概率论与数理统计答案 第四章 大数定律与中心极限定理

第一篇：概率论与数理统计答案 第四章 大数定律与中心极限定理

第四章 大数定律与中心极限定理

4.1 设D(x)为退化分布：

1x0 D(x)0x0讨论下列分布函数列的极限是否仍是分布函数？

11(1){D(xn)};(2){D(x)};(3){D(x0},其中n1,2,

nn解：（1）（2）不是；（3）是。4.2 设分布函数Fn(x)如下定义：

0xnFn(x)2n1xnnxn

xn问F(x)limFn(x)是分布函数吗？ n解：不是。4.3设分布函数列{Fn(x)}弱收敛于分布函数F(x)，且

F(x)为连续函数，则{Fn(x)}在(,)上一致收敛于F(x)。

证：对任意的0，取M充分大，使有

1F(x),xM;F(x),xM对上述取定的M，因为F(x)在[M,M]上一致连续，故可取它的k分点：

x1Mx2xk1xkM，使有

F(xi1)F(xi),1ik，再令x0,xk1，则有

N时有 F(xi1)F(xi),0ik1（1）

这时存在N，使得当n|Fn(xi)F(xi)|,0ik1（2）

成立，对任意的x(,)，必存在某个i(0ik)，使得x(xi,xi1)，时有 由（2）知当nNFn(x)Fn(xi1)F(xi1)（3）

Fn(x)Fn(xi)F(xi)由（1），（3），（4）可得

（4）

Fn(x)F(x)F(xi1)F(x)F(xi1)F(xi)2，Fn(x)F(x)F(xi)F(x)F(xi)F(xi1)2即有Fn(x)F(x)2成立，结论得证。

n同时依概率收敛于随机变量与，证明这时必有P()1。

0有n，故

24.5 设随机变量序列证：对任意的0PPnPn0,n0

22即对任意的0有P0成立，于是有

11PPP0

kk1kk1从而P()1成立，结论得证。

4.6 设随机变量序列n，n分别依概率收敛于随机变量与，证明：

PP。；（1）nn（2）nn证：（1）因为nnnn故

220P(nn)PnPn0,n

22P成立。即nn2（2）先证明这时必有。对任给的0,2nP0取

M，当

足够大

M11，使有P成立，对取定的2M时有PM，存在N

nNn1Pn成立.这时有

MPnMPn2M

n2Mn1PP{(|n||2|M)(|n|1)}

P(|2|M1)P(|n|1)2从而有

P(|n22|)P(|n||n|)P{(|n||n|)(|n|M)}P{(|n||n|)(|n|M)}P(|n|由,的任意性知2nM)P(|n|M)32nP2，同理可证2，由前述（1）有

2nPP2nn(nn)()222

故nPn，结论成立。

22n4.7 设随机变量序列nPa，a0是一个常数，且n0，证明

1nP1a。

证：不妨设a0对任意的0a，当na时有naa2a(na)a2a，nana2因而。于是有 aaan11 0Pna nananaPPa nnana naPa2aPna0,n。

结论成立。

4.9 证明随机变量序列n依概率收敛于随机变量的充要条件为：

En0,n

1n证：充分性，令f(x)x1'，x0，则f(x)0,x0，故f(x)是x(x0)的21x(1x)单调上升函数，因而nn1||1，于是有

nnPnP1n1 nE0,n

1n1对任意的0成立，充分性得证。

P0，令A:n，因为n，故存在充分大的N必要性，对任给的得当n使N时有P(A)，于是有

nnn)IA EEIAE(11n1nn P(A)2，由的任意性知En0,n，结论为真。

1na，bnb，证明annbn也按4.10 设随机变量n按分布收敛于随机变量，又数列an分布收敛于ab。

0时为显然，不妨设a0（a0时的修改为显然），证：先证明an按分布收敛于a。a若a，，an，n的分布函数分别记作Fax，F，Fan与Fn，则Fax=F，a当x是Fax的连续点时，是F的连续点，于是有

axxlimFan(x)limFnlimFFa(x)nnana成立，结论为真。由4.12知n(an及4.11知nana)0，再由4.6(1)知n(ana)bnb，于是由前述结论

PPbnan(ana)nbn按分布收敛于ab，结论得证。

4.11设随机变量序列{n}按分布收敛于随机变量，随机变量序列{n}依概率收敛于常数a，证明nn按分布收敛于a。

证：记,n的分布函数分别为F(x),Fn(x)，则连续点，则对任给的a的分布函数为F(xa)，设x是F(xa)的时有

0，存在0，使当0（1）|F(xa)F(xa)|由于F(x)在(xa,xa)只能有有限个间断点，可取

012，使得xa1,xa2都是F()的连续点，这时存在N1，当nN1时有

|F(xa1)Fn(xa1)|（2）|F(xa2)Fn(xa2)|（3）

对取定的1，存在N2，当nN2时有

P(|na|1)于是当n，（2），（4）式有 max(N1,N2)时，由（1）

（4）

P(nna)xa)P{(nnaxa)(|na|1)}P{(nnaxa)(|na|1)}P(nxa1)P(|na|1)F(xa)3又因为

(5)P(nxa2)P{[nn(na)x2](|na|2)}P{(nxa2)(|na|2)}于是由（1），（3），（4）式有

P(nnaxa)P{[nn(na)x2](|na|2)}P(nxa2)P(|na|2F(xa)3|P(nnaxa)F(xa)|3（6）

由（5），（6）两式可得

由的任意性即知nn按分布收敛于a，结论得证。

0。

P4.12设随机变量序列{n}按分布收敛于，随机变量序列{n}依概率收敛于0，证明nn证：记,n的分布函数分别为F(x),Fn(x)，对任给的0，取a0,b0足够大，使a,b是F(x)的连续点且

1F(b),F(a)因为Fn(x)F(x)，故存在N1，当nW

N1时有

1Fn(b)2,Fn(a)2令MPmax(a,b)，因为n0，故存在N2，当nN2时有

P(|n|M)

而

P(|nn|)P{(|nn|)[(anb)(|n|P{(|nn|)[(anb)(|n|其中I1M)]}

M)]}I1I20，当nmax(N1,N2)时有

P{(|nn|)(anb)}P{(anb)}P{(na)(nb)}Fn(a)[1Fn(b)]4因而P(|nnP

|)I25，由的任意性知nn0，结论为真。

4.13 设随机变量n服从柯西分布，其密度函数为

pn(x)证明nn 22(1nx)0,n。P证：对任意的0，有

nn1P(|n|)dxn(1t2)dt1,n (1n2x2)故n0,n。P4.14 设{n}为一列独立同分布随机变量，其密度函数为

1p(x)0其中0x其它P

0为常数，令nmax(1,2,,n)，证明n。

证：对任意的n，0n为显然，这时有

nnxP(nx)P(ix)i1i110xdx()n,0x

P(nx)0,x0;P(nx)1,x

对任意的0()，有

P(|n|)P(n)(故nn)0,n P成立，结论得证。

4.15 设{n}为一列独立同分布随机变量，其密度函数为

e(xa)p(x)0令nxa xamin(1,2,,n)，证明na。

P证：设i的分布函数为F(x)，有

1e(xa)F(x)0这时有

nxa xaP(nx)P(i)[1F(x)]nen(xa),xa

i1对任意的0，有 P(|na|)P(na)en0,n

故na成立，结论得证。P4.17设{n}为一列独立同分布随机变量，都服从(0,1)上的均匀分布，若nP(k)k1n1n，证明nc(c为常数），并求出c。

证：这时{lnn}也是独立同分布随机变量序列，且

Enlnxdx1

0P1nx由辛钦大数定律知{lnn}服从大数定理，即有lni1，令f(x)e，则f(x)是直线上

ni11的连续函数，由4.8题知

(i)ei1n1n1nlnini1e1c

P结论成立。

4.18设{n}为一列独立同分布随机变量，每个随机变量的期望为nP2kka。

n(n1)k1n2证：已知Ena，记Dn，令nkkn(n1)k1a，且方差存在，证明

2，则

n2Enkaan(n1)k1Dn对任给的4n2(n1)2k22k1n4n12

0，由契贝晓夫不等式有

142P(|na|)2Dn20,n

n11故na，结论得证。

2P1n2P24.19设{n}为一列独立同分布随机变量，且Dn存在，数学期望为零，证明k。

nk1证：这时{n}仍独立同分布，且En22Dn2，由辛钦大数定律知结论成立。4.21 设随机变量序列{n}按分布收敛于随机变量，又随机变量序列{n}依概率收敛于常数a(a0),n0，则{n}按分布收敛于na。

证：由4.7题知1nn111PP于是由4.12题有n(而0，)0，anaa11nnnnnaa按分布收敛于（见a4.10题的证明），因而由4.11题知

按分布收敛于，结论成立。a4.22设{分布。2n}为独立同N(0,1)分布的随机变量序列，证明nn1k1n2k的分布函数弱收敛于N(0,1)1n2P证：这时{}也为独立同分布随机变量序列，且E1，由辛钦大数定律知i又n11，ni12n2n服从N(0,1)分布，当然弱收敛于N(0,1)分布，由4.21题即知n按分布收敛于N(0,1)分布，结论得证。

1n4.23 如果随机变量序列{n}，当n时有2Dk0，证明{n}服从大数定律（马尔

nk1柯夫大数定律）

证：由契贝晓夫不等式即得。4.26 在贝努里试验中，事件

A出现的概率为p，令

n证明{n}服从大数定律。

1,若在第n次及第n1次实验中A出现

0，其它证：{n}为同分布随机变量序列，且EnEn2p2，因而Dnp2(1p2)1，又当|ij|2时，i与j独立，由4.24知{n}服从大数定律，结论得证。

4.28设{n}为一列独立同分布随机变量，方差存在，又

an1n为绝对收敛级数，令nnii1，则{ann}服从大数定律。证：不妨设En否则令nEn，并讨论{}即可。记E0。'n'n2n2，又c|an|。

n1因为aa(iiii1i1k1nnik)k(ai)，故有

k1iknnnnn1122D(aii)2E{k(ai)]2n2nni1k1ikc22(ai)0,n nk1iknn2由4.23知{ann}服从大数定律，结论得证。4.30设{n}为一列独立同分布随机变量，共同分布为

2k1P(n2)k,k1,2,

k2试问{n}是否服从大数定律？

答：因为En存在，由辛钦大数定律知{n}服从大数定律。4.31设{n}为一列独立同分布随机变量，共同分布为

P(nk)c,k2,3,

k2log2k其中c(11，问{n}是否服从大数定律？)22k2klogk答：因为En存在，由辛钦大数定律知{n}服从大数定律。

4.32 如果要估计抛掷一枚图钉时尖头朝上的概率，为了有95%以上的把握保证所观察到的频率与概率差小于

p的p10，问至少应该做多少次试验？

解：令

n上1第n次试验时图钉的尖头朝 其它0据题意选取试验次数n应满足P(|i1ninp|p)0.95，因为n比较大，由中心极限定理有 10P(|i1ninp|12ep)P(|10x22(i1np)|npq1np)10q

1np10q1np10qdx0.95故应取

1q1np2，即n400，但图钉底部重，尖头轻，由直观判断有p，因而

2p10qq1，故可取n400。p4.33 一本书共有一百万个印刷符号，排版时每个符号被排错的概率为0.0001，校对时每个排版错误被改正的概率为0.9，求在校对后错误不多于15个的概率。解：令

i对后仍错误1第i个印刷符号被排错且校 其它0因为排版与校对是两个独立的工序，因而

pP(i1)0.00010.1105,P(i0)q1p

{i}是独立同分布随机变量序列，Eip，令nii1n，其中n106，由中心极限定理有

bx22P(n15)P(nnpnpq15npnpqb)12edx

其中b5101.58，查N(0,1)分布表即可得P(n15)0.94，即在校对后错误不多于

15个的概率。

4.34 在一家保险公司里有10000个人参加保险，每人每年付12元保险费，在一年里一个人死亡的概率为0。006，死亡时家属可向保险公司领得1000元，问：（1）保险公司亏本的概率多大？

（2）保险公司一年的利润不少于40000元，60000元，80000元的概率各为多大？ 解：保险公司一年的总收入为120000元，这时（1）若一年中死亡人数120，则公司亏本；（2）若一年中死亡人数80，则利润中死亡人数40000元；

若一年中死亡人数60，则利润中死亡人数60000元； 若一年中死亡人数40，则利润中死亡人数80000元；

令

i1第i个人在一年内死亡

0第i个人在一年内活着则P(i1)0.006p，记ni,n10000i1n已足够大，于是由中心极限定理可得欲求事件的概率为（1）

P(n120)1P(同理可求得（2）nnpnpq120npnpqb)112bex22dx（其中0b60)

7.723P(n80)0.995(对应的b2.59)

P(n60)0.5(对应的b0)P(n40)0.005(对应的b2.59)

4.35 有一批种子，其中良种占多少？ 解：令

16，从中任取6000粒，问能以0.99的概率保证其中良种的比例与

16相差

第i粒为良种1 i0第i粒不是良种n11则P(i1)，记p,ni66i1，其中n6000，据题意即要求使满足

P(|nn1n|)0.99。令q1p,b，因为n很大，由中心极限定理有 6npqnp1P(||)P(bnb)n6npq由N(0,1)分布表知当bn12bbex22dx0.99

2.60时即能满足上述不等式，于是知bnpq1.25104，即能以n0.99的概率保证其中良种的比例与

16相差不超过1.2510。

44.36 若某产品的不合格率为0.005，任取10000件，问不合格品不多于70件的概率等于多少？ 解：令

1第i件为不合格品i第i件为合格品0则

pP(i1)0.005，记q1p,nii1n，其中n10000，记b70npnpq，由中心极限定理有

P(n70)P(nnpnpqb)12bex22dx0.998

即不合格品不多于70件的概率约等于0.998。

4.37 某螺丝钉厂的不合格品率为0.01，问一盒中应装多少只螺丝钉才能使其中含有100只合格品的概率不小于0.95？ 解：令

i第i只是合格品10第i只是不合格品

则pP(i1)0.99，记q1p,b100npnpq,nii1n，其中n尚待确定，它应满足P(n100)0.05，由中心极限定理有

P(n100)P(查N(0,1)分布表可取bnnpnpqb)12bex22dx0.05

103只螺丝钉才能使其中含有1.65，由此求得n103，即在一盒中应装100只合格品的概率不小于0.95。

4.39 用特征函数的方法证明“二项分布收敛于普哇松分布”的普哇松定理。证：设{in}1in独立同二项分布，即

P(in1)pn,P(in0)qn1pn,1in

ni的特征函数为(qnpne)，记nin,n的特征函数记作n(t)，因为npniti1n，故pn11o(),qn1o()，于是有 nnnnn(t)(qnpneit)n(1nnniteito(1))n

11(eit1)(eit[1(e1)o()]nne(e而e(eit1)it1)1),n是参数为的普哇松分布的特征函数，由特征函数的逆极限定理即知定理成立，证毕。

4.40 设随机变量服从---分布，其分布密度为

1xxep(x)()0证：当x0x0(0,0)

时，的分布函数弱收敛于N(0,1)分布。

证：的特征函数为(t)(1it)，易知

)的特征函数为

g(t)e而

it(1iteitln(1it)

1t21it2t3ln(1)o()

23)itit因而有

t21it3t3t2itln(1)o(),

232it故limg(t)et22，所以相应的分布函数弱收敛于N(0,1)分布，命题得证。

4.41设{n}为一列独立同分布随机变量，且n服从(n,n)上的均匀分布，证明对{n}成立中心极限定理。

x2n2dx证：易知En0,DnEn2n32nn，于是

k21BDkn(n1)(2n1)

18k1k132nnnn32故Bn3，对任意的0，存在N，使当nN时有

n因而Bnn，从而当nN，1，3|x|Bnx2dFk(x)0，若kn，由此知

1lim2nBnk1n|x|Bnx2dFk(x)0

即林德贝尔格条件满足，所以对{n}成立中心极限定理，结论得证。4.42 设{n},{n}皆为独立同分布随机变量序列，且

{n}与{n}独立，其中

11nEn0,Dn1;P(n1),n1,2,，证明：snii的分布函数弱收敛于正2ni1态分布N(0,1)。

证：这时{nn}仍是独立同分布随机变量序列，易知有

E(nn)0,D(nn)E(nn)2En21

由林德贝尔格---勒维中心极限定理知：sn得证。

4.45 利用中心极限定理证明：

1的分布函数弱收敛于正态分布N(0,1)，结论niii1nnnkn1e,n 2k0k!证：设{n}是独立同分布随机变量序列，共同分布为n1的Poisson分布，故

EnDn1,BDkn，由林德贝尔格---勒维中心极限定理知 2nk1n(E)kkn1P(kn)Pk10Bn2k1由Poisson分布的可加性知

0et22dt1,n 2k1nk服从参数为n的Poisson分布，因而

nnnnknP(kn)e，但e0(n)，所以

n!k1k0k!nn1nnnknnnn1eP(n)e,n kk!n!2k1k0成立，结论得证。

第二篇：概率与数理统计第5章大数定律及中心极限定理习题及答案

第 5 章 大数定律与中心极限定理

一、填空题：

1.设随机变量{ EMBED Equation.3 |E()，方差，则由切比雪夫不等式有.2.设是n个相互独立同分布的随机变量，对于，写出所满足的切彼雪夫不等式，并估计.3.设随机变量相互独立且同分布, 而且有, , 令, 则对任意给定的, 由切比雪夫不等式直接可得.解：切比雪夫不等式指出：如果随机变量满足：与都存在, 则对任意给定的, 有 , 或者

由于随机变量相互独立且同分布, 而且有

所以

4.设随机变量X满足：, 则由切比雪夫不等式, 有

.解：切比雪夫不等式为：设随机变量X满足, 则对任意的, 有由此得

5、设随机变量，则.6、设为相互独立的随机变量序列，且服从参数为的泊松分布，则.7、设表示n次独立重复试验中事件A出现的次数，是事件A在每次试验中出现的概率，则.8.设随机变量, 服从二项分布, 其中, 那么, 对于任

一实数x, 有 0.9.设为随机变量序列,为常数, 则依概率收敛于是指 1 ,或 0。

10.设供电站电网有100盏电灯, 夜晚每盏灯开灯的概率皆为0.8.假设每盏灯开关是相

互独立的, 若随机变量X为100盏灯中开着的灯数, 则由切比雪夫不等式估计, X落

在75至85之间的概率不小于

.解：, 于是

二．计算题：

1、在每次试验中，事件A发生的概率为0.5，利用切比雪夫不等式估计，在1000次独立试验中，事件A发生的次数在450至550次之间的概率.解：设表示1000次独立试验中事件A发生的次数，则

2、一通信系统拥有50台相互独立起作用的交换机.在系统运行期间, 每台交换机能清晰接受信号的概率为0.90.系统正常工作时, 要求能清晰接受信号的交换机至少45台.求该通信系统能正常工作的概率.解：

设X表示系统运行期间能清晰接受信号的交换机台数, 则

由此 P(通信系统能正常工作)

3、某微机系统有120个终端, 每个终端有5%的时间在使用, 若各终端使用与否是相互独立的, 试求有不少于10个终端在使用的概率.解：某时刻所使用的终端数7 由棣莫弗－拉普拉斯定理知

4、某校共有4900个学生, 已知每天晚上每个学生到阅览室去学习的概率为0.1, 问阅览室

要准备多少个座位, 才能以99%的概率保证每个去阅览室的学生都有座位.解：设去阅览室学习的人数为, 要准备k个座位.查分布表可得

要准备539个座位,才能以99%的概率保证每个去阅览室学习的学生都有座位.5．随机地掷六颗骰子，试利用切比雪夫不等式估计：六颗骰子出现的点数总和不小于9且

不超过33点的概率。

解：设 表 示 六 颗 骰 子 出 现 的 点 数 总 和。

i，表 示 第 i 颗 骰 子 出 现 的 点 数，i = 1，2，„，6 1，2，„，6 相 互 独 立，显 然

6.设随机变量 相互独立，且均服从指数分布

为 使，问： 的最小值应如何 ？

解:

由 切 比 雪 夫 不 等 式 得

即 , 从 而 n  2000，故 n 的 最 小 值 是 2000

7．抽样检查产品质量时，如果发现次品多于10个，则拒绝接受这批产品，设某批产品次品率为10%，问至少应抽取多少个产品检查才能保证拒绝接受该产品的概率达到0.9? 解： 设n为至少应取的产品数，是其中的次品数，则，而 所以

由中心极限定理知，当n充分大时，有，由

查表得

8．(1)一个复杂系统由100个相互独立的元件组成，在系统运行期间每个元件损坏的概率为0.1，又知为使系统正常运行，至少必需要有85个元件工作，求系统的可靠程度(即正常运行的概率)；(2)上述系统假设有n个相互独立的元件组成，而且又要求至少有80%的元件工作才能使系统正常运行，问n至少为多大时才能保证系统的可靠程度为0.95? 解：(1)设表示正常工作的元件数，则，由中心极限定理可知

(2)设表示正常工作的元件数，则

9．一部件包括10部分，每部分的长度是一随机变量，相互独立且具有同一分布，其数学期望为2 mm，均方差为0.05 mm，规定总长度为20  0.1 mm 时产品合格，试求产品合格的概率。已 知 ：(0.6)= 0.7257；(0.63)= 0.7357。

解：设 每 个 部 分 的 长 度 为 Xi(i = 1, 2, „, 10)E(Xi)= 2 = , D(Xi)=  =(0.05)

,依题意，得合格品的概率为

10．计算机在进行加法计算时，把每个加数取为最接近它的整数来计算，设所有取整误差是相 互独立的随机变量，并且都在区间[0.5，0.5 ]上服从均匀分布，求1200个数相加时误 差总和的绝对值小于10的概率。已知：(1)=0.8413；(2)=0.9772。

解：设 1，2，n 表示取整误差, 因它们在 [0.5，0.5 ] 上服从均匀分布，故 有

根 据 同 分 布 的 中 心 要 极 限 定 理，得

=(1)(1)= 2(1)1 = 2  0.84131 = 0.6826

11．将一枚硬币连掷100次，试用隶莫佛--拉普拉斯定理计算出现正面的次数大于60的概 率。已知 ：(1)= 0.8413；(2)= 0.9772 ； 当 x > 4 ,(x)=1。

解：设  为 掷 100次中出现正面的次数，它服从二项分布B(100，)

这 里

由 隶 莫 佛--拉 普 拉 斯 定 理，得

查 N(0，1)分 布 函 数 表，得 P{ 60 <   100 } = 10.977 = 0.023..有甲、乙两种味道和颜色都极为相似的名酒各4杯.如果从中挑4杯, 能将甲种酒全部

挑出来, 算是成功一次.(1)某人随机地去猜, 问他成功一次的概率是多少？

(2)某人声称他通过品尝能区分两种酒.他连续试验10次, 成功3次.试推断他是猜对的, 还是他确有区分的能力(各次试验是相互独立的).解：(1)设A={试验成功一次}, 则有

(2)设X：试验10次成功的次数, 则 由于

因此随机事件是一个小概率事件, 根据“小概率事件在一次试验中是不大可能发生的”的原理, 随机事件是不大可能发生的, 但它却发生了, 因此我们要以断定此人确有区分酒的能力.13.保险公司新增一个保险品种：每被保险人年交纳保费为100元, 每被保险人出事赔付金

额为2万元.根据统计, 这类被保险人年出事概率为0.000 5.这个新保险品种预计需

投入100万元的广告宣传费用.在忽略其他费用的情况下, 一年内至少需要多少人参

保, 才能使保险公司在该获利超过100万元的概率大于95%？

解：设参保人数为N人, 则

由

14、证明题 :设随机变量X的密度函数为

求证： 证：

由切比雪夫不等式得

第三篇：第5章-大数定律与中心极限定理答案

nnnXXniii1A)limPxx;B)

limPxx;

nn

21nnXXniii1i

1C)limPxx;D)limPxx;

nnn

2

其中x为标准正态分布函数.解由李雅普诺夫中心极限定理:

E(Xi)

,D(Xi)



2i1,2,,n,111

Sn22

2



nn11

XinXiXin

i1i1N(0,1)

Snn

故选(B)

4.设随机变量X与Y的数学期望分别为-2和2,方差分别为1和4,而相关系数为0.5,则根据切贝谢夫不等式估计PXY6（）.A)



1111

B)C)D)461216

解|EXY220

(Y,)XY DXYDXDY2covX,Y,covX

1420.5123.由切贝谢夫不等式得 PXYEXY6故选(C)

5.若随机变量XB1000,0.01, 则P4X16（）.A)0.925B)0.825C)0.9D)0.725 解|因为 EX10000.0110,DXnpq100.999.9



DXY31

.623612

由切贝谢夫不等式得

P4X16PX106

1PX1061

故选(D)

DX9.9

110.2750.725.3662

二、填空题（每空2分，共10分）

1.已知离散型随机变量X服从参数为3的泊松分布，则利用切贝谢夫不等式估计概率

PX35解因为XPm

所以EXDX

3由切贝谢夫不等式PXEX5



DX3

.522

52.已知随机变量X存在数学期望EX和方差DX，且数学期望EX10，EX109，利用



切贝谢夫不等式估计概率PX106解因为 EX10,DXEX



EX

1091009

由切贝谢夫不等式PX106



DX9

1.2636

43.已知随机变量X的方差为4，则由切贝谢夫不等式估计概率PXEX3解由切贝谢夫不等式PXEX3





4.9

4.若随机变量XBn,p,则当n充分大时,X近似服从正态分布N 解因为 EXnp,DXnp1p.三、计算或证明题题（每题10分，共80分）

1.如果随机变量X存在数学期望EX和方差DX，则对于任意常数0，都有切贝谢夫不等式：

PXEX

DX

2

（证明当X为连续型随机变量时的情况）

证明 设连续性随机变量X的概率密度函数为x,则

PXEX

XEX



xdx

XEX



XEX

2

xdx

DX



2







XEXxdx

2

.2.投掷一枚均匀硬币1000次，试利用切贝谢夫不等式估计出现正面次数在450次~550次之间的概率.解设随机变量X表示1000次试验中出现正面朝上的次数, 由于

XB1000,0.5,所以EX500,DX250;

由切贝谢夫不等式

P450X550PX500501

DX250

10.9.2

250050

3.已知连续型随机变量X服从区间1,3的均匀分布，试利用切贝谢夫不等式估计事件X4发生的概率.133(1)4;

1,DX解由于XU1,3, 所以EX2123

由切贝谢夫不等式

D(X)11

PX141210.9167.41216

4.对敌人的防御工事进行80次轰炸，每次轰炸命中目标炸弹数目的数学期望为2，方差为0.8，且各次轰炸相互独立，求在80次轰炸中有150颗~170颗炸弹命中目标的概率.解设随机变量X表示80次轰炸中炸弹命中目标的次数, Xi表示第i次轰炸命中目标的次数, 则EXi2，DXi0.8;由于X

X

i1

i

所以EX160，DX800.864;由中心极限定理得

P150X170

170160150160



88

1.251.2521.25120.894410.7888.5.袋装食糖用机器装袋，每袋食糖净重的数学期望为100克，方差为4克，一盒内装100袋，求一盒食糖

净重大于10,060克的概率.解 设每袋食糖的净重为Xii1,2,,100,则Xii1,2,,100服从独立同分布,且

E(Xi)100,D(Xi)4;设一盒食糖为X,则

XXi,E(X)10000,D(X)400,i1100

由中心极限定理得

PX10060 1PX

10060

11310.998650.00135.6.某人寿保险公司为某地区100,000人保险，规定投保人在年初向人寿保险公司交纳保险金30元，若投保人死亡，则人寿保险公司向家属一次性赔偿6,000元，由历史资料估计该地区投保人死亡率为0.0037，求人寿保险公司一年从投保人得到净收入不少于600,000元的概率.解设随机变量X表示一年内投保人中死亡人数, 则XBn,p,其中n100000,p0.0037;

EXnp370,DXnpq3700.9963368.31;由100000306000X600,000,得X400

由拉普拉斯中心极限定理,所求概率为



PX400

P

30

1.560.9406.19.1940

7.某车间有同型号机床200部，每部开动的概率为0.7，假定各机床开与关是独立的，开动时每部机床要消耗电能15个单位.问电厂最少要供应这个车间多少电能，才能以95%的概率，保证不致因供电不足而影响生产？

解设随机变量X表示200部机床中同时开动机床台数, 则

XB200,0.7,EXnp140,DX426.482

用K表示最少开动的机床台数,则

PXKPXK



K1400.95

6.5

查表1.650.95, 故

K140

1.65 6.5

由此得K151

这说明, 这个车间同时开动的机床数不大于151部的概率为0.95.所以电厂最少要供应这个车间151152265个单位电能,才能以95%的概率, 保证不致因供电不足而影响生产.8.设某妇产医院生男婴的概率为0.515,求新生的10000个婴儿中,女婴不少于男婴的概率? 解设X表示10000个婴儿中男婴的个数, 则XBn,p其中n10000,p0.515.由拉普拉斯中心极限定理,所求概率为



PX5000

P

313

10.998650.00135.附表：

00.50.6913;010.8413;01.250.8944;2.50.993790 01.50.9938;01.560.9406;01.650.95;030.99865.

第四篇：ch5大数定律和中心极限定理答案

一、选择题

0,事件A不发生

1.设Xi(i1,2,10000),且P(A)=0.8,X1,X2,,X10000相互独立,令

1,事件A发生

10000

Y=

X,则由中心极限定理知Y近似服从的分布是（D）

ii

1A.N(0,1)

C.N(1600,8000)B.N(8000,40)D.N(8000,1600)

2．设X1，X2，……，Xn是来自总体N（μ,σ2）的样本，对任意的ε>0，样本均值X所满足的切比雪夫不等式为（B）

Xn≥

n

C．PX≤1-

A．P

2n

X≥1-n

n

D．PXn≤



B．P

2

3.设随机变量X的E（X）=,D(X)=2，用切比雪夫不等式估计P(|XE(X)|3)（C）A.C.1 98 91912

1B.3D.1

4．设随机变量X服从参数为0.5的指数分布，用切比雪夫不等式估计P(|X-2|≥3)≤(C)A.C.1B.3

D.1

二、填空题

1．将一枚均匀硬币连掷100次，则利用中心极限定理可知，正面出现的次数大于60的概率

近似为___0.0228________.（附：Φ（2）=0.9772）

2．设随机变量序列X1，X2，…，Xn，…独立同分布，且E(Xi)=μ,D(Xi)=σ2>0,i=1,2,…, 则n

Xni

i1

x_对任意实数x，limP

nn





___________.3.设随机变量X的E(X)=,D(X)2,用切比雪夫不等式估计P(|XE(X)|32) ___8/9________。

4．设随机变量X～U（0，1），用切比雪夫不等式估计P（|X－_____1/4___________．

5．设随机变量X~B(100,0.8)，由中心极限定量可知，11

|≥）≤2

P74X86_0.8664______.(Φ(1.5)=0.9332)

0,6.设Xi=1,事件A不发生事件A发生(i=1,2,…,100)，且P(A)=0.8, X1，X2，…，X100相互独立，令Y=X

i1100i，则由中心极限定理知Y近似服从于正态分布，其方差为___16________。

7．设随机变量X ~ B（100，0.2），应用中心极限定理计算P{16X24}=___0.6826_______.（附：Φ（1）=0.8413）

8.设n为n次独立重复试验中事件A发生的次数，p是事件A在每次试验中发生的概率，则对任意的0,limP{|nnp|}=__1________.n

9．设随机变量X～B(100，0.5)，应用中心极限定理可算得P{40

10.设X1,X2,,Xn是独立同分布随机变量序列，具有相同的数学期望和方差E(Xi)=0，D(Xi)=1，则当n充分大的时候，随机变量Zn

_N(0,1)_______(标明参数).1Xi1ni的概率分布近似服从

第五篇：第五章、大数定律与中心极限定理

第五章、大数定律与中心极限定理

一、选择题：

1．若随机变量X的数学期望与方差分别为EX =1，DX = 0.1，根据切比雪夫不等式，一定有（）

A．P{1X1}0.9B．P{0x2}0.9

C．P{1X1}0.9D．P{0x2}0.9

2．设X1,X2,X9相互独立，EXi1,DXi1(i1,2,9)，根据切比雪夫不等式，1有（）

A．P{xi1}1B．P{xi1}12 9i1i129

C．P{2D． x9}1P{x9}19ii

2i1i199

3．若X1、X2、21000即都X1000为独立同分布的随机变量，且Xi~B(1,p)i

1、服从参数为p的0-1分布，则（）不正确

100011000

A．XiPB．Xi~B(1000、P)1000i1i

11000

C．P{aX

i1ib}(b)(a)

1000

D

．P{aXib}i1 1，根据切比雪夫不等式，164．设随机变量X的数学期望EX = 1，且满足P{X12}

X的方差必满足（）

11B．DX 16

41C．DXD．DX1 2A．DX

5．设随机变量X的数学期望EX = 1，方差DX = 1，且满足P{X1}1，根据切16

比雪夫不等式，则应满足（）

A．4B．4

C．

11D． 44

二、填空题：

1.若随机变量X的数学期望与方差分别为EX = 1，DX = 1，且 P{X1}

切比雪夫不等式，应满足。

2.若随机变量X的数学期望与方差均存在，且EX = 1，P{X11}

夫不等式，DX应满足。

3.设X1,X2,,X9相互独立，且EXi1,DXi1,i1、2、9，根据切比雪夫不等式，则0有P{1，根据41，根据切比雪4X

i19i9}。

4.设X1,X2,,X9相互独立，且EXi1,DXi1,i1、2、9，根据切比雪夫不等式，19

则0有PXi1} 9i

1三、计算题：

1．计算机进行加法计算时，把每个加数取为最接近它的整数来计算。设所有的取整误差是

相互独立的随机变量，并且都在[-0.5,0.5]上服从均匀分布，求：300个数相加时误差总和的绝对值小于10的概率。

（附：(1)0.8413,(2)0.9772,(3)0.99865,(4)0.99968）

2． 一颗螺丝钉的重量是一个随机变量,期望值是1两,标准差是0.1两.求一盒

(100个)同型号螺丝钉的重量超过10.2斤的概率.（附：(1)0.8413,(2)0.9772,(3)0.99865,(4)0.99968）

3．已知一本1000页的书中每页印刷错误的个数服从泊松分布P（0.1），求这本书的印刷错

误总数大于120的概率。

（附：(1)0.8413,(2)0.9772,(3)0.99865,(4)0.99968）

4．据以往经验，某种电器元件的寿命服从均值为100小时的指数分布，现随机地取25只，设他们的寿命是互相独立的，求这25只元件的寿命总和大于3000小时的概率。

（附：(1)0.8413,(2)0.9772,(3)0.99865,(4)0.99968）