中心极限定理-第四章练习题

第一篇：中心极限定理-第四章练习题

1、一仪器同时受到108个噪声信号Xi，设它们是相互独立的且都服从[0，4]上的均匀分布.求噪声信号总量X

解：EXXi1108i 228的概率.108EX

i1108i216，DXDXi144.i

1由中心极限定理P{X228}12282161(1)0.16.12

2、已知红黄两种番茄杂交的第二代结红果的植株与结黄果的植株的比率为4:1．现种植杂

交种10000株，试求结黄果植株介于1960到2040之间的概率．（用(x)表示）

1142000,DX10000160055

52040200019602000P(1960X2040)2(1)14040

3、某镇年满18岁的居民中20%受过高等教育。今从中有放回地抽取1600人的随机样本，解： 设结黄果植株为X，EX10000求样本中受过高等教育的人在19%和21%之间的概率。（(1)0.8413）

解： 设X表示抽取的1600人中受过高等教育的人数，则X~B(1600,0.2)，EX320,DX=162 则：P{0.191600X0.211600}P{304320X320336320X320}P{11}(1)(1)16161216

2(1)1 20.841310.6826。

4、某商店负责供应某地区10000人所需商品，其中一商品在一段时间每人需要一件的概率

为0.8，假定在这一段时间内各人购买与否彼此无关，问商店应预备多少件这种商品，才能以97.5%的概率保证不会脱销？（(1.96)0.975.假定该商品在某一段时间内每人最多可以买一件）。

解： 设应预备n件，并设X表示某地区10000人需要件数，则X~B（10000，0.8），由中心极限定理得P{Xn}

由n80000.97540n80001.96,n8078.4，即应预备8079件。405、某商店出售某种贵重商品。根据经验，该商品每周销售量服从参数为1的泊松分布。假定各周的销售量是相互独立的。用中心极限定理计算该商店一年内（52周）售出该商品件数在50件到70件之间的概率。（用(x)表示）

解：设 Xi为第i周的销售量, i1,2,,52 Xi~P(1)，则一年的销售量为Y52X

i1i，E(Y)52,D(Y)52

由独立同分布的中心极限定理，所求概率为

P(50Y70)P



1

第二篇：CH5 大数定律及中心极限定理--练习题

CH5 大数定律及中心极限定理

1.设Ф(x)为标准正态分布函数，Xi=

1001,事件A发生；0,事件A不发生，i=1，2，…，100，且P(A)=0.8,X1,X2,…,X100

相互独立。令Y=

i1Xi，则由中心极限定理知Y的分布函数F(y)近似于（）

y80

4A.Ф(y)

2.从一大批发芽率为0.9的种子中随机抽取100粒,则这100粒种子的发芽率不低于88%的概率约为.(已知φ(0.67)=0.7486)

3.设随机变量X1，X2，…，Xn，…独立同分布，且i=1，2…，0

nB.Ф()C.Ф(16y+80)D.Ф(4y+80)

Yn

i1Xi,n1，2，.Φ（x）为标准正态分布函数，则limPn1（）np(1p)Ynnp

A．0B．Φ（1）C．1－Φ（1）D．1

4.设

5.设X服从(-1,1)上的均匀分布，试用切比雪夫不等式估计

6.设

7.报童沿街向行人兜售报纸，设每位行人买报纸的概率为0.2，且他们买报纸与否是相互独立的。试求报童在想100为行人兜售之后，卖掉报纸15到30份的概率

8.一个复杂系统由n个相互独立的工作部件组成，每个部件的可靠性（即部件在一定时间内无故障的概率）为0.9，且必须至少有80%的部件工作才能使得整个系统工作。问n至少为多少才能使系统的可靠性为0.95

9.某人有100个灯泡，每个灯泡的寿命为指数分布，其平均寿命为5小时。他每次用一个灯泡，灯泡灭了之后立即换上一个新的灯泡。求525小时之后他仍有灯泡可用的概率近似值相互独立的随机变量，且都服从参数为10的指数分布，求 的下界 是独立同分布的随机变量，设, 求

第三篇：中心极限定理证明

中心极限定理证明

一、例子

高尔顿钉板试验.图中每一个黑点表示钉在板上的一颗钉子.每排钉子等距排列,下一排的每个钉子恰在上一排两相邻钉子之间.假设有排钉子,从入口中处放入小圆珠.由于钉板斜放,珠子在下落过程中碰到钉子后以的概率滚向左边,也以的概率滚向右边.如果较大,可以看到许多珠子从处滚到钉板底端的格子的情形如图所示,堆成的曲线近似于正态分布.如果定义:当第次碰到钉子后滚向右边,令;当第次碰到钉子后滚向左边,令.则是独立的,且

那么由图形知小珠最后的位置的分布接近正态.可以想象,当越来越大时接近程度越好.由于时,.因此,显然应考虑的是的极限分布.历史上德莫佛第一个证明了二项分布的极限是正态分布.研究极限分布为正态分布的极限定理称为中心极限定理.二、中心极限定理

设是独立随机变量序列,假设存在,若对于任意的,成立

称服从中心极限定理.设服从中心极限定理,则服从中心极限定理,其中为数列.解:服从中心极限定理,则表明

其中.由于,因此

故服从中心极限定理.三、德莫佛-拉普拉斯中心极限定理

在重贝努里试验中,事件在每次试验中出现的概率为为次试验中事件出现的次数,则

用频率估计概率时的误差估计.由德莫佛—拉普拉斯极限定理,由此即得

第一类问题是已知,求,这只需查表即可.第二类问题是已知,要使不小于某定值,应至少做多少次试验?这时利用求出最小的.第三类问题是已知,求.解法如下:先找,使得.那么,即.若未知,则利用,可得如下估计:.抛掷一枚均匀的骰子,为了至少有0.95的把握使出现六点的概率与之差不超过0.01,问需要抛掷多少次?

解:由例4中的第二类问题的结论,.即.查表得.将代入,便得.由此可见,利用比利用契比晓夫不等式要准确得多.已知在重贝努里试验中,事件在每次试验中出现的概率为为次试验中事件出现的次数,则服从二项分布:的随机变量.求.解:

因为很大,于是

所以

利用标准正态分布表,就可以求出的值.某单位内部有260架电话分机,每个分机有0.04的时间要用外线通话,可以认为各个电话分机用不用外线是是相互独立的,问总机要备有多少条外线才能以0.95的把握保证各个分机在使用外线时不必等候.解:以表示第个分机用不用外线,若使用,则令;否则令.则.如果260架电话分机同时要求使用外线的分机数为,显然有.由题意得,查表得，故取.于是

取最接近的整数,所以总机至少有16条外线,才能有0.95以上的把握保证各个分机在使用外线时不必等候.根据孟德尔遗传理论,红黄两种番茄杂交第二代结红果植株和结黄果植株的比率为3:1,现在种植杂交种400株,试求结黄果植株介于83和117之间的概率.解:将观察一株杂交种的果实颜色看作是一次试验,并假定各次试验是独立的.在400株杂交种中结黄果的株数记为,则.由德莫佛—拉普拉斯极限定理,有

其中,即有

四、林德贝格-勒维中心极限定理

若是独立同分布的随机变量序列,假设,则有

证明:设的特征函数为,则的特征函数为

又因为,所以

于是特征函数的展开式

从而对任意固定的,有

而是分布的特征函数.因此,成立.在数值计算时,数用一定位的小数来近似,误差.设是用四舍五入法得到的小数点后五位的数,这时相应的误差可以看作是上的均匀分布.设有个数,它们的近似数分别是,.,.令

用代替的误差总和.由林德贝格——勒维定理,以,上式右端为0.997,即以0.997的概率有

设为独立同分布的随机变量序列,且互相独立,其中,证明:的分布函数弱收敛于.证明:为独立同分布的随机变量序列,且互相独立,所以仍是独立同分布的随机变量序列,易知有

由林德贝格——勒维中心极限定理,知的分布函数弱收敛于,结论得证.作业:

p222EX32,33,34,3

5五、林德贝尔格条件

设为独立随机变量序列,又

令,对于标准化了的独立随机变量和的分布

当时,是否会收敛于分布?

除以外,其余的均恒等于零,于是.这时就是的分布函数.如果不是正态分布,那么取极限后,分布的极限也就不会是正态分布了.因而,为了使得成立,还应该对随机变量序列加上一些条件.从例题中看出,除以外,其余的均恒等于零,在和式中,只有一项是起突出作用.由此认为,在一般情形下,要使得收敛于分布,在的所有加项中不应该有这种起突出作用的加项.因为考虑加项个数的情况,也就意味着它们都要“均匀地斜.设是独立随机变量序列,又，这时

(1)若是连续型随机变量,密度函数为,如果对任意的,有

(2)若是离散型随机变量,的分布列为

如果对于任意的,有

则称满足林德贝尔格条件.以连续型情形为例,验证:林德贝尔格条件保证每个加项是“均匀地斜.证明:令,则

于是

从而对任意的,若林德贝尔格条件成立,就有

这个关系式表明,的每一个加项中最大的项大于的概率要小于零,这就意味着所有加项是“均匀地斜.六、费勒条件

设是独立随机变量序列,又，称条件为费勒条件.林德贝尔格证明了林德贝尔格条件是中心极限定理成立的充分条件,但不是必要条件.费勒指出若费勒条件得到满足,则林德贝尔格条件也是中心极限定理成立的必要条件.七、林德贝尔格-费勒中心极限定理

引理1对及任意的,证明:记,设,由于

因此，其次,对,用归纳法即得.由于,因此,对也成立.引理2对于任意满足及的复数,有

证明:显然

因此,由归纳法可证结论成立.引理3若是特征函数,则也是特征函数,特别地

证明定义随机变量

其中相互独立,均有特征函数,服从参数的普哇松分布,且与诸独立,不难验证的特征函数为,由特征函数的性质即知成立.林德贝尔格-费勒定理

定理设为独立随机变量序列,又.令,则

(1)

与费勒条件成立的充要条件是林德贝尔格条件成立.证明:(1)准备部分

记

(2)

显然(3)

(4)

以及分别表示的特征函数与分布函数,表示的分布函数,那么(5)

这时

因此林德贝尔格条件化为:对任意,(6)

现在开始证明定理.设是任意固定的实数.为证(1)式必须证明

(7)

先证明,在费勒条件成立的假定下,(7)与下式是等价的:

(8)

事实上,由(3)知,又因为

故对一切,把在原点附近展开,得到

因若费勒条件成立,则对任意的,只要充分大,均有

(9)

这时

(10)

对任意的,只要充分小,就可以有

(11)

因此,由引理3,引理2及(10),(11),只要充分大,就有

(12)

因为可以任意小,故左边趋于0,因此,证得(7)与(8)的等价性.(2)充分性

先证由林德贝尔格条件可以推出费勒条件.事实上,(13)

右边与无关,而且可选得任意小;对选定的,由林德贝尔格条件(6)知道第二式当足够大时,也可以任意地小,这样,费勒条件成立.其次证明林德贝尔格条件能保证(1)式成立.注意到(3)及(4),可知,当时,当时,因此

(14)

对任给的,由于的任意性,可选得使,对选定的,用林德贝尔格条件知只要充分大,也可使.因此,已证得了(8),但由于已证过费勒条件成立,这时(8)与(7)是等价的,因而(7)也成立.(3)必要性

由于(1)成立,因此相应的特征函数应满足(7).但在费勒条件成立时,这又推出了(8),因此,(15)

上述被积函数的实部非负,故

而且

(16)

因为对任意的,可找到,使,这时由(15),(16)可得

故林德贝尔格条件成立.八、李雅普诺夫定理

设为独立随机变量序列,又.令,若存在,使有

则对于任意的,有

第四篇：第六章 第三节中心极限定理

第六章 大数定律和中心极限定理

第三节 中心极限定理

在对大量随机现象的研究中发现,如果一个量是由大量相互独立的随机因素所造成,而每一个别因素在总影响中所起的作用较小,那么这种量通常都服从或近似服从正态分布.例如测量误差、炮弹的弹着点、人体体重等都服从正态分布,这种现象就是中心极限定理的客观背景.设随机变量X,X,,X,独立

12n同分布,且Xi~N(,)，2(i1,2,)

记YX,(EYn,DYn)，2nni1inn 1 YEYYn Y称为Y的标准DYn*nnnnnn化, 则有Y~N(0,1)

FY*(x)P{Yn*x}(x)

n*n对任意实数x,有

Ynx}

limP{nnnP{Yn limn(x)x*x}limF(x)

nYn*1edt.2t22一般地，有下述结果。定理三(同分布的中心极限定理)设随机变量X,X,,X,独立同分布,且存在有限的数学期望和方差

EX,DX0，12n2ii(i1,2,)

记YX,(EYn,DYn)，2nni1innYEYYn Y称为Y的标DYn*nnnnnn 2 准化, FYn*(x)P{Yx}

n*则对任意实数x,有

Ynx}

limP{nnnP{Yn limn(x)x*x}limF(x)

nYn*1edt.2t22

定理表明,当n充分大时,随机变量Xni1inn近似地服从标准正

ni1i态分布N(0,1).因此,X近似地服从正态分布N(n,n).由此可见,正态分布在概率论中占有重要的地位.定理四(De Moivre-Laplace定理)

2设n是n次独立重复试验中事件A发生的次数,p是事件A在每次 试验中发生的概率, 则对任意区间[a,b],成立 limP{annpnnp(1p)b}

ba1edt(b)(a)2t22 证明 引人随机变量

1,第i次试验中A发生 X ，0,第i次试验中A不发生i则n次试验中事件A发生的次数

nXXX ，12n12n由于是独立试验,所以X,X,,X相互独立,且都服从相同的(0—1)分布,即

P{X1}p,P{X0}1p,i1,2,,nii于是

EXiip, DXp(1p)

由定理三,即得

limP{nnpnnp(1p)ni1ix}

limP{nXnpnp(1p)x}

x1edt(x), 2t22于是对任意区间[a,b],有

limP{anp(1p)b}

nnnpt22ba1edt(b)(a).2

近似计算公式:

npNnpMnp，NMnp(1p)np(1p)np(1p)nnP{NM}nn

npNnpMnpP{}np(1p)np(1p)np(1p)MnpNnp()().np(1p)np(1p)例1 某计算机系统有120个终端,每个终端有5%的时间在使用,若各终端使用与否是相互独立的,试求有10个以上的终端在使用的概率.解 以X表示使用终端的个数, 引人随机变量 1,第i个终端在使用 X ，0,第i个终端不使用i i1,2,,120 , 则

XXXX ，121202120由于使用与否是独立的,所以X,X,,X相互独立,且都服从相同的(0—1)分布,即 P{X1}p0.05,P{X0}1p,i1,2,,120 1ii于是,所求概率为

P{X10}1P{X10}

Xnp10np1P{}，np(1p)np(1p)由中心极限定理得

P{X10}1P{X10}

Xnp10np1P{}

np(1p)np(1p)10np)

1(np(1p)101200.051()

1200.050.951(1.68)10.95350.0465.例2 现有一大批种子,其中良种占1.现从中任选6000粒,试问在这些61种子中,良种所占的比例与之误差

6小于1%的概率是多少？ 解 设X表示良种个数, 则

1X~B(n,p),n6000,p , 所求概率为 X1P{||0.01}P{|Xnp|n0.01}n6

Xnpn0.01P{||}

np(1p)np(1p)Xnp60000.01P{||}

15np(1p)600066(2.078)(2.078)

2(2.078)120.9810.96.例3 设有30个电子器件D,D,,D,它们的使用情况如下: 1230D损坏,D接着使用;D损坏,D接1223着使用等等.设器件D的使用寿命服从参数0.1(单位:h)的指数分布.令T

为30个器件使用的总时数,问T超过350h的概率是多少？

i1 8 解 设Xi为 器件D的使用

i寿命,Xi 服从参数0.1(单位:h)

1的指数分布, X,X,,X相互独1230立, TX1X2Xnn30, EX11i0.110 , 2DXi1210.12100, 由中心极限定理得

P{T350}1P{T350}

1P{Tnn350nn} 1(3503003010)1(530)1(0.91)10.8186

0.1814.，例4 某单位设置一电话总机,共有200架电话分机.设每个电话分机有5%的时间要使用外线通话,假定每个电话分机是否使用外线通话是相互独立的,问总机需要安装多少条外线才能以90%的概率保证每个分机都能即时使用.解 依题意

设X为同时使用的电话分机个数, 则X~B(n,p),n200,p0.05, 设安装了N条外线, 引人随机变量

1,第i个分机在使用 X ，0,第i个分机不使用i i1,2,,200 , 则

XXXX ，122002200由于使用与否是独立的,所以X,X,,X相互独立,且都服从相同的(0—1)分布,即 1 10 P{X1}p0.05,iP{X0}1p,i1,2,,200, i {XN}保证每个分机都能即时使用, P{XN}0.9 , 0.9P{XN}

XnpNnp} P{np(1p)np(1p)Nnp)

(np(1p)N2000.05()

2000.050.95N10N10()()，3.089.5查标准正态分布表

N10z1.28, 3.080.9N1.283.081013.94, 取 N14, 答: 需要安装14条外线.例5 设随机变量X的概率密度为

xe,x0 f(x)m!，0,x0其中m为正整数，证明

mxmP{0X2(m1)}.m1 证明

xEXxf(x)dxxedx

m!1xedx m!mx0m21x011 (m2)(m1)!m1, m!m!

xEXxf(x)dxxedxm!m222x0

1x m!0m31edx

x

11(m3)(m2)!(m2)(m1), m!m!

DXEX(EX)

222

(m2)(m1)(m1)

m1 , 利用车贝谢不等式,得 P{0X2(m1)}

P{(m1)X(m1)(m1)} P{|X(m1)|(m1)} P{|XEX|(m1)}

DXm111

(m1)(m1)m .m122 13

第五篇：中心极限定理的教学

中心极限定理的教学

摘 要： 中心极限定理是概率论与数理统计课程中一个重要的定理，也是学生学习过程中的难点，因此教学也有一定的难度.本文首先分析学生学习的主要困惑，其次针对性地理解了中心极限定理的实质，教学过程中设计了具体事例鼓励学生自主发现探索，从而对中心极限定理容易接受，最后用实例巩固中心极限定理的应用.关键词： 中心极限定理 正态分布 自主探索 概率近似

中心极限定理是概率论与数理统计课程中一个重要的定理，衔接着概率论知识与数理统计的相关知识，是教学中的一个难点.利用中心极限定理，数理统计中许多纷乱复杂的随机变量序列和的分布都可以用正态分布进行近似，而正态分布有着许多完美的结论，从而可以获得实用且简单的统计分析方法和结论.然而，由于中心极限定理的教学课时少而定理本身又较抽象，学生很难在短时间内理解该定理并能够加以应用.为此，不少教师对该内容进行了探讨.本文结合学生的基础和知识结构，产生的疑惑，以及教学的需要，提高学生的应用能力，对该定理的教学方法进行探讨.一、学生学习中心极限定理的困难

中心极限定理这一节的教学目标是要求学生理解中心极限定理，并熟练运用该定理进行事件概率的近似计算，然而在讲解这一内容只有2个课时，学生又不熟悉相应的概率基础，导致无论是数学专业还是非数学专业的学生对该知识点都存在疑惑，主要表现在：不知道中心极限定理是什么意思，具体形式是什么，怎么用.针对这三方面的问题，教师首先应该要理解深刻，概括恰当，简明扼要.1.中心极限定理的背景

在实际问题中，许多随机现象都是由大量微小的相互独立的随机因素综合影响所产生的，比如误差受到材料、环境、设备、操作者等因素的影响，每个因素都是微小的、随机的，但综合起来就产生实验过程中的误差，即误差是大量的随机因素的总和，我们关心误差就是关心大量独立随机变量和的问题.中心极限定理告诉我们，大量独立随机变量和的极限分布是正态分布.这一点突出了正态分布在概率论与数理统计中的重要地位，在应用中凸显了正态分布的许多优势，同时在总体为非正态的统计问题中发挥着重要的指导作用.在实际问题中，首先分析随机现象，将其可分解成大量的随机变量的和，那么无论随机变量服从正态还是非正态，其和近似看做正态分布，进而求相关的概率计算问题.学生对此不理解，主要是因为太抽象、太笼统，在教学中可让学生自主探讨，发现总结.2.中心极限定理的具体形式

中心极限定理探讨的是随机变量和的极限分布，教材中给出了不同条件下的中心极限定理的多种结论，其形式复杂，证明繁琐，但总结起来本质是一个形式.棣莫佛-拉普拉斯中心极限定理是Lindeberg-Levy中心极限定理的特例，两个中心极限定理归根到底是说独立同分布的随机变量和的极限分布为正态分布，可变形为标准正态分布.3.中心极限定理的应用

学生对中心极限定理内容不理解，也导致无法将理论用于实践，偶尔的依葫芦画瓢并没有掌握其实质.中心极限定理常用作概率近似计算，需要根据问题的实际含义定义多个随机变量并给出分布，然后变为独立随机变量和，再利用中心极限定理和正态分布的查表求概率.只有在教学中选择恰当的例题，深入分析，合理总结，才能取到良好的效果.中心极限定理包含极限理论，因此理论上利用中心极限定理处理极限问题.在经济问题中，质检问题中也有广泛的应用.教学中可引申生活实际等有趣的问题，让学生体会学以致用的乐趣.二、中心极限定理的教学设计

首先利用简单的引例，让学生自主探索，总结规律.例1：有一个总体X，它是取值于[2，8]的随机数，在等可能被取出的假设下，总体X的分布为均匀分布U（2，8）.学生自主观察直方图的特点，得出的规律是“中间高，两边低，左右基本对称”.比照正态分布的密度曲线：

上述直方图轮廓曲线，用如下概率函数表示关于u对称的钟形曲线最合适.将这一规律概括起来就是中心极限定理：

其具体形式体现出三个定理.（1）中心极限定理是用极限理论反映的一个重要定理，其优势体现在非正态分布或不知道分布类型时，为数理统计的学习奠定基础.（2）主要应用两方面：第一，求随机变量之和落在某区间的概率；第二，已知随机变量之和的概率，求.（3）解题中分析随机总体可分解为许多独立随机变量的和的形式甚为关键.例2：某保险公司有2500个人参加保险，每人每年付1200元保险费，在一年内一个人死亡的概率为0.002，死亡时其家属可向保险公司领得20万元，问保险公司亏本的概率.学生处理实际问题的难点就在于不知如何进行问题的转化.提示两点：第一，将问题用随机变量表示，每个人参保是随机的独立的，如何刻画？第二，保险公司所得的总收益如何表示，学生经整理后发现，所求总收益正好可以看成2500个独立同分布随机变量之和，n=2500足够大，故想到用中心极限定理将其近似为正态分布.求出变量和的期望和方差，利用正态分布查表求概率.为了加强对中心极限定理的理解和巩固，对学生提出如下思考：

2.列举贴近生活实例，让学生巩固练习，加以总结.3.学有余力拓展中心极限定理的应用领域.通过本节的学习，让学生自主发现规律，善于总结，容易接受，形成解决实际问题的统计思维，熟悉中心极限定理和正态分布相关理论很有必要.参考文献：

[1]茆诗松，程依明，濮晓龙.概率论与数理统计教程第二版[M].北京：高等教育出版社，2011.[2]黎玉芳.中心极限定理的教学方法探讨[J].科技教育创新，2010（24）：220-221.[3]孙碑.中心极限定理及其在若干实际问题中的应用[J].论谈教学，2012（6）：65-67.