第二节 中心极限定理（共五则范文）

第一篇：第二节 中心极限定理

第二节 中心极限定理

独立同分布序列的中心极限定理

定理1设X1,X2,…Xn,…是独立同分布的随机变量序列，且具

有相同数学期望和

方差E（Xi）=μ，D（Xi）=σ2（i=1,2,…）。记随机变量的分布函数为Fn（x），则对于任意实数x，有

（不证）

其中φ（x）为标准正态分布函数。

由这一定理知道下列结论：的分布

（1）当n充分大时，独立同分布的随机变量之和

近似于正态分布N（nμ，nσ2）。我们知道，n个独立同分布的正态随机变量之和服从正态分布。中心极限定理进一步告诉我们。

不论X1,X2,…Xn,…独立同服从什么分布，当n充分大时，其和Zn近似服从正态分布。

（2）考虑X1,X2,…Xn,…的平均值，有

它的标准化随机变量为数即是上述的Fn（x），因而有由此可见，当n充分大时，独立同分布随机变量的平均值态分布

[例5-3]对敌人的防御地段进行100次射击，每次射击时命中目标的炮弹数是一个随机变量，其数学期望为2，均方差为1.5，求在100次射击中有180颗到220颗炮弹命中目标的概率。

解 设Xi为第i次射击时命中目标的炮弹数（i=1,2,…,100），则

为100次射击中命中目标的炮弹总数，而且X1，X2，…X

100同

分布且相互独立。

近似服从标准正态的分布近似于正，即为上述Yn。因此的分布函

由定理1可知，随机变量分布，故有

[例]某种电器元件的寿命服从均值为100（单位：小时）的指数分布。现随机抽出16只，设它们的寿命是相互独立的，求这16只元件的寿命的总和大于1 920小时的概率。

解 设第i只电器元件的寿命为Xi=（i=1,2,…16）,E（Xi）=100，D（Xi）=1002=10 000，则

是这16只元件的寿命的总和。

E（Y）=100×16=1 600，D（Y）= 160 000，则所求概率为：

棣莫弗（De Moivre）-拉普拉斯（Laplace）中心极限定理下面介绍另一个中心极限定理，它是定理1的特殊情况。

定理2（棣莫弗－拉普拉斯中心极限定理）设随机变量Zn是n

次独立重复试验中

事件A发生的次数，p是事件A发生的概率，则对于任意实数x

其中q=1-p,φ（x）为标准正态分布函数。由棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理得到下列结论：（1）在贝努利试验中，若事件A发生的概率为p。又设Zn为n次独立重复试验中事件A发生的频数，则当n充分大时，Zn近似服从正态分布N（np,npq）。

（2）在贝努利试验中，若事件中A发生的概率为p，为n次独立重复试验中事件A发生的频率，则当n充分大时，近似

服从正态分布

【例】设某单位内部有1000台电话分机，每台分机有5%的时间使用外线通话，假定各个分机是否使用外线是相互独立的，该单位总机至少需要安装多少条外线，才能以95%以上的概率保证每台分机需要使用外线时不被占用？

解：把观察每一台分机是否使用外线作为一次试验，则各次试验相互独立，设X为1000台分机中同时使用外线的分机数，则X～B（1000，0.05），np=1000×0.05=50,根据题意，设N为满足条件的最小正整数

由于φ（-7.255）≈0，故有

查标准正态分布表得φ（1.65）=0.9505，故有

由此

N≥61.37

即该单位总机至少需要62条外线，才能以95%以上的概率保证每台分机在使用外线时不被占用。

第二篇：第六章 第一节和第二节大数定理和中心极限定理

第六章 大数定律和中心极限定理

研究随机变量序列的各种极限(或收敛性)的理论.我们知道,概率论是研究随机现象统计规律的学科,然而随机现象统计规律性只有在相同条件下进行大量重复的试验或观察才能显现出来,这就要用到极限去刻划.随机现象在大量重复试验中呈现明显的规律性,这只是一个信念,其确切含义和理论根据是什么？现在就来解决这些问题.极限定理是概率论中最重要的理论.它在概率论与数理统计的理论研究与应用中起着十分重要的作用.第一节 契比雪夫不等式

这里介绍一个重要的不等式--契比雪夫不等式,它是大数定律和中心极限定理的理论基础.定理 设随机变量X存在数学期望EX和方差DX,则对任意正数, 成立

P{|XEX|}DX2, 此式称为契比雪夫不等式.或等价地

P{|XEX|}1P{|XEX|}1DX.2证明(1)当X为离散型随机变量, 分布律为

P{Xx}p ,i1,2,

ii则有

P{|XEX|}

P{Xx}

i|xiEX||xiEX|(xEX)i222P{Xx}ii(xEX)iDX2P{Xx}

i2;(2)当X为连续型随机变量, 概率密度为f(x), 则有

P{|XEX|}

1|xEX|f(x)dx

2(xEX)|xEX|22f(x)dx

2(xEX)f(x)dxDX2.例

P{|XEX|aDX}

DX(aDX)21a2 ,(a0)

从上述证明方法中,还可以看出(类似可证),成立

P{|X|}(0,k1)P{|XEX|}E(|XEX|)kE|X|kk，;

k,(0,k1);等形式的不等式.(车贝谢夫,车贝晓夫,切比雪夫)例 设随机序列{Xn}和随机变量X，E|XnX如果limn|0，2则对任意有 limn0, P{|XnX|}0。

证明 因为 对任意0，成立P{|XnX|}E|XnX|22，2利用条件limE|XnX|0，nlimP{|XnX|}0。即得成立n

定理 设随机变量X的数学期望EX和方差DX均存在,且DX0, 则有 P{XEX}1.证明 由车比谢夫不等式

P{|XEX|}DX2，1n}DX()n12得0P{|XEX|0, n1,2,, P{|X又

EX|1n}0,n1,2,，1n}{|XEX|0}{|XEX|n1，1n})0P{|XEX|0}P({|XEX|n1

n1P{|XEX|1n}0, 于是P{|XEX|0}1, 即P{XEX}1.(P(A1A2)P(A1)P(A2)P(A1A2)

P(A1)P(A2), P(A1A2A3)P(A1)P(A2)P(A3)，P(Ai)i1P(Ai1i).第二节 大数定律

在第一章中我们指出,随机事件的频率f(A)nf(A)nnAn,当

n时, nAn具有某种稳定性和统计概 率的定义5.它们的真正含义,在当时无法说清楚,现在就来说清楚这个问题.对于这一点, 大数定理将给于理论上的依据.下面只介绍大数定理的最基本情形.定理一(契比雪夫大数定律)设X,X,,X,是相互独立的12n随机变量序列,每一个X都有有限

i的方差,且有公共的上界,即

D(X)C, i1,2,,n, 则对任意0,成立

ilimP{|n1n1nnXii11n1nEX|}1 ，ii1

nnlimP{|nXEX|}0.ii1nii1证明 令 Yn1nnX

ii1由数学期望的性质,有

EYE(n1nnX)ii11nnEX，ii1 6 因X,X,,X,相互独立, 由方差的性质,得到

12nDYD(n1nnnX)ii11n2nDX，ii1 1n2Ci1Cn , 利用契比雪夫不等式,可得

1P{|1nnXEX|}

ii11nnii1

P{|YEY|}1nnDYn21Cn2, 在上式中,令n,即得

limP{|n1nnXii11nnEX|}1.ii1

定义 依次序列出的随机变量：X,X,,X, 简记为{Xn},简称12n随机(变量)序列{X}.n 定义 对于随机(变量)序列{X}和随机变量X(或常数a),若对任意0,有

limP{|XX|}1

nnn(或limP{|Xa|}1)nn则称随机(变量)序列{X}依概率收

n敛于X(或常数a).(等价于limP{|XX|}0)

nnX,(n)简记为XPna,(n))(或XPn 推论(辛钦大数定律)若随机变量序列X,X,,X,独立同分布,且存在有限的数学期望和方差

12n EX,DX,(i1,2,)

2ii则对任意0,有

limP{|X|}1 , n其中 X1nnX.ii1 8 证明 由数学期望和方差的性质及条件,有

EXE(X)

nii11n1nnEXii11nn，i1DXD(1n21nnnX)

ii1DXii11n2n2i1n2, 对任意0,有

1P{|X|}

P{|XEX|}

1DX21n22, 于是成立

limP{|X|}1 , n即{X}依概率收敛于常数.这个结论将在第八章中用到,是用样本均值作为总体均值的点估计的理论依据.定理二(贝努里大数定律)设n是n次独立重复试验中事件A发A生的次数,p是事件A在每次试验中发生的概率, 则对任意0,成立

limP{|nnAnp|}1.证明 引人随机变量

1,第i次试验中A发生X , 0,第i次试验中A不发生i

则n次试验中事件A发生的次数

nXXX , A12n由于是独立试验,所以X,X,,X相互独立,且都服从相同的(0—1)分布,即

12nP{X1}p,P{X0}1p,i1,2,,nii于是

EXp, i 10 DXp(1p)pp2i14(12p)214利用契比雪夫大数定律的推论,得

limP{|nnAnp|}limP{|Xp|}1

n 贝努里大数定律表明:事件A发生的频率

nAn依概率收敛于事件A发生的概率.这正是用频率作为概率的估计值的理论依据.在实际应用中,通常做多次试验,获得某事件发生的频率,作为该事件发生的概率的估计值.辛钦大数定律

定理(辛钦大数定律)设随机变量序列X,X,,X,独立同分布,且存在有限的数学期望 12n EX i,(i1,2,)则对任意0,有

limP{|X|}1 , n其中 X1nnX.ii1 这个定理的证明要用到特征函数列的收敛性质，在此证明略去。

第三篇：中心极限定理证明

中心极限定理证明

一、例子

高尔顿钉板试验.图中每一个黑点表示钉在板上的一颗钉子.每排钉子等距排列,下一排的每个钉子恰在上一排两相邻钉子之间.假设有排钉子,从入口中处放入小圆珠.由于钉板斜放,珠子在下落过程中碰到钉子后以的概率滚向左边,也以的概率滚向右边.如果较大,可以看到许多珠子从处滚到钉板底端的格子的情形如图所示,堆成的曲线近似于正态分布.如果定义:当第次碰到钉子后滚向右边,令;当第次碰到钉子后滚向左边,令.则是独立的,且

那么由图形知小珠最后的位置的分布接近正态.可以想象,当越来越大时接近程度越好.由于时,.因此,显然应考虑的是的极限分布.历史上德莫佛第一个证明了二项分布的极限是正态分布.研究极限分布为正态分布的极限定理称为中心极限定理.二、中心极限定理

设是独立随机变量序列,假设存在,若对于任意的,成立

称服从中心极限定理.设服从中心极限定理,则服从中心极限定理,其中为数列.解:服从中心极限定理,则表明

其中.由于,因此

故服从中心极限定理.三、德莫佛-拉普拉斯中心极限定理

在重贝努里试验中,事件在每次试验中出现的概率为为次试验中事件出现的次数,则

用频率估计概率时的误差估计.由德莫佛—拉普拉斯极限定理,由此即得

第一类问题是已知,求,这只需查表即可.第二类问题是已知,要使不小于某定值,应至少做多少次试验?这时利用求出最小的.第三类问题是已知,求.解法如下:先找,使得.那么,即.若未知,则利用,可得如下估计:.抛掷一枚均匀的骰子,为了至少有0.95的把握使出现六点的概率与之差不超过0.01,问需要抛掷多少次?

解:由例4中的第二类问题的结论,.即.查表得.将代入,便得.由此可见,利用比利用契比晓夫不等式要准确得多.已知在重贝努里试验中,事件在每次试验中出现的概率为为次试验中事件出现的次数,则服从二项分布:的随机变量.求.解:

因为很大,于是

所以

利用标准正态分布表,就可以求出的值.某单位内部有260架电话分机,每个分机有0.04的时间要用外线通话,可以认为各个电话分机用不用外线是是相互独立的,问总机要备有多少条外线才能以0.95的把握保证各个分机在使用外线时不必等候.解:以表示第个分机用不用外线,若使用,则令;否则令.则.如果260架电话分机同时要求使用外线的分机数为,显然有.由题意得,查表得，故取.于是

取最接近的整数,所以总机至少有16条外线,才能有0.95以上的把握保证各个分机在使用外线时不必等候.根据孟德尔遗传理论,红黄两种番茄杂交第二代结红果植株和结黄果植株的比率为3:1,现在种植杂交种400株,试求结黄果植株介于83和117之间的概率.解:将观察一株杂交种的果实颜色看作是一次试验,并假定各次试验是独立的.在400株杂交种中结黄果的株数记为,则.由德莫佛—拉普拉斯极限定理,有

其中,即有

四、林德贝格-勒维中心极限定理

若是独立同分布的随机变量序列,假设,则有

证明:设的特征函数为,则的特征函数为

又因为,所以

于是特征函数的展开式

从而对任意固定的,有

而是分布的特征函数.因此,成立.在数值计算时,数用一定位的小数来近似,误差.设是用四舍五入法得到的小数点后五位的数,这时相应的误差可以看作是上的均匀分布.设有个数,它们的近似数分别是,.,.令

用代替的误差总和.由林德贝格——勒维定理,以,上式右端为0.997,即以0.997的概率有

设为独立同分布的随机变量序列,且互相独立,其中,证明:的分布函数弱收敛于.证明:为独立同分布的随机变量序列,且互相独立,所以仍是独立同分布的随机变量序列,易知有

由林德贝格——勒维中心极限定理,知的分布函数弱收敛于,结论得证.作业:

p222EX32,33,34,3

5五、林德贝尔格条件

设为独立随机变量序列,又

令,对于标准化了的独立随机变量和的分布

当时,是否会收敛于分布?

除以外,其余的均恒等于零,于是.这时就是的分布函数.如果不是正态分布,那么取极限后,分布的极限也就不会是正态分布了.因而,为了使得成立,还应该对随机变量序列加上一些条件.从例题中看出,除以外,其余的均恒等于零,在和式中,只有一项是起突出作用.由此认为,在一般情形下,要使得收敛于分布,在的所有加项中不应该有这种起突出作用的加项.因为考虑加项个数的情况,也就意味着它们都要“均匀地斜.设是独立随机变量序列,又，这时

(1)若是连续型随机变量,密度函数为,如果对任意的,有

(2)若是离散型随机变量,的分布列为

如果对于任意的,有

则称满足林德贝尔格条件.以连续型情形为例,验证:林德贝尔格条件保证每个加项是“均匀地斜.证明:令,则

于是

从而对任意的,若林德贝尔格条件成立,就有

这个关系式表明,的每一个加项中最大的项大于的概率要小于零,这就意味着所有加项是“均匀地斜.六、费勒条件

设是独立随机变量序列,又，称条件为费勒条件.林德贝尔格证明了林德贝尔格条件是中心极限定理成立的充分条件,但不是必要条件.费勒指出若费勒条件得到满足,则林德贝尔格条件也是中心极限定理成立的必要条件.七、林德贝尔格-费勒中心极限定理

引理1对及任意的,证明:记,设,由于

因此，其次,对,用归纳法即得.由于,因此,对也成立.引理2对于任意满足及的复数,有

证明:显然

因此,由归纳法可证结论成立.引理3若是特征函数,则也是特征函数,特别地

证明定义随机变量

其中相互独立,均有特征函数,服从参数的普哇松分布,且与诸独立,不难验证的特征函数为,由特征函数的性质即知成立.林德贝尔格-费勒定理

定理设为独立随机变量序列,又.令,则

(1)

与费勒条件成立的充要条件是林德贝尔格条件成立.证明:(1)准备部分

记

(2)

显然(3)

(4)

以及分别表示的特征函数与分布函数,表示的分布函数,那么(5)

这时

因此林德贝尔格条件化为:对任意,(6)

现在开始证明定理.设是任意固定的实数.为证(1)式必须证明

(7)

先证明,在费勒条件成立的假定下,(7)与下式是等价的:

(8)

事实上,由(3)知,又因为

故对一切,把在原点附近展开,得到

因若费勒条件成立,则对任意的,只要充分大,均有

(9)

这时

(10)

对任意的,只要充分小,就可以有

(11)

因此,由引理3,引理2及(10),(11),只要充分大,就有

(12)

因为可以任意小,故左边趋于0,因此,证得(7)与(8)的等价性.(2)充分性

先证由林德贝尔格条件可以推出费勒条件.事实上,(13)

右边与无关,而且可选得任意小;对选定的,由林德贝尔格条件(6)知道第二式当足够大时,也可以任意地小,这样,费勒条件成立.其次证明林德贝尔格条件能保证(1)式成立.注意到(3)及(4),可知,当时,当时,因此

(14)

对任给的,由于的任意性,可选得使,对选定的,用林德贝尔格条件知只要充分大,也可使.因此,已证得了(8),但由于已证过费勒条件成立,这时(8)与(7)是等价的,因而(7)也成立.(3)必要性

由于(1)成立,因此相应的特征函数应满足(7).但在费勒条件成立时,这又推出了(8),因此,(15)

上述被积函数的实部非负,故

而且

(16)

因为对任意的,可找到,使,这时由(15),(16)可得

故林德贝尔格条件成立.八、李雅普诺夫定理

设为独立随机变量序列,又.令,若存在,使有

则对于任意的,有

第四篇：第六章 第三节中心极限定理

第六章 大数定律和中心极限定理

第三节 中心极限定理

在对大量随机现象的研究中发现,如果一个量是由大量相互独立的随机因素所造成,而每一个别因素在总影响中所起的作用较小,那么这种量通常都服从或近似服从正态分布.例如测量误差、炮弹的弹着点、人体体重等都服从正态分布,这种现象就是中心极限定理的客观背景.设随机变量X,X,,X,独立

12n同分布,且Xi~N(,)，2(i1,2,)

记YX,(EYn,DYn)，2nni1inn 1 YEYYn Y称为Y的标准DYn*nnnnnn化, 则有Y~N(0,1)

FY*(x)P{Yn*x}(x)

n*n对任意实数x,有

Ynx}

limP{nnnP{Yn limn(x)x*x}limF(x)

nYn*1edt.2t22一般地，有下述结果。定理三(同分布的中心极限定理)设随机变量X,X,,X,独立同分布,且存在有限的数学期望和方差

EX,DX0，12n2ii(i1,2,)

记YX,(EYn,DYn)，2nni1innYEYYn Y称为Y的标DYn*nnnnnn 2 准化, FYn*(x)P{Yx}

n*则对任意实数x,有

Ynx}

limP{nnnP{Yn limn(x)x*x}limF(x)

nYn*1edt.2t22

定理表明,当n充分大时,随机变量Xni1inn近似地服从标准正

ni1i态分布N(0,1).因此,X近似地服从正态分布N(n,n).由此可见,正态分布在概率论中占有重要的地位.定理四(De Moivre-Laplace定理)

2设n是n次独立重复试验中事件A发生的次数,p是事件A在每次 试验中发生的概率, 则对任意区间[a,b],成立 limP{annpnnp(1p)b}

ba1edt(b)(a)2t22 证明 引人随机变量

1,第i次试验中A发生 X ，0,第i次试验中A不发生i则n次试验中事件A发生的次数

nXXX ，12n12n由于是独立试验,所以X,X,,X相互独立,且都服从相同的(0—1)分布,即

P{X1}p,P{X0}1p,i1,2,,nii于是

EXiip, DXp(1p)

由定理三,即得

limP{nnpnnp(1p)ni1ix}

limP{nXnpnp(1p)x}

x1edt(x), 2t22于是对任意区间[a,b],有

limP{anp(1p)b}

nnnpt22ba1edt(b)(a).2

近似计算公式:

npNnpMnp，NMnp(1p)np(1p)np(1p)nnP{NM}nn

npNnpMnpP{}np(1p)np(1p)np(1p)MnpNnp()().np(1p)np(1p)例1 某计算机系统有120个终端,每个终端有5%的时间在使用,若各终端使用与否是相互独立的,试求有10个以上的终端在使用的概率.解 以X表示使用终端的个数, 引人随机变量 1,第i个终端在使用 X ，0,第i个终端不使用i i1,2,,120 , 则

XXXX ，121202120由于使用与否是独立的,所以X,X,,X相互独立,且都服从相同的(0—1)分布,即 P{X1}p0.05,P{X0}1p,i1,2,,120 1ii于是,所求概率为

P{X10}1P{X10}

Xnp10np1P{}，np(1p)np(1p)由中心极限定理得

P{X10}1P{X10}

Xnp10np1P{}

np(1p)np(1p)10np)

1(np(1p)101200.051()

1200.050.951(1.68)10.95350.0465.例2 现有一大批种子,其中良种占1.现从中任选6000粒,试问在这些61种子中,良种所占的比例与之误差

6小于1%的概率是多少？ 解 设X表示良种个数, 则

1X~B(n,p),n6000,p , 所求概率为 X1P{||0.01}P{|Xnp|n0.01}n6

Xnpn0.01P{||}

np(1p)np(1p)Xnp60000.01P{||}

15np(1p)600066(2.078)(2.078)

2(2.078)120.9810.96.例3 设有30个电子器件D,D,,D,它们的使用情况如下: 1230D损坏,D接着使用;D损坏,D接1223着使用等等.设器件D的使用寿命服从参数0.1(单位:h)的指数分布.令T

为30个器件使用的总时数,问T超过350h的概率是多少？

i1 8 解 设Xi为 器件D的使用

i寿命,Xi 服从参数0.1(单位:h)

1的指数分布, X,X,,X相互独1230立, TX1X2Xnn30, EX11i0.110 , 2DXi1210.12100, 由中心极限定理得

P{T350}1P{T350}

1P{Tnn350nn} 1(3503003010)1(530)1(0.91)10.8186

0.1814.，例4 某单位设置一电话总机,共有200架电话分机.设每个电话分机有5%的时间要使用外线通话,假定每个电话分机是否使用外线通话是相互独立的,问总机需要安装多少条外线才能以90%的概率保证每个分机都能即时使用.解 依题意

设X为同时使用的电话分机个数, 则X~B(n,p),n200,p0.05, 设安装了N条外线, 引人随机变量

1,第i个分机在使用 X ，0,第i个分机不使用i i1,2,,200 , 则

XXXX ，122002200由于使用与否是独立的,所以X,X,,X相互独立,且都服从相同的(0—1)分布,即 1 10 P{X1}p0.05,iP{X0}1p,i1,2,,200, i {XN}保证每个分机都能即时使用, P{XN}0.9 , 0.9P{XN}

XnpNnp} P{np(1p)np(1p)Nnp)

(np(1p)N2000.05()

2000.050.95N10N10()()，3.089.5查标准正态分布表

N10z1.28, 3.080.9N1.283.081013.94, 取 N14, 答: 需要安装14条外线.例5 设随机变量X的概率密度为

xe,x0 f(x)m!，0,x0其中m为正整数，证明

mxmP{0X2(m1)}.m1 证明

xEXxf(x)dxxedx

m!1xedx m!mx0m21x011 (m2)(m1)!m1, m!m!

xEXxf(x)dxxedxm!m222x0

1x m!0m31edx

x

11(m3)(m2)!(m2)(m1), m!m!

DXEX(EX)

222

(m2)(m1)(m1)

m1 , 利用车贝谢不等式,得 P{0X2(m1)}

P{(m1)X(m1)(m1)} P{|X(m1)|(m1)} P{|XEX|(m1)}

DXm111

(m1)(m1)m .m122 13

第五篇：中心极限定理的教学

中心极限定理的教学

摘 要： 中心极限定理是概率论与数理统计课程中一个重要的定理，也是学生学习过程中的难点，因此教学也有一定的难度.本文首先分析学生学习的主要困惑，其次针对性地理解了中心极限定理的实质，教学过程中设计了具体事例鼓励学生自主发现探索，从而对中心极限定理容易接受，最后用实例巩固中心极限定理的应用.关键词： 中心极限定理 正态分布 自主探索 概率近似

中心极限定理是概率论与数理统计课程中一个重要的定理，衔接着概率论知识与数理统计的相关知识，是教学中的一个难点.利用中心极限定理，数理统计中许多纷乱复杂的随机变量序列和的分布都可以用正态分布进行近似，而正态分布有着许多完美的结论，从而可以获得实用且简单的统计分析方法和结论.然而，由于中心极限定理的教学课时少而定理本身又较抽象，学生很难在短时间内理解该定理并能够加以应用.为此，不少教师对该内容进行了探讨.本文结合学生的基础和知识结构，产生的疑惑，以及教学的需要，提高学生的应用能力，对该定理的教学方法进行探讨.一、学生学习中心极限定理的困难

中心极限定理这一节的教学目标是要求学生理解中心极限定理，并熟练运用该定理进行事件概率的近似计算，然而在讲解这一内容只有2个课时，学生又不熟悉相应的概率基础，导致无论是数学专业还是非数学专业的学生对该知识点都存在疑惑，主要表现在：不知道中心极限定理是什么意思，具体形式是什么，怎么用.针对这三方面的问题，教师首先应该要理解深刻，概括恰当，简明扼要.1.中心极限定理的背景

在实际问题中，许多随机现象都是由大量微小的相互独立的随机因素综合影响所产生的，比如误差受到材料、环境、设备、操作者等因素的影响，每个因素都是微小的、随机的，但综合起来就产生实验过程中的误差，即误差是大量的随机因素的总和，我们关心误差就是关心大量独立随机变量和的问题.中心极限定理告诉我们，大量独立随机变量和的极限分布是正态分布.这一点突出了正态分布在概率论与数理统计中的重要地位，在应用中凸显了正态分布的许多优势，同时在总体为非正态的统计问题中发挥着重要的指导作用.在实际问题中，首先分析随机现象，将其可分解成大量的随机变量的和，那么无论随机变量服从正态还是非正态，其和近似看做正态分布，进而求相关的概率计算问题.学生对此不理解，主要是因为太抽象、太笼统，在教学中可让学生自主探讨，发现总结.2.中心极限定理的具体形式

中心极限定理探讨的是随机变量和的极限分布，教材中给出了不同条件下的中心极限定理的多种结论，其形式复杂，证明繁琐，但总结起来本质是一个形式.棣莫佛-拉普拉斯中心极限定理是Lindeberg-Levy中心极限定理的特例，两个中心极限定理归根到底是说独立同分布的随机变量和的极限分布为正态分布，可变形为标准正态分布.3.中心极限定理的应用

学生对中心极限定理内容不理解，也导致无法将理论用于实践，偶尔的依葫芦画瓢并没有掌握其实质.中心极限定理常用作概率近似计算，需要根据问题的实际含义定义多个随机变量并给出分布，然后变为独立随机变量和，再利用中心极限定理和正态分布的查表求概率.只有在教学中选择恰当的例题，深入分析，合理总结，才能取到良好的效果.中心极限定理包含极限理论，因此理论上利用中心极限定理处理极限问题.在经济问题中，质检问题中也有广泛的应用.教学中可引申生活实际等有趣的问题，让学生体会学以致用的乐趣.二、中心极限定理的教学设计

首先利用简单的引例，让学生自主探索，总结规律.例1：有一个总体X，它是取值于[2，8]的随机数，在等可能被取出的假设下，总体X的分布为均匀分布U（2，8）.学生自主观察直方图的特点，得出的规律是“中间高，两边低，左右基本对称”.比照正态分布的密度曲线：

上述直方图轮廓曲线，用如下概率函数表示关于u对称的钟形曲线最合适.将这一规律概括起来就是中心极限定理：

其具体形式体现出三个定理.（1）中心极限定理是用极限理论反映的一个重要定理，其优势体现在非正态分布或不知道分布类型时，为数理统计的学习奠定基础.（2）主要应用两方面：第一，求随机变量之和落在某区间的概率；第二，已知随机变量之和的概率，求.（3）解题中分析随机总体可分解为许多独立随机变量的和的形式甚为关键.例2：某保险公司有2500个人参加保险，每人每年付1200元保险费，在一年内一个人死亡的概率为0.002，死亡时其家属可向保险公司领得20万元，问保险公司亏本的概率.学生处理实际问题的难点就在于不知如何进行问题的转化.提示两点：第一，将问题用随机变量表示，每个人参保是随机的独立的，如何刻画？第二，保险公司所得的总收益如何表示，学生经整理后发现，所求总收益正好可以看成2500个独立同分布随机变量之和，n=2500足够大，故想到用中心极限定理将其近似为正态分布.求出变量和的期望和方差，利用正态分布查表求概率.为了加强对中心极限定理的理解和巩固，对学生提出如下思考：

2.列举贴近生活实例，让学生巩固练习，加以总结.3.学有余力拓展中心极限定理的应用领域.通过本节的学习，让学生自主发现规律，善于总结，容易接受，形成解决实际问题的统计思维，熟悉中心极限定理和正态分布相关理论很有必要.参考文献：

[1]茆诗松，程依明，濮晓龙.概率论与数理统计教程第二版[M].北京：高等教育出版社，2011.[2]黎玉芳.中心极限定理的教学方法探讨[J].科技教育创新，2010（24）：220-221.[3]孙碑.中心极限定理及其在若干实际问题中的应用[J].论谈教学，2012（6）：65-67.