱因斯坦和大画家达•芬奇及美国总统詹姆士••阿•加菲尔德（James Abram Garfield,1831–1881）的证法.这真是科学史上的一大奇迹！它是人类科学发现中的一条基本定理，对科技的进步起了不可估量的作用。

在勾股定理的学习过程中，我们已经学会运用以下图形，验证著名的勾股定理：

整个大正方形的面积可以表示为里面小正方形的面积与四边上的４个直角三角形的面积之和，即为

(a+b)

由此可以推出勾股定理

a+b=c。

注意：这种根据图形可以极其简单地直观推论或验证数学规律和公式的方法，简称为“无优课轩资源网http://未经授权，本站资源禁止用于任何商业目的 2222=c+4（21ab），2学英语报社http://全新课标理念，优质课程资源 字证明”。

对于勾股定理，我们还可以找到一些用于“无字证明”的图形．昨天已布置同学们，查阅课本和其他有关书籍，上网查询各种相应的资料，现在我们进行交流。

（二）自主探索、合作交流

方法二： 整个大正方形的面积可以表示为里面小正方形的面积与四边

上的４个直角三角形的面积之和，即为

(a-b)

由此可以推出勾股定理

a+b=c．

方法三：美国总统詹姆士••阿•加菲尔德的证法

如图所示，在直角梯形ABCD中，∠A=90,E是AB上一

点,AE=BC=a,EB=AD=b，梯形的面积SABCD=S△AED+S△EBC+S△DCE b+ 4（12ab）=c, 2222DC11（BC+AD）AB=(a+b)(a+b)2

211S△AED=AEAD=ab 22

11S△EBC=EBBC=ab 22

11S△DCE=DEEC=c2 22

11112 于是(a+b)(a+b)=ab+ ab+c222 2

222 化简成：a+2ab+b=2ab+ c而SABCD=AEB

即：a2+b2= c2,由此证明了毕达哥拉斯定理。

方法四：刘徽的“出入相补法”

约公元 263 年，三国时代魏国的数学家刘徽为古籍《九章算

术》作注释时，用“出入相补法”证明了勾股定理.如图，证明

时不需用任何数学符号和文字，更不需进行运算，隐含在图中的勾股定理便清晰地呈现，整个证明单靠移动几块图形而得出，被

称为最美的“无字证明”法。

（三）自我评价、形成知识

我最大的收获；

我表现较好的方面；

我学会了哪些知识；

我还有哪些疑惑。

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第二篇：勾股定理的“无字证明”学案的

勾股定理的“无字证明”学案

一、学习内容：P64页课题学习

二、学习目标：

1、会利用图形的移、拼、补来证明代数式之间的恒等关系，即利用数形结合的方法来验证勾股定理。

2、通过以形证数的方法体会“数形结合”和“几何变换”的数学思想方法。

三、学习过程与指导：(一)回忆：勾股定理的内容：

(二)导入新课：怎样用几何图形证明勾股定理表达式呢？(三)自学课本P64页课题学习自学指导：

1、什么叫“无字证明”？

2、搜集课本和其他有关书籍中，利用有趣图形证明勾股定理的实例。

四、检测：

结合以下图形，说明证明勾股定理的方法，写出证明过程。

1、证明：

2、证明：

3、证明：

4、证明：

五、讨论：

1、无字证明的思想方法；

2、P58页做一做的拼图方法。

六、教师讲解：

1、质疑：针对测中的疑难问题讲解；

2、无字证明的实质：

七、悟：

1、根据下图提示，写出勾股定理无字证明：

2、结合以下图形写出无字证明表达式：

15.2 图形的旋转

一、学习目标：

1、理解什么是图形的旋转，明确决定图形旋转后位置的要素。

2、通过观察、实验能准确辩认旋转后图形与原图形的对应元素

3、结合生活实际，体会数学的美学价值。

二、学习重点与难点：

1、重点：决定图形旋转的因素，及旋转图形之间的对应关系。

2、难点：对旋转中心在图形外的某个点的旋转图形的认识。

三、学习过程与指导：(一)自学课本P72—P74 自学指导：

1、什么是图形的旋转？你能用自己的话说明吗？

2、决定图形的旋转的要素有哪些？因此描述图形旋转时必须要

3、思考P73中的相关问题。

4、图2.4与图2.5的旋转中心有何不同？(二)检测：

1、P74页练习2、3

2、填空：

⑴图形的旋转是由_________、_________和_________决定的。⑵如图，△ABC与△BDE都是等腰直角三角形，∠ACB和∠E都是直我，若△ABC经旋转后能与 △BDE重合，那么旋转中心是点________，旋转了 _______度。

⑶如图，正方形ABCD中，P为正方形ABCD 内一点，△ABP经过旋转后到达△BCQ的位置，那么旋转中心是点________，旋转了________度，若M是AB的中点，则旋转后点M到_______位置。

4、如图，等边△ABC绕点C顺时针旋转120°得△DEC，那么点A的对应点是_________，线段BC的对应线段是_______，线段AB的对应线段是__________，∠B的对应角是，旋转中心是_________。

(三)议：

1、针对测中的问题；

2、旋转中心的位置有哪几种情况？(四)教师讲解：

1、旋转要说明旋转中心，旋转的角度，旋转的方向。

2、旋转要学会用运动的观点看问题。

3、注意旋转中心的位置。(五)悟：作业：P78页2、3题的位置及大小关系。交待什么？

第三篇：如何证明勾股定理

如何证明勾股定理

勾股定理是初等几何中的一个基本定理。这个定理有十分悠久的历史，两千多年来，人们对勾股定理的证明颇感兴趣，因为这个定理太贴近人们的生活实际，以至于古往今来，下至平民百姓，上至帝王总统都愿意探讨和研究它的证明．下面结合几种图形来进行证明。

一、传说中毕达哥拉斯的证法（图1）

左边的正方形是由1个边长为的正方形和1个边长为的正方形以及4个直角边分别为、，斜边为的直角三角形拼成的。右边的正方形是由1个边长为的正方形和4个直角边分别为、，斜边为的直角三角形拼成的。因为这两个正方形的面积相等(边长都是)，所以可以列出等式，化简得。

在西方，人们认为是毕达哥拉斯最早发现并证明这一定理的，但遗憾的是，他的证明方法已经失传，这是传说中的证明方法，这种证明方法简单、直观、易懂。

二、赵爽弦图的证法（图2）

第一种方法：边长为的正方形可以看作是由4个直角边分别为、，斜边为 的直

角三角形围在外面形成的。因为边长为的正方形面积加上4个直角三角形的面积等于外围正方形的面积，所以可以列出等式，化简得。

第二种方法：边长为的正方形可以看作是由4个直角边分别为、，斜边为 的角三角形拼接形成的（虚线表示），不过中间缺出一个边长为的正方形“小洞”。

因为边长为的正方形面积等于4个直角三角形的面积加上正方形“小洞”的面积，所以可以列出等式，化简得。

这种证明方法很简明，很直观，它表现了我国古代数学家赵爽高超的证题思想和对数学的钻研精神，是我们中华民族的骄傲。

三、美国第20任总统茄菲尔德的证法（图3）

这个直角梯形是由2个直角边分别为、，斜边为 的直角三角形和1个直角边为的等腰直角三角形拼成的。因为3个直角三角形的面积之和等于梯形的面积，所以可以列出等式，化简得。

这种证明方法由于用了梯形面积公式和三角形面积公式，从而使证明更加简洁，它在数学史上被传为佳话。

第四篇：勾股定理 专题证明

勾股定理 专题证明

1.我们给出如下定义：若一个四边形中存在一组相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称这个四边形为勾股四边形，这两条相邻的边称为这个四边形的勾股边。

(1)写出你所学过的特殊四边形中是勾股四边形的两种图形的名称：----------，----------；

(2)如图1，已知格点(小正方形的顶点)O（0,0），A（3,0）,B(0,4)请你画出以格点为顶

点，OA,OB为勾股边且对角线相等的两个勾股四边形OAMB ；

(3)如图2，将△ABC绕顶点B按顺时针方向旋转60°，得到 △DBE，连结AD,DC,∠DCB=

30°。写出线段DC,AC,BC的数量关系为----------------；

2.（1）如图1，已知∠AOB，OA＝OB，点E在OB边上，四边形AEBF 是平行四边形，请你只用无刻度的直尺在图中画出∠AOB的平分线．（保留作图痕迹，不要求写作法）

（2）如图2，10×10的正方形网格中，点A（0，0）、B（5，0）、C（3，6）、D（－1，3），①依次连结A、B、C、D四点得到四边形ABCD，四边形ABCD的形状是------------；

②在x轴上找一点P，使得△PCD的周长最短（直接画出图形，不要求写作法）；

此时，点P的坐标为------------，最短周长为------------------；

3.如图正方形ABCD ,E 为AD边上一点，F为CD边上一点，∠FEA=∠EBC,若AE= kED, 探究DF与CF的数量关系；

4.如图1 等腰直角 △ABC，将 等腰直角△DMN如图 放置，△DMN的斜边MN与△ABC的一直角边AC重合.⑴ 在图1中，绕点 D旋转△DMN，使两直角边DM、DN分别与 交于点E，F如图2，求证：AE2+BF2=EF2 ；

⑵ 在图1 中，绕点 C旋转△DMN，使它的斜边CM、直角边 CD的延长线分别与 AB交于点E，F，如图3，此时结论AE2+BF2=EF2是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由.⑶ 如图4，在正方形 ABCD中，E、F 分别是边BC、CD 上的点且满足△CEF 的周长等于正方形ABCD 的周长的一半，AE、AF 分别与对角线 BD交于点M、N.线段BM、MN、DN 恰能构成三角形.请指出线段BM、MN、DN 所构成的三角形的形状，并给出证明；

5.将一块直角三角板的直角顶点绕矩形ABCD（AB＜BC）的对角线的交点O旋转（如图①②③），图中的M、N分别为直角三角形的直角边与矩形ABCD的边CD、BC的交点，⑴如图①三角板一直角边与OD重合，则线段BN、CD、CN间的数量关系为-----------------------；

⑵如图②三角板一直角边与OC重合，则线段BN、CD、CN间的数量关系为-----------------------；

⑶如图③，探究线段BN、CN、CM、DM间的数量关系，写出你的结论，加以说明；

④若将矩形ABCD改为边长为1的正方形ABCD，直角三角板的直角顶点绕O点旋转到图④，两直角边与AB、BC分别交于M、N，探究线段BN、CN、CM、DM间的数量关系，写出你的结论，加以说明；

6.如图，四边形ABCD, AD∥BC，AD≠BC，∠B=90°，AD=AB ,点E是AB边上一动点(点E不与点A、B重合)，连结ED，过ED的中点F作ED的垂线，交AD于点G,交BC于点K,过点K作KM⊥AD于M．若AB=k AE , 探究DM与DG 的数量关系；（用含 的式子表示）．

第五篇：勾股定理证明

勾股定理证明

直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方这一特性叫做勾股定理或勾股弦定理，又称毕达哥拉斯定理或毕氏定理中国是发现和研究勾股定理最古老的国家之一。中国古代数学家称直角三角形为勾股形，较短的直角边称为勾，另一直角边称为股，斜边称为弦，所以勾股定理也称为勾股弦定理。在公元前1000多年，据记载，商高（约公元前1120年）答周公曰“故折矩，以为句广三，股修四，径隅五。既方之，外半其一矩，环而共盘，得成三四五。两矩共长二十有五，是谓积矩。”因此，勾股定理在中国又称“商高定理”。在公元前7至6世纪一中国学者陈子，曾经给出过任意直角三角形的三边关系即“以日下为勾，日高为股，勾、股各乘并开方除之得邪至日。

以下即为一种证明方法：

如图，这个直角梯形是由2个直角边分别为、，斜边为 的直角三角形和1个直角边为的等腰直角三角形拼成的。

∵△ABE＋△AED＋△CED＝梯形ABCD

∴（ab+ab+c²）÷2＝(a+b)(a+b)/2 ∴

∴c²=a²+b²，即在直角三角形中，斜边长的平方等于两直角边的平方和

初二十四班秦煜暄