“函数的单调性”优课-教学设计

第一篇：“函数的单调性”优课-教学设计

“函数的单调性”微课教学设计

杜小平

罗定实验中学

一、教学目标：

1、知识与技能目标：让学生理解增函数和减函数的定义，能根据定义证明函数的单调性；并能根据函数图像说出函数的单调区间。

2、过程方法与能力目标：通过对函数单调性定义的探究，渗透数形结合、类比等数学思想方法，培养学生观察、归纳、抽象的能力；通过对函数单调性的证明，提高学生的推理论证能力。

3、情感、态度与价值观目标：体会感悟数形结合、归纳、类比的重要数学思想。

教学目标：

（一）知识与技能目标

1、理解增函数、减函数的概念及函数单调性的定义

2、会根据函数的图像判断函数的单调性

3、能根据单调性的定义证明函数在某一区间上是增函数还是减函数

（二）过程目标

1、培养学生利用数学语言对概念进行概括的能力

2、通过利用定义证明单调性，进一步加强逻辑推理能力及判断推理 能力的培养

（三）德育目标（情感、态度和价值观）

1、通过本节课的教学，启发学生养成细心观察，分析归纳，严谨论 证的良好习惯

2、通过问题链的引入，激发学生学习数学的兴趣，学生通过积极参 与教学活动，获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立学习数学 的自信心

二、教学的重点和难点

重点：函数单调性的概念，判断、证明函数的单调性；

难点：归纳并抽象出函数单调性的定义，根据定义证明函数的单调性。

三、教学过程设计 创设情境，引入课题

如图为广州市某一天内的气温变化图：

师：从左到右观察这个气温变化图，哪些时段温度升高？哪些时段温度降低？从4点到14点气温上升，从0点到4点和14点到24点气温降低。除此之外，我们还能得到什么信息？

师：我们可以从图中看到温度随时间不断在变化，而且从图上可以看出在某时刻的温度。下午两点时达到最高温度10℃，凌晨4点达到最低温-4℃。

师：一个图赋予我们很多有用的信息。我们的生活经常可以看到这些类似的图形。比如股票行情图，双色球中奖号码的频率分布折线图。水位变化、心电图、燃油价格变化图、国家GDP变化图等等，生活中这样的例子比比皆是，可见我们的生活与数学息息相关，随处可见。这些数据的变化，用函数的观点来看，其实就是随着自变量x的变化，函数值y是变大还是变小的情形。函数图象的上升和下降趋势反映了函数的一个重要性质--函数的单调性。借助图象，直观感知

2师：那么，如何研究函数图象的“上升”、“下降”呢？首先观察两个函数yx

2、yx的图象，它们的图象趋势有什么特征？

2师：函数yx2的图象从左到右是上升的。函数yx图象在y轴左侧下降，右侧上升。

师：函数图象上升，通常我们会说y随x的增大而增大。那么如何利用数学符号语言描述“y随x的增大而增大”和“y随x的增大而减小”？

师：现在我们以函数yx2(x0)为例。大家一起来观察函数图象中的x值与f(x)值的变化过程，你觉得x与f(x)之间有什么样的变化联系？

师：随着x值的增大，相应的f(x)值也增大。这种随着x值的增大，相应的f(x)值也增大的函数，我们称为增函数。类似的，观察函数yx2(x0)图象，这种随着x值的增大，相应的f(x)值越来越小的函数，我们称它减函数。

师：函数单调性反映函数值随自变量变化的增减情况。不过，我们刚才的认识是从图象的角度得到的，只是对函数单调性的直观、描述性的认识。归纳探索，形成概念 3.1 概念的语言描述 师：那么，函数y2究竟是增函数还是减函数？ x（xR）师：是增函数？是减函数？还是既是增函数又是减函数？

师：这个函数图象的确有增有减。注意到要分情况考虑。哪种情况增，哪种情况减？函数yx2在左边的图象是减函数，在右边的图象是增函数。刚才我们提到x值增大时y的变化。主要是相对x轴正方向来研究图象从左到右的变化。也就是在(,0)上y随x的增大而减小，在(0,)上y随x的增大而增大。当x(,0)时，函数y x2为减函数，当x(0,)时，函数yx2为增函数。师：函数的单调性与x的取值范围有关。函数yx2不是在整个定义域R上是单调函数，而是在定义域R上的某个子集，比如在(,0)、(0,)上是单调函数。所以说单调性是函数的局部性质。师：想一想，函数的单调性如何下定义呢？

师：在区间D上，随着自变量x值的增大，函数f(x)值越来越大，我们称函数y=f(x)在该区间D上为增函数，该区间D叫做函数f(x)的增区间。反之叫做减函数，区间D为减区间。

3.2 概念的符号表征

师：刚才从图形上已经得出函数y这个函数是增函数呢？

师：能否取两个数？比如当x=1时，y=1，当x=2时,y=4，所以y x2在(0,)上为单调递增函数。

x2在区间(0,)上为单调递增函数。如何从“数”的角度证明这样说是否恰当？我们知道，特殊不能代表一般。所以这样取是错误的。取得数要能代表“所有数”。怎么才能体现区间上的所有值呢？举个例子，全国召开人民代表大会，是不是所有老百姓都参加？派代表，所以我们考虑用字母代数吧。一般选x1和x2为区间上的任意两个数。函数为增函数，应当f(x1)f(x2)。

3.2.1 给出函数单调性的定义：

对于函数yf(x)，如果对其定义域I内的某个区间D上取任意两个自变量值x1,x2，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就称函数yf(x)在区间D上是增函数，如图（1）。

当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就称函数yf(x)在区间D上是减函数，如图（2）。

师：任意x1,x2[0,)且x1x2，证明f(x1)f(x2)是增函数。师：如何研究f(x1)f(x2)？

xx2(x1x2)(x1x2)0，师：作差。f(x1)f(x2)1因为22所以x1x20，且x1x2，x1,x2[0,)，22即x1x20 所以x1x20,即f(x1)f(x2)，所以f(x)x2在[0,)上为增函数．

证明函数单调性的步骤：

① 任取x1，x2∈D，且x1

取 值，作 差，变 形，定 号，下结论。那么现在可知判断函数单调性的两种方法：根据图像观察,根据定义证明。

3.2.2 概念辨析、判断正误。这个函数的定义域是什么？ 思考：反比例函数y的图象． ○

x

它在定义域I上的单调性怎样？ ○1．如图，是定义在闭区间[-5，5]上的函数的单调区间，以及在每一单调区间上，函数的图象，根据图象说出是增函数还减函数。

四、课堂小结，知识梳理

1、增、减函数的定义。

函数单调性是对定义域的某个区间而言的，反映的是在这一区间上函数值随自变量变化的性质。

2、函数单调性的判断方法：（1）利用图象观察；（2）利用定义证明。

3、函数单调性证明的步骤：取 值，作 差，变 形，定 号，下结论。

第二篇：函数单调性教学设计

函数单调性教学设计

关于函数的单调性习题课教学设计，本人在听了专家的讲解后感到受益匪浅，结合平时的教学，有些教学方面的心得如下，希望专家和同行批评指正。

本节课是高中数学新课程标准必修1的第2章函数里的函数基本性质中介绍的第一个性质。它既是在学生学过函数概念等知识后的延续和拓展，又是后面研究指数函数、对数函数、三角函数各类函数的单调性的基础，而且函数单调性在解决函数变化趋势、值域、最值、不等式等许多问题中有着广泛的应用。对整个高中数学教学起着重要的奠基作用。研究函数单调性的过程体现了数学的数形结合和归纳转化的思想方法，反映了从特殊到一般的数学归纳思维形式，这对培养学生的创新意识、发展学生的思维能力，掌握数学的思想方法具有重大意义。下面我就这部分内容的习题教学提出一些不成熟的做法。

教学目标：

（1）在知识方面，通过习题训练，使学生能加深对函数单调性概念的理解，进一步掌握判断并证明函数的单调性方法、学会应用函数的单调性解决相关问题。

（2）在能力方面，培养学生归纳、抽象以及推理的能力，提高学生创新的意识，并渗透数形结合的思想。

（3）在价值观和情感教育方面，让学生在解题的过程中体验数学美，培养学生乐于求索的精神，提高学生的数学修养，使其养成科学、严谨的研究态度。教学重点和难点：

本节课的教学重点是函数单调性的判定、证明及应用。其中的教学难点是函数单调性的应用和复合函数单调性的理解。教法和学法：

在教法上采用传统的讲练结合。在具体实施上，将采用计算机辅助教学的手段，为了贴切地服务于教学目标，课件的制作是为了能更好的讲练习题，提高课堂效率，用是PowerPoint软件。而学生在学习过程中不仅要训练知识技能，还要达到思维的训练，因此这节课要以学生为主体，给学生充足的活动空间。作为教师，我要做好启发和规范地指导，引领学生大胆地探索，并培养其严谨的数学品质。

教学过程设计：

大概分为复习回顾、例题讲解、规律小结、巩固练习四个版块，最后布置作业。下面为每部分的具体构思。

1、复习分为概念回顾和基础练习两部分，预计费时7到8分钟左右，其中概念为（1）函数单调性和单调区间的定义以及用定义证明函数单调性的步骤，（2）怎么判断函数单调性及单调区间——可以用定义法，也可以从图象上观察。形式主要由学生口答。基础练习部分选择了5道小题目，课件形式给出，请学生口答，内容涉及单调性的理解，一次函数、二次函数的单调性，最后一题让学生们画出图象，观察图象的“升降”写出单调区间，渗透数形结合的思想，都是小题目，难度小，用时少，但紧扣概念，也让学生迅速热身，无形中抓住了学生的课堂注意力。

2、例题选择方面：

关于例

1、试判断函数f(x)变式：讨论函数f(x)x(1x1)的单调性并证明； x21ax(1x1)的单调性。x21选择这个题目是为了让学生更好地掌握定义法证明函数单调性的方法和基本步骤，变式的选择是为培养学生分情况讨论的意识和能力，讲解过程中要注意证明的规范性，进一步培养学生严谨、规范的科学态度和品质。

关于例

2、求函数yx21的值域。x2函数单调性的一个很重要的应用是求函数的值域或最值，选择这道题，教会学生利用单调性来求函数值域的方法。让学生体会利用单调性求值域时的简捷有效。丰富学生的知识体系。

关于例

3、已知函数f(x)是定义在(0,)上的增函数，且f()f(x)f(y)

xy（1）求f(1)的值

（2）若f(3)1,解不等式f(x5)2

这是一道抽象函数的题目，对于求出f(1)、f(9)分别是0和2用的是赋值法，这是抽象函数中常用的方法，不等式变为f(x5)f(9)，应用函数单调性，将抽象函数函数值的大小关系，转化为自变量之间的大小关系，即x59，提醒学生注意函数定义域！

x50选择这个抽象函数的例子，目的就是让学生体会并掌握怎么样利用单调性转化函数和自变量的大小关系。

关于例

4、已知f(x)是R上的减函数，g(x)x24x，求函数h(x)f(g(x))的单调增区间。

最终的那个函数明显是个复合函数，函数g(x)图象的对称轴是x2，开口向下，在[2,)上递减，又f(x)也递减，所以[2,)是个增区间。

本题小结：两个函数单调性相同则复合后是增，相反则复合后是减。

3、关于这部分的课堂小结：

我们可以应用函数的单调性求函数值域、解不等式，以及证明一些代数命题。

4、关于巩固练习题目方面的选择：

这部分选两题，类型在例题中已出现，其中第一个要先证明函数的单调性，再求值域。而第二题则先要判断单调性，再进行证明，确定了单调性之后再应用到三角形的问题中，使学生在解题的过程中体会在一些代数不等式证明中如何应用函数单调性的。

这部分让学生自己做，用投影仪和板书结合，规范其书写和论证。

5、关于作业布置方面：

结合本节课的讲解内容，为进一步巩固教学成果，在作业题型选择上，本人力求做到紧扣和深化上课内容。一共有三大题，第一题是求单调区间，其中要用图形，数形结合；第二题要利用例4的小结“两个函数单调性相同则复合后是增，相反则复合后是减。”；第三题是抽象函数题，与课上的例3类型一样，让学生课后练习巩固。

以上是我对这部分习题教学方面的一些思考，希望得到专家的指正！

第三篇：函数单调性

函数单调性概念教学的三个关键点 ──兼谈《函数单调性》的教学设计

北京教育学院宣武分院 彭 林

函数单调性是学生进入高中后较早接触到的一个完全形式化的抽象定义，对于仍然处于经验型逻辑思维发展阶段的高一学生来讲，有较大的学习难度。一直以来，这节课也都是老师教学的难点。最近，在我区“青年教师评优课”上，听了多名教师对这节课不同风格的课堂教学，通过对他们教学案例的研究和思考，笔者认为，在函数单调性概念的教学中，关键是把握住如下三个关键点。

关键点1。学生 学习函数单调性的认知基础是什么？

在这个内容之前，已经教学过一次函数、二次函数、反比例函数等简单函数，函数的变量定义和映射定义，以及函数的表示。对函数是一个刻画某些运动变化数量关系的数学概念，也已经形成初步认识。接踵而来的任务是对函数应该继续研究什么。在数学研究中，建立一个数学概念的意义就是揭示它的本质特征，即共同属性或不变属性。对各种函数模型而言，就是研究它们所描述的运动关系的变化规律，也就是这些运动关系在变化之中的共同属性或不变属性，即“变中不变”的性质。按照这种科学研究的思维方式，使得当前来讨论函数的一些性质，就成为顺理成章的、必要的和有意义的数学活动。至于在多种函数性质中，选择这个时机来讨论函数的单调性而不是其他性质，是因为函数的单调性是学生从已经学习的函数中比较容易发现的一个性质。

就中小学生与单调性相关的经历而言，学生认识函数单调性可以分为四个阶段： 第一阶段，经验感知阶段（小学阶段），知道一个量随另一个量的变化而变化的具体情境，如“随着年龄的增长，我的个子越来越高”，“我认识的字越多，我的知识就越多”等。

第二阶段，形象描述阶段（初中阶段），能用抽象的语言描述一个量随另一个量变化的趋势，如“y随着x的增大而减少”。

第三阶段，抽象概括阶段（高中必修1），能进行脱离具体和直观对象的抽象化、符号化的概括，并通过具体函数，初步体会单调性在研究函数变化中的作用。

第四阶段，认识提升阶段（高中选修系列1、2），要求学生能初步认识导数与单调性的联系。

基于上述认识，函数单调性教学的引入应该从学生的已有认知出发，建立在学生初中已学的一次函数、二次函数以及反比例函数的基础上，即从学生熟悉的常见函数的图象出发，直观感知函数的单调性，完成对函数单调性定义的第一次认识.。

让学生分别作出函数数值有什么变化规律？ 的图象，并且观察自变量变化时，函在学生画图的基础上，引导学生观察图象，获得信息：第一个图象从左向右逐渐上升，y随x的增大而增大；第二个图象从左向右逐渐下降，y随x的增大而减小.然后让学生明确，对于自变量变化时，函数值具有这两种变化规律的函数，我们分别称为增函数和减函数.第三个函数图象的上升与下降要分段说明，通过讨论使学生明确函数的单调性是对定义域内某个区间而言的．

在此基础上，教师引导学生用自己的语言描述增函数的定义： 如果函数在某个区间上的图象从左向右逐渐上升，或者如果函数

在某个区间上随自变量x的增大，y也越来越大，我们说函数在该区间上为增函数．

关键点2。为什么要用数学的符号语言定义函数的单调性概念？

对于函数单调性概念的教学而言，有一个很重要的问题，即为什么要进一步形式化。学生在初中已经接触过一次函数、反比例函数、二次函数，对函数的增减性已有初步的认识：随x增大y增大是增函数，随x增大y 减小是减函数。这个观念对他们而言是易于接受的，很形象，他们会觉得这样的定义很好，为什么还要费神去进行符号化呢？如果教师能通过教学设计，让学生感受到进一步符号化、形式化的必要性，造成认知冲突，则学生研究的兴趣就会大大提高，主动性也会更强。其实，数学概念就是一系列常识不断精微化的结果，之所以要进一步形式化，完全是数学精确性、严密性的要求，因为只有达到这种符号化、形式化的程度，才可以进行准确的计算，进行推理论证。

所以，在教学中提出类似如下的问题是非常必要的：

右图是函数函数吗？ 的图象,能说出这个函数分别在哪个区间为增函数和减

对于这个问题，学生的困难是难以确定分界点的确切位置．通过讨论，使学生感受到用函数图象判断函数单调性虽然比较直观，但有时不够精确，需要结合解析式进行严密化、精确化的研究,使学生体会到用数量大小关系严格表述函数单调性的必要性，从而将函数的单调性研究从研究函数图象过渡到研究函数的解析式.关键点3：如何用形式化的语言定义函数的单调性？

从数学学科这个整体来看，数学的高度抽象性造成了数学的难懂、难教、难学，解决这一问题的基本途径是顺应学习者的认知规律：在需要和可能的情况下，尽量做到从直观入手，从具体开始，逐步抽象，即数学的思考方式。恰当运用图形语言、自然语言和符号化的形式语言，并进行三者之间必要的转化，可以说，这是学习数学的基本思考方式。而函数单调性这一内容正是体现数学基本思考方式的一个良好载体，教学中应该充分关注到这一点。长此以往，便可使学生在学习知识的同时，学到比知识更重要的东西—学会如何思考？如何进行数学的思考？

一般说，对函数单调性的建构有两个重要过程，一是建构函数单调性的意义，二是通过思维构造把这个意义用数学的形式化语言加以描述。对函数单调性的意义，学生通过对若干函数图象的观察并不难认识，因此，前一过程的建构学习相对比较容易进行。后一过程的进行则有相当的难度，其难就难在用数学的符合语言来描述函数单调性的定义时，如何才能最大限度地通过学生自己的思维活动来完成。这其中有两个难点：

（1）“x增大”如何用符号表示；同样，“f(x)增大”如何用符号表示。（2）“‘随着’x增大，函数f(x)‘也’增大”，如何用符号表示。

用数学符号描述这两种数学意义的最大要害之处，在于要用数学的符号来描述动态的数学对象。

在初中数学中，除了学习函数的初级概念，用y=f(x)表示函数y随着自变量x的变化而变化时，接触到一点动态数学对象的数学符号表示以外，绝大多数都是用数学符号表示静态的数学对象。因此，从用静态的数学符号描述静态的数学对象，到用静态的符号语言刻画动态数学对象，在思维能力层次上存在重大差异，对刚刚由初中进入高中学习的学生而言，无疑是一个很大的挑战！

因此，在教学中可以提出如下问题2： 如何从解析式的角度说明

在上为增函数？

这个问题是形成函数单调性概念的关键。在教学中，教师可以组织学生先分组探究，然后全班交流，相互补充，并及时对学生的发言进行反馈、评价，对普遍出现的问题组织学生讨论，在辨析中达成共识.对于问题2，学生错误的回答主要有两种：

①在给定区间内取两个数，例如1和2，因为函数． ,所以

在上为增②可以用0，1，2，3，4，5验证： 在所以函数上是增函数。

对于这两种错误，教师要引导学生进一步展开思考。例如，指出回答②试图用自然数列来验证结论，而且引入了不等式表示不等关系，但是，只是对有限几个自然数验证不行，只有当所有的比较结果都是一样的：自变量大时，函数值也大，才可以证明它是增函数，那么怎么办？如果有的学生提出：引入非负实数a，只要证明

就可以了，这就把验证的范围由有限扩大到了无限。教师应适时指出这种验证也有局限性，然后再让学生思考怎样做才能实现“任意性”就有坚实的基础了。也就是，从给定的区间内任意取两个自变量,然后求差比较函数值的大小，从而得到正确的回答: 任意取在,有为增函数． ,即，所以这种回答既揭示了单调性的本质，也让学生领悟到两点：(1)两自变量的取值具有任意性；(2)求差比较它们函数值的大小。至此，学生对函数单调性有了理性的认识.在前面研究的基础上，引导学生归纳、抽象出函数单调性的定义，使学生经历从特殊到一般，从具体到抽象的认知过程。

教学中，教师引导学生用严格的数学符号语言归纳、抽象增函数的定义，并让学生类比得到减函数的定义.然后指导学生认真阅读教材中有关单调性的概念,对定义中关键的地方进行强调.同时设计了一组判断题：

判断题：

①②若函数③若函数满足f(2)

和(2,3)上均为增函数，则函数在(1,3)上为增函数．④因为函数减函数.在上都是减函数，所以在上是通过对判断题的讨论，强调三点：

①单调性是对定义域内某个区间而言的，离开了定义域和相应区间就谈不上单调性． ②有的函数在整个定义域内单调(如一次函数)，有的函数只在定义域内的某些区间单调(如二次函数)，有的函数根本没有单调区间(如常函数)．

③函数在定义域内的两个区间A,B上都是增（或减）函数，一般不能认为函数在上是增（或减）函数．

从而加深学生对定义的理解

北京4中常规备课

【教学目标】

1．使学生从形与数两方面理解函数单调性的概念，初步掌握利用函数图象和单调性定义判断、证明函数单调性的方法．

2．通过对函数单调性定义的探究，渗透数形结合数学思想方法，培养学生观察、归纳、抽象的能力和语言表达能力；通过对函数单调性的证明，提高学生的推理论证能力．

3．通过知识的探究过程培养学生细心观察、认真分析、严谨论证的良好思维习惯，让学生经历从具体到抽象，从特殊到一般，从感性到理性的认知过程．

【教学重点】 函数单调性的概念、判断及证明．

【教学难点】 归纳抽象函数单调性的定义以及根据定义证明函数的单调性． 【教学方法】 教师启发讲授，学生探究学习． 【教学手段】 计算机、投影仪． 【教学过程】

一、创设情境，引入课题 课前布置任务：

(1)由于某种原因，2008年北京奥运会开幕式时间由原定的7月25日推迟到8月8日，请查阅资料说明做出这个决定的主要原因.(2)通过查阅历史资料研究北京奥运会开幕式当天气温变化情况.课上通过交流，可以了解到开幕式推迟主要是天气的原因，北京的天气到8月中旬，平均气温、平均降雨量和平均降雨天数等均开始下降，比较适宜大型国际体育赛事.下图是北京市今年8月8日一天24小时内气温随时间变化的曲线图.引导学生识图，捕捉信息，启发学生思考． 问题：观察图形，能得到什么信息？

预案：(1)当天的最高温度、最低温度以及何时达到；(2)在某时刻的温度；

(3)某些时段温度升高，某些时段温度降低.在生活中，我们关心很多数据的变化规律，了解这些数据的变化规律，对我们的生活是很有帮助的．

问题：还能举出生活中其他的数据变化情况吗？ 预案：水位高低、燃油价格、股票价格等．

归纳：用函数观点看，其实就是随着自变量的变化，函数值是变大还是变小． 〖设计意图〗由生活情境引入新课，激发兴趣．

二、归纳探索，形成概念

对于自变量变化时，函数值是变大还是变小，初中同学们就有了一定的认识，但是没有严格的定义，今天我们的任务首先就是建立函数单调性的严格定义.1．借助图象，直观感知

问题1：

分别作出函数数值有什么变化规律？ 的图象，并且观察自变量变化时，函

预案：(1)函数

在整个定义域内 y随x的增大而增大；函数

在整个定义域内 y随x的增大而减小．

(2)函数在上 y随x的增大而增大，在上y随x的增大而减小．

(3)函数 在上 y随x的增大而减小，在上y随x的增大而减小．

引导学生进行分类描述(增函数、减函数)．同时明确函数的单调性是对定义域内某个区间而言的，是函数的局部性质．

问题2：能不能根据自己的理解说说什么是增函数、减函数? 预案：如果函数

在某个区间上随自变量x的增大，y也越来越大，我们说函数

在某个区间上随自变量x的增大，y越来越小，我们在该区间上为增函数；如果函数说函数在该区间上为减函数．

教师指出：这种认识是从图象的角度得到的，是对函数单调性的直观，描述性的认识． 【设计意图】从图象直观感知函数单调性，完成对函数单调性的第一次认识． 2．探究规律，理性认识

问题1：下图是函数和减函数吗？ 的图象,能说出这个函数分别在哪个区间为增函数

学生的困难是难以确定分界点的确切位置．

通过讨论，使学生感受到用函数图象判断函数单调性虽然比较直观，但有时不够精确，需要结合解析式进行严密化、精确化的研究．

〖设计意图〗使学生体会到用数量大小关系严格表述函数单调性的必要性． 问题2：如何从解析式的角度说明

在为增函数？

22预案：(1)在给定区间内取两个数，例如1和2，因为1<2,所以为增函数．

(2)仿(1)，取很多组验证均满足，所以(3)任取，所以

在,因为

为增函数．

在为增函数．

在,即对于学生错误的回答，引导学生分别用图形语言和文字语言进行辨析,使学生认识到问题的根源在于自变量不可能被穷举，从而引导学生在给定的区间内任意取两个自变量．

【设计意图】把对单调性的认识由感性上升到理性认识的高度,完成对概念的第二次认识．事实上也给出了证明单调性的方法，为证明单调性做好铺垫.3．抽象思维，形成概念

问题：你能用准确的数学符号语言表述出增函数的定义吗?

师生共同探究，得出增函数严格的定义，然后学生类比得出减函数的定义．(1)板书定义(2)巩固概念 判断题：

①．

②若函数

③若函数 在区间

和(2,3)上均为增函数，则函数

在区间(1,3)上为增函

．

④因为函数在区间上是减函数.上都是减函数，所以在

通过判断题，强调三点：

①单调性是对定义域内某个区间而言的，离开了定义域和相应区间就谈不上单调性． ②对于某个具体函数的单调区间，可以是整个定义域(如一次函数)，可以是定义域内某个区间(如二次函数)，也可以根本不单调(如常函数)．

③函数在定义域内的两个区间A,B上都是增（或减）函数，一般不能认为函数在上是增（或减）函数．

思考：如何说明一个函数在某个区间上不是单调函数? 【设计意图】让学生由特殊到一般，从具体到抽象归纳出单调性的定义，通过对判断题的辨析，加深学生对定义的理解，完成对概念的第三次认识.三、掌握证法，适当延展

例 证明函数

在上是增函数．

1．分析解决问题

针对学生可能出现的问题，组织学生讨论、交流．

证明：任取 ，设元

求差

变形，断号

∴

∴

即

∴函数

2．归纳解题步骤

在上是增函数．

定论

引导学生归纳证明函数单调性的步骤：设元、作差、变形、断号、定论．

练习：证明函数

问题：要证明函数

在区间

上是增函数，除了用定义来证，如果可以证得对

在上是增函数．

任意的，且有可以吗? 引导学生分析这种叙述与定义的等价性．让学生尝试用这种等价形式证明函数在

〖设计意图〗初步掌握根据定义证明函数单调性的方法和步骤．等价形式进一步发展可以得到导数法，为用导数方法研究函数单调性埋下伏笔．

四、归纳小结，提高认识

学生交流在本节课学习中的体会、收获，交流学习过程中的体验和感受，师生合作共同完成小结．

1．小结

(1)概念探究过程：直观到抽象、特殊到一般、感性到理性．(2)证明方法和步骤：设元、作差、变形、断号、定论．(3)数学思想方法和思维方法：数形结合，等价转化，类比等． 2．作业

书面作业：课本第60页习题2.3 第4，5，6题． 课后探究：(1)证明：函数

在区间

上是增函数的充要条件是对任意的上是增函数．，且

有．

(2)研究函数的单调性，并结合描点法画出函数的草图．

《函数的单调性》教学设计说明

一、教学内容的分析

函数的单调性是学生在了解函数概念后学习的函数的第一个性质，是函数学习中第一个用数学符号语言刻画的概念，为进一步学习函数其它性质提供了方法依据． 对于函数单调性，学生的认知困难主要在两个方面：（1）要求用准确的数学符号语言去刻画图象的上升与下降，这种由形到数的翻译，从直观到抽象的转变对高一的学生是比较困难的；（2）单调性的证明是学生在函数内容中首次接触到的代数论证内容，而学生在代数方面的推理论证能力是比较薄弱的．根据以上的分析和教学大纲的要求，确定了本节课的重点和难点．

二、教学目标的确定

根据本课教材的特点、教学大纲对本节课的教学要求以及学生的认知水平，从三个不同的方面确定了教学目标，重视单调性概念的形成过程和对概念本质的认识；强调判断、证明函数单调性的方法的落实以及数形结合思想的渗透；突出语言表达能力、推理论证能力的培养和良好思维习惯的养成．

三、教学过程的设计

为达到本节课的教学目标，突出重点，突破难点，教学上采取了以下的措施：（1）在探索概念阶段, 让学生经历从直观到抽象、从特殊到一般、从感性到理性的认知过程，完成对单调性定义的三次认识,使得学生对概念的认识不断深入．

（2）在应用概念阶段,通过对证明过程的分析，帮助学生掌握用定义证明函数单调性的方法和步骤．

（3）考虑到我校学生数学基础较好、思维较为活跃的特点，对判断方法进行适当的延展，加深对定义的理解，同时也为用导数研究单调性埋下伏笔．

第四篇：函数的单调性教学设计

《函数的单调性》教学设计

设计理念

新课程背景下的数学教学既要注重逻辑推理，又要关注直觉思维的启迪，不仅要让学生学会，更要让学生会学，要让学生学习的过程成为其心灵愉悦的主动认知的过程．基于以上设计理念，对于本节课，我从背景分析、教学目标设计、课堂结构设计、教学媒体设计、教学过程设计及教学评价等六个方面进行简单说明。

一、教材分析

函数的单调性是在研究函数的概念之后的第一个函数的性质，既是函数概念的延续和拓展，又为后续研究指数函数、对数函数、三角函数的单调性等内容奠定了基础，同时为初高中知识的衔接起着承上启下的作用。函数单调性概念的建立过程中蕴涵诸多数学思想方法，对于进一步探索、研究函数的其他性质有很强的启发与示范作用。根据函数单调性在教材中的地位和作用及课程标准的要求，本节课教学目标如下： 知识与技能

使学生理解函数单调性的概念，初步掌握判定函数单调性的方法； 过程与方法 通过探究活动渗透“ 数形结合”思想，使学生明白考虑问题要细致缜密，说理要严密明确。

情感态度与价值观 感受数形结合的数学之美，使学生认识到事物在一定条件下可以相互转化的辨证观点

根据上述教学目标，本节课的教学重点是函数单调性的概念形成．

虽然高一学生对函数单调性有一定的感性认识，但抽象思维能力还有待加强．因此，本节课的学习难点是函数单调性的概念形成与应用．

二、教法学法

1．在教法上采取了：通过学生熟悉的实际生活问题引入课题，创设情境，拉近数学与现实的距离，激发学生求知欲，调动学生主体参与的积极性，从而正确形成概念 ． 2．在学法上重视了：让学生利用图形直观启迪思维，通过正、反例的构造，来完成从感性认识到理性思维的质的飞跃；让学生从问题中质疑、尝试、归纳、总结、运用，培养学生发现问题、研究问题和分析解决问题的能力．

3．教学手段：借助信息技术辅助教学，提供直观感性材料，他不仅可以激发学生的学习兴趣，提高课堂效率，促进师生交流，提高课堂的交互性。

三、教学过程

下面我们来重点探讨本节课的教学设计和整合点分析。

以课前学案的形式，布置个学习小组利用几何画板作出下列函数的图象。意在健全学生的基础认知结构，熟练几何画板的操作，同时可以感受函数图象变化趋势，为教学做好准备。

教学情境引入，采用天气预报声音文件和幻灯片同步播放的方式。在传统教学模式中，恰当地创设情境往往受很多条件的限制，而幻灯片展示图片资料方便快捷，天气预报声音文件的使用激发学生的学习兴趣。

教师趁势展开定义生成的探究活动。要生成定义就要由描述性语言过渡到数学语言，这是认知过程中一个质的飞跃。也是本节教学的一个难点。我借助几何画板的同步直观演示，帮助学生探究增函数的一大重大特征：因变量随着自变量的增大而增大。进一步引导学生探究发现，在某些区间因变量随着自变量的增大而减小。自变量在给定区间变化的重要性。从而生成了增函数的概念。利用信息技术突破了本节课的教学难点。在定义生成的规程中，我们发现有大容量的板书，借助幻灯片展示文本信息，方便快捷。教师可以借助多媒体帮助学生分析图象，进一步理解函数概念。

组织学生小组探究函数的单调性，并请小组代表展示探究成果。

学生刚接触定义，运用并判断函数单调性的能力有待提高.而小组合作可提高学习热情，画图观察便于学生先根据“形”判断单调性；实物展示平台展示绘图成果便于绘图经验的示范与推广．

在交流与练习中，观察函数图象规律是“数形”结合解题的关键，但手绘图象往往耗时较长.学生借助几何画板软件分析函数的单调性，信息技术的介入帮助学生“数形”结合解题，使其体会到手脑并用、成功解决问题的快乐．教师运用数学实验室无线局域网络的辅助教学,可将主机切换到各小组的操作界面。不仅实现了小组实验表现和结论的展示，又实现了实验资源的共享。解决了在传统教学模式中，各小组间的交流与比较非常困难.作业布置，引导学生运用所学的知识解决生活中的常见问题“糖水加糖甜更甜”的生活现象。通过数学建模，构造以糖的份量为自变量的xy浓度函数，通过操作几何画板，学生可以轻松地发现随着糖x1份量的增加，糖水的浓度也增大，从而运用数学知识解决了化学问题。也让学生意识到知识来源于生活，更能应用于生活。

教学反思，本节课的教学是以实验活动为中心，以探索数学规律为出发点，以学生的可持续发展探究能力为培养目标。是将信息技术与课堂教学整合的一次新的尝试。在教学过程中，大量加工处理并使用了声音、图片、动画、几何画板、实物展示平台等多种信息技术，进而突出重点，突破难点。不仅把信息技术作为教学的辅助手段，也作为促进学生自主学习数学知识的认知工具和情感激励工具。

教学评价。参与程度、合作意识、思考习惯、发现能力。尤其是在分小组实验中，基础薄弱的同学容易产生厌怠的情绪，而且承担的任务量较小。针对这种现象，采用分层教学。

总之，这节课达到了预设与生成的辩证统一。从课后反馈的效果来看，我的教学是成功的。最后，是我的板书设计。谢谢大家！

（一）创设情境 提出问题

问题是数学的心脏，问题是学生思维的开始，问题是学生兴趣的开始．首先创设情景，通过两个问题，引发学生学习的好奇心．

（问题情境）（播放中央电视台天气预报的音乐）．如图为某地区2009年元旦这一天24小时内的气温变化图，观察这张气温变化图：

[教师活动]引导学生观察图象，提出问题：

问题1：说出气温在哪些时段内是逐步升高的或下降的？

问题2：怎样用数学语言刻画上述时段内“随着时间的增大气温逐渐升高”这一特征？

（二）探究发现 建构概念

[学生活动]对于问题1，学生容易给出答案．问题2对学生来说较为抽象，不易回答．

[教师活动]为了引导学生解决问题2，先让学生观察图象，通过具体情形，例如，“t1=8时，f(t1)=1，t2=10时，f(t2)= 4”这一情形进行描述．引导学生回答：对于自变量8<10，对应的函数值有1<4.举几个例子表述一下.然后给出一个铺垫性的问题：结合图象，请你用自己的语言，描述“在区间［4，14］上，气温随时间增大而升高”这一特征．

在学生对于单调增函数的特征有一定直观认识时，进一步提出：

问题3:对于任意的t1、t2∈[4，16]时，当t1< t2时，是否都有f(t1)

[学生活动]通过观察图象、进行实验（计算机）、正反对比，发现数量关系，由具体到抽象，由模糊到清晰逐步归纳、概括、抽象出单调增函数概念的本质属性，并尝试用符号语言进行初步的表述。

[教师活动]为了获得单调增函数概念，对于不同学生的表述进行分析、归类，引导学生得出关键词“区间内”、“任意”、“当家集体给出单调增函数概念的数学表述．提出：

问题4： 类比单调增函数概念，你能给出单调减函数的概念吗？

最后完成单调性和单调区间概念的整体表述．

[设计意图]数学概念的形成来自解决实际问题和数学自身发展的需要．但概念的高度抽象，造成了难懂、难教和难学，这就需要让学生置身于符合自身实际的学习活动中去，从自己的经验和已有的知识基础出发，经历“数学化”、“再创造”的活动过程．刚升入高一的学生已经具备了一定的几何形象思维能力，但抽象思维能力不强．从日常的描述性语言概念升华到用数学符号语言精确刻画概念是本节课的难点．

时，都有

”，最后由大

（三）自我尝试 运用概念

1．为了理解函数单调性的概念，及时地进行运用是十分必要的．

[教师活动]问题5：（1）你能找出气温图中的单调区间吗？

（2）你能说出你学过的函数的单调区间吗？请举例说明．

[学生活动]对于（1），学生容易看出：气温图中分别有两个单调减区间和一个单调增区间．对于（2），学生容易举出具体函数如：，，并画出函数的草图，根据函数的图象说出函数的单调区间．

[教师活动]利用实物投影仪，投影出学生画的草图和标出的单调区间，并指出学生回答时可能出现的错误，如：在叙述函数的单调区间时写成并集．

[设计意图]在学生已有认知结构的基础上提出新问题，使学生明了，过去所研究的函数的相关特征，就是现在所学的函数的单调性，从而加深对函数单调性概念的理解．

2．对于给定图象的函数，借助于图象，我们可以直观地判定函数的单调性，也能找到单调区间．而对于一般的函数，我们怎样去判定函数的单调性呢？

[教师活动]问题6：证明在区间（0，+ ∞）上是单调减函数．

[学生活动]学生相互讨论，尝试自主进行函数单调性的证明，可能会出现不知如何比较与的大小、不会正确表述、变形不到位或根本不会变形等困难．

[教师活动]教师深入学生中，与学生交流，了解学生思考问题的进展过程，投影学生的证明过程，纠正出现的错误，规范书写的格式．

[学生活动]学生自我归纳证明函数单调性的一般方法和步骤：取值、作差变形、定号、判断．

[设计意图]有效的数学学习过程，不能单纯的模仿与记忆，数学思想的领悟和学习过程更是如此．利用学生自己提出的问题，让学生在解题过程中亲身经历和实践体验，师生互动学习，生生合作交流，共同探究．

（四）回顾反思 深化概念

[教师活动]给出一组题：

1、定义在R上的单调函数函数还是单调减函数？

2、若定义在R上的单调减函数取值范围吗？

[学生活动]学生，并通过问题，归纳总结本节课的内容和方法.[设计意图]通过学生的互相讨论，使学生在探求问题的解答和问题的解决过程中，深切体会本节课的主要内容和思想方法，从而实现对函数单调性认识的再次深化.[教师活动]作业布置：

（1）阅读教材

（2）书面作业：

必做：教材 P43 1、7、11 选做：二次函数一吗？

在［0，＋∞）是增函数，满足条件的实数的值唯

满足，你能确定实数的满足，那么函数

是R上的单调增探究：函数在定义域内是增函数，函数有两个单调减区间，由这两个基本函数构成的函数的单调性如何？请证明你得到的结论．

[设计意图]通过两方面的作业，使学生养成先看书，后做作业的习惯．基于函数单调性内容的特点及学生实际，对课后书面作业实施分层设置，安排基本练习题、巩固理解题和深化探究题三层．学生完成作业的形式为必做、选做和探究三种，使学生在完成必修教材基本学习任务的同时，拓展自主发展的空间，让每一个学生都得到符合自身实践的感悟，使不同层次的学生都可以获得成功的喜悦，看到自己的潜能，从而激发学生饱满的学习兴趣，促进学生自主发展、合作探究的学习氛围的形成．

四、教学评价

学生学习的结果评价当然重要，但是更重要的是学生学习的过程评价．教师应当高度重视学生学习过程中的参与度、自信心、团队精神、合作意识、独立思考习惯的养成、数学发现的能力，以及学习的兴趣和成就感．学生熟悉的问题情境可以激发学生的学习兴趣，问题串的设计可以让更多的学生主动参与，师生对话可以实现师生合作，适度的研讨可以促进生生交流以及团队精神，知识的生成和问题的解决可以让学生感受到成功的喜悦，缜密的思考可以培养学生独立思考的习惯．让学生在教师评价、学生评价以及自我评价的过程中体验知识的积累、探索能力的长进和思维品质的提高，为学生的可持续发展打下基础． 我相信赫尔巴特的名言：使教育过程成为一种艺术的事业！

第五篇：函数的单调性教学设计

函数的单调性教学设计

戴氏教育高中数学组

杜剑 【教材分析】

《函数单调性》是高中数学新教材必修一第二章第三节的内容。在此之前，学生已学习了函数的概念、定义域、值域及表示法，这为过渡到本节的学习起着铺垫作用。本节内容是高中数学中相当重要的一个基础知识点，是研究和讨论初等函数有关性质的基础。掌握本节内容不仅为今后的函数学习打下理论基础，还有利于培养学生的抽象思维能力，及分析问题和解决问题的能力。【教学目标】

知识与技能：

1．通过生活中的例子帮助学生理解增函数、减函数及其几何意义。2．学会应用函数的图象理解和研究函数的单调性及其几何意义。过程与方法：

1．通过本节课的教学，渗透数形结合的数学思想，对学生进行辨证唯物主义的教育。2．通过探究与活动，使学生明白考虑问题要细致，说理要明确。情感与态度：

1．通过本节课的教学，使学生能理性的描述生活中的增长、递减的现象。

2．通过生活实例感受函数单调性的意义，培养学生的识图能力和数形语言转化的能力。【重点难点】

重点：函数单调性概念的理解及应用。难点：函数单调性的判定及证明。关键：增函数与减函数的概念的理解。【教法分析】

为了实现本节课的教学目标，在教法上我采取了：

1．通过学生熟悉的实际生活问题引入课题，为概念学习创设情境，拉近数学与现实的距离，激发学生求知欲，调动学生主体参与的积极性。

2．在形成概念的过程中，紧扣概念中的关键语句，通过学生的主体参与，正确地形成概念。3．在鼓励学生主体参与的同时，不可忽视教师的主导作用，要教会学生清晰的思维、严谨的推理，并顺利地完成书面表达。【学法分析】

在教学过程中，教师设置问题情景让学生想办法解决；通过教师的启发点拨，学生的不断探索，最终把解决问题的核心归结到判断函数的单调性。然后通过对函数单调性的概念的学习理解，最终把问题解决。整个过程学生主动参与、积极思考、探索尝试的动态活动之中；同时让学生体验到了学习数学的快乐，培养了学生自主学习的能力和以严谨的科学态度研究问题的习惯。【教学过程设计】

（一）问题情境

遵义一天的天气

设计意图：用天气的变化，让学生用朴素的生活语言描述他们对变化规律的理解，并请学生将文字语言转化为图形语言，这样做可使教学过程富有情趣，可激发学生的学习热情，教学起点的设定也比较恰当，学生的参与度较高。

（二）温故知新

1．问题1：观察学生绘制的函数的图象（实际教学中可根据学生回答的情况而定），指出图象的变化的趋势。

观察得到：随着x值的增大，函数图象有的呈上升趋势，有的呈下降趋势，有的在一个区间内呈上升趋势，在另一区间内呈下降趋势。

2．问题2：对“图象呈逐渐上升趋势”这句话初中是怎样描述的？ 例如：初中研究yx2时，我们知道，当x<0时，函数值y随x的增大而减小，当x>0时，函数值y随x的增大而增大。

回忆初中对函数单调性的解释：

图象呈逐渐上升趋势数值y随x的增大而增大；图象呈逐渐下降趋势数值y随x的增大而减小。

函数这种性质称为函数的单调性。

设计意图：学生在函数单调性这一概念的学习上有三个认知基础：一是生活体验，二是函数图象，三是初中对函数单调性的认识。对照绘制的函数图象，让学生回忆初中对函数单调性的描述的定义，并在此基础上进行概念的符号化建构，与学生的认知起点衔接紧密，符合学生的认知规律。

（三）建构概念

问题3：如何用符号化的数学语言来准确地表述函数的单调性呢？

对于区间I内的任意两个值x1,x2，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)。

单调增函数的定义：

问题4：如何定义单调减函数呢？ 可以通过类比的方法由学生给出。

设计意图：通过师生双边活动及学生讨论，可以让学生充分参与用严格的数学符号语言定义函数单调性的全过程，让他们亲身体验数学概念如何从直观到抽象，从文字到符号，从粗疏到严密。让他们充分感悟数学概念符号化的建构原则。问题4则要求学生结合图象化单调增函数的定义，通过类比的方法，由学生自己得到单调减函数的概念，在这个过程中，学生可以体会数学概念是如何扩充完善的。

（四）理解概念

1．顾名思义，对“单调”两字加深理解

汉语大词典对“单调”的解释是：简单、重复而没有变化。2．呼应引入，解决问题情境中的问题

如：y2x1的单调增区间是(,)；y3．单调性是函数的“局部”性质 如：函数y上减函数？

引导学生讨论，从图象上观察或用特殊值代入验证否定结论（如取x11,x2

1在(0,)上是减函数。x11在(0,)和(,0)上都是减函数，能否说y在定义域(,0)(0,)上xx1）。

2设计意图：学生对一个概念的认识不可能一次完成，教师要善于从多个角度，通过概念变式教学和构造反例帮助学生理解概念的内涵与外延。在学习如何证明一个函数的单调性之前，先与学生 一起探讨怎样才能否定一个函数的单调性对帮助学生理解函数单调性的概念尤为重要，可以加深学生对“任意”两字的理解。

（五）运用概念

通过两例，教师要向学生说明： 1．判断函数单调性的主要方法：①观察法：画出函数图象来观察；②定义法：严格按照定义进行验证；③分解法：对函数进行恰当的变形，使之变成我们所熟悉的且已知其单调性的较简单函数的组合。

2．概括出证明函数单调性的一般步骤：取值→作差→变形→定号。练习：作出函数y|x1|

1、y|x21|的图象，写出他们的单调区间。

设计意图：单调性证明是学生在函数内容中首次接触到的代数论证问题，通过本例，要让学生理解判断函数单调性与证明函数单调性的差别，掌握证明函数单调性的程序，并深入理解什么是代数证明，代数证明要做什么事。

（六）回顾总结

本节课主要学习了函数单调性的定义，单调区间的概念，能利用（1）图象法；（2）定义法来判定函数的单调性，从中体会了数形结合的思想，学会从“特殊到一般再到特殊”的思维方法来研究问题。【教学反思】

1．给出生活实例和函数单调性的图形语言，调动学生的参与意识，通过直观图形得出结论，渗透数形结合的数学思想。问题是数学的心脏，问题是学生思维的开始，问题是学生兴趣的开始。这里，通过问题，引发学生的进一步学习的好奇心。

2．给出函数单调性的数学语言。通过教师指图说明，分析定义，提问等办法，使学生把定义与直观图象结合起来，加深对概念的理解，渗透数形结合分析问题的数学思想方法。

3．有效的数学学习过程，不能单纯的模仿与记忆，数学思想的领悟和学习过程更是如此．利用学生自己提出的问题，让学生在解题过程中亲身经历和实践体验，师生互动学习，生生合作交流，共同探究。

4．通过安排基本练习题，使学生在完成必修教材基本学习任务的同时，拓展自主发展的空间，让每一个学生都得到符合自身实践的感悟，使不同层次的学生都可以获得成功的喜悦，看到自己的潜能，从而激发学生饱满的学习兴趣，促进学生自主发展、合作探究的学习氛围的形成。

5．让学生体验数学知识的发生发展过程应该成为这节课的一个重要教学目标。函数的单调性的定义是对函数图象特征的一种数学描述，它经历了由图象直观感知到自然语言描述，再到数学符号语言描述的进化过程，这个过程充分反映了数学的理性精神，是一个很有价值的数学教育载体。

6．教学设计最根本的着力点是“为学习设计教学”，而不是“为教学设计学习”。通过对“函数单调性”教学设计，我对“为学习设计教学”有了更深的理解。如果把教学看作是教师带领学生一起去远足，那么学情分析的目的是要分析学生的认知基础，确定一个合情合理的教学起点；目标导向这是要教师分析预期达到的教学效果，即远足所期望到达的目的地，这是教学的根本和核心任务，是教学设 计的关键；知识定位则好比是教师要预先分析通往目的地的道路状况，从而决定前进的方法和策略；问题设计则好比是设计行程，恰当安排可以指引师生高效地向着目的地前行。本节课就是通过这样的设计思想来安排教学设计的。