抽屉原理教学案例五篇

第一篇：抽屉原理教学案例

《抽屉原理》教学案例

本节课我主要鼓励学生借助学具、实物操作等方式进行“说理”，让学生初步经历“数学证明”的过程。在经历“数学化”过程中，结合学生已有的知识水平和思维特点，创造一种和谐愉悦的氛围，采用“动手实践、自主探索”的学习方式，让学生能够从中感受到学习的乐趣，并主动地去探求知识，发展思维。因此，我力图从以下几个方面来反映和体现《数学课程标准》的理念。【教学目标】

1．经历“抽屉原理”的探究过程，初步了解“抽屉原理”，会用“抽屉原理”解决简单的实际问题。

2．通过操作发展学生的类推能力，形成比较抽象的数学思维。

3．通过“抽屉原理”的灵活应用感受数学的魅力。【教学重、难点】

经历“抽屉原理”的探究过程，理解“抽屉原理”，并对一些简单实际问题加以“模型化”。【教学过程】

一、用一副牌展示“抽屉原理”。

师：这有一副牌，老师用它变一个魔术。想看吗？这个魔术的名字叫“猜花色”。老师请5名同学每人随意抽一张牌。我能猜到，至少有两位同学的手中的花色是相同的，你们信吗？（老师与学生合作完成魔术）师：谁能猜一猜，我是用什么方法知道的结果？ 二、揭示课题，板书课题《抽屉原理》 师：刚才老师和这5名同学合作展示了抽屉原理中最简单的一种问题。抽屉原理很神奇，我们用它可以解决很多有趣的的问题，想弄明白这个原理吗？这节课我们就一起来探究这种神秘的原理

二、探究新知

（一）教学例1

1．出示题目：有4枝铅笔，3个盒子，把4枝铅笔放进3个盒子里，怎么放？有几种不同的放法？

师：请同学们实际放放看，谁来展示一下你摆放的情况？（指名摆）根据学生摆的情况，师出示各种情况。

板书：（4，0，0）（3，1，0）（2，2，0）（2，1，1），引导学生得出：不管怎么放，总有一个盒子里至少有2枝笔。

问题：

（1）“总有”是什么意思？（一定有）

（2）“至少”有2枝什么意思？（不少于两只，可能是2枝，也可能是多于2枝？）

如果把6枝铅笔放进5个文具盒里呢？把7枝铅笔放进6个文具盒里呢？ 把10枝铅笔放进9个文具盒里呢？把100枝铅笔放进99个文具盒里呢？发现了什么？

教师引导学生总结规律：我们把4枝笔放进3个盒子里，不管怎么放，总有一个盒子里至少有2枝铅笔。这是我们通过实际操作现了这个结论。那么，你们能不能找到一种更为直接的方法得到这个结论呢？ 学生思考并进行组内交流，教师选代表进行总结：如果每个盒子里放1枝铅笔，最多放3枝，剩下的1枝不管放进哪一个盒子里，总有一个盒子里至少有2枝铅笔。首先通过平均分，余下1枝，不管放在那个盒子里，一定会出现“总有一个盒子里一定至少有2枝”。

问题：把6枝笔放进5个盒子里呢？还用摆吗？把7枝笔放进6个盒子里呢？把8枝笔放进7个盒子里呢？把9枝笔放进8个盒子里呢？„„你发现什么？（笔的枝数比盒子数多1，不管怎么放，总有一个盒子里至少有2枝铅笔。）

总结：只要放的铅笔数盒数多1，总有一个盒里至少放进2支。总有一个抽屉至少放进数量怎么算？ 生：“商+余数”

师：“商+余数”就是总有一个杯子至少放的数量吗？让我们带着这个问题继续探究。

出示（1）8只鸽子飞回3个鸽舍，至少有几只飞进同一个鸽舍？为什么？ 要求:用实验和算式结合理解。生：8 ÷3=2„„2 生：至少有3只鸽子飞进同一鸽舍，因为剩余的2只尽量分别飞进不同的鸽舍。应该是“2+1”而不是“2+2”

出示做一做：（2）15只鸽子飞进4个鸽舍，总有一个鸽舍至少有几只？ 15÷4=3„„3 3＋1=4（只）学生讨论实验

得出结论：总有一个鸽舍至少飞进的鸽子数是“商＋1”，而不是“商+余数”。教师小结: 今天我们研究的这种现象是数学中有趣的抽屉原理，我们用的小棒（鸽子）是被分的物体，那么，杯子（鸽笼）就当成“抽屉”。即把M个物体放进N个抽屉里，M÷N=A„„B，总有一个抽屉里至少放（A＋1）个物体

（二）教学例2

1．出示题目：把5本书放进2个抽屉里，不管怎么放，总有一个抽屉里至少有几本书？把7本书放进2个抽屉里，不管怎么放，总有一个抽屉里至少有几本书？把9本书放进2个抽屉里，不管怎么放，总有一个抽屉里至少有几本书？

（留给学生思考的空间，师巡视了解各种情况）

2．学生汇报，教师给予表扬后并总结：

总结1：把5本书放进2个抽屉里，如果每个抽屉里先放2本，还剩1本，这本书不管放到哪个抽屉里，总有一个抽屉里至少有3本书。

总结2：“总有一个抽屉里的至少有2本”只要用“商+1”就可以得到。

问题：如果把5本书放进3个抽屉里，不管怎么放，总有一个抽屉里至少有几本书？用“商+2”可以吗？（学生讨论）

引导学生思考：到底是“商+1”还是“商+余数”呢？谁的结论对呢？（学生小组里进行研究、讨论。）

总结：用书的本数除以抽屉数，再用所得的商加1，就会发现“总有一个抽屉里至少有商加1本书”了。

三、解决问题 联系生活 拓展运用

1、玩扑克游戏。54张扑克牌出去大小王，在52张中，最少抽出几张，一定有2张同样的花色。

2、让学生举出生活中的事例，并加以分析。

评析：让学生体会到数学来源于生活，在生活中享受学习运用数学的乐趣。

板书设计：

抽屉原理

一、当物体数＞ 抽屉数（物体数不是抽屉数的倍数）

物体 抽屉（物体数不是抽屉数的倍数）

铅笔 铅笔盒 总有一个铅笔盒中至少有“商+1”枝铅笔 假设法：4 ÷ 3 = 1„„1 2 6 ÷ 5 = 1„„1 2 7 ÷ 6 = 1„„1 2 8 ÷ 7 = 1„„1 2 鸽子 鸽舍 总有一个鸽舍至少有“商+1”只鸽子 8 ÷ 3= 2„„2 3 15 ÷ 4= 3„„3 4

二、当物体数＞ 抽屉数（物体数是抽屉数的倍数）

只要物体数比抽屉数多（物体数是抽屉数的倍数），总有一个抽屉中至少有 “商”个物体。÷ 2 = 2 2 9 ÷ 2 = 4 1 只要物体的数量比抽屉的数量多，当物体数不是抽屉数的倍数时，总有一个抽屉中至少有“商+1”个物体；当物体数是抽屉数的倍数时，总有一个抽屉中至少有“商”个物体。

总结：只要物体数比抽屉数多，总有一个抽屉中至少有“商+1” 个 或“商”个物体。

教学反思：

我认为解决抽屉原理不可能总是依靠实践操作，玩的目的也是让学生找到规律，建立一个解决同类问题的模型。因此在教学抽屉原理时，让学生在玩中，在解决问题中层层深入，创设数学问题情景，在交流中引导学生对“枚举法”、“假设法”等方法进行比较，使学生逐步学会运用一般性的数学方法来思考问题，发展学生的抽象思维能力。使学生找到解决问题的关键，帮助建立了数学模型。在接下来的教学中，抓住假设法中最核心的思路用“有余数除法” 形式表示出来，使学生学生借助直观的分一分，把笔尽量 “平均分”给各个抽屉里，看每个抽屉里能分到多少支笔，余下的笔不管放到哪个抽屉里，总有一个抽屉里比平均分得的笔数多1个。特别是对“某个抽屉至少数”是除法算式中的商加“1”，而不是商加“余数”，适时挑出针对性问题进行交流、讨论，使学生从本质上理解了“抽屉原理”。

本课教学我认为存在不足之处：

“抽屉原理”在生活中运用灵活广泛，学生在生活中常常能遇到实例，但在应用过程中学生并不能有意识地从数学的角度来理解和运用“抽屉原理”。我们教学中应有意识地让学生理解“抽屉原理”的“一般化模型”。因此，在今后的教学中还要多了解学生，多挖掘学生的潜力，充分调动学生学习的积极性和主动性发展学生思维。

通过这节课的教学使我也认识到：在教学时应放手让学生自主思考，先让学生采用自己的方法进行“证明”，然后再进行交流，只要是合理的，都应给予鼓励，当然更要优化探究过程，只有这样才有助于培养学生具体情况具体分析的数学思维能力，才能真正构建出高效率的数学课堂。

第二篇：《数学广角-抽屉原理》教学案例-（范文）

《数学广角-抽屉原理》教学案例

《抽屉原理》是义务教育课程标准实验教科书人教版六年级下册第五单元数学广角的教学内容。本节课我主要鼓励学生借助学具、实物操作、观看课件等方式进行“说理”，让学生初步经历“数学证明”的过程。在经历“数学化”过程中，结合学生已有的知识水平和思维特点，创造一种和谐愉悦的氛围，采用“动手实践、自主探索”的学习方式，让学生能够从中感受到学习的乐趣，并主动地去探求知识，发展思维。因此，我力图从以下几个方面来反映和体现《数学课程标准》的理念。

1、认真钻研教材，让教材为我所用。在准确把握教材编写意图，深刻理解教材内容，领悟教材所反应的知识要点、教学思想方法基础上，在充分了解学生已有的学习水平和生活经验基础上，对教材内容进行恰当地选择与改编、删减与补充，设计出有利于学生学习的教学方案。

2、把课堂交给学生，让学生成为认识、探索、发展的主体。《数学课程标准》 指出：“学生是数学学习的主人，而教师则是数学学习的组织者、引导者与合作者。”学生在教师的指导下，在观察、操作、讨论、交流、猜测、归纳、分析和整理的过程中，理解数学问题的提出、数学概念的形成和数学结论的获得，以及数学知识的应用，主动地参与教学的全过程，逐步地培养创新意识，形成初步的探索和解决问题的能力。教学片段与反思 教学目标：

1、知识与技能

初步了解抽屉原理，运用抽屉原理知识解决简单的实际问题。

2、过程与方法 经历抽屉原理的探究过程，通过动手操作、分析、推理等活动，发现、归纳、总结原理。

3、情感与态度

通过“抽屉原理”的灵活应用感受数学的魅力；提高同学们解决问题的能力和兴趣。

教学重点：经历“抽屉原理”的探究过程，初步了解“抽屉原理”。教学难点：理解“抽屉原理”，并对一些简单实际问题加以“模型化”。教学过程：

片段一：创设情景 导入新课 活动：游戏“抢椅子”。

师：游戏规则：四名同学抢三个凳子，这4位学生必须都坐下。师:同学们观察，你发现了什么现象？

生：不管怎么坐，一定有一个凳子上坐了2位同学

师：像这样的现象中隐藏着什么数学奥秘？本节课就让我们一起走进数学广角来研究这个原理！

评析：此游戏在很多公开课和教案设计中都设计，因为它能非常直观让学生参与其中，通过参与引发思考，这样不仅能激发学生的学习兴趣，为学生学习新知做好心理上的准备，使学生一开始就以一种跃跃欲试的愉悦状态投入到整堂课的学习当中。

片段二：自主探究 合作交流

出示题目：

1、把3根小棒放进2个杯子里，你发现什么？ 摆一摆：

生：我发现有两种情况分别是：（1、2）（0、3）生：一定有一个杯子里放2根或3根的小棒。师我们继续研究：

2、把4根小棒放进3个杯子里呢？

生：说出四种情况分别是（4，0，0）（3，1，0）（2，2，0）（2，1，1）师板书：并说明这种方法叫列举法。

生：一定有一个杯子里放进了2根3根或4根。师:“一定有”是什么意思？ 生：“一定有”即“总有”的意思。

师：“2根、3根、4根”可以说是“2根或2根以上”用什么词语表示最贴切？ 生：“至少有2根”。

师：非常贴切！那么，请同学们用“总有”和“至少”对上述现象进行表述。生：总有一个杯子里至少放进了2根小棒

3、出示：把5根小棒放进4个杯子里。会有什么结论？那么，把6枝小棒放进5个杯子里，把7根铅笔放进6个杯子里？把100根放进99杯子里呢？用你喜欢的方法进行探究。

生：我根据以上的实验进行推理。生：我用的是假设法。

生:我把100枝小棒平均放在99个杯子里，剩下的1枝任意放进一个杯子。得出结论：

生:当小棒的根数比杯子多1时，不管怎么放，总有一个杯子里至少放2根小棒。

4、出示：把5枝小棒放进2个杯子里，不管怎么放，你会得出什么结论？如果一共有7枝？9枝呢？你能用又快又简单的方法吗？

生：我把5枝小棒平均放在2个杯子里，每个杯子放2枝，还剩1枝任意放在一个杯子。所以，总有一个杯子里至少放3根小棒，那么，算式 5÷2=2……1 2＋1=3（根）生：把7枝、9枝平均放在2个杯子里，总有一个抽屉至少放进4枝、5枝小棒。

教师板书： 总有一个抽屉至少放进 7÷2=3……1 3＋1=4（枝）9÷2=4……1 4＋1=5（枝）师：总有一个抽屉至少放进数量怎么算？ 生：“商+余数”

师：“商+余数”就是总有一个杯子至少放的数量吗？让我们带着这个问题继续探究。

出示（1）8只鸽子飞回3个鸽舍，至少有几只飞进同一个鸽舍？为什么？ 要求:用实验和算式结合理解。生：8 ÷3=2……2 生：至少有3只鸽子飞进同一鸽舍，因为剩余的2只尽量分别飞进不同的鸽舍。应该是“2+1”而不是“2+2”

出示做一做：（2）15只鸽子飞进4个鸽舍，总有一个鸽舍至少有几只？ 15÷4=3……3 3＋1=4（只）学生讨论实验

得出结论：总有一个鸽舍至少飞进的鸽子数是“商＋1”，而不是“商+余数”。教师小结: 今天我们研究的这种现象是数学中有趣的抽屉原理，我们用的小棒（鸽子）是被分的物体，那么，杯子（鸽笼）就当成“抽屉”。即把M个物体放进N个抽屉里，M÷N=A……B，总有一个抽屉里至少放（A＋1）个物体

评析：教师把学生带入了广阔的探究空间，让学生从简单到复杂通过亲身体验，实际操作，合作交流等形式，让学生在充分的参与中去感悟、带着问题去思考、去实践、去推理。对于学生的探究，教师引导学生用自己喜欢的方法尝试也能体现“以人为本”的教学思想，学生的思维不受约束，有利于培养学生的思维能力。

片段三：联系生活 拓展运用

1、玩扑克游戏。54张扑克牌出去大小王，在52张中，最少抽出几张，一定有2张同样的花色。

2、让学生举出生活中的事例，并加以分析。

评析：让学生体会到数学来源于生活，在生活中享受学习运用数学的乐趣。教学反思：

本节课是我准备的一堂教学竞赛课，我认真钻研教材，四处搜集资料，学习名师课例，并根据我班学生的认知水平进行了。本课的教学重点是让学生经历“抽屉原理”的探究过程，让学生在观察、猜测、操作、推理和交流等数学活动中初步了解“抽屉原理”，并能运用所学知识解决有关实际问题。本节课成功之处有两点：

一、创设情境，从游戏活动中感知抽屉原理。从学生喜欢的“抢凳子”游戏开始，让学生初步体验不管怎么坐，总有一把椅子上至少做着两个学生，使学生明确这是现实生活中存在着的一种现象，激发了学生的学习兴趣，让学生利用已有的经验初步感知抽象的“抽屉原理”。

二、自主探究，从直观到抽象中建立数学模型。“把3根小棒放进2个杯子里，不管怎么放，总有一个杯子里至少放进2根小棒”，然后交流展示，为后面开展教与学的活动做了铺垫。此处设计注意了从最简单的数据开始摆放，有利于学生观察、理解，有利于调动所有的学生积极性。再分组探究“把4根、5根分别放在3、4个杯子里”观察到的情况记录下来，引导学生理解“小棒”就是“物体”，而“杯子”就是“抽屉”，体验和理解“抽屉原理”的最基本原理，抓住 “总有”“至少” 的理解，让学生充分表述。当物体个数大于抽屉个数时，一定有一个抽屉中放进了至少2个物体。然后出示“把5根小棒放进2个杯子的情况，或7根、9根小棒放进2个杯子的情况”根据数据的变化，教师引导学生探究最快最准的方法，使学生借助直观，很好的理解了把小棒尽量地“平均分”给杯子里，在这一环节的教学中抓住了最核心的思路就是用“有余数除法” 形式表示出来，看每个杯子里能分到多少根小棒，余下的小棒不管放到哪个杯子里，总有一个杯子里比平均分得的小棒的根数多1。部分同学错误地理解为至少要“商+ 余数”根小棒。这时带着至少放“商+ 余数”这个问题再进行探究： 8只鸽子飞回3个鸽舍，至少有几只飞进同一个鸽舍？为什么？让学生结合学具和算术方法进行分析，学生合作讨论很快得出：至少放进“商+1”根而不是“商+余数”根小棒。最后师生共同归纳M个物体放进N个抽屉[M÷N=A……B] 总有一个抽屉里至少放进（A＋1）个物体，使学生从本质上理解了“抽屉原理”。

本课教学我认为存在不足之处：

一、虽然在授课过程中能结合简单的生活实例进行设计教学过程，学生容易理解。但是，对于一种现象有两种不同的方式描述，学生一时难以转化，如“总有一只鸽笼至少飞进2只鸽子”和“至少有2只鸽子飞进同一只鸽笼”的理解引导不够，这必须让学生充分进行对比描述，且要一边思考一边表述才能很好地理解。

二、“抽屉原理”在生活中运用灵活广泛，学生在生活中常常能遇到实例，但在应用过程中学生并不能有意识地从数学的角度来理解和运用“抽屉原理”。我们教学中应有意识地让学生理解“抽屉原理”的“一般化模型”。因此，在今后的教学中还要多了解学生，多挖掘学生的潜力，充分调动学生学习的积极性和主动性发展学生思维。

三、课堂容量有点过大，超出了学生的接受水平，并且对“抽屉原理”的重点掌握不到位，对于需要强调的一些知识点草草带过，导致课堂重点不够突出。

通过这节课的教学使我也认识到：在教学时应放手让学生自主思考，先让学生采用自己的方法进行“证明”，然后再进行交流，只要是合理的，都应给予鼓励，当然更要优化探究过程，只有这样才有助于培养学生具体情况具体分析的数学思维能力，才能真正构建出高效率的数学课堂。

第三篇：抽屉原理

抽屉原理

把5个苹果放到4个抽屉中，必然有一个抽屉中至少有2个苹果，这是抽屉原理的通俗解释。一般地，我们将它表述为：

第一抽屉原理：把（mn＋1）个物体放入n个抽屉，其中必有一个抽屉中至少有（m＋1）个物体。

使用抽屉原理解题，关键是构造抽屉。一般说来，数的奇偶性、剩余类、数的分组、染色、线段与平面图形的划分等，都可作为构造抽屉的依据。

例1 从1，2，3，…，100这100个数中任意挑出51个数来，证明在这51个数中，一定：

（1）有2个数互质；

（2）有2个数的差为50；

（3）有8个数，它们的最大公约数大于1。

证明：（1）将100个数分成50组：

{1，2}，{3，4}，…，{99，100}。

在选出的51个数中，必有2个数属于同一组，这一组中的2个数是两个相邻的整数，它们一定是互质的。

（2）将100个数分成50组：

{1，51}，{2，52}，…，{50，100}。

在选出的51个数中，必有2个数属于同一组，这一组的2个数的差为50。

（3）将100个数分成5组（一个数可以在不同的组内）：

第一组：2的倍数，即{2，4，…，100}；

第二组：3的倍数，即{3，6，…，99}；

第三组：5的倍数，即{5，10，…，100}；

第四组：7的倍数，即{7，14，…，98}；

第五组：1和大于7的质数即{1，11，13，…，97}。

第五组中有22个数，故选出的51个数至少有29个数在第一组到第四组中，根据抽屉原理，总有8个数在第一组到第四组的某一组中，这8个数的最大公约数大于1。

例2 求证：可以找到一个各位数字都是4的自然数，它是1996的倍数。

证明：因1996÷4＝499，故只需证明可以找到一个各位数字都是1的自然数，它是499的倍数就可以了。

得到500个余数r1，r2，…，r500。由于余数只能取0，1，2，…，499这499个值，所以根据抽屉原理，必有2个余数是相同的，这2个数的差就是499的倍数，这个差的前若干位是1，后若干位是0：11…100…0，又499和10是互质的，故它的前若干位由1组成的自然数是499的倍数，将它乘以4，就得到一个各位数字都是4的自然数，它是1996的倍数。

例3 在一个礼堂中有99名学生，如果他们中的每个人都与其中的66人相识，那么可能出现这种情况：他们中的任何4人中都一定有2人不相识（假定相识是互相的）。

分析：注意到题中的说法“可能出现……”，说明题的结论并非是条件的必然结果，而仅仅是一种可能性，因此只需要设法构造出一种情况使之出现题目中所说的结论即可。

解：将礼堂中的99人记为a1，a2，…，a99，将99人分为3组：

（a1，a2，…，a33），（a34，a35，…，a66），（a67，a68，…，a99），将3组学生作为3个抽屉，分别记为A，B，C，并约定A中的学生所认识的66人只在B，C中，同时，B，C中的学生所认识的66人也只在A，C和A，B中。如果出现这种局面，那么题目中所说情况

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就可能出现。

因为礼堂中任意4人可看做4个苹果，放入A，B，C三个抽屉中，必有2人在同一抽屉，即必有2人来自同一组，那么他们认识的人只在另2组中，因此他们两人不相识。

例4 如右图，分别标有数字1，2，…，8的滚珠两组，放在内外两个圆环上，开始时相对的滚珠所标数字都不相同。当两个圆环按不同方向转动时，必有某一时刻，内外两环中至少有两对数字相同的滚珠相对。

分析：此题中没有直接提供我们用以构造抽屉和苹果的数量关系，需要转换一下看问题的角度。

解：内外两环对转可看成一环静止，只有一个环转动。一个环转动一周后，每个滚珠都会有一次与标有相同数字的滚珠相对的局面出现，那么这种局面共要出现8次。将这8次局面看做苹果，再需构造出少于8个抽屉。

注意到一环每转动45°角就有一次滚珠相对的局面出现，转动一周共有8次滚珠相对的局面，而最初的8对滚珠所标数字都不相同，所以数字相同的滚珠相对的情况只出现在以后的7次转动中，将7次转动看做7个抽屉，8次相同数字滚珠相对的局面看做8个苹果，则至少有2次数字相对的局面出现在同一次转动中，即必有某一时刻，内外两环中至少有两对数字相同的滚珠相对。

例5 有一个生产天平上用的铁盘的车间，由于工艺上的原因，只能控制盘的重量在指定的20克到20.1克之间。现在需要重量相差不超过0.005克的两只铁盘来装配一架天平，问：最少要生产多少个盘子，才能保证一定能从中挑出符合要求的两只盘子？

解：把20～20.1克之间的盘子依重量分成20组：

第1组：从20.000克到20.005克；

第2组：从20.005克到20.010克；

……

第20组：从20.095克到20.100克。

这样，只要有21个盘子，就一定可以从中找到两个盘子属于同一组，这2个盘子就符合要求。

例6 在圆周上放着100个筹码，其中有41个红的和59个蓝的。那么总可以找到两个红筹码，在它们之间刚好放有19个筹码，为什么？

分析：此题需要研究“红筹码”的放置情况，因而涉及到“苹果”的具体放置方法，由此我们可以在构造抽屉时，使每个抽屉中的相邻“苹果”之间有19个筹码。

解：依顺时针方向将筹码依次编上号码：1，2，…，100。然后依照以下规律将100个筹码分为20组：

（1，21，41，61，81）；

（2，22，42，62，82）；

……

（20，40，60，80，100）。

将41个红筹码看做苹果，放入以上20个抽屉中，因为41=2×20＋1，所以至少有一个抽屉中有2+1=3（个）苹果，也就是说必有一组5个筹码中有3个红色筹码，而每组的5个筹码在圆周上可看做两两等距，且每2个相邻筹码之间都有19个筹码，那么3个红色筹码中必有2个相邻（这将在下一个内容——第二抽屉原理中说明），即有2个红色筹码之间有19个筹码。

下面我们来考虑另外一种情况：若把5个苹果放到6个抽屉中，则必然有一个抽屉空着。这种情况一般可以表述为：

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第二抽屉原理：把（mn-1）个物体放入n个抽屉，其中必有一个抽屉中至多有（m-1）个物体。

例7 在例6中留有一个疑问，现改述如下：在圆周上放有5个筹码，其中有3个是同色的，那么这3个同色的筹码必有2个相邻。

分析：将这个问题加以转化：

如右图，将同色的3个筹码A，B，C置于圆周上，看是否能用另外2个筹码将其隔开。

解：如图，将同色的3个筹码放置在圆周上，将每2个筹码之间的间隔看做抽屉，将其余2个筹码看做苹果，将2个苹果放入3个抽屉中，则必有1个抽屉中没有苹果，即有2个同色筹码之间没有其它筹码，那么这2个筹码必相邻。

例8 甲、乙二人为一个正方形的12条棱涂红和绿2种颜色。首先，甲任选3条棱并把它们涂上红色；然后，乙任选另外3条棱并涂上绿色；接着甲将剩下的6条棱都涂上红色。问：甲是否一定能将某一面的4条棱全部涂上红色？

解：不能。

如右图将12条棱分成四组：

第一组：{A1B1，B2B3，A3A4}，第二组：{A2B2，B3B4，A4A1}，第三组：{A3B3，B4B1，A1A2}，第四组：{A4B4，B1B2，A2A3}。

无论甲第一次将哪3条棱涂红，由抽屉原理知四组中必有一组的3条棱全未涂红，而乙只要将这组中的3条棱涂绿，甲就无法将某一面的4条棱全部涂红了。

下面我们讨论抽屉原理的一个变形——平均值原理。

我们知道n个数a1，a2，…，an的和与n的商是a1，a2，…，an这n个数的平均值。平均值原理：如果n个数的平均值为a，那么其中至少有一个数不大于a，也至少有一个不小于a。

例9 圆周上有2000个点，在其上任意地标上0，1，2，…，1999（每一点只标一个数，不同的点标上不同的数）。求证：必然存在一点，与它紧相邻的两个点和这点上所标的三个数之和不小于2999。

解：设圆周上各点的值依次是a1，a2，…，a2000，则其和

a1＋a2+…＋a2000=0+1+2+…+1999=1999000。

下面考虑一切相邻三数组之和：

（a1＋a2＋a3）+（a2＋a3＋a4）＋…＋（a1998+a1999＋a2000）＋（a1999＋a2000＋a1）＋（a2000＋a1＋a2）

=3（a1＋a2＋…＋a2000）

＝3×1999000。

这2000组和中必至少有一组和大于或等于

但因每一个和都是整数，故有一组相邻三数之和不小于2999，亦即存在一个点，与它紧相邻的两点和这点上所标的三数之和不小于2999。

例10 一家旅馆有90个房间，住有100名旅客，如果每次都恰有90名旅客同时回来，那么至少要准备多少把钥匙分给这100名旅客，才能使得每次客人回来时，每个客人都能用自己分到的钥匙打开一个房门住进去，并且避免发生两人同时住进一个房间？

解：如果钥匙数小于990，那么90个房间中至少有一个房间的钥匙数少房间就打不开，因此90个人就无法按题述的条件住下来。

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另一方面，990把钥匙已经足够了，这只要将90把不同的钥匙分给90个人，而其余的10名旅客，每人各90把钥匙（每个房间一把），那么任何90名旅客返回时，都能按要求住进房间。

最后，我们要指出，解决某些较复杂的问题时，往往要多次反复地运用抽屉原理，请看下面两道例题。

例11 设有4×28的方格棋盘，将每一格涂上红、蓝、黄三种颜色中的任意一种。试证明：无论怎样涂法，至少存在一个四角同色的长方形。

证明：我们先考察第一行中28个小方格涂色情况，用三种颜色涂28个小方格，由抽屉原理知，至少有10个小方格是同色的，不妨设其为红色，还可设这10个小方格就在第一行的前10列。

下面考察第二、三、四行中前面10个小方格可能出现的涂色情况。这有两种可能：

（1）这三行中，至少有一行，其前面10个小方格中，至少有2个小方格是涂有红色的，那么这2个小方格和第一行中与其对应的2个小方格，便是一个长方形的四个角，这个长方形就是一个四角同是红色的长方形。

（2）这三行中每一行前面的10格中，都至多有一个红色的小方格，不妨设它们分别出现在前三列中，那么其余的3×7个小方格便只能涂上黄、蓝两种颜色了。

我们先考虑这个3×7的长方形的第一行。根据抽屉原理，至少有4个小方格是涂上同一颜色的，不妨设其为蓝色，且在第1至4列。

再考虑第二行的前四列，这时也有两种可能：

（1）这4格中，至少有2格被涂上蓝色，那么这2个涂上蓝色的小方格和第一行中与其对应的2个小方格便是一个长方形的四个角，这个长方形四角同是蓝色。

（2）这4格中，至多有1格被涂上蓝色，那么，至少有3格被涂上黄色。不妨设这3个小方格就在第二行的前面3格。

下面继续考虑第三行前面3格的情况。用蓝、黄两色涂3个小方格，由抽屉原理知，至少有2个方格是同色的，无论是同为蓝色或是同为黄色，都可以得到一个四角同色的长方形。

总之，对于各种可能的情况，都能找到一个四角同色的长方形。

例12 试卷上共有4道选择题，每题有3个可供选择的答案。一群学生参加考试，结果是对于其中任何3人，都有一道题目的答案互不相同。问：参加考试的学生最多有多少人？

解：设每题的三个选择分别为a，b，c。

（1）若参加考试的学生有10人，则由第二抽屉原理知，第一题答案分别为a，b，c的三组学生中，必有一组不超过3人。去掉这组学生，在余下的学生中，定有7人对第一题的答案只有两种。对于这7人关于第二题应用第二抽屉原理知，其中必可选出5人，他们关于第二题的答案只有两种可能。对于这5人关于第三题应用第二抽屉原理知，可以选出4人，他们关于第三题的答案只有两种可能。最后，对于这4人关于第四题应用第二抽屉原理知，必可选出3人，他们关于第四题的答案也只有两种。于是，对于这3人来说，没有一道题目的答案是互不相同的，这不符合题目的要求。可见，所求的最多人数不超过9人。

另一方面，若9个人的答案如下表所示，则每3人都至少有一个问题的答案互不相同。

所以，所求的最多人数为9人。练习13

1.六（1）班有49名学生。数学王老师了解到在期中考试中该班英文成绩除3人外均在86分以上后就说：“我可以断定，本班同学至少有4人成绩相同。”请问王老师说得对吗？为什么？

2.现有64只乒乓球，18个乒乓球盒，每个盒子里最多可以放6只乒乓球，至少有几个

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乒乓球盒子里的乒乓球数目相同？

3.某校初二年级学生身高的厘米数都为整数，且都不大于160厘米，不小于150厘米。问：在至少多少个初二学生中一定能有4个人身高相同？

4.从1，2，…，100这100个数中任意选出51个数，证明在这51个数中，一定：

（1）有两个数的和为101；

（2）有一个数是另一个数的倍数；

（3）有一个数或若干个数的和是51的倍数。

5.在3×7的方格表中，有11个白格，证明

（1）若仅含一个白格的列只有3列，则在其余的4列中每列都恰有两个白格；

（2）只有一个白格的列只有3列。

6.某个委员会开了40次会议，每次会议有10人出席。已知任何两个委员不会同时开两次或更多的会议。问：这个委员会的人数能够多于60人吗？为什么？

7.一个车间有一条生产流水线，由5台机器组成，只有每台机器都开动时，这条流水线才能工作。总共有8个工人在这条流水线上工作。在每一个工作日内，这些工人中只有5名到场。为了保证生产，要对这8名工人进行培训，每人学一种机器的操作方法称为一轮。问：最少要进行多少轮培训，才能使任意5个工人上班而流水线总能工作？

8.有9名数学家，每人至多能讲3种语言，每3人中至少有2人能通话。求证：在这9名中至少有3名用同一种语言通话。

练习13

1.对。解：因为49-3=3×（100-86+1）+1，即46=3×15+1，也就是说，把从100分至86分的15个分数当做抽屉，49-3=46（人）的成绩当做物体，根据第二抽屉原理，至少有4人的分数在同一抽屉中，即成绩相同。

2.4个。解：18个乒乓球盒，每个盒子里至多可以放6只乒乓球。为使相同乒乓球个数的盒子尽可能少，可以这样放：先把盒子分成6份，每份有18÷6=3（只），分别在每一份的3个盒子中放入1只、2只、3只、4只、5只、6只乒乓球，即3个盒子中放了1只乒乓球，3个盒中放了2只乒乓球……3个盒子中放了6只乒乓球。这样，18个盒子中共放了乒乓球

（1+2+3+4+5+6）×3=63（只）。

把以上6种不同的放法当做抽屉，这样剩下64-63=1（只）乒乓球不管放入哪一个抽屉里的任何一个盒子里（除已放满6只乒乓球的抽屉外），都将使该盒子中的乒乓球数增加1只，这时与比该抽屉每盒乒乓数多1的抽屉中的3个盒子里的乒乓球数相等。例如剩下的1只乒乓球放进原来有2只乒乓球的一个盒子里，该盒乒乓球就成了3只，再加上原来装有3只乒乓球的3个盒子，这样就有4个盒子里装有3个乒乓球。所以至少有4个乒乓球盒里的乒乓球数目相同。

3.34个。

解：把初二学生的身高厘米数作为抽屉，共有抽屉

160-150+1=11（个）。

根据抽屉原理，要保证有4个人身高相同，至少要有初二学生

3×11+1=34（个）。

4.证：（1）将100个数分成50组：

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｛1，100｝，｛2，99｝，…，｛50，51｝。

在选出的51个数中，必有两数属于同一组，这一组的两数之和为101。

（2）将100个数分成10组：

｛1,2,4,8,16,32,64｝, ｛3,6,12,24,48,96｝，｛5,10,20,40,80｝, ｛7,14,28,56｝，｛9,18,36,72｝, ｛11,22,44,88｝，｛13,26,52｝, ｛15,30,60｝,…, ｛49,98｝, ｛其余数｝。

其中第10组中有41个数。在选出的51个数中，第10组的41个数全部选中，还有10个数从前9组中选，必有两数属于同一组，这一组中的任意两个数，一个是另一个的倍数。

（3）将选出的51个数排成一列：

a1，a2，a3，…，a51。

考虑下面的51个和：

a1，a1+a2，a1+a2+a3，…，a1+a2+a3+…+a51。

若这51个和中有一个是51的倍数，则结论显然成立；若这51个和中没有一个是51的倍数，则将它们除以51，余数只能是1，2，…，50中的一个，故必然有两个的余数是相同的，这两个和的差是51的倍数，而这个差显然是这51个数（a1，a2，a3，…，a51）中的一个数或若干个数的和。

5.证：（1）在其余4列中如有一列含有3个白格，则剩下的5个白格要放入3列中，将3列表格看做3个抽屉，5个白格看做5个苹果，根据第二抽屉原理，5（=2×3-1）个苹果放入3个抽屉，则必有1个抽屉至多只有（2-1）个苹果，即必有1列只含1个白格，也就是说除了原来3列只含一个白格外还有1列含1个白格，这与题设只有1个白格的列只有3列矛盾。所以不会有1列有3个白格，当然也不能再有1列只有1个白格。推知其余4列每列恰好有2个白格。

（2）假设只含1个白格的列有2列，那么剩下的9个白格要放入5列中，而9=2×5-1，由第二抽屉原理知，必有1列至多只有2-1=1（个）白格，与假设只有2列每列只1个白格矛盾。所以只有1个白格的列至少有3列。

6.能。

解：开会的“人次”有 40×10=400（人次）。设委员人数为N，将“人次”看做苹果，以委员人数作为抽屉。

若N≤60，则由抽屉原理知至少有一个委员开了7次（或更多次）会。但由已知条件知没有一个人与这位委员同开过两次（或更多次）的会，故他所参加的每一次会的另外9个人是不相同的，从而至少有7×9=63（个）委员，这与N≤60的假定矛盾。所以，N应大于60。

7.20轮。

解：如果培训的总轮数少于20，那么在每一台机器上可进行工作的工人果这3个工人某一天都没有到车间来，那么这台机器就不能开动，整个流水线就不能工作。故培训的总轮数不能少于20。

另一方面，只要进行20轮培训就够了。对3名工人进行全能性培训，训练他们会开每一台机器；而对其余5名工人，每人只培训一轮，让他们每人能开动一台机器。这个方案实施后，不论哪5名工人上班，流水线总能工作。

8.证：以平面上9个点A1，A2，…，A9表示9个数学家，如果两人能通话，就把表示他们的两点联线，并涂上一种颜色（不同的语言涂上不同颜色）。此时有两种情况：

（1）9点中有任意2点都有联线，并涂了相应的颜色。于是从某一点A1出发，分别与

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A2，A3，…，A9联线，又据题意，每人至多能讲3种语言，因此A1A2，A1A3，…，A1A9中至多只能涂3种不同的颜色，由抽屉原理知，这8条线段中至少有2条同色的线段。不妨设A1A2与A1A3是同色线段，因此A1，A2，A3这3点表示的3名数学家可用同一种语言通话。

（2）9点中至少有2点不联线，不妨设是A1与A2不联线。由于每3人中至少有两人能通话，因此从A1与A2出发至少有7条联线。再由抽屉原理知，其中必有4条联线从A1或A2 出发。不妨设从A1出发，又因A1至多能讲3种语言，所以这4条联线中，至少有2条联线是同色的。若A1A3与A1A4同色，则A1，A3，A4这3点表示的3名数学家可用同一种语言通话。

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第四篇：抽屉原理

《抽屉原理》教学设计

教材分析：现行小学教材人教版在十一册编入这一原理，旨在于让学生初步了解“抽屉原理”（也就是初步接触第一原理），会用“抽屉原理”解决实际有关“存在”问题；通过猜测、验证、观察、分析等数学活动，让孩子建立数学模型，发现规律；使孩子经历从具体到抽象的探究过程，提高学生有根据、有条理地进行思考和推理的能力；通过“抽屉原理”的灵活应用，提高学生解决数学问题的能力和兴趣，感受到数学文化及数学的魅力。

学情分析：使孩子经历从具体到抽象的探究过程，提高学生有根据、有条理地进行思考和推理的能力；通过“抽屉原理”的灵活应用，提高学生解决数学问题的能力和兴趣，感受到数学文化及数学的魅力。教学目标：

1、经历“抽屉原理”的探究过程，初步了解“抽屉原理”，会用“抽屉原理”解决简单的实际问题。

2、通过操作发展学生的类推能力，形成比较抽象的数学思维。

3、通过“抽屉原理”的灵活应用感受数学的魅力。

教学重点：经历“抽屉原理”的探究过程，初步了解“抽屉原理”。

教学难点：理解“抽屉原理”，并对一些简单实际问题加以“模型化”。

教学过程

一、游戏引入

3个人坐两个座位，3人都要坐下，一定有一个座位上至少坐了2个人。

这其中蕴含了有趣的数学原理，这节课我们一起学习研究。

二、新知探究

1、把4枝铅笔放进3个文具盒里，不管怎么放，总有一个文具盒里至少放进（）枝铅笔先猜一猜，再动手放一放，看看有哪些不同方法。用自己的方法记录（4，0，0）（3，1，0）（2，2，0）（2，1，1）你有什么发现？

不管怎么放总有一个文具盒里至少放进2枝铅笔。总有是什么意思？至少是什么意思

2、思考

有没有一种方法不用摆放就可以知道至少数是多少呢？

1、3人坐2个位子，总有一个座位上至少坐了2个人2、4枝铅笔放进3个文具盒中，总有一个文具盒中至少放了2枝铅笔5枝铅笔放进4个文具盒中，6枝铅笔放进5个文具盒中。99支铅笔放进98个文具盒中。是否都有一个文具盒中

至少放进2枝铅笔呢？ 这是为什么？可以用算式表达吗？

4、如果是5枝铅笔放到3个文具盒里，总有一个文具盒至少放进几枝铅笔？把7枝笔放进2个文具盒里呢? 8枝笔放进2个文具盒呢? 9枝笔放进3个文具盒呢？至少数=上+余数吗？

三、小试牛刀 1、7只鸽子飞回5个鸽舍,至少有几只鸽子要飞进同一个鸽舍里?

2、从扑克牌中取出两张王牌，在剩下的52张中任意抽出5张，至少有几张是同花色的？

四、数学小知识

数学小知识：抽屉原理的由来最先发现这些规律的人是谁呢？最先是由19世纪的德国数学家狄里克雷运用于解决数学问题的，后人们为了纪念他从这么平凡的事情中发现的规律，就把这个规律用他的名字命名，叫“狄里克雷原理”，又把它叫做“鸽巢原理”，还把它叫做

“抽屉原理”。

五、智慧城堡

1、把13只小兔子关在5个笼子里，至少有多少只兔子要关在同一个笼子里?

2、咱们班共59人，至少有几人是同一属相？

3、张叔叔参加飞镖比赛，投了5镖，镖镖都中，成绩是41环。张叔叔至少有一镖不低于9环。为什么？

4、六年级四个班的学生去春游，自由活时有6个同学在一起，可以肯定。为什么？

六、小结

这节课你有什么收获？

七、作业：课后练习

第五篇：抽屉原理

抽屉原理

【知识要点】

抽屉原理又称鸽巢原理，它是组合数学的一个基本原理，最先是由德国数学家狭利克雷明确地提出来的，因此，也称为狭利克雷原理。

把3个苹果放进2个抽屉里，一定有一个抽屉里放了2个或2个以上的苹果。这个人人皆知的常识就是抽屉原理在日常生活中的体现。用它可以解决一些相当复杂甚至无从下手的问题。

原理1：把n+1个元素分成n类，不管怎么分，则一定有一类中有2个或2个以上的元素。

原理2：把m个元素任意放入n（n＜m）个集合，则一定有一个集合呈至少要有k个元素。

其中 k＝ 商（当n能整除m时）

商＋1（当n不能整除m时）

原理3：把无穷多个元素放入有限个集合里，则一定有一个集合里含有无穷多个元素。【解题步骤】

第一步：分析题意。分清什么是“东西”，什么是“抽屉”，也就是什么作“东西”，什么可作“抽屉”。

第二步：制造抽屉。这个是关键的一步，这一步就是如何设计抽屉。根据题目条件和结论，结合有关的数学知识，抓住最基本的数量关系，设计和确定解决问题所需的抽屉及其个数，为使用抽屉铺平道路。

第三步：运用抽屉原理。观察题设条件，结合第二步，恰当应用各个原则或综合运用几个原则，以求问题之解决。【例题讲解】

例

1、教室里有5名学生正在做作业，今天只有数学、英语、语文、地理四科作业

求证：这5名学生中，至少有两个人在做同一科作业。证明：将5名学生看作5个苹果 将数学、英语、语文、地理作业各看成一个抽屉，共4个抽屉 由抽屉原理1，一定存在一个抽屉，在这个抽屉里至少有2个苹果。即至少有两名学生在做同一科的作业。

例

2、木箱里装有红色球3个、黄色球5个、蓝色球7个，若蒙眼去摸，为保证取出的球中有两个球的颜色相同，则最少要取出多少个球？ 解：把3种颜色看作3个抽屉

若要符合题意，则小球的数目必须大于3 大于3的最小数字是4 故至少取出4个小球才能符合要求 答：最少要取出4个球。

例

3、班上有50名学生，将书分给大家，至少要拿多少本，才能保证至少有一个学生能得到两本或两本以上的书。

解：把50名学生看作50个抽屉，把书看成苹果 根据原理1，书的数目要比学生的人数多 即书至少需要50+1=51本 答：最少需要51本。

例

4、在一条长100米的小路一旁植树101棵，不管怎样种，总有两棵树的距离不超过1米。

解：把这条小路分成每段1米长，共100段

每段看作是一个抽屉，共100个抽屉，把101棵树看作是101个苹果 于是101个苹果放入100个抽屉中，至少有一个抽屉中有两个苹果 即至少有一段有两棵或两棵以上的树

例5、11名学生到老师家借书，老师是书房中有A、B、C、D四类书，每名学生最多可借两本不同类的书，最少借一本 试证明：必有两个学生所借的书的类型相同

证明：若学生只借一本书，则不同的类型有A、B、C、D四种

若学生借两本不同类型的书，则不同的类型有AB、AC、AD、BC、BD、CD六种 共有10种类型

把这10种类型看作10个“抽屉” 把11个学生看作11个“苹果”

如果谁借哪种类型的书，就进入哪个抽屉

由抽屉原理，至少有两个学生，他们所借的书的类型相同

例

6、有50名运动员进行某个项目的单循环赛，如果没有平局，也没有全胜 试证明：一定有两个运动员积分相同 证明：设每胜一局得一分

由于没有平局，也没有全胜，则得分情况只有1、2、3……49，只有49种可能 以这49种可能得分的情况为49个抽屉 现有50名运动员得分 则一定有两名运动员得分相同

例

7、体育用品仓库里有许多足球、排球和篮球，某班50名同学来仓库拿球，规定每个人至少拿1个球，至多拿2个球，问至少有几名同学所拿的球种类是一致的？

解：根据规定，同学拿球的配组方式共有以下9种：

｛足｝｛排｝｛蓝｝｛足足｝｛排排｝｛蓝蓝｝｛足排｝｛足蓝｝｛排蓝｝ 以这9种配组方式制造9个抽屉 将这50个同学看作苹果

50÷9＝5.……5

由抽屉原理2：k＝商＋1可得，至少有6人，他们所拿的球类是完全一致的