第一篇：小学六年级奥数教案相遇与追击
小学六年级奥数教案—相遇与追击
有两个人同时在行走，一个走得快，一个走得慢，当走得慢的在前，走得快的过了一些时间就能追上他.这就产生了“追及问题”.实质上，要算走得快的人在某一段时间内，比走得慢的人多走的距离，也就是要计算两人走的距离之差.如果设甲走得快，乙走得慢，在相同时间内，甲走的距离-乙走的距离
= 甲的速度×时间-乙的速度×时间
=（甲的速度-乙的速度）×时间.通常，“追及问题”要考虑速度差.例1：
甲乙两辆汽车同时从东西两地相向开出，甲车每小时行56千米，乙车每小时行48千米。两车在距中点32千米处相遇。东西两地相距多少千米？
思路导航：两车在距中点32千米处相遇，由于甲车的速度大于乙车的速度，所以相遇时，甲车应行了全程的一半多32千米，乙车行了全程的一半少32千米，因此，两车相遇时，甲车比乙车共多行了32＝64（千米）。两车同时出发，又相遇了，两车所行的时间是一样的，为什么甲车会比乙车多行64千米？因为甲车每小时比乙车多行56－48＝8（千米）。64 ＝8（时），所以两车各行了8小时，求东西两地的路程只要用（56+48）8＝832（千米）
例2：快车和慢车同时从甲、乙两地相向开出，快车每小时行40千米，经过3小时快车已驶过中点25千米，这时快车与慢车还相距7千米。慢车每小时行多少千米？
思路导航：快车3小时行驶403＝120（千米），这时快车已驶过中点25千米，说明甲乙两地间路程的一半是120－25＝95（千米）。此时，慢车行了95－25－7＝63（千米），因此慢车每小时行633＝21（千米）
例4 甲乙两队学生从相距18千米的两地同时出发，相向而行。一个同学骑自行车以每小时14千米的速度，在两队之间不停地往返联络。甲队每小时行5千米，乙队每小时行4千米。两队相遇时，骑自行车的同学共行多少千米？
思路导航；要求骑自行车的同学一共行多少千米，就要知道他的速度和时间。骑自行车同学的速度是每小时14千米，而他所行的时间就是甲、乙两队学生从出发到相遇这段时间。因此用18＝2（时）
142＝28（千米）
例5：甲、乙两车早上8时分别从A、B两地同时相向出发，到10时两车相距112.5千米。两车继续行驶到下午1时，两车相距还是112.5千米。A、B两地间的距离是多少千米？
思路导航：从10时到下午1时共经过3小时，3小时里，甲、乙两车从相距112.5千米到又相距112.5千米，共行2＝225（千米）。两车的速度和是每小时行2253＝75（千米）。从早上8时到10时共经过2小时，2小时共行752＝150（千米）因此，A、B两地间的距离是150+112.5＝262.5（千米）
例
6、一辆汽车从甲地开往乙地要行360千米，开始按计划以每小时45千米的速度行驶，途中因汽车出故障修车2小时。因为要按时到达乙地，修好后必须每小时多行30千米。问汽车是在离甲地多远处修车的？
思路导航：途中修车用了2小时，汽车就少行了452＝90（千米），修车后，为了按时到达乙地，每小时多行30千米。90千米里面包含有3个30千米，也就是说，再行3小时就能把修车少行的90千米行完。因此修车后再行（45+30）3＝225（千米）就能到达乙地。汽车是在离甲地360－225＝135（千米）处修车的。
例
7、甲骑车，乙慢跑，二人同时从一点出 发沿着长4千米的环形公路同方向进行晨练。假设两人速度一直不变，出发后10分钟，甲便从乙身后追上了乙，已知两人的速度和是每分钟行700米，求甲乙二人的速度各是多少？
思路导航：出发10分钟后，甲从乙身后追上了乙，也就是10分钟内甲比乙多行了一圈。因此，甲每分钟比乙多行400010＝400（米）。知道了两人的速度差是每分钟400米，速度和是每分钟700米，就能算出骑车的速度是（700+400）2 ＝550（米/分），乙跑步的速度是700－550＝150（米/分）
练习：
1.甲、乙两汽车同时从两地出发，相向而行。甲汽车每小时行50千米，乙汽车每小时行55千米，两车在距中点15千米相遇。求两地之间的路程是多少千米 ？
2、一辆汽车和一辆摩托车同时从A、B两城相对开出，汽车每小时行60千米，摩托车每小时行70千米，当摩托车行到两城中点处时，与汽车还相距30千米，求A、B两城之间的距离？
3、下午放学时，小红从学校回家，每分钟走100米，同时，妈发也从家里出发到学校去接小红，每分钟走120米，两人在距中点100米的地方相遇，小红家到学校有多少米？
4、兄弟二人同时从学校和家中出发，相向而行。哥哥每分钟行120米，5分钟后哥哥已超过中点50米，这时兄弟二人还相距 30米。弟弟每分钟行多少米？
5、汽车从甲地开往乙地，每小时行32千米，4小时后，剩下的路程的一半少8千米，如果改用每小时56千米的速度行驶，再行几小时到乙地？
6、学校运来一批树苗，五（1）班的40个同学都去参加植树活动，如果每人植3棵，全班同学能植这批树苗的一半还多20棵。如果这批树苗全部给五（1）班的同学去植，平均每人植多少棵树？
7、两支队伍从相距55千米的两地相向而行。通讯员骑马以每小时16千米的速度在两支队伍之间不断往返联络。已知一支队伍每小时行5千米，另一支队伍每小时行6千米，两队相遇时，通迅员共行多少千米？
8、甲、乙两人同时从两地出发，相向而行，距离是100千米。甲每小时行6千米，乙每小时行4千米。甲带着一只小狗，狗每小时行10千米。这只狗同甲一道出发，碰到乙的时候，它就掉头朝甲这边走，碰到甲时又往乙那边走，直到两人相遇时。这只狗一共走了多少千米？
9、甲、乙两车同时从A、B两地相向出发，3小时后，两车还相距120千米，又行3小时，两车又相距120千米。A、B两地相距多少千米？
10、快、慢两车早上6时同时从甲、乙两地相向开出，中午12时两车还相距50千米继续行驶到14时，两车又相距170千米。甲、乙两地相距多少千米？
11、甲、乙两车分别从A、B两地同时相向而行，8小时后相遇，相遇后两车继续行驶，3小时后两车相距360千米，求A、B两地的距离。
第二篇：小学六年级奥数教案
小学六年级奥数教案：行程问题
第一讲 行程问题
走路、行车、一个物体的移动，总是要涉及到三个数量： 距离走了多远，行驶多少千米，移动了多少米等等;速度在单位时间内(例如1小时内)行走或移动的距离;时间行走或移动所花时间.这三个数量之间的关系，可以用下面的公式来表示： 距离=速度×时间
很明显，只要知道其中两个数量，就马上可以求出第三个数量.从数学上说，这是一种最基本的数量关系，在小学的应用题中，这样的数量关系也是最常见的，例如
总量=每个人的数量×人数.工作量=工作效率×时间.因此，我们从行程问题入手，掌握一些处理这种数量关系的思路、方法和技巧，就能解其他类似的问题.当然，行程问题有它独自的特点，在小学的应用题中，行程问题的内容最丰富多彩，饶有趣味.它不仅在小学，而且在中学数学、物理的学习中，也是一个重点内容.因此，我们非常希望大家能学好这一讲，特别是学会对一些问题的思考方法和处理技巧.这一讲，用5千米/小时表示速度是每小时5千米，用3米/秒表示速度是每秒3米
一、追及与相遇
有两个人同时在行走，一个走得快，一个走得慢，当走得慢的在前，走得快的过了一些时间就能追上他.这就产生了“追及问题”.实质上，要算走得快的人在某一段时间内，比走得慢的人多走的距离，也就是要计算两人走的距离之差.如果设甲走得快，乙走得慢，在相同时间内，甲走的距离-乙走的距离
= 甲的速度×时间-乙的速度×时间 =(甲的速度-乙的速度)×时间.通常，“追及问题”要考虑速度差.例1 小轿车的速度比面包车速度每小时快6千米，小轿车和面包车同时从学校开出，沿着同一路线行驶，小轿车比面包车早10分钟到达城门，当面包车到达城门时，小轿车已离城门9千米，问学校到城门的距离是多少千米? 解：先计算，从学校开出，到面包车到达城门用了多少时间.此时，小轿车比面包车多走了9千米，而小轿车与面包车的速度差是6千米/小时，因此
所用时间=9÷6=1.5(小时).小轿车比面包车早10分钟到达城门，面包车到达时，小轿车离城门9千米，说明小轿车的速度是
面包车速度是 54-6=48(千米/小时).城门离学校的距离是 48×1.5=72(千米).答：学校到城门的距离是72千米.例2 小张从家到公园，原打算每分种走50米.为了提早10分钟到，他把速度加快，每分钟走75米.问家到公园多远? 解一：可以作为“追及问题”处理.假设另有一人，比小张早10分钟出发.考虑小张以75米/分钟速度去追赶，追上所需时间是
×10÷(75-50)= 20(分钟)? 因此，小张走的距离是 75× 20= 1500(米).答：从家到公园的距离是1500米.还有一种不少人采用的方法.家到公园的距离是
一种解法好不好，首先是“易于思考”，其次是“计算方便”.那么你更喜欢哪一种解法呢?对不同的解法进行比较，能逐渐形成符合你思维习惯的解题思路.例3 一辆自行车在前面以固定的速度行进，有一辆汽车要去追赶.如果速度是30千米/小时，要1小时才能追上;如果速度是 35千米/小时，要 40分钟才能追上.问自行车的速度是多少? 解一：自行车1小时走了 30×1-已超前距离，自行车40分钟走了
自行车多走20分钟，走了
因此，自行车的速度是
答：自行车速度是20千米/小时.解二：因为追上所需时间=追上距离÷速度差
1小时与40分钟是3∶2.所以两者的速度差之比是2∶3.请看下面示意图：
马上可看出前一速度差是15.自行车速度是 35-15= 20(千米/小时).解二的想法与第二讲中年龄问题思路完全类同.这一解法的好处是，想清楚后，非常便于心算.例4 上午8点8分，小明骑自行车从家里出发，8分钟后，爸爸骑摩托车去追他，在离家4千米的地方追上了他.然后爸爸立即回家，到家后又立刻回头去追小明，再追上小明的时候，离家恰好是8千米，这时是几点几分? 解：画一张简单的示意图：
图上可以看出，从爸爸第一次追上到第二次追上，小明走了 8-4=4(千米).而爸爸骑的距离是 4+ 8= 12(千米).这就知道，爸爸骑摩托车的速度是小明骑自行车速度的 12÷4=3(倍).按照这个倍数计算，小明骑8千米，爸爸可以骑行8×3=24(千米).但事实上，爸爸少用了8分钟，骑行了 4+12=16(千米).少骑行24-16=8(千米).摩托车的速度是1千米/分，爸爸骑行16千米需要16分钟.8+8+16=32.答：这时是8点32分.下面讲“相遇问题”.小王从甲地到乙地，小张从乙地到甲地，两人在途中相遇，实质上是小王和小张一起走了甲、乙之间这段距离.如果两人同时出发，那么 甲走的距离+乙走的距离 =甲的速度×时间+乙的速度×时间 =(甲的速度+乙的速度)×时间.“相遇问题”，常常要考虑两人的速度和.例5 小张从甲地到乙地步行需要36分钟，小王骑自行车从乙地到甲地需要12分钟.他们同时出发，几分钟后两人相遇? 解：走同样长的距离，小张花费的时间是小王花费时间的 36÷12=3(倍)，因此自行车的速度是步行速度的3倍，也可以说，在同一时间内，小王骑车走的距离是小张步行走的距离的3倍.如果把甲地乙地之间的距离分成相等的4段，小王走了3段，小张走了1段，小张花费的时间是 36÷(3+1)=9(分钟).答：两人在9分钟后相遇.例6 小张从甲地到乙地，每小时步行5千米，小王从乙地到甲地，每小时步行4千米.两人同时出发，然后在离甲、乙两地的中点1千米的地方相遇，求甲、乙两地间的距离.解：画一张示意图
离中点1千米的地方是A点，从图上可以看出，小张走了两地距离的一半多1千米，小王走了两地距离的一半少1千米.从出发到相遇，小张比小王多走了2千米
小张比小王每小时多走(5-4)千米，从出发到相遇所用的时间是 2÷(5-4)=2(小时).因此，甲、乙两地的距离是(5+ 4)×2=18(千米).本题表面的现象是“相遇”，实质上却要考虑“小张比小王多走多少?”岂不是有“追及”的特点吗?对小学的应用题，不要简单地说这是什么问题.重要的是抓住题目的本质，究竟考虑速度差，还是考虑速度和，要针对题目中的条件好好想一想.千万不要“两人面对面”就是“相遇”，“两人一前一后”就是“追及”.请再看一个例子.例7 甲、乙两车分别从A，B两地同时出发，相向而行，6小时后相遇于C点.如果甲车速度不变，乙车每小时多行5千米，且两车还从A，B两地同时出发相向而行，则相遇地点距C点12千米;如果乙车速度不变，甲车每小时多行5千米，且两车还从A，B两地同时出发相向而行，则相遇地点距C点16千米.求A，B两地距离.解：先画一张行程示意图如下
设乙加速后与甲相遇于D点，甲加速后与乙相遇于E点.同时出发后的相遇时间，是由速度和决定的.不论甲加速，还是乙加速，它们的速度和比原来都增加5千米，因此，不论在D点相遇，还是在E点相遇，所用时间是一样的，这是解决本题的关键.下面的考虑重点转向速度差.在同样的时间内，甲如果加速，就到E点，而不加速，只能到 D点.这两点距离是 12+ 16= 28(千米)，加速与不加速所形成的速度差是5千米/小时.因此，在D点
(或E点)相遇所用时间是 28÷5= 5.6(小时).比C点相遇少用 6-5.6=0.4(小时).甲到达D，和到达C点速度是一样的，少用0.4小时，少走12千米，因此甲的速度是
12÷0.4=30(千米/小时).同样道理，乙的速度是 16÷0.4=40(千米/小时).A到 B距离是(30+ 40)×6= 420(千米).答： A，B两地距离是 420千米.很明显，例7不能简单地说成是“相遇问题”.例8 如图，从A到B是1千米下坡路，从B到C是3千米平路，从C到D是2.5千米上坡路.小张和小王步行，下坡的速度都是6千米/小时，平路速度都是4千米/小时，上坡速度都是2千米/小时.问：(1)小张和小王分别从A，D同时出发，相向而行，问多少时间后他们相遇?(2)相遇后，两人继续向前走，当某一个人达到终点时，另一人离终点还有多少千米? 解：(1)小张从 A到 B需要 1÷6×60= 10(分钟);小王从 D到 C也是下坡，需要 2.5÷6×60= 25(分钟);当小王到达 C点时，小张已在平路上走了 25-10=15(分钟)，走了
因此在 B与 C之间平路上留下 3-1= 2(千米)由小张和小王共同相向而行，直到相遇，所需时间是 2 ÷(4+ 4)×60= 15(分钟).从出发到相遇的时间是 25+ 15= 40(分钟).(2)相遇后，小王再走30分钟平路，到达B点，从B点到 A点需要走 1÷2×60=30分钟，即他再走 60分钟到达终点.小张走15分钟平路到达D点，45分钟可走
小张离终点还有2.5-1.5=1(千米).答：40分钟后小张和小王相遇.小王到达终点时，小张离终点还有1千米.二、环形路上的行程问题
人在环形路上行走，计算行程距离常常与环形路的周长有关.例9 小张和小王各以一定速度，在周长为500米的环形跑道上跑步.小王的速度是180米/分.(1)小张和小王同时从同一地点出发，反向跑步，75秒后两人第一次相遇，小张的速度是多少米/分?(2)小张和小王同时从同一点出发，同一方向跑步，小张跑多少圈后才能第一次追上小王? 解：(1)75秒-1.25分.两人相遇，也就是合起来跑了一个周长的行程.小张的速度是 500÷1.25-180=220(米/分).(2)在环形的跑道上，小张要追上小王，就是小张比小王多跑一圈(一个周长)，因此需要的时间是
500÷(220-180)=12.5(分).220×12.5÷500=5.5(圈).答：(1)小张的速度是220米/分;(2)小张跑5.5圈后才能追上小王.例10 如图，A、B是圆的直径的两端，小张在A点，小王在B点同时出发反向行走，他们在C点第一次相遇，C离A点80米;在D点第二次相遇，D点离B点6O米.求这个圆的周长.解：第一次相遇，两人合起来走了半个周长;第二次相遇，两个人合起来又走了一圈.从出发开始算，两个人合起来走了一周半.因此，第二次相遇时两人合起来所走的行程是第一次相遇时合起来所走的行程的3倍，那么从A到D的距离，应该是从A到C距离的3倍，即A到D是 80×3=240(米).240-60=180(米).180×2=360(米).答：这个圆的周长是360米.在一条路上往返行走，与环行路上行走，解题思考时极为类似，因此也归入这一节.例11 甲村、乙村相距6千米，小张与小王分别从甲、乙两村同时出发，在两村之间往返行走(到达另一村后就马上返回).在出发后40分钟两人第一次相遇.小王到达甲村后返回，在离甲村2千米的地方两人第二次相遇.问小张和小王的速度各是多少? 解：画示意图如下：
如图，第一次相遇两人共同走了甲、乙两村间距离，第二次相遇两人已共同走了甲、乙两村间距离的3倍，因此所需时间是 40×3÷60=2(小时).从图上可以看出从出发至第二次相遇，小张已走了 6×2-2=10(千米).小王已走了 6+2=8(千米).因此，他们的速度分别是 小张 10÷2=5(千米/小时)，小王 8÷2=4(千米/小时).答：小张和小王的速度分别是5千米/小时和4千米/小时.例12 小张与小王分别从甲、乙两村同时出发，在两村之间往返行走(到达另一村后就马上返回)，他们在离甲村3.5千米处第一次相遇，在离乙村2千米处第二次相遇.问他们两人第四次相遇的地点离乙村多远(相遇指迎面相遇)? 解：画示意图如下.第二次相遇两人已共同走了甲、乙两村距离的3倍，因此张走了 3.5×3=10.5(千米).从图上可看出，第二次相遇处离乙村2千米.因此，甲、乙两村距离是 10.5-2=8.5(千米).每次要再相遇，两人就要共同再走甲、乙两村距离2倍的路程.第四次相遇时，两人已共同走了两村距离(3+2+2)倍的行程.其中张走了 3.5×7=24.5(千米)，24.5=8.5+8.5+7.5(千米).就知道第四次相遇处，离乙村 8.5-7.5=1(千米).答：第四次相遇地点离乙村1千米.下面仍回到环行路上的问题.例13 绕湖一周是24千米，小张和小王从湖边某一地点同时出发反向而行.小王以4千米/小时速度每走1小时后休息5分钟;小张以6千米/小时速度每走50分钟后休息10分钟.问：两人出发多少时间第一次相遇? 解：小张的速度是6千米/小时，50分钟走5千米我们可以把他们出发后时间与行程列出下表：
12+15=27比24大，从表上可以看出，他们相遇在出发后2小时10分至3小时15分之间.出发后2小时10分小张已走了
此时两人相距 24-(8+11)=5(千米).由于从此时到相遇已不会再休息，因此共同走完这5千米所需时间是 5÷(4+6)=0.5(小时).2小时10分再加上半小时是2小时40分.答：他们相遇时是出发后2小时40分.例14 一个圆周长90厘米，3个点把这个圆周分成三等分，3只爬虫A，B，C分别在这3个点上.它们同时出发，按顺时针方向沿着圆周爬行.A的速度是10厘米/秒，B的速度是5厘米/秒，C的速度是3厘米/秒，3只
爬虫出发后多少时间第一次到达同一位置? 解：先考虑B与C这两只爬虫，什么时候能到达同一位置.开始时，它们相差30厘米，每秒钟B能追上C(5-3)厘米0.30÷(5-3)=15(秒).因此15秒后B与C到达同一位置.以后再要到达同一位置，B要追上C一圈，也就是追上90厘米，需要 90÷(5-3)=45(秒).B与C到达同一位置，出发后的秒数是 15，105，150，195，…… 再看看A与B什么时候到达同一位置.第一次是出发后 30÷(10-5)=6(秒)，以后再要到达同一位置是A追上B一圈.需要 90÷(10-5)=18(秒)，A与B到达同一位置，出发后的秒数是 6，24，42，78，96，…
对照两行列出的秒数，就知道出发后60秒3只爬虫到达同一位置.答：3只爬虫出发后60秒第一次爬到同一位置.请思考，3只爬虫第二次到达同一位置是出发后多少秒? 例15 图上正方形ABCD是一条环形公路.已知汽车在AB上的速度是90千米/小时，在BC上的速度是120千米/小时，在CD上的速度是60千米/小时，在DA上的速度是80千米/小时.从CD上一点P，同时反向各发出一辆汽车，它们将在AB中点相遇.如果从PC中点M，同时反向各发出一辆汽车，它们将在AB上一点N处相遇.求
解：两车同时出发至相遇，两车行驶的时间一样多.题中有两个“相遇”，解题过程就是时间的计算.要计算方便，取什么作计算单位是很重要的.设汽车行驶CD所需时间是1.根据“走同样距离，时间与速度成反比”，可得出
分数计算总不太方便，把这些所需时间都乘以24.这样，汽车行驶CD，BC，AB，AD所需时间分别是24，12，16，18.从P点同时反向各发一辆车，它们在AB中点相遇.P→D→A与 P→C→B所用时间相等.PC上所需时间-PD上所需时间 =DA所需时间-CB所需时间 =18-12 =6.而(PC上所需时间+PD上所需时间)是CD上所需时间24.根据“和差”计算得 PC上所需时间是(24+6)÷2=15，PD上所需时间是24-15=9.现在两辆汽车从M点同时出发反向而行，M→P→D→A→N与M→C→B→N所用时间相等.M是PC中点.P→D→A→N与C→B→N时间相等，就有 BN上所需时间-AN上所需时间 =P→D→A所需时间-CB所需时间 =(9+18)-12 = 15.BN上所需时间+AN上所需时间=AB上所需时间 =16.立即可求BN上所需时间是15.5，AN所需时间是0.5.从这一例子可以看出，对要计算的数作一些准备性处理，会使问题变得简单些.三、稍复杂的问题
在这一节希望读者逐渐掌握以下两个解题技巧：(1)在行程中能设置一个解题需要的点;(2)灵活地运用比例.例16 小王的步行速度是4.8千米/小时，小张的步行速度是5.4千米/小时，他们两人从甲地到乙地去.小李骑自行车的速度是10.8千米/小时，从乙地到甲地去.他们3人同时出发，在小张与小李相遇后5分钟，小王又与小李相遇.问：小李骑车从乙地到甲地需要多少时间? 解：画一张示意图：
图中A点是小张与小李相遇的地点，图中再设置一个B点，它是张、李两人相遇时小王到达的地点.5分钟后小王与小李相遇，也就是5分钟的时间，小王和小李共同走了B与A之间这段距离，它等于
这段距离也是出发后小张比小王多走的距离，小王与小张的速度差是(5.4-4.8)千米/小时.小张比小王多走这段距离，需要的时间是 1.3÷(5.4-4.8)×60=130(分钟).这也是从出发到张、李相遇时已花费的时间.小李的速度10.8千米/小时是小张速度5.4千米/小时的2倍.因此小李从A到甲地需要 130÷2=65(分钟).从乙地到甲地需要的时间是 130+65=195(分钟)=3小时15分.答：小李从乙地到甲地需要3小时15分.上面的问题有3个人，既有“相遇”，又有“追及”，思考时要分几个层次，弄清相互间的关系，问题也就迎刃而解了.在图中设置一个B点，使我们的思考直观简明些.例17 小玲和小华姐弟俩正要从公园门口沿马路向东去某地，而他们的家要从公园门口沿马路往西.小华问姐姐：“是先向西回家取了自行车，再骑车向东去，还是直接从公园门口步行向东去快”?姐姐算了一下说：“如果骑车与步行的速度比是4∶1，那么从公园门口到目的地的距离超过2千米时，回家取车才合算.”请推算一下，从公园到他们家的距离是多少米? 解：先画一张示意图
设A是离公园2千米处，设置一个B点，公园离B与公园离家一样远.如果从公园往西走到家，那么用同样多的时间，就能往东走到B点.现在问题就转变成： 骑车从家开始，步行从B点开始，骑车追步行，能在A点或更远处追上步行.具体计算如下：
不妨设B到A的距离为1个单位，因为骑车速度是步行速度的4倍，所以从家到A的距离是4个单位，从家到B的距离是3个单位.公园到B是1.5个单位.从公园到A是 1+1.5=2.5(单位).每个单位是 2000÷2.5=800(米).因此，从公园到家的距离是 800×1.5=1200(米).答：从公园门口到他们家的距离是1200米.这一例子中，取计算单位给计算带来方便，是值得读者仿照采用的.请再看一例.例18 快车和慢车分别从A，B两地同时开出，相向而行.经过5小时两车相遇.已知慢车从B到A用了12.5小时，慢车到A停留半小时后返回.快车到B停留1小时后返回.问：两车从第一次相遇到再相遇共需多少时间? 解：画一张示意图：
设C点是第一次相遇处.慢车从B到C用了5小时，从C到A用了12.5-5=7.5(小时).我们把慢车半小时行程作为1个单位.B到C10个单位，C到A15个单位.慢车每小时走2个单位，快车每小时走3个单位.有了上面“取单位”准备后，下面很易计算了.慢车从C到A，再加停留半小时，共8小时.此时快车在何处呢?去掉它在B停留1小时.快车行驶7小时，共行驶3×7=21(单位).从B到C再往前一个单位到D点.离A点15-1=14(单位).现在慢车从A，快车从D，同时出发共同行走14单位，相遇所需时间是 14÷(2+3)=2.8(小时).慢车从C到A返回行驶至与快车相遇共用了 7.5+0.5+2.8=10.8(小时).答：从第一相遇到再相遇共需10小时48分.例19 一只小船从A地到B地往返一次共用2小时.回来时顺水，比去时的速度每小时多行驶8千米，因此第二小时比第一小时多行驶6千米.求A至B两地距离.解：1小时是行驶全程的一半时间，因为去时逆水，小船到达不了B地.我们在B之前设置一个C点，是小船逆水行驶1小时到达处.如下图
第二小时比第一小时多行驶的行程，恰好是C至B距离的2倍，它等于6千米，就知C至B是3千米.为了示意小船顺水速度比逆水速度每小时多行驶8千米，在图中再设置D点，D至C是8千米.也就是D至A顺水行驶时间是1小时.现在就一目了然了.D至B是5千米顺水行驶，与C至B逆水行驶3千米时间一样多.因此 顺水速度∶逆水速度=5∶3.由于两者速度差是8千米.立即可得出
A至B距离是 12+3=15(千米).答：A至B两地距离是15千米.例20 从甲市到乙市有一条公路，它分成三段.在第一段上，汽车速度是每小时40千米，在第二段上，汽车速度是每小时90千米，在第三段上，汽车速度是每小时50千米.已知第一段公路的长恰好是第三段的2倍.现有两辆汽车分别从甲、乙两市同时出发，相向而行.1小时20分后，在第二段的
解一：画出如下示意图：
当从乙城出发的汽车走完第三段到C时，从甲城出发的汽车走完第一段的
到达D处，这样，D把第一段分成两部分
时20分相当于
因此就知道，汽车在第一段需要
第二段需要 30×3=90(分钟);
甲、乙两市距离是
答：甲、乙两市相距185千米.把每辆车从出发到相遇所走的行程都分成三段，而两车逐段所用时间都相应地一样.这样通过“所用时间”使各段之间建立了换算关系.这是一种典型的方法.例
8、例13也是类似思路，仅仅是问题简单些.还可以用“比例分配”方法求出各段所用时间.第一段所用时间∶第三段所用时间=5∶2.时间一样.第一段所用时间∶第二段所用时间=5∶9.因此，三段路程所用时间的比是 5∶9∶2.汽车走完全程所用时间是 80×2=160(分种).例21 一辆车从甲地开往乙地.如果车速提高20%，可以比原定时间提前一小时到达;如果以原速行驶120千米后，再将速度提高25%，则可提前40分钟到达.那么甲、乙两地相距多少千米? 解：设原速度是1.%后，所用时间缩短到原时间的
这是具体地反映：距离固定，时间与速度成反比.用原速行驶需要
同样道理，车速提高25%，所用时间缩短到原来的
如果一开始就加速25%，可少时间
现在只少了40分钟，72-40=32(分钟).说明有一段路程未加速而没有少这个32分钟，它应是这段路程所用时间
真巧，320-160=160(分钟)，原速的行程与加速的行程所用时间一样.因此全程长
答：甲、乙两地相距270千米.十分有意思，按原速行驶120千米，这一条件只在最后用上.事实上，其他条件已完全确定了“原速”与“加速”两段行程的时间的比例关系，当然也确定了距离的比例关系.全程长还可以用下面比例式求出，设全程长为x，就有 x∶120=72∶32
第三篇：六年级奥数教案
思源学校第二课堂（第六周）
判断与推理 2 授课人：雍尧
教学要求:(1)理解逻辑推理的四条基本规律，学会运用分析、推理方法解决问题。
(2)培养学生逻辑推理能力.教学重点:学会运用分析、推理方法解决问题。
教学难点: 理解、掌握分析、推理方法。
教学方法:讲解法、图表法、练习法。
（一）教学过程：
一、复习。
上节课的习题例2
二、教学新课 教学例3
甲乙丙三人被蒙上眼睛，告诉他们每个人头上都戴了一顶帽子，帽子的颜色不是红的就是绿的。然后，就去掉蒙眼睛的布，要求每个人如果看见别人（一个或两个）戴的是红帽子就举手，并且谁能断定自己头上帽子的颜色，谁就马上离开房间。三人碰巧戴的都是红帽子，因此三个人都举了手，几分钟后，丙首先走开了，他是怎么推导出自己头上帽子的颜色的？
（1）学生审题，理解题意。（2）同座位讨论。
（3）分析：此题关键：注意到甲乙两人没有立即离开房间这个事实。丙推理，我的帽子如果是绿的，甲根据乙举手立即知道自己的帽子是红的，那他应走出房间，乙会做同样的推理离开房间。甲乙不能很快判断自己帽子的颜色，说明我的帽子不是绿的，而是红的。（4）说说你的推理过程。
3、比较前面例2例3有什么相同不同之处。
三、巩固练习。教学例4 学田小学举行科技知识竞赛，同学们对一贯刻苦学习爱好读书的四名学生的成绩作了如下估计：（1）丙得第一，乙得第二；
（2）丙得第二，丁得第三；（3）甲得第二，丁得第四。
比赛结果一公布，果然是这四名学生获得前四名。但以上三种估计，每一种都对了一半错一半。他们各得第几名？（1）学生审题，理解题意。（2）同座位讨论。（3）分析：利用图表帮助学生去推理判断。
第一种假定“丙第一错，乙第二对”出现矛盾。照此推理“丙第一对，乙第二错”没有出
现矛盾。所以丙第一，甲第二，丁第三，乙第四。（4）每人口述推理过程。
四、小结。
这节课你学会了什么？
第四篇：小学六年级奥数教案-圆与扇形
小学六年级奥数教案—11圆与扇形
本教程共30讲
圆与扇形
五年级已经学习过三角形、矩形、平行四边形、梯形以及由它们形成的组合图形的相关问题，这一讲学习与圆有关的周长、面积等问题。
圆的面积=πr2，圆的周长=2πr，本书中如无特殊说明，圆周率都取π=3.14。
例1 如下图所示，200米赛跑的起点和终点都在直跑道上，中间的弯道是一个半圆。已知每条跑道宽1.22米，那么外道的起点在内道起点前面多少米？（精确到0.01米）
分析与解：半径越大，周长越长，所以外道的弯道比内道的弯道长，要保证内、外道的人跑的距离相等，外道的起点就要向前移，移的距离等于外道弯道与内道弯道的长度差。虽然弯道的各个半径都不知道，然而两条弯道的中心线的半径之差等于一条跑道之宽。
设外弯道中心线的半径为R，内弯道中心线的半径为r，则两个弯道的长度之差为
πR-πr＝π（R-r）
＝3.14×1.22≈3.83（米）。
即外道的起点在内道起点前面3.83米。
例2 有七根直径5厘米的塑料管，用一根橡皮筋把它们勒紧成一捆（如左下图），此时橡皮筋的长度是多少厘米？
分析与解：由右上图知，绳长等于6个线段AB与6个BC弧长之和。将图中与BC弧类似的6个弧所对的圆心角平移拼补，得到6个角的和是360°，所以BC弧所对的圆心角是60°，6个BC弧等于直径5厘米的圆的周长。而线段AB等于塑料管的直径，由此知绳长=5×6＋5×3.14＝45.7（厘米）。
例3 左下图中四个圆的半径都是5厘米，求阴影部分的面积。
分析与解：直接套用公式，正方形中间的阴影部分的面积不太好计算。容易看出，正方形中的空白部分是4个四分之一圆，利用五年级学过的割补法，可以得到右上图。右上图的阴影部分的面积与原图相同，等于一个正方形与4个半圆（即2个圆）的面积之和，为（2r）2＋πr2×2=102＋3.14×50≈257（厘米2）。
例4 草场上有一个长20米、宽10米的关闭着的羊圈，在羊圈的一角用长30米的绳子拴着一只羊（见左下图）。问：这只羊能够活动的范围有多大？
分析与解：如右上图所示，羊活动的范围可以分为A，B，C三部分，所以羊活动的范围是
例5 右图中阴影部分的面积是2.28厘米2，求扇形的半径。
分析与解：阴影部分是扇形与等腰直角三角形相差的部分。
所以，扇形的半径是4厘米。
例6 右图中的圆是以O为圆心、径是10厘米的圆，求阴影部分的面积。
分析与解：解此题的基本思路是：
从这个基本思路可以看出：要想得到阴影部分S1 的面积，就必须想办法求出S2和S3的面积。
S3的面积又要用下图的基本思路求：
现在就可以求出S3的面积，进而求出阴影部分的面积了。
S3=S4-S5=50π-100（厘米2），S1=S2-S3=50π-（50π-100）=100（厘米2）。
练习11
1.直角三角形ABC放在一条直线上，斜边AC长20厘米，直角边BC长10厘米。如下图所示，三角形由位置Ⅰ绕A点转动，到达位置Ⅱ，此时B，C点分别到达B1，C1点；再绕B1点转动，到达位置Ⅲ，此时A，C1点分别到达A2，C2点。求C点经C1到C2走过的路径的长。
2.下页左上图中每个小圆的半径是1厘米，阴影部分的周长是多少厘米？
3.一只狗被拴在一个边长为3米的等边三角形建筑物的墙角上（见右上图），绳长是4米，求狗所能到的地方的总面积。
5.右上图是一个400米的跑道，两头是两个半圆，每一半圆的弧长是100米，中间是一个长方形，长为100米。求两个半圆的面积之和与跑道所围成的面积之比。
6.左下图中，正方形周长是圆环周长的2倍，当圆环绕正方形无滑动地滚动一周又回到原来位置时，这个圆环转了几圈？
7.右上图中，圆的半径是4厘米，阴影部分的面积是14π厘米2，求图中三角形的面积。
答案与提示 练习11
1.68厘米。
2.62.8厘米。
解：大圆直径是6厘米，小圆直径是2厘米。阴影部分周长是6π+2π×7=62.8（厘米）。
3.43.96米2。
解：如下页右上图所示，可分为半径为4米、圆心角为300°的扇形与两个半径为1米、圆心角为120°的扇形。面积为
4.60°。
解：设∠CAB为n度，半圆ADB的半径为r。由题意有
解得n=60。
5.1∶3。
6.3圈。
7.8厘米2。
解：圆的面积是42π=16π（厘米2），空白扇形面积占圆面积的1-的等腰直角三角形，面积为4×4÷2=8（厘米2）。
第五篇：小学奥数3-1-2 相遇与追及问题．教师版
相遇与追及问题
教学目标
1、根据学习的“路程和＝速度和×
时间”继续学习简单的直线上的相遇与追及问题
2、研究行程中复杂的相遇与追及问题
3、通过画图使较复杂的问题具体化、形象化，融合多种方法达到正确理解题目的目的4、培养学生的解决问题的能力
知识精讲
一、相遇
甲从A地到B地，乙从B地到A地，然后两人在途中相遇，实质上是甲和乙一起走了A,B之间这段路程，如果两人同时出发，那么
相遇路程＝甲走的路程+乙走的路程＝甲的速度×相遇时间+乙的速度×相遇时间
＝（甲的速度+乙的速度）×相遇时间
＝速度和×相遇时间.一般地，相遇问题的关系式为：速度和×相遇时间=路程和，即
二、追及
有两个人同时行走，一个走得快，一个走得慢，当走得慢的在前，走得快的过了一些时间就能追上他.这就产生了“追及问题”.实质上，要算走得快的人在某一段时间内，比走得慢的人多走的路程，也就是要计算两人走的路程之差（追及路程）.如果设甲走得快，乙走得慢，在相同的时间（追及时间）内：
追及路程＝甲走的路程-乙走的路程＝甲的速度×追及时间-乙的速度×追及时间
＝（甲的速度-乙的速度）×追及时间
＝速度差×追及时间.一般地，追击问题有这样的数量关系：追及路程=速度差×追及时间，即
例如：假设甲乙两人站在100米的跑道上，甲位于起点(0米)处，乙位于中间5米处，经过时间t后甲乙同时到达终点，甲乙的速度分别为和，那么我们可以看到经过时间t后，甲比乙多跑了5米，或者可以说，在时间t内甲的路程比乙的路程多5米，甲用了时间t追了乙5米
三、在研究追及和相遇问题时，一般都隐含以下两种条件：
(1)在整个被研究的运动过程中，2个物体所运行的时间相同
(2)在整个运行过程中，2个物体所走的是同一路径。
例题精讲
模块一、直线上的相遇问题
【例
1】
一辆客车与一辆货车同时从甲、乙两个城市相对开出，客车每小时行46千米，货车每小时行48千米。3.5小时两车相遇。甲、乙两个城市的路程是多少千米？
【考点】行程问题
【难度】2星
【题型】解答
【解析】
本题是简单的相遇问题，根据相遇路程等于速度和乘以相遇时间得到甲乙两地路程为：（46+48）×3.5=94×3.5=329（千米）．
【答案】329千米
【巩固】
两地间的路程有255千米，两辆汽车同时从两地相对开出，甲车每小时行45千米，乙车每小时行40千米。甲、乙两车相遇时，各行了多少千米？
【考点】行程问题
【难度】2星
【题型】解答
【解析】
根据相遇公式知道相遇时间是：255÷（45+40）=255÷85=3（小时），所以甲走的路程为：45×3=135（千米），乙走的路程为：40×3=120（千米）.【答案】甲走的路程为135千米，乙走的路程为120千米
【巩固】
聪聪和明明同时从各自的家相对出发，明明每分钟走20米，聪聪骑着脚踏车每分钟比明明快42米，经过20分钟后两人相遇，你知道聪聪家和明明家的距离吗？
【考点】行程问题
【难度】2星
【题型】解答
【解析】
方法一：由题意知聪聪的速度是：(米/分)，两家的距离明明走过的路程聪聪走
过的路程(米)，请教师画图帮助学生理解分析．
注意利用乘法分配律的反向应用就可以得到公式：．对于刚刚学习奥数的孩子，注意引导他们认识、理解及应用公式．
方法二：直接利用公式：(米)．
【答案】米
【例
2】
大头儿子的家距离学校3000米，小头爸爸从家去学校接大头儿子放学，大头儿子从学校回家，他们同时出发，小头爸爸每分钟比大头儿子多走24米，50分钟后两人相遇，那么大头儿子的速度是每分钟走多少米？
【考点】行程问题
【难度】2星
【题型】解答
【解析】
大头儿子和小头爸爸的速度和：(米/分钟)，小头爸爸的速度：(米/分钟)，大头儿子的速度：(米/分钟)．
【答案】大头儿子的速度为米/分钟
【例
3】、两地相距米，包子从地到地需要秒，菠萝从地到地需要秒，现在包子和菠萝从、两地同时相对而行，相遇时包子与地的距离是多少米？
【考点】行程问题
【难度】2星
【题型】解答
【解析】
包子的速度：(米／秒)，菠萝的速度：(米／秒)，相遇的时间：(秒)，包子距地的距离：(米)．
【答案】包子距地的距离是米
【巩固】
甲、乙两车分别从相距千米的、两城同时出发，相对而行，已知甲车到达城需小时，乙车到达城需小时，问：两车出发后多长时间相遇？
【考点】行程问题
【难度】2星
【题型】解答
【解析】
要求两车的相遇时间，则必须知道它们各自的速度，甲车的速度是（千米／时），乙车的速度是（千米／时），则相遇时间是（小时）．
【答案】相遇时间是小时
【例
4】
甲、乙两辆汽车分别从、两地出发相对而行，甲车先行小时，甲车每小时行千米，乙车每小时行千米，小时相遇，求、两地间的距离．
【考点】行程问题
【难度】2星
【题型】解答
【解析】
这题不同的是两车不“同时”．
（法）求、两地间的路程就是求甲、乙两车所行的路程和．这样可以充分别求出甲车、乙车所行的路程，再把两部分合起来．（千米），（千米），（千米）．
（法）还可以先求出甲、乙两车小时所行的路程和，再加上甲车小时所行的路程．
（千米），（千米）．
【答案】千米
【巩固】
甲、乙两列火车从相距千米的两地相向而行，甲车每小时行千米，乙车每小时行千米，乙车先出发小时后，甲车才出发．甲车行几小时后与乙车相遇？
【考点】行程问题
【难度】2星
【题型】解答
【解析】
甲、乙两车出发时间有先有后，乙车先出发小时，这段时间甲车没有行驶，那么乙车这小时所行的路程不是甲、乙两车同时相对而行的路程，所以要先求出甲、乙两车同时相对而行的路程，再除以速度和，才是甲、乙两车同时相对而行的时间．乙车先行驶路程：(千米)，甲、乙两车同时相对而行路程：(千米)，甲、乙两车速度和：(千米／时)，甲车行的时间：(小时)．
【答案】小时
【巩固】
甲、乙两列火车从相距千米的两地相向而行，甲车每小时行千米，乙车每小时行千米，乙车先出发小时后，甲车才出发．甲车行几小时后与乙车相遇？
【考点】行程问题
【难度】2星
【题型】解答
【解析】
甲、乙两车出发时间有先有后，乙车先出发小时，这段时间甲车没有行驶，那么乙车这小时所行的路程不是甲、乙两车同时相对而行的路程，所以要先求出甲、乙两车同时相对而行的路程，再除以速度和，才是甲、乙两车同时相对而行的时间．乙车先行驶路程：(千米)，甲、乙两车同时相对而行路：(千米)，甲、乙两车速度和：(千米)，与乙车相遇时甲车行的时间为：(小时)．
【答案】小时
【巩固】
妈妈从家出发到学校去接小红，妈妈每分钟走米．妈妈走了分钟后，小红从学校出发，小红每分钟走米．再经过分钟妈妈和小红相遇．从小红家到学校有多少米？
【考点】行程问题
【难度】2星
【题型】解答
【解析】
妈妈先走了分钟，就是先走了（米）．分钟后妈妈和小红相遇，也就是说妈妈和小红共同走了分钟，这一段的路程为：（米），这样妈妈先走的那一段路程，加上后来妈妈和小红走的这一段路程，就是小红家到学校的距离．即（米）．
【答案】米
【巩固】
甲乙两座城市相距千米，货车和客车从两城同时出发，相向而行．货车每小时行千米，客车每小时行千米．客车在行驶中因故耽误小时，然后继续向前行驶与货车相遇．问相遇时客车、货车各行驶多少千米？
【考点】行程问题
【难度】2星
【题型】解答
【解析】
因为客车在行驶中耽误小时，而货车没有停止继续前行，也就是说，货车比客车多走小时．如果从总路程中把货车单独行驶小时的路程减去，然后根据余下的就是客车和货车共同走过的．再求出货车和客车每小时所走的速度和，就可以求出相遇时间．然后根据路程＝速度×时间，可以分别求出客车和货车在相遇时各自行驶的路程．相遇时间：（小时）相遇时客车行驶的路程:(千米)相遇时货车行驶的路程：（千米）．
【答案】千米
【巩固】
甲、乙两列火车从相距千米的两个城市对面开来，甲列火车每小时行千米，乙列火车每小时行千米，甲列火车先开出小时后，乙列火车才开出，问乙列火车行几小时后与甲列火车相遇？
【考点】行程问题
【难度】2星
【题型】解答
【解析】
(小时)．
【答案】小时
【例
5】
甲、乙两辆汽车分别从、两地出发相向而行，甲车先行3小时后乙车从地出发，乙车出发小时后两车还相距千米．甲车每小时行千米，乙车每小时行千米．求、两地间相距多少千米？
【考点】行程问题
【难度】2星
【题型】解答
【解析】
题目中写的“还”相距千米指的就是最简单的情况。画线段图如下：
由图中可以看出，甲行驶了(小时)，行驶距离为：(千米)；乙行驶了小时，行驶距离为：(千米)，此时两车还相距千米，所以、两地间相距：
(千米)
也可以这样做：两车小时一共行驶：(千米)，、两地间相距：
(千米)，所以，、两地间相距千米．
【答案】、两地间相距千米
【巩固】
甲、乙两辆汽车从A、B两地同时相向开出，出发后2小时，两车相距141公里；出发后5小时，两车相遇。A、B两地相距______
公里。
【考点】行程问题
【难度】2星
【题型】填空
【关键词】希望杯，4年级，1试
【解析】
5-2=3小时，两车合走141千米，速度和=141÷3=47千米/小时，故AB相距47×5=235千米。
【答案】、两地间相距235千米
【例
6】
甲、乙二人分别从东、西两镇同时出发相向而行．出发小时后，两人相距千米；出发小时后，两人还相距千米．问出发多少小时后两人相遇？
【考点】行程问题
【难度】2星
【题型】解答
【解析】
根据小时后相距千米，小时后相距千米，可以求出甲、乙二人小时行的路程和为千米，即可求出两人的速度和：（千米），根据相遇问题的解题规律；相隔距离÷速度和=相遇时间，可以求出行千米需要：（小时）．
【答案】小时
【例
7】
两列城铁从两城同时相对开出，一列城铁每小时走千米，另一列城铁每小时走千米，在途中每列车先后各停车次，每次停车分钟，经过小时两车相遇，求两城的距离？
【考点】行程问题
【难度】2星
【题型】解答
【解析】
每列车停车时间：（分）=（小时），两列车停车时间共小时，共同行驶时间：小时，速度和：（千米），两城距离：（千米）．
【答案】千米
【例
8】
南辕与北辙两位先生对于自己的目的地s城的方向各执一词，于是两人都按照自己的想法驾车同时分别往南和往北驶去，二人的速度分别为50千米/时，60千米/时，那么北辙先生出发5小时他们相距多少千米?．
【考点】行程问题
【难度】2星
【题型】解答
【解析】
两人虽然不是相对而行，但是仍合力完成了路程，（50+60）×5=550（千米）．
【答案】550千米
【巩固】
南辕与北辙两位先生对于自己的目的地城的方向各执一词，于是两人都按照自己的想法驾车同时分别往南和往北驶去，二人的速度分别为千米/时，千米/时，那么北辙先生出发小时他们相距多少千米？
【考点】行程问题
【难度】2星
【题型】解答
【解析】
两人虽然不是相对而行，但是仍合力完成了路程，（千米）．
【答案】千米
【巩固】
两列火车从相距千米的两城背向而行，甲列车每小时行千米，乙列车每小时行千米，小时后，甲、乙两车相距多少千米？
【考点】行程问题
【难度】2星
【题型】解答
【解析】
因为是背向而行，所以每过1小时,两车就多相距(千米),则小时后两车相距是：（千米）．
【答案】千米
【巩固】
两列火车从相距千米的两城背向而行，甲列车每小时行千米，乙列车每小时行千米，小时后，甲、乙两车相距多少千米？
【考点】行程问题
【难度】2星
【题型】解答
【解析】
因为是背向而行，所以两车小时后的距离是：（千米）。
【答案】千米
【例
9】
两地相距3300米，甲、乙二人同时从两地相对而行，甲每分钟行82米，乙每分钟行83米，已经行了15分钟，还要行多少分钟两人可以相遇？
【考点】行程问题
【难度】2星
【题型】解答
【解析】
根据题意列综合算式得到：（分钟），所以两个人还需要5分钟相遇。
【答案】5分钟
【巩固】
两地相距400千米，两辆汽车同时从两地相对开出，甲车每小时行40千米，乙车每小时比甲车多行5千米，4小时后两车相遇了吗？为什么？
【考点】行程问题
【难度】2星
【题型】解答
【解析】
(千米)，(千米)，340千米<400千米，因为两车4小时共行340千米，所以4小时后两车没有相遇．
【答案】没有相遇
【巩固】
孙悟空在花果山，猪八戒在高老庄，花果山和高老庄中间有条流沙河，一天，他们约好在流沙河见面，孙悟空的速度是200千米／小时．猪八戒的速度是150千米／小时，他们同时出发2小时后还相距500千米，则花果山和高老庄之间的距离是多少千米？
【考点】行程问题
【难度】2星
【题型】解答
【解析】
注意：“还相距”与“相距”的区别．建议教师画线段图．可以先求出2小时孙悟空和猪八戒走的路程：
(千米)，又因为还差500米，所以花果山和高老庄之间的距离：(千米)．
【答案】千米
【巩固】
两列货车从相距450千米的两个城市相向开出，甲货车每小时行38千米，乙货车每小时行40千米，同时行驶4小时后，还相差多少千米没有相遇？
【考点】行程问题
【难度】2星
【题型】解答
【解析】
所求问题＝全程－小时行驶的路程和．路程和：（千米），（千米）．
【答案】千米
【巩固】
甲乙两人分别以每小时6千米，每小时4千米的速度从相距30千米的两地向对方的出发地前进．当两人之间的距离是10千米时，他们走了___________小时．
【考点】行程问题
【难度】2星
【题型】填空
【关键词】希望杯，一试
【解析】
有两种情况，一种是甲乙两人一共走了(千米)，一种是甲乙两人一共走了(千米)，所以有两种答案：(小时)或(小时)
【答案】
【巩固】
一辆公共汽车和一辆小轿车同时从相距千米的两地相向而行，公共汽车每小时行千米，小轿车每小时行千米，问几小时后两车相距千米？
【考点】行程问题
【难度】2星
【题型】解答
【解析】
两车在相距千米的两地相向而行，距离逐渐缩短，在相遇前某一时刻两车相距千米，这时两车共行的路程应为（）千米．即(小时)．需要注意的是当两车相遇后继续行驶时，两车之间的距离又从零逐渐增大，到某一时刻，两车再一次相距千米．这时两车共行的路程为千米，即（小时)．
【答案】小时
【巩固】
两列火车从相距千米的两城相向而行，甲列车每小时行千米，乙列车每小时行千米，小时后，甲、乙两车还相距多少千米？
【考点】行程问题
【难度】2星
【题型】解答
【解析】
两车的相距路程减去小时两车共行的路程，就得到了两车还相距的路程：（千米）．
【答案】千米
【例
10】
甲、乙两地相距
240
千米，一列慢车从甲地出发，每小时行
60千米．同时一列快车从乙地出发，每小时行
90千米．两车同向行驶，快车在慢车后面，经过多少小时快车可以追上慢车？（火车长度忽略不计）
【考点】行程问题
【难度】2星
【题型】解答
【解析】
追及路程即为两地距离240千米，速度差（千米），所以追及时间（小时）
【答案】小时
【例
11】
小强每分钟走米，小季每分钟走米，两人同时从同一地点背向走了分钟，小强掉头去追小季，追上小季时小强共走了多少米？
【考点】行程问题
【难度】2星
【题型】解答
【解析】
小强走的时间是两部分，一部分是和小季背向走的时间，另一部分是小季追他的时间，要求追及时间，就要求出他们的路程差．路程差是两人相背运动的总路程：(米)追及时间为：(分钟)小强走的总路程为：(米)
【答案】米
【例
12】
甲、乙两辆汽车同时从地出发去地，甲车每小时行千米，乙车每小时行千米．途中甲车出故障停车修理了小时，结果甲车比乙车迟到小时到达地．、两地间的路程是多少？
【考点】行程问题
【难度】2星
【题型】解答
【解析】
由于甲车在途中停车小时，比乙车迟到小时，说明行这段路程甲车比乙车少用小时．可理解成甲车在途中停车小时，两车同时到达，也就是乙车比甲车先行小时，两车同时到达地，所以，也可以用追及问题的数量关系来解答．即：行这段路程甲车比乙车少用的时间是：(小时)，乙车小时行的路程是：(千米)，甲车每小时比乙车多行的路程是：(千米)，甲车所需的时间是：(小时)，、两地间的路程是：(千米)．
【答案】千米
【例
13】
小张和小王早晨8时整从甲地出发去乙地，小张开车，速度是每小时60千米。小王步行，速度为每小时4千米。如果小张到达乙地后停留1小时立即沿原路返回，恰好在10时整遇到正在前往乙地的小王。那么甲、乙两地之间的距离是_______千米。
【考点】行程问题
【难度】2星
【题型】填空
【关键词】迎春杯，中年级，初试
【解析】
根据分析得：（千米）.【答案】千米
【例
14】
小明的家住学校的南边，小芳的家在学校的北边，两家之间的路程是1410米，每天上学时，如果小明比小芳提前3分钟出发，两人可以同时到校．已知小明的速度是70米/分钟，小芳的速度是80米/分钟，求小明家距离学校有多远？
【考点】行程问题
【难度】2星
【题型】解答
【解析】
小明比小芳提前3分钟出发，则多走（米）．两家之间的所剩路程是（米），两人的速度和是（米），所剩路程需：（分钟）走完．小明家距离学校（米）．
【答案】米
【巩固】
学校和部队驻地相距千米，小宇和小宙由学校骑车去部队驻地，小宇每小时行千米，小宙每小时行千米．当小宇走了千米后，小宙才出发．当小宙追上小宇时，距部队驻地还有多少千米？
【考点】行程问题
【难度】2星
【题型】解答
【解析】
追及时间为：(小时)，此时距部队驻地还有：(千米)．
【答案】千米
【例
15】
甲、乙两列火车同时从地开往地，甲车小时可以到达，乙车每小时比甲车多行千米，比甲车提前小时到达．求、两地间的距离．
【考点】行程问题
【难度】2星
【题型】解答
【解析】
这道题的路程差比较隐蔽，需要仔细分析题意，乙到达时，甲车离终点还有两小时的路程，因此路程差是甲车两小时的路程．
方法一：如图：
甲车小时可以到达，乙车比甲车提前小时到达，因此，乙车到达时用了：(小时)，此时路程差为：(千米)，此时路程差就是甲车小时的路程，所以甲车速度为：(千米/小时)，、两地间的距离：(千米)
方法二：如图：
假设两车都行了小时，则甲车刚好到达，乙车则超出了：(千米)，这段路程正好是乙车小时走的，因此乙车速度：(千米/小时)，乙车到达时用了：(小时)，、两地间的距离：(千米)
【答案】千米
【例
16】
军事演习中，“我”海军英雄舰追及“敌”军舰，追到A岛时，“敌”舰已在10分钟前逃离，“敌”舰每分钟行驶1000米，“我”海军英雄舰每分钟行驶1470米，在距离“敌”舰600米处可开炮射击，问“我”海军英雄舰从A岛出发经过多少分钟可射击敌舰？
【解析】
“我”舰追到A岛时，“敌”舰已逃离10分钟了，因此，在A岛时，“我”舰与“敌”舰的距离为10000米（=1000×10）.又因为“我”舰在距离“敌”舰600米处即可开炮射击，即“我”舰只要追上“敌”舰9400（=10000米-600米）即可开炮射击.所以，在这个问题中，不妨把9400当作路程差，根据公式求得追及时间.（1000×10-600）÷（1470-1000）=（10000-600）÷470=9400÷470=20（分钟），经过20分钟可开炮射击“敌”舰.【答案】20分钟
【巩固】
在一条笔直的高速公路上，前面一辆汽车以千米/小时的速度行驶，后面一辆汽车以千米/小时的速度行驶．后面的汽车刹车突然失控，向前冲去(车速不变)．在它鸣笛示警后秒钟撞上了前面的汽车．在这辆车鸣笛时两车相距多少米？
【考点】行程问题
【难度】2星
【题型】解答
【关键词】走美杯
【解析】
这是一道“追及问题”．根据追及问题的公式，追及时间路程差时间差．由题意知，追及时间为秒钟，也就是小时，两车相距距离为路程差，速度差为(千米/时)，也就是米/时，所以路程差为：(米)，所以，在这辆车鸣笛时两车相距米．
【答案】米
【例
17】
甲车每小时行40千米，乙车每小时行60千米。两车分别从A，B两地同时出发，相向而行，相遇后3时，甲车到达B地。求A，B两地的距离。
【考点】行程问题
【难度】2星
【题型】解答
【解析】
相遇后甲行驶了40×3=120千米，即相遇前乙行驶了120千米，说明甲乙二人的相遇时间是120÷60=2小时，则两地相距（40+60）×2=200千米．
【答案】200千米
【巩固】
甲、乙二人同时从地去地，甲每分钟行米，乙每分钟行米，乙到达地后立即返回，并与甲相遇，相遇时，甲还需行分钟才能到达地，、两地相距多少米？
【考点】行程问题
【难度】2星
【题型】解答
【解析】
相遇时甲走了距离减去(米)，乙走了距离加上米，乙比甲多走了米，这个路程差需要(分钟)才能达到，这分钟两人一共行走了
米．所以距离为米．
【答案】米
【例
18】
甲乙两车分别从A、B两地同时相向开出，4小时后两车相遇，然后各自继续行驶3小时，此时甲车距B地10千米，乙车距A地80千米．问：甲车到达B地时，乙车还要经过多少时间才能到达A地?
【考点】行程问题
【难度】2星
【题型】解答
【解析】
由4时两车相遇知，4时两车共行A，B间的一个单程．相遇后又行3时，剩下的路程之和10＋80＝90（千米）应是两车共行4－3＝1（时）的路程．所以A，B两地的距离是（10＋80）÷（4－3）×4＝360（千米）。因为7时甲车比乙车共多行80－10＝70（千米），所以甲车每时比乙车多行
70÷7＝10（千米），又因为两车每时共行90千米，所以每时甲车行
50千米，乙车行40千米．行一个单程，乙车比甲车多用360÷40－360÷50＝9－7．2＝1．8（时）＝1时48分．
【答案】1时48分
【例
19】
小红和小强同时从家里出发相向而行。小红每分钟走52米，小强每分钟走70米，二人在途中的A处相遇。若小红提前4分钟出发，但速度不变，小强每分钟走90米，则两人仍在A处相遇。小红和小强的家相距多远?
【考点】行程问题
【难度】2星
【题型】解答
【解析】
因为小红的速度不变，相遇地点不变，所以小红两次走的时间相同，推知小强第二次比第一次少走4分。由（70×4）÷（90-70）=14（分），推知小强第二次走了14分，第一次走了18分，两人的家相距（52+70）×18=2196（米）．
【答案】2196米
【巩固】
小明每天早晨按时从家出发上学，李大爷每天早晨也定时出门散步，两人相向而行，小明每分钟行米，李大爷每分钟行米，他们每天都在同一时刻相遇．有一天小明提前出门，因此比平时早分钟与李大爷相遇，这天小明比平时提前多少分钟出门？
【考点】行程问题
【难度】2星
【题型】解答
【解析】
因为提前分钟相遇，说明李大爷出门时，小明已经比平时多走了两人分钟合走的路，即多走了（米），所以小明比平时早出门（分）．
【答案】分
【例
20】
小明和小军分别从甲、乙两地同时出发，相向而行。若两人按原定速度前进，则4时相遇；若两人各自都比原定速度多1千米／时，则3时相遇。甲、乙两地相距多少千米？
【考点】行程问题
【难度】3星
【题型】解答
【解析】
24千米。每时多走1千米，两人3时共多走6千米，这6千米相当于两人按原定速度1时走的距离。所以甲、乙两地相距6×4＝24（千米）。
【答案】24千米
【巩固】
甲、乙两车从A，B两地同时出发，相向而行。如果甲车提前一段时间出发，那么两车将提前30分相遇。已知甲车速度是60千米／时，乙车速度是40千米／时。问：甲车提前了多少分出发？
【考点】行程问题
【难度】3星
【题型】解答
【解析】
50分。因为提前30分相遇，甲车应提前走了(千米)，所以甲车提前出发（时）
【答案】50分
【例
21】
甲、乙两人分别从相距260千米的A、B两地同时沿笔直的公路乘车相向而行，各自前往B地、A地。甲每小时行32千米，乙每小时行48千米。甲、乙各有一个对讲机，当他们之间的距离小于20千米时，两人可用对讲机联络。问：
(1)两人出发后多久可以开始用对讲机联络?
(2)他们用对讲机联络后，经过多长时间相遇?
(3)他们可用对讲机联络多长时间?
【考点】行程问题
【难度】3星
【题型】解答
【关键词】希望杯，四年级，二试
【解析】
(1)(260-20)÷(32+48)=3(小时)。
(2)20÷(32+48)=0.25(小时)。
(3)从甲、乙相遇到他们第二次相距20千米也用0.25小时．所以他们一共可用对讲机联络
0.25+0.25=0.5(小时)。
【答案】(1)
3小时
(2)
0.25小时
(3)
0.5小时
模块二、直线上的追及问题
【例
22】
小明步行上学，每分钟行70米．离家12分钟后，爸爸发现小明的明具盒忘在家中，爸爸带着明具盒，立即骑自行车以每分钟280米的速度去追小明．问爸爸出发几分钟后追上小明？当爸爸追上小明时他们离家多远？
【考点】行程问题
【难度】2星
【题型】解答
【解析】
当爸爸开始追小明时，小明已经离家：(米)，即爸爸要追及的路程为840米,也就是爸爸与小明的距离是840米，我们把这个距离叫做“路程差”，爸爸出发后，两人同时走，每过1分，他们之间的距离就缩短(米)，也就是爸爸与小明的速度差为
(米/分),爸爸追及的时间：(分钟)．当爸爸追上小明时，小明已经出发(分钟)，此时离家的距离是：(米)
【答案】米
【巩固】
哥哥和弟弟在同一所学校读书．哥哥每分钟走65米，弟弟每分钟走40米，有一天弟弟先走5分钟后，哥哥才从家出发，当弟弟到达学校时哥哥正好追上弟弟也到达学校，问他们家离学校有多远?
【考点】行程问题
【难度】2星
【题型】解答
【解析】
哥哥出发的时候弟弟走了：（米），哥哥追弟弟的追及时间为：（分钟），所以家离学校的距离为：（米）.【答案】米
【巩固】
小明以每分钟50米的速度从学校步行回家，12分钟后小强从学校出发骑自行车去追小明，结果在距学校1000米处追上小明，求小强骑自行车的速度.【考点】行程问题
【难度】2星
【题型】解答
【解析】
小强出发的时候小明走了（米），被小强追上时小明又走了：（分钟），说明小强8分钟走了1000米，所以小强的速度为：（米/分钟）.【答案】米/分钟
【巩固】
小聪和小明从学校到相距米的电影院去看电影．小聪每分钟行米，他出发后分钟小明才出发，结果俩人同时到达影院，小明每分钟行多少米？
【考点】行程问题
【难度】2星
【题型】解答
【解析】
要求小明每分钟走多少米，就要先求小明所走的路程(已知)和小明所用的时间；要求小明所用的时间，就要先求小聪所用的时间，小聪所用的时间是：(分钟)，小明所用的时间是：(分钟)，小明每分钟走的米数是：(米)．
【答案】米
【巩固】
一辆慢车从甲地开往乙地，每小时行千米，开出小时后，一辆快车以每小时千米的速度也从甲地开往乙地．在甲乙两地的中点处快车追上慢车，甲乙两地相距多少千米？
【考点】行程问题
【难度】2星
【题型】解答
【解析】
慢车先行的路程是：(千米)，快车每小时追上慢车的千米数是：(千米)，追及的时间是：(小时)，快车行至中点所行的路程是：(千米)，甲乙两地间的路程是：(千米)．
【答案】千米
【巩固】
六年级同学从学校出发到公园春游，每分钟走米，分钟以后，学校有急事要通知学生，派李老师骑自行车从学校出发分钟追上同学们，李老师每分钟要行多少米才可以准时追上同学们？
【考点】行程问题
【难度】2星
【题型】解答
【解析】
同学们分钟走（米），即路程差．然后根据速度差＝路程差÷追及时间，可以求出李老师和同学们的速度差，又知道同学们的速度是每分钟米，就可以得出李老师的速度．即（米）．
【答案】米
【例
23】
下午放学时，弟弟以每分钟40米的速度步行回家.5分钟后，哥哥以每分钟60米的速度也从学校步行回家，哥哥出发后，经过几分钟可以追上弟弟？（假定从学校到家有足够远，即哥哥追上弟弟时，仍没有回到家）.【考点】行程问题
【难度】2星
【题型】解答
【解析】
若经过5分钟，弟弟已到了A地，此时弟弟已走了40×5=200（米）；哥哥每分钟比弟弟多走20米，几分钟可以追上这200米呢？40×5÷（60-40）=200÷20=10（分钟），哥哥10分钟可以追上弟弟.【答案】10分钟
【巩固】
甲、乙二人都要从北京去天津，甲行驶10千米后乙才开始出发，甲每小时行驶15千米，乙每小时行驶10千米，问：乙经过多长时间能追上甲？
【考点】行程问题
【难度】2星
【题型】解答
【解析】
出发时甲、乙二人相距10千米，以后两人的距离每小时都缩短15-10＝5（千米），即两人的速度的差（简称速度差），所以10千米里有几个5千米就是几小时能追上.10÷（15-10）＝10÷5＝2（小时），还需要2个小时。
【答案】2个小时
【巩固】
解放军某部先遣队，从营地出发，以每小时6千米的速度向某地前进，12小时后，部队有急事，派通讯员骑摩托车以每小时78千米的速度前去联络，问多少时间后，通讯员能赶上先遣队？
【考点】行程问题
【难度】2星
【题型】解答
【解析】
(小时)．
【答案】小时
【巩固】
甲地和乙地相距千米，平平和兵兵由甲地骑车去乙地，平平每小时行千米，兵兵每小时行千米，当平平走了千米后，兵兵才出发，当兵兵追上平平时，距乙地还有多少千米？
【考点】行程问题
【难度】2星
【题型】解答
【解析】
平平走了千米后，兵兵才出发，这千米就是平平和兵兵相距的路程．由于兵兵每小时比平平多走(千米)，要求兵兵几小时可以追上千米，也就是求千米里包含着几个千米，用(小时)．因为甲地和乙地相距千米，兵兵每小时行千米，小时走了(千米)，所以兵兵追上平平时，距乙地还有(千米)
【答案】千米
【例
24】
甲、乙两架飞机同时从一个机场起飞，向同一方向飞行，甲机每小时行千米，乙机每小时行千米，飞行小时后它们相隔多少千米？这时候甲机提高速度用小时追上乙机，甲机每小时要飞行多少千米？
【考点】行程问题
【难度】2星
【题型】解答
【解析】
①小时后相差多少千米：（千米）．②甲机提高速度后每小时飞行多少千米：（千米）．
【答案】千米
【例
25】
王芳和李华放学后，一起步行去体校参加排球训练，王芳每分钟走米，李华每分钟走米，出发分钟后，王芳返回学校取运动服，在学校又耽误了分钟，然后追赶李华．求多少分钟后追上李华？
【考点】行程问题
【难度】2星
【题型】解答
【解析】
已知二人出发分钟后，王芳返回学校取运动服，这样用去了分钟，在学校又耽误了分钟，王芳一共耽误了(分钟)．李华在这段时间比王芳多走：(米)，速度差为：(米/秒)，王芳追上李华的时间是：(分钟)
【答案】分钟
【巩固】
小王、小李共同整理报纸，小王每分钟整理份，小李每分钟整理份，小王迟到了分钟，当小王、小李整理同样多份的报纸时，正好完成了这批任务．一共有多少份报纸？
【考点】行程问题
【难度】2星
【题型】解答
【解析】
本题可用追及问题思路解题，类比如下：路程差：小王迟到分钟这段时间，小李整理报纸的份数（份），速度差：（份/分钟）．此时可求两人整理同样多份报纸时，小王所用时间，即追及时间是（分钟）．共整理报纸：（份）
【答案】份
【巩固】
甲、乙两车同时从地向地开出，甲每小时行千米，乙每小时行千米，开出小时后，甲车因有紧急任务返回地；到达地后又立即向地开出追乙车，当甲车追上乙车时，两车正好都到达地，求、两地的路程．
【考点】行程问题
【难度】2星
【题型】解答
【解析】
根据题意画出线段图：
从图中可以看出，当甲开始追乙的时候两车的路程差正好是乙车已经行驶的小时的路程，那么根据追及路程和速度差可以求出追及时间，而追及时间正好是甲车从地到地所用的时间，由此可以求出、两地的路程,追及路程为：(千米),追及时间为：(小时),、两地的路程为：(千米).【答案】千米
【巩固】
小李骑自行车每小时行千米，小王骑自行车每小时行千米．小李出发后小时，小王在小李的出发地点前面千米处出发，小李几小时可以追上小王？
【考点】行程问题
【难度】2星
【题型】解答
【解析】
小李小时走：（千米），又知小王在小李的出发地点前面千米处出发，则知道两人的路程差是（千米）．每小时小王追上小李（千米），则千米里面有几个千米，则追及时间就是几小时，即：（小时）．
【答案】小时
【例
1】
甲、乙两车同时从A城市出发驶向距离300千米远的B城市．已知甲车比乙车晚出发1个小时，但提前1个小时到达B城市．那么，甲车在距离B城市________千米处追上乙车．
【考点】行程问题
【难度】3星
【题型】解答
【关键词】迎春杯，五年级，初试
【解析】
根据题意，甲车比乙车晚出发１个小时，结果还比乙提前１个小时到达，则在行驶３００千米的时间内，甲比乙多行了乙２个小时的路程；现在，甲要比乙多行乙１个小时的路程，甲只需行驶３００÷２＝１５０千米。
【答案】１５０千米
【例
26】
两地相距米，甲、乙二人同时、同地向同一方向行走，甲每分钟走米，乙每分钟走米，当乙到达目标后，立即返回，与甲相遇，从出发到相遇共经过多少分钟？
【考点】行程问题
【难度】2星
【题型】解答
【解析】
甲、乙二人开始是同向行走，乙走得快，先到达目标．当乙返回时运动的方向变成了同时相对而行，把相同方向行走时乙用的时间和返回时相对而行的时间相加，就是共同经过的时
乙到达目标时所用时间：(分钟)，甲分钟走的路程：(米)，甲距目标还有：(米)，相遇时间：(分钟)，共用时间：(分钟)．
【答案】分钟
【巩固】
八戒和悟空两家相距千米，两人同时骑车，从家出发相对而行，悟空每小时行千米，八戒每小时行千米．两人相遇时，悟空和八戒各行了多少千米？
【考点】行程问题
【难度】2星
【题型】解答
【解析】
要求他们各行了多少千米，那么就必须知道他们行驶的时间：（小时）．悟空：（千米），八戒：（千米）．
【答案】千米
【例
27】
龟、兔进行1000米的赛跑．小兔斜眼瞅瞅乌龟，心想：“我小兔每分钟能跑100米，而你乌龟每分钟只能跑10米，哪是我的对手．”比赛开始后，当小兔跑到全程的一半时，发现把乌龟甩得老远，便毫不介意地躺在旁边睡着了．当乌龟跑到距终点还有40米时，小兔醒了，拔腿就跑．请同学们解答两个问题：
它们谁胜利了？为什么？
【考点】行程问题
【难度】2星
【题型】解答
【解析】
⑴
乌龟胜利了．因为兔子醒来时，乌龟离终点只有40米，乌龟需要(分钟)就能到达终点，而兔子离终点还有500米，需要(分钟)才能到达，所以乌龟胜利了．
⑵
乌龟跑到终点还要(分钟)，而小兔跑到终点还要(分钟)，慢1分钟．当胜利者乌龟跑到终点时，小兔离终点还有：(米)．
【答案】米
【巩固】
上一次龟兔赛跑兔子输得很不服气，于是向乌龟再次下战书，比赛之前，为了表示它的大度，它让乌龟先跑10分钟，但是兔子不知道乌龟经过锻炼，速度已经提高到5倍，那么这一次谁将获得胜利呢？
【考点】行程问题
【难度】2星
【题型】解答
【解析】
由乌龟速度提高到5倍，可知乌龟现在的速度为(米/分)，乌龟先跑10分钟，即兔子开始跑时，乌龟已经跑了(米)，还剩(米)，需要(分钟)就可以到达终点，而兔子到达终点需要的时间是：(分钟)，所以，兔子和乌龟同时到达终点．
【答案】分钟
【例
28】
甲、乙两车分别从、两地出发，同向而行，乙车在前，甲车在后．已知甲车比乙车提前出发小时，甲车的速度是千米/小时，乙车每小时行千米．甲车出发小时后追上乙车，求、两地间的距离．
【考点】行程问题
【难度】2星
【题型】解答
【解析】
由已知可求出甲、乙两车的追及时间，利用追及问题的公式求解．追及时间为：(小时),追及路程为：(千米),、两地间的距离为：(千米)
【答案】千米
【巩固】
一辆汽车和一辆摩托车同时从甲、乙两地出发，向同一个方向前进，摩托车在前，每小时行千米，汽车在后，每小时行千米，经过小时汽车追上摩托车，甲乙两地相距多少千米？
【考点】行程问题
【难度】2星
【题型】解答
【解析】
方法一：根据题意，画出线段示意图：
从图中可知，甲、乙两地间的距离就是汽车与摩托车所行的路程差．先求出汽车追上摩托车时，两车分别行驶的路程，再求出两地的路程，即(千米)方法二：先求出汽车每小时比摩托车多行驶的路程(速度差)，再求出两地相距的路程，即：(千米)
【答案】千米
【例
29】
小红和小蓝练习跑步，若小红让小蓝先跑20米，则小红跑5秒钟就可追上小蓝；若小红让小蓝先跑4秒钟，则小红跑6秒钟就能追上小蓝．小红、小蓝二人的速度各是多少？
【考点】行程问题
【难度】2星
【题型】解答
【解析】
小红让小蓝先跑20米，则20米就是小红、小蓝二人的路程差，小红跑5秒钟追上小蓝，5秒就是追及时间，据此可求出他们的速度差为(米/秒)；若小红让小蓝先跑4秒，则小红6秒可追上小蓝，在这个过程中，追及时间为6秒，根据上一个条件，由追及差和追及时间可求出在这个过程中的路程差，这个路程差即是小蓝4秒钟所行的路程，路程差就等于(米)，也即小蓝在4秒内跑了24米，所以可求出小蓝的速度，也可求出小红的速度．综合列式计算如下：小蓝的速度为：(米/秒)，小红的速度为：(米/秒)
【答案】小蓝的速度为米/秒，小红的速度为米/秒
【巩固】
甲、乙二人练习跑步，若甲让乙先跑10米，则甲跑5秒钟可追上乙；若甲让乙先跑2秒钟，则甲跑4秒钟就能追上乙．问：甲、乙二人的速度各是多少？
【考点】行程问题
【难度】2星
【题型】解答
【解析】
若甲让乙先跑10米，则10米就是甲、乙二人的路程差，5秒就是追及时间，据此可求出他们的速度差为(米/秒)；若甲让乙先跑2秒，则甲跑4秒可追上乙，在这个过程中，追及时间为4秒，因此路程差就等于(米)，也即乙在2秒内跑了8米，所以可求出乙的速度，也可求出甲的速度．综合列式计算如下：乙的速度为：(米/秒)，甲的速度为：(米/秒)
【答案】米/秒
【巩固】
甲、乙二人沿着同一条米的跑道赛跑，甲由起跑线上起跑，乙在甲后米处起跑，当甲离终点还有米时，乙追上甲，那么当乙跑到终点时，甲离终点还有多少米？
【考点】行程问题
【难度】2星
【题型】解答
【解析】
甲、乙两人的运动时间相同，所以，甲的路程甲的速度乙的路程乙的速度，而甲、乙的速度都不变，所以，乙的路程变为原来的几倍，甲的路程也变为原来的几倍
由图可知，甲跑(米)，乙跑(米)，所以当乙跑(米)时，甲跑：(米)，即当乙跑到终点时，甲离终点还有(米)
【答案】米
【例
30】
甲、乙两车同时从A、B两地沿相同的方向行驶。甲车如果每小时行驶60千米，则5小时可追上前方的乙车；如果每小时行驶70千米，则3小时可追上前方的乙车。由上可知，乙车每小时行驶_____千米(假设乙车的行驶速度保持不变)。
【考点】行程问题
【难度】3星
【题型】填空
【关键词】希望杯，四年级，二试
【解析】
利用追及路程一样有，5×(60-乙速)=3×(70-乙速)，解得乙速=45千米/小时
【答案】45千米/小时
【例
31】
刘老师骑电动车从学校到韩丁家家访，以10千米/时的速度行进，下午1点到；以15千米/时的速度行进，上午11点到.如果希望中午12点到，那么应以怎样的速度行进？
【考点】行程问题
【难度】2星
【题型】解答
【解析】
这道题没有出发时间，没有学校到韩丁家的距离，也就是说既没有时间又没有路程，似乎无法求速度.这就需要通过已知条件，求出时间和路程.假设有A，B两人同时从学校出发到韩丁家，A每小时行10千米，下午1点到；B每小时行15千米，上午11点到.B到韩丁家时，A距韩丁家还有10×2=20（千米），这20千米是B从学校到韩丁家这段时间B比A多行的路程.因为B比A每小时多行15-10=5（千米），所以B从学校到韩丁家所用的时间是20÷（15-10）=4（时）.由此知，A，B是上午7点出发的，学校离韩丁家的距离是15×4=60（千米）.刘老师要想中午12点到，即想（12-7=）5时行60千米，刘老师骑车的速度应为60÷（12-7）=12（千米/时）．
【答案】12千米/时
【巩固】
王新从教室去图书馆还书，如果每分钟走70米，能在图书馆闭馆前2分钟到达，如果每分钟走50米，就要超过闭馆时间2分钟，求教室到图书馆的路程有多远？
【考点】行程问题
【难度】3星
【题型】解答
【解析】
设从教室去图书馆闭馆时所用时间是x分钟
（米）
答：教室到图书馆的路程有700米．
【答案】700米
【例
32】
甲、乙二人分别从山顶和山脚同时出发，沿同一山道行进。两人的上山速度都是米/分，下山的速度都是米/分。甲到达山脚立即返回，乙到达山顶休息分钟后返回，两人在距山顶米处再次相遇。山道长
米。
【考点】行程问题
【难度】3星
【题型】解答
【关键词】第六届，走美杯，决赛
【解析】
甲、乙两人相遇后如果甲继续行走（分钟）后可以返回山顶，如果乙不休息，那么这个时候乙应该到达山脚，所以这个时候乙还需要分钟到达山脚，也就是距离山脚还有（米），所以山顶到山脚的距离为（米）。
【答案】米
【巩固】
小张和小王早晨点整同时从甲地出发去乙地，小张开车，速度是每小时千米．小王步行，速度为每小时千米．如果小张到达乙地后停留小时立即沿原路返回，恰好在点整遇到正在前往乙地的小王．那么甲、乙两地之间的距离是
千米．
【考点】行程问题
【难度】2星
【题型】填空
【关键词】北京市，迎春杯
【解析】
因为小张和小王相遇时恰好经过了两个甲地到乙地的距离，而这个过程中小张开车个小时，小王步行个小时，他们一共所走的路程是：(千米)，所以甲、乙两地之间的距离是：(千米)．
【答案】千米
【例
33】
如下图，某城市东西路与南北路交会于路口．甲在路口南边560米的点，乙在路口．甲向北，乙向东同时匀速行走．4分钟后二人距的距离相等．再继续行走24分钟后，二人距的距离恰又相等．问：甲、乙二人的速度各是多少？
1.【考点】行程问题
【难度】3星
【题型】解答
【关键词】明心奥数挑战赛
【解析】
本题总共有两次距离相等，第一次：甲到的距离正好就是乙从出发走的路程．那么甲、乙两人共走了560米，走了4分钟，两人的速度和为：
(米/分)。第二次：两人距的距离又相等，只能是甲、乙走过了点，且在点以北走的路程乙走的总路程．那么，从第二次甲比乙共多走了560米，共走了(分钟)，两人的速度差：(米/分)，甲速乙速，显然甲速要比乙速要快；甲速乙速，解这个和差问题，甲速(米/分)，乙速(米/分)．
【答案】甲速米/分，乙速米/分
【例
34】
早晨，小张骑车从甲地出发去乙地．下午1点，小王开车也从甲地出发，前往乙地．下午2点时两人之间的距离是15千米．下午3点时，两人之间的距离还是15千米．下午4点时小王到达乙地，晚上7点小张到达乙地．小张是早晨_________出发．
【考点】行程问题
【难度】2星
【题型】填空
【关键词】走美杯，初赛
【解析】
由“下午2点时两人之间的距离是l5千米．下午3点时，两人之间的距离还是l5千米”可知：两人的速度差是每小时30千米，由3点开始计算，我们知：小王再有一小时就可走完全程，在这一小时当中，小王比小张多走30千米，那小张3小时多走千米，故小张的速度是15千米/小时，小王的速度是45千米/小时．全程是(千米)，(小时)，即上午10点出发．
【答案】10点
【例
35】
甲、乙二人分别从A、B两地同时出发，如果两人同向而行，甲26分钟赶上乙；如果两人相向而行，6分钟可相遇，又已知乙每分钟行50米，求A、B两地的距离.【考点】行程问题
【难度】2星
【题型】解答
【解析】
先画图如下：
若设甲、乙二人相遇地点为C，甲追及乙的地点为D，则由题意可知甲从A到C用6分钟.而从A到D则用26分钟，因此，甲走C到D之间的路程时，所用时间应为：（26-6）=20（分）。同时，由上图可知，C、D间的路程等于BC加BD.即等于乙在6分钟内所走的路程与在26分钟内所走的路程之和，为50×（26＋6）=1600（米）.所以，甲的速度为1600÷20＝80（米/分），由此可求出A、B间的距离。50×（26+6）÷（26-6）=50×32÷20＝80（米/分），（80+50）×6＝130×6=780（米）
【答案】780米
【巩固】
小叶子上学时骑车，回家时步行，路上共用分钟，如果往返都步行，则全程需要分钟，求往返都骑车所需的时间是多少？
【考点】行程问题
【难度】2星
【题型】解答
【解析】
一个单程步行比骑车多用（分钟），骑车单程（分钟），往返骑车的时间（分钟）．
【答案】分钟
【例
36】
从甲城到乙城的铁路线上每隔10千米有一个小车站。一列慢车上午9点以45千米／时的速度由甲城开往乙城，另一列快车上午9点30分以60千米／时的速度也由甲城开往乙城。铁路部门规定，同方向前进的两列火车之间相距不能少于8千米。问：这列慢车最迟应该在距甲城多远的小车站停车让快车超过？
【考点】行程问题
【难度】2星
【题型】解答
【解析】
60千米。解：快车距离慢车8千米需要(时)。此时慢车距甲城（千米）。所以慢车应在距甲城60千米的小车站停车。
【答案】60千米
模块三、终（中）点问题
【例
37】
夏夏和冬冬同时从两地相向而行，夏夏每分钟行50米，冬冬每分钟行60米，两人在距两地中点50米处相遇，求两地的距离是多少米？
【考点】行程问题
【难度】2星
【题型】解答
【解析】
根据题意，画线段图如下：
从图中可以看出(可让学生先判断相遇点在中点哪一侧，为什么？)，因为夏夏的速度比冬冬慢，所以相遇点一定在中点偏向夏夏的这一边50米，由图可以得出：夏夏所行路程全程一半50米，冬冬所行路程全程一半米
；所以两人相遇时，冬冬比夏夏多走了(米)，冬冬比夏夏每分钟多走10米，所以两人从出发到相遇共走了10分钟，两地的距离：(米)．
【答案】米
【巩固】
甲、乙两车同时从A，B两地相向而行，它们相遇时距A，B两地中心处8千米，已知甲车速度是乙车的1.2倍，求A，B两地的距离。
【考点】行程问题
【难度】2星
【题型】解答
【解析】
176千米。提示：甲、乙的速度比为，相遇时甲走了全程的。
【答案】176千米
【巩固】
甲乙二人同时分别自A、B两地出发相向而行，相遇之地距A、B中点300米，已知甲每分钟行100米，乙每分钟行70米，求A地至B地的距离.【考点】行程问题
【难度】2星
【题型】解答
【解析】
相遇时甲比乙多行（米），相遇时共用了（分），A、B两地之间的距离为（米）.【答案】米
【巩固】
王老师从甲地到乙地，每小时步行5千米，张老师从乙地到甲地，每小时步行4千米．两人同时出发，然后在离甲、乙两地的中点1千米的地方相遇，求甲、乙两地间的距离．
【考点】行程问题
【难度】2星
【题型】解答
【解析】
画一张示意图(可让学生先判断相遇点在中点哪一侧，为什么？)
离中点1千米的地方是点，从图上可以看出，王老师走了两地距离的一半多1千米，张老师走了两地距离的一半少1千米．从出发到相遇，王老师比张老师多走了2千米，王老师比张老师每小时多走千米，从出发到相遇所用的时间是(小时)。因此，甲、乙两地的距离是(千米)．
【答案】千米
【巩固】
蜡笔小新从家出发去超市找妈妈，小新妈妈从超市回家，他们同时出发，小新每分钟走米，小新妈妈每分钟走米，他们在离中点米的地方相遇了，求小新家到超市的距离是多少米？
【考点】行程问题
【难度】2星
【题型】解答
【解析】
路程差：(米)，速度差：(米／分钟)，相遇所用的时间：(分钟)，家到超市的距离：(米)．
【答案】米
【巩固】
李明和王亮同时分别从两地骑车相向而行，李明每小时行千米，王亮每小时行千米，两人相遇时距全程中点千米．问全程长多少千米？
【考点】行程问题
【难度】2星
【题型】解答
【解析】
李明走了全程的一半多千米，王亮走了全程的一半少千米，李明比王亮实际多走了(千米)．由已知李明每小时比王亮多走(千米)，李明比王亮多行千米需要(小时)，这就是两人的相遇时间，有了相遇时间，全程是：(千米)．
【答案】千米
【巩固】
树叶和月亮同时分别从两地骑车相向而行，树叶每小时行千米，月亮每小时行千米，两人相遇时距全程中点千米．问全程长多少千米？
【考点】行程问题
【难度】2星
【题型】解答
【解析】
树叶走了全程的一半多千米，月亮走了全程的一半少千米，树叶比月亮实际多走了(千米)．已知树叶每小时比月亮多走(千米)，那么树叶比月亮多行千米需要(小时)，这就是两人的相遇时间，有了相遇时间，全程就容易求了．全程：(千米)．
【答案】千米
【巩固】
夏夏和冬冬同时从两地相向而行，两地相距1100米，夏夏每分钟行50米，冬冬每分钟行60米，问两人在距两地中点多远处相遇？
【考点】行程问题
【难度】2星
【题型】解答
【解析】
两个人的相遇时间为：（分钟），所以相遇时东东走了：（米），两个人距离中点距离为：（米）
【答案】米
【例
38】
甲、乙两人同时从两地相向而行．甲每小时行千米，乙每小时行千米．两人相遇时乙比甲少行千米．两地相距多少千米？
【考点】行程问题
【难度】3星
【题型】解答
【解析】
乙每小时比甲少行：(千米)，由题意知，“两人相遇时乙比甲少行千米”，说明两人行驶的时间为：(小时)，已知速度和与相遇时间，可求路程．两地相距为：(千米)．
【答案】千米
【例
39】
小新和正南二人同时从学校和家出发，相向而行，小新骑车他的三轮车每分钟行100米，5分钟后小新已超过中点50米，这时二人还相距30米，正南每分钟行多少米？
【考点】行程问题
【难度】3星
【题型】解答
【解析】
5分钟后小新比正南多走了（米），所以每分钟多走：（米），所以正南每分钟走：（米/分）
【答案】米/分
【例
40】
甲、乙两列火车同时从东西两镇之间的地出发向东西两镇反向而行，它们分别到达东西两镇后，再以同样的速度返回，已知甲每小时行60千米，乙每小时行70千米，相遇时甲比乙少行120千米，东西两镇之间的路程是多少千米？
【考点】行程问题
【难度】3星
【题型】解答
【解析】
建议教师帮助学生画图分析．
从出发到甲、乙两列火车相遇，两列火车共同行驶了2个全程．已知甲比乙少行120千米，甲每小时比乙少行(千米)，(小时)，说明相遇时，两辆车共同行驶了12小时．
那么两辆车共同行驶1个全程需要6小时，东西两镇之间的路程是(千米)．
【答案】千米
【例
41】
甲、乙二人从，两地同时出发相向而行，甲每分钟行80米，乙每分钟行70米，出发一段时间后，二人在距中点60米处相遇．如果甲晚出发一会儿，那么二人在距中点220米处相遇．甲晚出发了多少分钟？
【考点】行程问题
【难度】3星
【题型】解答
【解析】
同时出发，相遇时甲多走(米)，相遇时间为(分)，因此甲、乙两地距离为(米)．当甲晚出发一会儿时，两人各用时间分别为乙用时：(分)，甲用时：(分)，所以甲比乙晚出发(分)．
【答案】分钟
【例
42】
甲、乙二人同时从学校出发到少年宫去，已知学校到少年宫的距离是2400米．甲到少年宫后立即返回学校，在距离少年宫300米处遇到乙，此时他们离开学校已经30分钟．问：甲、乙每分钟各走多少米？
【考点】行程问题
【难度】3星
【题型】解答
【解析】
根据题意，画线段图如下：
方法一：30分钟内，二人的路程和(米)，因此速度和为：(米/分)；又知道30分钟甲的路程为：(米)，所以甲速度为：
(米/分)，则乙速度为：(米/分)．
方法二：30分钟内，甲的路程为(米)，乙走的路程为：(米)，因此甲的速度为：(米/分)，乙的速度为：(米/分)．
【答案】米/分
【例
43】
一辆汽车和一辆摩托车同时从甲乙两地相对开出，摩托车每小时行千米．汽车每小时行千米．两车相遇后又以原来的速度继续前进，摩托车到乙地立即返回．汽车到甲地立即返回．两车在距离中点千米的地方再次相遇，那么甲乙两地的路程是多少千米？
【考点】行程问题
【难度】3星
【题型】解答
【解析】
第二次相遇距中点千米，说明两车共有(千米)的路程差，由此可知两车共行驶了：(小时)．又因为第二次相遇两车共走了三个全程，所以走一个全程用(小时)．这样可以求出甲乙两地的路程是：(千米)．
【答案】千米
模块四、行程间的倍比关系
【例
44】
甲、乙两车分别同时从、两地相对开出，第一次在离地95千米处相遇．相遇后继续前进到达目的地后又立刻返回，第二次在离地25千米处相遇．求、两地间的距离．
【考点】行程问题
【难度】3星
【题型】解答
【解析】
画线段示意图(实线表示甲车行进的路线，虚线表示乙车行进的路线)
可以发现第一次相遇意味着两车行了一个、两地间距离，第二次相遇意味着两车共行了三个、两地间的距离．当甲、乙两车共行了一个、两地间的距离时，甲车行了95千米，当它们共行三个、两地间的距离时，甲车就行了3个95千米，即(千米)，而这285千米比一个、两地间的距离多25千米，可得：(千米)．
【答案】千米
【巩固】
甲、乙两车分别同时从、两地相对开出，第一次在离地90千米处相遇．相遇后继续前进到达目的地后又立刻返回，第二次在离地30千米处相遇．求、两地间的距离？
【考点】行程问题
【难度】3星
【题型】解答
【解析】
第一次相遇意味着两车行了一个、两地间距离，第二次相遇意味着两车共行了三个、两地间的距离．当甲、乙两车共行了一个、两地间的距离时，甲车行了90千米，当它们共行三个、两地间的距离时，甲车就行了3个90千米，即（千米），而这270千米比一个、两地间的距离多30千米，可得：
(千米)．
【答案】
千米
【巩固】
如图，、是一条道路的两端点，亮亮在点，明明在点，两人同时出发，相向而行．他们在离点米的点第一次相遇．亮亮到达点后返回点，明明到达点后返回点，两人在离点米的点第二次相遇．整个过程中，两人各自的速度都保持不变．求、间的距离．要求写出关键的推理过程．
【考点】行程问题
【难度】3星
【题型】解答
【关键词】中环杯
【解析】
第一次相遇，两人共走了一个全程，其中亮亮走了米，从开始到第二次相遇，两人共走了三个全程，则亮亮走了(米)．亮亮共走的路程为一个全程多米，所以道路长（米）．
【答案】米
【巩固】
甲、乙两车分别同时从、两地相对开出，第一次在离地千米处相遇．相遇后继续前进到达目的地后又立刻返回，第二次在离地千米处相遇．求、两地间的距离？
【考点】行程问题
【难度】3星
【题型】解答
【解析】
第一次相遇意味着两车行了一个、两地间距离，第二次相遇意味着两车共行了三个、两地间的距离．当甲、乙两车共行了一个、两地间的距离时，甲车行了千米，当它们共行三个、两地间的距离时，甲车就行了3个80千米，即（千米），而这240千米比一个、两地间的距离多20千米，可得：(千米)．
【答案】千米
【巩固】
甲、乙二人同时分别从、两地出发，相向匀速而行．甲到达地后立即往回走，乙到达地后也立即往回走．已知他们第一次相遇在离，中点2千米处靠一侧，第二次相遇在离地4千米处．、两地相距多少千米？
【考点】行程问题
【难度】3星
【题型】解答
【关键词】走美杯，初赛
【解析】
如图所示，两人第一次相遇，合走一个全程，两人第二次相遇，合走三个全程．而两人速度不变，这说明第二次相遇所用的时间是第一次相遇所用时间的3倍．因此，甲在第二次相遇所走的路程是第一次相遇所走路程的3倍．第一次相遇时，甲走了半全程多2千米，那么，第二次相遇时，他应该走了3个半个全程多6千米，而实际他走了2个全程差4千米，即4个半个全程差4千米．因此，半个全程长(千米)，、两地相距(千米)．
【答案】千米
【例
45】
甲、乙两辆汽车同时分别从、两地相对开出，甲车每小时行千米，乙车每小时行千米．甲、乙两车第一次相遇后继续前进，甲、乙两车各自到达、两地后，立即按原路原速返回．两车从开始到第二次相遇共用小时．求、两地的距离？
【考点】行程问题
【难度】2星
【题型】解答
【解析】
甲、乙两车从出发到第一次相遇共同行完一个间的路程，第一次相遇后继续前进，各自到、两地后，又共同行完一个间的路程．当甲、乙两车第二次相遇时，又共同行完一个间的路程．因此，甲、乙两车从开始到第二次相遇共行个间的路程．甲、乙速度和：(千米)，个间路程：(千米)，、相距：(千米)．
【答案】千米
【例
46】
上午8点8分，小明骑自行车从家里出发，8分钟后，爸爸骑摩托车去追他，在离家4千米的地方追上了他．然后爸爸立即回家，到家后又立刻回头去追小明，再追上小明的时候，离家恰好是8千米，这时是几点几分？
【考点】行程问题
【难度】2星
【题型】解答
【解析】
画一张简单的示意图：
图上可以看出，从爸爸第一次追上到第二次追上，小明骑了(千米)．而爸爸骑的距离是
(千米)．
这就可以知道，爸爸骑摩托车的速度是小明骑自行车速度的倍．按照这个倍数计算，小明骑8千米，爸爸可以骑行(千米)．但事实上，爸爸少用了8分钟，骑行了(千米)，少骑行(千米)．摩托车的速度是(千米/分)，爸爸骑行16千米需要16分钟．(分钟)．所以这时是8点32分．
【答案】8点32分
【巩固】
自行车队出发12分钟后，通信员骑摩托车去追他们，在距出发点9千米处追上了自行车队，然后通信员立即返回出发点；随后又返回去追自行车队，再追上时恰好离出发点18千米，求自行车队和摩托车的速度．
【考点】行程问题
【难度】2星
【题型】解答
【解析】
在第一次追上自行车队与第二次追上自行车队之间，摩托车所走的路程为()千米，而自行车所走的路程为()千米，所以，摩托车的速度是自行车速度的3倍()；摩托车与自行车的速度差是自行车速度的2倍，再根据第一次摩托车开始追自行车队时，车队已出发了12分钟，也即第一次追及的路程差等于自行车在12分钟内所走的路程，所以追及时间等于(分钟)；联系摩托车在距出发点9千米的地方追上自行车队可知：摩托车在6分钟内走了9千米的路程，于是摩托车和自行车的速度都可求出了．列式为：倍，(分钟)，摩托车的速度为：(千米/分钟)，自行车的速度为：(千米/分钟)
【答案】摩托车的速度为千米/分钟，自行车的速度为千米/分钟
【例
47】
甲、乙两车同时从两地相向而行，2.5时后相遇。已知甲车速度是乙车速度的，相遇时乙车比甲车多走千米，求两车的速度。
【考点】行程问题
【难度】3星
【题型】解答
【解析】
甲车48千米／时，乙车64千米／时。提示：先求出两地的距离。
【答案】甲车48千米／时，乙车64千米／时
【例
48】
杨平每天早晨按时从家出发步行上学，李大爷每天早晨也定时出门散步，两人相向而行，杨平步行每分行60米，李大爷步行每分行40米，他们每天都准时在途中相遇。有一天杨平提前出门，因此比平时早9分与李大爷相遇，杨平比平时早出门多少分？
【考点】行程问题
【难度】3星
【题型】解答
【解析】
15分。因为李大爷出门时杨平已经比平时多走了9×（60＋40）＝900（米），所以杨平比平时早出门900÷60＝15（分）。
【答案】15分
【例
49】
甲、乙两地之间有一条公路．李明从甲地出发步行去乙地，同时张平从乙地出发骑摩托车去甲地，80分钟后两人在途中相遇．张平到达甲地后马上折回往乙地，在第一次相遇后又经过20分钟在途中追上李明．张平到达乙地后又马上折回往甲地，这样一直下去．问：当李明到达乙地时，张平共追上李明多少次？
【考点】行程问题
【难度】3星
【题型】解答
【解析】
我们希望知道二人的速度，或至少是二人各自走完全程的时间，进而确定整个过程的进展，并得到答案．但知道这些并不够．应先分析什么是“追上”．如图，当两人经过80分钟相遇时，两人所走的路程之和恰是甲乙两地指间的距离，因此两人才能相遇．如图所示：
第一次追上就是张平比李明多走了一个甲、乙两地距离．这用了分钟．以此类推，第二次相遇的情况从图上可以看出来，使张平比李明多走了3个甲、乙之间距离；第三次相遇，是张平比李明多走了5个甲乙之间距离……所以，知道了张平的速度是李明的几倍，也就知道在李明走完一个甲乙之间距离的时候，张平走了几个甲乙之间距离，他比李明多走了几个．这样就可求出当李明到达乙地时，张平追上了他几次．是两人相遇地点，是张平第一次追上李明的地点．要分析如何求出两人速度的倍数关系．在从相遇到第一次追上这20分钟内，张平从走到再走到，即．也就是，是李明相遇前的路程，即李明80分钟走的；是李明第一次被追上时已走的路程，即他分钟走的．因此，张平20分钟走的路程，是李明分钟走的，也就是说，张平的速度是李明的9倍．当李明从甲到乙时，张平走了9个这样的距离，即比李明多走了8个从甲到乙的距离．比李明多走1个时，张平第一次追上李明；多走3个时，第二次追上；多走5个时，第三次追上；多走7个时，第四次追上．综上所述，在李明从甲到乙的过程中，一共被张平追上4次．
【答案】追上4次
【例
50】
（这道题就是之前介绍过的苏步青教授利用巧妙方法解决过的一个问题，当时苏步青教授在德国访问，一位有名的德国数学家在电车上给他出了这道题）甲和乙分别从东西两地同时出发，相对而行，两地相距里，甲每小时走里，乙每小时走里．如果甲带一只狗，和甲同时出发，狗以每小时里的速度向乙奔去，遇到乙后即回头向甲奔去，遇到甲后又回头向乙奔去，直到甲乙两人相遇时狗才停住．这只狗共跑了多少里路？
【考点】行程问题
【难度】2星
【题型】解答
【解析】
只从狗本身考虑，光知道速度，无法确定跑的时间．但换个角度，狗在甲乙之间来回奔跑，狗从开始到停止跑的时间与甲乙二人相遇时间相同．由此便能求出答案．狗一共跑了（小时）所以狗跑的距离为（千米）
注：有时我们遇到的应用题往往无法用直接的方法列式解决，甚至看起来好像条件不足．这个时候我们就需要停下来问问自己：是否应该换个角度思考？尝试这样思考，一方面能让我们对一些原本无法解答的题目豁然开朗，更可以让自己的头脑在锻炼中变得越来越聪明．
【答案】千米
【巩固】
某边防站甲、乙两哨所相距
15千米。一天，两个哨所的巡逻队同时从各自的哨所出发相向而行，他们的速度分别为4.5千米／时和5.5千米／时。乙队出发时，他们带的一只军犬同时向甲哨所方向跑去，遇到甲队时立即转身往回跑，遇到乙队又立即转身向甲哨所方向跑去……这只军犬就这样不停地以20千米／时的速度在甲、乙两队之间奔跑，直到两队会合为止。问：这只军犬来回共跑了多少路？
【考点】行程问题
【难度】2星
【题型】解答
【解析】
30千米。提示：军犬的速度为20千米/时，它跑的时间等于甲、乙两队从出发到相遇所用的时间。
【答案】30千米
【巩固】
A、B两地相距480千米，甲、乙两车同时从两站相对出发，甲车每小时行35千米，乙车每小时行45千米，一只燕子以每小时行50千米的速度和甲车同时出发向乙车飞去，遇到乙车又折回向甲车返飞去，遇到甲车又返飞向乙车，这样一直飞下去，燕子飞了多少千米两车才能相遇？
【考点】行程问题
【难度】2星
【题型】解答
【解析】
由燕子和两车同时开始飞行和同时停止，故燕子飞行的时间和两车相遇的时间相等，480÷（35+45）=6小时。燕子飞行的路程：50
×6=300千米
【答案】300千米
【巩固】
小新和阿呆各骑一辆自行车从相距32千米的两个地方沿直线相向而行，在他们同时出发的那一瞬间，一辆自行车把上的一只小鸟开始向另一辆自行车径直飞去，它一到达另一辆自行车的车把，就立即转向往回飞行，这只小鸟如此在两辆自行车的车把之间来回飞行，直到小新和阿呆相遇为止.如果小新每小时行驶17千米，阿呆每小时行驶15千米，小鸟每小时飞行24千米，那么小鸟总共飞行了多少千米？
【考点】行程问题
【难度】3星
【题型】解答
【解析】
由小鸟和两车同时开始飞行和同时停止，故小鸟飞行的时间和两车相遇的时间相等，32÷（17+15）=1小时。燕子飞行的路程：24×1=24（千米）.【答案】24千米
【巩固】
在一次宴会上，一位客人给著名的数学大师、“计算机之父”冯·诺伊曼先生出了一个蜜蜂问题：两列火车相距英里，在同一轨道上相向行驶，速度都是每小时英里．火车的前端有一只蜜蜂以每小时英里的速度飞向火车，遇到火车以后．立即回头以同样的速度飞向火车，遇到火车后，又回头飞向火车，速度始终保持不变，如此下去，直到两列火车相遇时才停止．假设蜜蜂回头转身的时间忽略不计，那么，这只蜜蜂一共飞了多少英里的路？
【考点】行程问题
【难度】3星
【题型】解答
【解析】
因为两列火车相距英里，以每小时英里的速度相向而行．所以，他们相遇时所经过的时间是小时，而蜜蜂在这段时间内，不停地在两列火车之间往返飞行，蜜蜂飞行的全部时间正好是两行火车相遇的时间，所以，蜜蜂在这小时内，正好飞行了英里．
【答案】英里
【巩固】
阿呆和阿瓜同时从距离千米的两地相向而行，阿呆每小时走千米，阿瓜每小时走千米．
阿瓜带着一只小狗，狗每小时走千米．这只狗同阿瓜一道出发碰到阿呆的时候，它就掉头朝阿瓜这边走，碰到阿瓜时又朝阿呆那边走，直到两人相遇，问这只小狗一共走了多少千米？
【考点】行程问题
【难度】2星
【题型】解答
【解析】
阿呆和阿瓜两人相遇时间为：(小时)，狗共跑路程为：(千米)．
【答案】千米
【例
51】
甲、乙两人分别从相距
35.8千米的两地出发，相向而行．甲每小时行
千米，但每行
分钟就休息
分钟；乙每小时行
千米，则经过________小时________分的时候两人相遇．
【考点】行程问题
【难度】3星
【题型】填空
【解析】
经过
小时
分钟的时候，甲实际行了
小时，行了
4×2=8千米，乙则行了千米，两人还相距
35.8－27－8=0.8千米，此时甲开始休息，乙再行
0.8÷12×60=4分钟就能与甲相遇．所以经过
小时
分的时候两人相遇．
【答案】2
小时
分
【例
52】
一个圆的圆周长为米，两只蚂蚁从一条直径的两端同时出发沿圆周相向爬行．这两只蚂蚁每秒钟分别爬行厘米和厘米，在运动过程中它们不断地调头．如果把出发算作第零次调头，那么相邻两次调头的时间间隔顺次是1秒、3秒、5秒、……，即是一个由连续奇数组成的数列．问它们相遇时，已爬行的时间是多少秒？
【考点】行程问题
【难度】4星
【题型】解答
【解析】
(法1)找路程规律．通过处理，找出每次爬行缩小的距离关系规律．两只蚂蚁相距米厘米，相向爬行1秒距离缩小(厘米)．如果不调头，需要(秒)相遇；
第1轮爬行1秒，假设向上半圆方向爬，距离缩小厘米；
第2轮爬行3秒，调头向下半圆方向爬，距离缩小厘米；
第3轮爬行5秒，调头向上半圆方向爬，距离缩小厘米；……
每爬行1轮距离缩小厘米，所以爬行7轮后相遇，时间是(秒)．
(法2)对于这种不断改变前进方向的问题，可以先看简单的情况：
在一条直线上，如上面的图形，一只蚂蚁先从点出发向右走，然后按照经过1秒、3秒……改变方向．由于它的速度没有变化，可以认为蚂蚁每秒钟走一格．
第一次改变方向时，它到，走1格，格；
第二次改变方向时，它到，走3格，格；
第三次改变方向时，它到，走5格，格；
第四次改变方向时，它到，走7格，格；
第五次改变方向时，它到，走9格，格．
不难发现，小蚂蚁的活动范围在不断扩大，每次离点都远了一格．当两只蚂蚁活动范围重合时，也就是它们相遇的时候．
另外从上面的分析可以知道，每一次改变方向时，两只蚂蚁都在出发点的同一侧．这样，通过相遇问题，可以求出它们改变方向的次数，进而求出总时间．
由于每一次改变方向时，两只蚂蚁之间的距离都缩短厘米．
所以，到相遇时，它们已改变方向：次，也就是在第7次要改变方向时，两只蚂蚁相遇，用时：(秒)．
【答案】秒
【巩固】
老师教同学们做游戏：在一个周长为114米的圆形跑道上，两个同学从一条直径的两端同时出发沿圆周开始跑，1秒钟后他们都调头跑，再过3秒他们又调头跑，依次照1、3、5……分别都调头而跑，每秒两人分别跑米和米，那么经过几秒，他们初次相遇？
【考点】行程问题
【难度】3星
【题型】解答
【解析】
与例题的分析过程类似，可以知道，每跑1轮距离缩小米，由于两个同学最开始相距57米，小于例题中的63米，而又大于54米，所以两人在第七次掉头后相遇，而且没有走完第七次掉头的13秒，相遇时比13秒少走了秒，所以他们初次相遇时经过了秒．
【答案】秒
【例
53】
某条道路上，每隔900米有一个红绿灯．所有的红绿灯都按绿灯30秒、黄灯5秒、红灯25秒的时间周期同时重复变换．一辆汽车通过第一个红绿灯后，以每小时多少千米的速度行驶，可以在所有的红绿灯路口都遇到绿灯？
【考点】行程问题
【难度】3星
【题型】解答
【解析】
因为红绿灯变换的时间周期是（秒），所以要想让汽车在所有的红绿灯口都遇到绿灯，那么汽车通过第一个路口后，到下一个路口所花的时间必须是60秒．换句话说，只要60秒走900米，汽车就可以一路绿灯．因此，汽车应以每小时（千米）的速度行驶．
【答案】千米
【例
54】
甲、乙二人从相距36千米的两地相向而行。若甲先出发2时，则在乙动身2.5时后两人相遇；若乙先出发2时，则甲动身3时后两人相遇。求甲、乙二人的速度。
【考点】行程问题
【难度】2星
【题型】解答
【解析】
甲6千米／时，乙3.6千米／时。
提示：第一种情况，甲走4.5时，乙走2.5时共行一个单程，推知甲走9时乙走5时行两个单程；第二种情况，甲走3时，乙走5时共行一个单程。所以甲走9-3＝6（时）行一个单程。
【答案】甲6千米／时，乙3.6千米／时
【例
55】
一条单线铁路上有A，B，C，D，E五个车站，它们之间的路程如下图所示（单位：千米）。甲、乙两列火车分别从A，E两站相对开出，甲车先开4分，每时行60千米，乙车每时行50千米，两车只能在车站停车，互相让道错车。两车应在哪一个车站会车（相遇），才能使停车等候的时间最短？先到的火车至少要停车多少时间？
【考点】行程问题
【难度】3星
【题型】解答
【解析】
C或D；停车11分。甲车先开3分，行3千米。除去这3千米，全程为
48＋40＋10＋70－3＝165（千米）。
若两车都不停车，则将在距站（千米）处相撞，正好位于C与D的中点。所以，无论是甲车在C站等候，还是乙车在D站等候，等候的时间都是甲、乙两车各行5千米的时间和，为（时）（分）
【答案】C或D；停车11分
【例
56】
张涛坐在行驶的公共汽车上，忽然发现李梅正在向相反的方向步行，2分后汽车到站，张涛下车去追李梅。如果张涛的速度是李梅的2倍，是汽车速度的。那么张涛追上李梅要多少分？
【考点】行程问题
【难度】3星
【题型】解答
【解析】
18分。设李梅的速度为a，则张涛的速度为2a，汽车的速度为8a。下车时，张涛与李梅的距离为（8a＋a）×2＝18a，张涛与李梅的速度差为2a－a＝a，追上李梅需要18a÷a＝18（分）。
【答案】追上李梅需要18分
【例
57】
甲、乙、丙三人同时从A向B跑，当甲跑到B时，乙离B还有20米，丙离B还有40米；当乙跑到B时，丙离B还有24米。问：
（1）
A，B相距多少米？
（2）如果丙从A跑到B用24秒，那么甲的速度是多少？
【考点】行程问题
【难度】3星
【题型】解答
【解析】
（1）120米；（2)
7.5米/秒。
（1）乙跑最后20米时，丙跑了40-24＝16（米），丙的速度是乙的。因为乙到时比丙多跑米，所以、相距（米）。
（2）甲跑米，丙跑（米），丙的速度是甲的。甲的速度是（米/秒）
【答案】（1）120米；（2)
7.5米/秒
【例
58】
快、中、慢三辆车同时同地出发，沿同一公路去追赶前面一骑车人，这三辆车分别用6分、10分、12分追上骑车人。已知快、慢车的速度分别为24千米／时和19千米／时，求中速车的速度。
【考点】行程问题
【难度】3星
【题型】解答
【解析】
20千米／时。提示：先由快、慢车的情况求出骑车人的速度。
【答案】20千米／时
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