实际问题与反比例函数教学设计（模版）

第一篇：实际问题与反比例函数教学设计（模版）

实际问题与反比例函数 目标认知 学习目标

1．经历分析实际问题中变量之间的关系，建立反比例函数模型，进而解决问题的过程．

2．体会数学与现实生活的紧密联系，增强应用意识，提高运用代数方法解决问题的能力．

重点

掌握从实际问题中建构反比例函数模型．

难点

从实际问题中寻找变量之间的关系．

知识要点梳理

知识点一：反比例函数的应用

在实际生活问题中,应用反比例函数知识解题,关键是建立函数模型．即列出符合题意的反比例函数解析式,然后根据反比例函数的性质求解．

知识点二：反比例函数在应用时的注意事项

1．反比例函数在现实世界中普遍存在，在应用反比例函数知识解决实际问题时，要注意将实际问题转

化为数学问题．

2．针对一系列相关数据探究函数自变量与因变量近似满足的函数关系．

3．列出函数关系式后，要注意自变量的取值范围．

知识点三：综合性题目的类型

1．与物理学知识相结合：如杠杆问题、电功率问题等.2．与其他数学知识相结合：如反比例函数与一次函数的交点形成的直角三角形或矩形的面积．

规律方法指导

本节课研究了反比例函数的概念、图象和性质．这一节是本章的重要内容，重点介绍反比例函数在现实世界中无处不在，以及如何应用反比例函数的知识解决现实世界中的实际问题．学生要学会从现实生活常见的问题中抽象出数学问题，这样可以更好地认识反比例函数概念的实际背景，体会数学与实际的关系，即学生能深刻认识数学理论来源于实际又反过来服务实际这一认识论的方法．

经典例题透析 经典例题透析

类型一：反比例函数与一次函数相结合

1．如图1所示，一次函数的图象与反比例函数的图象交于M、N两点．

（1）求反比例函数和一次函数的解析式；

（2）根据图象，写出使反比例函数的值大于一次函数的值的x的取值范围．

思路点拨: 求一次函数解析式必须有两个点的坐标．由于M、N都在反比例函数图象上，从而求出M点的坐标．再由待定系数法求出一由反比例函数定义得 1 次函数解析式．根据数形结合的思想，求出反比例的图象在一次函数图象上方时x的取值范围．

解析：（1）∵M、N在反比例函数上

设一次函数解析式为

则，解得

故一次函数的解析式为图1

（2）由图象可知，当

时，反比例函数的值大于一次函数的值．

总结升华：（1）综合运用一次函数和反比例函数求解两种函数解析式，往往仍用待定系数法．（2）能通过观察图像得到所求信息是解决这类问题的关键。

举一反三：

【变式】已知反比例函数的图象与一次函数的图象交于A(2,1)。

(1)分别求出这两个函数的解析式；

(2)试判断A点关于坐标原点的对称点与两个函数图象的关系。

【答案】(1)因为点A(2,1)在反比例函数和一次函数的图象上，所以

解得：

＝2×1＝2，1＝，＝1．

×2－1，所以，反比例函数的解析式为： ；一次函数解析式为：．

(2)点A(2,1)关于坐标原点的对称点是A′(－2,－1)．

把A′点的横坐标代入反比例函数解析式得，所以，点A′在反比例函数图象上．

把A′点的横坐标代入一次函数解析式得，y＝－2－1＝－3，所以，点A′不在一次函数图象上．

类型二：反比例函数与三角形或四边形面积问题

2.如图2所示，A为反比例函数图象上的一点，AB垂直于x轴，垂足为B．若△AOB的面积为3，则反比例函数的解析式是什么？

思路点拨：因为点A在反比例函数第二象限的图象上，所以，由三角形面积公式可求得k，从而求出反比例函数解析式．

解析：∵函数图象分布在第二、四象限

∴k<0

设A点坐标为（x，y），则

∴反比例函数的解析式为.总结升华：反比例函数 的图象有这样一个重要性质：

如图3，P（x，y）是反比例函数的图象上的一点，过点P分别向x轴、y轴作垂线，垂足分别为M、N，连接OP，则可得矩形、三角形等基本图形的面积如下：

（1）

（2）

举一反三：

【变式1】如图4，反比例函数

（1）求A、B两点的坐标；

（2）求△AOB的面积。

与一次函数的图象相交于A、B两点。

【答案】（1）解方程组

得

所以A、B两点的坐标为A（-2，4），B（4，-2）

（2）因为

与y轴交点D的坐标是（0，2），所以，所以

【变式2】 如图5，和的图象与的图象分别交于第一象限内的两点A，C，过A，C分别向x轴作垂线，垂足分别为B，D，若直角三角形AOB与直角三角形COD的面积分别为有什么关系？

【答案】：设点A的坐标为（在，），则，求

与

所以

同理可得

所以。

。

类型三：反比例函数与实际问题相结合

面积3.一人站在平放在湿地上的木板上，当人和木板对湿地的压力一定时，随着木板的变化，人和木板对地面的压强p（Pa）将如何变化？如果人和木板对湿地地面的压力为600N，回答下列问题：

（1）用含S的代数式表示p，p是S的反比例函数吗？为什么？

（2）当木板面积为0.2m2时，压强是多少？

（3）如果要求压强不超过6000Pa，木板面积至少要多大？

（4）画出相应的函数图象．

思路点拨: 根据两个变量之间关系确定两个变量之间的函数关系式，首先要判断它属于哪一类函数，然后根据实际意义并注意自变量的取值范围，进而作出正确的函数的图象．

解析：随着木板面积

变小（大），压强p（Pa）将变大（小）．

（1），所以p是S的反比例函数，符合反比例函数的定义．

（2），所以面积为时，压强是．

（3）若压强，解得，故木板面积至少要.（4）函数图象如下图6所示：

总结升华：解决反比例函数与实际问题相结合的问题，要理解问题的实际意义及与之相关的数学知识和物理知识.反比例函数是解决现实世界反比例关系的有力工具.举一反三：

【变式1】要求取消市场上使用杆秤的呼声越来越高．原因在于，一些不法商贩在卖货时将秤砣挖空，或更换较小秤砣，使砣变轻，从而欺骗顾客．

（1）如图7、8所示，对于同一物体，哪个用了较轻的秤砣？

（2）在称同一物体时，秤砣到支点的距离y与所用秤砣质量x之间满足_____________关系．

（3）当砣变轻时，称得的物体变重，这正好符合哪个函数的哪些性质？

图7

图8

分析：设重物的质量为G（定值），重物的受力点到支点的距离为（定值），图

7、图8中、分别表示秤砣的受力点到支点的距离，根据杠杆原理得：物体的质量（G）与阻

或）与秤砣质量（x）的乘积． 力臂（）的乘积等于秤砣的受力点到支点的距离（解：（1）∵

∴

．

故图7中的秤砣较轻

（2）

∴y与x满足反比例函数关系

（3）符合反比例函数“在第一象限内，y随x的增大而减小”的性质．

【变式2】某玻璃器皿制造公司要制造一种容积为1升(1升＝1立方分米)的圆锥形漏斗，如右下图.(1)漏斗口的面积S与漏斗的深d有怎样的函数关系?

(2)如果漏斗口的面积为100厘米2，则漏斗的深为多少?

解：(1)根据圆锥体的体积公式，我们可以设漏斗口的面积为Scm，漏斗的深为dcm，则容积为1升＝l立方分米＝1000立方厘米．

所以，S·d＝1000，S＝． ,中，得

(2)根据题意把S＝100cm2代入S＝

100＝．

d＝30(cm)．

所以如果漏斗口的面积为100cm2，则漏斗的深为30cm．

学习成果测评 基础达标

1．如果双曲线

2．己知反比例函数____________．

经过点（2，－1），那么m=_____________.(x＞0)，y随x 的增大而增大，则m的取值范围是

3．在同一直角坐标系中，函数y=kx-k与(k≠0)的图象大致是（）.4．如果变阻器两端电压不变，那么通过变阻器的电流y与电阻x的函数关系图象大致是（）.7

A

B

C

D

5．如图1，在直角坐标系中，直线与轴交于点C，AB⊥轴，垂足为B，且

（1）求

的值；（2）若△ABC的面积是

与双曲线.在第一象限交于点A，求线段AB的长度？

6．已知一次函数的图象与双曲线交于点(，)，且过点(，)，（1）求该一次函数的解析式；

（2）描出函数草图，根据图象写出使一次函数的值大于反比例函数的值的的取值范围.能力提升

1．已知：（的大小关系，）和（，）是双曲线上两点，当＜＜0时，与

是_____________.2．给出下列函数：(1)y=2x;(2)y=-2x+1;(3)y=(x＞0)(4)y=(x＜0)其中，y随x的增大而减小 的函数是（）.A.（1），（2）

B.（1），（3）

C.(2)，(4)

D.（2），（3）

3．设双曲线y=与直线y=-x+1相交于点A、B，O 为坐标原点，则∠AOB是（）.A.锐角

B.直角

C.钝角

D.锐角或钝角

4．在直角坐标系中，直线y=x与函数y=

(x＞0)的图象相交于点A，设点A的坐标为(x，y)，那么长为

x,宽为y的矩形面积和周长分别为().A．4，8

B．8，1

2C．4，6

D．8,6

5.在压力不变的情况下，某物体承受的压强p（Pa）是它的受力面积S（m2）的反比例函数，其图象如

图1所示．

(1)求p与S之间的函数关系式；

(2)求当S＝0.5 m2时物体承受的压强p．

6．如图2，A为双曲线上一点，过A作AC⊥x轴，垂足为C，且．

（1）求该反比例函数解析式；

（2）若点(-1, 的大小．),(-3，)在双曲线上，试比较、图

1图2

7.如图3，已知一次函数的图象与反比例函数，的图象交于A、B两点，且点A的横坐标和点B的纵坐标都是

求：（1）一次函数的解析式；

（2）△AOB的面积． 综合探究

1.在一个可以改变容积的密闭容器内，装有一定质量m的某种气体，当改变容

积V时，气体的密度也随之改变．与V在一定范围内满足

象如图1所示，则该气体的质量m为（）.A.1.4kg

B.5kg

C.6.4kg

D.7kg

2.反比例函数

是（）.，当，它的图

时，y随x的增大而增大，则m的值

A.B.小于的实数

C.D.1

3.一辆汽车往返于甲、乙两地之间，如果汽车以50千米／时的平均速度从甲地出发，则经过6小时可到达乙地．

(1)甲、乙两地相距多少千米?

(2)如果汽车把速度提高到v(千米／时)那么从甲地到乙地所用时间t(小时)将怎样变化?

(3)写出t与v之间的函数关系式；

(4)因某种原因，这辆汽车需在5小时内从甲地到达乙地，则此时汽车的平均速度至少应是多少?

(5)已知汽车的平均速度最大可达80千米／时，那么它从甲地到乙地最快需要多长时间? 答案与解析 基础达标

1．–2（提示：考察反比例函数的定义）

2．m＜1（提示：考察反比例函数的基本性质）

3．D（提示：分k＞0,k＜0进行讨论）

4．B（提示：应用物理学的知识：U=I×R）

5．(1)2（提示：因为A点在反比例函数的图像上所以三角形的面积= m值的一半，所以m=2）

(2)1+（提示：借助△AOC的面积求值）

6．(1)y=–x+1（提示：先求m的值，再求一次函数的解析式）

(2)（图略）x＜–1或0＜x＜2

（提示：由题意得，即，则

或

.）

能力提升

1．＜(提示：本题反比例函数的解析式为，k=-5＜0,基本性质是：在各自象限内y随x的

增大而增大)

2．D（提示：综合考察集中函数图像的性质）

3．D（提示：k＞0时交点在第一象限，夹角为锐角；k＜0时交点在二、四象限，夹 10 角为钝角）

4．A（提示：根据图像和解析式先求出A点的坐标，再求周长和面积）

5.解：（1）设所求函数解析式为p=k/s,把（0.25,1000）代入解析式，得1000=k/0.25, 解得k=250

∴所求函数解析式为p=250/s（s＞0）

（2）当s=0.5时，p=500(Pa)

6.分析：本题意在考查反比例函数解析式的求法以及利用反比例函数的性质解题．注意本题虽然求不出点A的坐标，但由△AOC的面积可求出k的值．

解：(1)设所求函数解析式为y=k/x, A点坐标为(x,y)

∴OC=x,AC=y

∵=OC·AC=xy=2 即 xy=4

∴ k=xy=4

∴ 所求的函数解析式为y=4/x

(2)∵k=4＞0，所以在每个象限内y随 x的增大而减小．

∵-1＞-3，∴y1＜ y2

7.分析：本题意在考查函数图象上的点的坐标与函数解析式之间的的关系以及平面直角坐标系中几何图形面积的求法，要注意的是一次函数解析式的关键是求出A、B两点的坐标，而A、B两点又在双曲线上，因此它们的坐标满足反比例函数解析式；在第(2)小题中，知道A、B两点的坐标就可知道它们分别到x轴、y轴的距离．

解：(1)当x=-2时，代入得y=4

当y=-2时，x=4

∴A点坐标为(-2，4)，B点坐标为(4，-2)．

将它们分别代入y=kx+b得：

∴所求直线AB的解析式为y=-x+2

(2)设直线AB与y轴交于点C，则C点坐标为(0，2)．

∴OC=2

=×2×∣-2∣+ ×2×4=6 综合探究

1.D（提示：由题意知，当V=5时，2.C(提示：由题意，得

,当，故，故选D．)，故时，y随x的增大而增大，因此舍去．故，选C．)

3.本题可以通过计算解决以上问题，也可以根据函数的图象对问题进行解释，通过两种方法的比较，可以加深对这类问题的理解．

解：(1)50×6＝300(千米)；

(2)t将减小；

(3)t＝；

(4)由题意可知≤5，∴v≥60(千米／时)；

(5)t＝＝3.75（小时）.12

第二篇：实际问题与反比例函数(教学设计)

26.2 实际问题与反比例函数 第1课时 实际问题与反比例函数（1）

——面积问题与装卸货物问题

一、新课导入 1.课题导入

前面我们结合实际问题讨论了反比例函数，看到了反比例函数在分析和解决问题中所起的作用.这节课我们进一步探讨如何利用反比例函数解决实际问题.2.学习目标

(1)掌握常见几何图形的面积（体积）公式.(2)能利用工作总量、工作效率和工作时间的关系列反比例函数解析式.(3)从实际问题中抽象出数学问题，建立函数模型，运用所学的数学知识解决实际问题.3.学习重、难点

重点：面积问题与装卸货物问题.难点：分析实际问题中的数量关系，正确写出函数解析式.二、分层学习

1.自学指导

（1）自学内容：教材P12例1.（2）自学时间：8分钟.（3）自学指导：抓住问题的本质和关键，寻求实际问题中某些变量之间的关系.（4）自学参考提纲：

①圆柱的体积=底面积×高，104教材P12例1中，圆柱的高即是d，故底面积S.d②P12例1的第(2)问实际是已知S=500，求d.③例1的第(3)问实际是已知d=15，求S.④如图，科技小组准备用材料围建一个面积为60 m2的矩形科技园ABCD，其中一边AB靠墙，墙长为12 m，设AD的长为x m，DC的长为y m.a.求y与x之间的函数关系式；y60 xb.若围成矩形科技园ABCD的三边材料总长不超过26 m，材料AD和DC的长都是整米数，求出满足条件的所有围建方案.(AD=5 m,DC=12 m;AD=6 m,DC=10 m;AD=10 m,DC=6 m.)2.自学：学生可结合自学指导进行自学.3.助学（1）师助生：

①明了学情：了解学生是否掌握利用面积（体积）公式列反比例函数关系式.②差异指导：辅导关注学困生.（2）生助生：同桌之间、小组内交流、研讨.4.强化

(1)教材例1的解题思路和解答过程.(2)面积公式与体积公式中的反比例关系.(3)练习：已知某矩形的面积为20 cm2.①写出其长y与宽x之间的函数表达式；

②当矩形的长为12 cm时，宽为多少?当矩形的宽为4 cm，长为多少? ③如果要求矩形的长不小于8 cm，其宽最多是多少？ 答案：①y2055②cm;5 cm③cm x32

1.自学指导

（1）自学内容：教材P13例2.（2）自学时间：5分钟.（3）自学方法：认真分析例题，积极思考，结合自学参考提纲自学.（4）自学参考提纲：

①工作总量、工作时间和工作效率（或速度）之间的关系是怎样的？

②教材例2中这艘船共装载货物240吨，卸货速度v（吨/天）与卸货时间t（天）的关系是v240.t③如果列不等式求“平均每天至少要卸载多少吨”，你会怎样做？写出你的解答过程.④一司机驾汽车从甲地去乙地，以80千米/小时的平均速度用6小时到达目的地.a.当他按原路匀速返回时，汽车速度v（千米/小时）与时间t（小时）有怎样的函数关系？v480 tb.如果该司机必须在4小时之内返回甲地，则返程时的速度不得

低于多少？(120千米/小时)c.若返回时，司机全程走高速公路，且匀速行驶，根据规定：最高车速不得超过120千米/小时，最低车速不得低于60千米/小时，试问返程所用时间的范围是多少？（4~8小时）

2.自学：学生可结合自学指导进行自学.3.助学（1）师助生：

①明了学情：了解学生是否会列函数关系式，是否会根据反比例函数关系解决实际问题.②差异指导：指导学生从形式和自变量的取值范围两个方面对比正比例函数理解反比例函数.（2）生助生：同桌之间、小组内交流、研讨.4.强化

（1）教材例2的解题思路和解答过程.（2）练习：某学校食堂为方便学生就餐，同时又节约成本，常根据学生多少决定开放多少售饭窗口，假定每个窗口平均每分钟可以售饭给3个学生，开放10个窗口时，需1小时才能对全部学生售饭完毕.①共有多少学生就餐？

②设开放x个窗口时，需要y小时才能让当天就餐的同学全部买上饭，试求出y与x之间的函数关系式；

③已知该学校最多可以同时开放20个窗口，那么最少多长时间可以让当天就餐的学生全部买上饭？

答案：①1800个；②y

三、评价

10;③30分钟.x 4

1.学生自我评价.2.教师对学生的评价：（1）表现性评价；（2）纸笔评价（评价检测）.3.教师的自我评价（教学反思）.函数是初中数学的难点之一，当函数遇到实际应用，可谓是难上加难，但也使解题多了几种途径.对于这些实际问题，要善于运用函数的观点去处理.因此在教学过程要注意培养学生的审题能力，理解文字中隐藏的已知条件，合理地建立函数模型，然后根据模型找出实际生活中的数据与模型中的哪些量相对应.将实际问题置于已有的知识背景中，用数学知识重新解释这是什么，可以是什么，逐步培养解决实际问题的能力.一、基础巩固（70分）

1.(10分)某轮船装载货物300吨，到港后，要求船上货物必须不超过5日卸载完毕，则平均每天至少要卸载（B）

A.50吨 B.60吨 C.70吨 D.80吨

2.(10分)用规格为50 cm×50 cm的地板砖密铺客厅恰好需要60块．如果改用规格为a cm×a cm的地板砖y块也恰好能密铺该客厅，那么y与a之间的关系为（A）

A.y***0

2y B.C.y=150000a D.y=150000a a2a3.(10分)如果以12 m3/h的速度向水箱注水，5 h可以注满.为了赶时间，现增加进水管，使进水速度达到Q（m3/h），那么此时注满水箱所需要的时间t（h）与Q（m3/h）之间的函数关系为（A）

A.t606060 B.t=60QC.t12 D.t12 QQQ4.(10分)如果等腰三角形的底边长为x，底边上的高为y，当

它的面积为10时，x与y 的函数关系式为（D）

A.y105x20 B.y C.y D.y xx20x135.(10分)已知圆锥的体积V＝Sh（其中S表示圆锥的底面积，h表示圆锥的高）．若圆锥的体积不变，当h为10 cm时，底面积为30 cm2，则h关于S的函数解析式为h300.S6.(10分)小艳家用购电卡购买了1000度电，那么这些电能够使用的天数m与小艳家平均每天的用电度数n有怎样的函数关系？如果平均每天用电4度，这些电可以用多长时间？

解：m1000;250天.n7.(10分)某农业大学计划修建一块面积为2×106 m2的长方形试验田.（1）试验田的长y（单位：m）关于宽x（单位：m）的函数关系式是什么？

（2）如果试验田的长与宽的比为2∶1，则试验田的长与宽分别是多少？

2106解：（1）y;(2)长：2×103 m，宽：103 m.x

二、综合应用（20分）

8.(10分)某地计划用120~180天（含120天与180天）的时间建设一项水利工程，工程需要运送的土石方总量为360万立方米.（1）写出运输公司完成任务所需的时间y（单位：天）与平均每天的工作量x（单位：万立方米）之间的函数关系式，并给出自变量x的取值范围；

（2）由于工程进度的需要，实际平均每天运送土石方比原计划

多5000立方米，工期比原计划减少了24天，原计划和实际平均每天运送土石方各是多少万立方米？

解：（1）y360(2≤x≤3);x（2）设原计划每天运送土石方x万立方米，实际每天运送土石方（x+0.5）万立方米.则36036024.解得 x=2.5.（x0.5）x因此，原计划每天运送土石方2.5万立方米，实际每天运送土石方3万立方米.9.(10分)正在新建中的住宅楼主体工程已经竣工，只剩下楼体外表面需要贴瓷砖，已知楼体外表面的面积为5×103 m2.(1)所需瓷砖的块数n与每块瓷砖的面积S有怎样的函数关系？(2)为了使住宅楼的外观更漂亮，开发商决定采用灰、白和蓝三种颜色的瓷砖，每块砖的面积都是80 cm2，灰、白、蓝瓷砖使用比例为2∶2∶1，则需三种瓷砖各多少块？

解：（1）n=5×103S；

（2）设需灰、白、蓝三种瓷砖分别为2x、2x、x块.（2x+2x+x）·80=5×103×104

x=1.25×105

因此，需灰、白、蓝三种瓷砖分别为2.5×105块、2.5×105块、1.25×105块.三、拓展延伸（10分）

10.(10分)水产公司有一种海产品共2104千克，为寻求合适的销售价格，进行了8天试销，试销情况如下：

观察表中数据，发现这种海产品每天的销售量y（千克）是销售价格x（元/千克）的函数，且这种函数是反比例函数、一次函数中的一种.（1）请你选择一种合适的函数，求出它的函数关系式，并简要说明不选择另外一种函数的理由；

（2）在试销8天后，公司决定将这种海产品的销售价格定为150元/千克，并且以后每天都按这个价格销售，那么余下的这些海产品预计再用多少天可以全部售出？

（3）在按（2）中定价继续销售15天后，公司发现剩余的这些海产品必须在不超过2天内全部售出，此时需要重新确定一个销售价格，使后面两天都按新的价格销售，那么新确定的价格最高不超过每千克多少元才能完成销售任务？

解：（1）y关系.（2）30+40+48+（2104-504）÷

12000+60+80+96+100=504(千克)，24012000=20（天）.15012000÷2=200（千克），12000÷200=60（元/15012000；不选一次函数是因为y与x之间不成正比例x（3）（20-15）×千克）.

第三篇：《实际问题与反比例函数(三)》教学设计

《实际问题与反比例函数(三)》教学设计

教学目标

1.能灵活列反比例函数表达式解决一些实际问题.2.能综合利用物理杠杆知识、反比例函数的知识解决一些实际问题.3.体会数学与现实生活的紧密联系,增强应用意识,提高运用代数方法解决问题的能力.4.体验反比例函数是有效地描述物理世界的重要手段,认识到数学是解决实际问题和进行交流的重要工具。

教学重点

1.掌握从物理问题中建构反比例函数模型.教学难点

2.从实际问题中寻找变量之间的关系,关键是充分运用所学知识分析物理问题,建立函数模型,教学时注意分析过程,渗透数形结合的思想.教学过程

一、创设问题情境,引入新课 活动 问题：在物理学中,有很多量之间的变化是反比例函数的关系,因此,我们可以借助于反比例函数的图象和性质解决一些物理学中的问题，这也称为跨学科应用.下面的例子就是其中之一。

1.在某一电路中,保持电压不变,电流I和电阻R成反比例,当电阻R=5欧姆时,电流I=2I.(1)求I与R之间的函数关系式;(2)当电流I=0.5时,求电阻R的值.师生行为

1.可由学生独立思考,领会反比例函数在物理学中的综合应用.2.教师应给“学困生” 一点物理学知识的引导.分析:从题目中提供的信息看变量I与R之间的反比例函数关系,可设出其表达式，再由已知条件（I与R的一对对应值）得到字母系数k的值。

kk10解：设I∵R=5，I=2，于是2，所以k=10，∴I

5RR101020（欧姆）（2）当I=0.5时，RI0.5“给我一支点,我可以把地球撬动.”这是哪一位科学家的名言?这里瘟涵着什么样的原理呢?这是古希腊科学家阿基米得的名言。公元前3世纪，古希腊科学家阿基米得发现了著名的“杠杆定律”：若两物体与支点的距离反比与其重量，则杠杆平衡，通俗一点可以描述为

阻力×阻力臂=动力×动力臂 下面我们就来看一例子。

二、讲授新课 活动2 【例3】小伟欲用撬棍撬动一块大石头，已知阻力和阻力臂不变，分别为1200牛顿和0.5米，（1）动力F与动力臂l有怎样的函数关系式？当动力臂为1。5米时，撬动石头至少需要多大的力？

（2）若想使动力F不超过题（1）中所用力的一半，遇动力臂至少要加长多少？ 师生行为：先由学生根据 “杠杆定律”解决上述问题。教师可引导学生揭示“杠杆平衡”与“反比例函数”之间的关系。教师在此活动中应重点关注：

① 学生能否主动用“杠杆定律”中杠杆定律中杠杆平衡的条件去理解实际问题，从而建立与反比例函数的关系；

② 学生能否面对困难，认真思考，寻找解题的途径；

③ 学生能否积极主动地参与数学活动，对数学和物理有着浓厚的兴趣。分析：“撬动石头”就意味着达到了“杠杆平衡”，因此可用“杠杆定律”来解决此问题。解：（1）根据 “杠杆定律”有

600Fl12000.5。得F。

l600400.当l=1.5时,F1.5因此，撬动石头至少需要400牛顿的力。（3）若想使动力F不超过题（1）中所用的一半，即不超过200牛，根据“杠杆定律”有

600F·l=600，l。

F16003 当F400200时，l22003－1.5=1.5（米）

因此，若想用力不超过400牛顿的一半，则动力臂至少要加长1.5米。想想还有哪些方法可以解决这个问题？

思考：用反比例函数的知识解释：在我们使用撬棍时，为什么动力臂越长越省力？ 总结：其实反比例函数在实际运用中非常广泛。例如在解决经济预算中的应用。活动3 问题：某地上电价为0.8元，年用电量为1亿度，本计划将电价调至0.55～0.75元之间，经测算，若电价调至x元，则本新增用电量y（亿度）与（x－0.4）元成反比例。又当x=0.65时，y=0.8。

（1）求y与x之间的函数关系式；（2）若每度电的成本价0.3元，电价调至0.6元时，请你预算一下本电力部门的纯收入是多少？

师生行为：由学生先独立思考，然后小组内讨论完成。教师应给以“学困生”一定的帮助。

解：（1）∵y与x成反比例，kk0.∴设yx0.4k把x=0.65，y=0.8。代入y，得

x0.4k0.8

0.650.4解得k=0.2 0.21∴y。x0.45x21∴y与x之间的函数关系为y

5x2（2）根据题意，本电力部门的纯收入为

0.60.31y0.31110.310.320.6（亿元）5x20.652答：本的纯收入为0.6亿元。

师生共析：（1）由题目提供的信息知y与x之间是反比例函数关系，把x－0.4看成一个变量，于是可设出表达式，再由题目的条件x=0.65时，y=0.8得出字母系数的值；

（2）纯收入=总收入－总成本。

三、巩固提高 活动4 练习：见教材p62－5题

师生行为：由学生独立完成，教师讲评。

四、课时小结 活动5 你对本节内容有哪些认识？重点掌握利用函数关系解决实际问题，首先列出函数关系式，利用待定系数法求出解析式，再根据解析式解得。

师生行为：学生可分小组活动，在小组内交流收获，然后由小组代表在全班交流。教师组织学生小结。

反比列函数与现实生活联系非常紧密特别是为讨论物理中的一些量之间的关系打下良好的基础。用数学模型来解释物理量之间的关系浅显易懂，同时不仅要注意跨学科间的综合，而本学科之间的整合也尤为重要，例如方程、不等式、函数间的不可分割关系。

第四篇：《实际问题与反比例函数》参考教案

26.2 实际问题与反比例函数（1）

教学目标

一、知识与技能

1．能灵活列反比例函数表达式解决一些实际问题．

2．能综合利用几何、方程、反比例函数的知识解决一些实际问题．

二、过程与方法

1．经历分析实际问题中变量之间的关系，建立反比例函数模型，进而解决问题．

2．体会数学与现实生活的紧密联系，增强应用意识，提高运用代数方法解决问题的能力．

三、情感态度与价值观

1．积极参与交流，并积极发表意见．

2．体验反比例函数是有效地描述现实世界的重要手段，认识到数学是解决实际问题和进行交流的重要工具．

教学重点

掌握从实际问题中建构反比例函数模型． 教学难点

从实际问题中寻找变量之间的关系．关键是充分运用所学知识分析实际情况，建立函数模型，教学时注意分析过程，渗透数形结合的思想．

教学过程

一、创设问题情境，引入新课 活动1 问题：某校科技小组进行野外考察，途中遇到一片十几米宽的烂泥湿地，为了安全，迅速通过这片湿地，他们沿着前进路线铺垫了若干块木板，构筑成一条临时通道，从而顺利完成了任务的情境．

(1)请你解释他们这样做的道理．

(2)当人和木板对湿地的压力一定时，随着木板面积S(m2)的变化，人和木板对地面的压强p(Pa)将如何变化?(3)如果人和木板对湿地的压力合计600N，那么： ①用含S的代数式表示P，P是S的反比例函数吗?为什么?

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②当木板面积为0.2m2时，压强是多少? ③如果要求压强不超过6000Pa，木板面积至少要多大? ④在直角坐标系中，作出相应的函数图象．

⑤请利用图象对(2)(3)作出直观解释，并与同伴交流． 设计意图：

展示反比例函数在实际生活中的应用情况，激发学生的求知欲和浓厚的学习兴趣．

师生行为：

学生分四个小组进行探讨、交流．领会实际问题的数学煮义，体会数与形的统一．

教师可以引导、启发学生解决实际问题． 在此活动中，教师应重点关注学生：

①能灵活列反比例函数表达式解决一些实际问题； ②能积极地与小组成员合作交流； ③是否有强烈的求知欲．

生：在物理中，我们曾学过，当人和木板对湿地的压力一定时，随着木板面积S的增大，人和木板对地面的压强p将减小．

生：在(3)中，①p＝

(S＞0)p是S的反比例函数；②当S＝ 0.2m2时．p＝3000Pa；③如果要求压强不超过6000Pa，根据反比例函数的性质，木板面积至少0.1m2；那么，为什么作图象在第一象限作呢?因为在物理学中，S＞0，p＞0．④图象如下图

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师：从此活动中，我们可以发现，生活中存在着大量的反比例函数的现实．从这节课开始我们就来学习“17．2实际问题与反比例函数”，你会发现有了反比例函数，很多实际问题解决起来会很方便．

二、讲授新课 活动2 [例1]市煤气公司要在地下修建一个容积为104m3的圆柱形煤气储存室．(1)储存室的底面积S(单位：m2)与其深度d(单位：m)有怎样的函数关系?(2)公司决定把储存室的底面积S定为500m2，施工队施工时应该向下挖进多深?(3)当施工队按(2)中的计划挖进到地下15m时，碰上了坚硬的岩石，为了节约建设资金，公司临时改变计划把储存室的深改为15m，相应的，储存室的底面积应改为多少才能满足需要(保留两位小数)．

设计意图：

让学生体验反比例函数是有效地描述现实世界的重要手段，让学生充分认识到数学是解决实际问题和进行交流的重要工具，此活动让学生从实际问题中寻找变量之间的关系．而关键是充分运用反比例函数分析实际情况，建立函数模型，并且利用函数的性质解决实际问题．

师生行为：

先由学生独立思考，然后小组内合作交流，教师和学生最后合作完成此活动． 在此活动中，教师有重点关注： ①能否从实际问题中抽象出函数模型； ②能否利用函数模型解释实际问题中的现象； ③能否积极主动的阐述自己的见解．

生：我们知道圆柱的容积是底面积×深度，而现在容积一定为104m3，所以S·d＝104．

变形就可得到底面积S与其深度d的函数关系，即S＝所以储存室的底面积S是其深度d的反比例函数．

．

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生：根据函数S＝，我们知道给出一个d的值就有唯一的S的值和它相对应，反过来，知道S的一个值，也可求出d的值．

题中告诉我们“公司决定把储存室的底面积5定为500m2，即S＝500m2，”施工队施工时应该向下挖进多深，实际就是求当S＝ 500m2时，d＝?m．根据S＝,得500＝，解得d＝20．

即施工队施工时应该向下挖进20米．

生：当施工队按(2)中的计划挖进到地下15m时，碰上了坚硬的岩石．为了节约建设资金，公司临时改变计划，把储存室的深度改为15m，即d＝15m，相应的储存室的底面积应改为多少才能满足需要；即当d＝15m，S＝?m2呢? 根据S＝，把d＝15代入此式子，得S＝≈666.67．

当储存室的探为15m时，储存室的底面积应改为666.67m2才能满足需要． 师：大家完成的很好．当我们把这个“煤气公司修建地下煤气储存室”的问题转化成反比例函数的数学模型时，后面的问题就变成了已知函数值求相应自变量的值或已知自变量的值求相应的函数值，借助于方程，问题变得迎刃而解，三、巩固提高 活动3 练习：如图，某玻璃器皿制造公司要制造一种窖积为1升(1升＝1立方分米)的圆锥形漏斗．

(1)漏斗口的面积S与漏斗的深d有怎样的函数关系?(2)如果漏斗口的面积为100厘米2，则漏斗的深为多少? 设计意图：

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让学生进一步体验反比例函数是有效地描述现实世界的重要手段，让学生充分认识到数学是解决实际问题和进行交流的重要工具，更进一步激励学生学习数学的欲望．

师生行为：

由两位学生板演，其余学生在练习本上完成，教师可巡视学生完成情况，对“学困生”要提供一定的帮助，此活动中，教师应重点关注：

①学生能否顺利建立实际问题的数学模型；

②学生能否积极主动地参与数学活动，体验用数学模型解决实际问题的乐趣；

③学生能否注意到单位问题．

生：解：(1)根据圆锥体的体积公式，我们可以设漏斗口的面积为Scm，漏斗的深为dcm，则容积为1升＝l立方分米＝1000立方厘米．

所以，S·d＝1000，S＝

． ,中，得100＝，d＝30(cm)．(2)根据题意把S＝100cm2代入S＝所以如果漏斗口的面积为100cm2，则漏斗的深为30cm． 活动4 练习：(1)已知某矩形的面积为20cm2，写出其长y与宽x之间的函数表达式．(2)当矩形的长为12cm时，求宽为多少?当矩形的宽为4cm，求其长为多少?(3)如果要求矩形的长不小于8cm，其宽至多要多少? 设计意图：

进一步让学生体会从实际问题中建立函数模型的过程，即将实际问题置于已有的知识背景之中，然后用数学知识重新理解这是什么?可以看成什么? 师生行为

由学生独立完成，教师根据学生完成情况及时给予评价． 生：解：(1)根据矩形的面积公式，我们可以得到20＝xy． 所以y＝，即长y与宽x之间的函数表达式为y＝

．

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(2)当矩形的长为12cm时求宽为多少?即求当y＝12cm时，x＝?cm，则把y＝12cm代入y＝中得12＝，解得x＝(cm)．

当矩形的宽为4cm，求长为多少?即当x＝4cm时，y＝?cm，则 把x＝4cm代入y＝

中，有y＝

＝5(cm)．

所以当矩形的长为12cm时，宽为cm；当矩形的宽为4cm时，其长为5cm．

(3)y＝小于8cm，此反比例函数在第一象限y随x的增大而减小，如果矩形的长不即y≥8cm，所以 即宽至多是m．

≥8cm，因为x＞0，所以20≥8x．x≤(cm)．

四、课时小结

本节课是用函数的观点处理实际问题，并且是蕴含着体积、面积这样的实际问题，而解决这些问题，关键在于分析实际情境，建立函数模型，并进一步明确数学问题，将实际问题置于已有的知识背景之中，用数学知识重新解释这是什么?可以是什么?逐步形成考察实际问题的能力，在解决问题时，应充分利用函数的图象，渗透数形结合的思想．

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第五篇：《实际问题与反比例函数》说课稿

一、数学本质与教学目标定位

《实际问题与反比例函数（第三课时）》是新人教版八年级下册第十七章第二节的课题，是在前面学习了反比例函数、反比例函数的图象和性质的基础上的一节应用课。体现反比例函数是解决实际问题有效的数学模型，经历“找出常量和变量，建立并表示函数模型，讨论函数模型，解决实际问题“的过程。

本节课的教学目标分以下三个方面：

1、知识与技能目标：

（1）通过对“杠杆原理”等实际问题与反比例函数关系的探究，使学生能够从函数的观点来解决一些实际问题；

（2）通过对实际问题中变量之间关系的分析，建立函数模型，运用已学过的反比例函数知识加以解决，体会数学建模思想和学以致用的数学理念。

2、能力训练目标

分析实际问题中变量之间的关系，建立反比例函数模型解决问题，进一步运用函数的图像、性质挖掘杠杆原理中蕴涵的道理。

3．情感、态度与价值观目标：

（1）利用函数探索古希腊科学家阿基米德发现的“杠杆定律”，使学生的求知欲望得到激发，再通过自己所学知识解决了身边的问题，大大提高了学生学习数学的兴趣。

（2）训练学生能把思考的结果用语言很好地表达出来，同时要让学生很好地交流和合作．

二、学习内容的基础以及其作用

在17.1学习了反比例函数的概念及函数的图像和性质基础上，《实际问题与反比例函数》这一节重点介绍反比例函数在现实生活中的广泛性，以及如何应用反比例函数的知识解决现实生活中的实际问题。

本节课的探究的例题和练习题都是现实生活中的常见问题，反映了数学与实际的关系，即数学理论来源于实际又发过来服务实际，这样有助于提高学生把抽象的数学概念应用于实际问题的能力。在数学课上涉及了物理学力学的实际问题，运用到古希腊科学家阿基米德发现的“杠杆定理”，其本质体现的是力与力臂两个量的发比例关系，最后落实到运用数学来解决。通过学习，让学生进一步加深对反比例函数的运用和理解，更深层次体会建立反比例模型解决实际问题的思想，巩固和提高所学知识，鼓励学生将所学知识应用到生活中去。