相似形
1．如图，△ABC和△ADE是有公共顶点的等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，点P为射线BD，CE的交点．
（1）求证：BD=CE；
（2）若AB=2，AD=1，把△ADE绕点A旋转，当∠EAC=90°时，求PB的长；
2．如图，直角△ABC中，∠BAC=90°，D在BC上，连接AD，作BF⊥AD分别交AD于E，AC于F．
（1）如图1，若BD=BA，求证：△ABE≌△DBE；
（2）如图2，若BD=4DC，取AB的中点G，连接CG交AD于M，求证：①GM=2MC；②AG2=AF•AC．
3．如图，在锐角三角形ABC中，点D，E分别在边AC，AB上，AG⊥BC于点G，AF⊥DE于点F，∠EAF=∠GAC．
（1）求证：△ADE∽△ABC；
（2）若AD=3，AB=5，求的值．
4．如图，点E是正方形ABCD的边BC延长线上一点，连结DE，过顶点B作BF⊥DE，垂足为F，BF分别交AC于H，交CD于G．
（1）求证：BG=DE；
（2）若点G为CD的中点，求的值．
5．（1）如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，AE⊥BF于点M，求证：AE=BF；
（2）如图2，将
（1）中的正方形ABCD改为矩形ABCD，AB=2，BC=3，AE⊥BF于点M，探究AE与BF的数量关系，并证明你的结论．
6．如图，四边形ABCD中，AB=AC=AD，AC平分∠BAD，点P是AC延长线上一点，且PD⊥AD．
（1）证明：∠BDC=∠PDC；
（2）若AC与BD相交于点E，AB=1，CE：CP=2：3，求AE的长．
7．△ABC和△DEF是两个全等的等腰直角三角形，∠BAC=∠EDF=90°，△DEF的顶点E与△ABC的斜边BC的中点重合，将△DEF绕点E旋转，旋转过程中，线段DE与线段AB相交于点P，线段EF与射线CA相交于点Q．
（1）如图①，当点Q在线段AC上，且AP=AQ时，求证：△BPE≌△CQE；
（2）如图②，当点Q在线段CA的延长线上时，求证：△BPE∽△CEQ；并求当BP=2，CQ=9时BC的长．
8．如图，在矩形ABCD中，E为AB边上一点，EC平分∠DEB，F为CE的中点，连接AF，BF，过点E作EH∥BC分别交AF，CD于G，H两点．
（1）求证：DE=DC；
（2）求证：AF⊥BF；
（3）当AF•GF=28时，请直接写出CE的长．
9．在Rt△ABC中，∠BAC=90°，过点B的直线MN∥AC，D为BC边上一点，连接AD，作DE⊥AD交MN于点E，连接AE．
（1）如图1，当∠ABC=45°时，求证：AD=DE；
（2）如图2，当∠ABC=30°时，线段AD与DE有何数量关系？并请说明理由．
10．如图1，边长为2的正方形ABCD中，E是BA延长线上一点，且AE=AB，点P从点D出发，以每秒1个单位长度沿D→C→B向终点B运动，直线EP交AD于点F，过点F作直线FG⊥DE于点G，交AB于点R．
（1）求证：AF=AR；
（2）设点P运动的时间为t，①求当t为何值时，四边形PRBC是矩形？
②如图2，连接PB．请直接写出使△PRB是等腰三角形时t的值．
11．如图，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，延长CB至点F，使CF=CA，连接AF，∠ACF的平分线分别交AF，AB，BD于点E，N，M，连接EO．
（1）已知BD=，求正方形ABCD的边长；
（2）猜想线段EM与CN的数量关系并加以证明．
12．将两块全等的三角板如图1摆放，其中∠A1CB1=∠ACB=90°，∠A1=∠A=30°．
（1）将图1中△A1B1C绕点C顺时针旋转45°得图2，点P1是A1C与AB的交点，点Q是A1B1与BC的交点，求证：CP1=CQ；
（2）在图2中，若AP1=a，则CQ等于多少？
（3）将图2中△A1B1C绕点C顺时针旋转到△A2B2C（如图3），点P2是A2C与AP1的交点．当旋转角为多少度时，有△AP1C∽△CP1P2？这时线段CP1与P1P2之间存在一个怎样的数量关系？
．
13．把Rt△ABC和Rt△DEF按如图（1）摆放（点C与E重合），点B、C（E）、F在同一条直线上．已知：∠ACB=∠EDF=90°，∠DEF=45°，AC=8cm，BC=6cm，EF=10cm．如图（2），△DEF从图（1）的位置出发，以1cm/s的速度沿CB向△ABC匀速移动，在△DEF移动的同时，点P从△ABC的顶点A出发，以2cm/s的速度沿AB向点B匀速移动；当点P移动到点B时，点P停止移动，△DEF也随之停止移动．DE与AC交于点Q，连接PQ，设移动时间为t（s）．
（1）用含t的代数式表示线段AP和AQ的长，并写出t的取值范围；
（2）连接PE，设四边形APEQ的面积为y（cm2），试探究y的最大值；
（3）当t为何值时，△APQ是等腰三角形．
14．△ABC，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，一条直线DE与边AC相交于点D，与边AB相交于点E．
（1）如图①，若DE将△ABC分成周长相等的两部分，则AD+AE等于多少；（用a、b、c表示）
（2）如图②，若AC=3，AB=5，BC=4．DE将△ABC分成周长、面积相等的两部分，求AD；
（3）如图③，若DE将△ABC分成周长、面积相等的两部分，且DE∥BC，则a、b、c满足什么关系？
15．已知：如图，四边形ABCD是正方形，∠PAQ=45°，将∠PAQ绕着正方形的顶点A旋转，使它与正方形ABCD的两个外角∠EBC和∠FDC的平分线分别交于点M和N，连接MN．
（1）求证：△ABM∽△NDA；
（2）连接BD，当∠BAM的度数为多少时，四边形BMND为矩形，并加以证明．
16．如图，在锐角△ABC中，D，E分别为AB，BC中点，F为AC上一点，且∠AFE=∠A，DM∥EF交AC于点M．
（1）点G在BE上，且∠BDG=∠C，求证：DG•CF=DM•EG；
（2）在图中，取CE上一点H，使∠CFH=∠B，若BG=1，求EH的长．
17．△ABC中，AB=AC，点D、E、F分别在BC、AB、AC上，∠EDF=∠B．
（1）如图1，求证：DE•CD=DF•BE
（2）D为BC中点如图2，连接EF．
①求证：ED平分∠BEF；
②若四边形AEDF为菱形，求∠BAC的度数及的值．
18．如图，在△ABC
中，点P是AC边上的一点，过点P作与BC平行的直线PQ，交AB于点Q，点D在线段
BC上，联接AD交线段PQ于点E，且=，点G在BC延长线上，∠ACG的平分线交直线PQ于点F．
（1）求证：PC=PE；
（2）当P是边AC的中点时，求证：四边形AECF是矩形．
19．如图，已知△ABC中，AC=BC，点D、E、F分别是线段AC、BC、AD的中点，BF、ED的延长线交于点G，连接GC．
（1）求证：AB=GD；
（2）如图2，当CG=EG时，求的值．
20．如图，在△ABC中，D、E分别为AB、AC上的点，线段BE、CD相交于点O，且∠DCB=∠EBC=∠A．
（1）求证：△BOD∽△BAE；
（2）求证：BD=CE；
（3）若M、N分别是BE、CE的中点，过MN的直线交AB于P，交AC于Q，线段AP、AQ相等吗？为什么？
21．如图，在矩形ABCD和矩形PEFG中，AB=8，BC=6，PE=2，PG=4．PE与AC交于点M，EF与AC交于点N，动点P从点A出发沿AB以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动，伴随点P的运动，矩形PEFG在射线AB上滑动；动点K从点P出发沿折线PE﹣﹣EF以每秒1个单位长的速度匀速运动．点P、K同时开始运动，当点K到达点F时停止运动，点P也随之停止．设点P、K运动的时间是t秒（t＞0）．
（1）当t=1时，KE=，EN=；
（2）当t为何值时，△APM的面积与△MNE的面积相等？
（3）当点K到达点N时，求出t的值；
（4）当t为何值时，△PKB是直角三角形？
22．如图（1），在△ABC中，AD是BC边的中线，过A点作AE∥BC与过D点作DE∥AB交于点E，连接CE．
（1）求证：四边形ADCE是平行四边形．
（2）连接BE，AC分别与BE、DE交于点F、G，如图（2），若AC=6，求FG的长．
23．已知：在正方形ABCD中，点E、F分别是CB、CD延长线上的点，且BE=DF，联结AE、AF、DE、DE交AB于点M．
（1）如图1，当E、A、F在一直线上时，求证：点M为ED中点；
（2）如图2，当AF∥ED，求证：AM2=AB•BM．
24．已知，如图1，点D、E分别在AB，AC上，且=．
（1）求证：DE∥BC．
（2）已知，如图2，在△ABC中，点D为边AC上任意一点，连结BD，取BD中点E，连结CE并延长CE交边AB于点F，求证：=．
（3）在（2）的条件下，若AB=AC，AF=CD，求的值．
25．已知△ABC，AC=BC，点E，F在直线AB上，∠ECF=∠A．
（1）如图1，点E，F在AB上时，求证：AC2=AF•BE；
（2）如图2，点E，F在AB及其延长线上，∠A=60°，AB=4，BE=3，求BF的长．
26．如图，正方形ABCD，∠EAF=45°．交BC、CD于E、F，交BD于H、G．
（1）求证：AD2=BG•DH；
（2）求证：CE=DG；
（3）求证：EF=HG．
27．如图，C为线段BD上一动点，过B、D分别作BD的垂线，使AB=BC，DE=DB，连接AD、AC、BE，过B作AD的垂线，垂足为F，连接CE、EF．
（1）求证：AC•DF=BF•BD；
（2）点C运动的过程中，∠CFE的度数保持不变，求出这个度数；
（3）当点C运动到什么位置时，CE∥BF？并说明理由．
28．如图，在△ABC中，点D在边AB上（不与A，B重合），DE∥BC交AC于点E，将△ADE沿直线DE翻折，得到△A′DE，直线DA′，EA′分别交直线BC于点M，N．
（1）求证：DB=DM．
（2）若=2，DE=6，求线段MN的长．
（3）若=n（n≠1），DE=a，则线段MN的长为
（用含n的代数式表示）．
29．如图，已知四边形ABCD和四边形DEFG为正方形，点E在线段DC上，点A、D、G在同一直线上，且AD=3，DE=1，连接AC、CG、AE，并延长AE交OG于点H．
（1）求证：∠DAE=∠DCG．
（2）求线段HE的长．
30．如图，△ABC中，点E、F分别在边AB，AC上，BF与CE相交于点P，且∠1=∠2=∠A．
（1）如图1，若AB=AC，求证：BE=CF；
（2）若图2，若AB≠AC，①（1）中的结论是否成立？请给出你的判断并说明理由；
②求证：=．
31．如图1，在锐角△ABC中，D、E分别是AB、BC的中点，点F在AC上，且满足∠AFE=∠A，DM∥EF交AC于点M．
（1）证明：DM=DA；
（2）点G在BE上，且∠BDG=∠C，如图2，求证：△DEG∽△ECF；
（3）在图2中，取CE上一点H，使得∠CFH=∠B，若BG=5，求EH的长．
32．如图，正方形ABCD中，边长为12，DE⊥DC交AB于点E，DF平分∠EDC交BC于点F，连接EF．
（1）求证：EF=CF；
（2）当=时，求EF的长．
33．如图，已知在△ABC中，P为边AB上一点，连接CP，M为CP的中点，连接BM并延长，交AC于点D，N为AP的中点，连接MN．若∠ACP=∠ABD．
（1）求证：AC•MN=BN•AP；
（2）若AB=3，AC=2，求AP的长．
34．如图，已知AC、EC分别为四边形ABCD和EFCG的对角线，点E在△ABC内，∠CAE+∠CBE=90°，当四边形ABCD和EFCG均为正方形时，连接BF．
（1）求证：△CAE∽△CBF；
（2）若BE=1，AE=2，求CE的长．
35．如图①，矩形ABCD中，AB=2，BC=5，BP=1，∠MPN=90°，将∠MPN绕点P从PB处开始按顺时针方向旋转，PM交边AB（或AD）于点E，PN交边AD（或CD）于点F，当PN旋转至PC处时，∠MPN的旋转随即停止．
（1）特殊情形：如图②，发现当PM过点A时，PN也恰巧过点D，此时，△ABP
△PCD（填“≌”或“～”）；
（2）类比探究：如图③，在旋转过程中，的值是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．
36．如图，点M是△ABC内一点，过点M分别作直线平行于△ABC的各边，所形成的三个小三角形△1、△2、△3（图中阴影部分）的面积分别是1、4、25．则△ABC的面积是
．
37．如图，△ABC中，∠ACB=90°，AC=5，BC=12，CO⊥AB于点O，D是线段OB上一点，DE=2，ED∥AC（∠ADE＜90°），连接BE、CD．设BE、CD的中点分别为P、Q．
（1）求AO的长；
（2）求PQ的长；
（3）设PQ与AB的交点为M，请直接写出|PM﹣MQ|的值．
38．尤秀同学遇到了这样一个问题：如图1所示，已知AF，BE是△ABC的中线，且AF⊥BE，垂足为P，设BC=a，AC=b，AB=c．
求证：a2+b2=5c2
该同学仔细分析后，得到如下解题思路：
先连接EF，利用EF为△ABC的中位线得到△EPF∽△BPA，故，设PF=m，PE=n，用m，n把PA，PB分别表示出来，再在Rt△APE，Rt△BPF中利用勾股定理计算，消去m，n即可得证
（1）请你根据以上解题思路帮尤秀同学写出证明过程．
（2）利用题中的结论，解答下列问题：
在边长为3的菱形ABCD中，O为对角线AC，BD的交点，E，F分别为线段AO，DO的中点，连接BE，CF并延长交于点M，BM，CM分别交AD于点G，H，如图2所示，求MG2+MH2的值．
39．如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，∠AED=∠B，射线AG分别交线段DE，BC于点F，G，且．
（1）求证：△ADF∽△ACG；
（2）若，求的值．
40．如图，四边形中ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点，P为对角线AC延长线上的任意一点，PF交AD于M，PE交BC于N，EF交MN于K．
求证：K是线段MN的中点．
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