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2021年普通高等学校招生全国统一考试
北京卷·数学
第一部分（选择题共40分）
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．
1.已知集合，则（）
A.B.C.D.2.在复平面内，复数满足，则（）
A.1
B.i
C.D.3.设函数的定义域为，则“函数在上单调递增”是“函数在上的最大值为”的（）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
4.某四面体的三视图如图所示，该四面体的表面积为（）
A.B.C.D.5.双曲线过点，离心率为，则该双曲线的标准方程为（）
A.B.C.D.6.已知和是两个等差数列，且是常值，若，，则的值为（）
A.B.100
C.128
D.132
7.已知函数，则该函数（）
A.奇函数，最大值为2
B.偶函数，最大值为2
C.奇函数，最大值为
D.偶函数，最大值为
8.对24小时内降水在平地上的积水厚度（mm）进行如下定义：
小明用一个圆锥形容器接了24小时的雨水，则这一天的雨水属于哪个等级（）
A.小雨
B.中雨
C.大雨
D.暴雨
9.已知圆，直线，则当的值发生变化时，直线被圆C所截的弦长的最小值为2，则的取值为（）
A.B.C.D.10.数列是递增的整数数列，且，则的最大值为（）
A.9
B.10
C.11
D.12
第二部分（非选择题共110分）
二、填空题5小题，每小题5分，共25分．
11.的展开式中常数项为__________．
12.已知抛物线，C焦点为，点在上，且，则的横坐标是_______；作轴于，则_______．
13.，，则_______；_______．
14.若点与点关于轴对称，写出一个符合题意的值___．
15.已知，给出下列四个结论：
①若，则有两个零点；
②，使得有一个零点；
③，使得有三个零点；
④，使得有三个零点．
以上正确结论的序号是_______．
三、解答题共6小题，共85分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
16.已知在中，．
（1）求的大小；
（2）在三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，并求出边上的中线的长度．
①；②周长为；③面积为；
17.已知正方体，点为中点，直线交平面于点．
（1）求证：点为中点；
（2）若点为棱上一点，且二面角的余弦值为，求的值．
18.为加快新冠肺炎检测效率，某检测机构采取“k合1检测法”，即将k个人的拭子样本合并检测，若为阴性，则可确定所有样本都是阴性的；若为阳性，则还需要对本组的每个人再做检测．现有100人，已知其中2人感染病毒．
（1）①若采用“10合1检测法”，且两名患者在同一组，求总检测次数；
②已知10人分成一组，分10组，两名感染患者在同一组的概率为，定义随机变量X为总检测次数，求检测次数X的分布列和数学期望E(X)；
（2）若采用“5合1检测法”，检测次数Y的期望为E(Y)，试比较E(X)和E(Y)的大小(直接写出结果)．
19.已知函数．
（1）若，求在处的切线方程；
（2）若函数在处取得极值，求的单调区间，以及最大值和最小值．
20.已知椭圆过点，以四个顶点围成的四边形面积为．
（1）求椭圆E的标准方程；
（2）过点P(0，-3)的直线l斜率为k，交椭圆E于不同的两点B，C，直线AB，AC交y=-3于点M、N，若|PM|+|PN|≤15，求k的取值范围．
21.定义数列：对p∈R，满足：①，；②；③，．
（1）对前4项2，-2，0，1的数列，可以是数列吗？说明理由；
（2）若是数列，求的值；
（3）是否存在p∈R，使得存在数列，对任意满足？若存在，求出所有这样的p；若不存在，说明理由．
参考答案
一、选择题
1.B
2.D
3.A
4.A
5.B
6.C
7.D
8.B
9.C
10.C
二、填空题
11.-4
12.(1).5
(2).13.(1).0
(2).3
14.（满足即可）
15.①②④
三、解答题
16.（1）；
（2）答案不唯一
由余弦定理可得边上的中线的长度为：；
则由余弦定理可得边上的中线的长度为：
.17.（1）证明见解析；（2）．
18.（1）①次；②分布列见解析；期望为
（2）若时，；
若时，；
若时，.19.（1）；（2）函数的增区间为、，单调递减区间为，最大值为，最小值为.20.（1）；（2）．
21.（1）不可以是数列；理由见解析；（2）；（3）存在；．
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