数与形 教学设计 李志芳

第一篇：数与形 教学设计 李志芳

数与形

古田县杉洋中心小学

李志芳

教学目标：

1.通过观察、操作、对比，认识图形与数之间的联系。体会数与形的联系，进一步积累数形结合数学活动经验，培养学生数形结合的数学思想意识。

2.通过观察图形与算式，探索规律、发现规律，运用规律提高计算能力。3.经历猜想、验证的过程，培养认真思考、大胆猜测、细心验证的能力。4.在解决数学问题的过程中掌握数形结合、归纳推理等数学思想。

教学重点： 经历探索规律的过程，发现算式中蕴含的数学规律。教学过程：

一、课前谈话

1、出示算式：

1+3+5+7+9+11+13+15+17+19+21+23+25+27+29+31+33+35+37+39+41+43+45+47+49+51+53+55+57+59+61+63+65+67+69+71+73+75+77+79+81+83+85+87+89+91+93+95+97+99=

个加数 这个算式的结果是多少？（2500）

（1）大胆猜一猜；

（2）学生算一算

（3）有什么想法？可以很好的解决？

2、揭示课题

师：有这么多的加数，那么复杂，我们可以从最简单的几个数相加开始研究，（板书：复杂、简单）研究数里面的规律可以借助图形来观察。（板书：数、形）

二、动手实践，探究新知

1.感知规律

教师：我先根据算式中的加数拿出若干个图形。比如，1+3，我就先拿一个小正方形，再拿三个小正方形（贴在黑板上），我发现这些数量的小正方形刚好可以拼成一个大正方形，那我就把它们拼成一个大的正方形。

教师：接着，我观察图形和算式之间的关系，就发现了可以快速算得结果的方法，你们想不想自己试试看？

（1）仔细观察下面的三幅图，它们分别是由几个小正方形组成的？你能用算式表示出来吗？

[预设：方法一 1 1+3

1+3+5；方法二 1

2×2

3×3；方法三 1²

2² 3²] 师介入：你是怎么看出来的，能具体结合图说明吗？

[展示的学生结合教具具体说明。

预设： 方法一：图 1 有 1 个小正方形；图 2 是在图 1 的基础上增加了三个小正方形，所以可以 是 1+3；图 3 是在图 2 的基础上增加了 5 个小正方形，所以是 1+3+5。

方法二：小正方形组成了大正方形，图 1 其实是一列有 1 个，有 1 列，所以是 1×1； 图 2 一列有 2 个，有 2 列，所以是 2×2；图 3 是一列有 3 个，有 3 列，所以是 3×3。

方法三：补充 1×1=1²，2×2=2²，3×3=3²]（2）观察、比较这些图形与算式，你有什么发现？

[预设：我们发现它们计算的结果表示有几个小正方形，我们可以写成 1=1²；1+3=2²； 1+3+5=3²。]

师介入：你还有什么发现？为什么几个奇数相加，就是几的平方？

图一是怎样变成图二的呢？图二又是怎样变成图三的呢？

（结合图说明：每次增加一个奇数，每列就增加 1 个，又增加了 1 列）说明有几个奇数相加，每列就有几个小正方形，就有这样的几列。

2、探究规律

照这样的规律，图 4、图5应该会是什么样子的，又会有几个小正方形？

（一）出示要求：

（1）独立画一画，算一算，这样连续4个数、5个数相加，结果是多少？

（2）与同桌进行交流，看看你能从这些例子中发现什么规律？想想这是为什么？

（3）运用发现的规律，你能解决这样的50个数相加的结果是多少这个问题？

（二）展示交流

边说边用教具摆图形，并写出相应的算式。

3、发现规律

观察图 1—4 的图形和算式，你有什么发现？

[预设：1.左边都是几个奇数相加；2.图几就表示成几的平方的形式；3.左边有几个连续 奇数相加就等于几的平方] 师根据学生回答追问：

（1）这些奇数有怎样的特点（都是连续的几个奇数相加）；

（2）结合图说一说为什么表示成几的平方的形式（图 4 里一行有 4 个，有 4 行，可以表示成 4×4，也就是 4 的平方）；

（3）谁听得懂他的意思，能结合图说一说这是为什么吗？（从图中可以看出1+3 就表示一行有两个，有两行；1+3+5 就表示一行有 3 个，有三行。）PPT 动态呈现

师小结：有几个奇数相加，正方形就有几行。确实就像同学们所说的那样。PPT 呈现规律：从 1 开始，几个连续奇数相加，和就是几的平方。同学们真厉害，利用了图形直观解释了数的规律。

4、应用规律

（1）根据发现的规律直接写一写。有困难的可以画图帮助。

①1+3+5+7+9+11=（）²

②1+3+5+7+9+11+13=（）²

③（）=9²

结合 PPT 汇报并说清是怎样想的。9²表示什么？应该几个连续奇数相加？图验证一下。

（2）想一想：第 10 个图形中有多少个这样的小正方形？第 n 个图中呢？ 1+3+5+7+9+11+13+15+17+19=10²

1+3+5+7+9+11+13+15+„„=n² 个 现在你能解决这个问题了吗？想想一下它的图是怎样的。

小结：回顾刚刚的学习过程，我们从个别的简单算式开始研究，发现里面蕴含的规律，（板书：规律）用一个式子表示出来，这样的过程就是推理。像这一类由数量为 1、4、9、16、25······的小正方形可以组成一个大正方形，这些数也叫做“正方形数”。通过刚才同学们的观察和思考。借助图直观的帮助我们思考，用数将图中的规律表示出来。并能在数中想象出了图形，验证我们的规律。看来数形结合能帮助我们更直观的解决数学问题。这就是我们今天学习的内容《数与形》。

三、巩固练习

1.根据你今天学到的规律算一算。做一做1

1＋3＋5＋7＋5＋3＋1 ＝（）

1＋3＋5＋7＋9＋11＋13＋11＋9＋7＋5＋3＋1＝（）

结合 PPT 汇报 你是怎样想的。看来我们学了规律还要会灵活应用 2.观察图形，找出规律（1）做一做 2

①下面每个图形中有多少个阴影小正方形和多少个涂色小正方形 ？

②比较阴影小正方形和涂色小正方形的个数，你有什么发现？

③照这样接着画下去，第 6 个图形有多少个阴影小正方形和多少个涂色小正方形？第 10 个图形呢？

你能解释这其中的道理吗？（2）练习二十二第 1题

下面每个图中最外圈有多少个小正方形？ 照这样画下去，第 4 个图形最外圈有几个小正方形，第 5 个呢。你是怎样想的。填写表格找出规律

四、课堂小结

说一说通过今天的学习你有什么收获？

在解决数学问题时，图形结合思想是最直观也是最美妙的。数和形有着密切的联系，在一定条件下可以互相转化，互相渗透，正如我国著名数学家华罗庚所说数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，割裂分家万事休。

2.课前，我们做了一个课前测，一部分同学能有自己的语言描述平时利用对数形结合帮 助自己解决数学问题的例子。形的问题中包含着数的规律，数的问题也可以借助形来帮助解 决。其实我们从一年级开始，就感受着数与形的紧密关系。回顾加减乘除学习方法以及数、分数的认识

3.在解决数学问题时，图形结合思想是最直观也是最美妙的。数和形有着密切的联系，在一定条件下可以互相转化，互相渗透，正如我国著名数学家华罗庚所说数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，割裂分家万事休。

4.今天我们研究的是从 1 开始，几个连续奇数相加，和就是几的平方。那从 2 开始，几个连续偶数相加，和又是多少呢？课后也请同学们利用今天学到的知识 自己尝试着去解决！

五、板书设计

任务呈现：课本练习二十三的第二题 自主学习：

先自己思考，再与同桌交流你的想法。展示交流： 预设 ：

小组展示：我们组发现了后一个图片总比前一个图片多一行，第二个图比第一个图多2个，第三个图比第二个图多3个，以此类推。第一个图有一行就是1，第二个图有两行，就是1和2，有几行，就从1开始排到几，如第五个图，有5行，分别是1、2、3、4、5。可以用1+2+3+4+5=15来计算。

第10个数就是从1连续加到10的和，所以算式就是1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=55 小结：像刚才这些数量为1、3、6、10、15、55的圆片可以组成三角形，所以，这些数也叫做“三角形数”，回过头来看看刚才的例一的那些数，你想到了什么？（1、4、9、16、100等等正方形数）数和形真是一对好朋友，数形结合能帮助我们解决好多数学问题，其实在以前的学习中，我们就有由体会。

课件呈现

怪不得，我们的数学家华老这样说，数形结合百般好，隔离分家万事休。

第二篇：数与形教学设计（范文模版）

《数与形》教学设计

科目：小学数学

学习内容： 人教版《义务教育教科书 数学》六年级上册P107例1，练习二十二第2题。学习目标：

1.通过观察、操作、归纳等活动，学生借助“形”来直观感受与“数”之间的关系，体会有时“形”与“数”能互相解释，并能借助“形”解决一些与“数”有关的问题。

2．学生通过数与形结合来分析思考问题，从而感悟数形结合的思想，提高解决问题的能力。

3.学习重难点：在解决数学问题的过程中，体会和掌握数形结合、归纳推理、极限等基本的数学思想。学习过程：

一、导入新课

口算：1+3+5+7+9+11+13+15+17+19+21+23+25+27+29+31+33+35+37+39+41+43+45+47+49+51 +53+55+57+59+61+63+65+67+69+71+73+75+77+79 师： 这道算式怎么样？ 生：很长

师：我们的比赛规则是谁先算出答案者，就获胜。我这里为同学们准备了一个计算器，谁想用计算器计算？ 好，比赛现在开始。师在黑板上算答案。

师：同学们算完了吗？老师已算出答案，是1600，和屏幕上的答案比对一下，也是1600，看来我算对了。师：你们有什么疑问吗？ 生：你为什么能算的那么快？ 我算的快的秘方是：......真的想知道？秘密就在这节课中，我相信在这节课中，只要你们细心观察，认真思考，寻找规律并且发现规律，你们也能像我这样很快地算出这类有规律题目的答案，我们一起来探究，好不好？ 二、学习新知

出示课题 ：看到课题，有什么疑问？可能会出现以下疑问？(1)数与形有什么关系？（2）什么数与什么形结合呢？（3）数形结合有什么好处？

这节课让我们走进数形结合的世界，感受数形的奥妙。阅读课本例1

（一）、观察这些数和形，你有什么发现？ 学 生可能会有以下发现：

发现一：算式左边的加数的个数与对应的大正方形中每行(或每列)的小正方形的个数相同； 发现二：算式左边的加数是大正方形左下角的小正方形和其他“﹃”形图形所包含的小正方形个数之和。发现三：算式左边的加数和正好等于大正方形中每行(或每列)的小正方形个数的平方。发现四： 加法算式中的加数都是连续奇数，（都是从1开始的）发现五：第几个图形就有几个数相加，和就是几的平方。针对学生发现，引导学生数形结合讲解自己的发现。比如1、3、5、在图中各表示什么？

（二）、根据发现完成例1下面的填空。

学生汇报自己是怎么填写的。（三、）总结规律

师生共同总结规律：从1开始，有几个连续的奇数相加，和就是几的平方。

想一想，第10个图中有几个小正方形？第100个图呢？这个规律可以用到所有类似数的计算吗？ 像这样1=1（2）=1 1+3=（2）2=4 1+3+5=3(2)=9, 1、4、9叫做正方形数或平方数。

我们班76人，76是正方形数吗？能站成方阵吗？怎么样就是正方形数了？

判断对错：说明原因 1+3+5=3（2）（）3+5+7+9=4（2）（）1+3+5+9+11=5（2）（）三、应用规律 完成课前练习（体现最后一个加数+1）除以2就是加数的个数。1 2 完成做一做 学习中哪些地方用到了数形结合的方法呢？ 4 1+3+5+7+9+·········n=()2 四、拓展知识、你们知道我们这节课所用到的正方形数是谁先提出来的吗？是古希腊数学家毕达哥拉斯，还研究了三角形数，五边形数，六边形数等等它们的一些规律，如果大家有兴趣想了解更多，可以上网或阅读有关书籍进行继续了解，好吗？

师：不只是国外数学家对数形结合感兴趣，有研究，有贡献，其实我国数学家在这方面也作出了卓越的贡献。例如我国南宋末年数学家、数学教育家杨辉就研究出了著名的杨辉三角。我国著名数学家华罗庚所说： 数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休。

2、其实刚才的正方形我们还可以换个角度观察，我们会有更多的发现。例如斜着观察，你还可以列出什么样的算式，发现什么样的规律？

生列式：1+2+1=2（2）1+2+3+2+1=3（2）师：边长为n的正方形，图形是什么样的呢？怎么列式呢？ 师出示：1+2+3+......+n+......+3+2+1=n2

五、全课总结

通过这节课的学习，你有什么收获？

通过探索简单的数与形的关系，我们发现了数与形的密切联系。欣赏华罗庚的一首诗：“数与形，本是相倚依，焉能分作两边飞。数无形时少直觉，形无数时难入微。数形结合百般好，隔离分家万事休。切莫忘，几何代数统一体，永远联系，切莫分离。” 六 带疑问走出课堂 12×16=168 1+2+4+8+16+32=2（6）—1

第三篇：数与形教学设计

《数与形》教学设计

教学内容：人教版小学数学六年级上册《数与形》107-108页 教学目标：

1、使学生通过自主研究发现图形中隐藏着的书的规侓，并会应用所发现的规侓。

2、使学生会利用图形来解决一些有关的问题。

3、使学生在解决数学问题的过程中，体会和掌握数形结合与归纳推理数学思想。

教学重难点：

1、结合具体实例理解数形结合的思想方法。

2、运用数形结合的方法探索规律，解决实际问题。教学准备：学习单（正方形、线段、圆形）

练习纸 教学过程：

（一）创设情境

谈话导入：一提到数学一会想到什么？ 预设：数字、图形、计算……

揭示课题：把你们说的可以分为两类，一类是数，一类是形，今天我们就来研究数与形。

（二）建立模型

一、教学例1 师：这是一组图形，你发现他们的规律了吗？请用数或式子表示你发现的规律。

学生独立思考，教师巡视指导：

预设：

1x1=1

2x2=4

3x3=9

4x4=16

1+3=4

1+3+5=9

1+3+5+7=16 展示交流：

师：你能说说你是怎么想的吗？ 预设：

生：我是从小正方形的个数上来想的 生：我是从整个图形的面积上来想的 生：我是从每次增加的正方形数来想的

师：你这种观察的角度有点不一样，我们用不同颜色给区分一下（是将提前准备好的不同颜色纸条贴到黑板上）

虽然我们观察的角度不同，但是这三种方法都能表示这组图形的规律，是不是？

生：是

师：我们把这三种方法整理一下，来看黑板，1x1还可以写成1²，1=1²，2x2=2²=4.1+3=4，所以1+3=2²，1+3+5=3²，+3+5+7=4²。

师：那你觉得图形中有数的影子吗？ 生：有

师：那我们继续研究，大屏幕出示图形，你能知道这个图形对应的式子是什么吗？

生：1+3+5+7+9=5²

师：你知道1+3+5+7+9+11这个式子对应什么样的图形吗？ 生：边长为6的正方形

师：是不是这样呢？我们来看大屏幕

师：我们能从图形中看到数的影子，从数中又能发现图形，那你们觉得数与形有关系吗？ 生：有

师：那我们继续研究：

1、先观察这些式子的左边有什么特点？

2、再从左往右依次观察这些式子你有什么发现？ 师：先独立思考，在把你的想法和同桌交流 汇报交流：

小结：从1开始连续相加奇数的和等于奇数个数的平方。练习：1+3+5+7+9+11+13+15+17+19= 1+3+5+7+9+11+13+11+9+7+5+3+1

二、教学例2

1、请看大屏幕，你发现这组算式的有什么特点吗？ 生：第二个数开始每个数都是前一个数的二分之一。

2、师：算式右边的省略号表示什么意思？有无数个

3、尝试用画图的方法解决 展示交流：学生交流、课件展示

我们通过图形发现，这组算式的结果有的同学认为等于1，有的同学认为无限接近于1.无论是等于1还是无限接近1，总之它跟1有关系。既然图形不能准确解释，那我们用数来试试：

（三）解释应用

从实际问题中让学生感受：以形助数，以数助形，数形之间互帮互助，紧密联系的关系。

第四篇：数与形教学设计

《数与形》教学设计

教学目标：

1.使学生认识到数形结合的思想可以使某些抽象的数学问题直观化、生动化,能够变抽象思维为形象思维。

2.使学生能够感受到数与形可以互相转化,树立数与形相结合是数学解题思想方法。3.使学生加深对数形结合思想方法的认识,充分感受数形结合在小学数学学习中的应用。

重点:感受数与形可以互相转化,树立数与形相结合是数学解题思想方法。

难点:寻找和发现数与形相互转化的途径与方法通过数与形的转化,认识到数形结合的思想可以使某些抽象的数学问题直观化、生动化,能够变抽象思维为形象思维。

实物投影。

投影出示。计算下面的算式

1+2+3+4+5+6+7+6+5+4+3+2+1=?(1)学生读题,理解题意。(2)尝试独立完成。(3)介绍解题方法。

如果有的学生能够想出来好的解题方法,就让他们说一说他们的解题思路,老师加以点拨、归纳。

1.出示例1。

(1)学生读题,教师整理。

为了便于观察,我们可以把图形与算式一一对应起来,找出图形和算式存在的相互关系。

1=（）2 1+3=（）2 1+3+5=（）2(2)老师:先填一下算式括号。1=(1)2 1+3=(2)2 1+3+5=(4)2 提问①:算式左边的加数有什么特点? 小组内讨论,然后集体汇报。

(观察后会发现:算式左边的加数是连续的奇数)提问②:算式左边的加数与构成的图形之间有什么关系? 小组内讨论,然后集体汇报。

(仔细观察后,我们会发现:算式左边的加数是大正方形左下角的小正方形和其他“ ”形图形所包含的小正方形个数之和正好是每行或每列小正方形个数的平方)提问③:算式右边括号里的数字与构成的图形之间有什么关系? 小组内讨论,然后集体汇报。

(仔细观察后会发现:算式右边括号里的数字是图形构成小正方形的个数)提问④:算式左边加数(除1图外)与右边括号里的数字之间有什么关系?算式左边的加数是1、3、5……n,右边括号里的数字用a表示,那么你能用字母表示其关系吗?小组内讨论,然后集体汇报。

(观察计算后,我们会发现:算式左边加数和的一半等于右边括号里的数字)老师:可以举一个例子吗? 学生: 提问②:从左到右连续相加计算,你发现了什么? 小组内讨论,然后集体汇报。

老师小结:有些问题通过画图,把数字、算式转化为图形,利用图形解答,更简洁直观。3.完成教材第108页“做一做”。(1)学生读题,然后独立完成。(2)集体订正。

观察点阵与算式的对应规律,再填空。

…

…

①②1+③1+4+4

④1+4+4+4

⑤……

⑥1+4+4+4+4+4 第⑥个点阵图中有多少个点?

如图,是用棋子摆成的图案,摆第1个图案需要7枚棋子,摆第2个图案需要19枚棋子,摆第3个图案需要37枚棋子,按照这样的方式摆下去,则摆第10个图案需要多少枚棋子?

①6+1=7 ②6×(1+2)+1=19 ③6×(1+2+3)+1=37 …… ⑩

课堂作业新设计

观察图形可得:第一个图形有1个点,可以写作1+(1-1)×4;第二个图形有1+4个点,可以写作1+(2-1)×4;第三个图形有1+4+4个点,可以写作1+(3-1)×4……则第n个图形的点数就可以写作1+(n-1)×4。当n=5时,点数为:1+(5-1)×4=17(个)当n=6时,点数为:1+(6-1)×4=21(个)。思维训练

第1个图案有7枚棋子;第2个图案有19枚棋子;相差12;6的2倍;第3个图案有37枚棋子;相差18;6的3倍;第4个图案有61枚棋子;相差24;6的4倍;……第n个图案有3n(n+1)+1枚棋子;相差6n;6的n倍;那么所求摆第10个图案需要棋子:3n(n+1)+1=3×10×(10+1)+1=331,即摆第10个图案需要331枚棋子。教材习题

教材第108页做一做 1.42+32 72+62 2.第6个图形中有6个红色小正方形,18个蓝色小正方形;第10个图形中有10个红色小正方形,26个蓝色小正方形。练习二十二

1.第5个图形最外圈有小正方形个数为112-92=40。道理略 2.画图略 第10个数是55。

3.三角形个数:1 4 9 16 周长:3 6 9 12 问题:(答案不唯一)如第10个图的周长是多少?含有多少个小三角形? 4.200×2=400(米)5.妈妈:第二幅图;爸爸:第三幅图;小兰:第一幅图。6.2盘,分别和小林、小强下的。

7.关系:①两边各是1,往中间数是左右对称状,数字相同;②且左右两边往中间数的第二个数,等于所在行的行数减1;下一行的数等于上一行左右两数的和。

8.* 因为大正方形面积=(a+b)2,四个小图形的面积之和=a2+b2+2ab,所以(a+b)2=a2+2ab+b2。

1.学生对富有情趣的古代著名数学问题很感兴趣。

2.对于绝大多数没有培优的学生来说,用“数形结合”思想解题既是重点也是难点。

学生已经在前面接触过“数形结合”思想,在解题时,老师要引导学生往“数形结合”思想这一方面靠拢,帮助学生突破难关。

1.教学时,强调激发学生兴趣,可讲古代数学故事。

2.老师适当引导,引导学生尝试用“数形结合”的思想去解题。文 章 来源莲山

课件 w ww.5 y kj.Co m

第五篇：《数与形》教学设计(成)

《数与形》教学设计

阿城区玉泉中心小学 郑海英

教学目标：

1．体会数与形的联系，进一步积累数形结合数学活动经验，培养学生数形结合的数学思想意识。

2．体验数形结合的数学思想方法价值，激发学生用数形结合思想方法解决问题的兴趣，感受数学的魅力。

3．在解决数学问题的过程中，体会和掌握数形结合、归纳推理等基本的数学思想。

教学重点、难点：积累数形结合数学活动经验，体验数学思想方法的价值，激发兴趣。

教学准备：课件，不同颜色的小正方形。

学具准备：不同颜色的小正方形，双面胶，课堂练习本。教学过程：

一、谈话导入，出示课题

1、师：最近老师发现，我有一项非常神奇的本领。什么本领呢？我发现只要从1开始的连续奇数相加，比如，1+3,1+3+5„„像这样的算式，我都算得特别快。快到什么程度呢，只要你能说出这样的算式，我差不多就能脱口而出。你们信吗？

2、师：不信也没关系，我们现场来比一比。找同学来出题，老师来和你们比赛，看看我是不是和传奇的那么快，好不好。我先找三名同学来出题。为了公平起见，为了我没有蒙你们，夜为了证明答案是否正确，我找两名同学用计算机计算，来验证结果。好不好？

3、活动开始：学生出题（一共出3题）老师边听出题边板书，然后快速说出答案。给你们一次机会，不知道，那我说100

4、师：怎么样?是不是特快？想知道我是怎么算出来的吗？你们想不想掌握这个方法，直接告诉你答案就不好玩了，还是你们自己研究好不好?但是现在我可以给你一点点的提示，我是借助图形来发现这个方法的的。（板书：“形”）

5、师：那今天这节课咱们就来研究“数与形”。（完成板书：数 与）

二、动手实践，以形解数

1．师：我先根据算式中的加数拿出若干个图形。比如，1+3，我就先拿一个小正方形，再拿三个小正方形（贴在黑板上），我发现这些数量的小正方形刚好可以拼成一个大正方形，那我就把它们拼成一个大的正方形。（边讲解边在黑板上拼摆）师：接着，我观察图形和算式之间的关系，就发现了可以快速算得结果的方法，你们想不想自己试试看？ 师：复杂的问题先从简单的开始，先来两个加数的，再来三个加数的。请同学们在小组内先完成第一步，再完成第二步，看看哪个小组最先发现老师的方法。

2．小组动手操作，教师巡视。

提问：那个小组发现了老师的方法。3．学生汇报，全班交流分析。先讨论1+3，再讨论1+3+5。（师补充解释： 第一组汇报：1在哪？3在哪？这下小正方形的个数和就是1+3的和。每行有几个，一共有几行，所以1+3他们的方法可以怎样算？ 这一组的表现怎样？我把他们的方法先写在黑板上。第二组汇报：三行三列，也可以算成3的平方。）师：那么我把这组同学汇报的方法还原在黑板上（一边拼摆一边讲解）

4、师：根据同学们的汇报，大家认为1+3=22，1+3+5=32。除了这两组同学的汇报，你们还有其他发现吗？

生：算式中加数的个数是几，和就等于几的平方。

师：你们认同他的方法吗？能不能举个具体的例子来说一说？ 生1：1+3+5+7+9=52。生2：1+3+5+7+9+11=62。生3:1+3+5+7+9+11+13=72 师：那么这些同学的猜想他们认为加数有几个，和也就是几的平方，所有的算式都有这样的规律吗？都可以这样计算吗？有人摇头有人点头，认为可以的说说你的理由，认为不可以的也说说你的理由，可以吗？

小组活动：那么请在小组里说说说理由。汇报：

1、应该是连续的基数

2|、所有的基数，必须是从1 开始的

3、面积单位更好一些。

师：你们看借助图形来说理由我们就明白了，那我们从头来看一看。请看屏幕：1+3+5+7+9=（52）。

师：一个小正方形可以看成1的平方（板书：1的平方，并贴1个小正方形），课件演示：1+3的拼法。想要拼成一个更大的正方形，再增加1个是不够的，增加的个数要比前一个加数再多2（也就是3）；想拼成更大的正方形，再增加3个是不够的，还要比3个再多2个（也就是5个），此时是1+3+5；再往下去，要加7才能拼成更大的正方形，依此类推，加到了9，就能排成每行、每列的个数是5的大正方形。

师：那看来只要是1开始的，连续的奇数相加，就能排成每行、每列个数是几的大正方形，和也就是几的平方。

5、练习。

（1）1+3+5+7+9=（）2；

1+3+5+7+9+11+13=（）2； ____________________________=92。师请学生独立完成，然后全班核对答案。

（2）（出示练习纸）利用规律，算一算（）。1+3+5+7+5+3+1=（）；

1+3+5+7+9+11+13+11+9+7+5+3+1=（）。全班交流，请学生说明计算结果和原因。

6、师小结：我们同学都很细心，现在不但能很快算出从1开始的连续奇数的和，稍加一点变化，你们也照样算得很快。现在知道老师是用什么方法来快速计算这些题的吧？（看板书说出黑板上3道计算题）师：老师这个方法算的快吗？巧妙吗？这么巧妙的方法，我们是借助什么发现的？（图形）。看来，有的计算问题借助图形解决会更容易。（板书：思考）就像这个题一样，我们借助图形发现了更巧妙、更简便的方法。那么计算问题能借助图形来思考，图形的问题会不会蕴含着数的规律呢？

三、练习巩固

1、（出示课件）下面每个图中各有多少个红色小正方形和多少个蓝色小正方形？

学生回答，课件出示答案。

师：请你认真思考、观察，上边的图形和对应的数之间有什么规律？学生活动：四人小组交流。

生：

1、中间的蓝色每次增加一个，红色就增减2个

2、每个图形两边都是固定不变的3个图形

师：刚才有一个同学说，蓝色的小正方形顺次增加1个，红色的小正方形顺次增加2个。为什么蓝色的小正方形每次增加1个，而红色的小正方形每次增加2个呢？

生汇报，然后到前面指图进行讲解，教师随机提问：稍等一会，在哪里增加的？ 师：解释的特别清楚，（出示课件讲解）我们一起来看一看。第一个图形，若要增加1个蓝色小正方形，其上方、下方就要各增加1个红色小正方形；依此类推，第三个图形在第二个图形的基础上增加了1个蓝色小正方形，则红色小正方形就要增加几个？

师：如果不让你看图，照这样画下去，第6个和第10个图形各有几个红色小正方形和蓝色小正方形呢？你能写出来吗？在练习本上写一写。

师请学生介绍：第6个图形有„„第10个图形有„„

师：说说你们是怎么算出来的。能不能解释计算的道理？先说蓝色的？

生汇报。师：因为蓝色从第一个图形开始就有一个，后边的就依次增加了一个，所以有几个图形就有几个蓝色。师：蓝色的你知道了，但是红色的是多少个呢？能不能也解释一下道理，在小组内先说说你是怎么算的？ 学生讨论后汇报结果。生1：8+2+10 等于22 生2: 26 方法一样算的结果却不一样，因为这是第10个啊，如果个数更多，这样一个一个加，是不是更容易出错，有麻烦，那么有没有更快的方法呢？

生3：一边汇报方法，一边指一指 师：指图观察发现，图形中左右两侧的红色小正方形个数固定不变（为6个），在中间部分，蓝色小正方形的个数乘以2就是红色小正方形的个数。即使在蓝色小正方形个数较多的情况下，仍然可以算得很快，看来图形问题确实也蕴涵着数的规律。（板书：规律）找到了其中的规律，解决问题就清晰、容易多了。

2、师：其实数和形之间还有着很多的奥秘，有的特殊的数和特殊的形之间还存在着密切的联系。（课件出示教材第109页练习二十二第2题。）

比如：这是一个圆，这是3个圆，课件出示教材第109页练习二十二第2题。学生回答，课件出示答案。

（1）、师：上方有图，下方有对应的数字，请你观察和思考，图和数之间有什么规律？小组交流一下。全班交流。生：第2个图形中小圆的个数为1+2，第3个图形中小圆的个数为1+2+3，第4个图形中小圆的个数为1+2+3+4。学生：是第几个图形，其中就有几行小圆。师：照这个规律往下画，你能画出来吗？图形下方的数字表示的是什么？第5个、第6个、第7个图形下方的数，你能不能很快写出来？ 师请学生独立完成在练习纸上。

师请学生汇报，说说是怎么得到结果的。

师：图形中的最后一行是第几行？含有几个小圆？

师：现在如果老师不让你画图，你能不能想象一下第10个图形，它是什么样子的？一共有多少个小圆呢？现在我们就不画图，算一算，第10个图形下方的那个数是多少？能算出来吗？动笔试一试。展示学生作品，请学生介绍方法。

（2）、教师介绍“三角形数”“正方形数”。

师：同学们发现没有，55个小圆能排成什么图形？（三角形）而且这个三角形的每一行的小圆的个数分别是从1到10。

师：回过头来看看。3、6、10、15、21呢？它们是否也具有同样的特点？

师：在数学上，我们把1、3、6、10、15、21、28、55这样的数称为“三角形数”。请同学们想一想，28后面的下一个三角形数是多少？（36）

师：大家再看黑板上的正方形，一个图形，如果是4个小正方形可以拼成大正方形，如果是9个小正方形可以拼成大正方形，16个小正方形也可以拼成大正方形。你有什么想法？还是有什么疑问吗？ 学生汇报。

师：像1、4、9、16这样的数，我们称之为“正方形数”。16下一个正方形数是多少？（25）

师：其实正方形数和三角形数还有更密切的联系呢？

想知道吗？正真想知道？睁大眼睛看着（出示课件）

9是一个正方形数，可以拆成两个三角形数，而且这两个三角形数还是相邻的，任意一个正方形都可以拆成两个三角形数相加的和，好玩吗？有趣吗？看来数和形之间还有着千丝万缕的联系啊！正是因为有了这样的联系在我们以前的学习过程当中，就有很多数形结合的例子，想想看有没有过？从幼儿园时就有过了，幼儿园或者你的妈妈是怎么教你的1+1等于？

你在想想我们这么多年的学习当中有没有过？

学生汇报：学习分数，学习小数，学习三角形的面积，师：我们六年级这个学期有没有很多？ 学生汇报：圆的面积 师：（出示课件）一年级计算时用小圆形、学习分数用到了图形、分数乘法借助了图形、这个学期我们画了很多的线段图解决实际问题、刚才有的同学也提到了平行四边形的面积、周长我们都能用数的运算来解决。看来数形结合在我们小学的学习中很多时候都在运用，是不是。

四、回顾反思

今天这节课我们来一起研究了什么？（数与形）你有什么感受？ 学生汇报：

1、计算当中可以通过形发现其中的简便方法

2、数与形可以互换，遇到难算的数可一想到图形，评价：相信你以后的学习方法一定相当灵活

3、遇到问题时应该见数想形，见形想数 师总结：其实我国的数学家华罗庚先生对数形结合的研究很深入，他对数和形之间他的感受是（出示课件）他的感受和我们同学们会不会产生共鸣啊！今天这节课我们就上到这里，下课。