5.2任意角的三角比教案

第一篇：5.2任意角的三角比教案

5.2课题：任意角的三角比（2）教案

教学目的：

1、掌握三角比在各个象限的符号规律以及诱导公式一。

2、会用三角比的定义得到公式一，并能用公式一将任意角的正弦、余弦、正切的三角比分别转化为0°到360°的角的同一三角比。

教学重点：利用三角比的定义得出：三角比在各象限的符号特点及公式一。教学过程：

（一）、引入

一、任意角三角比的定义：

设是一个任意角，的终边上任意一点P的坐标是(x,y)，P与原点的距离rx2y2，则sin=

yxyxrr，cos=，tan=，cot=, sec=, sec=

rxxxry二、三角比的值的号是有什么元素确定的？

由三角比的定义知道：三角比的值的符号是有角的终边确定的。

（二）、新课 一、三角比在各象限的符号的确定 由三角比的定义，以及各象限内点的坐标的符号，可以得知三角比的值在各象限的符号：

y y y O x O x O x yxsin cos tanrrrrcsc sec cotyxyxx y

二、诱导公式一

因为角的三角比值是由的终边位置决定的，所以所有终边相同的角的三角比值是相同的。

诱导公式一：

sin(2k)sin(kZ)cos(2k)cos(kZ)tan(2k)tan(kZ)cot(2k)cot(kZ)

三、典型例题（3个，基础的或中等难度）例

1、确定下列三角比的符号：

11(1)cos2500(2)sin()(3)tan(6720)(4)tan

43解：(1)∵250°角属于第三象限角, ∴cos250°<0(2)∵4角属于第四象限角, ∴sin(4)<0(3)∵tan(6720)tan(48023600)tan480.而48°角属于第一象限角, ∴tan(6720)>0(4)∵tan11tan(4)tan(),角属于第四象限角，333311tan()0∴tan<0

例

2、求下列三角比：

911(1)cos;(2)tan()（3）sin1485°

469112解：(1)coscos(2)cos。

4442113。(2)tan()cos(2)cos6663(3)sin1485°=sin(4×360°+45°)=sin45°=

2。2例3：求证角θ是第三象限角的充分必要条件是sin0 ．

tan0证明:(1)必要性, ∵角θ是第三象限角,p(x,y)为终边上任意一点(非原点)，则x<0，y<0，r=x2y20, ∴sinθ<0且tanθ>0，即sin0

tan0(2)充分性

∵sinθ<0, ∴θ角终边可能位于第三、第四象限或y轴的负半轴上。又tanθ>0，∴θ角终边可能位于第一、第三象限。因此，θ角终边只可能位于第三象限。故命题得证。

五、课堂练习（2个，基础的或中等难度）

1、求下列各三角比：（1）cos10935)；；（2）tan(-（3）sin(-315°)631311·cot为_______； 5472、确定下列各题的符号： sin125°·cos175°为_______；tan517cos8为________；10为______。

32cscsec45sin

六、拓展探究（2个）

1、已知角的终边过点(3a-9，a+2)，且cos≤0,sin>0，则的取值范围是_____。

2、已知集合A={y|y=

|sinx|cosx|tanx|}，用列举法表示集合A是_________。sinx|cosx|tanx1091=cos(36π+)=cos=； 3332答案：五：

1、（1）cos（2）tan(-

335)=tan(-6π+)=tan=； 66632。2（3）sin(-315°)=sin(-360°+45°)=sin45°=

2、负；负；正；正 六：

1、；由题意知3a90，a的取值范围是(-2，3]。

a202、当x在第一象限时，y=3； 当x在第二象限时，y=-1； 当x在第三象限时，y=-1； 当x在第四象限时，y=-1。∴A={-1，3}

（三）、小结

三角比的符号规律和诱导公式一。

（四）、作业课外作业：（6+2填空，3+1选择，3+1解答，其中+后面的题目可以难些用“*”注明）

一、填空题

1、判断三角比的符号：cos722°_______；tan1230°______。（填“正”或“负”）

2、求下列各三角比：tan

171125=______，cot(-)=______，csc=______。4463、若cos<0，tan>0，则是第________象限角。

4、若cos>0，tan<0，则的集合是_________________。

5、若是第三象限角，①sin+cos<0；②tan-sin>0；③cot·csc<0； ④sin·sec>0。其中正确的是_________________。

6、在ΔABC中，都有costancot<0，则这个三角形是__________三角形。7*、若cot(sin)·tan(cos)>0，则是第_________象限角。

2sin(x)(1x0)8*、函数f(x)=x1，若f(1)+f(a)=2，则a可能的值是_______。

(x0)e

二、选择题

1、已知A是三角形的一个内角，则cosA的值

（）

A、一定是正数

B、一定是非负数

C、是非负数

D、正数、零、负数都有可能

2、已知是第三象限角，则点(sin，cos)，位于

（）A、第一象限

B、第二象限

C、第三象限

D、第四象限

3、设y=sin·cos·cot，且是象限角，则y的符号为（）A、恒正

B、恒负

C、可能为0

D、不定

4*、对于象限角，都有|tan+cot|=|tan|+|cot|，则是（）A、第一、第三象限角

B、第二、第四象限角 C、第三、第四象限角

D、任意象限角

三、解答题

1、化简：msin(-630°)+ntan(-315°)-2mncos(-720°)2213，且为第二象限角，求sin(8π+)。5

3、求值（1）tan(2π+)·tan(4π+)·tan(6π+)·„·tan(2010π+)；

4444（2）tan(2π+)+tan(4π+)+tan(6π+)+„+tan(2010π+)。

44442、已知cot=-

2cos2(2x)sin(2x)cos(4x)34*、已知f(x)=，求f()。22322cos(6x)2sin(8x)

四、双基铺垫

1、任意角三角比的定义是什么？

2、1、任意角各三角比在象限内的符号是什么？

任意角的三角比（2）课外作业答案

一、填空题

1、正，负

；

2、4、{|2kπ-

2，3，；

3、第三象限； 2<<2kπ，k∈Z}

；

5、①，②，③，④

6、钝角 ；

27、若是第一象限角，则0

228、∵f(1)=1，∴f(a)=1，当-1

222或a=1。

2二、选择题

1、D ；

2、C

；

3、A ；

4、D

；（由题设知：tan·cot>0，∴是任意象限角。）

三、解答题

1、原式=m2sin(-720°+90°)+n2tan(-360°+45°)-2mncos(-720°+0°)=m-2mn+n=(mn)2

2、设角终边上的一点为(x，y)，则x<0，y>0，由题意得x=-12，y=5，∴r=13，∴sin(8π+)=sin=

3、原式=tan225 131005·tan„„tan=(tan)=1。

4444原式=1005tan=1005。

42cos2xsin(x)cosx

34、f(x)= 2222cosx2sinx1312cos2sin()cos32()2333333222∴f()=

3481322cos22sin222()22()2332

2四、双基铺垫

1、任意角三角比的定义是什么？ 答：sin=

yxyxrr，cos=，tan=，cot=, sec=, sec=

rxxxry2、任意角各三角比在象限内的符号是什么？ 答：正弦一、二正；余弦一、四正；正切一、三正。

第二篇：教案《任意角》

《任意角》教案

教学目标：要求学生掌握用“旋转”定义角的概念，理解任意角的概念，学会在平面内建立适当的坐标系来讨论角；并进而理解“正角”“负角”“象限角”“终边相同的角”的含义。

教学重点：理解“正角”“负角”“象限角”“终边相同的角”的含义

教学难点：“旋转”定义角

课标要求：了解任意角的概念

教学过程：

一、引入

同学们在初中时，曾初步接触过三角函数，那时的运用仅限于计算一些特殊的三角函数值、研究一些三角形中简单的边角关系等。三角函数也是高中数学的一个重要内容，在今后的学习中大家会发现三角学有着极其丰富的内容，它能够简单地解决许多数学问题，在中学数学中有着非常广泛的应用。

二、新课

1．回忆：初中是任何定义角的？

（从一个点出发引出的两条射线构成的几何图形）这种概念的优点是形象、直观、容易理解，但它的弊端在于“狭隘”

师：初中时，我们已学习了0○～360○角的概念，它是如何定义的呢？

生：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形。

师：如图1，一条射线由原来的位置OA，绕着它的端点O按逆时针方向旋转到终止位置OB，就形成角α。旋转开始时的射线OA叫做角的始边，OB叫终边，射线的端点O叫做叫α的顶点。

师：在体操比赛中我们经常听到这样的术语：“转体720o”（即转体2周），“转体1080o”（即转体3周）；再如时钟快了5分钟，现要校正，需将分针怎样旋转？如果慢了5分钟，又该如何校正？

生：逆时针旋转300；顺时针旋转300.师：（1）用扳手拧螺母；（2）跳水运动员身体旋转．说明旋转第二周、第三周……，则形成了更大范围内的角，这些角显然超出了我们已有的认识范围。本节课将在已掌握 ～ 角的范围基础上，重新给出角的定义，并研究这些角的分类及记法．

2.角的概念的推广：

角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形 3．正角、负角、零角概念

师：为了区别起见，我们把按逆时针方向旋转所形成的角叫正角，如图2中的角为正角，它00等于30与750；我们把按逆时针方向旋转所形成的角叫正角，那么同学们猜猜看，负角怎么规定呢？零角呢？

生：按顺时针方向旋转所形成的角叫负角，如果一条射线没有作任何旋转，我们称它形成了一个零角。

00师：如图3，以OA为始边的角α=-150，β=-660。特别地，当一条射线没有作任何旋转时，我们也认为这是形成了一个角，并把这个角称为零角。师：好，角的概念经过这样的推广之后，就应该包

括正角、负角、零角。这里还有一点要说明：为了简单起见，在不引起混淆的前提下，“角α”或“∠α”可简记为α.4.象限角

师：在今后的学习中，我们常在直角坐标系内讨论角，为此我们必须了解象限角这个概念。同学们已经经过预习，请一位同学回答什么叫：象限角？

生：角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合。那么，角的终边（除端点外）在第几象限，我们就说这个角是第几象限角。

师：很好，从刚才这位同学的回答可以知道，她已经基本理解了“象限角”的概念了。下面请大家将书上象限角的定义划好，同时思考这么三个问题：

1.定义中说：角的始边与x轴的非负半轴重合，如果改为与x轴的正半轴重合行不行，为什么？

2.定义中有个小括号，内容是：除端点外，请问课本为什么要加这四个字？ 3.是不是任意角都可以归结为是象限角，为什么？ 处理：学生思考片刻后回答，教师适时予以纠正。答：1.不行，始边包括端点（原点）； 2．端点在原点上；

3．不是，一些特殊角终边可能落在坐标轴上；如果角的终边落在坐标轴上，就认为这个角不属于任一象限。

师：同学们一定要学会看数学书，特别是一些重要的概念、定理、性质要斟字酌句，每个字都要弄清楚，这样的预习才是有效果的。

00000师生讨论：好，按照象限角定义，图中的30，390，-330角，都是第一象限角；300，-60

0角，都是第四象限角；585角是第三象限角。师：很好，不过老师还有几事不明，要请教大家：（1）锐角是第一象限角吗？第一象限角是锐角吗？为什么？

生：锐角是第一象限角，第一象限角不一定是锐角；

0师：（2）锐角就是小于90的角吗？

0生：小于90的角可能是零角或负角，故它不一定是锐角；

00师：（3）锐角就是0～90的角吗？

000000生：锐角：{θ|0<θ<90}；0～90的角：{θ|0≤θ<90}.学生练习（口答）已知角的顶点与坐标系原点重合，始边落在x轴的非负半轴上，作出下列各角，并指出它们是哪个象限的角？

0000（1）420；

（2）-75；

（3）855；

（4）-510.答：（1）第一象限角；（2）第四象限角；（3）第二象限角；（4）第三象限角.5.终边相同的角的表示法

师：观察下列角你有什么发现? 390

330

30

1470

1770 生:终边重合.0师:请同学们思考为什么？能否再举三个与30角同终边的角？

0000000000生：图中发现390，-330与30相差360的整数倍，例如，390=360+30，-330=-360+30；000与30角同终边的角还有750，-690等。

0师：好！这位同学发现了两个同终边角的特征，即：终边相同的角相差360的整数倍。例0000000如：750=2×360+30；-690=-2×360+30。那么除了这些角之外，与30角终边相同的角还有：

3×360+30

-3×360+30

0000

4×360+30

-4×360+30

„„，„„，000由此，我们可以用S={β|β=k×360+30，k∈Z}来表示所有与30角终边相同的角的集合。6.例题讲评

例1 设E{小于90o的角｝，F{锐角｝，G＝{第一象限的角｝，那么有（D 0000）．

（

）

D．

A．例2用集合表示：

B．

C．

（1）各象限的角组成的集合．

（2）终边落在

o

o

o

轴右侧的角的集合．

解：(1)第一象限角：｛α|k360π＜α＜k360+90,k∈Z｝

oooo第二象限角：｛α|k360+90＜α＜k360+180,k∈Z｝

oooo第三象限角：｛α|k360+180＜α＜k360+270,k∈Z｝

ooo第四象限角：{α|k360+270o＜α＜k360+360 ,k∈Z｝

三.本课小结

本节课我们学习了正角、负角和零角的概念，象限角的概念，要注意如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限，本节课的重点是学习终边相同的角的表示法。判断一个角 么 是第几象限角，只要把

改写成

与角，适合关系：，那，在第几象限，则、就是第几象限角，若角

与 终边相同；若角 适合关系：

则、终边互为反向延长线．判断一个角所有象限或不同角之间的终边关系，可首先把，这种模式（），然后只要考查 的相关它们化为：

问题即可．另外，数形结合思想、运动变化观点都是学习本课内容的重要思想方法．

四.作业:

第三篇：任意角三角函数教案（推荐）

问题1 本章研究的问题是三角函数，函数的研究离不开平面直角坐标系，这在第一节中已经有所感受。现在请你回忆初中学过的锐角三角函数的定义，并思考一个问题：如果将锐角置于平面直角坐标系中，如何用直角坐标系中角的终边上的点的坐标表示锐角三角函数呢？

（设计意图：将已有知识坐标化,分化难点。用新的观点再认识学生的已有知识经验，发挥其正迁移作用，同时使本课时的学习与学生的已有知识经验紧密联系，使知识有一个熟悉的起点，扎实的固着点。）

预计的回答：学生可以回忆出初中学过的锐角三角函数的定义，但是在用坐标语言表述时可能会出现困难——即使将角置于坐标系中但是仍然习惯用三角形边的比值表示锐角三角函数，需要教师引导学生将之转换为用终边上的点的坐标表示锐角三角函数。

解答过程：

：如图1，在直角△POM中，∠M是直角，那么。

（2）坐标化：如图2，建立平面直角坐标系，设点P的坐标为（x，y），那么，于是。

问题2 回忆弧度制中1弧度角的几何解释，它是借助于单位圆给出的，能否从中得到启示将上述定义的形式化简，化简的依据是什么？写出最简单的形式。（设计意图：引入单位圆。深化对单位圆作用的认识，用数学的简洁美引导学生进行研究，为定义的拓展奠定基础。该问题与问题1结合，分步推进，降低难度，基本尊重教材的处理方式。）

预计的困难：由于学生只接触过一次单位圆，对它所能起的作用只有一般的了解，所以需要教师的引导。也可以引导学生从形式上对上述定义化简，使得分母为1，之后通过分母的几何意义将之与单位圆结合起来。

解答过程：

单位圆中定义锐角三角函数：如图3，线段OP=1，点P的坐标为（x，y），那么锐角α的三角函数可以用坐标表示为：。

（说明：单位圆的定义建议在弧度制一节中给出。）

依据：三角形相似，比值与具体的点的位置没有关系。

问题3：上述定义是借助于单位圆，利用角的终边与单位圆的交点的坐标给出的，它可以推广到任意角的三角函数，请你写出任意角的三角函数的定义。分小组分别写出角α的终边位于第二、三、四象限和x轴、y轴上时的三角函数。（设计意图：具体认识任意角的三角函数，突现本课时的研究重点。如果问题太一般化，如设计为：上述定义可以推广到任意角的三角函数，请写出任意角的三角函数的定义。那么学生不知道“上述定义”是指哪个，而且不明白任意角该如何取。所以在问题设计中再次强调要借助于单位圆，利用坐标，限定学生的思维，以免太发散。再者在一般要求“写出任意角的三角函数”之后，又提出具体的活动方式：分小组针对不同位置的角分别写出其三角函数。这样将问题具体化，学生容易着手解决。写出定义的过程也是巩固推广的过程，而且这样做尽可能避免出现学生用计算器算cosπ的现象。）

活动形式：由学生分组独立完成之后再展示交流，形成具体而全面的认识。学生可能会在写出任意角的三角函数的定义时出现困难，教师的帮助不要具体，而是在思维上引导——用坐标表示，并引导学生正确认识三角函数的定义域。

预计的答案：如图4，针对其中的图（1）（2）（3）学生写出，针对其中的图（4）学生写出，针对其中的图（5）学生写出，tanα无意义。

结论：给出三角函数的定义：（略）。

问题4：根据上述过程，你能写出三角函数的定义域吗？你能用函数的定义对三角函数进行分析吗？

（设计意图：顺势而为形成定义，并将三角函数的定义进行同化，通过这样的活动强化学生对任意角三角函数定义的理解，达到对概念的初步精致。）

预计的困难：学生对三角函数的自变量认识可能会存在问题。

教师的引导：引导学生利用单位圆的几何意义解释正弦、余弦的值域。预计的答案：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P（x,y）。

例1 求的正弦、余弦和正切值。

（设计意图：巩固对定义的理解。）

分析：根据定义求解，先利用锐角三角函数知识求出点P的坐标，再根据定义求解。

解：如图5，可知在RTΔOPC中，∠OPC=30o，所以OC=，CP=，所以点P的坐标是。

根据定义可得：

练习１（P15练习3）完成下列表格中的前两列：

例2 已知角α的终边经过点P（－3，－4），求角α的正弦、余弦和正切值。

（设计意图：通过问题的转化，进一步加深对定义的理解。）

分析：通过相似求出角α的终边与单位圆的交点坐标，之后再根据定义求解。解：如图6，由已知可得： |OP0|=。

设角α的终边与单位圆交于点P（x，y）,分别过点P和P0作x轴的垂线MP，M 0P0，则

又|OP|=1，根据∽Δ，可得，即，所以。

所以。

（说明：上述书写过程基本与例1统一，这样可以将该题目的求解思路同化，降低学习难度。）

问题5 通过本课时的学习你有哪些收获，请从知识、思想方法经验等方面进行小结。此外你还有哪些需要质疑之处。

（设计意图：引导学生小结，并进一步思考。通过质疑引导学生全面认识三角函数，虽然在课堂上不研究其他3个三角函数，但是可以让学生有一个全面的认识，培养思维的严谨性。通过三角函数定义的一般化，引导学生用辩证的观点认识事物，理解三角函数。）

小结：知识：（略）；

思想方法：（略）；

经验：用函数的观点认识三角函数，用单位圆的几何特征研究三角函数。

拓展1：3个数可以形成6个比值，为什么只对其中的三个比值进行定义和研究，其他3个比值又能对应什么函数呢？有兴趣的同学可以自己查阅资料进行研究。

拓展2：通过求解例2，你能发现还可以怎么定义任意角的三角函数呢？请阅读教材的旁白。这是三角函数定义的等价定义。

六、目标检测设计 1．P15练习1，2，3；

（设计意图：初步应用定义和等价定义。）2．习题1.2A组2。

（设计意图：培养学生类比、对比解决问题能力。）

3．完成教材P13的探究，之后完成P15练习4，6，把结果填在书上。（设计意图：将作业作为课堂教学的延伸，培养学生自主学习的能力和习惯。）七．设计思路 1．突出单位圆的作用。具体表现在三个方面：第一是将锐角三角函数坐标化，引入单位圆；第二是利用单位圆写出任意角的三角函数；第三是利用单位圆写出定义域及正弦、余弦的值域；第四是在例2的解决过程中建立单位圆与一般定义的关系。

2．用函数同化三角函数。给出任意角的三角函数的定义之后，用函数的定义对三角函数进行分析，将之纳入到已有的认知结构中，并使得原有认知结构发生顺应变化。

3．力求在数学的自然、必要和学生的认知之间寻找平衡点。根据听课时出现的问题，在本教学设计中采取了下列处理方式。（1）先坐标化再引入单位圆，降低认知台阶。

从锐角三角函数到任意角三角函数这一段的处理基本尊重教材，这是因为在听课过程中发现如果将“坐标化”与“单位圆”两个问题同时抛给学生，虽然能体现出做这两个工作的必要性，但是跨度较大，学生感到困难，解决问题的过程费时费力，不但不能使学生感受到学习的必要性，反而制约了学生的思维。

（2）将问题分解、具体化，通过具体认识一般。

在形成任意角的三角函数的定义时将问题解剖，并采取分组合作的组织方式，旨在将抽象的问题具体化，降低难度。让学生根据角的不同位置写出定义，特别是对于象限角也进行了相同的处理办法，这是因为学生的思维从具体问题开始，而且要形成“初始效应”，在新概念学习伊始就使得它植根于学生的已有认知结构中，并形成强烈的意识——用新定义解决问题，而不再用计算器或其他办法。

（3）解题思路求同，强化定义的作用。

例

1、例2两个题目的解决思路都是相同的：先求出角的终边与单位圆交点的坐标，之后再根据定义求解。差别在于求角的终边与单位圆交点的坐标的具体方法不同，这些求法都是学生已经具备的技能。据此建议教材中将例2的解题过程修改，将利用相似求线段长的计算前置，分步完成即降低了难度，又统一了思路，突出了定义的作用。

（4）将作业作为课堂教学的有效延伸，给学生思考的空间。

作业中的第3项的设计，其意是使得学生的作业不但有模仿的，更有需要独立思考的，培养学生的能力。

2009-04-09 人教网 关闭 打印

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第四篇：《任意角和弧度制》教案

《任意角和弧度制》教案

篇一：人教A版高中数学必修四

1.1《任意角和弧度制》

1.1

《任意角和弧度制》教案

【教学目标】

1.理解任意角的概念.2.学会建立直角坐标系讨论任意角，判断象限角，掌握终边相同角的集合的书写.3.了解弧度制，能进行弧度与角度的换算.4.认识弧长公式，能进行简单应用.对弧长公式只要求了解，会进行简单应用，不必在应用方面加深.5.了解角的集合与实数集建立了一一对应关系，培养学生学会用函数的观点分析、解决问题.【导入新课】

复习初中学习过的知识：角的度量、圆心角的度数与弧的度数及弧长的关系

提出问题：

1．初中所学角的概念.2．实际生活中出现一系列关于角的问题.3.初中的角是如何度量的？度量单位是什么？

4.1°的角是如何定义的？弧长公式是什么？

5.角的范围是什么？如何分类的？

新授课阶段

一、角的定义与范围的扩大

1．角的定义：一条射线绕着它的端点O，从起始位置OA旋转到终止位置OB，形成一个角，点O是角的顶点，射线OA,OB分别是角的终边、始边.说明：在不引起混淆的前提下，“角”或“”可以简记为．

2．角的分类：

正角：按逆时针方向旋转形成的角叫做正角；

负角：按顺时针方向旋转形成的角叫做负角；

零角：如果一条射线没有做任何旋转，我们称它为零角.说明：零角的始边和终边重合.3．象限角：

在直角坐标系中，使角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴的非负轴重合，则

（1）象限角：若角的终边（端点除外）在第几象限，我们就说这个角是第几象限角.例如：30,390,330都是第一象限角；300,60是第四象限角.（2）非象限角（也称象限间角、轴线角）：如角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限.例如：90,180,2等等.说明：角的始边“与x轴的非负半轴重合”不能说成是“与x轴的正半轴重合”.因为

x轴的正半轴不包括原点，就不完全包括角的始边，角的始边是以角的顶点为其端点的射线.4．终边相同的角的集合：由特殊角30看出：所有与30角终边相同的角，连同30角自身在内，都可以写成30k360

kZ的形式；反之，所有形如

30k360kZ的角都与30角的终边相同.从而得出一般规律：

所有与角终边相同的角，连同角在内，可构成一个集合S|k360,kZ，即：任一与角终边相同的角，都可以表示成角与整数个周角的和.说明：终边相同的角不一定相等，相等的角终边一定相同.例1在0与360范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判断它们是第几象限角？

（1）120；（2）640；（3）95012.解：（1）120240360，所以，与120角终边相同的角是240，它是第三象限角；

（2）640280360，所以，与640角终边相同的角是280角，它是第四象限角；

（3）95012129483360，所以，95012角终边相同的角是12948角，它是第二象限角.例2

若k3601575,kZ，试判断角所在象限.解：∵k3601575(k5)360225,(k5)Z

∴与225终边相同，所以，在第三象限.例3

写出下列各边相同的角的集合S，并把S中适合不等式360720的元素

写出来：（1）60；（2）21；（3）36314．

解：（1）S|60k360,kZ，S中适合360720的元素是

601360300,60036060,601360420.（2）S|21k360,kZ，S中适合360720的元素是

21036021,211360339,212260699

（3）S|36314k360,kZ

S中适合360720的元素是

36314236035646,3631413603***036314.例4

写出第一象限角的集合M．

分析：（1）在360内第一象限角可表示为090；

（2）与0,90终边相同的角分别为0k360,90k360,(kZ)；

（3）第一象限角的集合就是夹在这两个终边相同的角中间的角的集合，我们表示为：

M|k36090k360,kZ．

学生讨论，归纳出第二、三、四象限角的集合的表示法：

P|90k360180k360,kZ；

N|90k360180k360,kZ；

Q|2k360360k360,kZ．

说明：区间角的集合的表示不唯一.例5写出yx(x0)所夹区域内的角的集合.解：当终边落在yx(x0)上时，角的集合为|45k360,kZ；

当终边落在yx(x0)上时，角的集合为|45k360,kZ；

所以，按逆时针方向旋转有集合：S|45k36045k360,kZ．

二、弧度制与弧长公式

1.角度制与弧度制的换算：

∵360=2（rad），∴180=

rad.∴

1=

180

rad0.01745rad.180

1rad57.305718.o

S

l

2．弧长公式：lr.由公式：

lnrlr.比公式l简单.r180

lR，其中l是扇形弧长，R是圆的半径.2

弧长等于弧所对的圆心角（的弧度数）的绝对值与半径的积

3．扇形面积公式

S注意几点：

1．今后在具体运算时，“弧度”二字和单位符号“rad”可以省略，如：3表示3rad，sin表示rad角的正弦；

2．一些特殊角的度数与弧度数的对应值应该记住：

3．应确立如下的概念：角的概念推广之后，无论用角度制还是弧度制都能在角的集合与实数的集合之间建立一种一一对应的关系.任意角的集合实数集R

例6

把下列各角从度化为弧度：

(1)252；（2）1115；(3)

30；(4)6730.解：(1)

/

（2）0.0625

(3)

(4)

0.375

变式练习：把下列各角从度化为弧度：(1)22o30′；（2）-210o；(3)1200o.解：(1)

；（2）

18720；(3).63

例7

把下列各角从弧度化为度：

（1）；(2)

3.5；(3)

2；(4)

5.4

解：（1）108

o；(2)200.5o；(3)114.6o；(4)45o.变式练习：把下列各角从弧度化为度：

（1）

；（2）-；（3）.12310

解：（1）15

o；（2）-240o；（3）54o.例8

知扇形的周长为8cm，圆心角为2rad，求该扇形的面积.解：因为2R+2R=8,所以R=2,S=4.课堂小结

1．弧度制的定义；

2．弧度制与角度制的转换与区别；

3．.弧度制下的弧长公式和扇形面积公式，并灵活运用；

篇二：(教案3)1.1任意角和弧度制

1.1.1任意角

教学目标：要求学生掌握用“旋转”定义角的概念，理解任意角的概念，学会在平面内建立

适当的坐标系来讨论角；并进而理解“正角”“负角”“象限角”“终边相同的角”的含义。

教学重点：理解“正角”“负角”“象限角”“终边相同的角”的含义

教学难点：“旋转”定义角

课标要求：了解任意角的概念

教学过程：

一、复习

师：上节课我们学习了角的概念的推广，推广后的角分为正角、负角和零角；另外还学习了象限角的概念，下面请一位同学叙述一下它们的定义。

生：略

师：上节课我们还学习了所有与α角终边相同的角的集合的表示法，[板书]

0S={β|β=α+k×360，k∈Z}

这节课我们将进一步学习并运用角的概念的推广，解决一些简单问题。

二、例题选讲

00例1写出与下列各角终边相同的角的集合S，并把S中适合不等式-360≤β720的元素β

写出来：

000，（1）60；

（2）-21；

（3）36314

0000解：（1）S={β|β=60+k×360，k∈Z}S中适合-360≤β720的元素是

00000000060+（-1）×360=-30060+0×360=6060+1×360=420.0000（2）S={β|β=-21+k×360，k∈Z}

S中适合-360≤β720的元素是

000

000

000

-21+0×360=-21

-21+1×360=339-21+2×360=699

0000说明：-21不是0到360的角，但仍可用上述方法来构成与-21角终边相同的角的集合。

0，000（3）S={β|β=36314+k×360，k∈Z}

S中适合-360≤β720的元素是

0，00，0，00，0，00，36314+（-2）×360=-3564636314+（-1）×360=31436314+0×360=36314

说明：这种终边相同的角的表示法非常重要，应熟练掌握。

例2．写出终边在下列位置的角的集合(1)x轴的负半轴上；（2）y轴上

分析：要求这些角的集合，根据终边相同的角的表示法，关键只要找出符合这个条件的一个

0角即α，然后在后面加上k×360即可。

○○0解：（1）∵在0～360间，终边在x轴负半轴上的角为180，∴终边在x轴负半轴上

00的所有角构成的集合是{β|β=180+k×360，k∈Z

}

○○000（2）∵在0～360间，终边在y轴上的角有两个，即90和2，∴与90角终边相

00同的角构成的集合是S1={β|β=90+k×360，k∈Z

}

000同理，与2角终边相同的角构成的集合是S2={β|β=2+k×360，k∈Z

}

提问：同学们思考一下，能否将这两条式子写成统一表达式？

师：一下子可能看不出来，这时我们将这两条式子作一简单变化：

0000S1={β|β=90+k×360，k∈Z

}={β|β=90+2k×180，k∈Z

}（1）

00000S2={β|β=2+k×360，k∈Z

}={β|β=90+180+2k×180，k∈Z

}

00={β|β=90+（2k+1）×180，k∈Z

}

（2）

0师：在（1）式等号右边后一项是180的所有偶数（2k）倍；在（2）式等号右边后一项是

00180的所有奇数（2k+1）倍。因此，它们可以合并为180的所有整数倍，（1）式和（2）式

可统一写成90+n×180（n∈Z），故终边在y轴上的角的集合为

0000S=

S1∪S2

={β|β=90+2k×180，k∈Z

}∪{β|β=90+（2k+1）×180，k∈Z

}

00={β|β=90+n×180，n∈Z

}

处理：师生讨论，教师板演。

提问：终边落在x轴上的角的集合如何表示？终边落在坐标轴上的角的集合如何表示？

00（思考后）答：{β|β=k×180，k∈Z

},{β|β=k×90，k∈Z

}

进一步：终边落在第一、三象限角平分线上的角的集合如何表示？

00答：{β|β=45+n×180，n∈Z

}

0推广：{β|β=α+k×180，k∈Z

}，β，α有何关系？（图形表示）

处理：“提问”由学生作答；“进一步”教师引导，学生作答；“推广”由学生归纳。

例1

若是第二象限角，则2，00，分别是第几象限的角？

师：是第二象限角，如何表示？

0000解：（1）∵是第二象限角，∴90+k×360180+k×360（k∈Z）

0000∴

180+k×7202360+k×720

∴2是第三或第四象限的角，或角的终边在y轴的非正半轴上。

．．．．．．．．

（2）∵k18045

2k18090(kZ)，处理：先将k取几个具体的数看一下（k=0，1，2，3），再归纳出以下规律：

是第一象限的角；

当k2n1(nZ)时，n360225n3602(kZ)，是第三象限的22当k2n(nZ)时，n36045n36090(kZ)，角。

∴是第一或第三象限的角。

是第一或第二或第四象限的角）

3说明：配以图形加以说明。

（3）学生练习后教师讲解并配以图形说明。（进一步求是第几象限的角（是第三象限的角），学生练习，教师校对答案。

三、例题小结

1．要注意某一区间内的角和象限角的区别，象限角是由无数各区间角组成的；

2．要学会正确运用不等式进行角的表述同时要会以k取不同的值讨论型如

0θ=a+k×120（k∈Z）所表示的角所在的象限。

四、课堂练习

练习2

若的终边在第一、三象限的角平分线上，则2的终边在y轴的非负半轴上.练习3

若的终边与60角的终边相同，试写出在（0，360）内，与000角的终边相同的3

角。

（20，140，260）

（备用题）练习4

如右图，写出阴影部分（包括边界）的角

0，的集合，并指出-95012是否是该集合中的角。

000

（{α|

120+k×360≤α≤250+k×360，k∈Z}；是）

0000

探究活动

经过5小时又25分钟，时钟的分针、时针各转多少度？

五、作业

A组:

1．与

终边相同的角的集合是___________，它们是第____________象限的角，其中最小的正角是___________，最大负角是___________．

2．在0o~360o范围内，找出下列各角终边相同的角，并指出它们是哪个象限的角：

（1）－265

（2）－1000o

（3）－843o10’

（4）3900o

B组

3．写出终边在x轴上的角的集合。

4．写出与下列各角终边相同的角的集合，并把集合中适合不等式－360o≤β＜360o的元素写出来：

(1)60o

(2)－75o

(3)

－824o30’

(4)

475o

(5)

90o

(6)

2o

(7)

180o

(8)

0oC组：若

是第二象限角时，则，分别是第几象限的角？

篇三：1.1

任意角和弧度制

教学设计

教案

教学准备

1.教学目标

1、知识与技能

（1）推广角的概念、引入正角和负角；（2）理解并掌握正角、负角、零角的定义；

（3）理解任意角以及象限角的概念；(4)掌握所有与角终边相同的角（包括角）的表示方法；（5）树立运动变化观点，深刻理解推广后的角的概念.2、过程与方法

通过创设情境：“转体，逆（顺）时针旋转2周”，角有正角、零角和旋转方向不同所形成的角等，引入正角、负角和零角的概念；角的概念得到推广以后，将角放入平面直角坐标系，引入象限角、非象限角的概念及象限角的判定方法；列出几个终边相同的角，画出终边所在的位置，找出它们的关系，探索具有相同终边的角的表示.3、情态与价值

通过本节的学习，使同学们对角的概念有了一个新的认识，即有正角、负角和零角之分.角的概念推广以后，知道角之间的关系.学会运用运动变化的观点认识事物.2.教学重点/难点

重点:

理解正角、负角和零角的定义，掌握终边相同角的表示法.难点:

终边相同的角的表示.3.教学用具

多媒体

4.标签

任意角

教学过程

【创设情境】

思考:你的手表慢了5分钟，你是怎样将它校准的？假如你的手表快了1.25小时，你应

当如何将它校准？当时间校准以后，分针转了多少度？

[取出一个钟表,实际操作]我们发现，校正过程中分针需要正向或反向旋转，有时转不到一周，有时转一周以上,这就是说角已不仅仅局限于之间，这正是我们这节课要研究的主要内容——任意角.【探究新知】

1．初中时，我们已学习了角的概念，它是如何定义的呢？

[展示投影]角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形.如图1.1-1，一条射线由原来的位置，绕着它的端点按逆时针方向旋转到终止位置，就形成角.旋转开始时的射线叫做角的始边，叫终边，射线的端点叫做叫的顶点.2.如上述情境中所说的校准时钟问题以及在体操比赛中我们经常听到这样的术语：“转体”

（即转体2周），“转体”（即转体3周）等,都是遇到大于的角以及按不同方向旋转而成的角.同学们思考一下:能否再举出几个现实生活中“大于的角或按不同方向旋转而成的角”的例子,这些说明了什么问题又该如何区分和表示这些角呢

[展示]如自行车车轮、螺丝扳手等按不同方向旋转时成不同的角,这些都说明了我们研究推广角概念的必要性.为了区别起见，我们规定:按逆时针方向旋转所形成的角叫正角(positive

angle),按顺时针方向旋转所形成的角叫负角(negative

angle).如果一条射线没有做任何旋转,我们称它形成了一个零角(zero

angle).[展示课件]如教材图1.1.3(1)中的角是一个正角,它等于；图1.1.3(2)中，正角，负角；这样，我们就把角的概念推广到了任意角（any

angle）,包括正角、负角和零角.为了简单起见，在不引起混淆的前提下，“角”或“”可简记为.3.在今后的学习中，我们常在直角坐标系内讨论角，为此我们必须了解象限角这个概念.角的顶点与原点重合，角的始边与轴的非负半轴重合。那么，角的终边（除端点外）在第几象限，我们就说这个角是第几象限角(quadrant

angle).如教材图1.1-4中的角、角分别是第一象限角和第二象限角.要特别注意:如果角的终边在坐标轴上,就认为这个角不属于任何一个象限,称为非象限角.4.[展示投影]练习:

(1)(口答)锐角是第几象限角第一象限角一定是锐角吗再分别就直角、钝角来回答这两个问题.(2)(回答)今天是星期三，那么天后的那一天是星期几

天前的那一天是星期几100天后的那一天是星期几

5.探究:将角按上述方法放在直角坐标系中后,给定一个角,就有唯一的一条终边与之对应.反之,对于直角坐标系中任意一条射线(如图1.1-5),以它为终边的角是否唯一如果不惟一,那么终边相同的角有什么关系请结合4.(2)口答加以分析.[展示课件]不难发现,在教材图1.1-5中,如果

角的终边都是,而

.的终边是，那么

设,则角都是的元素,角也是的元素.因此,所有与角终边相同的角,连同角在内,都是集合的元素；反过来，集合的任一元素显然与角终边相同.一般地,我们有:所有与角终边相同的角,连同角在内,可构成一个集合,即任一与角终边相同的角,都可以表示成角

与整数个周角的和.6.[展示投影]例题讲评

例1.在范围内，找出与角

象限角.（注：是指

例2.写出终边在轴上的角的集合.上的角的集合,并把中适合不等式终边相同的角，并判定它是第几）

例3.写出终边直线在的元素写出来.课堂小结

(1)

你知道角是如何推广的吗

(2)

象限角是如何定义的呢

(3)

你熟练掌握具有相同终边角的表示了吗会写终边落在上的角的集合.课后习题

轴、轴、直线

板书

《》

第五篇：任意角的概念, 精品教案

1.1.1任意角

教学目标：

1、知识与技能

（1）推广角的概念、引入大于360角和负角；（2）理解并掌握正角、负角、零角的定义；（3）理解任意角以及象限角的概念；

(4)掌握所有与角终边相同的角（包括角）的表示方法；（5）树立运动变化观点，深刻理解推广后的角的概念；

2、过程与方法

通过创设情境：“转体720，逆（顺）时针旋转”，角有大于360角、零角和旋转方向不同所形成的角等，引入正角、负角和零角的概念；角的概念得到推广以后，将角放入平面直角坐标系，引入象限角、非象限角的概念及象限角的判定方法；列出几个终边相同的角，画出终边所在的位置，找出它们的关系，探索具有相同终边的角的表示；讲解例题，总结方法，巩固练习.3、情态与价值

通过本节的学习，使同学们对角的概念有了一个新的认识，即有正角、负角和零角之分.角的概念推广以后，知道角之间的关系.理解掌握终边相同角的表示方法，学会运用运动变化的观点认识事物.教学重点: 理解正角、负角和零角的定义，掌握终边相同角的表示法.教学难点: 终边相同的角的表示.教学过程：

一、创设问题情境

思考:你的手表慢了5分钟，你是怎样将它校准的？假如你的手表 快了1.25 小时，你应当如何将它校准？当时间校准以后，分针转了多少度？ [取出一个钟表,实际操作]我们发现，校正过程中分针需要正向或反向旋转，有时转不到一周，有时转一周以上,这就是说角已不仅仅局限于0360之间，这正是我们这节课要研究的主要内容——任意角.二、探索开发新结论

1．初中时，我们已学习了0360角的概念，它是如何定义的呢？ [展示投影]角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形.如图1.1-1，一条射线由原来的位置OA，绕着它的端点O按逆时针方向旋转到终止位置OB，就形成角.旋转

OB叫终边，开始时的射线OA叫做角的始边，射线的端点O叫做叫的顶点.2.如上述情境中所说的校准时钟问题以及在体操比赛中我们经常听到这样的术语：“转体720”（即转体2周），“转体1080”（即转体3周）等,都是遇到大于360的角以及按不同方向旋转而成的角.同学们思考一下:能否再举出几个现实生活中“大于360的角或按不同方向旋转而成的角”的例子,这些说明了什么问题?又该如何区分和表示这些角呢? [展示课件]如自行车车轮、螺丝扳手等按不同方向旋转时成不同的角, 这些都说明了我们研究推广角概念的必要性.三、总结概括新结论 为了区别起见，我们规定:按逆时针方向旋转所形成的角叫正角(positive angle),按顺时针方向旋转所形成的角叫负角(negative angle).如果一条射线没有做任何旋转,我们称它形成了一个零角(zero angle).在今后的学习中，我们常在直角坐标系内讨论角，为此我们必须了解象限角这个概念.角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合。那么，角的终边（除端点外）在第几象限，我们就说这个角是第几象限角(quadrant angle).要特别注意:如果角的终边在坐标轴上,就认为这个角不属于任何一个象限,称为非象限角.四、验证开发新结论:(1)(口答)锐角是第几象限角?第一象限角一定是锐角吗?再分别就直角、钝角来回答这两个问题.(2)(回答)今天是星期三那么7k(kZ)天后的那一天是星期几? 7k(kZ)天前的那一天是星期几?100天后的那一天是星期几? 探究:将角按上述方法放在直角坐标系中后,给定一个角,就有唯一的一条终边与之对应.反之,对于直角坐标系中任意一条射线OB(如图1.1-5),以它为终边的角是否唯一?如果不惟一,那么终边相同的角有什么关系? [展示课件]不难发现,如果32的终边是OB,那么328,392角的终边都是OB,而328321360,39232(1)360.设S{|32k360,kZ},则328,392角都是S的元素,32 角也是S的元素.因此,所有与32角终边相同的角,连同32角在内,都是集合S的元素；反过来，集合S的任一元素显然与32角终边相同.一般地,我们有:所有与角终边相同的角,连同角在内,可构成一个集合

S{|k360,kZ},即任一与角终边相同的角,都可以表示成角与整数个周角的和.五、巩固应用新结论：

例1.例1在0360范围内，找出与－95012'角终边相同的角，并判定它是第几象限角.（注：0－360是指0360）

例2.写出终边在y轴上的角的集合.例3.写出终边直线在yx上的角的集合S,并把S中适合不等式360

720的元素写出来.六、练习

教材P6第3、4、5题.注意:（1）kZ；（2）是任意角（正角、负角、零角）；（3）终边相同的角不一定相等；但相等的角，终边一定相同；终边相同的角有无数多个，它们相差360的整数倍.七、课堂小结

(1)你知道角是如何推广的吗?(2)象限角是如何定义的呢?(3)你熟练掌握具有相同终边角的表示了吗?会写终边落在x轴、y轴、直线yx上的角的集合.八、作业：

1．习题1.1 A组第1,2,3题．

2．多举出一些日常生活中的“大于360的角和负角”的例子，熟练掌握他们的表示，进一步理解具有相同终边的角的特点．

九、板书设计