《17.1变量与函数》教学设计

第一篇：《17.1变量与函数》教学设计

《17.1变量与函数（1）》教学设计

一、教学目标

1．知识技能目标

（1）掌握常量和变量、自变量和因变量（函数）基本概念；

（2）了解表示函数关系的三种方法：解析法、列表法、图像法，并会用解析法表示数量关系．

2．过程性目标

（1）通过实际问题，引导学生直观感知，领悟函数基本概念的意义；

（2）引导学生联系代数式和方程的相关知识，继续探索数量关系，增强数学建模意识，列出函数关系式．

二、教学过程

（一）创设情境

在学习与生活中，经常要研究一些数量关系，先看下面的问题． 问题1 如图是某地一天内的气温变化图．

看图回答：

（1）这天的6时、10时和14时的气温分别为多少？任意给出这天中的某一时刻，说出这一时刻的气温．

（2）这一天中，最高气温是多少？最低气温是多少？

（3）这一天中，什么时段的气温在逐渐升高？什么时段的气温在逐渐降低？

解：（1）这天的6时、10时和14时的气温分别为－1℃、2℃、5℃；（2）这一天中，最高气温是5℃．最低气温是－4℃；

（3）这一天中，3时～14时的气温在逐渐升高．0时～3时和14时～24时的气温在逐渐降低．

从图中我们可以看到，随着时间t（时）的变化，相应地气温T（℃）也随之变化．那么在生活中是否还有其它类似的数量关系呢？

（二）探究归纳

问题2 银行对各种不同的存款方式都规定了相应的利率，下表是2002年7月中国工商银行为“整存整取”的存款方式规定的年利率：

观察上表，说说随着存期x的增长，相应的年利率y是如何变化的． 解：随着存期x的增长，相应的年利率y也随着增长．

问题3 收音机刻度盘的波长和频率分别是用米（m）和千赫兹（kHz）为单位标刻的．下面是一些对应的数值：

观察上表回答：

（1）波长l和频率f数值之间有什么关系?（2）波长l越大，频率f 就________． 解：（1）l 与 f 的乘积是一个定值，即 lf＝300 000，或者说f300000． l（2）波长l越大，频率f 就 越小．

问题4 圆的面积随着半径的增大而增大．如果用r表示圆的半径，S表示圆的面积则S与r之间满足下列关系：S＝_________．

利用这个关系式，试求出半径为1 cm、1．5 cm、2 cm、2．6 cm、3．2 cm时圆的面积，并将结果填入下表：

由此可以看出，圆的半径越大，它的面积就_________． 解：S＝πr2．

圆的半径越大，它的面积就越大．

在上面的问题中，我们研究了一些数量关系，它们都刻画了某些变化规律．这里出现了各种各样的量，特别值得注意的是出现了一些数值会发生变化的量．例如问题1中，刻画气温变化规律的量是时间t和气温T，气温T随着时间t的变化而变化，它们都会取不同的数值．像这样在某一变化过程中，可以取不同数值的量，叫做变量（variable）．

上面各个问题中，都出现了两个变量，它们互相依赖，密切相关．一般地，如果在一个变化过程中，有两个变量，例如x和y，对于x的每一个值，y都有惟一的值与之对应，我们就说x是自变量（independent variable），y是因变量（dependent variable），此时也称y是x的函数（function）．表示函数关系的方法通常有三种：

（1）解析法，如问题3中的f系式．

（2）列表法，如问题2中的利率表，问题3中的波长与频率关系表．（3）图像法，如问题1中的气温曲线．

问题的研究过程中，还有一种量，它的取值始终保持不变，我们称之为常量（constant），如问题3中的300 000，问题4中的π等．

（三）实践应用

例1 下表是某市2000年统计的该市男学生各年龄组的平均身高．

300000，问题4中的S＝π r2，这些表达式称为函数的关l

（1）从表中你能看出该市14岁的男学生的平均身高是多少吗?（2）该市男学生的平均身高从哪一岁开始迅速增加?

（3）上表反映了哪些变量之间的关系?其中哪个是自变量?哪个是因变量? 解：（1）平均身高是146.1cm；

（2）约从14岁开始身高增加特别迅速；

（3）反映了该市男学生的平均身高和年龄这两个变量之间的关系，其中年龄是自变量，平均身高是因变量．

例2 写出下列各问题中的关系式，并指出其中的常量与变量：（1）圆的周长C与半径r的关系式；

（2）火车以60千米/时的速度行驶，它驶过的路程s（千米）和所用时间t（时）的关系式；

（3）n边形的内角和S与边数n的关系式． 解：（1）C＝2π r，2π是常量，r、C是变量；（2）s＝60t，60是常量，t、s是变量；

（3）S＝（n－2）×180，2、180是常量，n、S是变量．

（四）交流反思 1．函数概念包含：（1）两个变量；

（2）两个变量之间的对应关系．

2．在某个变化过程中，可以取不同数值的量，叫做变量；数值始终保持不变的量，叫做常量．例如x和y，对于x的每一个值，y都有惟一的值与之对应，我们就说x是自变量，y是因变量．

3．函数关系三种表示方法：（1）解析法；（2）列表法；（3）图像法．

（五）检测反馈

1．举3个日常生活中遇到的函数关系的例子． 2．分别指出下列各关系式中的变量与常量：

（1）三角形的一边长5cm，它的面积S（cm2）与这边上的高h（cm）的关系式是S5h； 2（2）若直角三角形中的一个锐角的度数为α，则另一个锐角β（度）与α间的关系式是β＝90－α ；

（3）若某种报纸的单价为a元，x表示购买这种报纸的份数，则购买报纸的总价y（元）与x间的关系是：y＝ax．

3．写出下列函数关系式，并指出式中的自变量与因变量：

（1）每个同学购一本代数教科书，书的单价是2元，求总金额Y（元）与学生数n（个）的关系；

（2）计划购买50元的乒乓球，求所能购买的总数n（个）与单价a（元）的关系． 4．填写如图所示的乘法表，然后把所有填有24的格子涂黑．若用x表示涂黑的格子横向的乘数，y表示纵向的乘数，试写出y关于x的函数关系式．

第二篇：变量与函数教学设计

变量与函数教学设计

淦田镇中学

黄军

教学内容: 湘教版八年级下册第四章第一节“函数和它的表示法”第一小节“变量与函数”。教学目标

1.知识与技能目标:运用丰富的实例，使学生在具体情境中领悟函数概念，了解常量与变量的含义，能分清实例中的常量与变量，了解自变量与函数的意义。

2.过程与方法目标: 引导学生探索实际问题中的数量关系, 经历观察、比较、发现、交流、归纳等过程, 在解决问题的过程中体会数学的应用价值, 并由感性认识逐渐过渡到理性认识。

3.情感、态度与价值观目标: 在常量与变量概念形成的过程中, 培养学生对学习数学的兴趣和积极参与数学活动的热情。学生在解决问题的过程中体会数学的应用价值并感受成功的喜悦, 建立自信心。

教学重点：自变量与函数的概念。教学难点：函数概念的抽象与概括． 教学方法 教师启发引导, 学生合作探究。教学流程安排

活动 1.创设情境(感受变化): 通过播放视频, 让学生感受生活中一些量的变化。

活动 2.交流互动(形成概念):通过三个实例的分析, 让学生初步认识变量常量, 得出变量常量的概念。活动3.巩固练习讲解例题(加深理解):通过练习进一步理解变量与常量概念, 活动 4.小结及升华: 通过对所学内容的回顾, 加深对变量与常量概念的理解,渗透由具体到抽象的数学研究方法。教学过程

一、创设情境，引入新课

师:我给大家带来了一段视频,与大家一起分享(师生一起欣赏多媒体播放的《乌鸦喝水》)师:大家观看后有什么感想

生1;乌鸦真聪明，用投石子的方法。

生2:它发现瓶口太小,水面又太低,扔石块可以提高水位,而且发现扔一块石块不够,需多扔几块.师:在这个片断中哪些是不能改变的,哪些是可以变化的? 学生可能讨论得出: 1.瓶口的大小不可改变,瓶中水的高度是可以改变的;2.投的石块越多,水面就越高.师:这两点就是我们要学习的常量与变量及函数关系.（板书课题：变量与函数）

二、实践体验,探索概念

问题1(首先显示)一个水波纹动画，显示一滴落在平静的水面上观察变化。

圆的面积公式Ｓ=πｒ2,请取ｒ的一些不同的值,算出相应的Ｓ的值.(1)ｒ= ｃｍ,Ｓ= ｃｍ2(2)ｒ= ｃｍ,Ｓ= ｃｍ2(3)ｒ= ｃｍ,Ｓ= ｃｍ2(4)ｒ= ｃｍ,Ｓ= ｃｍ2 问:在计算半径不同的圆的面积的过程中,哪些量在改变?哪些量不变? 生1:ｒ,Ｓ在改变,π不变.问题2.下图这是北京某日气象站用自动温度记录仪描出的某一天的温度曲线，它反映了该地某一天的气温T（℃）是如何随时间t的变化而变化的，你能从图中得到哪些信息？

（1）这天的8时的气温是 ℃，14时的气温是 ℃，22时的气温是 ℃；

（2）这一天中，最高气温是 ℃，最低气温是 ℃；（3）这一天中，什么时段的气温在逐渐升高？什么时段的气温在逐渐降低？

小结：天气温度随 的变化而变化，即T随 的变化而变化；

问题3票房收入问题： 出示一段音频（邓紫棋泡沫）师：这段音频知道是哪位歌手唱的吗？ 生：齐声邓紫棋（同时显示邓紫棋图片）

师，邓紫棋为了回馈歌迷朋友对她的喜爱，决定举行一场歌友会。每张演唱会的售价为100元.（1）若一场售出1500张演唱会，则该场的票房收入是 元；

（2）若一场售出2050张演唱会，则该场的票房收入是 元；

（3）若设一场售出x张演唱会，票房收入为 y元，则y=。

师：当中哪些量是变化的？是如何变化的？

小结：票房收入随售出的演唱会数变化而变化，即 y随 的变化而变化； 1变量与常量概念

通过与同学们的交流讨论，我们清楚地认识到，要想寻求事物变化过程的规律，首先需确定在这个过程中哪些量是变化的，而哪些量又是不变的．在一个变化过程中，我们称数值发生变化的量为变量（variable），那么数值始终不变的量称之为常量（constant）．如上述过程中，售出票数x、票房收入y、半径r、面积s时间t，气温T都属于变量；而票价100元，Π„„都是常量．

强调注意：常量与变量必须存在与一个变化过程中。判断一个量是常量还是变量，需这两个方面：①看它是否在一个变化的过程中；②看它在这个变化过程中的取值情况。

2函数的概念

在探索变量间变化规律时，可利用以前学过的一些有关知识公式进行分析寻找，以便尽快找出之间关系，确定关系式．一般地，在一个变化过程中有两个变量x与y，如果对于x每一个值，y都有唯一的值与它对应，那么就说x是自变量，y是因变量，此时也称 y是x的函数。记作y=f（x）

3反复提炼,归纳定义

师：在前面的三个问题中,同一个问题中的两个变量之间有什么联系呢?请同学们交流一下.(回放前面问题1,问题2,问题3)1.第一个例子中，圆的半径是，圆的面积是半径的。

2.第二个例子中，是自变量，是 的函数。

3.第三个例子中，是自变量，是 的函数。

强调：在考虑两个变量间的函数时，还要注意自变量的取值范围.如上述第2个问题中，自变量t的取值范围是0≤t≤24；而第1、3个问题中，自变量x的取值范围分别是x＞0，x≥0.三、例题讲解

如图4-2，已知圆柱的高是4cm，底面半径是r（cm），当圆柱的底面半径r由小变大时，圆柱的体积V（）是r的函数.（1）用含r 的代数式来表示圆柱的体积V，指出自变量r 的取值范围.（2）当r = 5，10时，V是多少（结果保留π）？ 学生分组讨论“交流”说出各自得到的结论，最后师生共同归 纳，得出:

四、巩固应用,内化新知

1指出下列变化过程中，哪个变量随着另一个变量的变化而变化？

（1）一辆汽车以80 km/h 的速度匀速行驶，行驶的路程s（km）与行驶时间t（h）；

（2）圆的半径r和圆面积S满足：（3）银行的存款利率P与存期t.2.如图，A港口某天受潮汐的影响，24小时内港 口水深h（m）随时间t（时）的变化而变化.五、小结梳理,归纳升华 1你能出一个生活中有关函数的例子吗？

2函数与我们以前学的数一样吗？它有什么特点？

六、古诗游戏

(显示)古诗中的常量和变量: 回乡偶书 少小离家老大回, 乡音无改鬓毛衰;儿童相见不相识, 笑问客从何处来.师生共同分析:作者年龄在变,容貌在变,但乡音始终未变———表达出作者对家乡怀有深厚的感情.

第三篇：变量与函数教学设计

《变量与函数》教学设计

中峰镇中心学校

王君

【学习目标】

1、认识变量、常量、会用一个变量的代数式表示另一个变量，2、认识变量中的自变量与函数，了解自变量与函数的意义及关系，3、会确定函数解析式和自变量的取值范围。【学习重点】 理解函数的意义 【学习难点】 理解函数的意义 【学习过程】 课前导入

我们都知道用字母可以表示数，现在我们用x、y两个字母来表示任意实数，请一名同学赋予x任意一个值，老师说出一个与之对应的y值，探究x、y之间有什么样的关系。(y=2x)引出课题：变量与函数 出示学习目标 知识探究一：变量与常量

课前导入中我们得到了一个关于x、y的关系式y=2x，在这个关系式中，有哪些量是可以变化的？哪些量是不会变的？ 归纳总结：

在一个变化过程中，数值变化的量叫_______，数值始终不变的量叫________。

例：圆的周长公式 C2r ,在这个关系式中，_______是会变化的，叫_______，_______是不变的，叫________。知识探究二：自变量与函数 请同学们独立完成以下内容：

1、小明到商店买练习簿，每本单价2.5元，购买的总数x（本）与总金额y（元）的关系式，可以表示为y=__________；

2、圆的面积S与半径r的关系式S=___________；

3、n边形的内角和S与边数n的关系式S=___________ ；

4、等腰三角形的底角为x度，那么顶角y的度数用含x的式子表示为y=___________.思考：

1、以上四个关系式中，哪些是变量、哪些是常量？每个问题中都有几个变量？

2、同一个问题中的两个变量之间有什么联系？_______ 随着______ 的变化而变化？

自学课本73页思考下面的第一段话，总结归纳函数的概念：

一般的，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个______的值，y都有__________的值与其对应，那么就称y是x 的函数，其中x 是_________，如果当x=a时y=b，那么b叫做当自变量的值为a时的___________。

分组练习：关于变量x、y有如下关系：

1y2x4(2)y=x23yx

4y3x(5)y2=2x6yx

其中y是x的函数的有哪些？不是的请说明理由。知识探究三：确定函数解析式和自变量的取值范围 自学指导：自学完成课本73-74页例1

例1：汽车油箱中有汽油50L，如果不再加油，那么油箱中的油量y（单位：L）随行驶路程x（单位：km）的增加而减少，耗油量为0.1L/km。（1）写出表示y与x的函数关系的式子；（2）找出自变量x的取值范围；

（3）汽车行驶200km时，油箱中还有多少汽油？ 思考：确定函数自变量的取值范围时要考虑哪些因素？ 课堂小结

本节课你学会了什么？ 当堂检测

已知水池中有800立方米的水，每小时从水池中抽出50立方米的水，（1）写出剩余水的体积Q（立方米）与时间t（小时）之间的函数解析式；（2）写出自变量t的取值范围；（3）10小时后，水池中还有多少水？

第四篇：19.1.1变量与函数(第1课时)教学设计

19.1.1变量与函数（第1课时）

教学设计

梁河县河西中学

龚成

一.内容和内容解析 内容

人教版《义务教育教科书》数学八年级下册第19章一次函数——19.1.1变量与函数（第1 课时）.内容解析

函数是描述运动变化规律的重要数学模型，它刻画了变化过程中变量之间的对应关系.函数概念是中学数学的核心概念，是继续学习一次函数、二次函数、反比例函数等内容的基础.本节课是变量与函数的第1 课时，结合简单的实际问题，对事物的运动变化进行数量化讨论，先引出常量和变量的意义，再从描述变量之间对应关系的角度刻画了一般函数的特征，从而初步建立函数的概念.二.目标和目标解析 目标

1、探索简单实例中的数量关系和变化规律，了解常量、变量的意义；

2、从描述变量之间的对应关系初步理解函数的概念.目标解析：

《数学课程标准》中要求：探索简单实例中的数量关系和变化规律，了解常量、变量的意义；结合实例，了解函数的概念.根据《课标》要求，设置了如上目标,因为这是第一课时，将通过观察实际问题中两个变量之间的关系，当一个变量取定一个值时，既有通过通过公式确定另一个变量唯一的值，又有通过对应表格确定另一变量唯一的值，还有通过图象确定另一个变量唯一的，从而引出函数的概念.三.教学问题诊断分析

学生在七年级学习用字母表示数时，接触过当字母取值变化时，代数值的值随之变化.学生在生活中也具有对两个变量之间存在依存关系的体验，如气温随时间的变化而变化，单价固定时总价随着数量的变化而变化.尽管这些学习经验和生活经验可以帮助学生理解函数的含义，但是初次接触函数概念，学习中还是 会遇到很大困难.其中主要困难在于难以概括出“一个变量的值确定导致另一个变量取值的唯一确定”这一函数概念的核心，当一个变量的值取定时，另一变量怎样才算“唯一确定”？对此难点，通过公式、对应表格，还有图象让学生观察到当一个变量取定一个值时，另一个变量也有唯一确定的值与其对应.四.教学过程 1.情境引入

以摩天轮转动过程为背景，学生想象，随着时间的变化，离开地面的高度是如何变化的？ 2.探究新知

自主探究：通过学生较为熟悉的实际问题，让学生观察和分析实际问题中的数量关系的实际规律，使学生从中感受变量与常量的意义，领会和理解函数的基本概念.师生探究：设置了两个问题：①分析在变化过程（1）中两个变量之间的关系；② s是怎样随着t具体变化而变化呢？能用具体数值加以说明吗？逐步引导学生发现在上述四个问题中，当其中一个变量的值确定时，另一个变量的值也随之确定，这时并不急于给出函数概念.3.例题解析

设置了两个例题，目的在于引导学生观察，当一个变量的值确定的时候，我们不仅可以通过公式确定另一个变量的值，还可以通过对应表格确定另一变量唯一的值，还有通过图象确定另一个变量唯一的，从而引出函数的概念.4.当堂练习

以填空题、选择题和解答题三种形式设置题目，由易到难，分别考查学生对本节课所学习的知识点（变量、常量、自变量和函数）的掌握情况.5.课堂小结

针对本节课所学知识点作概括总结以及课堂上学生出现的问题进行反馈；鼓励学生在课堂上的表现.五.附

导学案

第五篇：变量与函数教学反思

《变量与函数》的教学反思

许小平

通过《变量与函数》的教学，本人对概念课的教学设计与教学实践有了更深入的了解．

本设计呈现的课堂结构为：（１）揭示学习目标；（２）引入数学原型；（３）抽象出数学现实，逐步达致数学形式化的概念；（４）巩固概念练习（概念辨析）；（５）小结（质疑）．

一、如何揭示学习目标

概念课的引入要考虑学生关心的如下问题：这节课学什么概念？为什么要学这样的概

念？数学源于生活而高于生活，数学概念的引入可从生活的需要、数学的需要等方面引入．初中涉及的函数概念的核心是“量与量之间的特殊对应关系”．本课中，本人在导言中提出两个问题：“引例1，《名侦探柯南》中有这样一个情景：柯南根据案发现场的脚印，锁定疑犯的身高．你知道其中的道理吗？”、“引例2.我们班中同学A与职业相扑运动员，谁的饭量大？你能说明理由吗？”学生对上述问题既熟悉又感到意外．问题1涉及两个量的关系，脚印确定，对应的身高有多个取值；问题2涉及多个量的关系．上述问题，不仅仅是引起学生的注意，更重要的是让学生了解客观世界中量与量之间联系的多样性、复杂性，而函数研究的正是量与量之间的各种关系中的“特殊关系”．数学研究有时从最简单、特殊的情况入手，化繁为简．让学生明确，这一节课我们只研究两个量之间的特殊对应关系．“特殊在什

么地方？”学生需带着这样的问题开始这一课的学习．概念的引入应具有“整体观”，不仅要提供符合函数原型的单值对应的实例，还应提供其他的量与量之间关系的实例（如多个量的对应关系、两个量间的“一对多”关系等），使学生在更广泛的背景中经历筛选、提炼出新的数学知识的过程，逐步领悟“化繁为简”的数学研究方法．当然，这里的问题是作为研究“背景”呈现，教学时应作“虚化”处理，以突出主要内容．

二、如何选取合适的数学原型

从数学的“学术形态”看，数学原型所蕴藏的数学素材应与数学概念的内涵相一致；从数学的“教育形态”看，数学原型应真实、简洁、简单．真实指的是基于学生的生活现实、数学现实，它可以是生活中的实例，也可以是学生熟悉的动漫故事、童话故事等．简洁、简单指的是问题的表述应简洁，问题情境的设置要尽可能简单，全体学生对情境中的问题不应存在太大的理解困难,设计的问题情境要能突出将要学习的新知识的本质．本设计采用了三个数学原型的问题：问题1，“票房收入与售出票数问题”（可用解析式表示）；问题２，成绩登记表中的一次数学测试的“成绩与学号问题”（表格表示）；问题3，“气温变化与时间问题”（图象表示）．这三个问题从不同层面、不同角度体现函数的“单值对应关系”，也都是学生生活中的真实问题，问题简单易懂，学生容易基于上述生活实例抽象出新的数学

概念．由于不少学生在理解“弹簧问题”时面临列函数关系式的困难，可能冲淡对函数概念的学习，故本节课没有采用该引例。对于繁难的概念，我们更应注重为学生构建学生所熟悉的、简单的数学现实，化繁为简、化抽象为形象．过难、过繁的背景会成为学生学习抽象新概念的拦路虎．

三、如何引领学生经历数学化、形式化的过程

“数学教学是数学活动的教学”，面对抽象的数学内容，老师会想方设法创设易于学生理解的数学情境．但如何从具体的实例中提炼出数学的素材、形式化为数学知识是教学的关键环节．从具体情境到数学知识的形式化，需要教师为学生搭建合适的“脚手架”，提出能引发学生思考、过渡到数学形式化的问题．本人在学生完成问题情境的几个问题后，提出系列问题“上述几个问题中，分别涉及哪些量的关系？哪些量的变化会引会另一个量的变化？

通过哪一个量可以确定另一个量？”在与学生的交流过程中把重点内容板书，板书注重揭示两个量间的关系，引领学生经历数学概念的形成过程，引导学生认识为什么要引进变量、常量．由问题1~3的共性“单值对应关系”与“脚印与身高”问题中反映的“一对多关系”进行对比抽象出函数的概念，逐步了解如何给数学概念下定义，并理解概念的本质特征．

四、如何引用反例

学生对概念的理解需要经历一个从模糊到清晰的过程，通过正例与反例的对照，才能准确理解概念的内涵．反例引用的时机、反例的量要恰到好处．过早、过多的反例会干扰学生

对概念的准确理解．概念生成的前期提供的各种量的关系中的实例提供的是一个更为广泛的背景，让学生经历从各种关系中抽象出“特殊的单值对应关系”，从而体会产生函数概念的背景．这样的引入有利于避免概念教学中“一个定义，三点注意”的倾向．

在备课时，我想从“气温问题”中的函数图象引导学生发现时间t取定一个值时，所得T的对应值只有一个,学生习惯性地提出问题“温度T取定一个值时，时间t 是否唯一确定？”全体同学从正反两个方面认识“唯一确定”的含义，在这样的基础上再归纳出函数的定义，学生较好地掌握函数中的单值对应关系．而在班上实际上课时，在概念的形成前期，忙中出漏，没有抓住“气温问题”中的函数图象讲解“唯一确定”，特别是没有从反面（温度T=8，时间t=12~14）帮助学生理解“唯一性”，也没有强化“脚印与身高”反映的“一对多关系”，只在涉及“单值对应关系”的实例基础上引出概念，也跳过后面提到的三个反例，学生在后面的概念辨析练习中错漏较多，为纠正学生的理解花了九牛二虎之力．