第五章 大数定律 中心极限定律5篇范文

第一篇：第五章 大数定律 中心极限定律

第五章 大数定律 中心极限定律

例1 设一批产品的废品率为P0.014，若要使一箱中至少有100个合格品的概率不低于0.9，求一箱中至少应装入多少个产品？试分别用中心极限定律和泊松定理求其近似值。例2 某车间有200台车床，由于各种原因每台车床只有60％的时间在开动，每台车床开动期间耗电量为E，问至少供应此车间多少电量才能以99.9％的概率保证此车间不因供电不足而影响生产？

例3 一保险公司有10000人投保，每人每年付12元保险费，已知一年内人口死亡率为0.006，如死亡，则公司付其家属1000元赔偿费，求1）保险公司年利润为零的概率

2）保险公司年利润不少于60000元的概率。

例4 设XPX11n为独立随机变量序列，n2n22n1,PXn0122n，n1,2,, 证明 Xn服从大数定律

例5 设随机变量X的数学期望E(X)，方差DX2，利用切比雪夫不等式估计 PX3

例6 试证当n时，ennnk1

k0k!2

习

题

一 填空题 设随机变量X的数学期望EX，方差DX2，则由切比雪夫不等式有： PX3________

设随机变量X1,,X100相互独立同分布，且PXik1k!e1i1,2,,100，则 P100Xi120________ i13 设随机变量X1,X2,,Xn相互独立同分布，EXi,DXi8,i1,2,,n

对于X1nnXi，写出所满足的切比雪夫不等式______并估计PX4_____

i14 10万粒种子有1万粒不发芽，今从中任取100粒，问至少有80粒发芽的概率是_____ 二 解答题

1.某单位有200台电话分机，每架分机有5%的时间要使用外线通话，假设每架分机是否使用外线是相互独立的，问该单位总机需要安装多少条外线，才能以90%以上的概率保证分机使用时不等候？

2.甲、乙两个电影院在竞争1000名观众，假定每个观众任选一个影院且观众间的选择是彼此独立的，问每个影院至少要设多少座位，才能保证因缺少座位而使观众离去的概率小于1%？

3.某教授根据以往的经验知道，他的一个学生在期末考试中的成绩是均值为75的随机变量，a）假设这教授知道该学生成绩的方差是25，试给出此学生的成绩将超过85的概率上限； b）你对这个学生取得65分到85分之间的概率能说些什么？ c)* 不用中心极限定理，求出应有多少如上的学生参加考试，才能保证他们的平均分数在70到80分之间的概率至少是0.9。d）用中心极限定理理解

4.设某种工艺需要某种合格产品100个，该产品的合格率为96%，问要采购多少个产品，才能有95%以上的把握，保证合格品数够用？

5.设随机变量的概率密度为f(x)12xx0

2xe0x0利用切比雪夫不等式估计概率P06

四 证明题 设随机变量X,Eex存在，这里0为常数，证明：PXt2lnEexet2

2 设随机变量X具有密度 f(x)xmxm!ex0, m为正整数。试证： 0x0P0X2m1mm1 设X11n为独立随机变量序列，PXnn2n,PXn01n。证明：Xn服 从大数定律

答

案

一

1.19

2.0.9772

3.PX81n2；12n

4.0.99956

二

1.14

2.537

3.a)0.02775；b)0.9545

c)n10；d)n1.642

4.107

5.13

第二篇：第五章 大数定律及中心极限定理

第五章

大数定律及中心极限定理

概率统计是研究随机变量统计规律性的数学学科，而随机现象的规律只有在对大量随机现象的考察中才能显现出来。研究大量随机现象的统计规律，常常采用极限定理的形式去刻画，由此导致对极限定理进行研究。极限定理的内容非常广泛，本章中主要介绍大数定律与中心极限定理。

5.1 切比雪夫Chebyshev不等式

一个随机变量离差平方的数学期望就是它的方差，而方差又是用来描述随机变量取值的分散程度的。下面我们研究随机变量的离差与方差之间的关系式。

定理5－1（切比雪夫不等式）设随机变量X的期望E（X）及方差D（X）存在，则对任意小正数ε>0，有:

或：

［例5-1］设X是抛掷一枚骰子所出现的点数，若给定ε=2,2.5，实际计算P{|X-E（X）|≥ε}，并验证切比雪夫不等式成立。

解 X的分布律为

所以

当ε=2时，当ε=2.5时，可见，切比雪夫不等式成立。

[例5-2]设电站供电网有10 000盏灯，夜晚每一盏灯开灯的概率都是0.7，而假定所有电灯开或关是彼此独立的。试用切比雪夫不等式估计夜晚同时开着的灯数在6 800～7 200的概率。

解：设X表示在夜晚同时开着的电灯的数目，它服从参数n=10 000,p=0.7的二项分布。于是有

E（X）=np=10 000×0.7=7 000，D（X）=npq=10 000×0.7×0.3=2100，P{6 800

可见，虽然有10 000盏灯，但是只要有供应7 000盏灯的电力就能够以相当大的概率保证够用。

[例5-3补充] 用切比雪夫不等式估计

解： 的三倍的可能性极

可见，随机变量X取值与期望EX的差的绝对值大于其均方差小。

5.2 大数定律

在第一章中曾经提到过，事件发生的频率具有稳定性，即随着试验次数增多，事件发生的频率将逐渐稳定于一个确定的常数值附近。另外，人们在实践中还认识到大量测量值的算术平均值也具有稳定性，即平均结果的稳定性。大数定律以严格的数学形式表示证明了在一定的条件下，大量重复出现的随机现象呈现的统计规律性，即频率的稳定性与平均结果的稳定性。

5.2.1 贝努利大数定律

定理5-2 设m是n次独立重复试验中事件A发生的次数，p是事件A的概率，则对任意正数ε，有

贝努利大数定律说明，在大量试验同一事件A时，事件A的概率是A的频率的稳定值。

5.2.2 独立同分布随机变量序列的切比雪夫大数定律

先介绍独立同分布随机变量序列的概念。

称随机变量序列X1,X2,…Xn,…是相互独立的，若对任意的n>1,X1,X2,…Xn是相互独立的。此时，若所有的Xi又具有相同的分布，则称X1,X2,…Xn,…是独立同分布随机变量序列。

定理5-3 设X1,X2,…Xn,…是独立同分布随机变量序列E（Xi）=μ,D（Xi）=σ2（i=1,2…）均存在，则对于任意ε>0有

这一定理说明：经过算术平均后得到的随机变量在统计上具有一种稳定性，它的取值将比较紧密聚集在它的期望附近。这正是大数定律的含义。在概率论中，大数定律是随机现象的统计稳定性的深刻描述；同时，也是数理统计的重要理论基础。

5.3 中心极限定理

5.3.1独立同分布序列的中心极限定理

定理5-4 设X1,X2,…Xn,…是独立同分布的随机变量序列，且具有相同数学期望和方差E（Xi）=μ，D（Xi）=σ2（i=1,2,…）。记随机变量 的分布函数为Fn（x），则对于任意实数x，有

（不证）

其中φ（x）为标准正态分布函数。

由这一定理知道下列结论：

（1）当n充分大时，独立同分布的随机变量之和的分布近似于正态分布N2（nμ，nσ）。我们知道，n个独立同分布的正态随机变量之和服从正态分布。中心极限定理进一步告诉我们。

不论X1,X2,…Xn,…独立同服从什么分布，当n充分大时，其和Zn近似服从正态分布。

（2）考虑X1,X2,…Xn,…的平均值，有

它的标准化随机变量为，即为上述Yn。因此的分布函数即是上述的F（，nx）因而有

由此可见，当n充分大时，独立同分布随机变量的平均值 的分布近似于正态分布

[例5-3]对敌人的防御地段进行100次射击，每次射击时命中目标的炮弹数是一个随机变量，其数学期望为2，均方差为1.5，求在100次射击中有180颗到220颗炮弹命中目标的概率。解 设Xi为第i次射击时命中目标的炮弹数（i=1,2,…,100），则中命中目标的炮弹总数，而且X1，X2，…X100同分布且相互独立。

为100次射击

由定理5-4可知，随机变量近似服从标准正态分布，故有

[例5-4]某种电器元件的寿命服从均值为100（单位：小时）的指数分布。现随机抽出16只，设它们的寿命是相互独立的，求这16只元件的寿命的总和大于1 920小时的概率。

解 设第i只电器元件的寿命为Xi=（i=1,2,…16），E（Xi）=100，D（Xi）=1002=10 000，则是这16只元件的寿命的总和。

E（Y）=100×16=1 600，D（Y）= 160 000，则所求概率为：

5.3.2 棣莫弗（De Moivre）-拉普拉斯（Laplace）中心极限定理

下面介绍另一个中心极限定理，它是定理5-4的特殊情况。

定理5-5（棣莫弗－拉普拉斯中心极限定理）设随机变量Zn是n次独立重复试验中事件A发生的次数，p是事件A发生的概率，则对于任意实数x

其中q=1-p,φ（x）为标准正态分布函数。由棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理得到下列结论：

（1）在贝努利试验中，若事件A发生的概率为p。又设Zn为n次独立重复试验中事件A发生的频数，则当n充分大时，Zn近似服从正态分布N（np,npq）。

（2）在贝努利试验中，若事件中A发生的概率为p，发生的频率，则当n充分大时，近似服从正态分布

【例5-5】用中心极限定理得到求解5.1例5-2的概率。

解 设同时开着的灯数为X，则

X-B（1000，0.7），np=1000×0.7=7000，为n次独立重复试验中事件A

【例5-6】设某单位内部有1000台电话分机，每台分机有5%的时间使用外线通话，假定各个分机是否使用外线是相互独立的，该单位总机至少需要安装多少条外线，才能以95%以上的概率保证每台分机需要使用外线时不被占用？

解：把观察每一台分机是否使用外线作为一次试验，则各次试验相互独立，设X为1000台分机中同时使用外线的分机数，则

X～B（1000，0.05），np=1000×0.05=50，根据题意，设N为满足条件的最小正整数

由于φ（-7.255）≈0，故有

查标准正态分布表得φ（1.65）=0.9505，故有

由此

N≥61.37

即该单位总机至少需要62条外线，才能以95%以上的概率保证每台分机在使用外线时不被占用。

小结 本章考核要求

（一）知道切比雪夫不等式

或

并且会用切比雪夫不等式估计事件|X-EX|≥ε或|X-EX|<ε的概率。

（二）知道贝努利大数定律

其中n是试验次数，m是A发生次数，p是A的概率，它说明试验次数很多时，频率近似于概率。

（三）知道切比雪夫不等式大数定律

取值稳定在期望附近。

它说明在大量试验中，随机变量

（四）知道独立同分布中心极限定理

若

记Yn～Fn（x），则有

它说明当n很大时，独立同分布的随机变量之和近似服从正态N（nμ,nσ2）所以，无论n个独立同分布的X1,X2,…Xn服从何种分布，n很大时，X1+X2+…Xn却近似正态N（nμ,nσ2）.（五）知道棣莫弗—拉普拉斯中心极限定理

若Zn表示n次独立重复事件发生次数，即

Zn～B（n,p）,则有

即Zn近似正态N（np,np（1-p）2）。并会用中心极限定理计算简单应用问题。

第三篇：CH5 大数定律及中心极限定理--练习题

CH5 大数定律及中心极限定理

1.设Ф(x)为标准正态分布函数，Xi=

1001,事件A发生；0,事件A不发生，i=1，2，…，100，且P(A)=0.8,X1,X2,…,X100

相互独立。令Y=

i1Xi，则由中心极限定理知Y的分布函数F(y)近似于（）

y80

4A.Ф(y)

2.从一大批发芽率为0.9的种子中随机抽取100粒,则这100粒种子的发芽率不低于88%的概率约为.(已知φ(0.67)=0.7486)

3.设随机变量X1，X2，…，Xn，…独立同分布，且i=1，2…，0

nB.Ф()C.Ф(16y+80)D.Ф(4y+80)

Yn

i1Xi,n1，2，.Φ（x）为标准正态分布函数，则limPn1（）np(1p)Ynnp

A．0B．Φ（1）C．1－Φ（1）D．1

4.设

5.设X服从(-1,1)上的均匀分布，试用切比雪夫不等式估计

6.设

7.报童沿街向行人兜售报纸，设每位行人买报纸的概率为0.2，且他们买报纸与否是相互独立的。试求报童在想100为行人兜售之后，卖掉报纸15到30份的概率

8.一个复杂系统由n个相互独立的工作部件组成，每个部件的可靠性（即部件在一定时间内无故障的概率）为0.9，且必须至少有80%的部件工作才能使得整个系统工作。问n至少为多少才能使系统的可靠性为0.95

9.某人有100个灯泡，每个灯泡的寿命为指数分布，其平均寿命为5小时。他每次用一个灯泡，灯泡灭了之后立即换上一个新的灯泡。求525小时之后他仍有灯泡可用的概率近似值相互独立的随机变量，且都服从参数为10的指数分布，求 的下界 是独立同分布的随机变量，设, 求

第四篇：ch5大数定律和中心极限定理答案

一、选择题

0,事件A不发生

1.设Xi(i1,2,10000),且P(A)=0.8,X1,X2,,X10000相互独立,令

1,事件A发生

10000

Y=

X,则由中心极限定理知Y近似服从的分布是（D）

ii

1A.N(0,1)

C.N(1600,8000)B.N(8000,40)D.N(8000,1600)

2．设X1，X2，……，Xn是来自总体N（μ,σ2）的样本，对任意的ε>0，样本均值X所满足的切比雪夫不等式为（B）

Xn≥

n

C．PX≤1-

A．P

2n

X≥1-n

n

D．PXn≤



B．P

2

3.设随机变量X的E（X）=,D(X)=2，用切比雪夫不等式估计P(|XE(X)|3)（C）A.C.1 98 91912

1B.3D.1

4．设随机变量X服从参数为0.5的指数分布，用切比雪夫不等式估计P(|X-2|≥3)≤(C)A.C.1B.3

D.1

二、填空题

1．将一枚均匀硬币连掷100次，则利用中心极限定理可知，正面出现的次数大于60的概率

近似为___0.0228________.（附：Φ（2）=0.9772）

2．设随机变量序列X1，X2，…，Xn，…独立同分布，且E(Xi)=μ,D(Xi)=σ2>0,i=1,2,…, 则n

Xni

i1

x_对任意实数x，limP

nn





___________.3.设随机变量X的E(X)=,D(X)2,用切比雪夫不等式估计P(|XE(X)|32) ___8/9________。

4．设随机变量X～U（0，1），用切比雪夫不等式估计P（|X－_____1/4___________．

5．设随机变量X~B(100,0.8)，由中心极限定量可知，11

|≥）≤2

P74X86_0.8664______.(Φ(1.5)=0.9332)

0,6.设Xi=1,事件A不发生事件A发生(i=1,2,…,100)，且P(A)=0.8, X1，X2，…，X100相互独立，令Y=X

i1100i，则由中心极限定理知Y近似服从于正态分布，其方差为___16________。

7．设随机变量X ~ B（100，0.2），应用中心极限定理计算P{16X24}=___0.6826_______.（附：Φ（1）=0.8413）

8.设n为n次独立重复试验中事件A发生的次数，p是事件A在每次试验中发生的概率，则对任意的0,limP{|nnp|}=__1________.n

9．设随机变量X～B(100，0.5)，应用中心极限定理可算得P{40

10.设X1,X2,,Xn是独立同分布随机变量序列，具有相同的数学期望和方差E(Xi)=0，D(Xi)=1，则当n充分大的时候，随机变量Zn

_N(0,1)_______(标明参数).1Xi1ni的概率分布近似服从

第五篇：第五章、大数定律与中心极限定理

第五章、大数定律与中心极限定理

一、选择题：

1．若随机变量X的数学期望与方差分别为EX =1，DX = 0.1，根据切比雪夫不等式，一定有（）

A．P{1X1}0.9B．P{0x2}0.9

C．P{1X1}0.9D．P{0x2}0.9

2．设X1,X2,X9相互独立，EXi1,DXi1(i1,2,9)，根据切比雪夫不等式，1有（）

A．P{xi1}1B．P{xi1}12 9i1i129

C．P{2D． x9}1P{x9}19ii

2i1i199

3．若X1、X2、21000即都X1000为独立同分布的随机变量，且Xi~B(1,p)i

1、服从参数为p的0-1分布，则（）不正确

100011000

A．XiPB．Xi~B(1000、P)1000i1i

11000

C．P{aX

i1ib}(b)(a)

1000

D

．P{aXib}i1 1，根据切比雪夫不等式，164．设随机变量X的数学期望EX = 1，且满足P{X12}

X的方差必满足（）

11B．DX 16

41C．DXD．DX1 2A．DX

5．设随机变量X的数学期望EX = 1，方差DX = 1，且满足P{X1}1，根据切16

比雪夫不等式，则应满足（）

A．4B．4

C．

11D． 44

二、填空题：

1.若随机变量X的数学期望与方差分别为EX = 1，DX = 1，且 P{X1}

切比雪夫不等式，应满足。

2.若随机变量X的数学期望与方差均存在，且EX = 1，P{X11}

夫不等式，DX应满足。

3.设X1,X2,,X9相互独立，且EXi1,DXi1,i1、2、9，根据切比雪夫不等式，则0有P{1，根据41，根据切比雪4X

i19i9}。

4.设X1,X2,,X9相互独立，且EXi1,DXi1,i1、2、9，根据切比雪夫不等式，19

则0有PXi1} 9i

1三、计算题：

1．计算机进行加法计算时，把每个加数取为最接近它的整数来计算。设所有的取整误差是

相互独立的随机变量，并且都在[-0.5,0.5]上服从均匀分布，求：300个数相加时误差总和的绝对值小于10的概率。

（附：(1)0.8413,(2)0.9772,(3)0.99865,(4)0.99968）

2． 一颗螺丝钉的重量是一个随机变量,期望值是1两,标准差是0.1两.求一盒

(100个)同型号螺丝钉的重量超过10.2斤的概率.（附：(1)0.8413,(2)0.9772,(3)0.99865,(4)0.99968）

3．已知一本1000页的书中每页印刷错误的个数服从泊松分布P（0.1），求这本书的印刷错

误总数大于120的概率。

（附：(1)0.8413,(2)0.9772,(3)0.99865,(4)0.99968）

4．据以往经验，某种电器元件的寿命服从均值为100小时的指数分布，现随机地取25只，设他们的寿命是互相独立的，求这25只元件的寿命总和大于3000小时的概率。

（附：(1)0.8413,(2)0.9772,(3)0.99865,(4)0.99968）