第一篇:第5章大数定律与中心极限定理习题答案
5.1—5.2 大数定律与中心极限定理习题答案
1解:由切比雪夫不等式得:
P(|XE(X)|<ε)1D(X)
2=10.009
20.9.即20.09,0.3故min0.3
2解:由 EX=2,EY=2,则E(X+Y)=0,Cov(X,Y)= XYDXDY=0.512=1,D(XY)1 = 3612D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2 Cov(X,Y)=1+4+2(1)=3 由切比雪夫不等式得:P(|X+Y|6)
3解:设Xi表示第i个麦穗粒数,i=1,……100, 则X1,,X100相互独立且服从相同分布.E(Xi)20,D(Xi)15,i1,...,100.,E(2X)=2000 ,D(Xi
i1i1100100i)=22500.设X表示100个麦穗的麦粒总数,则由中心极限定理知
X=XiN(2000,1502)(近似服从)
i1100
故所求概率为:P(1800X2200)=P(|X-2000|200)=()()=2()120.908210.8164.4解:(1)由题意可知被盗的概率P=0.2,则 XB(100,0.2),其分布律为
kP(Xk)C1000.2k0.8100k,k0,1,.......100 434343
(2)E(X)np20,D(X)npq16,由中心极限定理知XN(20,4)(近似服从).所求概率为
P(14X30) (2.5)(1.5)=0.9938-1+0.9332=0.927.解:设X表示这1000粒种子的发芽粒数,则XB(1000,0.9)
从而E(X)np900,D(X)npq90.由中心极限定理知XN(900,90)(近似服从).故所求概率为2
P(|X0.9|0.02)P(|X900|20)1000
20)()2(2.108)1900..96
第二篇:ch5大数定律和中心极限定理答案
一、选择题
0,事件A不发生
1.设Xi(i1,2,10000),且P(A)=0.8,X1,X2,,X10000相互独立,令
1,事件A发生
10000
Y=
X,则由中心极限定理知Y近似服从的分布是(D)
ii
1A.N(0,1)
C.N(1600,8000)B.N(8000,40)D.N(8000,1600)
2.设X1,X2,……,Xn是来自总体N(μ,σ2)的样本,对任意的ε>0,样本均值X所满足的切比雪夫不等式为(B)
Xn≥
n
C.PX≤1-
A.P
2n
X≥1-n
n
D.PXn≤
B.P
2
3.设随机变量X的E(X)=,D(X)=2,用切比雪夫不等式估计P(|XE(X)|3)(C)A.C.1 98 91912
1B.3D.1
4.设随机变量X服从参数为0.5的指数分布,用切比雪夫不等式估计P(|X-2|≥3)≤(C)A.C.1B.3
D.1
二、填空题
1.将一枚均匀硬币连掷100次,则利用中心极限定理可知,正面出现的次数大于60的概率
近似为___0.0228________.(附:Φ(2)=0.9772)
2.设随机变量序列X1,X2,…,Xn,…独立同分布,且E(Xi)=μ,D(Xi)=σ2>0,i=1,2,…, 则n
Xni
i1
x_对任意实数x,limP
nn
___________.3.设随机变量X的E(X)=,D(X)2,用切比雪夫不等式估计P(|XE(X)|32) ___8/9________。
4.设随机变量X~U(0,1),用切比雪夫不等式估计P(|X-_____1/4___________.
5.设随机变量X~B(100,0.8),由中心极限定量可知,11
|≥)≤2
P74X86_0.8664______.(Φ(1.5)=0.9332)
0,6.设Xi=1,事件A不发生事件A发生(i=1,2,…,100),且P(A)=0.8, X1,X2,…,X100相互独立,令Y=X
i1100i,则由中心极限定理知Y近似服从于正态分布,其方差为___16________。
7.设随机变量X ~ B(100,0.2),应用中心极限定理计算P{16X24}=___0.6826_______.(附:Φ(1)=0.8413)
8.设n为n次独立重复试验中事件A发生的次数,p是事件A在每次试验中发生的概率,则对任意的0,limP{|nnp|}=__1________.n
9.设随机变量X~B(100,0.5),应用中心极限定理可算得P{40 10.设X1,X2,,Xn是独立同分布随机变量序列,具有相同的数学期望和方差E(Xi)=0,D(Xi)=1,则当n充分大的时候,随机变量Zn _N(0,1)_______(标明参数).1Xi1ni的概率分布近似服从 第 5 章 大数定律与中心极限定理 一、填空题: 2.设1,2,,n是n个相互独立同分布的随机变量,n E(i),D(i)8,(i1,2,,n)对于 i 1in,写出所满足的切彼雪夫不等式 P{||} D() 2 8n 2,并估计P{||4}1 12n n D() i1 D(i)n n 8n 3.设随机变量X1,X2,,X9相互独立且同分布, 而且有EXi1,9DXi1(i1,2,,9), 令X i1 Xi, 则对任意给定的0, 由切比雪夫不等式 直接可得PX91 9 解:切比雪夫不等式指出:如果随机变量X满足:E(X)与D(X)2都存在, 则对任意给定的0, 有 P{|X|} 22, 或者P{|X|}1 .由于随机变量X1,X2,,X9相互独立且同分布, 而且有EXi1,DXi1(i1,2,9), 所以 9 E(X)EXi i1 i E(X i19) 19,i19 9 D(X)DXi i1 D(X i1 i) 19.i1 p是事件A在每次试验中出现的概率,7、设n表示n次独立重复试验中事件A出现的次数,则由中心极限定理(D-L) P{an b}=P 41bnp np(1p)anpnp(1p) 12 e t dt 8.设随机变量n,服从二项分布B(n,p), 其中0p1,n1,2,, 那么, 对于任一实数x, 有limP{|nnp|x}n 由中心极限定理(D-L) limP{|nnp|x}limPn n limPn |np| lim[n ( limPn lim[2n 1]2(0)10 二.计算题: 3、某微机系统有120个终端, 每个终端有5%的时间在使用, 若各终端使用与否是相互独立的, 试求有不少于10个终端在使用的概率.解:某时刻所使用的终端数~b(120,0.05),np6,npq5.7 由棣莫弗-拉普拉斯定理知 106P{10}1P{10}11(1.67)0.0475.5.随机地掷六颗骰子,试利用切比雪夫不等式估计:六颗骰子出现的点数总和不小于9且 不超过33点的概率。 解:设表示六颗骰子出现的点数总和。i表示第i颗骰子出现的点数,6i = 1,2,…,6。1,2,…,6 相互独立,显然 i1 2i 43512 Ei 123456 2 72,Di 126 2 E21,D 应用切必雪夫不等式 p933p122112=pE12 1 D169 1 35338 0.9 答:六颗骰子出现的点数总和不小于9且不超过33点的概率不小于0.9。 6.设随机变量1,2,,n 相互独立,且均服从指数分布 1exx0 0为 使Pf(x) 0x0n 问: n的最小值应如何 ? n k 1k 1 19 5,10 解: Ek 1 En n 1,Dk 1 n n 11 ,Dknk11 kn2k1 Dk k1 1n 由 切 比 雪 夫 不 等 式得 1 Pn 11Pk10 k1n n 1 Eknk1 n 1 k 10k1 n 2951, 2 1001 10 即1 100n 95100,从而n 2000,故n的最小值是2000.7.抽样检查产品质量时,如果发现次品多于10个,则拒绝接受这批产品,设某批产品次品率为10%,问至少应抽取多少个产品检查才能保证拒绝接受该产品的概率达到0.9? 解: 设n为至少应取的产品数,X是其中的次品数,则X~b(n,0.1),Xn0.1n0.10.9 10n0.1n0.10.9 P{X10}0.9,而P{}0.9 所以P{ Xn0.1n0.10.9 100.1n0.09n 0.1 由中心极限定理知,当n充分大时,有P{ X0.1nn0.10.9100.1n0.3n 100.1n0.09n (100.1n0.3n)0.1,由(,查表得)0.1 100.1n0.3n 1.28 n147 8.(1)一个复杂系统由100个相互独立的元件组成,在系统运行期间每个元件损坏的概率为 0.1,又知为使系统正常运行,至少必需要有85个元件工作,求系统的可靠程度(即正常运行的概率);(2)上述系统假设有n个相互独立的元件组成,而且又要求至少有80%的元件工作才能使系统正常运行,问n至少为多大时才能保证系统的可靠程度为0.95? 解:(1)设X表示正常工作的元件数,则X~b(100,0.9),8590 9X1000.90.10.9 10090 P{X85}P{100X85}P{ 3X903 P{} 由中心极限定理可知 P{X85}((10 103)( 53)(10)(1())33 55)()1()0.95 333 (2)设X表示正常工作的元件数,则X~b(n,0.9) 0.1n0.3n n3 P(X0.8n)P(0.8nXn)P{ X0.9nn0.90.1 0.2n0.3n P{ n3 X0.9n0.3n n}P{ X0.9n0.3n 1( n3)(n3)0.95 n3 n25 9.一部件包括10部分,每部分的长度是一随机变量,相互独立且具有同一分布,其数学期望为2 mm,均方差为0.05 mm,规定总长度为20 0.1 mm 时产品合格,试求产品合格的概率。已 知 :(0.6)= 0.7257;(0.63)= 0.7357。 解:设每个部分的长度为Xi(i = 1, 2, …, 10)E(Xi)= 2 = , D(Xi)= =(0.05) 2,依题意,得合格品的概率为 P0.1 0.63 X i1 i 1 200.1P0.63(Xi102)0.63 3.180.05i1 0.63 12 t e12 dt2 t 0.63 12 t e dt 2 0.63 e dt120.735710.4714 13.保险公司新增一个保险品种:每被保险人年交纳保费为100元, 每被保险人出事赔付金额为2万元.根据统计, 这类被保险人年出事概率为0.000 5.这个新保险品种预计需投入100万元的广告宣传费用.在忽略其他费用的情况下, 一年内至少需要多少人参保, 才能使保险公司在该获利超过100万元的概率大于95%? ((x) x t dt,(1.29)0.9015,(1.65)0.9505,(3.09)0.9990,(3.72)0.9999,(4.27)0.99999) 解:设参保人数为N人(X是出事人数,XB(N,0.0005), 则 1,0,0 i1,2,,N,i~ 第i人不出事,q第i人出事,1 ,Eip,Dipq.p i N P(20000i1000000100N1000000)0.95.i1 (P(20000X1000000100N1000000)0.95.) N P(iN/20020000)0.95.(P{XN/20020000}0.95) i1 P N iNp 100N2000000 Np 0.95. 10N0 由 2000000 Np 1.65,N20000200Npp0.0005,q 0.9995,0.9N200002 9N210310 81N(36103300pq)N410 0,N45068.03N493827160.49 0,63296.41,N54182.22.14、证明题 :设随机变量X的密度函数为 xnx e, f(x)n! 0, x0,x0.求证 P(0X2(n1)) nn1 .0 证:由分部积分或递推公式,F(n) x n n! dx1 x E(X) xf(x)dx 0 x n1 n! edx(n1) 0 x 0 x n1 (n1)! n2 x edxn1,x E(X) 0 x n2 n! edx(n1)(n2) x x (n2)! edx(n1)(n2),D(X)E(X)[E(X)](n1)(n2)(n1)n1.由切比雪夫不等式得 P(0X2(n1))P(|X(n1)|n1) P(|XE(X)|n1) 1 D(X)(n1) 1 n1(n1) nn1. nnnXXniii1A)limPxx;B) limPxx; nn 21nnXXniii1i 1C)limPxx;D)limPxx; nnn 2 其中x为标准正态分布函数.解由李雅普诺夫中心极限定理: E(Xi) ,D(Xi) 2i1,2,,n,111 Sn22 2 nn11 XinXiXin i1i1N(0,1) Snn 故选(B) 4.设随机变量X与Y的数学期望分别为-2和2,方差分别为1和4,而相关系数为0.5,则根据切贝谢夫不等式估计PXY6().A) 1111 B)C)D)461216 解|EXY220 (Y,)XY DXYDXDY2covX,Y,covX 1420.5123.由切贝谢夫不等式得 PXYEXY6故选(C) 5.若随机变量XB1000,0.01, 则P4X16().A)0.925B)0.825C)0.9D)0.725 解|因为 EX10000.0110,DXnpq100.999.9 DXY31 .623612 由切贝谢夫不等式得 P4X16PX106 1PX1061 故选(D) DX9.9 110.2750.725.3662 二、填空题(每空2分,共10分) 1.已知离散型随机变量X服从参数为3的泊松分布,则利用切贝谢夫不等式估计概率 PX35解因为XPm 所以EXDX 3由切贝谢夫不等式PXEX5 DX3 .522 52.已知随机变量X存在数学期望EX和方差DX,且数学期望EX10,EX109,利用 切贝谢夫不等式估计概率PX106解因为 EX10,DXEX EX 1091009 由切贝谢夫不等式PX106 DX9 1.2636 43.已知随机变量X的方差为4,则由切贝谢夫不等式估计概率PXEX3解由切贝谢夫不等式PXEX3 4.9 4.若随机变量XBn,p,则当n充分大时,X近似服从正态分布N 解因为 EXnp,DXnp1p.三、计算或证明题题(每题10分,共80分) 1.如果随机变量X存在数学期望EX和方差DX,则对于任意常数0,都有切贝谢夫不等式: PXEX DX 2 (证明当X为连续型随机变量时的情况) 证明 设连续性随机变量X的概率密度函数为x,则 PXEX XEX xdx XEX XEX 2 xdx DX 2 XEXxdx 2 .2.投掷一枚均匀硬币1000次,试利用切贝谢夫不等式估计出现正面次数在450次~550次之间的概率.解设随机变量X表示1000次试验中出现正面朝上的次数, 由于 XB1000,0.5,所以EX500,DX250; 由切贝谢夫不等式 P450X550PX500501 DX250 10.9.2 250050 3.已知连续型随机变量X服从区间1,3的均匀分布,试利用切贝谢夫不等式估计事件X4发生的概率.133(1)4; 1,DX解由于XU1,3, 所以EX2123 由切贝谢夫不等式 D(X)11 PX141210.9167.41216 4.对敌人的防御工事进行80次轰炸,每次轰炸命中目标炸弹数目的数学期望为2,方差为0.8,且各次轰炸相互独立,求在80次轰炸中有150颗~170颗炸弹命中目标的概率.解设随机变量X表示80次轰炸中炸弹命中目标的次数, Xi表示第i次轰炸命中目标的次数, 则EXi2,DXi0.8;由于X X i1 i 所以EX160,DX800.864;由中心极限定理得 P150X170 170160150160 88 1.251.2521.25120.894410.7888.5.袋装食糖用机器装袋,每袋食糖净重的数学期望为100克,方差为4克,一盒内装100袋,求一盒食糖 净重大于10,060克的概率.解 设每袋食糖的净重为Xii1,2,,100,则Xii1,2,,100服从独立同分布,且 E(Xi)100,D(Xi)4;设一盒食糖为X,则 XXi,E(X)10000,D(X)400,i1100 由中心极限定理得 PX10060 1PX 10060 11310.998650.00135.6.某人寿保险公司为某地区100,000人保险,规定投保人在年初向人寿保险公司交纳保险金30元,若投保人死亡,则人寿保险公司向家属一次性赔偿6,000元,由历史资料估计该地区投保人死亡率为0.0037,求人寿保险公司一年从投保人得到净收入不少于600,000元的概率.解设随机变量X表示一年内投保人中死亡人数, 则XBn,p,其中n100000,p0.0037; EXnp370,DXnpq3700.9963368.31;由100000306000X600,000,得X400 由拉普拉斯中心极限定理,所求概率为 PX400 P 30 1.560.9406.19.1940 7.某车间有同型号机床200部,每部开动的概率为0.7,假定各机床开与关是独立的,开动时每部机床要消耗电能15个单位.问电厂最少要供应这个车间多少电能,才能以95%的概率,保证不致因供电不足而影响生产? 解设随机变量X表示200部机床中同时开动机床台数, 则 XB200,0.7,EXnp140,DX426.482 用K表示最少开动的机床台数,则 PXKPXK K1400.95 6.5 查表1.650.95, 故 K140 1.65 6.5 由此得K151 这说明, 这个车间同时开动的机床数不大于151部的概率为0.95.所以电厂最少要供应这个车间151152265个单位电能,才能以95%的概率, 保证不致因供电不足而影响生产.8.设某妇产医院生男婴的概率为0.515,求新生的10000个婴儿中,女婴不少于男婴的概率? 解设X表示10000个婴儿中男婴的个数, 则XBn,p其中n10000,p0.515.由拉普拉斯中心极限定理,所求概率为 PX5000 P 313 10.998650.00135.附表: 00.50.6913;010.8413;01.250.8944;2.50.993790 01.50.9938;01.560.9406;01.650.95;030.99865. 第五章、大数定律与中心极限定理 一、选择题: 1.若随机变量X的数学期望与方差分别为EX =1,DX = 0.1,根据切比雪夫不等式,一定有() A.P{1X1}0.9B.P{0x2}0.9 C.P{1X1}0.9D.P{0x2}0.9 2.设X1,X2,X9相互独立,EXi1,DXi1(i1,2,9),根据切比雪夫不等式,1有() A.P{xi1}1B.P{xi1}12 9i1i129 C.P{2D. x9}1P{x9}19ii 2i1i199 3.若X1、X2、21000即都X1000为独立同分布的随机变量,且Xi~B(1,p)i 1、服从参数为p的0-1分布,则()不正确 100011000 A.XiPB.Xi~B(1000、P)1000i1i 11000 C.P{aX i1ib}(b)(a) 1000 D .P{aXib}i1 1,根据切比雪夫不等式,164.设随机变量X的数学期望EX = 1,且满足P{X12} X的方差必满足() 11B.DX 16 41C.DXD.DX1 2A.DX 5.设随机变量X的数学期望EX = 1,方差DX = 1,且满足P{X1}1,根据切16 比雪夫不等式,则应满足() A.4B.4 C. 11D. 44 二、填空题: 1.若随机变量X的数学期望与方差分别为EX = 1,DX = 1,且 P{X1} 切比雪夫不等式,应满足。 2.若随机变量X的数学期望与方差均存在,且EX = 1,P{X11} 夫不等式,DX应满足。 3.设X1,X2,,X9相互独立,且EXi1,DXi1,i1、2、9,根据切比雪夫不等式,则0有P{1,根据41,根据切比雪4X i19i9}。 4.设X1,X2,,X9相互独立,且EXi1,DXi1,i1、2、9,根据切比雪夫不等式,19 则0有PXi1} 9i 1三、计算题: 1.计算机进行加法计算时,把每个加数取为最接近它的整数来计算。设所有的取整误差是 相互独立的随机变量,并且都在[-0.5,0.5]上服从均匀分布,求:300个数相加时误差总和的绝对值小于10的概率。 (附:(1)0.8413,(2)0.9772,(3)0.99865,(4)0.99968) 2. 一颗螺丝钉的重量是一个随机变量,期望值是1两,标准差是0.1两.求一盒 (100个)同型号螺丝钉的重量超过10.2斤的概率.(附:(1)0.8413,(2)0.9772,(3)0.99865,(4)0.99968) 3.已知一本1000页的书中每页印刷错误的个数服从泊松分布P(0.1),求这本书的印刷错 误总数大于120的概率。 (附:(1)0.8413,(2)0.9772,(3)0.99865,(4)0.99968) 4.据以往经验,某种电器元件的寿命服从均值为100小时的指数分布,现随机地取25只,设他们的寿命是互相独立的,求这25只元件的寿命总和大于3000小时的概率。 (附:(1)0.8413,(2)0.9772,(3)0.99865,(4)0.99968)第三篇:第5章大数定律及中心极限定理习题及答案0518
第四篇:第5章-大数定律与中心极限定理答案
第五篇:第五章、大数定律与中心极限定理