数学归纳法说课

第一篇：数学归纳法说课

今天我说课的课题是数学归纳法，我准备从教材分析，教学目标、教学方法，学法指导、教学过程与设计说明六个方面来加以介绍。

首先分析一下教材，教材的地位和作用：在学习数学归纳法之前，学生已经学习了等差数列与等比数列，其通项公式的推导用的是不完全归纳法，正确性有待用数学归纳法证明，因此数学归纳法的学习是数列学习的深化与拓展。另外，现行中学数学教材主要是以演绎推理的体系来编排，对定理与公式，与证明，很少研究其发现与证明，通过这一部分的学习对培养学生的抽象思维能力与创新能力，全面提高学生的数学素养有着非常重要的意义，数学归纳法的新课教学可以安排两个课时，本节为第一节课，为了避免学生机械套用数学归纳法证结两个步骤，造成思维的惰性与僵化，确定分析数学归纳法的原理与实质为教学重点，另外，考虑到学生对数学归纳法第二步实质----递推思想理解感到较困难，以正确理解递推思想作为教学难点。

我把这节课的教学目标进一步分解为三个子目标：即知识目标、能力目标与情感目标。知识目标中了解与理解内容是根据教学大纲的要求和学生原有的认知水平而确定；能力目标与情感目标则主要是考虑到本节内容的独特性与抽象性以及营造一种良好的学习氛围有益于提高学习兴趣与学习效果的因素。

根据以上教学内容和教学目标，依据前苏联著名教育家赞科夫的发展性教育理论与美国教育家加涅的九环节教学法，确定本节课采用的教学方法为启、思、演、练、结五字教学法，即以具体的教学史例引入课题，启发学生了解归纳法，通过提出 问题创设情境引导学生自学教材，启发学生积极思考，借助现代化教学工具电脑的动画演示和学生的动手实践提高直观性与趣味性，为教学难点突破提供感性基础，教学中教师及时精选些练习，帮助学生巩固与强化知识，而结则包含两方面的内容，一方面是教师在授课中的及时小结与点拨，另一方面是学生听课中的自我小结和巩固。本节课用到的教学辅助工具主要是多米诺骨牌、视频展示台和计算机。

从学法指导方面来讲，侧重两个层面内容：一是对学生的三项具体要求、二教师的四条具体指导措施，即讲述数学史例，吸引学生注意，渗透德育教育；复习数列知识，设置问题情境，引导学生思考；演示直观模型，化抽象为具体，突破教学难点；借助声像效果，营造愉悦情境，提高学习兴趣。接下来，着重介绍一下教学过程。

我把这节课的教学过程安排为四个环节，即新课引入环节、讲授新课环节、反馈练习环节、小结与作业环节，教学流程图请看屏幕。下面具体介绍：

新课引入，首先讲述数学家费马与欧拉的教学史例，通过教师声情并貌的演讲，丰富课堂情趣增强有意注意，从而自然引入归纳法、不完全归纳法、完全归纳法的概念并以此作为数学归纳法教学的一个生长点，同时通过史例教学渗透德育教育，培养学生严谨求实的精神。接下来，引导学生复习等差数列通项公式及其推导，学生思考，教师提问：既然用不完全归纳法得到的结论未必正确，那么等差数列通项公式也未必正确了。如何证明它的正确性，能否用完全归纳法证明，旧知识产生新问题，激发学生的心理需要，提高其进一步探求的兴趣，从而使数学归纳法这一课题的引入水到渠成。

第二环节是讲授新课，首先让学生动手摆放准备好的多米诺骨牌，请个别同学上台演示，针对其演示中的成功与失败，教师问：多米诺骨牌游戏为什么能成功，它对骨牌的摆放与操作有什么要求？学生思考，教师辅以电脑动画演示说明。教师予以具体概括。多米诺骨牌游戏要取得成功概括起来讲需要信赖两个条件：（1）第一张牌被推倒（2）假如前一张牌倒下，则后一张牌也必定倒下。教师指出其中（2）用的就是递推思想。如此通过动手、动画、动脑形象展示的递推关系，为教学难点突破提供直观的参照物作情感上的铺垫。从而分解数学归纳法的理解难点，在此基础上，教师追问：用这种方法能否证明等差数列的通项公式？如何证明？需要几个步骤？学生思考回答，教师予以板书，只要证明两个步骤：

（1）n=1时等差数列通项公式成立；（2）假设n=k时公式 成立，则n=k+1也成立

教师指出，这种证明方法就是数学归纳法。如此设计的意图是从实际的问题中提练出一般性的数学规律，再用得到的规律解决具体的数学 问题。使学生思维的浪花随着问题的深入起伏跳跃，始终处于积极主动的状态，同时用一张牌对应一个命题，用某张牌倒下对应某个命题的成立符合知识的迁移规律，有利于学生理解。

接下来，请学生自学课本六点一二节有关内容，并思考以下五个问题，如此设计的意图是有利于培养学生良好 的自学习惯，提高其独立分析与解决问题的能力，变学会为会学，充分体现以学生为主体的教学思想。同时，利用自学时间教师进行巡视与个别指导，使思维赞时受损的同学得到及时的解决与消化。自学后，教师请学生回答以上五个问题，集体补充、评析，教师适时启发与小结。小结中强调指出：数学归纳法是用来证明与自然数有关命题的重要方法，其核心是递推思想。证题的模式为两步及结论。其中步骤一是递推的递推的始点与基础，失去它，步骤二就成了无源之水，无本之木。步骤二是步骤一的延续，是递推的依据，没有它，递推只是不完全归纳，无法实现从有限到无限的过渡。两步的缺一不可，教学中可举反例予以具体说明。从实质上分析，数学归纳法是用递推的思想代替无限次的验证过程，即将无限递推的动态过程描述为静态的两个步骤。第二步实质上是证明命题具有递推性，即p(k)=p(k+1)具有蕴涵关系，因此假设并不假。事实上，有了一二两步骤后就建立了如下递推链：p(1)利用二得到 p(2)真再利用二得到p(3)真，再利用二得到

如此反复，得到命题对所有的自然数都是真命题。

在以上分析基础上，接下来，师生共同完成等差数学通项公式的完整证明。学生回答，教师予以板书，并进行具体分析。分析中，将证明的第二步骤进一步分解为运用递推关系、代入归纳假设、进行恒等变形三个子步骤，进一步分解难点，强化重点。这一环节，教师紧紧扣住递推这一关键，从介绍递推思想，认识递推思想到深入理解与运用递推思想，层层递进，步步为营，使学生真正理解数学归纳法的原理与实质，构建数学归纳法证题两步及结论的正确模式。

第三个环节，反馈练习。让学生完成等比数列通项公式的完整证明。教师巡视，将个别学生的证明用投影展示到屏幕，集体补充评析，如此设计的意图是进一步巩固所学知识，并使学生在练习与集体评析中体验到成功与进步的喜悦。

第四个环节，小结与作业。小结由师生共同完成。重点小结数学归纳法的原理与实质。教师强调指出：数学归纳法证题的第一步，只要验证n取第一个值,n不一定是1，2，可以是其它自然数；第二步必须要用到归纳假设，否则不是完全归纳。具体反倒学生课后完成。如此设计的目的是为课堂起到画龙点晴的作用，并为下节课的内容埋下伏笔，设置悬念。

作业分为阅读作业、书面作业与弹性作业，弹性作业不作统一要求，为不同程度的学生提供广阔的探求空间。

最后，我对这节课的教案设计作两点说明：

（一）板书设计，左边是投影屏幕，中间是数学归纳法的原理，右边是等差数列通项公式的完整证明。

（二）本节课力求体现的教学为特色有三点：

(1)以问题为教学线索。问题是数学的心脏，本课教学始终以问题解决为教学线索，在教师的主导与计算机的辅助下使学生的思维由问题开始，由问题深入。

（2）以学生为课堂主体。重视学生的智力参与 度，重视学生探求能力与创新能力的培养，激励学生积极思考、大胆质疑、动手实践。

（3）以情感为学习动力。苏霍姆林斯基认为情感是获取知识的土壤与动力。本课教学注意挖掘教材、教师、学生的情感因素，充分运用现代化教学工具电脑的辅助功能，提高学习兴趣与学习效果。

当然，在实际教学中，由于具体授课对象的不同可作容量与难度上的适当调整。只有这样才能真正体现有的放矢、因材施教。

讲述史例来引题 带着悬念去自习动手动画添情趣 抽象问题变具体。

教材的地位和作用

数学归纳法的地位和作用主要体现在以下3 个方面:

1.1 中学数学中的许多重要结论, 如等差数列、等比数列的通项公式与前n 项和公式, 二项式定理都可以利用数学归纳法进行证明.在实际问题中, 由归纳、猜想得出的一些与正整数有关的数学命题, 通过用数学归纳法加以证明可以使学生对有关知识的认识更加深入, 理解更加透彻.1.2 运用数学归纳法可以证明许多数学命题, 通过这些数学命题的证明, 既可以开阔学生的眼界, 又可以使他们受到推理论证的良好训练.1.3 数学归纳法在今后的数学学习过程中经常用到, 它是很重要的一种数学工具.因此, 掌握数学归纳法可以为今后的学习打下良好的基础.2 教学目标 2.1 知识目标

知识目标可确定为以下4 个方面:(1)正确理解数学归纳法原理.(2)正确理解数学归纳法中的递推思想.(3)正确理解用数学归纳法证明数学问题的有效性.(4)掌握数学归纳法证题的两个步骤.2.2 能力目标 能力目标可确定为以下3 个方面:

(1)让学生初步学会由特殊到一般的思维方式, 从而提高学生的思维能力.(2)通过运用数学归纳法证明一些简单的数学问题的教学, 提高学生解决问题的能力.(3)通过运用递推思想来认识登摩天大楼这一实际情境的教学, 提高学生分析问题的能力.2.3 情感目标

(1)通过由特殊到一般的思维方式的训练, 培养学生的辩证唯物主义观点.(2)通过数学归纳法的学习, 让学生的思维受到训练, 知识视野得到拓展.(3)通过我国数学家在证明哥德巴赫猜想问题中所取得的辉煌成果的介绍, 对学生进行爱国主义教育.教学方法

本节教学内容可采用尝试指导, 效果回授教学法.4 教学重点

4.1 讲清数学归纳法证题的两个步骤.4.2 讲清数学归纳法的基本思想.5 教学难点

对数学归纳法原理的理解是本节课的教学难点.6 教学过程

6.1 启发诱导, 创设问题情境, 引入归纳法.首先, 启发学生回顾等差数列通项公式的推导方法, 由此引入归纳法的定义.教师引言: 在高一的时候, 我们学习了等差数列的通项公式, 请大家回顾一下, 等差数列的通项公式在教材上是怎样推导的? 学生回答后教师讲述: 教材上的推导方法是: 先写出前几个项的表达式: a2= a1+ d , a3= a2+ d =(a1+ d)+ d = a1+ 2d , a4= a3+ d =(a1+ 2d)+ d = a1+ 3d ,., 由此概括出通项公式为: an = a1+(n-1)d(n ∈ N3).得出通项公式之后, 引导学生观察这种推导方法的特征.这种推导方法的特征是: 先考察前面有限项的规律, 然后概括出一般性的结论.像这种由一系列有限的特殊事例得出一般结论的推理方法叫做归纳法.由此给出归纳法的定义.得出归纳法的定义之后, 举实例来说明归纳法的作用与缺陷.于是, 教师作如下讲述: 归纳法是一种由特殊到一般的推理方法, 它是一种十分重要的数学方法.利用归纳法可以帮助我们从一系列特殊的事例中发现普遍规律, 得出一般性的结论, 许多著名的数学问题都是利用归纳法发现的.例如, 著名的哥德巴赫猜想就是利用归纳法发现的.1742 年, 德国数学家哥德巴赫从下面的一些具体事例中发现了普遍规律:6= 3+ 3,8= 3+ 5,10= 3+ 7,12= 5+ 7,14= 7+ 7,16= 3+ 13,18= 5+ 13,20= 3+ 17,., 由此, 他归纳出如下结论: “任何一个不小于6 的偶数均可表为两个奇质数之和”, 这就是著名的哥德巴赫猜想.三百多年以来, 全世界众多的数学家为了证明这个世界难题耗尽了心血.我国数学家对哥德巴赫猜想问题的研究取得了辉煌的成就:

1938 年, 我国著名数学家华罗庚证明了哥德巴赫猜想对几乎所有的偶数都成立.50 年代中期, 我国著名数学家王元先后证明了哥德巴赫猜想问题的“3+ 4”和“2 + 3”, 即偶数=(3 + 4), 偶数=(2 + 3), 所谓“3+4”指的是一个充分大的偶数均可表为3 个奇质数的积与4 个奇质数的积之和, 对于“2 +3”也有同样的意义.1962 年, 我国著名数学家潘承洞证明了偶数= “1+ 5”, 同年, 我国数学家王元和潘承洞又证明了偶数= “1+ 4”.1973 年, 我国数学家陈景润证明了哥德巴赫猜想问题的“1+ 2”, 即偶数= “1+ 2”.陈景润的这一研究成果轰动了国际数学界, 达到了世界领先水平, 被称为辉煌的陈氏定理.国际数学们惊叹地说: 是什么力量和意志使陈景润解决了如此之难的世界难题, 真是移动了群山.陈景润的研究成果显示了中华民族的聪明才智, 为中国人争了光, 我们应该感到骄傲与自豪.但是, 哥德巴赫猜想问题还没有完全解决, 它要证明的结论是偶数= “(1+ 1)”, 陈景润完成了“(1+ 2)”的证明, 还差最后一步.因此, 还需要人们继续研究, 不少的数学家曾经把哥德巴赫猜想比作是数学这顶皇冠上的一颗明珠, 究竟是谁能摘下这颗闪闪发光的明珠呢? 也许他是世界上的某一位大数学家, 也许他就是我们在坐的某一位同学, 有志者事竟成, 同学们努力吧, 一颗闪闪发光的明珠在等待着你们去摘取!

用哥德巴赫猜想这个著名数学问题的发现与证明的介绍, 既说明了归纳法的重要作用, 又对学生进行了爱国主义教育, 增强了学生的民族自豪感, 实现了寓德育于数学教学之中的融合.6.2 尝试探求知识, 引入数学归纳法.由于归纳法得出的结论具有不可靠性, 据此引入实例, 创设情境, 引导学生尝试探求知识, 寻找证明方法, 引入数学归纳法.教师引言: 由上面的讨论我们可以看到, 利用归纳法可以发现一些著名的数学命题.但是, 由归纳法得出的结论不一定可靠.请看下面的一个实例: 已知一个数列{an } 的通项公式是:an =(n 2-5n + 5)2.容易验证: a1= 1, a2= 1, a3 = 1, a4= 1.如果我们由此就归纳出结论: 对于任意正整数n, 都有an = 1,这就错了.事实上, 当n =5 时, a5= 25 ≠ 1, 这就给我们提出一个问题: 用什么方法来证明由归纳法得出的与正整数有关的数学命题是正确的呢? 一个一个地依次检验下去行吗? 这显然是不可能的, 因为正整数的个数有无限多个, 我们是永远也验证不完的.作大量的有限次验证行吗?也不行!因为一个与正整数有关的数学命题, 仅仅靠有限次验证是不能断定它对任意的正整数都能成立.请看这样一个例子: 已知数列{an } 的通项公式是an = n 2+ n + 72 491(n ∈ N3).数学家们对它进行了上万次验证, 他们从n =1 开始, 依次验证到n = 11 000, an 的值都是质数.能不能由此下结论: 对一切正整数n, an 的值都是质数呢? 我们考察n = 72 490 时的值.此时, an = 72 4912, 显然它不是质数而是一个合数.由此可见, 一个与正整数n 有关的数学命题, 靠有限次验证是不能断定它的正确性的.因此, 我们必须寻找一种新的方法来解决与正整数有关的数学命题的证明问题.用什么方法才能解决与正整数有关的数学命题的证明问题呢? 为了回答这个问题, 下面给大家讲一个故事:

1998 年圣诞节那一天, 我国的3 位留美

学生, 去攀登美国的最高建筑物—— 摩天大楼, 摩天大楼一共有108 层高, 一个名叫李勇的同学提仪: 我们步行上楼, 另外两个同学反对说: 我们步行上不去, 你李勇能登上吗? 李勇对这两位同学说: 通过我平时的锻炼, 我具有两点功能, 第一, 第一层楼我是能够上去的: 第二, 只要第k 层楼上去了, 那么, 第k +1层楼我也是能够上去的, 说完之后便转身开始上楼了.结果怎样呢?李勇同学能够登上摩天大楼的最高层吗?(抽学生回答, 并简要说明理由)学生回答之后, 教师指出: 根据李勇同学的第一个功能, 第一层楼他是能够上去的, 根据他的第二个功能, 第一层楼上去了, 第二层楼他也是能够上去的, 又根据他的第二个功能, 第二层楼上去了, 第三层楼他也是能够上去的.如此递推下去, 摩天大楼的最高层李勇同学是能够登上去的.引导学生思考: 将108 层换为n 层(n 为任意给定的正整数), 李勇同学能够登上第n 层吗?

学生回答之后, 教师指出: 根据李勇同学所具有的两点功能, 按照上面的推理方法可知, 他是能够登上第n 层的.然而, 一个关键的 问题在于需要验证李勇同学是否真正具有他所说的两点功能.如果通过验证之后, 他确实具有所说的两点功能, 那么, 任意高的建筑物 李勇同学都是可以登上去的.设问引导学生思考: 上面这个故事告诉了我们一个什么道理呢? 从中我们可以得到什么启迪呢?(此问题的引入能激发学生思维的积极性)学生回答后教师指出: 这个故事告诉了我们这样一个道理: 一个与正整数有关的数学命题, 要证明它的正确性, 只需要完成两个步骤的证明就可以了.第一步: 验证当n 取第一个值n0 时结论正确.第二步: 假设当n = k(k ∈ N3 , k ≥ n0)时结论正确, 证明当n = k +1 时结论也正确.完成了这两步的证明之后, 根据李勇同学登摩天大楼的推理方法, 就可以推得命题对从n0 开始的所有正整数n 都能成立.这种证明方法称为数学归纳法.(板书课题)

设问引导学生思考: 用数学归纳法来证明一个与正整数有关的数学命题的正确性为什么是有效的? 可靠的?(本节内容的难点之一)

学生回答之后教师指出: 我们可以这样来理解: 数学归纳法的第一步与李勇同学的第一个功能相当, 李勇同学的第一个功能是: 第一层楼他是可以登上去的, 数学归纳法的第一步是验证当n 取第一个值n0 时命题正确.第二步, 当n = n0 成立时, n = n0 +1 成立, 再根据第二步可推得n =(n0 + 1)+ 1 =2 也成立, 如此递推下去,可推得命题对从n0 开始的任意正整数都能成立.数学归纳法的第二步与李勇同学的第二个功能相当, 李勇同学的第二个功能是: 第k 层楼上去了, 第k +1 层楼他也能够登上去, 数学归纳法的第二步是: 假设n = k 时命题成立, 由此推证n = k +1 时命题也成立.完成了数学归纳法的两个步骤的证明之后, 就相当于验证了李勇同学具有两个功能.按照李勇同学登摩天大楼类似的推理方法, 可以推得命题对从n0 开始的所有正整数都能成立.事实上, 当完成了数学归纳法的两个步骤的证明之后, 根据第1 步可知, 当n = n0 时成立, 根据

因此, 用数学归纳法来证明与正整数有关的数学命题是可靠的、有效的.上述推理过程可用下面的框图来表示

设问引导学生思考: 数学归纳法的第2 步是在假设n = k(k ∈ N3 , k ≥ n0)时结论成立的条件下去推证它的后继数n = k +1 时结论也成立.这个假设有没有根据? 如果没有根据, 那么我们的证明是无效的.学生回答之后教师指出: 假设n = k 时结论成立是有根据的, 由第1 步可知n = n0 时结论成立, 我们取k = n0, 于是, 假设n = k = n0 成立就不再是假设而是一个已经成立的事实了, 再根据第2 步, 当n = k = n0 均成立时, n = n0+ 1 也成立, 又取k = n0+ 1.此时, 假设n = k = n0+ 1 成立又是一个已经成立的事实了.如此取下去, 每一个假设n = k 成立都是有根据的.因此, 我们的证明是有效的.(本节内容的难点之二)

6.3 尝试训练, 检验回授尝试效果

通过两个实例的证明与一个问题的变式训练, 检验教学的回授尝试效果.教师引言: 下面我们看两个实例.实例1 用数学归纳法证明等差数列的通项公式an = a1+(n-1)d(n ∈ N3).前面我们谈到等差数列的通项公式an = a1+(n-1)d 是利用归纳法推导出来的, 我们已经知道, 用归纳法得出的结论不一定可靠, 需要证明之后才能判定它的正确性.下面, 我们利用数学归纳法来证明这个结论是正确的.首先完成第1 步的证明, 第1 步要证明的是: 当n 取第一个值n0 时结论成立, 在此问题中n 的第一个值n0= ?n0= 1, 因此, 我们需要 证明n =1 时结论成立.1° 当n =1 时, 左边= a1, 右边= a1+(1-1)d = a1, 左边= 右边, 结论成立.下面, 我们来完成第2 步的证明, 第2 步的证明首先要作一个假设: 假设n = k(k ∈ N3)时结论成立, 然后利用这个假设条件去推证n = k + 1 时结论也成立.2° 假设n = k(k ∈N3)时结论成立, 这一句话的意思是: 在等式an = a1 +(n-1)d 中, 将n 换成k 时等式成立, 即ak = a1 +(k-1)d 成立, 下面就是要利用这个等式ak(k-1)d 去推证n = k +1 时, 等式an = a1+(n-1)d 也成立.当n = k +1 时, 等式an = a1+(n-1)d 变为: ak+ 1 = a1+ [(k + 1)-1]d.我们的目标就是要利用等式ak = a1+(k-1)d 成立作为条件去推证ak+ 1 = a1+ [(k + 1)-1]d 成立.如何证明呢? 根据等差数列的定义可知, ak+1 = ak + d , 将ak = a1+(k-1)d 代入得

ak+1 = ak + d =[a1+(k-1)d ]+ d = a1+ [(k + 1)-1]d , 这表明, 当n = k +1 时结论也成立.由1°、2°可知, 结论对任意正整数n 都成立.[证毕] 教师点评: 在证明第2 步时一定要运用归纳假设.否则, 其证明是错误的.请看下面的例子.实例2 用数学归纳法证明n(n + 1)是偶数(n ∈ N3).证 1°当n =1 时, n(n + 1)= 1.(1 + 1)= 2 是偶数, 结论成立.2°假设n = k(k ∈ N3)时结论成立, 即k(k + 1)是偶数.当n = k +1 时, 若k 是奇数, 则k +1 为偶数, 乘积(k + 1)(k + 2)为偶数;若k 为偶数, 则k +2 是偶数, 乘积(k + 1)(k + 2)为偶数.由此可知, 无论k 是奇数或偶数, 乘积(k + 1)(k + 2)都为偶数, 这表明当n = k +1 时结论成立.由1°、2°可知, 对任意正整数n, 乘积n(n + 1)为偶数, 故结论成立.[证毕]

引导学生思考: 上面的证明方法对吗? 若有错, 错在哪里? 学生回答之后教师指出: 第1°步的证明是对的, 第2°步的证明其推理方法也是对的, 但是不属于数学归纳法.因为它没有利用归纳假设n = n = k 时结论成立, 去推证n = k +1 时结论也成立.没有建立n = k 到k + 1 之间的递推关系, 因此, 其证明方法是错误的.请大家思考: 第2°步的证明应该怎样证才是正确的? 让学生练习, 学生练习之后教师给出如下证法:

2°假设n = k 时结论成立, 即k(k + 1)为偶数, 当n = k +1 时, 所证的目标是(k + 1).(k + 2)为偶数, 由于(k + 1)(k + 2)= k(k + 1)+ 2(k + 1).根据归纳假设可知, k(k + 1)为偶数, 又因为2(k + 1)为偶数, 所以, k(k + 1)+ 2(k + 1)为偶数, 这表明当n = k + 1 时结论成立.由1°、2°可知, 结论对任意正整数都成立.[证毕]

614 归纳小结, 纳入知识系统

本节课我们学习了归纳法和数学归纳法这两种重要的推理方法和证明方法.归纳法它是一种由特殊到一般的推理方法, 利用它可以帮助我们从一系列具体的事例中发现一般规律.但是, 由归纳法得出的结论不一定可靠, 需要证明之后才能判断它的正确性.要证明一个由归纳法得出的与正整数有关的数学命题的正确性, 通常利用数学归纳法来给予证明.数学归纳法是一种重要的证明方法, 它的第1°步是递推的基础, 第2°步是实现递推过程的根据, 只有第1°步没有第2°步就不可能实现递推过程, 只有第2°步没有第1°步, 归纳假设就没有根据.因此, 数学归纳法的两个步骤相互依赖, 缺一不可, 只有当两个步骤都完成之后, 才能判定命题对从n0 开始的所有正整数都能成立.数学归纳法的应用是广泛的, 如何恰当地利用数学归纳法来证明一个与正整数有关的数学命题的正确性呢? 在论证的过程中又有哪些技巧呢? 这些问题的回答请听下回分解.

第二篇：《数 轴》说 课 稿

《数 轴》说 课 稿

云南师范大学成人教育数学系数学与应用数学专业

代兴祥

尊敬的各位老师：

早上好！我是云南师范大学数学与应用数学毕业的学生代兴祥，能参加这次说课，我感到十分高兴，同时也非常珍惜这样一个难得的交流和学习的机会，希望大家多多指教。我今天的说课课题是数轴。

一、教材分析：

本节课主要是在学生学习了有理数概念的基础上，从标有刻度的温度计表示温度高低这一事例出发，引出数轴的画法和用数轴上的点表示数的方法，初步向学生渗透数形结合的数学思想，使学生借助直观的图形来理解有理数的有关问题。数轴不仅是学生学习相反数、绝对值等有理数知识的重要工具，还是以后学好不等式的解法、函数图象及其性质等内容的必要基础知识。

二、教学目标：

根据新课标的要求及七年级学生的认知水平我特制定的本节课的教学目标如下：

1.使学生理解数轴的三要素，会画数轴。

2.能将已知的有理数在数轴上表示出来，能说出数轴上的已知点所表示的有理数，理解所有的有理数都可以用数轴上的点表示

3.向学生渗透数形结合的数学思想，让学生知道数学来源于实践，培养学生对数学的学习兴趣。

三、教学重点难点：

重点：正确理解数轴的概念和有理数在数轴上的表示方法。

难点：建立有理数与数轴上的点的对应关系(数与形的结合)。

四、学情分析：

⑴知识掌握上：七年级学生刚刚学习有理数中的正负数，对正负数的概念理解不一定很深刻，许多学生容易造成知识遗忘，所以应全面系统的去讲述。

⑵学生学习本节课的知识障碍。学生对数轴概念和数轴的三要素，学生不易理解，容易造成画图中丢三落四的现象，所以教学中教师应予以简单明白、深入浅出的分析。

⑶由于七年级学生的理解能力、思维特征、生理特征、学生好动性、注意力易分散，爱发表见解，希望得到老师的表扬等特点，所以在教学中应抓住学生这一生理心理特点，一方面要运用直观生动的形象，引发学生的兴趣，使他们的注意力始终集中在课堂上；另一方面要创造条件和机会，让学生发表见解，发挥学生学习的主动性。

⑷心理上，学生对数学课的兴趣，老师应抓住这有利因素，引导学生认识到数学课的科学性，学好数学有利于其他学科的学习以及学科知识的渗透性。

五、教学策略：

由于七年级学生的理解能力和思维特征，他们往往需要依赖直观具体形象的图形的年龄特点，以及七年级学生刚刚学习有理数中的正负数，对正负数的概念理解不一定很深刻，许多学生容易造成知识遗忘，也为使课堂生动、有趣、高效，特将整节课以观察、思考、讨论贯穿于整个教学环节之中，采用启发式教学法和师生互动式教学模式，注意师生之间的情感交流，并教给学生“多观察、动脑想、大胆猜、勤钻研”的研讨式学习方法。教学中积极利用板书和练习中的图形，向学生提供更多的活动机会和空间，使学生在动脑、动手、动口的过程中获得充足的体验和发展，从而培养学生的数形结合的思想。

为充分发挥学生的主体性和教师的主导辅助作用，教学过程中设计了七个教学环节：

（一）、温故知新，激发情趣

（二）、得出定义，揭示内涵

（三）、手脑并用，深入理解

（四）、启发诱导，初步运用

（五）、反馈矫正，注重参与

（六）、归纳小结，强化思想

（七）、布置作业，引导预习

六：教学程序设计：

（一）、温故知新，激发情趣：

首先复习提问：有理数包括那些数？学生回答后让大家讨论：你能找出用刻度表示这些数的实例吗？学生会举出很多例子，但是由于温度计与数轴最为接近，它又是学生熟悉的带刻度的度量工具，所以在教学中我将用它来抽象概括为数轴这一数学模型，于是让学生观察一组温度计，并提问：

（1）零上5°C用 5 表示。

（2）零下15°C 用-15 表示。

（3）0°C 用 0 表示。

然后让大家想一想：能否与温度计类似，在一条直线上画上刻度，标出读数，用直线上的点表示正数、负数和0呢？答案是肯定的，从而引出课题：数轴。结合实例使学生以轻松愉快的心情进入了本节课的学习，也使学生体会到数学来源于实践，同时对新知识的学习有了期待，为顺利完成教学任务作了思想上的准备。

（二）、得出定义，揭示内涵：

教师设问：到底什么是数轴？如何画数轴呢？

（1）画一条水平直线。

（2）在直线上适当选取一点为原点（这里说明在直线上任取一点作为原点，这点表示0，数轴画成水平位置是为了读、画方便，同时也为了有美的感觉。）

（3）确定向右为正方向，用箭头表示出来（这里说明我们在水平位置的数轴上规定从原点向右为正方向是习惯与方便所作,由于我们只能画出直线的一部分，因此标上箭头指明正方向，并表示无限延伸。）

（4）选取单位长度，标数（这里说明任选适当的长度作为单位长度，标数时从原点向右每隔一个单位长度取一点，依次表示1、2、3„负数反之。单位长度的长短，可根据实际情况而定，但同一单位长度所表示的量要相同。）

由于画数轴是本节课的教学重点，教师板书这四个步骤，给学生以示范。

画完数轴后教师引导学生讨论：“怎样用数学语言来描述数轴？”（通过教师的亲切的语言启发学生，以培养师生间的默契）

通过讨论由师生共同得到数轴的定义：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。

至此，我们将一个具体的事物“温度计”经过抽象而概括为一个数学概念“数轴”，使学生初步体验到一个从实践到理论的认识过程。

（三）、手脑并用，深入理解：

为进一步强化概念，在对数轴有了正确认识的基础上，请大家在练习本上画一个数轴，（请同学画在黑板上）学生在画数轴时教师巡视并予以个别指导，关注学生的个体发展，画完后教师给出评价，如“很好”“很规范”“老师相信你，你一定行”等语言来激励学生，以促进学生的发展；并强调：原点、正方向和单位长度是数轴的三要素，画数轴时这三要素缺一不可。

我设计以上两个练习，一个是动脑想，通过分析、判断正误来加深对正确概念的理解；一个是通过动手操作加深对概念的理解。

（四）、启发诱导，初步运用：

有了数轴以后，所有的有理数都可以表示在数轴上，那么反过来，数轴上的点是否只表示有理数呢？作为一个问题我让学生去思考，为后面实数的学习埋下伏笔，这里不再展开。

安排课本23页的例1，利用黑板上的例题图形让学生来操作，教师提出要求：

1、要把点标在线上

2、要把数标在点的上方，通过学生实际操作，可以加深对数轴的理解，进一步掌握用数轴上的 2

点表示数的方法，同时激发学生的学习兴趣，调动学生的积极性，从而使学生真正成为教学的主体。当然，此题还可以再说出几个有理数让学生去标点，好让更多的学生去展示自己，并进一步让学生从中感受已知有理数能用数轴上的点表示，从而加深对数形结合思想的理解。

（五）、反馈矫正，注重参与：

为巩固本节的教学重点让学生独立完成：

1、课本23页练习1、2

2、课本23页3题的（给全体学生以示范性让一个同学板书），为向学生进一步渗透数形结合的思想让学生讨论：

3、数轴上的点P与表示有理数3的点A距离是2，（1）试确定点P表示的有理数；

（2）将A向右移动2个单位到B点，点B表示的有理数是多少？

（3）再由B点向左移动9个单位到C点，则C点表示的有理数是多少？

先让学生通过小组讨论得出结果，通过以上练习使学生在掌握知识的基础上达到灵活运用，形成一定的能力。

（六）、归纳小结，强化思想：

根据学生的特点，师生共同小结：

1、为了巩固本节课的教学重点提问:你知道什么是数轴吗？你会画数轴吗？这节课你学会了用什么来表示有理数？

2、数轴上，会不会有两个点表示同一个有理数？会不会有一个点表示两个不同的有理数？

让学生牢固掌握一个有理数只对应数轴上的一个点，并能说出数轴上已知点所表示的有理数。

（七）、布置作业，引导预习：

为面向全体学生，安排如下：

1、全体学生必做课本25页1、2、3

2、最后布置一个思考题：与温度计类似，数轴上两个不同的点所表示的两个有理数大小关系如何？（来引导学生养成预习的学习习惯）

总之，在教学过程中，我始终注意发挥学生的主体作用，让学生通过自主、探究、合作学习来主动发现结论，实现师生互动，通过这样的教学实践取得了良好的教学效果，我认识到教师不仅要教给学生知识，更要培养学生良好的数学素养和学习习惯，让学生学会学习，才能使自己真正成为一名受学生欢迎的好教师。

以上是我的说课内容，不足之处请各位老师多多批评、指正，谢谢.代兴祥

2011-6-14 3

第三篇：数鸭子说课搞完整版

《数鸭子》说课稿

我讲的是义务教育九年一贯制音乐第二册第三课《手拉手》中的歌曲《数鸭子》。

一、设计理念

本着以音乐审美为核心，以兴趣爱好为动力，重视音乐实践，鼓励音乐创造的基本理念，培养学生自信、有感情地演唱，自然地演唱，并能通过小组合作，以即兴创作方式表达自己的情感通过聆听音乐、模仿动物的动作和叫声，演唱歌曲，创编歌词等，让学生充分认识动物，感受音乐中的动物，了解动物的生存环境，知道动物是人类的朋友。

二、教材分析

《数鸭子》是一首颇具说唱风格、形象生动、活泼有趣的童谣歌曲。歌词描述了小朋友看到鸭群游过大桥、兴奋地数鸭子的情形。歌曲前后皆有数板，说唱结合，表现出儿童活泼可爱的天性，童趣盎然。歌曲第一段描述小朋友们在门前大桥下数鸭的情景，第二段以老爷爷风趣幽默的口吻教育孩子平时要养成良好的学习习惯，别贪玩忘了上学，还形象地告诉孩子们考试时千万别抱回“鸭蛋”，充满了浓郁的生活气息。

教学目标：

情感目标：完整地聆听歌曲录音，用听唱的方式学会歌曲。能完整、准确，有感情地演唱《数鸭子》。

认知目标：引导学生聆听和演唱《数鸭子》感受不同音乐要表现的不同动物的形象及场景。

能力目标：启发学生创编歌词，表现自己喜爱的小动物。教学重难点：

一、引导学生用自然的声音，活泼的情绪以及休止符能准确的读出并可以演唱歌曲，感受不同音乐要素所表现的不同场景。

二、启发学生创编歌词。

教学用具：电子琴，录音机，自制卡片等。

三、说教法

兴趣是最好的老师，所以我使用卡片节奏图的方法，激发学生学习音乐的兴趣，同时充分利用生动形象的教学语言，使之贯穿于整个教学过程中，以调动学生学习的各级性和主动性，使整个教学活动成为师生之间不断进行思维交流与心灵沟通的过程。

四、说学法

1、体验感知法

通过体验生活中动物的叫声，感受动物是人类的朋友，我们要保护动物、爱护动物。

2、合作学习法

通过合作，进行创编活动，培养学生的合作精神和创造力。

五、说教学过程

1、导入新课

①通过导入一段鸭子拌嘴的音乐进入今天的课题。

②让同学们来表演鸭子伴嘴的声音，并让同学们去听使用了什么乐器。

2、学习歌曲《数鸭子》

1.师范唱，完整地聆听《数鸭子》，学生初步感受歌曲情绪，学生在欣赏歌曲时，可边拍手边听。

2.节奏训练

学生学习念白，并根据节奏拍手。3.学唱歌曲

学生学习唱谱之后朗读歌词。由于许多学生可能在幼儿园时已经学过此歌，所以很快就能熟练地唱出这首歌。我主要强调学生要在歌曲前面加上念白完整地歌唱。

4.老师使用钢琴或者是录音机在带着学生去多次演唱歌曲，从而加深对歌曲的熟悉程度。

5.让学生自由地创编动作，跟随音乐表演唱，表演自己心中的鸭子。6．再由老师请几名同学生来，有老师带着同学们去边做动作，边表演唱。

3、编创歌词

①谈话引入：“小朋友们喜爱的小动物还有很多很多呢，你们能给其他动物编上歌词并说出来吗？”让我们来当“小小作词家吧”。

②鼓励学生进行创编。

③选择几种，跟着音乐一起唱。

（培养学生的音乐创造能力，同时引导学生要关于观察、关于模仿，通过模仿，由易到难、循序渐进地进行创造。

4、小结

师：动物是人类的朋友，我们要保护动物，爱护动物。听着小朋友们美妙的歌声，看着大家亲密无间的合作，老师心里无比的高兴。同学们还可以把小动物们请到我们的歌曲中来，和他们成为好朋友，你们可真的很能干！

整个教学过程从一开始的律动，后来的模仿到创编和即兴表演，运用感知法、认知法、学唱法，让学生用有感情的演唱和肢体语言表达对小动物的喜爱之情。通过创编，培养合作精神和创新能力，获得成功的喜悦。使学生的演、唱、创新、合作能力得到很好的发展，并渗透了思想教育。

第四篇：《用字母表示数》说课

《 用字母表示数》说课稿

一、说教材分析

1、教学内容：本节课是人教版小学数学五年级的第一课时《用字母表数》。由于小学生由具体的数过渡到用字母表示数，是认识上的一次飞跃。对于他们来说是很抽象的、显得较枯燥的，而且用字母表示数有许多知识和规则与小学生原来的认识和习惯不同，而这些知识和规律又是学习简易方程以及中学里学习代数的主要基础。

2、教学目标：原教案教学目标的制定中是以“掌握必要的知识技能”作为标准对学习目标进行分解的，根据认知领域发展的不同层次将整体目标分解成“认知——学会——掌握”，要求学生理解和掌握用字母表示数的方法，知道用字母可以表示数，含有字母的式子既可以表示数量关系，也可以表示数量。会用字母表示数量关系，能求含有字母的式子的值。由于仅仅着眼于认知的角度，单纯以知识技能的掌握为标准来分解目标，因而由此而形成的学习目标是缺乏“整体、系统发展”的意义。新教案对学习目标的分解是以“学生的全域发展”作为标准进行的，更注重了学生的主体性和目标的可操作性。学习目标首先被分解为“知识和能力”、“过程和方法”、“情感、态度与价值观”。不仅解决了“学到什么”和“怎样学习”的问题，尤其解决了“喜欢学”和“主动学”的问题。

二、说教学方法

“教必有法而教无定法”，只有方法得当，才会有效。根据本课教学内容的特点和学生思维活动的特点，我采用了情景教学法和讲练结合的教学方法。

三、说学生学法

首先我创造良好的环境，引导学生从喜欢的、已知的、熟悉的生活内容入手，让学生自己在特定的环境下不知不觉中建立字母就在生活中，就在我们身边，再通过一系列活动，学生合作交流、自主探索进一步了解了字母可以表示数，含有字母的式子既可以表示数量关系，也可以表示数量。再通过各种联系将其转化为解决问题的策略，发掘不同层次学生的不同能力，从而达到培养学生挖掘问题能力、交流能力和解决问题的能力。

四、说教学活动

1、变“教教材”为“用教材教”。教案的导入和用字母表示数教学上是按教材内容来进行教学的，思路在继续“教教材”，不仅教学过程一般化，学生也没有真正进入积极能动的学习状态。教师从教教材，到用教材教，是一种观念和方法的转变；从用教材中的材料教，到选择、设计合适的材料教，更是一种创造和发展。教师要善于发现和选择有利于学生发展的学习材料，促使学生主动学习，和谐发展。本节课抛开了教材中的原有例题，从学生生活中选择教学素材。我们认为选择这样的材料不仅有助于学生的发展，也有助于数学学习材料的发展，能促使学生积极思维，有利于组织学生积极主动地投入学习。教师不应该仅仅是课程的实施者，而且应该成为课程的创造者和开发者。故在新教案中的导入和对知识技能的掌握上是按照学生的年龄特点（也包括教师自身的优势、特长）所设计的。课前谈话就足以激发起学生的兴趣，深深激发学生好奇心和积极性。一则“失物招领”和“畅想年龄”激发学生求知的欲望。同时还注重调动学生的主体性和主动性，创设了一定的学习情境，激发学生主动去畅想自己和老师的年龄，购买喜欢的物品，既直观又符合学生的心理特点。

2、以学生生活经历为素材，将生活中的实际问题提升到数学角度。原教案的学习活动的设计忽略了充分利用学生的知识经验基础、认知特点。新教案的学习活动重视了学生的年龄特点和学生已有的知识经验。如在“用小棒摆三角形”中，引导学生分析得出字母a可以表示任意一个数，初步感知了用字母表示数的意义。又大胆调用学生熟知的生活经验，使数学学习变得易于理解掌握。学生对于怎样用单价、数量求总价已经很熟悉，因此，我就直接让学生按照教师的特殊要求自由选购食品，并列出求总价的式子。经过分析，概括得出可以用含有字母的式子表示数量关系。

在这节课的练习中，安排了以下几个情境练习：根据相关条件用代数式表示任课老师和听课老师的年龄。练习设计有层次，有新意。

第五篇：中班说课：数高楼

中班歌曲《数高楼》

一、设计意图：

我们知道，音乐是孩子的天性，是促进孩子全面发展的重要教育手段，音乐是表现情绪、情感的最好方式，要引导孩子喜欢艺术活动，大胆表现自己的情感和体验，那么寻找合适的教材也是相当重要的。《数高楼》是一首旋律上口易唱，行动活泼，富有动感的2拍子歌曲，音域范围是C1-C2，在歌词方面，歌词虽然比较繁复，但是里面没有特别难理解的地方，而且里面的说唱十分新颖有趣，非常适合孩子的口味。节奏中出现了2个附点音符和2个休止符，这对于中班孩子来说也是一种挑战。我们班的孩子喜欢唱歌，对音乐也有初步的理解和欣赏能力，但对唱歌缺乏持久的热情，如此有趣的说唱歌曲能激发幼儿的兴趣，而一个乐句中既出现附点音符又出现休止符也能提高幼儿对于节奏的把握，因此我选择此内容进行教育教学活动。

二、目标定位

活动的目标是教育活动的起点和归宿，对活动起着导向作用，根据大班孩子的年龄特点及实际情况，我确定了以下目标。

1、感受歌曲，在帮助孩子理解歌词的基础上初步学唱歌曲。能唱准附点音符和休止符的时值。

2、尝试有节奏地数高楼，感受说唱活动的乐趣。

三、为了达成目标，我做了以下准备:

1、帮助孩子理解歌词的图谱

2、节奏谱两份

一份是数高楼的节奏，一份是有附点音符和休止符的节奏谱。

3、录音机、音乐。

4、高楼的图片。

四、活动过程： 我设计了四个环节：

（一）、律动《郊游》入场，导入活动

（二）、感受歌曲，在帮助孩子理解歌词的基础上初步学唱歌曲。能唱准附点音符和休止符的时值。

（三）、尝试用动作表现歌曲，体验音乐表演的乐趣。

（一）、律动《郊游》入场，导入活动 师带领孩子听郊游的音乐进入教室，引导孩子能跟着2拍子歌曲合拍地走进教室，并能根据歌词内容自由创造合拍地做各种动作。在这里我需要关注以下细节，幼儿做动作时的空间位置。要引导幼儿分开一点，不能太挤。在歌曲结束的时候适时出示高楼的图片，导入活动。

（二）、感受歌曲，在帮助孩子理解歌词的基础上初步学唱歌曲。能唱准附点音符和休止符的时值。

这是本次活动的重点、我在这里分为2个步骤:

1、了解节奏型，尝试有节奏地数高楼

以：“小弟弟、小妹妹他们也在数高楼，我们来听听看他们是怎么数的？引导孩子倾听音乐，鼓励孩子讲述是怎么数高楼的？同时出示节奏谱，因为有两个节奏乐句是一样的，所以在出示的时候上面一句，下面一句，这样便于比较理解两个乐句是一样的。出示节奏谱后鼓励孩子看图谱有节奏地数高楼。为下面学唱歌曲做铺垫。

2、利用图谱，理解歌词内容。学唱歌曲。能唱准附点音符和休止符的时值。

由于在这里由于歌词比较繁复，所以引导孩子用图谱记忆歌词。通过提问：这首歌曲里除了听到数高楼你还听到什么呢？引导孩子回忆歌词内容，教师并出示图谱，由于本首歌曲的歌词十分繁复，所以我觉得教师有必要清唱一遍歌曲，带领幼儿逐句回忆，借助图谱引导幼儿记忆，把握歌曲的内容和节奏，在歌词中有一句比较难理解的“答数没法求”教师要向幼儿解释是因为楼太高了，数不清楚，所以说答数没法求。在理解歌词内容的基础上引导幼儿演唱歌曲，在开始演唱的时候要指导幼儿看着图谱演唱，看着图谱演唱能引导幼儿更准确地记忆歌词，把握歌词，在演唱的时候，里面的附点音符和休止符这个乐句是整首歌曲的难点，所以在这个环节中，把这个乐句拿出来，鼓励幼儿拍一拍节奏，掌握附点音符和休止符，在休止符的地方可以摊平手表示。然后从看着图谱演唱过渡到跟着琴声演唱。引导幼儿唱准音，把握节奏。在跟着琴声演唱的时候可以演唱3遍，逐步加深要求，可以从唱得轻一点到唱得响一点。并提醒幼儿唱准休止符唱清歌词。

（三）、尝试用动作表现歌曲，体验音乐表演的乐趣。

反复的学唱是一种枯燥的活动，我认为音乐活动中给予幼儿欣赏、表现音乐的机会也非常重要，为此，我设计了这个环节，引导幼儿边唱边用动作表现歌曲，这个环节中幼儿的表现欲望很强，要关注幼儿以下细节：

1、要关注幼儿的空间位置，可以一半幼儿在旁边搭一排高楼，一半幼儿边唱歌边数。

2、要提醒幼儿用符合音乐情绪的动作表现音乐，鼓励、欣赏幼儿的表现，为幼儿的积极表现注入动力。

五：活动延伸：进行音乐游戏《数高楼》