第5章大数定律与中心极限定理习题答案

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第一篇:第5章大数定律与中心极限定理习题答案

5.1—5.2 大数定律与中心极限定理习题答案

1解:由切比雪夫不等式得:

P(|XE(X)|<ε)1D(X)

2=10.009

20.9.即20.09,0.3故min0.3

2解:由 EX=2,EY=2,则E(X+Y)=0,Cov(X,Y)= XYDXDY=0.512=1,D(XY)1 = 3612D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2 Cov(X,Y)=1+4+2(1)=3 由切比雪夫不等式得:P(|X+Y|6)

3解:设Xi表示第i个麦穗粒数,i=1,……100, 则X1,,X100相互独立且服从相同分布.E(Xi)20,D(Xi)15,i1,...,100.,E(2X)=2000 ,D(Xi

i1i1100100i)=22500.设X表示100个麦穗的麦粒总数,则由中心极限定理知

X=XiN(2000,1502)(近似服从)

i1100

故所求概率为:P(1800X2200)=P(|X-2000|200)=()()=2()120.908210.8164.4解:(1)由题意可知被盗的概率P=0.2,则 XB(100,0.2),其分布律为

kP(Xk)C1000.2k0.8100k,k0,1,.......100 434343

(2)E(X)np20,D(X)npq16,由中心极限定理知XN(20,4)(近似服从).所求概率为

P(14X30) (2.5)(1.5)=0.9938-1+0.9332=0.927.解:设X表示这1000粒种子的发芽粒数,则XB(1000,0.9)

从而E(X)np900,D(X)npq90.由中心极限定理知XN(900,90)(近似服从).故所求概率为2

P(|X0.9|0.02)P(|X900|20)1000

20)()2(2.108)1900..96

第二篇:ch5大数定律和中心极限定理答案

一、选择题

0,事件A不发生

1.设Xi(i1,2,10000),且P(A)=0.8,X1,X2,,X10000相互独立,令

1,事件A发生

10000

Y=

X,则由中心极限定理知Y近似服从的分布是(D)

ii

1A.N(0,1)

C.N(1600,8000)B.N(8000,40)D.N(8000,1600)

2.设X1,X2,……,Xn是来自总体N(μ,σ2)的样本,对任意的ε>0,样本均值X所满足的切比雪夫不等式为(B)

Xn≥

n

C.PX≤1-

A.P

2n

X≥1-n

n

D.PXn≤

B.P

2

3.设随机变量X的E(X)=,D(X)=2,用切比雪夫不等式估计P(|XE(X)|3)(C)A.C.1 98 91912

1B.3D.1

4.设随机变量X服从参数为0.5的指数分布,用切比雪夫不等式估计P(|X-2|≥3)≤(C)A.C.1B.3

D.1

二、填空题

1.将一枚均匀硬币连掷100次,则利用中心极限定理可知,正面出现的次数大于60的概率

近似为___0.0228________.(附:Φ(2)=0.9772)

2.设随机变量序列X1,X2,…,Xn,…独立同分布,且E(Xi)=μ,D(Xi)=σ2>0,i=1,2,…, 则n

Xni

i1

x_对任意实数x,limP

nn



___________.3.设随机变量X的E(X)=,D(X)2,用切比雪夫不等式估计P(|XE(X)|32) ___8/9________。

4.设随机变量X~U(0,1),用切比雪夫不等式估计P(|X-_____1/4___________.

5.设随机变量X~B(100,0.8),由中心极限定量可知,11

|≥)≤2

P74X86_0.8664______.(Φ(1.5)=0.9332)

0,6.设Xi=1,事件A不发生事件A发生(i=1,2,…,100),且P(A)=0.8, X1,X2,…,X100相互独立,令Y=X

i1100i,则由中心极限定理知Y近似服从于正态分布,其方差为___16________。

7.设随机变量X ~ B(100,0.2),应用中心极限定理计算P{16X24}=___0.6826_______.(附:Φ(1)=0.8413)

8.设n为n次独立重复试验中事件A发生的次数,p是事件A在每次试验中发生的概率,则对任意的0,limP{|nnp|}=__1________.n

9.设随机变量X~B(100,0.5),应用中心极限定理可算得P{40

10.设X1,X2,,Xn是独立同分布随机变量序列,具有相同的数学期望和方差E(Xi)=0,D(Xi)=1,则当n充分大的时候,随机变量Zn

_N(0,1)_______(标明参数).1Xi1ni的概率分布近似服从

第三篇:第5章大数定律及中心极限定理习题及答案0518

第 5 章 大数定律与中心极限定理

一、填空题:

2.设1,2,,n是n个相互独立同分布的随机变量,n

E(i),D(i)8,(i1,2,,n)对于

i

1in,写出所满足的切彼雪夫不等式

P{||}

D()

2

8n

2,并估计P{||4}1

12n

n

D()

i1

D(i)n

n

8n

3.设随机变量X1,X2,,X9相互独立且同分布, 而且有EXi1,9DXi1(i1,2,,9), 令X

i1

Xi, 则对任意给定的0, 由切比雪夫不等式

直接可得PX91

9

解:切比雪夫不等式指出:如果随机变量X满足:E(X)与D(X)2都存在, 则对任意给定的0, 有

P{|X|}



22, 或者P{|X|}1



.由于随机变量X1,X2,,X9相互独立且同分布, 而且有EXi1,DXi1(i1,2,9), 所以

9

E(X)EXi

i1

i

E(X

i19)

19,i19

9

D(X)DXi

i1

D(X

i1

i)

19.i1

p是事件A在每次试验中出现的概率,7、设n表示n次独立重复试验中事件A出现的次数,则由中心极限定理(D-L)

P{an

b}=P

41bnp

np(1p)anpnp(1p)

12

e

t

dt

8.设随机变量n,服从二项分布B(n,p), 其中0p1,n1,2,, 那么, 对于任一实数x, 有limP{|nnp|x}n

由中心极限定理(D-L)

limP{|nnp|x}limPn

n

limPn

|np|

lim[n

(

limPn

lim[2n

1]2(0)10

二.计算题:

3、某微机系统有120个终端, 每个终端有5%的时间在使用, 若各终端使用与否是相互独立的, 试求有不少于10个终端在使用的概率.解:某时刻所使用的终端数~b(120,0.05),np6,npq5.7 由棣莫弗-拉普拉斯定理知

106P{10}1P{10}11(1.67)0.0475.5.随机地掷六颗骰子,试利用切比雪夫不等式估计:六颗骰子出现的点数总和不小于9且

不超过33点的概率。

解:设表示六颗骰子出现的点数总和。i表示第i颗骰子出现的点数,6i = 1,2,…,6。1,2,…,6 相互独立,显然



i1

2i

43512

Ei

123456

2

72,Di

126

2

E21,D

应用切必雪夫不等式

p933p122112=pE12

1

D169

1

35338

0.9

答:六颗骰子出现的点数总和不小于9且不超过33点的概率不小于0.9。

6.设随机变量1,2,,n 相互独立,且均服从指数分布

1exx0

0为 使Pf(x)

0x0n

问: n的最小值应如何 ?

n

k

1k

1

19

5,10

解: Ek

1

En

n

1,Dk

1

n

n

11

,Dknk11

kn2k1

Dk

k1

1n

由 切 比 雪 夫 不 等 式得

1

Pn

11Pk10

k1n

n

1

Eknk1

n

1

k

10k1

n

2951, 2

1001

10

即1

100n

95100,从而n  2000,故n的最小值是2000.7.抽样检查产品质量时,如果发现次品多于10个,则拒绝接受这批产品,设某批产品次品率为10%,问至少应抽取多少个产品检查才能保证拒绝接受该产品的概率达到0.9? 解: 设n为至少应取的产品数,X是其中的次品数,则X~b(n,0.1),Xn0.1n0.10.9

10n0.1n0.10.9

P{X10}0.9,而P{}0.9

所以P{

Xn0.1n0.10.9

100.1n0.09n

0.1

由中心极限定理知,当n充分大时,有P{

X0.1nn0.10.9100.1n0.3n

100.1n0.09n

(100.1n0.3n)0.1,由(,查表得)0.1

100.1n0.3n

1.28 n147

8.(1)一个复杂系统由100个相互独立的元件组成,在系统运行期间每个元件损坏的概率为

0.1,又知为使系统正常运行,至少必需要有85个元件工作,求系统的可靠程度(即正常运行的概率);(2)上述系统假设有n个相互独立的元件组成,而且又要求至少有80%的元件工作才能使系统正常运行,问n至少为多大时才能保证系统的可靠程度为0.95? 解:(1)设X表示正常工作的元件数,则X~b(100,0.9),8590

9X1000.90.10.9

10090

P{X85}P{100X85}P{

3X903



P{}

由中心极限定理可知

P{X85}((10

103)(

53)(10)(1())33

55)()1()0.95 333

(2)设X表示正常工作的元件数,则X~b(n,0.9)

0.1n0.3n

n3

P(X0.8n)P(0.8nXn)P{

X0.9nn0.90.1

0.2n0.3n

P{

n3

X0.9n0.3n

n}P{

X0.9n0.3n

1(

n3)(n3)0.95

n3

n25

9.一部件包括10部分,每部分的长度是一随机变量,相互独立且具有同一分布,其数学期望为2 mm,均方差为0.05 mm,规定总长度为20  0.1 mm 时产品合格,试求产品合格的概率。已 知 :(0.6)= 0.7257;(0.63)= 0.7357。

解:设每个部分的长度为Xi(i = 1, 2, …, 10)E(Xi)= 2 = , D(Xi)=  =(0.05)

2,依题意,得合格品的概率为

P0.1

0.63

X

i1

i

1

200.1P0.63(Xi102)0.63

3.180.05i1

0.63



12

t

e12

dt2

t

0.63

12

t

e

dt

2

0.63

e

dt120.735710.4714

13.保险公司新增一个保险品种:每被保险人年交纳保费为100元, 每被保险人出事赔付金额为2万元.根据统计, 这类被保险人年出事概率为0.000 5.这个新保险品种预计需投入100万元的广告宣传费用.在忽略其他费用的情况下, 一年内至少需要多少人参保, 才能使保险公司在该获利超过100万元的概率大于95%?

((x)

x

t

dt,(1.29)0.9015,(1.65)0.9505,(3.09)0.9990,(3.72)0.9999,(4.27)0.99999)

解:设参保人数为N人(X是出事人数,XB(N,0.0005), 则

1,0,0

i1,2,,N,i~

第i人不出事,q第i人出事,1

,Eip,Dipq.p

i

N

P(20000i1000000100N1000000)0.95.i1

(P(20000X1000000100N1000000)0.95.)

N

P(iN/20020000)0.95.(P{XN/20020000}0.95)

i1

P

N

iNp

100N2000000

Np

0.95.

10N0

2000000

Np

1.65,N20000200Npp0.0005,q

0.9995,0.9N200002

9N210310

81N(36103300pq)N410

0,N45068.03N493827160.49

0,63296.41,N54182.22.14、证明题 :设随机变量X的密度函数为

xnx

e,

f(x)n!

0,

x0,x0.求证

P(0X2(n1))

nn1

.0

证:由分部积分或递推公式,F(n)

x

n

n!

dx1

x

E(X)



xf(x)dx

0

x

n1

n!

edx(n1)

0

x

0

x

n1

(n1)!

n2

x

edxn1,x

E(X)

0

x

n2

n!

edx(n1)(n2)

x

x

(n2)!

edx(n1)(n2),D(X)E(X)[E(X)](n1)(n2)(n1)n1.由切比雪夫不等式得

P(0X2(n1))P(|X(n1)|n1)

P(|XE(X)|n1)

1

D(X)(n1)

1

n1(n1)

nn1.

第四篇:第5章-大数定律与中心极限定理答案

nnnXXniii1A)limPxx;B)

limPxx;

nn

21nnXXniii1i

1C)limPxx;D)limPxx;

nnn

2

其中x为标准正态分布函数.解由李雅普诺夫中心极限定理:

E(Xi)

,D(Xi)

2i1,2,,n,111

Sn22

2



nn11

XinXiXin

i1i1N(0,1)

Snn

故选(B)

4.设随机变量X与Y的数学期望分别为-2和2,方差分别为1和4,而相关系数为0.5,则根据切贝谢夫不等式估计PXY6().A)



1111

B)C)D)461216

解|EXY220

(Y,)XY DXYDXDY2covX,Y,covX

1420.5123.由切贝谢夫不等式得 PXYEXY6故选(C)

5.若随机变量XB1000,0.01, 则P4X16().A)0.925B)0.825C)0.9D)0.725 解|因为 EX10000.0110,DXnpq100.999.9



DXY31

.623612

由切贝谢夫不等式得

P4X16PX106

1PX1061

故选(D)

DX9.9

110.2750.725.3662

二、填空题(每空2分,共10分)

1.已知离散型随机变量X服从参数为3的泊松分布,则利用切贝谢夫不等式估计概率

PX35解因为XPm

所以EXDX

3由切贝谢夫不等式PXEX5



DX3

.522

52.已知随机变量X存在数学期望EX和方差DX,且数学期望EX10,EX109,利用



切贝谢夫不等式估计概率PX106解因为 EX10,DXEX



EX

1091009

由切贝谢夫不等式PX106



DX9

1.2636

43.已知随机变量X的方差为4,则由切贝谢夫不等式估计概率PXEX3解由切贝谢夫不等式PXEX3





4.9

4.若随机变量XBn,p,则当n充分大时,X近似服从正态分布N 解因为 EXnp,DXnp1p.三、计算或证明题题(每题10分,共80分)

1.如果随机变量X存在数学期望EX和方差DX,则对于任意常数0,都有切贝谢夫不等式:

PXEX

DX

2

(证明当X为连续型随机变量时的情况)

证明 设连续性随机变量X的概率密度函数为x,则

PXEX

XEX

xdx

XEX

XEX

2

xdx

DX

2





XEXxdx

2

.2.投掷一枚均匀硬币1000次,试利用切贝谢夫不等式估计出现正面次数在450次~550次之间的概率.解设随机变量X表示1000次试验中出现正面朝上的次数, 由于

XB1000,0.5,所以EX500,DX250;

由切贝谢夫不等式

P450X550PX500501

DX250

10.9.2

250050

3.已知连续型随机变量X服从区间1,3的均匀分布,试利用切贝谢夫不等式估计事件X4发生的概率.133(1)4;

1,DX解由于XU1,3, 所以EX2123

由切贝谢夫不等式

D(X)11

PX141210.9167.41216

4.对敌人的防御工事进行80次轰炸,每次轰炸命中目标炸弹数目的数学期望为2,方差为0.8,且各次轰炸相互独立,求在80次轰炸中有150颗~170颗炸弹命中目标的概率.解设随机变量X表示80次轰炸中炸弹命中目标的次数, Xi表示第i次轰炸命中目标的次数, 则EXi2,DXi0.8;由于X

X

i1

i

所以EX160,DX800.864;由中心极限定理得

P150X170

170160150160



88

1.251.2521.25120.894410.7888.5.袋装食糖用机器装袋,每袋食糖净重的数学期望为100克,方差为4克,一盒内装100袋,求一盒食糖

净重大于10,060克的概率.解 设每袋食糖的净重为Xii1,2,,100,则Xii1,2,,100服从独立同分布,且

E(Xi)100,D(Xi)4;设一盒食糖为X,则

XXi,E(X)10000,D(X)400,i1100

由中心极限定理得

PX10060 1PX

10060

11310.998650.00135.6.某人寿保险公司为某地区100,000人保险,规定投保人在年初向人寿保险公司交纳保险金30元,若投保人死亡,则人寿保险公司向家属一次性赔偿6,000元,由历史资料估计该地区投保人死亡率为0.0037,求人寿保险公司一年从投保人得到净收入不少于600,000元的概率.解设随机变量X表示一年内投保人中死亡人数, 则XBn,p,其中n100000,p0.0037;

EXnp370,DXnpq3700.9963368.31;由100000306000X600,000,得X400

由拉普拉斯中心极限定理,所求概率为



PX400

P

30

1.560.9406.19.1940

7.某车间有同型号机床200部,每部开动的概率为0.7,假定各机床开与关是独立的,开动时每部机床要消耗电能15个单位.问电厂最少要供应这个车间多少电能,才能以95%的概率,保证不致因供电不足而影响生产?

解设随机变量X表示200部机床中同时开动机床台数, 则

XB200,0.7,EXnp140,DX426.482

用K表示最少开动的机床台数,则

PXKPXK



K1400.95

6.5

查表1.650.95, 故

K140

1.65 6.5

由此得K151

这说明, 这个车间同时开动的机床数不大于151部的概率为0.95.所以电厂最少要供应这个车间151152265个单位电能,才能以95%的概率, 保证不致因供电不足而影响生产.8.设某妇产医院生男婴的概率为0.515,求新生的10000个婴儿中,女婴不少于男婴的概率? 解设X表示10000个婴儿中男婴的个数, 则XBn,p其中n10000,p0.515.由拉普拉斯中心极限定理,所求概率为



PX5000

P

313

10.998650.00135.附表:

00.50.6913;010.8413;01.250.8944;2.50.993790 01.50.9938;01.560.9406;01.650.95;030.99865.

第五篇:第五章、大数定律与中心极限定理

第五章、大数定律与中心极限定理

一、选择题:

1.若随机变量X的数学期望与方差分别为EX =1,DX = 0.1,根据切比雪夫不等式,一定有()

A.P{1X1}0.9B.P{0x2}0.9

C.P{1X1}0.9D.P{0x2}0.9

2.设X1,X2,X9相互独立,EXi1,DXi1(i1,2,9),根据切比雪夫不等式,1有()

A.P{xi1}1B.P{xi1}12 9i1i129

C.P{2D. x9}1P{x9}19ii

2i1i199

3.若X1、X2、21000即都X1000为独立同分布的随机变量,且Xi~B(1,p)i

1、服从参数为p的0-1分布,则()不正确

100011000

A.XiPB.Xi~B(1000、P)1000i1i

11000

C.P{aX

i1ib}(b)(a)

1000

D

.P{aXib}i1 1,根据切比雪夫不等式,164.设随机变量X的数学期望EX = 1,且满足P{X12}

X的方差必满足()

11B.DX 16

41C.DXD.DX1 2A.DX

5.设随机变量X的数学期望EX = 1,方差DX = 1,且满足P{X1}1,根据切16

比雪夫不等式,则应满足()

A.4B.4

C.

11D. 44

二、填空题:

1.若随机变量X的数学期望与方差分别为EX = 1,DX = 1,且 P{X1}

切比雪夫不等式,应满足。

2.若随机变量X的数学期望与方差均存在,且EX = 1,P{X11}

夫不等式,DX应满足。

3.设X1,X2,,X9相互独立,且EXi1,DXi1,i1、2、9,根据切比雪夫不等式,则0有P{1,根据41,根据切比雪4X

i19i9}。

4.设X1,X2,,X9相互独立,且EXi1,DXi1,i1、2、9,根据切比雪夫不等式,19

则0有PXi1} 9i

1三、计算题:

1.计算机进行加法计算时,把每个加数取为最接近它的整数来计算。设所有的取整误差是

相互独立的随机变量,并且都在[-0.5,0.5]上服从均匀分布,求:300个数相加时误差总和的绝对值小于10的概率。

(附:(1)0.8413,(2)0.9772,(3)0.99865,(4)0.99968)

2. 一颗螺丝钉的重量是一个随机变量,期望值是1两,标准差是0.1两.求一盒

(100个)同型号螺丝钉的重量超过10.2斤的概率.(附:(1)0.8413,(2)0.9772,(3)0.99865,(4)0.99968)

3.已知一本1000页的书中每页印刷错误的个数服从泊松分布P(0.1),求这本书的印刷错

误总数大于120的概率。

(附:(1)0.8413,(2)0.9772,(3)0.99865,(4)0.99968)

4.据以往经验,某种电器元件的寿命服从均值为100小时的指数分布,现随机地取25只,设他们的寿命是互相独立的,求这25只元件的寿命总和大于3000小时的概率。

(附:(1)0.8413,(2)0.9772,(3)0.99865,(4)0.99968)

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