第5章-大数定律与中心极限定理答案

第一篇：第5章-大数定律与中心极限定理答案

nnnXXniii1A)limPxx;B)

limPxx;

nn

21nnXXniii1i

1C)limPxx;D)limPxx;

nnn

2

其中x为标准正态分布函数.解由李雅普诺夫中心极限定理:

E(Xi)

,D(Xi)



2i1,2,,n,111

Sn22

2



nn11

XinXiXin

i1i1N(0,1)

Snn

故选(B)

4.设随机变量X与Y的数学期望分别为-2和2,方差分别为1和4,而相关系数为0.5,则根据切贝谢夫不等式估计PXY6（）.A)



1111

B)C)D)461216

解|EXY220

(Y,)XY DXYDXDY2covX,Y,covX

1420.5123.由切贝谢夫不等式得 PXYEXY6故选(C)

5.若随机变量XB1000,0.01, 则P4X16（）.A)0.925B)0.825C)0.9D)0.725 解|因为 EX10000.0110,DXnpq100.999.9



DXY31

.623612

由切贝谢夫不等式得

P4X16PX106

1PX1061

故选(D)

DX9.9

110.2750.725.3662

二、填空题（每空2分，共10分）

1.已知离散型随机变量X服从参数为3的泊松分布，则利用切贝谢夫不等式估计概率

PX35解因为XPm

所以EXDX

3由切贝谢夫不等式PXEX5



DX3

.522

52.已知随机变量X存在数学期望EX和方差DX，且数学期望EX10，EX109，利用



切贝谢夫不等式估计概率PX106解因为 EX10,DXEX



EX

1091009

由切贝谢夫不等式PX106



DX9

1.2636

43.已知随机变量X的方差为4，则由切贝谢夫不等式估计概率PXEX3解由切贝谢夫不等式PXEX3





4.9

4.若随机变量XBn,p,则当n充分大时,X近似服从正态分布N 解因为 EXnp,DXnp1p.三、计算或证明题题（每题10分，共80分）

1.如果随机变量X存在数学期望EX和方差DX，则对于任意常数0，都有切贝谢夫不等式：

PXEX

DX

2

（证明当X为连续型随机变量时的情况）

证明 设连续性随机变量X的概率密度函数为x,则

PXEX

XEX



xdx

XEX



XEX

2

xdx

DX



2







XEXxdx

2

.2.投掷一枚均匀硬币1000次，试利用切贝谢夫不等式估计出现正面次数在450次~550次之间的概率.解设随机变量X表示1000次试验中出现正面朝上的次数, 由于

XB1000,0.5,所以EX500,DX250;

由切贝谢夫不等式

P450X550PX500501

DX250

10.9.2

250050

3.已知连续型随机变量X服从区间1,3的均匀分布，试利用切贝谢夫不等式估计事件X4发生的概率.133(1)4;

1,DX解由于XU1,3, 所以EX2123

由切贝谢夫不等式

D(X)11

PX141210.9167.41216

4.对敌人的防御工事进行80次轰炸，每次轰炸命中目标炸弹数目的数学期望为2，方差为0.8，且各次轰炸相互独立，求在80次轰炸中有150颗~170颗炸弹命中目标的概率.解设随机变量X表示80次轰炸中炸弹命中目标的次数, Xi表示第i次轰炸命中目标的次数, 则EXi2，DXi0.8;由于X

X

i1

i

所以EX160，DX800.864;由中心极限定理得

P150X170

170160150160



88

1.251.2521.25120.894410.7888.5.袋装食糖用机器装袋，每袋食糖净重的数学期望为100克，方差为4克，一盒内装100袋，求一盒食糖

净重大于10,060克的概率.解 设每袋食糖的净重为Xii1,2,,100,则Xii1,2,,100服从独立同分布,且

E(Xi)100,D(Xi)4;设一盒食糖为X,则

XXi,E(X)10000,D(X)400,i1100

由中心极限定理得

PX10060 1PX

10060

11310.998650.00135.6.某人寿保险公司为某地区100,000人保险，规定投保人在年初向人寿保险公司交纳保险金30元，若投保人死亡，则人寿保险公司向家属一次性赔偿6,000元，由历史资料估计该地区投保人死亡率为0.0037，求人寿保险公司一年从投保人得到净收入不少于600,000元的概率.解设随机变量X表示一年内投保人中死亡人数, 则XBn,p,其中n100000,p0.0037;

EXnp370,DXnpq3700.9963368.31;由100000306000X600,000,得X400

由拉普拉斯中心极限定理,所求概率为



PX400

P

30

1.560.9406.19.1940

7.某车间有同型号机床200部，每部开动的概率为0.7，假定各机床开与关是独立的，开动时每部机床要消耗电能15个单位.问电厂最少要供应这个车间多少电能，才能以95%的概率，保证不致因供电不足而影响生产？

解设随机变量X表示200部机床中同时开动机床台数, 则

XB200,0.7,EXnp140,DX426.482

用K表示最少开动的机床台数,则

PXKPXK



K1400.95

6.5

查表1.650.95, 故

K140

1.65 6.5

由此得K151

这说明, 这个车间同时开动的机床数不大于151部的概率为0.95.所以电厂最少要供应这个车间151152265个单位电能,才能以95%的概率, 保证不致因供电不足而影响生产.8.设某妇产医院生男婴的概率为0.515,求新生的10000个婴儿中,女婴不少于男婴的概率? 解设X表示10000个婴儿中男婴的个数, 则XBn,p其中n10000,p0.515.由拉普拉斯中心极限定理,所求概率为



PX5000

P

313

10.998650.00135.附表：

00.50.6913;010.8413;01.250.8944;2.50.993790 01.50.9938;01.560.9406;01.650.95;030.99865.

第二篇：ch5大数定律和中心极限定理答案

一、选择题

0,事件A不发生

1.设Xi(i1,2,10000),且P(A)=0.8,X1,X2,,X10000相互独立,令

1,事件A发生

10000

Y=

X,则由中心极限定理知Y近似服从的分布是（D）

ii

1A.N(0,1)

C.N(1600,8000)B.N(8000,40)D.N(8000,1600)

2．设X1，X2，……，Xn是来自总体N（μ,σ2）的样本，对任意的ε>0，样本均值X所满足的切比雪夫不等式为（B）

Xn≥

n

C．PX≤1-

A．P

2n

X≥1-n

n

D．PXn≤



B．P

2

3.设随机变量X的E（X）=,D(X)=2，用切比雪夫不等式估计P(|XE(X)|3)（C）A.C.1 98 91912

1B.3D.1

4．设随机变量X服从参数为0.5的指数分布，用切比雪夫不等式估计P(|X-2|≥3)≤(C)A.C.1B.3

D.1

二、填空题

1．将一枚均匀硬币连掷100次，则利用中心极限定理可知，正面出现的次数大于60的概率

近似为___0.0228________.（附：Φ（2）=0.9772）

2．设随机变量序列X1，X2，…，Xn，…独立同分布，且E(Xi)=μ,D(Xi)=σ2>0,i=1,2,…, 则n

Xni

i1

x_对任意实数x，limP

nn





___________.3.设随机变量X的E(X)=,D(X)2,用切比雪夫不等式估计P(|XE(X)|32) ___8/9________。

4．设随机变量X～U（0，1），用切比雪夫不等式估计P（|X－_____1/4___________．

5．设随机变量X~B(100,0.8)，由中心极限定量可知，11

|≥）≤2

P74X86_0.8664______.(Φ(1.5)=0.9332)

0,6.设Xi=1,事件A不发生事件A发生(i=1,2,…,100)，且P(A)=0.8, X1，X2，…，X100相互独立，令Y=X

i1100i，则由中心极限定理知Y近似服从于正态分布，其方差为___16________。

7．设随机变量X ~ B（100，0.2），应用中心极限定理计算P{16X24}=___0.6826_______.（附：Φ（1）=0.8413）

8.设n为n次独立重复试验中事件A发生的次数，p是事件A在每次试验中发生的概率，则对任意的0,limP{|nnp|}=__1________.n

9．设随机变量X～B(100，0.5)，应用中心极限定理可算得P{40

10.设X1,X2,,Xn是独立同分布随机变量序列，具有相同的数学期望和方差E(Xi)=0，D(Xi)=1，则当n充分大的时候，随机变量Zn

_N(0,1)_______(标明参数).1Xi1ni的概率分布近似服从

第三篇：第五章、大数定律与中心极限定理

第五章、大数定律与中心极限定理

一、选择题：

1．若随机变量X的数学期望与方差分别为EX =1，DX = 0.1，根据切比雪夫不等式，一定有（）

A．P{1X1}0.9B．P{0x2}0.9

C．P{1X1}0.9D．P{0x2}0.9

2．设X1,X2,X9相互独立，EXi1,DXi1(i1,2,9)，根据切比雪夫不等式，1有（）

A．P{xi1}1B．P{xi1}12 9i1i129

C．P{2D． x9}1P{x9}19ii

2i1i199

3．若X1、X2、21000即都X1000为独立同分布的随机变量，且Xi~B(1,p)i

1、服从参数为p的0-1分布，则（）不正确

100011000

A．XiPB．Xi~B(1000、P)1000i1i

11000

C．P{aX

i1ib}(b)(a)

1000

D

．P{aXib}i1 1，根据切比雪夫不等式，164．设随机变量X的数学期望EX = 1，且满足P{X12}

X的方差必满足（）

11B．DX 16

41C．DXD．DX1 2A．DX

5．设随机变量X的数学期望EX = 1，方差DX = 1，且满足P{X1}1，根据切16

比雪夫不等式，则应满足（）

A．4B．4

C．

11D． 44

二、填空题：

1.若随机变量X的数学期望与方差分别为EX = 1，DX = 1，且 P{X1}

切比雪夫不等式，应满足。

2.若随机变量X的数学期望与方差均存在，且EX = 1，P{X11}

夫不等式，DX应满足。

3.设X1,X2,,X9相互独立，且EXi1,DXi1,i1、2、9，根据切比雪夫不等式，则0有P{1，根据41，根据切比雪4X

i19i9}。

4.设X1,X2,,X9相互独立，且EXi1,DXi1,i1、2、9，根据切比雪夫不等式，19

则0有PXi1} 9i

1三、计算题：

1．计算机进行加法计算时，把每个加数取为最接近它的整数来计算。设所有的取整误差是

相互独立的随机变量，并且都在[-0.5,0.5]上服从均匀分布，求：300个数相加时误差总和的绝对值小于10的概率。

（附：(1)0.8413,(2)0.9772,(3)0.99865,(4)0.99968）

2． 一颗螺丝钉的重量是一个随机变量,期望值是1两,标准差是0.1两.求一盒

(100个)同型号螺丝钉的重量超过10.2斤的概率.（附：(1)0.8413,(2)0.9772,(3)0.99865,(4)0.99968）

3．已知一本1000页的书中每页印刷错误的个数服从泊松分布P（0.1），求这本书的印刷错

误总数大于120的概率。

（附：(1)0.8413,(2)0.9772,(3)0.99865,(4)0.99968）

4．据以往经验，某种电器元件的寿命服从均值为100小时的指数分布，现随机地取25只，设他们的寿命是互相独立的，求这25只元件的寿命总和大于3000小时的概率。

（附：(1)0.8413,(2)0.9772,(3)0.99865,(4)0.99968）

第四篇：大数定律与中心极限定理的若干应用

大数定律与中心极限定理的若干应用

摘要：在概率论中，大数定律是比较重要的内容，他主要就是以严格的数学形式来表达概率中随机现象的性质，也是一定稳定性的表现。大数定律在数学的应用中比较重要，一般都是利用大数定律和中心极限定理一起来应用。本文根据在不同的条件下存在的大数定律和中心极限定理做了具体的分析，对几种比较常见的大数定律进行了介绍，结合他们条件的不同，分析了不同数学模型的特定，并在各个领域应列举它们的应用。这也是将理论具体化的一种表现形式，使得大数定律与中心极限定理在实际的生活中应用更加广泛，应用价值更深一层。关键词：大数定律；中心极限定理；应用；范围 1前言

大数定律是概率历史上第一个极限定理。由于随机变量序列向常数的收敛有多种不同的形式，按其收敛为依概率收敛，以概率 1 收敛或均方收敛，分别有弱大数定律、强大数定律和均方大数定律。常见的大数定律有伯努利大数定理、辛钦大数定律、重对数定理等等。中心极限定理是是概率论中讨论随机变量序列部分和的分布渐近于正态分布的一类定理。这组定理是数理统计学和误差分析的理论基础，指出了大量随机变量近似服从正态分布的条件。

概率理论是数理理论都是研究现实世界随机现象的一种统计科学，大数定律与中心极限极限定理都是数学重要的组成部分，在自然学科与经济发展中有着广泛的应用，大数定律与中心极限定理都是重要定理，也是概率论与数理统计的一个枢纽中心，大数定律主要阐明的是平均结果具有稳定性，证明了在样本的条件下，样本平均值与总体平均值是一样的，这也是算术平均值法则的基本理论，在现实的生活中，经常可以看到这样的数据模型。取一个物体的平均值，一般都是反复测量的结果，当时测量结果在不断增大时，算术平均值的偏差就会越来越小，也是1nni1的偏差也是越来越小。这种思想贯穿在整个的概率理论中，并且占有着重要的左右，在其他的数学领域中占有着重要的地位，中心极限定理与大数定律相比就更加详细，中心极限定理是在严格的数学形势下阐明的条件，无论总体是怎样分布，样本的平均值都是呈正态的形式分布，中心极限定理也是以正态分布作为广泛的理论基础应用。目前无论是在国内还是在国外，大数定律与中心极限定理已经被广泛的研究，尤其是在实际生活中的应用，银行业就是根据中心极限定理来发展，而大数定律更是应用在保险行业，很多研究者在这个领域都研究了具有一定价值的成果。推广大数定律与中心极限定理的应用问题是一个非常有研究价值的方向，通过这些问题来不断的推广，这样不仅仅能够加深大叔定理与中心极限定律的理解，并且很多问题也能够加以解决。2相关定义定理以及应用 2.1相关定义

定义：设X1,X2,,Xn,是一个随机变量序列，a是一个常数，若对于任意正数，有limPXna1，nP则称序列X1,X2,,Xn,依概率收敛于a.记为Xna.切比雪夫不等式

设随机变量具有有限的期望与方差，则对0，有

P(E())D()2或P(E())1D()2

证明：我们就连续性随机变量的情况来证明。设~p(x)，则有

(xE())2P(E())xE()p(x)dxxE()D()2p(x)dx

12(xE())p(x)dx22

该不等式表明：当D()很小时，P(E())也很小，即的取值偏离E()的可能性很小。这再次说明方差是描述取值分散程度的一个量。

切比雪夫不等式常用来求在随机变量分布未知，只知其期望和方差的情况下，事件{E}概率的下限估计；同时，在理论上切比雪夫不等式常作为其它定理证明的工具。

定理1（切比雪夫大数定律）

设{n}是相互独立的随机变量序列，每一随机变量都有有限的方差，且一致有界，即存在常数C，使D(i)ClimP{1nii1,2,，则对任意的0，有nni11niE(ni1)}0[即

ni11niE(pni11ni)(n)] 证明：由切比雪夫不等式知：0,有：

n0P{1nnii11nnE(i)}1i12D(1nnDi1ii)i1n22nCn22Cn20(n)

该定理表明：当n很大时，随机变量1,,n的算术平均值ni1nni1i接近于其数学期望E(ni11)，这种接近是在概率意义下的接近。通俗的说，在定理的条件下，n个相互独立的随机变量算术平均值，在n无限增加时将几乎变成一个常数。

推论：设1,,n是相互独立的随机变量，由相同的数学期望和方差E(i),D(i)2i1,2,，则0,有

limP{n1nni1i}0（即

1nini1以概率收敛于）

这个结论有很实际的意义：人们在进行精密测量时，为了减少随机误差，往往重复测量多次，测得若干实测值1,,n，然后用其平均值

1nini1来代替。

定理2（De Moivre-Laplace极限定理）(定理1的特殊情形)设n(n1,2,)是n重Bernoulli试验中成功的次数，已知每次试验成功的概率为p0p1，则对xR,有 limP{nnnpnpqx}12ext22dtx。

该定理也可改写为：ab，有limP{annnpnpqb}ba

1证明： 令i0第i次试验出现成功第i次试验不出现成功 则

{i}为独立同分布的随机变量序列,且Eip,Dip(1p)均存在

n显然：ni，此时ni1nnpnpq

该定理为上定理的一个特殊情形，故由上定理该定理得证。2.2几个大数定律的关系及适用场合

2.2.1伯努利定理是泊松定理的特例

泊松定理是指在一定的时间段内，平均若干次发生的时间，有的时候会多，有的时候会少，发生的次数是随机的时间，这也使泊松分配。P(k,T)(T)ke

若是Pk=p,则泊松大数定理也就是伯努利大数定理，伯努利大数定理也完全证明了时间在完全相同的条件下进行重复的试机实验，并且频率比较稳定，随着n的无限增大，n在试验中叶氏趋近于稳定，与A出现的频率的平均值比较接近。

2.2.2泊松大数定律是切比雪夫大数定律的特例

在泊松的大数定理的条件中，Dpiqn1，也能够满足切比雪夫大数定律的条件。

2.2.3切比雪夫大数定律是马尔科夫大数定律的特例

在切比雪夫大数定律中，DiC(i1,2,3,4.....),根据随机变量序列两两不相关的性质可以了解到，1nnD(i)i11nni1D(i)cn0，根据这样的式子也能够看出满足马尔可夫大数定

n律的条件。由此可见，伯努利大数定律与泊松大数定律都是马尔可夫大数定律的特例。伯努利大数定律也使辛钦大数定律的特别情况。在伯努利的大数定律中，由于随机变量时可以变化的，则n必然会是独立分布的，并且都会服从伯努利分布的基本情况：pi1p,pi0q，并且Eip，所以这样的公式必然会满足辛钦大数定律的条件。但是辛钦大数定律并不是泊松大数定律与切比雪夫大数定律的推广。2.2中心极限定理的基本关系

在实际问题中，常常需要考虑许多随机因素所产生总影响.例如：炮弹射击的落点与目标的偏差，就受着许多随机因素的影响.如瞄准时的误差，空气阻力所产生的误差，炮弹或炮身结构所引起的误差等等.对我们来说重要的是这些随机因素的总影响.中心极限定理，正是从理论上证明，对于大量的独立随机变量来说，只要每个随机变量在总和中所占比重很小，那么不论其中各个随机变量的分布函数是什么形状，也不论它们是已知还是未知，而它们的和的分布函数必然和正态分布函数很近似。这就是为什么实际中遇到的随机变量很多都服从正态分布的原因，也正因如此，正态分布在概率论和数理统计中占有极其重要的地位。中心极限定理也可以分为几种情况：由于无穷个随机变量之和可能趋于∞，故我们不研究n个随机变量之和，本身而考虑它的标准化的随机变量。

中心极限定理表明：在相当一般的条件下，当独立随机变量的个数增加时，其和的分布趋于正态分布。因此，只要和式中加项的个数充分大，就可以不必考虑和式中的随机变量服从什么分布，都可以用正态分布来近似，这在应用上是有效的和重要的。

nnZnk1XkE(Xk)k1n的分布函数的极限.D(Xk)k1列维一林德伯格中心极限定理：设随机变量相互独立,服从同一分布,且有n,n,则随机变量之和

n的标准化变量Yni1XiE(Xi)i1nXi1in的分布函数。

D(Xi)i1n将n个观测数据相加时，首先对小数部分按“四舍五入”舍去小数位后化为整数．试利用中心极限定理估计

(1)当n=1500时，舍入误差之和的绝对值大于15的概率；

(2)n满足何条件时，能以不小于0.90的概率使舍入误差之和的绝对值小于10．这就可以根

n据列维林德伯格中心极限定理来解决问题，当n充分大的时候，数据个数n应满足条件：|Sn|P{|Sn|10}Pn/120.90 ,即 2Φ(n/1210i1Xin近似地n~N(0,1)，10n/12)10.90 ,Φ(10n/12)0.95 ,10n/121.645 ,n443.5 ,当n<443时，才能够保证误差之后的绝对值小于10，概率不小于0.9。3定理的应用

3.1在生产生活中的应用 一生产线生产的产品成箱包装，每箱的重量是随机的,假设每箱的平均重50千克,标准差5千克.若用最大载重量为5吨的汽车承运,试利用中心极限定理说明每辆车最多可以装多少箱,才能保证不超载的概率大于0.977.解答：设n为第i箱的重量(), YnXi1i由列维-林德伯格中心极限定理,有，近似地~500050n所以n必须满足P{Yn5000}Φ0.977Φ(2)，N(50n,25n)，5n100010nn也就是最多可以装98箱.2， n98.0199，(供电问题)某车间有200台车床,在生产期间由于需要检修、调换刀具、变换位置及调换零件等常需停车.设开工率为0.6, 并设每台车床的工作是独立的，且在开工时需电力1千瓦.问应供应多少瓦电力就能以99.9%的概率保证该车间不会因供电不足而影响生产? 解：某一时刻开动的车床数，X~B(200, 0.6),要求最小的k,使P{0Xk}0.999.由D-L近似地定理

 P{0Xk}Φ(knpnpq)Φ(0npnpq,)X~N(np,npq)，P{0Xk}Φ(knpnpq)Φ(0npnpq)Φ(k12048)Φ(12048)Φ(k12048)0.999

所以若供电141.5千瓦，那么由于供电不足而影响生产的可能性不到0.001，相当于8小时内约有半分钟受影响，这一般是允许的。

某产品次品率p = 0.05,试估计在1000件产品中次品数的概率.次品数X~B(1000,0.05),E(X)np10000.0550，D(X)np(1p)500.9547.5，由棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理,有：P{40X60}Φ(605047.5)Φ(405047.5)2Φ(1.45)10.853.次品数：X~B(1000,0.05),E(X)np10000.0550,D(X)np(1p)500.9547.5，P{40X60}Φ(605047.5)Φ(405047.5)2Φ(1.45)10.853.若是使用切比雪夫的不等式来进行计算，P{40X60}P{X5010}147.51020.525.但是这样的计算并不完整，有点过于保守。

3.2在数学分析中的应用

在一次试验中事件A出现的概率为0.4，应至少进行多少次试验，才能使事件A出现的频率与概率之差在之间的概率不低于0.9 ？

解答：由中心极限定理知, Xn N(np, npq)，P(Xnnp0.1)P(Xnnpnpq0.1npq)

2Φ(0.1npq)10.9 Φ(0.1npq)0.95 0.1npq1.65 n66.设第i次射击得分为,则的分布律为

100E(Xi)9.15,D(Xi)1.227.由中心极限定理，Xi N(915, 122.7)

i1100 P{900i1Xi930}P{1511.08Xi100122.71511.08}2Φ(1.354)120.911510.823.高尔顿（Galton）钉板试验：

如下图中每一黑点表示钉在板上的一颗钉子，它们彼此的距离均相等，上一层的每一颗的水平位置恰好位于下一层的两颗正中间。从入口处放进一个直径略小于两

颗钉子之间的距离的小圆玻璃球，当小圆球向下降落过程中，碰到钉子后皆以1/2的概率向左或向右滚下，于是又碰到下一层钉子。如此继续下去，直到滚到底板的一个格子内为止。把许许多多同样大小的小球不断从入口处放下，只要球的数目相当大，它们在底板将堆成近似于正态 的密度函数图形（即：中间高，两头低，呈左右对称的古钟型），其中 为钉子的层数。

令 量（表示某一个小球在第 次碰了钉子后向左或向右落下这一随机现象相联系的随机变表示向右落下，表示向左落下），由题意，的分布列可设为下述形式：对

则有，对

令，其中 相互独立。则 表示这个小球第 次碰钉后的位置。试验表明近似地服从正态分布。

上述例子表明，需要研究相互独立随机变量和的极限分布是正态分布的问题，这是本章要介绍的中心极限定理刻画的主要内容。这个问题的解决，对概率论在自然科学和技术应用中一个最重要的手段奠定了理论基础，这一手段是把一个现象或过程看作是许多因素的独立影响下出现的，而每一因素对该现象或过程所发生的影响都很小。如果我们关心的是该现象或过程的研究，则只要考虑这些因素的总作用就行了。

3.3在信息论中的应用

设在某保险公司有1万个人参加投保,每人每年付120元保险费.在一年内一个人死亡的概率为0.006,死亡时其家属可向保险公司领得1万元,问:(1)该保险公司亏本的概率为多少?(2)该保险公司一年的利润不少于40,60,80万元的概率各是多少? 设一年内死亡的人数为X,则XB(10000, 0.006),由D-L中心极限定理,(1)P{10000X1200000}P{X120}

P{Xnpnpq120npnpq}1Φ(12060600.994)1Φ(7.77)0,通过计算可得到即该保险公司亏本的概率几乎为0.2)P{120000010000X400000}P{X80}Φ(8060600.994)Φ(2.589)0.995，P{120000010000X600000}P{X60}Φ(6060600.994)Φ(0)0.5, P{120000010000X800000}P{X40}P{X40}

Φ(4060600.994)1Φ(2.589)0.005.假设生产线组装每件成品的时间服从指数分布,统计资料表明每件成品的组装时间平均为10分钟.设各件产品的组装时间相互独立.(1)试求组装100件成品需要15到20小时的概率；(2)以95%的概率在16小时内最多可以组装多少件成品? 解答：设第i件组装的时间为Xi分钟,i=1,„,100.利用独立同分布中心极限定理.100E(Xi)10,D(Xi)10,i1,2,,100,P{9001002i1Xi1200}

P{90010010100102i1Xi10010100102120010010100102}

100P{9001001010010n2i1Xi10010100102120010010100102}

X0.95P{i1i10n96010n100n100n}

Φ(96010n100n通过表可查的)，96010n100n1.645，n81.18,故最多可组装81件成品。

Vk(k1,2,,20)20一加法器同时收到20个噪声电压，设它们是相互独立的随变量，且都

V在区间（0，10）上服从均匀分布。记

Vk1k，求P(V105)的近似值。

解：E(Vk)5,D(Vk)10012(k1,2,,20)，由定理1，得 P(V105P(V205(1012)20105205(1012)20)P(V100(1012)20V100(100.387)

1P(12)200.387)

1(0.387)

0.348

即有 P(V105)0.348

抽样检查产品质量时，如果发现次品多于10个，则拒绝接受这批产品，设某批产品的次品率为10％，问至少应抽取多少个产品检查才能保证拒绝接受该产品的概率达到0.9？

解 设 为至少应抽取的产品数，为其中的次品数

则

拉斯定理，有，，由德莫佛-拉普

当 充分大时，4结语，随着试验次数的增加，事件发生的频率逐渐稳定于某个常数，这一事实显示了可以用一个数来表征事件发生的可能性大小，这使人们认识到概率是客观存在的，进而由频率的三条性质的启发和抽象给出了概率的定义，而频率的稳定性是概率定义的客观基础。在实践中人们还认识到大量测量值的算术平均值也具有稳定性，而这种稳定性就是本节所要讨论的大数定律的客观背景，而这些理论正是概率论的理论基础。

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第五篇：第五章 大数定律及中心极限定理

第五章

大数定律及中心极限定理

概率统计是研究随机变量统计规律性的数学学科，而随机现象的规律只有在对大量随机现象的考察中才能显现出来。研究大量随机现象的统计规律，常常采用极限定理的形式去刻画，由此导致对极限定理进行研究。极限定理的内容非常广泛，本章中主要介绍大数定律与中心极限定理。

5.1 切比雪夫Chebyshev不等式

一个随机变量离差平方的数学期望就是它的方差，而方差又是用来描述随机变量取值的分散程度的。下面我们研究随机变量的离差与方差之间的关系式。

定理5－1（切比雪夫不等式）设随机变量X的期望E（X）及方差D（X）存在，则对任意小正数ε>0，有:

或：

［例5-1］设X是抛掷一枚骰子所出现的点数，若给定ε=2,2.5，实际计算P{|X-E（X）|≥ε}，并验证切比雪夫不等式成立。

解 X的分布律为

所以

当ε=2时，当ε=2.5时，可见，切比雪夫不等式成立。

[例5-2]设电站供电网有10 000盏灯，夜晚每一盏灯开灯的概率都是0.7，而假定所有电灯开或关是彼此独立的。试用切比雪夫不等式估计夜晚同时开着的灯数在6 800～7 200的概率。

解：设X表示在夜晚同时开着的电灯的数目，它服从参数n=10 000,p=0.7的二项分布。于是有

E（X）=np=10 000×0.7=7 000，D（X）=npq=10 000×0.7×0.3=2100，P{6 800

可见，虽然有10 000盏灯，但是只要有供应7 000盏灯的电力就能够以相当大的概率保证够用。

[例5-3补充] 用切比雪夫不等式估计

解： 的三倍的可能性极

可见，随机变量X取值与期望EX的差的绝对值大于其均方差小。

5.2 大数定律

在第一章中曾经提到过，事件发生的频率具有稳定性，即随着试验次数增多，事件发生的频率将逐渐稳定于一个确定的常数值附近。另外，人们在实践中还认识到大量测量值的算术平均值也具有稳定性，即平均结果的稳定性。大数定律以严格的数学形式表示证明了在一定的条件下，大量重复出现的随机现象呈现的统计规律性，即频率的稳定性与平均结果的稳定性。

5.2.1 贝努利大数定律

定理5-2 设m是n次独立重复试验中事件A发生的次数，p是事件A的概率，则对任意正数ε，有

贝努利大数定律说明，在大量试验同一事件A时，事件A的概率是A的频率的稳定值。

5.2.2 独立同分布随机变量序列的切比雪夫大数定律

先介绍独立同分布随机变量序列的概念。

称随机变量序列X1,X2,…Xn,…是相互独立的，若对任意的n>1,X1,X2,…Xn是相互独立的。此时，若所有的Xi又具有相同的分布，则称X1,X2,…Xn,…是独立同分布随机变量序列。

定理5-3 设X1,X2,…Xn,…是独立同分布随机变量序列E（Xi）=μ,D（Xi）=σ2（i=1,2…）均存在，则对于任意ε>0有

这一定理说明：经过算术平均后得到的随机变量在统计上具有一种稳定性，它的取值将比较紧密聚集在它的期望附近。这正是大数定律的含义。在概率论中，大数定律是随机现象的统计稳定性的深刻描述；同时，也是数理统计的重要理论基础。

5.3 中心极限定理

5.3.1独立同分布序列的中心极限定理

定理5-4 设X1,X2,…Xn,…是独立同分布的随机变量序列，且具有相同数学期望和方差E（Xi）=μ，D（Xi）=σ2（i=1,2,…）。记随机变量 的分布函数为Fn（x），则对于任意实数x，有

（不证）

其中φ（x）为标准正态分布函数。

由这一定理知道下列结论：

（1）当n充分大时，独立同分布的随机变量之和的分布近似于正态分布N2（nμ，nσ）。我们知道，n个独立同分布的正态随机变量之和服从正态分布。中心极限定理进一步告诉我们。

不论X1,X2,…Xn,…独立同服从什么分布，当n充分大时，其和Zn近似服从正态分布。

（2）考虑X1,X2,…Xn,…的平均值，有

它的标准化随机变量为，即为上述Yn。因此的分布函数即是上述的F（，nx）因而有

由此可见，当n充分大时，独立同分布随机变量的平均值 的分布近似于正态分布

[例5-3]对敌人的防御地段进行100次射击，每次射击时命中目标的炮弹数是一个随机变量，其数学期望为2，均方差为1.5，求在100次射击中有180颗到220颗炮弹命中目标的概率。解 设Xi为第i次射击时命中目标的炮弹数（i=1,2,…,100），则中命中目标的炮弹总数，而且X1，X2，…X100同分布且相互独立。

为100次射击

由定理5-4可知，随机变量近似服从标准正态分布，故有

[例5-4]某种电器元件的寿命服从均值为100（单位：小时）的指数分布。现随机抽出16只，设它们的寿命是相互独立的，求这16只元件的寿命的总和大于1 920小时的概率。

解 设第i只电器元件的寿命为Xi=（i=1,2,…16），E（Xi）=100，D（Xi）=1002=10 000，则是这16只元件的寿命的总和。

E（Y）=100×16=1 600，D（Y）= 160 000，则所求概率为：

5.3.2 棣莫弗（De Moivre）-拉普拉斯（Laplace）中心极限定理

下面介绍另一个中心极限定理，它是定理5-4的特殊情况。

定理5-5（棣莫弗－拉普拉斯中心极限定理）设随机变量Zn是n次独立重复试验中事件A发生的次数，p是事件A发生的概率，则对于任意实数x

其中q=1-p,φ（x）为标准正态分布函数。由棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理得到下列结论：

（1）在贝努利试验中，若事件A发生的概率为p。又设Zn为n次独立重复试验中事件A发生的频数，则当n充分大时，Zn近似服从正态分布N（np,npq）。

（2）在贝努利试验中，若事件中A发生的概率为p，发生的频率，则当n充分大时，近似服从正态分布

【例5-5】用中心极限定理得到求解5.1例5-2的概率。

解 设同时开着的灯数为X，则

X-B（1000，0.7），np=1000×0.7=7000，为n次独立重复试验中事件A

【例5-6】设某单位内部有1000台电话分机，每台分机有5%的时间使用外线通话，假定各个分机是否使用外线是相互独立的，该单位总机至少需要安装多少条外线，才能以95%以上的概率保证每台分机需要使用外线时不被占用？

解：把观察每一台分机是否使用外线作为一次试验，则各次试验相互独立，设X为1000台分机中同时使用外线的分机数，则

X～B（1000，0.05），np=1000×0.05=50，根据题意，设N为满足条件的最小正整数

由于φ（-7.255）≈0，故有

查标准正态分布表得φ（1.65）=0.9505，故有

由此

N≥61.37

即该单位总机至少需要62条外线，才能以95%以上的概率保证每台分机在使用外线时不被占用。

小结 本章考核要求

（一）知道切比雪夫不等式

或

并且会用切比雪夫不等式估计事件|X-EX|≥ε或|X-EX|<ε的概率。

（二）知道贝努利大数定律

其中n是试验次数，m是A发生次数，p是A的概率，它说明试验次数很多时，频率近似于概率。

（三）知道切比雪夫不等式大数定律

取值稳定在期望附近。

它说明在大量试验中，随机变量

（四）知道独立同分布中心极限定理

若

记Yn～Fn（x），则有

它说明当n很大时，独立同分布的随机变量之和近似服从正态N（nμ,nσ2）所以，无论n个独立同分布的X1,X2,…Xn服从何种分布，n很大时，X1+X2+…Xn却近似正态N（nμ,nσ2）.（五）知道棣莫弗—拉普拉斯中心极限定理

若Zn表示n次独立重复事件发生次数，即

Zn～B（n,p）,则有

即Zn近似正态N（np,np（1-p）2）。并会用中心极限定理计算简单应用问题。