第5章大数定律及中心极限定理习题及答案0518

第一篇：第5章大数定律及中心极限定理习题及答案0518

第 5 章 大数定律与中心极限定理

一、填空题：

2.设1,2,,n是n个相互独立同分布的随机变量，n

E(i),D(i)8,(i1,2,,n)对于



i

1in，写出所满足的切彼雪夫不等式

P{||}

D()

2

8n

2，并估计P{||4}1

12n

n

D()



i1

D(i)n





n



8n

3.设随机变量X1,X2,,X9相互独立且同分布, 而且有EXi1,9DXi1(i1,2,,9), 令X



i1

Xi, 则对任意给定的0, 由切比雪夫不等式

直接可得PX91

9

解：切比雪夫不等式指出：如果随机变量X满足：E(X)与D(X)2都存在, 则对任意给定的0, 有

P{|X|}



22, 或者P{|X|}1



.由于随机变量X1,X2,,X9相互独立且同分布, 而且有EXi1,DXi1(i1,2,9), 所以

9

E(X)EXi

i1

i

E(X

i19)

19,i19



9

D(X)DXi

i1

D(X

i1

i)

19.i1

p是事件A在每次试验中出现的概率，7、设n表示n次独立重复试验中事件A出现的次数，则由中心极限定理（D－L）

P{an

b}＝P



41bnp



np(1p)anpnp(1p)

12

e



t

dt

8.设随机变量n,服从二项分布B(n,p), 其中0p1,n1,2,, 那么, 对于任一实数x, 有limP{|nnp|x}n

由中心极限定理（D－L）

limP{|nnp|x}limPn

n



limPn

|np|



lim[n

(

limPn

lim[2n

1]2(0)10

二．计算题：

3、某微机系统有120个终端, 每个终端有5%的时间在使用, 若各终端使用与否是相互独立的, 试求有不少于10个终端在使用的概率.解：某时刻所使用的终端数~b(120,0.05),np6,npq5.7 由棣莫弗－拉普拉斯定理知

106P{10}1P{10}11(1.67)0.0475.5．随机地掷六颗骰子，试利用切比雪夫不等式估计：六颗骰子出现的点数总和不小于9且

不超过33点的概率。

解：设表示六颗骰子出现的点数总和。i表示第i颗骰子出现的点数，6i = 1，2，…，6。1，2，…，6 相互独立，显然



i1

2i

43512

Ei

123456

2

72,Di

126

2



E21,D

应用切必雪夫不等式

p933p122112＝pE12

1

D169

1

35338

0.9

答：六颗骰子出现的点数总和不小于9且不超过33点的概率不小于0.9。

6.设随机变量1,2,,n 相互独立，且均服从指数分布

1exx0

0为 使Pf(x)

0x0n

问： n的最小值应如何 ？

n



k

1k

1



19

5，10

解: Ek

1

En

n

1,Dk

1

n

n

11

,Dknk11

kn2k1

Dk

k1

1n

由 切 比 雪 夫 不 等 式得

1

Pn

11Pk10

k1n

n

1

Eknk1

n

1

k

10k1

n

2951, 2

1001

10

即1

100n



95100,从而n  2000，故n的最小值是2000.7．抽样检查产品质量时，如果发现次品多于10个，则拒绝接受这批产品，设某批产品次品率为10%，问至少应抽取多少个产品检查才能保证拒绝接受该产品的概率达到0.9? 解： 设n为至少应取的产品数，X是其中的次品数，则X~b(n,0.1)，Xn0.1n0.10.9

10n0.1n0.10.9

P{X10}0.9，而P{}0.9

所以P{

Xn0.1n0.10.9



100.1n0.09n

0.1

由中心极限定理知，当n充分大时，有P{

X0.1nn0.10.9100.1n0.3n



100.1n0.09n

（100.1n0.3n)0.1，由(,查表得)0.1

100.1n0.3n

1.28 n147

8．(1)一个复杂系统由100个相互独立的元件组成，在系统运行期间每个元件损坏的概率为

0.1，又知为使系统正常运行，至少必需要有85个元件工作，求系统的可靠程度(即正常运行的概率)；(2)上述系统假设有n个相互独立的元件组成，而且又要求至少有80%的元件工作才能使系统正常运行，问n至少为多大时才能保证系统的可靠程度为0.95? 解：(1)设X表示正常工作的元件数，则X~b(100,0.9)，8590

9X1000.90.10.9

10090

P{X85}P{100X85}P{

3X903



P{}

由中心极限定理可知

P{X85}(（10

103)(

53)（10)(1())33

55)()1()0.95 333

(2)设X表示正常工作的元件数，则X~b(n,0.9)

0.1n0.3n

n3

P(X0.8n)P(0.8nXn)P{

X0.9nn0.90.1



0.2n0.3n

P{

n3



X0.9n0.3n



n}P{

X0.9n0.3n

1(

n3)（n3)0.95

n3



n25

9．一部件包括10部分，每部分的长度是一随机变量，相互独立且具有同一分布，其数学期望为2 mm，均方差为0.05 mm，规定总长度为20  0.1 mm 时产品合格，试求产品合格的概率。已 知 ：(0.6)= 0.7257；(0.63)= 0.7357。

解：设每个部分的长度为Xi(i = 1, 2, …, 10)E(Xi)= 2 = , D(Xi)=  =(0.05)

2,依题意，得合格品的概率为



P0.1

0.63

X

i1

i

1

200.1P0.63(Xi102)0.63

3.180.05i1



0.63



12



t

e12

dt2

t

0.63

12



t

e

dt

2

0.63

e

dt120.735710.4714

13.保险公司新增一个保险品种：每被保险人年交纳保费为100元, 每被保险人出事赔付金额为2万元.根据统计, 这类被保险人年出事概率为0.000 5.这个新保险品种预计需投入100万元的广告宣传费用.在忽略其他费用的情况下, 一年内至少需要多少人参保, 才能使保险公司在该年度获利超过100万元的概率大于95%？

((x)



x



t

dt,(1.29)0.9015,(1.65)0.9505,(3.09)0.9990,(3.72)0.9999,(4.27)0.99999)

解：设参保人数为N人(X是出事人数，XB(N,0.0005), 则

1,0,0

i1,2,,N,i~

第i人不出事，q第i人出事，1

,Eip,Dipq.p

i

N

P(20000i1000000100N1000000)0.95.i1

（P(20000X1000000100N1000000)0.95.）

N

P(iN/20020000)0.95.（P{XN/20020000}0.95）

i1

P

N

iNp

100N2000000

Np

0.95.

10N0

由

2000000

Np

1.65,N20000200Npp0.0005,q

0.9995,0.9N200002

9N210310

81N(36103300pq)N410

0,N45068.03N493827160.49

0,63296.41,N54182.22.14、证明题 :设随机变量X的密度函数为

xnx

e,

f(x)n!

0,

x0,x0.求证

P(0X2(n1))

nn1

.0

证：由分部积分或递推公式，F(n)



x

n

n!

dx1

x

E(X)





xf(x)dx



0

x

n1

n!

edx(n1)

0

x

0

x

n1

(n1)!

n2

x

edxn1,x

E(X)



0

x

n2

n!

edx(n1)(n2)

x

x

(n2)!

edx(n1)(n2),D(X)E(X)[E(X)](n1)(n2)(n1)n1.由切比雪夫不等式得

P(0X2(n1))P(|X(n1)|n1)

P(|XE(X)|n1)

1

D(X)(n1)

1

n1(n1)



nn1.

第二篇：ch5大数定律和中心极限定理答案

一、选择题

0,事件A不发生

1.设Xi(i1,2,10000),且P(A)=0.8,X1,X2,,X10000相互独立,令

1,事件A发生

10000

Y=

X,则由中心极限定理知Y近似服从的分布是（D）

ii

1A.N(0,1)

C.N(1600,8000)B.N(8000,40)D.N(8000,1600)

2．设X1，X2，……，Xn是来自总体N（μ,σ2）的样本，对任意的ε>0，样本均值X所满足的切比雪夫不等式为（B）

Xn≥

n

C．PX≤1-

A．P

2n

X≥1-n

n

D．PXn≤



B．P

2

3.设随机变量X的E（X）=,D(X)=2，用切比雪夫不等式估计P(|XE(X)|3)（C）A.C.1 98 91912

1B.3D.1

4．设随机变量X服从参数为0.5的指数分布，用切比雪夫不等式估计P(|X-2|≥3)≤(C)A.C.1B.3

D.1

二、填空题

1．将一枚均匀硬币连掷100次，则利用中心极限定理可知，正面出现的次数大于60的概率

近似为___0.0228________.（附：Φ（2）=0.9772）

2．设随机变量序列X1，X2，…，Xn，…独立同分布，且E(Xi)=μ,D(Xi)=σ2>0,i=1,2,…, 则n

Xni

i1

x_对任意实数x，limP

nn





___________.3.设随机变量X的E(X)=,D(X)2,用切比雪夫不等式估计P(|XE(X)|32) ___8/9________。

4．设随机变量X～U（0，1），用切比雪夫不等式估计P（|X－_____1/4___________．

5．设随机变量X~B(100,0.8)，由中心极限定量可知，11

|≥）≤2

P74X86_0.8664______.(Φ(1.5)=0.9332)

0,6.设Xi=1,事件A不发生事件A发生(i=1,2,…,100)，且P(A)=0.8, X1，X2，…，X100相互独立，令Y=X

i1100i，则由中心极限定理知Y近似服从于正态分布，其方差为___16________。

7．设随机变量X ~ B（100，0.2），应用中心极限定理计算P{16X24}=___0.6826_______.（附：Φ（1）=0.8413）

8.设n为n次独立重复试验中事件A发生的次数，p是事件A在每次试验中发生的概率，则对任意的0,limP{|nnp|}=__1________.n

9．设随机变量X～B(100，0.5)，应用中心极限定理可算得P{40

10.设X1,X2,,Xn是独立同分布随机变量序列，具有相同的数学期望和方差E(Xi)=0，D(Xi)=1，则当n充分大的时候，随机变量Zn

_N(0,1)_______(标明参数).1Xi1ni的概率分布近似服从

第三篇：第5章大数定律与中心极限定理习题答案

5.1—5.2 大数定律与中心极限定理习题答案

1解:由切比雪夫不等式得:

P(|XE(X)|<ε)1D(X)

2=10.009

20.9.即20.09,0.3故min0.3

2解:由 EX=2,EY=2,则E(X+Y)=0,Cov(X,Y)= XYDXDY=0.512＝1,D(XY)1 = 3612D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2 Cov(X,Y)=1＋4＋2（1）＝3 由切比雪夫不等式得:P(|X+Y|6)

3解:设Xi表示第i个麦穗粒数，i=1,……100, 则X1,,X100相互独立且服从相同分布.E(Xi)20,D(Xi)15,i1,...,100.，E(2X)=2000 ,D(Xi

i1i1100100i)=22500.设X表示100个麦穗的麦粒总数，则由中心极限定理知

X=XiN(2000,1502)（近似服从）

i1100

故所求概率为：P(1800X2200)=P(|X-2000|200)=()()=2()120.908210.8164.4解：(1)由题意可知被盗的概率P=0.2，则 XB(100,0.2)，其分布律为

kP(Xk)C1000.2k0.8100k,k0,1,.......100 434343

(2)E(X)np20,D(X)npq16,由中心极限定理知XN(20,4)（近似服从）.所求概率为

P(14X30) (2.5)(1.5)=0.9938-1+0.9332=0.927.解：设X表示这1000粒种子的发芽粒数，则XB(1000,0.9)

从而E(X)np900,D(X)npq90.由中心极限定理知XN(900,90)（近似服从）.故所求概率为2

P(|X0.9|0.02)P(|X900|20)1000

20)()2(2.108)1900..96

第四篇：第五章 大数定律及中心极限定理

第五章

大数定律及中心极限定理

概率统计是研究随机变量统计规律性的数学学科，而随机现象的规律只有在对大量随机现象的考察中才能显现出来。研究大量随机现象的统计规律，常常采用极限定理的形式去刻画，由此导致对极限定理进行研究。极限定理的内容非常广泛，本章中主要介绍大数定律与中心极限定理。

5.1 切比雪夫Chebyshev不等式

一个随机变量离差平方的数学期望就是它的方差，而方差又是用来描述随机变量取值的分散程度的。下面我们研究随机变量的离差与方差之间的关系式。

定理5－1（切比雪夫不等式）设随机变量X的期望E（X）及方差D（X）存在，则对任意小正数ε>0，有:

或：

［例5-1］设X是抛掷一枚骰子所出现的点数，若给定ε=2,2.5，实际计算P{|X-E（X）|≥ε}，并验证切比雪夫不等式成立。

解 X的分布律为

所以

当ε=2时，当ε=2.5时，可见，切比雪夫不等式成立。

[例5-2]设电站供电网有10 000盏灯，夜晚每一盏灯开灯的概率都是0.7，而假定所有电灯开或关是彼此独立的。试用切比雪夫不等式估计夜晚同时开着的灯数在6 800～7 200的概率。

解：设X表示在夜晚同时开着的电灯的数目，它服从参数n=10 000,p=0.7的二项分布。于是有

E（X）=np=10 000×0.7=7 000，D（X）=npq=10 000×0.7×0.3=2100，P{6 800

可见，虽然有10 000盏灯，但是只要有供应7 000盏灯的电力就能够以相当大的概率保证够用。

[例5-3补充] 用切比雪夫不等式估计

解： 的三倍的可能性极

可见，随机变量X取值与期望EX的差的绝对值大于其均方差小。

5.2 大数定律

在第一章中曾经提到过，事件发生的频率具有稳定性，即随着试验次数增多，事件发生的频率将逐渐稳定于一个确定的常数值附近。另外，人们在实践中还认识到大量测量值的算术平均值也具有稳定性，即平均结果的稳定性。大数定律以严格的数学形式表示证明了在一定的条件下，大量重复出现的随机现象呈现的统计规律性，即频率的稳定性与平均结果的稳定性。

5.2.1 贝努利大数定律

定理5-2 设m是n次独立重复试验中事件A发生的次数，p是事件A的概率，则对任意正数ε，有

贝努利大数定律说明，在大量试验同一事件A时，事件A的概率是A的频率的稳定值。

5.2.2 独立同分布随机变量序列的切比雪夫大数定律

先介绍独立同分布随机变量序列的概念。

称随机变量序列X1,X2,…Xn,…是相互独立的，若对任意的n>1,X1,X2,…Xn是相互独立的。此时，若所有的Xi又具有相同的分布，则称X1,X2,…Xn,…是独立同分布随机变量序列。

定理5-3 设X1,X2,…Xn,…是独立同分布随机变量序列E（Xi）=μ,D（Xi）=σ2（i=1,2…）均存在，则对于任意ε>0有

这一定理说明：经过算术平均后得到的随机变量在统计上具有一种稳定性，它的取值将比较紧密聚集在它的期望附近。这正是大数定律的含义。在概率论中，大数定律是随机现象的统计稳定性的深刻描述；同时，也是数理统计的重要理论基础。

5.3 中心极限定理

5.3.1独立同分布序列的中心极限定理

定理5-4 设X1,X2,…Xn,…是独立同分布的随机变量序列，且具有相同数学期望和方差E（Xi）=μ，D（Xi）=σ2（i=1,2,…）。记随机变量 的分布函数为Fn（x），则对于任意实数x，有

（不证）

其中φ（x）为标准正态分布函数。

由这一定理知道下列结论：

（1）当n充分大时，独立同分布的随机变量之和的分布近似于正态分布N2（nμ，nσ）。我们知道，n个独立同分布的正态随机变量之和服从正态分布。中心极限定理进一步告诉我们。

不论X1,X2,…Xn,…独立同服从什么分布，当n充分大时，其和Zn近似服从正态分布。

（2）考虑X1,X2,…Xn,…的平均值，有

它的标准化随机变量为，即为上述Yn。因此的分布函数即是上述的F（，nx）因而有

由此可见，当n充分大时，独立同分布随机变量的平均值 的分布近似于正态分布

[例5-3]对敌人的防御地段进行100次射击，每次射击时命中目标的炮弹数是一个随机变量，其数学期望为2，均方差为1.5，求在100次射击中有180颗到220颗炮弹命中目标的概率。解 设Xi为第i次射击时命中目标的炮弹数（i=1,2,…,100），则中命中目标的炮弹总数，而且X1，X2，…X100同分布且相互独立。

为100次射击

由定理5-4可知，随机变量近似服从标准正态分布，故有

[例5-4]某种电器元件的寿命服从均值为100（单位：小时）的指数分布。现随机抽出16只，设它们的寿命是相互独立的，求这16只元件的寿命的总和大于1 920小时的概率。

解 设第i只电器元件的寿命为Xi=（i=1,2,…16），E（Xi）=100，D（Xi）=1002=10 000，则是这16只元件的寿命的总和。

E（Y）=100×16=1 600，D（Y）= 160 000，则所求概率为：

5.3.2 棣莫弗（De Moivre）-拉普拉斯（Laplace）中心极限定理

下面介绍另一个中心极限定理，它是定理5-4的特殊情况。

定理5-5（棣莫弗－拉普拉斯中心极限定理）设随机变量Zn是n次独立重复试验中事件A发生的次数，p是事件A发生的概率，则对于任意实数x

其中q=1-p,φ（x）为标准正态分布函数。由棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理得到下列结论：

（1）在贝努利试验中，若事件A发生的概率为p。又设Zn为n次独立重复试验中事件A发生的频数，则当n充分大时，Zn近似服从正态分布N（np,npq）。

（2）在贝努利试验中，若事件中A发生的概率为p，发生的频率，则当n充分大时，近似服从正态分布

【例5-5】用中心极限定理得到求解5.1例5-2的概率。

解 设同时开着的灯数为X，则

X-B（1000，0.7），np=1000×0.7=7000，为n次独立重复试验中事件A

【例5-6】设某单位内部有1000台电话分机，每台分机有5%的时间使用外线通话，假定各个分机是否使用外线是相互独立的，该单位总机至少需要安装多少条外线，才能以95%以上的概率保证每台分机需要使用外线时不被占用？

解：把观察每一台分机是否使用外线作为一次试验，则各次试验相互独立，设X为1000台分机中同时使用外线的分机数，则

X～B（1000，0.05），np=1000×0.05=50，根据题意，设N为满足条件的最小正整数

由于φ（-7.255）≈0，故有

查标准正态分布表得φ（1.65）=0.9505，故有

由此

N≥61.37

即该单位总机至少需要62条外线，才能以95%以上的概率保证每台分机在使用外线时不被占用。

小结 本章考核要求

（一）知道切比雪夫不等式

或

并且会用切比雪夫不等式估计事件|X-EX|≥ε或|X-EX|<ε的概率。

（二）知道贝努利大数定律

其中n是试验次数，m是A发生次数，p是A的概率，它说明试验次数很多时，频率近似于概率。

（三）知道切比雪夫不等式大数定律

取值稳定在期望附近。

它说明在大量试验中，随机变量

（四）知道独立同分布中心极限定理

若

记Yn～Fn（x），则有

它说明当n很大时，独立同分布的随机变量之和近似服从正态N（nμ,nσ2）所以，无论n个独立同分布的X1,X2,…Xn服从何种分布，n很大时，X1+X2+…Xn却近似正态N（nμ,nσ2）.（五）知道棣莫弗—拉普拉斯中心极限定理

若Zn表示n次独立重复事件发生次数，即

Zn～B（n,p）,则有

即Zn近似正态N（np,np（1-p）2）。并会用中心极限定理计算简单应用问题。

第五篇：CH5 大数定律及中心极限定理--练习题

CH5 大数定律及中心极限定理

1.设Ф(x)为标准正态分布函数，Xi=

1001,事件A发生；0,事件A不发生，i=1，2，…，100，且P(A)=0.8,X1,X2,…,X100

相互独立。令Y=

i1Xi，则由中心极限定理知Y的分布函数F(y)近似于（）

y80

4A.Ф(y)

2.从一大批发芽率为0.9的种子中随机抽取100粒,则这100粒种子的发芽率不低于88%的概率约为.(已知φ(0.67)=0.7486)

3.设随机变量X1，X2，…，Xn，…独立同分布，且i=1，2…，0

nB.Ф()C.Ф(16y+80)D.Ф(4y+80)

Yn

i1Xi,n1，2，.Φ（x）为标准正态分布函数，则limPn1（）np(1p)Ynnp

A．0B．Φ（1）C．1－Φ（1）D．1

4.设

5.设X服从(-1,1)上的均匀分布，试用切比雪夫不等式估计

6.设

7.报童沿街向行人兜售报纸，设每位行人买报纸的概率为0.2，且他们买报纸与否是相互独立的。试求报童在想100为行人兜售之后，卖掉报纸15到30份的概率

8.一个复杂系统由n个相互独立的工作部件组成，每个部件的可靠性（即部件在一定时间内无故障的概率）为0.9，且必须至少有80%的部件工作才能使得整个系统工作。问n至少为多少才能使系统的可靠性为0.95

9.某人有100个灯泡，每个灯泡的寿命为指数分布，其平均寿命为5小时。他每次用一个灯泡，灯泡灭了之后立即换上一个新的灯泡。求525小时之后他仍有灯泡可用的概率近似值相互独立的随机变量，且都服从参数为10的指数分布，求 的下界 是独立同分布的随机变量，设, 求