13.4 将军饮马——最短路径问题教学设计（范文）

第一篇：13.4 将军饮马——最短路径问题教学设计（范文）

13.4 将军饮马——最短路径问题教学设计

一、教学内容解析

为了解决生产，经营中省时省力省钱而希望寻求最佳的解决方案而产生了最短路径问题.初中阶段，主要以“两点之间，线段最短”，“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”，为理论基础，有时还要借助轴对称、平移、旋转等变换进行研究.本节内容是在学生学习习近平移、轴对称等变换的基础上对数学史中的一个经典问题——“将军饮马问题”为载体进行变式设计，开展对“最短路径问题”的课题研究，让学生经历将实际问题抽象为数学的线段和最小问题，再利用轴对称、平移将线段和最小问题转化为“两点之间，线段最短”的问题.从中，让学生借助所学知识和生活经验独立思考或与他人合作，经历发现问题和提出问题，分析问题和解决、验证问题的全过程，感悟数学各部分内容之间，数学与实际生活之间及其他学科的联系，激发学生学习数学的兴趣，加深对所学数学内容的理解，它既是轴对称、平移知识运用的延续，又能培养学生自行探究，学会思考，在知识与能力转化上起到桥梁作用。

基于以上分析，本节课的教学重点确定为： [教学重点] 利用轴对称、平移等变换将最短路径问题转化为“两点之间，线段最短”问题.二、教学目标解析

新课程标准明确要求，数学学习不仅要让学生获得必要的数学知识、技能，还要包括在启迪思维、解决问题、情感与态度等方面得到发展.因此，确定教学目标如下：

[教学目标] 能利用轴对称、平移解决简单的最短路径问题，体会图形的变化在解决最值问题中的作用，感悟领会转化的数学思想，培养学生探究问题的兴趣和合作交流的意识，感受数学的实用性，体验自己探究出问题的成就感.[目标解析] 达线目标的标志是：学生能将实际问题中的“地点”、“河”、“草地”抽象为数学中的“点”、“线”，把最短路径问题抽象为数学中的线段和最小问题，能利用轴对称将处在直线同侧的两点，变为两点处在直线的异侧，能利用平移将两条线段拼接在一起，从而转化为“两点之间，线段最短”问题，能通过逻辑推理证明所求距离最短，在探索问题的过程中，体会轴对称、平移的作用，体会感悟转化的数学思想.三、学生学情诊断

八年级的学生直接经验少，理解能力差，抽象思维水平较低，处于直觉经验型思维向逻辑思维的过渡阶段，辩证思维还只是处在萌芽和初始的状态上.最短路径问题从本质上说是最值问题，作为初中生，在此前很少涉及最值问题，解决这方面问题的数学经验尚显不足，特别是面对具有实际背景的最值问题，更会感到陌生，无从下手.解答：“当点A、B在直线将其转化为“直线的同侧时，如何在上找点C，使AC与CB的和最小”，需要异侧的两点，与上的点的线段和最小”的问题，为什么需要这样转化，怎样通过轴对称实现转化，一些学生会存在理解和操作方面的困难.在证明“最短”时，需要在直线上任取一点，证明所连线段和大于或等于所求作的线段和.这种思路和方法，一些学生还想不到.在解答“使处在直线两侧的两线段和最小”的问题，需要把它们平移拼接在一起，一些学生想不到.教学时，教师可以让学生首先思考“直线的异侧的两点，与

上的点的线段和最小”，给予学生启发，在证明“最短”时，点拨学生要另选一个量，通过与求证的那个量进行比较来证明，同时让学生体会“任意”的作用，因此确定本节课的教学难点为：

[教学难点] 如何利用轴对称将最短路径问题转化为线段和最小问题.四、教学策略分析

建构主义理论的核心是“知识不是被动接受的而是认知主体积极建构的.”

根据本节课的教学目标、教材内容以及学生的认知特点和实际水平，教学上采用“引导——探究——发现——证明——归纳总结”的教学模式，鼓励引导学生、开动脑筋、大胆尝试，在探究活动中培养学生创新思维与想象能力.教师的教法：突出解题方法的引导与启发，注重思维习惯的培养，为学生搭建参与和交流的平台.通过对“将军饮马问题”而改编与设计，增强数学课堂趣味性,相同背景，不同问题，由浅入深、层层递进，有利于学生分析与解决问题，同时利用现代的信息技术，直观地展示图形的变化过程，提高学生学习兴趣与激情.学生的学法：突出探究与发现，思考与归纳提升，在动手探究、自主思考、互动交流中，获取知识与能力.五、教学基本流程

探索新知——运用新知——拓展新知——提炼新知——课外思考

六、教学过程设计

（一）探索新知

1、建立模型

问题1 唐朝诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”．诗中隐含着一个有趣的数学问题．如图1所示，诗中将军在观望烽火之后从山脚下的指挥部A地出发，到一条笔直的河边使他所走的路线全程最短？

追问1，这是一个实际问题，你打算首先做什么呢？ 师生活动：将A、B两地抽象为两个点，将河

抽象为一条直线

饮马，然后到军营B地，到河边什么地方饮马可

追问2，你能用自己的语言说明这个问题的意思，并把它抽象为数学的问题吗？ 师生活动：学生交流讨论，回答并相互补充，最后达成共识：（1）行走的路线：从A地出发，到河边

饮马，然后到B地；

上的点.设C为直线l（2）路线全程最短转化为两条线段和最短；

（3）现在的问题是怎样找出使两条线段长度之和为最短的直线上的一个动点，上面的问题转化为：当点C在的什么位置时，AC与CB的和最小

［设计意图］从数学史上久负盛名的“将军饮马问题”引入，增加学生们的数学底蕴，提高其人文思想.同时引导学生分析题意，画出图形.将实际问题转化为数学问题更有利于分析问题、解决问题.2、解决问题

问题2如图点A、B在直线的同侧，点C位直线位置时，AC与CB的和最小？

上的一个动点，当点C在的什么

师生活动：让学生独立思考、画图分析，并展示

如果学生有困难，教师作如下提示：（1）如图，如果军营B地在河对岸，点C在此受到什么启发呢？ 的什么位置时，AC与CB的和最小？由

（2）如图，如何将点B“移”到保持CB与CB´的长度相等？ 的另一侧B´处，且满足直线

上的任意一点C，都

学生在老师的启发引导下，完成作图.［设计意图］先通过学生对本题的思考尝试，并展示，师生共同纠错，提高认识与辩证思想，再通过老师的引导启发明白解决这个问题应该运用轴对称的性质，将两点在直线同侧的问题，转化为两点在直线异测的问题，提高学生的空间想象能力与逻辑思维能力，让学生在思考和解决问题的过程中，提高甄别是非的能力，感悟转化的数学思想.3、证明“最短”

问题3，为什么这种作法是正确的呢？你能用所学的知识证明AC+CB最短吗？

师生活动：分组讨论，教师引导点拨，结合多媒体的演示，师生共同完成证明过程.证明：如图，在直线

上任取一点Cˊ.连接AC´、BC´、B´C´.由轴对称的性质可知： BC=B´C

BC´.=B´C´ ∴AC+BC=AC+B´C=AB´ AC´+BC´=AC´+B´C´ 当C´与C不重合时 AB´＜AC´+C´B´ ∴AC+BC＜AC´+C´B 当C´与C重合时 AC+BC=AC´+C´B 总之，AC+BC≤AC´+C´B 即AC+BC最短

［设计意图］利用现代信息技术，通过移动点C´的位置，可发现：当C´与C不重合时，AC+BC＜AC´+C´B，当C´与C重合时，AC+BC=AC´+C´B.让学生很容易知道AC+BC最短，消除了学生的疑虑，发挥了多媒体的作用，让学生进一步体会作法的正确性，提高了逻辑思维能力.4、小结新知

回顾前面的探究过程，我们是通过怎样的过程，借助什么解决问题的？体现了什么数学思想？

师生活动：学生回答，并相互补充.［设计意图］让学生在反思的过程中，体会轴对称的“桥梁”作用，感悟转化思想，明确解题的方法与策略，为后面进一步的学习探究做准备.（二）运用新知

如图，如果将军从指挥部A地出发，先到河边a某一处饮马，再到草地边b某一处牧马，然后来到军营B地，请画出最短路径.师生活动：分组讨论，教师点拨，点学生上台操作演示，画出最短路径.［设计意图］对前面所学的解题方法与思路得以巩固，让学生形成技能，进一步体会感悟数学中的转化思想，点学生上台操作演示，提高他们的学生兴趣与实践能力，体会成功的喜悦，激发他们进一步探究问题的欲望.（三）拓展新知

有一天，将军突发奇想：如果从指挥部A地出发，到一条笔直的河边a某处饮马，然后沿着河边行走一定的路程，再来到军营B地，到河边什么地方饮马可使所走的路线全程最短？

师生活动：

1、老师首先解释行走一定的路程的含义，引导学生将实际问题抽象为数学问题，再提出如下问题：

（1）要使所走的路线全程最短，实际上是使几条线段之和最短？（2）怎样将问题转化为“两点之间，线段最短”的问题.2、分组讨论，师生共同分析.3、完成作图，体会作图的步骤与分析问题的思路的联系与区别.［设计意图］本题在“将军饮马问题”的背景下进行改编，有造桥选址问题的影子，既增强了课堂教学的趣味性，又完成了教学任务，可谓一举两得..教学由问题引领，老师引导，学生小组合作讨论交流的方式，充分发挥现代信息技术的作用完成分析与解答的过程，让学生学得轻松与愉悦，培养了学生的应用意识、创新意识、综合与分析能力，在解决问题的过程中，体会作图题的解题方法与策略.让学生的能力得到进一步锻炼与提高.（四）提炼新知

师生一起回顾本节课所学的主要内容，并请学生回答以下问题：

1、本节课研究问题的过程是什么？

2、解决上述问题运用了什么知识？

3、在解决问题的过程运用了什么方法？

4、运用上述方法的目的是什么？体现了什么样的数学思想？

［设计意图］引导学生把握研究问题的策略、思路、方法的同时，并从运用的知识、方法、思想方面进行归纳总结，让学生对本节课有一个更清晰、更系统的认识，体会轴对称、平移在解决最短路径问题中的作用，感悟转化思想的重要价值.（五）课外思考 将军又提出一个问题：

如图，如果将军从指挥部A地出发，到一条笔直的河边a某处饮马，然后沿着河边行走一定的路程，再来到草地边b某一处牧马，最后来到军营B地，到河边什么地方饮马、草地边何处牧马可使所走的路线全程最短呢？

［设计意图］通过一系列的“将军饮马问题”的变式设计，由浅入深，环环相扣，不但学习将军这种喜欢动脑，敢于提问，勇于探索的求学精神，同时培养学生的问题意识，通过最后这一问题的设计，让学有余力的学生解答，它不仅能巩固知识，形成技能，同时激发了学生的求知欲望与勇于探究的精神.同时，也是由课内向课外的一种延伸，预示着问题并没有终结，培养学生具有终身学习的意识与创新精神！

第二篇：最短路径问题（将军饮马问题）教学设计

最短路径问题

——将军饮马问题及延伸

最短路径问题

教学内容解析：

本节课的主要内容是利用轴对称研究某些最短路径问题，最短路径问题在现实生活中经常遇到，初中阶段，主要以“两点之间，线段最短”“三角形两边之和大于第三边”为知识基础，有时还要借助轴对称、平移变换进行研究。

本节课以数学史中的一个经典故事----“将军饮马问题”为载体开展对“最短路径问题”的课题研究，让学生经历将实际问题抽象为数学的线段和最小问题，再利用轴对称将线段和最小问题转化为“两点之间、线段最短”的问题。

教学目标设置：

1、能利用轴对称解决最短路径问题。

2、在解题过程能总结出解题方法，能进行一定的延伸。

3、体会“轴对称”的桥梁作用，感悟转化的数学思想。

教学重点难点：

重点：利用轴对称将最短路径问题转化为“两点之间、线段最短”问题。

难点：如何利用轴对称将最短路径问题转化为线段和最小问题。

学情分析：

1、八年级学生的观察、操作、猜想能力较强，但演绎推理、归纳和运用数学意识的思想比较薄弱，自主探究和合作学习能力也需要在课堂教学中进一步引导。此年龄段的学生具有一定的探究精神和合作意识，能在一定的亲身经历和体验中获取一定的数学新知识，但在数学的说理上还不规范，集合演绎推理能力有待加强。

2、学生已经学习过

“两点之间，线段最短。”以及“垂线段最短”。以及刚刚学习的轴对称和垂直平分线的性质作为本节知识的基础。

教学条件分析:

在初次解决问题时，学生出现了多种方法，通过测量，发现利用轴对称将同侧两点转化为异侧两点求得的线段和比较短；进而利用PPT动画演示，实验验证了结论的一般性；最后通过逻辑推理证明。

教具准备：直尺、ppt

教学过程：

环

节

教师活动

学生活动

设计意图

一

复

习

引

入

1.【问题】：看到图片，回忆如何用学过的数学知识解释这个问题？

2.这样的问题，我们称为“最短路径”问题。

1、两点之间，线段最短。

2、两边之和大于第三边。

从学生已经学过的知识入手，为进一步丰富、完善知识结构做铺垫。

二

探

究

新

知

1.探究一：

【故事引入】：唐朝诗人李颀在《古从军行》中写道：“白日登山望峰火，黄昏饮马傍交河．”诗中就隐含着一个有趣的数学问题，古时候有位将军，每天从军营回家，都要经过一条笔直的小河。而将军的马每天要到河边喝水，那么问题来了，问题：怎样走才能使总路程最短呢？

认真读题，仔细思考。

将实际问题中的“地点”“河”抽象为数学中的“点”“线”，把实际问题抽象线段和最小问题。

从异侧问题入手，由简到难，逐步深入。

二

探

究

新

知

2.探究二：

【变换情境】：后来将军把家搬到了河的对面，若还是要带马先到河边喝水，然后再回家，应该怎样走，才能使总路程最短呢？

（1）【转化】：你能将实际问题抽象为数学问题吗？

（2）【展示】：

让学生猜想，并画出图形。

巡视发现学生不同的作法（尽可能多），分别展示各小组的作法。

给予学生一定的提示。

（3）【度量】：如何才能判断哪种猜想是正确的呢？（测量一下）在几何画板中分别度量出AC,BC的长度，并计算AC+BC。让学生观察数值如何变化。并反思各自的作法是否正确。

【回答】：学生思考并回答，如何将实际问题转化为数学问题。

已知：直线L和同侧两点A、B

求作：直线L上一点C，使C满足AC+BC的值最小。

【学生展示】：

作法1：

作法2：：

作法3：

【学生反思】：第1种作法是利用“垂线段最短”，得到AC最短，利用“两点之间线段最短”，得到BC最短，但不能确定AC+BC是最短的。

第2种作法只能说明在河l上取一点，到A、B两地的距离相等，也就是AC＝BC。不能说明AC+BC最短

第3种作法应该是正确的。

学生主动探索，充分发挥学生的主动性。

展示多种方法，产生思维冲突，引发学生进一步探究的学习欲望。

二

探

究

新

知

3.解决问题

【追问】用第3种作法的同学，你们是怎样想到作点B关于直线L的对称点的？为什么要作对称点？

如果做点B关于直线L的对称点，就是把点B移到了另一侧，而且满足了BC＝BC’。其实直线L上所有点到B和B’的距离都相等。

也可是根据垂直平分线的性质，L就是线段BB’的垂直平分线，而垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等。

利用轴对称将同侧线段和最短转化为异侧线段和最短问题。借助轴对称，把折线转化为线段的长来求解。

让学生进一步体会做法的正确性，提高逻辑思维能力。

让学生在反思的过程中，体会轴对称的作用，感悟转化思想，丰富数学活动经验。

（4）【推理论证】：如何证明AC+BC最短呢？

【提示】：没有比较就不会产生大小。通常我们要在直线上任另取一点C＇（与点C不重合），只要证明AC＇+BC＇〉AC+BC即可。

老师动手操作，验证结论的正确性。

（1）学生自主证明，教师纠错。

（2）师生共同分析，学生说明证明过程，教师版书。

（3）共同完成证明过程。

认真观察，思考，要想确认AC+BC最短，可以在直线l上任取一点C’（不与点C重合）

1.独立纠错

2.兵教兵

让学生进一步体会作法的正确性，提高逻辑思维能力。

通过动画演示，从特殊到一般地验证了前面的结论。

三

发

散

思

维

除了作点B关于直线l的对称点以外，还有没有别的作法？

还可以作点A关于直线l的对称点。

发散思维，培养学生一题多解的能力。

四

得

出

结

论

【问题】：我们是如何解决将军饮马问题的？

先将实际问题转化为数学问题。然后作其中一个点关于直线l的对称点，连接对称点和另一点与直线的交点就是满足最短距离的点的位置。

让学生反思刚才的探究过程。培养数学思维，和及时总结所学的知识的好习惯。

五

变式巩固

【问题】：如图，已知：P、Q是△ABC的边AB、AC上的点，你能在BC上确定一点R，使△PQR的周长最短吗？

在具体问题中实践已有模型，固化已有模型。为进一步丰富、完善知识结构做铺垫。

六

拓展提升

【问题】：如图,一位将军骑马从驻地A出发，先牵马去草地

OM吃草，再牵马去河边ON喝水，最后回到驻地A问：这位将军怎样走路程最短？

【问题】：如图，A为马厩，B为帐篷，将军某一天要从马厩牵出马，先到草地边某一处牧马，再到河边饮马，然后回到帐篷，请你帮助确定这一天的最短路线。

七

巩

固

练

习

1.【题目】：如图，已知：

MON内两点A、B.求作：点C和点D,使得点C在OM上，点D在ON上，且AC+CD+BD+AB最短。

2.【题目】：如图，如图，OMCN是矩形的台球桌面，有黑、白两球分别位于B、A两点的位置上，试问怎样撞击白球，使白球A依次碰撞球台边OM、ON后，反弹击中黑球？

习题难度，由易到难，逐步深入。让学生进一步巩固解决最短路径问题的基本策略和基本方法。

八

课

堂

小

结

1.【问题】：本节课研究问题的基本过程是什么？

当我们遇到一个实际问题，首先，我们要将实际问题变成一个数学问题（群答），也就是抽象成一个数学模型，这样可以帮助我们进行实验观察，进而运用合情推理得到一个猜想，然后我们可以通过严谨的逻辑证明，验证猜想，从而得出结论，最后再将结论运用到实际问题里。

2.【问题】：今天我们学习了最短路径的相关问题，我们应该怎么样找到它们的最短路径呢？

先确定对称轴，找出定点的对称点。然后连接对称点与另一点确定所求位置点（连接各对称点确定所求位置点）。

我们要先将实际问题变成一个数学问题，然后观察实验，提出猜想，之后通过证明，验证猜想，从而得出结论，最后再将结论运用到实际问题里。

如何求解

培养学生总结在课题学习的基本思路。

九

课

后

拓

展

【问题】：在矩形ABCD中，在边和对角线AD、BD上有两个动点M、N,当M、N运动到何处时，BM+MN最短？

根据解题方法进行深度拓展（难度大）

第三篇：最短路径教学设计(上交)（推荐）

13．4《课题学习——最短路径问题》教学设计

玉泉二中 王卫杰

一.内容和内容解析

最短路径问题在现实生活中经常遇到，初中阶段主要以“两点之间，线段最短”、“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”为基础知识，有时还要借助轴对称、平移、旋转等变换进行研究.本节课利用“河边饮马地点的选择”问题，开展对“最短路径问题”的课题研究，让学生经历将实际问题抽象为数学的线段和最小问题，再利用轴对称将线段和最小问题转化为“两点之间，线段最短”问题.二.目标和目标解析

1.教学目标

基于以上分析，本节课我确定的教学目标是：能利用轴对称解决简单的最短路径问题，体会图形的变换在解决最值问题中的作用，感悟转化思想，进一步获得数学活动的经验，增强应用意识.本节课我确定的的教学重点是：利用轴对称将最短路径问题转化为“两点之间，线段最短”问题，培养学生解决实际问题的能力.2.教学目标解析

要求学生能将实际问题中的“地点”、“河流”抽象为数学中的“点”、“线”，把实际问题抽象为数学问题；能利用轴对称将线段和最小问题转化为“两点之间，线段最短”问题；能通过逻辑推理证明所求距离最短；在探索最短路径的过程中，体会轴对称的“桥梁”作用，感悟转化思想.三.教学问题诊断分析

最短路径问题从本质上说是极值问题，作为八年级的学生，在此之前很少接触，解决这方面问题的经验尚显不足，特别是面对具有实际背景的极值问题，更会感到陌生，无从下手.对于直线异侧的两点，如何在直线上找到一点，使这一点到这两点的距离之和最小，学生很容易想到连接这两点，所连线段与直线的交点就是所求的点.但对于直线同侧的两点，如何在直线上找到一点，使这一点到这两点的距离之和最小，一些学生会感到茫然，找不到解决问题的思路.在证明“最短”时，需要在直线上任取一点（与所求作的点不重合），证明所连线段和大于所求作的线段和，学生可能想不到，不会用.所以，本节课我确定的教学难点是：如何利用轴对称将最短路径问题转化为线段和最小问题.教学时，教师可从“直线异侧的两点”过渡到“直线同侧的两点”，为学生搭建“脚手架”.在证明“最短”时，教师可以告诉学生，证明“最大”、“最小”这类问题，常常要另选一个量，通过与求证的那个“最大”、“最小”的量进行比较来证明.由于另取的点具有任意性，所以结论对于直线上的每一点（所求作的点除外）都成立.四.教学过程设计

1．创设问题情境

引入：（课件展示行人践踏茵茵绿草穿越草坪）师：（1）同学们，生活中你见到过这样的现象吗？（2）他为什么选择走红色路线？（3）理由是什么？ 生：集体回答.师：生活中的实际问题，都可以抽象出数学图形，并能用数学知识来解决.比如，请大家思考问题一：

（课件展示）问题1：

如图，从A地到B地有三条路可供选择，你会选择哪条路距离最短？说说你的理由.师生活动：学生回答问题，说出理由：两点之间，线段最短.【设计意图】让学生回顾“两点之间，线段最短”，同时让学生感知从实际问题抽象出数学图形，并用数学知识来解决，为引入新课作准备.师：同学们，随着生活条件的改善，暖气的使用已经在城市普及.目前，市政府决定向农村集中供暖，在施工过程中，技术人员遇到了这样一个问题，请大家思考问题二：

（课件展示）问题2：

如图，要在燃气管道l上修建一个泵站，分别向A、B两村供气，泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气管线最短？

教师提出要求：

（1）在导学练上先抽象出数学图形，一生上台扮演.（2）学生独立思考，怎样找到泵站的位置？

师：现在的问题就是，怎样在直线上找一点，使它到两点的距离值和最小？

师生活动：学生回答，连接AB，线段AB与l的交点即为泵站修建的位置.师生小结：对于直线异侧的两点，怎样在直线上找一点，使它到两点的距离值和最小，就是要连接这两点，所连线段与直线的交点就是所要求做的点.师：如何证明所找的点能满足距离值和最短呢？

生：在直线上任意找一点（求作的点除外），与已知两点连接，就得到一条新的路径，只需要与前一条路径进行比较即可.师：很明显，利用两点之间，线段最短，或者利用三角形中，两边之和大于第三边，均可得证.师：如果两点在直线同侧呢？怎样在直线上找一点，使它到两点的距离值和最小？

请大家思考问题三：

【设计意图】让学生进一步感受“两点之间，线段最短”，为把“同侧的两点”转化为“异侧的两点”做铺垫.2．将实际问题抽象为数学问题

（课件展示）问题3：

牧马人从图中的A 地出发，到一条笔直的河边l 饮马，然后到B 地．到河边什么地方饮马，可使他所走的路径最短？

你能将这个问题抽象为数学问题吗？

教师提出要求：

（1）在导学练上先抽象出数学图形，一生上台扮演.（2）学生独立思考，怎样找到饮马的位置？

师：现在的问题就是，怎样在直线上找一点，使它到两点的距离值和最小？

师生活动：学生尝试回答，并相互补充，最后达成共识:（1）将A，B 两地抽象为两个点，将河l 抽象为一条直线；（2）在直线l上找到一点C，使AC与BC的和最小？

【设计意图】学生通过动手操作，在具体感知轴对称图形特征的基础上，抽象出轴对称图形的概念.3．解决数学问题

问题4：

如图，点A，B 在直线l 的同侧，怎样在直线l上找到一点C，使AC 与BC的和最小？

师生活动：学生独立思考，尝试画图，相互交流.如果学生有困难，教师可作如下提示：

（1）如果点B在点A的异侧，如何在直线l上找到一点C，使AC 与BC的和最小

（2）现在点B与点A在同侧，能否将点B移到l 的另一侧点 处，且满足直线l上的任意一点C，都能保持 ?（3）你能根据轴对称的知识，找到（2）中符合条件的点 吗？ 师生共同完成作图，如下图.作法：（1）作点B 关于直线l 的对称点B′；

（2）连接AB′，与直线l 相交于点C．则点C 即为所求.【设计意图】教师一步一步引导学生，如何将同侧的两点转化为异侧的两点，为问题的解决提供思路，渗透转化思想.4．证明AC +BC “最短”

问题5： 你能用所学的知识证明AC +BC最短吗？

师生活动：学生独立思考，相互交流，师生共同完成证明过程.证明：如图，在直线l 上任取一点AC′，BC′，∴ 在△∴

即AC +BC 最短．

追问1：

证明AC +BC最短时，为什么要在直线l上任取一点（与点C但不重合）？

师生活动：学生相互交流，教师适时点拨，最后达成共识：若直中，． ．，． ．，（与点C 不重合），连接由轴对称的性质知，线l上任意一点（与点C不重合）与A，B两点的距离和都大于AC +BC，就说明AC +BC最小.【设计意图】让学生体会作法的正确性，提高逻辑思维能力.追问2：

回顾前面的探究过程，我们是通过怎样的过程、借助什么解决问题的？

师生活动：学生回答，相互补充.【设计意图】学生在反思中，体会轴对称的桥梁作用，感悟转化思想，丰富数学活动经验.5．巩固练习

如图，一个旅游船从大桥AB 的P 处前往山脚下的Q 处接游客，然后将游客送往河岸BC 上，再返回P 处，请画出旅游船的最短路径.师生活动:学生分析解题思路，独立完成画图，教师适时点拨.【设计意图】让学生进一步巩固解决最短路径问题的基本策略和基本方法.6．归纳小结

教师和学生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题.（1）本节课研究问题的基本过程是什么？（2）轴对称在所研究问题中起什么作用？ 师生活动：教师引导，学生小结.【设计意图】：引导学生把握研究问题的基本策略和方法，体会轴对称在解决最短路径问题中的作用，感悟转化思想的重要价值.7．布置作业：

教科书复习题13第15题.8、课堂寄语：

（1）、你有梦想吗？（2）、你的梦想是什么？

（3）、实现你的梦想的最短路径是什么？

五、目标检测设计

某实验中学八(1)班举行文艺晚会，桌子摆成如图a所示两直排(图中的AO，BO)，AO桌面上摆满了橘子，OB桌面上摆满了糖果，站在C处的学生小明先拿橘子再拿糖果，然后到D处座位上，请你帮助他设计一条行走路线，使其所走的总路程最短？

【设计意图】考查学生解决“最短路径问题”的能力.

第四篇：《最短路径》教学反思

11月23号下午第三节，我讲了公开课《最短路径》第一课时，学校领导及没课的老师来到报告厅听课，听课后田校长对我讲的这一节课经行了点评，我受益匪浅，所以把感悟以及所学到的总结如下：

1、问题设计要有启发性。在设计问题的时候不可以设计无用的问题，要让学生真正有所思考，并且可以经过思考可以得到结论，在设计问题的时候也不要设计太难的问题，打击学生的积极性，要把难的问题分解，解剖成简单的小问题一步步来解决。

2、课堂引入，要更加的正规，不能太随意。比如在引入的时候可以用蚂蚁找食物的实例引入，可以更形象。

3、引入之后，要复习预备知识。因为所有的知识都是在旧知识的基础上生成的，如果说新知识是冰川露出大海的部分，那旧知识就是藏在大海中的更大的部分，所以要强调从旧知识的基础上生成新知识，调动旧知识环境，衍生新知识，这样有利于学生形成数学体系，所学的内容也不会让学生感觉太突兀，而是自然而然的得到。所以要认真分析预备知识，把新知识放在旧知识的基础上，通过复习慢慢引出新的内容，这样学生更容易掌握，更容易接受，不会产生畏难情绪，反而觉得清松自如。

4、授课的过程中应该环环相扣，一步步上，要讲问题分解，化大为小，化难为易，化繁为简，降低难度，就像是上台阶，一个个的台阶上。

5、注重建模思想。虽然不必要提出来这个名词，但是要让学生能从实际问题中抽象出数学问题，本节课的“将军饮马问题”就是一个实际的问题，要让学生转换成数学问题，抽象出数学问题。

第五篇：13.4 课题学习最短路径问题 教学设计 教案

教学准备

1.教学目标

1.理解并掌握平面内一条直线同侧两个点到直线上的某一点距离之和为最小值时点的位置的确定；

2.能利用轴对称平移解决实际问题中路径最短的问题；

3.通过独立思考，合作探究，培养学生运用数学知识解决实际问题的基本能力，感受学习成功的快乐。

2.教学重点/难点

教学重点

将实际问题转化成数学问题，运用轴对称平移解决生活中路 径最短的问题，确定出最短路径的方法。教学难点

探索发现“最短路径”的方案，确定最短路径的作图及说理。

3.教学用具 4.标签

教学过程

一、创设情景，引入新知。

同学们：我们已经学习过“两点的所有连线中。”和“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，”等问题，我们称他们为最短路径问题。

二、自主学习，探究新知。

1、探究问题：如图所示，从A地到B地有三条路可供选择，你会选走哪条路最近？你的理由是什么？

（I）两点在一条直线异侧：

活动1: 已知：如图，A，B在直线L的两侧，在L上求一点P，使得这个点到点AB的距离和最短，即PA+PB最小。

思考：为什么这样做就能得到最短距离呢？你如何验证PA+PB最短呢？(Ⅱ)两点在一条直线同侧

活动2：如图，牧马人从地出发到一条笔直的河边L饮马，然后到地，牧马人到B河边的什么地方饮马，可是所走的路径最短？这个问题可以转化为;当点L在的什么位置时。AC与BC的和最小。

2、探究问题：造桥选址问题中的最短路径问题

活动3：如图，A和B连地在一条河的两岸，要在河上造一座桥MN，桥造在何处可使从A到B路径AMNB最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直）

①怎样将实际问题转化为实际问题？ ②若直线重合，最短路径是什么？ ③若将直线平移开，怎样思考该问题？ ④怎样解决造桥选址问题？

作法：如图，1.将点A沿与和垂直的方向平移MN的距离到A2.连接AB交河岸与点N，在此处造桥MN，所的路程AMNB就是最短路程。

三、合作交流，感悟新知 问题：如图，点A是总局，想在公路L1上建一分局D，在公路L2上建一分局E，怎样AD+DE+EA使最小？

四、反思构造，融汇新知

五、检测展示，反馈新知

如图：C为马厩，D为帐篷，牧马人某一天要从马厩牵出马，先到草地边某一处牧马，再到河边饮马，然后回到帐篷，请你帮他确定这一天的最短路线。

六、拓展延伸，深化新知

1、在一条河的同一岸上有AB两个油库，要在河边建一个码头C，怎样作图使：①AB两油库到码头C的距离相等.②AC+BC最短.2、如图，一个旅游船从大桥AB 的P 处前往山脚下的Q 处接游客，然后将游客送往河岸BC 上，再返回P 处，请画出旅游船的最短路径．

七、学后反思，升华新知