怎样证明弦切角

第一篇：怎样证明弦切角

怎样证明弦切角

设圆心为O，连接OC，OB，OA。过点A作Tp的平行线交BC于D，则∠TCB=∠CDA

∵∠TCB=90-∠OCD

∵∠BOC=180-2∠OCD

∴,∠BOC=2∠TCB(弦切角的度数等于它所夹的弧的圆心角的度数的一半)

∵∠BOC=2∠CAB

∴∠TCB=∠CAB(弦切角的度数等于它所夹的弧的圆周角)

2接OBOC过O做OE⊥BC

所以∠A=1/

2又因为∠OCT=90°

∠OEC=90°

所以∠EOC=∠TCB

所以∠TCB=∠A

3温馨提示

设切点为A切线AB弦AC圆心为O过A作直径AD连OC

角CAB等于90度减角DAC

因为OA等于OC所以角AOC等于180度减去二倍的角DAC

即可证明角AOC等于二倍的角CAB

参考资料：弦切角是这弦所对的圆心角的一半

4线段AD与线段EF互相垂直平分。

证明:设AD交EF于点G.因为Ap为切线，所以弦切角等于所对的圆周角，即∠pAC=∠B，又因为AD平分∠BAC，所以∠DAC=∠BAD，从而∠pAC+∠DAC=∠B+∠BAD,而∠pAC+∠DAC=∠pAD，∠B+∠BAD=∠pDA，所以

∠pAD=∠pDA，则△pAD为等腰三角形，因pM平分∠ApD，所以pM垂直平分AD，则EF垂直平分AD，从而AD垂直EF，则∠AGE=∠AGF=90°，再由∠GAF=∠GAE，得到

△EAG≌△FAG，从而EG=FG，从而AD也垂直平分EF。

5(1)圆心O在∠BAC的一边AC上

∵AC为直径，AB切⊙O于A，∴弧CmA=弧CA

∵为半圆,∴∠CAB=90=弦CA所对的圆周角(2)圆心O在∠BAC的内部.过A作直径AD交⊙O于D,若在优弧m所对的劣弧上有一点E

那么，连接EC、ED、EA

则有：∠CED=∠CAD、∠DEA=∠DAB

∴∠CEA=∠CAB

∴(弦切角定理)

(3)圆心O在∠BAC的外部,过A作直径AD交⊙O于D

那么∠CDA+∠CAD=∠CAB+∠CAD=90

∴∠CDA=∠CAB

∴(弦切角定理)

编辑本段弦切角推论

推论内容

若两弦切角所夹的弧相等，则这两个弦切角也相等

应用举例

例1：如图，在Rt△ABC中，∠C=90，以AB为弦的⊙O与AC相切于点A，∠CBA=60°,AB=a求BC长.解：连结OA，OB.∵在Rt△ABC中,∠C=90

∴∠BAC=30°

∴BC=1/2a(RT△中30°角所对边等于斜边的一半)

例2：如图，AD是ΔABC中∠BAC的平分线，经过点A的⊙O与BC切于点D，与AB，AC分别相交于E，F.求证：EF∥BC.证明：连DF.AD是∠BAC的平分线∠BAD=∠DAC

∠EFD=∠BAD

∠EFD=∠DAC

⊙O切BC于D∠FDC=∠DAC

∠EFD=∠FDC

EF∥BC

第二篇：弦切角的逆定理的证明

弦切角逆定理证明

已知角CAE=角ABC，求证AE是圆O的切线

证明：连接AO并延长交圆O于D，连接CD，则角ADC=角ABC=角CAE

而AD是直径，因此角ACD=90度，所以角DAC=90度-角ADC=90度-角CAE

所以角DAE=角DAC+角CAE=90度

故AE为切线

第三篇：弦切角定理证明方法

弦切角定理证明方法

(1)连OC、OA，则有OC⊥CD于点C。得OC‖AD，知∠OCA=∠CAD。

而∠OCA=∠OAC，得∠CAD=∠OAC。进而有∠OAC=∠BAC。

由此可知，0A与AB重合，即AB为⊙O的直径。

(2)连接BC，且作CE⊥AB于点E。立即可得△ABC为Rt△，且∠ACB=Rt∠。

由射影定理有AC²=AE*AB。又∠CAD=∠CAE，AC公用，∠CDA=∠CEA，得△CEA≌△CDA，有AD=AE，所以，AC²=AB*AD。

第一题重新证明如下：

首先证明弦切角定理，即有∠ACD=∠CBA。

连接OA、OC、BC，则有

∠ACD+∠ACO=90°

=(1/2)(∠ACO+∠CAO+∠AOC)

=(1/2)(2∠ACO+∠AOC)

=∠ACO+(1/2)∠AOC,所以∠ACD=(1/2)∠AOC，而∠CBA=(1/2)∠AOC(同弧上的圆周角等于圆心角的一半)，得∠ACD=∠CBA。

另外，∠ACD+∠CAD=90°，∠CAD=∠CAB，所以有∠CAB+∠CBA=90°，得∠BCA=90°，进而AB为⊙O的直径。

2证明一：设圆心为O，连接OC，OB,。

∵∠TCB=90-∠OCB

∵∠BOC=180-2∠OCB

∴,∠BOC=2∠TCB(定理：弦切角的度数等于它所夹的弧所对的圆心角的度数的一半)

∵∠BOC=2∠CAB(圆心角等于圆周角的两倍)

∴∠TCB=∠CAB(定理：弦切角的度数等于它所夹的弧的圆周角)

证明已知：AC是⊙O的弦，AB是⊙O的切线，A为切点，弧是弦切角∠BAC所夹的弧.求证：(弦切角定理)

证明：分三种情况：

(1)圆心O在∠BAC的一边AC上

∵AC为直径，AB切⊙O于A，∴弧CmA=弧CA

∵为半圆,∴∠CAB=90=弦CA所对的圆周角(2)圆心O在∠BAC的内部.过A作直径AD交⊙O于D,若在优弧m所对的劣弧上有一点E

那么，连接EC、ED、EA

则有：∠CED=∠CAD、∠DEA=∠DAB

∴∠CEA=∠CAB

∴(弦切角定理)

(3)圆心O在∠BAC的外部,过A作直径AD交⊙O于D

那么∠CDA+∠CAD=∠CAB+∠CAD=90

∴∠CDA=∠CAB

∴(弦切角定理)

编辑本段弦切角推论

推论内容

若两弦切角所夹的弧相等，则这两个弦切角也相等

应用举例

例1：如图，在Rt△ABC中，∠C=90，以AB为弦的⊙O与AC相切于点A，∠CBA=60°,AB=a求BC长.解：连结OA，OB.∵在Rt△ABC中,∠C=90

∴∠BAC=30°

∴BC=1/2a(RT△中30°角所对边等于斜边的一半)

例2：如图，AD是ΔABC中∠BAC的平分线，经过点A的⊙O与BC切于点D，与AB，AC分别相交于E，F.求证：EF∥BC.证明：连DF.AD是∠BAC的平分线∠BAD=∠DAC

∠EFD=∠BAD

∠EFD=∠DAC

⊙O切BC于D∠FDC=∠DAC

∠EFD=∠FDC

EF∥BC

例3：如图，ΔABC内接于⊙O，AB是⊙O直径，CD⊥AB于D，MN切⊙O于C，求证：AC平分∠MCD，BC平分∠NCD.证明：∵AB是⊙O直径

∴∠ACB=90

∵CD⊥AB

∴∠ACD=∠B，∵MN切⊙O于C

∴∠MCA=∠B，∴∠MCA=∠ACD，即AC平分∠MCD，同理：BC平分∠NCD.

第四篇：弦切角定理的证明

弦切角定理的证明

弦切角定理：定义弦切角定理：弦切角的度数等于它所夹的弧的圆心角的度数的一半.(弦切角就是切线与弦所夹的角)弦切角定理证明

证明：设圆心为O，连接OC，OB，OA。过点A作Tp的平行线交BC于D，则∠TCB=∠CDA

∵∠TCB=90-∠OCD

∵∠BOC=180-2∠OCD

∴,∠BOC=2∠TCB

证明：分三种情况：

(1)圆心O在∠BAC的一边AC上

∵AC为直径，AB切⊙O于A，∴弧CmA=弧CA

∵为半圆,(2)圆心O在∠BAC的内部.过A作直径AD交⊙O于D,那么

.(3)圆心O在∠BAC的外部,过A作直径AD交⊙O于D

那么

2连接并延长TO交圆O于点D，连接BD因为TD为切线，所以TD垂直TC，所以角BTC+角DTB=90因为TD为直径，所以角BDT+角DTB=90所以角BTC=角BDT=角A

3编辑本段弦切角定义顶点在圆上，一边和圆相交，另图示一边和圆相切的角叫做弦切角。(弦切角就是切线与弦所夹的角）如右图所示，直线pT切圆O于点C，BC、AC为圆O的弦，∠TCB，∠TCA，∠pCA，∠pCB都为弦切角。编辑本段弦切角定理弦切角定理：弦切角的度数等于它所夹的弧的圆心角的度数的一半.弦切角定理证明：证明一：设圆心为O，连接OC，OB,。∵∠TCB=90-∠OCB∵∠BOC=180-2∠OCB∴,∠BOC=2∠TCB（定理：弦切角的度数等于它所夹的弧所对的圆心角的度数的一半）∵∠BOC=2∠CAB(圆心角等于圆周角的两倍)∴∠TCB=∠CAB（定理：弦切角的度数等于它所夹的弧的圆周角）证明已知：AC是⊙O的弦，AB是⊙O的切线，A为切点，弧是弦切角∠BAC所夹的弧.求证：(弦切角定理)证明：分三种情况：(1)圆心O在∠BAC的一边AC上∵AC为直径，AB切⊙O于A，∴弧CmA=弧CA∵为半圆,∴∠CAB=90=弦CA所对的圆周角B点应在A点左侧(2)圆心O在∠BAC的内部.过A作直径AD交⊙O于D,若在优弧m所对的劣弧上有一点E那么，连接EC、ED、EA则有：∠CED=∠CAD、∠DEA=∠DAB∴∠CEA=∠CAB∴(弦切角定理)(3)圆心O在∠BAC的外部,过A作直径AD交⊙O于D那么∠CDA+∠CAD=∠CAB+∠CAD=90∴∠CDA=∠CAB∴(弦切角定理)编辑本段弦切角推论推论内容若两弦切角所夹的弧相等，则这两个弦切角也相等应用举例例1：如图，在Rt△ABC中，∠C=90，以AB为弦的⊙O与AC相切于点A，∠CBA=60°,AB=a求BC长.解：连结OA，OB.∵在Rt△ABC中,∠C=90∴∠BAC=30°∴BC=1/2a(RT△中30°角所对边等于斜边的一半)例2：如图，AD是ΔABC中∠BAC的平分线，经过点A的⊙O与BC切于点D，与AB，AC分别相交于E，F.求证：EF∥BC.证明：连DF.AD是∠BAC的平分线∠BAD=∠DAC∠EFD=∠BAD∠EFD=∠DAC⊙O切BC于D∠FDC=∠DAC∠EFD=∠FDCEF∥BC例3：如图，ΔABC内接于⊙O，AB是⊙O直径，CD⊥AB于D，MN切⊙O于C，求证：AC平分∠MCD，BC平分∠NCD.证明：∵AB是⊙O直径∴∠ACB=90∵CD⊥AB∴∠ACD=∠B，∵MN切⊙O于C∴∠MCA=∠B，∴∠MCA=∠ACD，即AC平分∠MCD，同理：BC平分∠NCD.

第五篇：弦切角学案

弦切角学习学案

教学目标：使学生了解弦切角的概念，掌握弦切角定理及其推理，进一步使学生了解分情况证明数学命题的思想和方法

教学难点、重点：弦切角定理的证明 教学过程：

一、复习引入

1、前面学习过有关于圆的角度有__________、_____________。

2、当圆周角的一边BC绕着点B旋转，使得BC为圆O 的切线，这个时候就形成了一个新的角，我们称之为弦切角。

BB

C

OO CAA

二、新知学习

1、弦切角定义：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角。

2、观察下图，你能发现弦切角和弦切角所夹的弧所对的圆周角的关系吗？

C

O P ABE

猜想：______________________ 证明：

CPEOCOPABEAB

弦切角定理： 弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角

三、典型例题

例题1, 如图，已知AB是圆O的直径，AC是弦，直线CE和圆O切于点C，AD⊥CE，垂直为D，求证：AC平分∠BAD

B

O

A

CED

练习

1、如图，AB是圆O的弦，CD是经过圆O上一点M 的切线，求证：（！）AB∥CD时，AM=MB（2）AM=MB时，AB∥CD

练习

2、在△ABC中，∠A的平分线AD交BC于D，圆O过点A且和BC切于D，和AB、AC分别交于E、F，求证：EF∥BC

A

O

j EF

B C D

CMDAOB相交弦定理和切割线定理学案

教学目标：能结合具体图形，准确地表述相交弦定理、切割线定理及其推论。教学难点、重点：相交弦定理和切割线定理的证明 教学过程：

1、相交弦定理： 圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。

数学表达式：___________________________

A证明：

D

O P B

C

练习：

已知圆中两条弦相交，第一条弦被交点分为12和16两段，第二条弦的长为32，求第二条弦被交点分成的两段的长

2、切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这个点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。数学表达式： PT2=PA•PB

A证明：

B

O P

T3、切割线定理推论：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等。

C数学表达式：PA•PB=PC•PD

D

P BA

练习

1、如图：圆O的割线PAB交圆O于点A和B。PA=6，AB=8，PO=10.9，求圆O的半径

BAPCO

2、如图：两个以O为圆心的同心圆，AB切大圆于BAC切小圆与C，交大圆于D、E，AB=12，AO=15，AD=8。求两圆的半径

B

O

A

D

C

E

思考题：如图，点I是三角形ABC的内心，AI交边BC于点D，交三角形ABC外接圆于点E，求证：IE2=AE*DE

A

IBEDC