第六讲勾股定理及其证明

第一篇：第六讲勾股定理及其证明

八年级数学（下）讲义

第六讲勾股定理及其证明

勾股定理：如果直角三角形的两直角边长分别为a和b，斜边长为c，那么

a2+b2= c

2如图，若a、b为直边，c为斜边，则有a2+b2= c

2简述为：直角三角形斜边的平方等于两直角边的平方之和。

勾股定理的证明：（附后）

勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2= c2，那么这个三角形是直角三角形。简述为：一边的平方等于另两边的平方之和的三角形是直角三角形。

注意两个定理条件和结论的互换关系。

勾股定理的证明

【证法1】（课本的证明）

做8个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b，斜边长为c，再做三个边长分别为a、b、c的正方形，把它们像上图那样拼成两个正方形.从图上可以看到，这两个正方形的边长都是a + b，所以面积相等.即

11a2b24abc24ab22，整理得a2b2c2.【证法2】（赵爽证明）

以a、b 为直角边（b>a），以c为斜边作四个全等的直角三角形，则每个直角

1三角形的面积等于2ab.把这四个直角三角形拼成如图所示形状.∵ RtΔDAH ≌

RtΔABE,∴ ∠HDA = ∠EAB.∵ ∠HAD + ∠HAD = 90º，∴ ∠EAB + ∠HAD = 90º，∴ ABCD是一个边长为c的正方形，它的面积等于c2.∵ EF = FG =GH =HE = b―a ,∠HEF = 90º.2ba∴ EFGH是一个边长为b―a的正方形，它的面积等于.124abbac

22∴.222∴ abc.赵爽，又名婴，字君卿，中国数学家。东汉末至三国时代吴国人。他是我国历史上著名的数学家与天文学家。生平不

详，约生活于公元3世纪初。他的主要贡献是约在222年深入研究了《周髀》，该书是我国最古老的天文学著作，唐初改名为《周髀算经》。它详细解释了《周髀算经》中勾股定理，将勾股定理表述为：“勾股各自乘，并之，为弦实。开方除之，即弦。”。又给出了新的证明：“按弦图，又可以勾股相乘为朱实二，倍之为朱实四，以勾股之差自相乘为中黄实，加差实，亦成弦实。”。“又”“亦”二字表示赵爽认为勾股定理还可以用另一种方法证明

【证法3】（1876年美国总统Garfield证明）

以a、b 为直角边，以c为斜边作两个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于2ab.把这两个直角三角形拼成如图所示形状，使A、E、B三点在一条直线上.∵ RtΔEAD ≌ RtΔCBE,∴ ∠ADE = ∠BEC.∵ ∠AED + ∠ADE = 90º, ∴ ∠AED + ∠BEC = 90º.∴ ∠DEC = 180º―90º= 90º.∴ ΔDEC是一个等腰直角三角形，它的面积等于

1又∵ ∠DAE = 90º, ∠EBC = 90º, ∴ AD∥BC.∴ ABCD是一个直角梯形，它的面积等于2(a+b)2.ab221ab1c2

22.∴ 2

∴ abc.【证法4】（辛卜松证明）

D

设直角三角形两直角边的长分别为a、b，斜边的长为c.作边长是a+b的正方形ABCD.把正方形ABCD划

ab分成上方左图所示的几个部分，则正方形ABCD的面积为

a2b22ab；把正方形ABCD划分成上

方右图所示的几个部分，则正方形ABCD的面积为

ab241abc

2=2abc.∴ab2ab2abc,∴a

bc.222222

勾股定理基础练习

一 选择（24）一个等腰直角三角形的斜边长为2，则其面积为（）A

2B

C 1D22 2若△ABC中，AB=13，AC=15，高AD=12，则BC的长为（）A 14B 14、4C8D 4、8

／／

3如图7,已知矩形ABCD沿着直线BD折叠,使点C落在C处,BC交AD于E,AD=8,AB=4,则DE的长为（）

A、3；B、4；C、5；D、6。

4如图

6、是我校的长方形水泥操场，如果一学生要从A角走到C角，至少要走（）

A、140米B、100米C、120米D、90米

5如图，四边形ABCD中，∠DAB=60°，∠B=∠D=90°，BC=1，CD=2。则对角线AC的长为（）A21B

21221．C．D．3 3

36在直角三角形中，斜边与较小直角边的和、差分别为8、2，则较长直角边长为（）

（A）5(B)4(C)3(D)

2a

7如图，在边长为a的正方形中挖掉一个边长为b的小正方形（a>b），余下的部分拼成一个矩形（如图2），通过计算两个图形（阴影部分）的面积，验证了一个

b等式。则这个等式是（）

a

→

b

图2图1（A）a2-b2=(a-b)(a+b)(B)(a+b)2=a2+2ab+b2

(C)(a-b)2=a2-2ab+b2(D)(a+2b)(a-b)=a2+ab-2b2

8把直角三角形的两直角边同时扩大为原来的两倍, 则斜边扩大为原来的_____ A．２倍Ｂ３倍Ｃ．４倍Ｄ．６倍

9放学以后小林和小明从学校出发, 分别沿东南方向和西南方向回家, 他们的行走速度都是40m/min, 小林用了15分钟到家, 小明用了20分钟到家, 则他们两家的距离为_____

A．600mＢ．800mＣ．1000mＤ．以上都不对 10已知一个直角三角形的两边长分别为3和4A．5B．25C．D．5或已知Rt△ABC中，∠C=90°，若a+b=14cm，c=10cm，则Rt△ABC的面积是（）

2222

A.24cmB.36cmC.48cmD.60cm

12一架25分米长的梯子，斜立在一竖直的墙上，这时梯足距离墙底端7分米.如果梯子的顶端沿墙下滑4分米，那么梯足将滑动()

A.9分米B.15分米C.5分米D.8分米

二填空（36）

1小明把一根70cm长的木棒放到一个长、宽、高分别为30cm、40cm、50cm的木箱中，他能放进去吗？答：_______________（填“能”、或“不能”）2直角三角形中，以直角边为边长的两个正方形的面积为7cm2，8cm2，则以斜边为边长的正方形的面积为_________cm2．

3把一根长为10㎝的铁丝弯成一个直角三角形的两条直角边，如果要使三角形的面积是9㎝2，那么还要准备一根长为____的铁丝才能把三角形做好． 4 在△ABC中，AC=BC=2，∠ACB=90°，D是BC中点，E是AB边上的一动点，则EC+ED的最小值是

5如图1，正方形A的面积是144，正方形B的面积是169，则正方形C的边长是。

6、如图2，一个梯子AB长为10米，顶端A靠在墙AC上，这时梯子下端B与墙角C间的距离为6米，梯子滑动后停在DE的位置上，测得DB的长为2米，则梯子顶端A下落了米。

7、如图3，将一根长24cm的筷子，置于底面直径为5cm，高为12cm的圆柱形水杯中，设筷子露在杯子外面的长度是为hcm，则h的取值范围是。

8、如图4，要将楼梯铺上地毯，则需要米的地毯。

A

9在直角ΔABC中，斜边长为2，周长为2+6，则ΔABC的面积为10 △ABC中，CE是AB边上的中线，CD⊥AB于D,且AB=5,BC=4,AC=6,则DE的长为_______.B

11如图是一个三级台阶，它的每一级的长宽和高分别为20dm、3dm、2dm，A和B是这个台阶两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到B点最短路程是

12在△ABC中，∠C＝90°，（1）已知 a＝2.4，b＝3.2，则c＝；（2）已知c＝17，b＝15，则△ABC面积等于；（3）已知∠A＝45°，c＝18，则a＝.三 解下列各题（40）已知：如图，⊿ABC中，∠ACB =90，AB = 5cm，BC = 3 cm，CD⊥AB于D，求CD的长及三角形的面积；（4分）一个小朋友拿着一根竹竿要通过一个长方形的门，如果把竹竿竖放就比门高出1尺，斜放就恰好等于门的对角线，已知门宽4尺，求竹竿高与门高.（4分）

3如图四边形ABCD是实验中学的一块空地的平面图，其中∠B=90°，AC⊥CD，AB=3m，BC=4m，AD=13m现计划在空地上植上草地绿化环境，若每平方米的草皮需150元；问需投入资金多少元？（5）B

4．如图，A城气象台测得台风中心在A城正西方向320km的B处，以每小时40km的速度向北偏东60°的BF方向移动，距离台风中心200km的范围内是受台风影响的区域。（5）北

（1）A城是否受到这次台风的影响？为什么？

E（2）若A城受到这次台风影响，那么A城遭受这次台风影响有多长时间？

P

B东如图，△ABC中，AB=13，BC=14，CA=15，求BC边上的高AD。（5）有一只小鸟在一棵高4m的小树梢上捉虫子，它的伙伴在离该树12m，高20m的一棵大树的树梢上发出友好的叫

声，它立刻以4m/s的速度飞向大树树梢，那么这只小鸟至少几秒才可能到达大树和伙伴在一起？（5）已知长方体的长为2cm、宽为1cm、高为4cm，一只蚂蚁如果沿长方体的表面从A点爬到B点,那么沿哪条路最近,最短的路程是多少?（5）（2009年四川省数学竞赛题）如图，点A坐标为（0，2），在一次函数y=-2x 的图像上是否存在一点P，使P与OA构成等腰三角形，若存在求出所有满足条件的点P的坐标，不存在说明理由。（7）

第二篇：勾股定理证明

勾股定理的历史及证明

勾股定理是“人类最伟大的十个科学发现之一”，是初等几何中的一个基本定理。

那么大家知道多少勾股定理的别称呢？我可以告诉大家，有：毕达哥拉斯定理，商高定理，百牛定理，驴桥定理和埃及三角形等。所谓勾股定理，就是指“在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方。”这个定理有十分悠久的历史，几乎所有文明古国（希腊、中国、埃及、巴比伦、印度等）对此定理都有所研究。

勾股定理在西方被称为毕达哥拉斯定理，相传是古希腊数学家兼哲学家毕达哥拉斯（Pythagoras，公元前572?～公元前497?）于公元前550年首先发现的。但毕达哥拉斯对勾股定理的证明方法已经失传。著名的希腊数学家欧几里得（Euclid，公元前330～公元前275）在巨著《几何原本》（第Ⅰ卷，命题47）中给出一个很好的证明。（下图为欧几里得和他的证明图）

中国古代对这一数学定理的发现和应用，远比毕达哥拉斯早得多。中国最早的一部数学著作——《周髀算经》，记载着一段周公向商高请教数学知识的对话：

周公问：“我听说您对数学非常精通，我想请教一下：天没有梯子可以上去，地也没法用尺子去一段一段丈量，那么怎样才能得到关于天地得到数据呢？”

商高回答说：“ 数的产生来源于对方和圆这些形体的认识。其中有一条原理：当直角三角形„矩'得到的一条直角边„勾'等于3，另一条直角边‟股'等于4的时候，那么它的斜边'弦'就必定是5。这个原理是大禹在治水的时候就总结出来的呵。”

如果说大禹治水因年代久远而无法确切考证的话，那么周公与商高的对话则可以确定在公元前1100年左右的西周时期，比毕达哥拉斯要早了五百多年。其中所说的勾3股4弦5，正是勾股定理的一个应用特例。所以现在数学界把它称为“勾股定理”是非常恰当的。

在稍后一点的《九章算术》一书中（约在公元50至100年间），勾股定理得到了更加规范的一般性表达。书中的《勾股章》说；“把勾和股分别自乘，然后把它们的积加起来，再进行开方，便可以得到弦”。

中国古代的数学家们不仅很早就发现并应用勾股定理，而且很早就尝试对勾股定理作理论的证明。最早对勾股定理进行证明的，是三国时期吴国的数学家赵爽。赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，用形数结合得到方法，给出了勾股定理的详细证明（右图）。中国古代数学家

们对于勾股定理的发现和证明，在世界数学史上具有独特的贡献和地位。尤其是其中体现出来的“形数统一”的思想方法，更具有科学创新的重大意义。

【证法】（辛卜松证明）

D

D

图一图二

设直角三角形两直角边的长分别为a、b，斜边的长为c.作边长是a+b的正方形ABCD.把正方形ABCD划分成图一所示的几个部分，则正方形ABCD

2aba2b22ab； 的面积为

把正方形ABCD划分成 图二所示的几个部分，则正方形ABCD的面积为 =2abc2.∴a2b22ab2abc2,∴a2b2c2.ab241abc22

第三篇：证明勾股定理

勾股定理的应用

一、引言

七年级上册的数学有讲到如何精确地画出根号2。老师说，要画一个2×2的，边长都为1的方格。然后在里面再做出一个菱形（表示方格面积的一半）。这个菱形的边长就是根号2。当时有人就埋怨方法的麻烦了，老师就回答用勾股定理会简便许多。还有印度数学家什迦逻（1141年-1225年）曾提出过“荷花问题”： “平平湖水清可鉴，面上半尺生红莲；出泥不染亭亭立，忽被强风吹一边，渔人观看忙向前，花离原位二尺远；能算诸君请解题，湖水如何知深浅？”用勾股定理就可以很简便的解出。就勾股定理，我查阅了一些资料，弄清楚了它的意义以及它的2种证明方法。

二、提出问题

1、什么是勾股定理？

2、怎么证明勾股定理？

三、问题求解（1）中国古代把直角三角形中较短的直角边叫做勾，较长的直角边叫做股，斜边叫做弦。

勾股定理用文字表述：在任何一个的直角三角形中，两条直角边的长度的平方和等于斜边长度的平方（也可以理解成两个长边的平方相减与最短边的平方相等）。勾股定理示意图

用数学式表达：如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么

（2）针对它的证明方法，我查阅了一些相关的资料，通过我自己的整理和理解，得出了2种证明方法。

方法一：（课本的证明）

做8个全部相同的直角三角形，设它们的直角边长分别为a和b，斜边长为c，再做3个边长分别为a，b，c的正方形，把它们拼成两个大正方形，如下图所示：

由上图可知，两个大正方形的边长都是a加b，所以面积是相等的。用方程表

1示它们的面积关系，得：（a+b）²=c²+4× ab

2（a+b）(a+b)=c²+2ab

a(a+b)+b(a+b)=c²+2ab

a²+ab+ab+b²=c²+2ab

a²+b²+2ab=c²+2ab

a²+b²=c²

方法二：（利用相似三角形性质证明）

在直角三角形ABC中，设直角边AC和BC的长度分别为a和b，斜边AB的长度为c。过点C做AB的垂线CD，垂足是D。如图所示：

在直角三角形ABC与直角三角形ACD中，因为角ADC=角ACB=90度

角CAD=角BAC，所以它们互为相似的直角三角形。

因为它们互为相似的直角三角形，所以它们在各个线

段上的三角形边长的比值都是相同的。即ADAC =ACAB

对角相乘得AC²=AD·AB，同理可证，右边的直角三角形BCD与直角三角形ABC也是互为相似的直角三角形的。从而有了BCAB =BDBC

对角相乘得 BC²=BD·AB，因为（AC²=AD·AB）=（BC²=BD·AB）

所以AC²+BC²= AD·AB+BD·AB

AC²+BC²=(AD+BD)·AB

AC²+BC²=AB·AB

AC²+BC²=AB²

即a²+b²=c².四、总结与感想 随着数学水平的提高，很多数学的定理和公式都被人们一一推敲了出来，勾股定理就是其中的一个重大的发现。勾股定理是人们认识宇宙中形规律的自然起点，无论在东方还是西方文明起源过程中，都有着很多动人的故事。勾股定理在几何学中的实际应用非常广泛，比如用它就可以很方便地把引言中的问题解决掉。答案是3.75尺。从勾股定理出发开平方、开立方、求圆周率等，运用勾股定理数学家还发现了无理数，就如引言中的画根号2一样。

我想说的是，虽然勾股定理看似简单，只是一句话，但是它的意义以及作用是无穷大的。认识和掌握勾股定理对初一的无理数有着一定的帮助。我作为一个初一的学生，能力毕竟有限，只能把勾股定理推敲到这里。以后我一定会再接再厉，玩转勾股定理！

2013.11

第四篇：勾股定理证明

勾股定理证明

直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方这一特性叫做勾股定理或勾股弦定理，又称毕达哥拉斯定理或毕氏定理中国是发现和研究勾股定理最古老的国家之一。中国古代数学家称直角三角形为勾股形，较短的直角边称为勾，另一直角边称为股，斜边称为弦，所以勾股定理也称为勾股弦定理。在公元前1000多年，据记载，商高（约公元前1120年）答周公曰“故折矩，以为句广三，股修四，径隅五。既方之，外半其一矩，环而共盘，得成三四五。两矩共长二十有五，是谓积矩。”因此，勾股定理在中国又称“商高定理”。在公元前7至6世纪一中国学者陈子，曾经给出过任意直角三角形的三边关系即“以日下为勾，日高为股，勾、股各乘并开方除之得邪至日。

以下即为一种证明方法：

如图，这个直角梯形是由2个直角边分别为、，斜边为 的直角三角形和1个直角边为的等腰直角三角形拼成的。

∵△ABE＋△AED＋△CED＝梯形ABCD

∴（ab+ab+c²）÷2＝(a+b)(a+b)/2 ∴

∴c²=a²+b²，即在直角三角形中，斜边长的平方等于两直角边的平方和

初二十四班秦煜暄

第五篇：勾股定理证明方法

勾股定理证明方法

勾股定理的种证明方法(部分)

【证法1】(梅文鼎证明)

做四个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b，斜边长为c.把它们拼成如图那样的一个多边形，使D、E、F在一条直线上.过C作AC的延长线交DF于点p.∵D、E、F在一条直线上,且RtΔGEF≌RtΔEBD,∴∠EGF=∠BED，∵∠EGF+∠GEF=90°，∴∠BED+∠GEF=90°，∴∠BEG=180º―90º=90º.又∵AB=BE=EG=GA=c，∴ABEG是一个边长为c的正方形.∴∠ABC+∠CBE=90º.∵RtΔABC≌RtΔEBD,∴∠ABC=∠EBD.∴∠EBD+∠CBE=90º.即∠CBD=90º.又∵∠BDE=90º，∠BCp=90º，BC=BD=a.∴BDpC是一个边长为a的正方形.同理，HpFG是一个边长为b的正方形.设多边形GHCBE的面积为S，则,∴.【证法2】(项明达证明)

做两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b(b>a)，斜边长为c.再做一个边长为c的正方形.把它们拼成如图所示的多边形，使E、A、C三点在一条直线上.过点Q作Qp‖BC，交AC于点p.过点B作BM⊥pQ，垂足为M;再过点

F作FN⊥pQ，垂足为N.∵∠BCA=90º，Qp‖BC，∴∠MpC=90º，∵BM⊥pQ，∴∠BMp=90º，∴BCpM是一个矩形，即∠MBC=90º.∵∠QBM+∠MBA=∠QBA=90º，∠ABC+∠MBA=∠MBC=90º，∴∠QBM=∠ABC，又∵∠BMp=90º，∠BCA=90º，BQ=BA=c，∴RtΔBMQ≌RtΔBCA.同理可证RtΔQNF≌RtΔAEF.【证法3】(赵浩杰证明)

做两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b(b>a)，斜边长为c.再做一个边长为c的正方形.把它们拼成如图所示的多边形.分别以CF，AE为边长做正方形FCJI和AEIG，∵EF=DF-DE=b-a，EI=b，∴FI=a，∴G,I,J在同一直线上，∵CJ=CF=a，CB=CD=c，∠CJB=∠CFD=90º，∴RtΔCJB≌RtΔCFD，同理，RtΔABG≌RtΔADE，∴RtΔCJB≌RtΔCFD≌RtΔABG≌RtΔADE

∴∠ABG=∠BCJ,∵∠BCJ+∠CBJ=90º,∴∠ABG+∠CBJ=90º,∵∠ABC=90º,∴G,B,I,J在同一直线上，【证法4】(欧几里得证明)

做三个边长分别为a、b、c的正方形，把它们拼成如图所示形状，使H、C、B三点在一条直线上，连结

BF、CD.过C作CL⊥DE，交AB于点M，交DE于点

L.∵AF=AC，AB=AD，∠FAB=∠GAD，∴ΔFAB≌ΔGAD，∵ΔFAB的面积等于，ΔGAD的面积等于矩形ADLM的面积的一半，∴矩形ADLM的面积=.同理可证，矩形MLEB的面积=.∵正方形ADEB的面积

=矩形ADLM的面积+矩形MLEB的面积

∴，即.勾股定理的别名

勾股定理，是几何学中一颗光彩夺目的明珠，被称为“几何学的基石”，而且在高等数学和其他学科中也有着极为广泛的应用。正因为这样，世界上几个文明古国都已发现并且进行了广泛深入的研究，因此有许多名称。

我国是发现和研究勾股定理最古老的国家。我国古代数学家称直角三角形为勾股形，较短的直角边称为勾，另一直角边称为股，斜边称为弦，所以勾股定理也称为勾股弦定理。在公元前1000多年，据记载，商高(约公元前1120年)答周公曰“勾广三，股修四，经隅五”，其意为，在直角三角形中“勾三，股四，弦五”.因此，勾股定理在我国又称“商高定理”.在公元前7至6世纪一中国学者陈子，曾经给出过任意直角三角形的三边关系即“以日下为勾，日高为股，勾、股各乘并开方除之得邪至日。

在法国和比利时，勾股定理又叫“驴桥定理”。还有的国家称勾股定理为“平方定理”。

在陈子后一二百年，希腊的著名数学家毕达哥拉斯发现了这个定理，因此世界上许多国家都称勾股定理为“毕达哥拉斯”定理.为了庆祝这一定理的发现，毕达哥拉斯学派杀了一百头牛酬谢供奉神灵，因此这个定理又有人叫做“百牛定理”.前任美国第二十届总统加菲尔德证明了勾股定理(1876年4月1日)。

证明

这个定理有许多证明的方法，其证明的方法可能是数学众多定理中最多的。路明思(ElishaScottLoomis)的pythagoreanproposition一书中总共提到367种证明方式。

有人会尝试以三角恒等式(例如：正弦和余弦函数的泰勒级数)来证明勾股定理，但是，因为所有的基本三角恒等式都是建基于勾股定理，所以不能作为勾股定理的证明(参见循环论证)。