2013考研证明题系列-题目7

第一篇：2013考研证明题系列-题目7

这是一个积分 等式问题。处理积分等式的方法通常有几种，第一种是利用构造辅助函数来证明，另外一种则是利用分部积分来证明。这道题，我们得仔细观察下形式是怎样的。不难发现，这个形式与泰勒的展开式极其相似。所以我们可以将关注的焦点放在泰勒展开上面。于是，很自然的，考虑构造辅助函数。

注：这种构造方法是很常见的，无论是在证明积分不等式还是积分等式！都可以先转换成积分上限函数，通过其性质来证明相关命题！

下一步是将这个积分上限函数展开成泰勒展开式。这里又涉及到两个问题：

1）到底应该展开成几阶的。这时候，我们应该看看题目要证的命题需要我们展开到几阶。明显，题目里面出现了条件具有二阶导数，所以最多可以展开到二阶，而命题中也有2阶导数，所以，我们需要把这个积分上限函数展开到3阶！

2）应该在哪一点展开。从结论中也可以看出，需要在(a+b)/2点展开。

于是，展开式如下：

这个时候，离最后的证明还差一些，就是怎么在这样的条件下得到需要的式子。令x=b，这个时候可以得到需要的左边的式子。但是右边还差一些

这时候可以再令x=a.此时，左边等于0，右边奇数次导数项和上面的式子的奇数次导数项互为相反数，而偶数次导数项相同，一旦相减，就离最后的结论更近了。

于是我们得到了如下的解法

最后一步利用连续介值定理（条件有说二阶导数连续）来做的，这一步看似简单实际上却是很重要而且很容易被大家忽略的一步。不这样做，容易出现以下的一种错误！

这种方法是对知识掌握不牢固的同学容易犯的错误。因为在泰勒公式里面，ξ是一个变量，准确的写法应该是f(ξ(x))，也就是说，ξ是关于x的函数，所以上面式子的最后一项的积分是积不出来的！

最后，对此题进行小结。这道题是典型的将积分（不）等式先构造相应的积分上限函数来做的，其中涉及的知识有泰勒展开和连续性介值定理。题目的条件告诉了我们，一般来说，一

道题目是没有无用的条件，如果条件没有用完，那么很可能你的方法是错误的。比如这道题的那种错误的解法！没有用到二阶导数连续！

最后练习一道题吧！

第二篇：2013考研证明题系列-题目5

看见这道证明题，首先第一步是对比一下两边的差异。仔细观察积分限，被积函数，发现只有抽象函数f里面的表达式变了，而且变的很有规律！

可以说，相当于用一个变量去替换了x^2，所以此时此刻，我们很容易想到积分换元，于是

可是，这个时候麻烦又出现了。原因有两点

（1）积分下限没改变但是上限变了

（2）多了个系数2

这个时候，我们得想办法处理，如何才能将这个东西向已知结论靠拢呢？考虑到积分区间的可加性，我们不妨将这个积分的区间分开成两段，其分界点为a。

也许有人会问，你为什么想到要在a点取分界点，我个人认为原因有两点。

原因1：我们要证明的式子最后的积分上限就是a,所以我主动构造出来一个，后面那个看能不能用什么方法处理使得也变成结论形式

原因

注意到我给的这个式子，a对于抽象函数而言，相当于是一个比例中项，也就是平衡位置。所以，选取这一点，对后面的问题处理也有一定帮助！（不过这个理由有点抽象，需要一定的数学基础才能比较好的认知）不过理由1是很明确的，是证明题的要素之一：朝着目标转化！接下来就是对这个表达式的处理了

还是同样的思想，我们应该朝着目标转化，也就是说，积分限需要变成1，a！那么我们需要找到一个适当的变化，使得能够满足条件。其次，在这种变换下，我们不允许f内的自变

量形式发生任何变化，一旦变化，由于是抽象函数，所以根本无法处理。

在这两种条件的限制下，我们考虑下述变换。

这种变换的优势体现在两点：一是f内部函数形式没变，二是积分限出现了a,1，也就是目标！因此，我们有理由相信，这种方法是可以行得通。

PS：其实，在找出这种方法为正确的变换之前，我也尝试了一些其他的变化

所以，证明不是一步就能看出来的，而需要不断去修正，去尝试。

具体解答如下

总结一下这道题目我们能够学习到的东西。

（1）证明题的根本思想，朝着目标转化！

（2）定积分换元的技巧，考虑结论的形式

（3）对于解题过程中，也需要不断的尝试。失败不可怕，因为失败之中，也可能含有成功的线索！

下面两道练习题，大家有兴趣自己试试。

两道题都不太难，练习2还有多种方法。

第三篇：2013考研证明题系列-题目4

这道题看上去就比较容易入手。因为题目有两个问题，一般来说，第一问是为第二问做铺垫的，往往第二问可以用到第一问的结论，就算用不到，第一问也会给第二问带来很明确的方向。

还是条件入手，分析条件，从正向边界，平面区域，不难得出此题是二重积分和曲线积分的转换问题，应该使用格林公式来做。于是分别对第一问左右两边用格林公式，转换成二重积分。

对比二重积分的被积表达式，发现其实并不完全一样。所以这个时候我们又得考虑一下，是不是哪个条件没有用上。仔细观察下给的条件，发现积分区域没用上，这个区域有个特点，就是很对称，不过不关于x轴也不关于y轴对称，而是关于y=x对称。于是OK了。利用这种对称性，成功的证明两个二重积分是相等的了！

下面接着做第二问。

第二问是一个不等式问题，如果没有第一问的铺垫，也算是比较难的了，不过有了第一问，那么就相对简单些了。

先做一些处理

这一步也算是得力于第一问了。就是利用y=x对称的这个性质！这样一来，我们将多变量转换成了单变量，这也是做题的一种策略！

可是即使做到这一步，我们也无法直接得出结论，并且e^sinx这种函数是无法积分（准确说无法找出初等原函数），加上题目本身也不是让你准确积出来，而是证明不等式，所以联想到放缩！

于是下一步考察e^x+e^（-x）这个函数的性质

为了能够积分容易，泰勒公式是一个不错的选择，它将各种函数都弄成了幂函数的形式，而

幂函数正是很容易积分的形式。于是，将e^x+e^（-x）在x=0点展开。一放缩，本题就得出答案了，具体过程如下。

最后总结一下这道题目

题目分析过程不算特别难，主要就是格林公式的应用和二重积分的对称性，以及最后的泰勒公式展开。

但是有两个地方值得挖掘

（1）题目可以一般化！

方法与上面一模一样，这里不赘述。不过需要注意的是，第二问就无法证明大于等于5/2π^2,只能证明大于等于2π^2

（2）对于本题的第二问，我们可以从解答中看出，还可以继续不断的进行更强的放缩

得到的结果也更加强！

这一种方法给我们的启示就是：对于那种无法积出具体分的积分不等式，我们可以利用泰勒展开来做。适当放缩就可以得到答案！

下面就这个方法，给一道习题

此题左边比较容易，右边稍微有点难，可以尝试一下！

第四篇：2013考研证明题系列-题目3

题目3是一道积分不等式的证明，是李永乐或者陈文灯书上都可以找到的题目。其中方法很典型，里面的一些技巧也是证明题中常用的，所以我把这道题弄出来进行剖析，将自己的思路展现给大家看看。

拿到这道题目，大家可能都有点傻眼了。怎么表达式这么复杂？！！而且绝对值，积分号，求导号让人眼花缭乱，感觉根本不知道从何下手。我们不妨先从三个独立的表达式分析起走。第一个表达式

首先要明白这个式子说的是什么东西。读懂表达式，是你做证明题的根本！不难看出，这个式子说的就是|f(x)|的在区间[a,b]的最大值。写的这么高深，弄得大家心里发慌，其实根本就是一只纸老虎嘛！我们并不关心最大值在哪一点取得，所以我们可以把取得最大值的这一点设为ξ，则这个式子可以化成|f(ξ)|.你看，这样一简化，是不是显得更加简洁和舒服，让自己的信心也增加了不少。第二个表达式

这个式子对积分熟悉一点的看见了就应该有一种很强烈的反应，就是积分中值定理！所以这个式子我们也可以简化一下成|f(η)|.这样一来，不但大大简化了表达式，而且成功的与第一个表达式联系了起来！这样对题目的认知也就在简化中一点一点的清晰化了！第三个表达式

这个表达式相对于前面两个来说要复杂一些，因为它没有很好的化简方式。所以我们只有暂且不管这个表达式，把它作为一个常量，摆在那里，考虑去处理表达式1,2，使得能够得到表达式3！

为此，我们将表达式1和表达式2放在一起，于是移项，得到下面不等式，也就是我们需要证明的！

注意到左边两个式子|f(ξ)|-|f(η)|，看见这个，然后考虑到这是一道不等式的题目，并且ξ，η

都是未知的一个数，我们应该立即联想到放缩，用什么放缩？绝对值不等式！

|x|-|y|<=|x-y|，然后逻辑方向（也就是不等式的方向）也是正确的，所以放心大胆的做吧！如此一来，我们便可以一口气做下去了。于是得到下面的解答！

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最后需要再多说两句的就是放缩的后期有一步非常经典

注意到没有，第一步的那个等号是这道题里面最难也是最精华的部分。反用牛顿--莱布尼茨公式。成功将积分和导数联系在了一起，破解了这个看似超级复杂的证明题！

后面的就是定积分的基本性质

虽然这个式子平时看起来觉得再熟悉简单不过了，可是真正使用的时候还是不简单的。最后对这个题目打一个小结，这道题到底让我们学到了哪些知识和思想方法。

知识1：积分中值定理，在某些时候可以简化表达式

知识2：绝对值不等式以及定积分里面的绝对值不等式

知识3：牛顿--莱布尼茨公式的逆用

考察的知识不难，关键如何将这些知识串联起来，这是需要不断训练的，当然，通过平时练习多总结多思考，就是提高的最快路径了！

思想方法1：对证明的式子需要有个宏观把握，能简化的要简化，这样便于你看清楚整个题目间的关系。

思想方法2：不等式证明中间肯定有放缩，这个时候需要找出一定放缩的方法，而且更重要的是判断放缩的方向是否正确，如果正确才可继续往下做。

思想方法3：对公式的逆用。有些时候我们做题做多了，往往对有些公式只会顺着用，反过来如何用未曾或者很少想过。其实，像这种难度较大的不等式，往往有一定的思想方法在里面，通过这道题目，我们也学习到了牛顿莱布尼茨公式逆用的威力。可以联系积分与导数！总而言之，这道题目难度不小，不过也不是天马行空的，仔细琢磨，会发现里面有很多思想是值得学习借鉴的！

最后选了一道题目，供大家练习

第五篇：考研数学证明题题目11

今天还是讨论关于不等式的问题。

这次的这个不等式大家看见了一定不会陌生，因为思路很容易就拿出来了。就是转化成求一个函数的极值问题。然后解法一就诞生了。

上面的方法估计是绝大多数人都会采用的方法，算是一种通法了。也是必须得掌握的重要思想方法之一。

然而，是不是这个题目除了这种方法就没有其他的办法来做了呢？答案是否定的。

注意到需要证明的不等式可以先化成e^x>x^2-2ax+1，而左边的式子要和幂函数联系起来，很容易想到的就是马克劳林展开。于是可以尝试着看看是否能够利用这个来做。

首先可以试着将e^x展开到二阶的，然后看看是否能够证明需要的不等式。发现不行，然后再继续多展开一阶。于是，解法二横空出世。

说句实话，就这道题而言，这种方法确实挺复杂的，而且还没有求导的方法精确。不过，这种思想方法对于一些题目来说，却可能是重要的突破口！下面看看一道习题吧。

由于这道题目比较难，所以直接给出解答。

这个题目可以说相当于反用幂级数的展开，然后利用马克老林余项的估值最后证明出结论。这个看似很一般的题目，中间却蕴含着无限的思想，需要大家细细品味！