平均值不等式归纳法证明

第一篇：平均值不等式归纳法证明

平均值不等式的证明

湖南省张家界市永定区永定小学覃文周整理

1、设ai(i=1,2,…,n)为正数，求证：（a1+a2+…+an）

等号当且仅当a1=a2=…=an时成立。证明：由1na1a2an…（1）a1a2210得：a1a2a1a2。即当n=2时（1）式成立。2

假设当n=k时（1）式成立,即（a1+a2+…+ak）

1令（a1+a2+…+ak+ak1）=a，于是有： k11ka1a2ak。则当n=k+1时 a=1111[a1+a2+…+ak+ak1+（k-1）a]=[a1+a2+…+ak）+ak1+(k-1）a)] 2k2kk

1(2

2ka1a2ak+12kk1ak1ak1k1)2k1a1a2akak1a aaaaaa

2即 ak1a1a2akak1 k1（a1+a+…+a1k+ak1）ka1a2akak1

即当n=k+1时（1）式成立。

对任意自然数n，（1）式成立。由证明过程不难得知等号成立的充分必要条件是a1=a2=…=an。

第二篇：放缩法证明不等式

放缩法证明不等式

不等式是数学的基本内容之一，它是研究许多数学分支的重要工具，在数学中有重要的地位，也是高中数学的重要组成部分，在高考和竞赛中都有举足轻重的地位。不等式的证明变化大，技巧性强，它不仅能够检验学生数学基础知识的掌握程度，而且是衡量学生数学水平的一个重要标志，本文将着重介绍以下几种不等式的初等证明方法和部分方法的例题以便理解。

一、不等式的初等证明方法

1.综合法：由因导果。

2.分析法：执果索因。基本步骤：要证..只需证..，只需证..(1)“分析法”证题的理论依据：寻找结论成立的充分条件或者是充要条件。

(2)“分析法”证题是一个非常好的方法，但是书写不是太方便，所以我们可利用分析法寻找证题的途径，然后用“综合法”进行表达。

3.反证法：正难则反。

4.放缩法：将不等式一侧适当的放大或缩小以达证题目的。放缩法的方法有：

(1)添加或舍去一些项，如

(2)利用基本不等式，如：

(3)将分子或分母放大(或缩小)：

5.换元法：换元的目的就是减少不等式中变量，以使问题

化难为易、化繁为简，常用的换元有三角换元和代数换元。

二、部分方法的例题

1.换元法

换元法是数学中应用最广泛的解题方法之一。有些不等式通过变量替换可以改变问题的结构，便于进行比较、分析，从而起到化难为易、化繁为简、化隐蔽为外显的积极效果。

2.放缩法

欲证A≥B，可将B适当放大，即B1≥B，只需证明A≥B1。相反，将A适当缩小，即A≥A1，只需证明A1≥B即可。

注意：用放缩法证明数列不等式，关键是要把握一个度，如果放得过大或缩得过小，就会导致解决失败。放缩方法灵活多样，要能想到一个恰到好处进行放缩的不等式，需要积累一定的不等式知识，同时要求我们具有相当的数学思维能力和一定的解题智慧。

数学题目是无限的，但数学的思想和方法却是有限的。我们只要学好了有关的基础知识，掌握了必要的数学思想和方法，就能顺利地应对那无限的题目。题目并不是做得越多越好，题海无边，总也做不完。关键是你有没有培养起良好的数学思维习惯，有没有掌握正确的数学解题方法。当然，题目做得多也有若干好处：一是“熟能生巧”，加快速度，节省时间，这一点在考试时间有限时显得很重要;二是利用做题来巩固、记忆所学的定义、定理、法则、公式，形成良性循环。

解题需要丰富的知识，更需要自信心。没有自信就会畏难，就会放弃;有了自信，才能勇往直前，才不会轻言放弃，才会加倍努力地学习，才有希望攻克难关，迎来属于自己的春天。

第三篇：放缩法证明不等式

主备人：审核：包科领导：年级组长：使用时间：

放缩法证明不等式

【教学目标】

1.了解放缩法的概念；理解用放缩法证明不等式的方法和步骤。

2.能够利用放缩法证明简单的不等式。

【重点、难点】

重点：放缩法证明不等式。

难点：放缩法证明不等式。

【学法指导】

1.据学习目标，自学课本内容，限时独立完成导学案；

2.红笔勾出疑难点，提交小组讨论；

3.预习p18—p19,【自主探究】

1，放缩法：证明命题时，有时可以通过缩小（或）分式的分母（或），或通过放大（或缩小）被减式（或）来证明不等式，这种证明不

等式的方法称为放缩法。

2，放缩时常使用的方法：①舍去或加上一些项，即多项式加上一些正的值，多项式的值变大，或多项式减上一些正的值，多项式的值变小。如t22t2,t22t2等。

②将分子或分母放大（或缩小）：分母变大，分式值减小，分母变小，分

式值增大。

如当(kN,k1)1111，22kkk(k1)k(k1)，③利用平均值不等式，④利用函数单调性放缩。

【合作探究】

证明下列不等式

(1)

(2)，已知a>0，用放缩法证明不等式:loga

(a1)1111...2(nN)2222123nloga(a1)1

(3)已知x＞0, y>0，z>0求证

xyz

（4）已知n

N，求证：1

【巩固提高】

已知a,b,c,d都是正数，s

【能力提升】

求证: ...abcd求证:1

1aba

1ab

1b

本节小结：

第四篇：不等式证明20法

不等式证明方法大全

1、比较法（作差法）

在比较两个实数a和b的大小时，可借助ab的符号来判断。步骤一般为：作差——变形——判断（正号、负号、零）。变形时常用的方法有：配方、通分、因式分解、和差化积、应用已知定理、公式等。

abab。例

1、已知：a0，b0，求证：

2ababab2ab(ab)2

ab。证明：ab0，故得22222、分析法（逆推法）

从要证明的结论出发，一步一步地推导，最后达到命题的已知条件（可明显成立的不等式、已知不等式等），其每一步的推导过程都必须可逆。

例

2、求证：71。

证明：要证571，即证122162，即2，35194，416，4，1516，由此逆推即得571。

3、综合法

证题时，从已知条件入手，经过逐步的逻辑推导，运用已知的定义、定理、公式等，最终达到要证结论，这是一种常用的方法。

ab例

3、已知：a，b同号，求证：2。ba

证明：因为a，b同号，所以abababab0，0，则22，即2。babababa4、作商法（作比法）

在证题时，一般在a，b均为正数时，借助

商——变形——判断（大于1或小于1）。

例

4、设ab0，求证：aabbabba。

aaabba证明：因为ab0，所以1，ab0。而bababbabaa1或1来判断其大小，步骤一般为：作bb1，故aabbabba。

5、反证法

先假设要证明的结论不对，由此经过合理的逻辑推导得出矛盾，从而否定假设，导出结论的正确性，达到证题的目的。

例

5、已知ab0，n是大于1的整数，求证：ab。证明：假设a，则bb1，即1，故ba，这与已知矛盾，所以a。aa6、迭合法（降元法）

把所要证明的结论先分解为几个较简单部分，分别证明其各部分成立，再利用同向不等式相加或相乘的性质，使原不等式获证。

例

6、已知：求证： a1b1a2b2anbn1。a1a2an1，b1b2bn1，证明：因为a1a2an1，b1b2bn1，所以a1a2an1，b1b2bn1。由柯西不等式

a1b1a2b2anbna1a2anb1b2bn111，所以原不等

22222

2222222

式获证。

7、放缩法（增减法、加强不等式法）

在证题过程中，根据不等式的传递性，常采用舍去一些正项（或负项）而使不等式的各项之和变小（或变大），或把和（或积）里的各项换以较大（或较小）的数，或在分式中扩大（或缩小）分式中的分子（或分母），从而达到证明的目的。值得注意的是“放”、“缩”得当，不要过头。常用方法为：改变分子（分母）放缩法、拆补放缩法、编组放缩法、寻找“中介量”放缩法。

1359999

0.01。例

7、求证：

***

证明：令p，则

24610000

***32999921

1p222，222

22461000021411000011000110000

所以p0.01。

8、数学归纳法

对于含有n(nN)的不等式，当n取第一个值时不等式成立，如果使不等式在nk(nN)时成立的假设下，还能证明不等式在nk1时也成立，那么肯定这个不等式对

n取第一个值以后的自然数都能成立。

例

8、已知：a,bR，nN，n1，求证：anbnan1babn1。证明：（1）当n2时，a2b2abab2ab，不等式成立；（2）若nk时，akbkak1babk1成立，则

ak1bk1a(akbk)abkbk1a(ak1babk1)abkbk

1=akbabk(a2bk12abkbk1)akbabkbk1(ab)2akbabk，即ak1bk1akbabk成立。

根据（1）、（2），anbnan1babn1对于大于1的自然数n都成立。

9、换元法

在证题过程中，以变量代换的方法，选择适当的辅助未知数，使问题的证明达到简化。

例

9、已知：abc1，求证：abbcca。

1证明：设at，bat(tR)，则c(1a)t，33

3111111

abbccatatat(1a)tt(1a)t

33333311

(1aa2)t2（因为1aa20，t20），33

所以abbcca。



10、三角代换法

借助三角变换，在证题中可使某些问题变易。

例

10、已知：a2b21，x2y21，求证：axby1。证明：设asin，则bcos；设xsin，则ycos 所以axbysinsincoscoscos()1。

11、判别式法

通过构造一元二次方程，利用关于某一变元的二次三项式有实根时判别式的取值范围，来证明所要证明的不等式。

例

11、设x,yR，且x2y21，求证：yaxa2。证明：设myax，则yaxm

代入x2y21中得x2(axm)21，即(1a2)x22amx(m21)0 因为x,yR，1a20，所以0，即(2am)24(1a2)(m21)0，解得ma2，故yaxa2。

12、标准化法

形如f(x1,x2,,xn)sinx1sinx2sinxn的函数，其中0xi，且

；当x1x2xn为常数，则当xi的值之间越接近时，f(x1,x2,,xn)的值越大（或不变）

x1x2xn时，f(x1,x2,,xn)取最大值，即

f(x1,x2,,xn)sinx1sinx2sinxnsinn

x1x2xn。

n

AB。

2标准化定理：当A+B为常数时，有sinAsinBsin2证明：记A+B=C，则

f(A)sinAsinBsin2

ABC

sinAsin(CA)sin2，22

求导得f`(A)sin(C2A)，由f`(A)0得C=2A，即A=B 又由f``(A)cos(BA)0知f`(A)的极大值点必在A=B时取得 由于当A=B时，f`(A)0，故得不等式。同理，可推广到关于n个变元的情形。

ABC

1sinsin。2228ABC11

证明：由标准化定理得，当A=B=C时，sinsinsin，取最大值，故

22228

ABC1sinsinsin。2228

例12、设A，B，C为三角形的三内角，求证：sin13、等式法

应用一些等式的结论，可以巧妙地给出一些难以证明的不等式的证明。例13（1956年波兰数学竞赛题）、a,b,c为ABC的三边长，求证：

2a2b22a2c22b2c2a4b4c4。

证明：由海伦公式SABC其中p

(abc)。

2两边平方，移项整理得

p(pa)(pb)(pc)，16(SABC)22a2b22a2c22b2c2a4b4c4 而SABC0，所以2a2b22a2c22b2c2a4b4c4。

14、函数极值法

通过变换，把某些问题归纳为求函数的极值，达到证明不等式的目的。

例

14、设xR，求证：4cos2x3sinx2。

831

证明：f(x)cos2x3sinx12sin2x3sinx2sinx

248当sinx

31时，f(x)取最大值2； 48

当sinx1时，f(x)取最小值－4。

故4cos2x3sinx2。

815、单调函数法

当x属于某区间，有f`(x)0，则f(x)单调上升；若f`(x)0，则f(x)单调下降。推广之，若证f(x)g(x)，只须证f(a)g(a)及f`(x)g`(x)即可，x[a,b]。

例15、0x，求证：sinxxtanx。

2证明：当x0时，sinxxtanx0，而



(sinx)`cosx1x`sec2x(tanx)` 故得sinxxtanx。

16、中值定理法

利用中值定理：f(x)是在区间[a,b]上有定义的连续函数，且可导，则存在，ab，满足f(b)f(a)f`()(ba)来证明某些不等式，达到简便的目的。

例

16、求证：sinxsinyxy。

证明：设f(x)sinx，则sinxsiny(xy)sin`(xy)cos 故sinxsiny(xy)cosxy。

17、分解法

按照一定的法则，把一个数或式分解为几个数或式，使复杂问题转化为简单易解的基本问题，以便分而治之，各个击破，从而达到证明不等式的目的。

1例17、n2，且nN，求证：1n(n11)。

23n

证明：因为1

111111

n(11)111 23n23n

2

所以1

34n134n

1n2nn1 23n23n

n(n11)。23n18、构造法

在证明不等式时，有时通过构造某种模型、函数、恒等式、复数等，可以达到简捷、明

快、以巧取胜的目的。

例

18、已知：x2y21，a2b22，求证：b(x2y2)2axy2。证明：依题设，构造复数z1xyi，z2abi，则z11，z22 所以z1z2(xyi)2(abi)[a(x2y2)2bxy][b(x2y2)2axy]i

b(x2y2)2axyImz1z2z1z2

2

故b(x2y2)2axy2。

19、排序法

利用排序不等式来证明某些不等式。

排序不等式：设a1a2an，b1b2bn，则有

其中t1,t2,,tn是a1bna2bn1anb1a1bt1a2bt2anbtna1b1a2b2anbn，1,2,,n的一个排列。当且仅当a1a2an或b1b2bn时取等号。

简记作：反序和乱序和同序和。

例

19、求证：a2b2c2d2abbccdda。

证明：因为a,b,c,dR有序，所以根据排序不等式同序和最大，即

a2b2c2d2abbccdda。

20、几何法

借助几何图形，运用几何或三角知识可使某些证明变易。

ama

。例20、已知：a,b,mR，且ab，求证：

bmb

证明：以b为斜边，a为直角边作RtABC

延长AB至D，使BDm，延长AC至E，使EDAD，过C作AD的平行线交DE于F，则ABC∽ADE，令CEn，aABam

所以

bACbn

amama

。又CECF，即nm，所以

bmbnb

E

另外，还可以利用重要的不等式来证题，如平均不等式、柯西（Cauchy）不等式、琴生（Jensen）不等式、绝对值不等式、贝努利（J.Bernoulli）不等式、赫尔德（O.HÖlder）不等式、三角形不等式、闵可夫斯基（H.Minkowski）不等式等，这里不再烦述了。

在实际证明中，以上方法往往相互结合、互相包含，证题时，可能同时运用几种方法，结合起来加以证明。

第五篇：赋值法证明不等式

赋值法证明不等式的有关问题

1、已知函数f(x)=lnx

（1）、求函数g(x)(x1)f(x)2x2(x1)的最小值；

（2）、当0

222a(ba).a2b22、已知函数f(x)=xlnx, g(x)= axx(aR)

(1)求函数f(x)的单调区间和极值点；

(2)求使f(x)g(x)恒成立的实数a的取值范围；

(3)求证：不等式ln(e1)nn1(nN)恒成立 ne3、设函数f(x)axn(1x)b(x0),n为正整数,a,b为常数.曲线yf(x)在(1,f(1))处 的切线方程为xy1.(Ⅰ)求a,b的值;

(Ⅱ)求函数f(x)的最大值;

(Ⅲ)证明:f(x)1 ne4、已知函数f(x)=lnx-x+

1（1）、求函数f(x)的最大值；

111ln(1n),n.23n

2x5、已知函数f(x)=alnx1, x1（2）、求证： 1

（1）、若函数f(x)在单调递增，求实数a的取值范围；

12lnx12x4,x2;x

111111（3）、求证：lnn1(nN,n2).462n2n1（2）、当a=2时，求证：1

6、已知函数f(x)eax1(a0)

（1）求f(x)得最小值；

（2）若f(x)0对任意的xR恒成立，求a的取值范围； x

e12n1n（3）在（2）的条件下，证明：（其中nN）nnnne1

8、已知函数f(x)=eaxa, xnnnn

（1）、若a0,f(x)0对一切实数x都成立，求实数a的取值范围。

（2）、设g(x)f(x)a，且A(x1,y1),B(x2,y2)(x1x2)是曲线yg(x)上任意两点，xe

若对于任意的a1，直线AB的斜率恒大于常数m，求实数m的取值范围。

(3)、求证：135(2n1)

2、已知函数f(x)(xa)7blnx1,其中a，b是常数，且a0，（1）若b1时，f(x)在区间上单调递增，求a的取值范围； 2nnnn(2n)n(nN).e

14a

2（2）当b时，讨论f(x)的单调性； 7

（3）设n是正整数，证明ln(1n)(1

5、已知函数f(x)=xlnx-axx(aR)

(1)若函数f(x)在处取得极值，求a的值；

(2)若函数f(x)的图像在直线的图像的下方，求a的取值范围；

(3)求证：ln(234n)n1(nN).。

解:(Ⅰ)因为f(1)b,由点(1,b)在xy1上,可得1b1,即b0.因为f(x)anxn1a(n1)xn,所以f(1)a.又因为切线xy1的斜率为1,所以a1,即a1.故a1,b0.(Ⅱ)由(Ⅰ)知,f(x)xn(1x)xnxn1,f(x)(n1)xn1（令f(x)0,解得x

在(0,nx).n12n27111111)7(1).22223n23nnn,即f(x)在(0,)上有唯一零点x0.n1n1n)上,f(x)0,故f(x)单调递增;n1

n,)上,f(x)0,f(x)单调递减.n1而在（nnnnnn

故f(x)在(0,)上的最大值为f(.)()(1)n1n1n1(n1)n1

111t1(t0),则(t)2=2(t0).tttt

在(0,1)上,(t)0,故(t)单调递减;

而在(1,)上(t)0,(t)单调递增.(Ⅲ)令(t)lnt1+

故(t)在(0,)上的最小值为(1)0.所以(t)0(t1),1即lnt1(t1).t

令t11n11n1n1,得ln,即ln()lne,nnn1n

nn1n1n1所以(.)e,即(n1)n1nen

nn1由(Ⅱ)知,f(x),故所证不等式成立.(n1)n1ne

已知函数f(x)alnxax3.(aR)

（1）讨论函数f(x)的单调性；

（2）若函数f(x)在点(2,f(2))处的切线的倾斜角为450，且方程f(x)m至少有一个实根，求实数m的取值范围；

（3）求证：ln2ln3lnn1(n2,nN).23nn