题组层级快练(六十七)
1．(2014·新课标全国Ⅱ理)设F为抛物线C：y2＝3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为()
A.B.C.D.答案 D
解析 先求直线AB的方程，将其与抛物线的方程联立组成方程组化简，再利用根与系数的关系求解．
由已知得焦点坐标为F(，0)，因此直线AB的方程为y＝(x－)，即4x－4y－3＝0.方法一：联立抛物线方程化简，得4y2－12y－9＝0.故|yA－yB|＝＝6.因此S△OAB＝|OF||yA－yB|＝××6＝.方法二：联立方程，得x2－x＋＝0，故xA＋xB＝.根据抛物线的定义有
|AB|＝xA＋xB＋p＝＋＝12，原点到直线AB的距离为
h＝＝.因此S△OAB＝|AB|·h＝.另解：|AB|＝＝＝12，S△ABO＝·|OF|·|AB|·sinθ＝··12·＝.2．设O为坐标原点，F为抛物线y2＝4x的焦点，A为抛物线上一点，若·＝－4，则点A的坐标为()
A．(2，±2)
B．(1，±2)
C．(1,2)
D．(2,2)
答案 B
解析 设A(x0，y0)，F(1,0)，＝(x0，y0)，＝(1－x0，－y0)，·＝x0(1－x0)－y＝－4.∵y＝4x0，∴x0－x－4x0＋4＝0⇒x＋3x0－4＝0，x1＝1，x2＝－4(舍)．∴x0＝1，y0＝±2.3．已知抛物线C：y2＝8x与点M(－2,2)，过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A，B两点．若·＝0，则k＝()
A.B.C.D．2
答案 D
解析 由题意知抛物线C的焦点坐标为(2,0)，则直线AB的方程为y＝k(x－2)，将其代入y2＝8x，得k2x2－4(k2＋2)x＋4k2＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝，x1x2＝4.①
由⇒
∵·＝0，∴(x1＋2，y1－2)·(x2＋2，y2－2)＝0.∴(x1＋2)(x2＋2)＋(y1－2)(y2－2)＝0，即x1x2＋2(x1＋x2)＋4＋y1y2－2(y1＋y2)＋4＝0.④
由①②③④式，解得k＝2.故选D.4.(2015·河南豫东、豫北十所名校)如图所示，过抛物线x2＝2py(p>0)的焦点F的直线l交抛物线于A，B两点，交其准线于点C，若|BC|＝|BF|，且|AF|＝4＋2，则p的值为()
A．1
B．2
C.D．3
答案 B
解析 过B作准线的垂线BB′，则|BB′|＝|BF|，由|BC|＝|BF|，得直线l的倾斜角为45°.设A(x0，y0)，由|AF|＝4＋2，得x0－＝|AF|＝2＋2.∴(2＋2)＋p＝4＋2，∴p＝2.5．(2015·江西重点中学盟校联考)已知抛物线C：y＝x2－2，过原点的动直线l交抛物线C于A，B两点，P是AB的中点，设动点P(x，y)，则4x－y的最大值是()
A．2
B．－2
C．4
D．－4
答案 A
解析 设直线l的方程为y＝kx，与抛物线C的方程y＝x2－2联立，消去y，得x2－kx－2＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝k，所以x＝，y＝，所以4x－y＝2k－＝－(k－2)2＋2.故当k＝2时，4x－y取最大值2.6.(2015·湖南益阳模拟)如图所示，已知直线l：y＝k(x＋1)(k>0)与抛物线C：y2＝4x相交于A，B两点，且A，B两点在抛物线C准线上的射影分别是M，N，若|AM|＝2|BN|，则k的值是()
A.B.C.D．2
答案 C
解析 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立方程组消去x，得ky2－4y＋4k＝0.①
因为直线与抛物线相交，所以有
Δ＝42－4×k×4k＝16(1－k2)>0.(*)
y1，y2是方程①的两个根，所以有
又因为|AM|＝2|BN|，所以y1＝2y2.④
解由②③④组成的方程组，得k＝.把k＝代入(*)式检验，不等式成立．所以k＝，故选C.7．设F为抛物线y2＝4x的焦点，A，B，C为该抛物线上三点，若＋＋＝0，则||＋||＋||＝()
A．9
B．6
C．4
D．3
答案 B
解析 焦点F坐标为(1,0)，设A，B，C坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)．
∴＝(x1－1，y1)，＝(x2－1，y2)，＝(x3－1，y3)．
∵＋＋＝0，∴x1－1＋x2－1＋x3－1＝0.∴x1＋x2＋x3＝3.∴||＋||＋||
＝＋＋
＝＋＋
＝x1＋1＋x2＋1＋x3＋1＝6.8．已知抛物线y2＝4x，过点P(4,0)的直线与抛物线交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则y＋y的最小值是________．
答案 32
解析 设直线方程为x＝ky＋4，与抛物线联立得
y2－4ky－16＝0，∴y1＋y2＝4k，y1y2＝－16.∴y＋y＝(y1＋y2)2－2y1y2＝16k2＋32.故最小值为32.9.如图所示，直线l：y＝x＋b与抛物线C：x2＝4y相切于点A.(1)求实数b的值；
(2)求以点A为圆心，且与抛物C的准线相切的圆的方程．
答案(1)－1(2)(x－2)2＋(y－1)2＝4
解析(1)由得x2－4x－4b＝0.(*)
因为直线l与抛物线C相切，所以Δ＝(－4)2－4×(－4b)＝0，解得b＝－1.(2)由(1)可知b＝－1，故方程(*)为x2－4x＋4＝0，解得x＝2.将其代入x2＝4y，得y＝1.故点A(2,1)．
因为圆A与抛物线C的准线相切，所以圆A的半径r等于圆心A到抛物线的准线y＝－1的距离，即r＝|1－(－1)|＝2.所以圆A的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝4.10.如图所示，斜率为1的直线过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F，与抛物线交于A，B两点，M为抛物线弧AB上的动点．
(1)若|AB|＝8，求抛物线的方程；
(2)求S△ABM的最大值．
答案(1)y2＝4x(2)p2
解析(1)由条件知lAB：y＝x－，与y2＝2px联立，消去y，得x2－3px＋p2＝0，则x1＋x2＝3p.由抛物线定义得|AB|＝x1＋x2＋p＝4p.又因为|AB|＝8，即p＝2，则抛物线的方程为y2＝4x.(2)方法一：由(1)知|AB|＝4p，且lAB：y＝x－，设M(，y0)，则M到AB的距离为d＝.因为点M在直线AB的上方，所以－y0－<0，则d＝＝＝＝.当y0＝p时，dmax＝p.故S△ABM的最大值为×4p×p＝p2.方法二：由(1)知|AB|＝4p，且lAB：y＝x－，设与直线AB平行且于抛物线相切的直线方程为y＝x＋m，代入抛物线方程，得x2＋2(m－p)x＋m2＝0.由Δ＝4(m－p)2－4m2＝0，得m＝.与直线AB平行且与抛物线相切的直线方程为y＝x＋，两直线间的距离为d＝＝p，故S△ABM的最大值为×4p×p＝p2.11．(2015·广东百所高中联考)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，点K(－1,0)为直线l与抛物线C准线的交点，直线l与抛的线C相交于A，B两点．
(1)求抛物线C的方程；
(2)设·＝，求直线l的方程．
答案(1)y2＝4x
(2)3x－4y＋3＝0或3x＋4y＋3＝0
解析(1)依题意知－＝－1，解得p＝2.所以抛物线C的方程为y2＝4x.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，且设直线l的方程为x＝my－1(m≠0)．
将x＝my－1代入y2＝4x，并整理，得y2－4my＋4＝0.由Δ>0，得m2>1，从而y1＋y2＝4m，y1y2＝4.所以x1＋x2＝(my1－1)＋(my2－1)＝4m2－2，x1x2＝(my1－1)(my2－1)＝m2y1y2－m(y1＋y2)＋1＝1.因为＝(x1－1，y1)，＝(x2－1，y2)，·＝(x1－1)(x2－1)＋y1y2＝x1x2－(x1＋x2)＋1＋4＝8－4m2，故8－4m2＝，解得m＝±满足m2>1.所以直线l的方程为x＝±y－1.即3x－4y＋3＝0或3x＋4y＋3＝0.12．(2015·山东莱芜期末)已知抛物线C的顶点为坐标原点，焦点F(0，c)(c>0)到直线y＝2x的距离是.(1)求抛物线C的方程；
(2)若直线y＝kx＋1(k≠0)与抛物线C交于A，B两点，设线段AB的中垂线与y轴交于点P(0，b)，求实数b的取值范围．
答案(1)x2＝2y(2)b∈(2，＋∞)
解析(1)由题意，＝，故c＝.所以抛物线C的方程为x2＝2y.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则由得x2－2kx－2＝0.所以Δ＝4k2＋8>0.所以x1＋x2＝2k，所以线段AB的中点坐标为(k，k2＋1)．
线段AB的中垂线方程为y＝－(x－k)＋k2＋1，即y＝－x＋k2＋2.令x＝0，得b＝k2＋2.所以b∈(2，＋∞)．
1．平面上一机器人在行进中始终保持与点F(1,0)的距离和到直线x＝－1的距离相等，若机器人接触不到过点P(－1，0)且斜率为k的直线，则k的取值范围是________．
答案(－∞，－1)∪(1，＋∞)
解析 由题意可知机器人的轨迹为一抛物线，其轨迹方程为y2＝4x，过点P(－1,0)且斜率为k的直线方程为y＝k(x＋1)，由题意知直线与抛物线无交点，联立消去y，得k2x2＋(2k2－4)x＋k2＝0，则Δ＝(2k2－4)2－4k4<0，所以k2>1，得k>1或k<－1.2．过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点，O为坐标原点．若|AF|＝3，则△AOB的面积为()
A.B.C.D．2
答案 C
解析 由题意，抛物线y2＝4x的焦点为F(1,0)，准线方程为l：x＝－1，可得A点的横坐标为2，不妨设A(2,2)，则直线AB的方程为y＝2(x－1)，与y2＝4x联立得2x2－5x＋2＝0，可得B(，－)，所以S△AOB＝S△AOF＋S△BOF＝×1×|yA－yB|＝.
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