2.第二节 一次函数及其应用

第三章

函数

第二节

一次函数及其应用

第1课时

一次函数的图像与性质

(建议时间：40分钟)

基础达标训练

1.(2019陕西)若正比例函数y＝－2x的图象经过点(a－1，4)，则a的值为()

A.－1　　　B.0　　　C.1　　　D.2

2.(2019大庆)正比例函数y＝kx(k≠0)的函数值y随着x增大而减小，则一次函数y＝x＋k的图象大致是()

3.(2019荆门)如果函数y＝kx＋b(k，b是常数)的图象不经过第二象限，那么k，b应满足的条件是()

A.k≥0且b≤0

B.k>0且b≤0

C.k≥0且b<0

D.k>0且b<0

4.点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)是一次函数y＝－3x＋4图象上的两个点，且x1

A.y1>y2　　　　　B.y1

C.y1＝y2

D.无法比较y1和y2的大小

5.一次函数的图象经过点(1,2)，且y随x的增大而减小，则这个函数的表达式可能是()

A．y＝－3x＋1　　　　　　B．y＝3x－1

C．y＝－2x＋4

D．y＝2x＋4

6.(2019枣庄)如图，一直线与两坐标轴的正半轴分别交于A，B两点，P是线段AB上任意一点(不包括端点)，过点P分别作两坐标轴的垂线与两坐标轴围成的矩形的周长为8，则该直线的函数表达式是()

第6题图

A.y＝－x＋4

B.y＝x＋4

C.y＝x＋8

D.y＝－x＋8

7.(2019绍兴)若三点(1，4)，(2，7)，(a，10)在同一直线上，则a的值等于()

A.－1　　　B.0　　　C.3　　　D.4

8.(2019苏州)若一次函数y＝kx＋b(k，b为常数，且k≠0)的图象经过点A(0，－1)，B(1，1)，则不等式kx＋b>1的解为()

A.x<0

B.x>0

C.x<1

D.x>1

9.(2019锦州)如图，一次函数y＝2x＋1的图象与坐标轴分别交于A，B两点，O为坐标原点，则△AOB的面积为()

A.B.C.2

D.4

第9题图

10.(2019遵义)如图所示，直线l1：y＝x＋6与直线l2：y＝－x－2交于点P(－2，3)，不等式x＋6>－x－2的解集是()

第10题图

A.x>－2

B.x≥－2

C.x<－2

D.x≤－2

11.(2019山西百校联考一)如图所示，已知点A坐标为(6，0)，直线y＝x＋b(b>0)与y轴交于点B，连接AB，∠α＝75°，则b的值为()

A.2

B.3

C.3

D.6

第11题图

12.(2019邵阳)一次函数y1＝k1x＋b1的图象l1如图所示，将直线l1向下平移若干个单位后得直线l2，l2的函数表达式为y2＝k2x＋b2.下列说法中错误的是()

第12题图

A.k1＝k2

B.b1＜b2

C.b1＞b2

D.当x＝5时，y1>y2

13.(2019天津)直线y＝2x－1与x轴交点坐标为________．

14.(2019湘潭)将一次函数y＝3x的图象向上平移2个单位，所得图象的函数表达式为________．

15.(2019贵阳)在平面直角坐标系内，一次函数y＝k1x＋b1与y＝k2x＋b2的图象如图所示，则关于x，y的方程组的解是________．

第15题图

16.(人教八下P93练习1题改编)已知直线y＝(k－2)x＋k与y轴的正半轴相交，点A(x1，y1)，B(x2，y2)在此直线上，且x1＜x2，y1＞y2，则k的取值范围是________．

17.(全国视野创新题推荐·2019重庆A卷)在初中阶段的函数学习中，我们经历了“确定函数的表达式——利用函数图象研究其性质——运用函数解决问题”的学习过程．在画函数图象时，我们通过描点或平移的方法画出了所学的函数图象，同时，我们也学习了绝对值的意义：|a|＝，结合上面经历的学习过程，现在来解决下面的问题：在函数y＝|kx－3|＋b中，当x＝2时，y＝－4；当x＝0时，y＝－1.(1)求这个函数的表达式；

(2)在给出的平面直角坐标系中，请用你喜欢的方法画出这个函数的图象并写出这个函数的一条性质；

(3)已知函数y＝x－3的图象如图所示，结合你所画的函数图象，直接写出不等式|kx－3|＋b≤x－3的解集．

第17题图

能力提升拓展

1.(2019杭州)已知一次函数y1＝ax＋b和y2＝bx＋a(a≠b)，函数y1和y2的图象可能是()

2.(2019桂林)如图，四边形ABCD的顶点坐标分别为A(－4，0)，B(－2，－1)，C(3，0)，D(0，3)，当过点B的直线l将四边形ABCD分成面积相等的两部分时，直线l所表示的函数表达式为()

第2题图

A.y＝x＋

B.y＝x＋

C.y＝x＋1

D.y＝x＋

3.(2019烟台)如图，直线y＝x＋2与直线y＝ax＋c相交于点P(m，3)，则关于x的不等式x＋2≤ax＋c的解集为________．

第3题图

4.(2019德阳)将直线y＝－x＋8向下平移m个单位后，与直线y＝3x＋6的交点在第二象限，则m的取值范围是________．

5.如图，一次函数的图象与x轴、y轴分别相交于点A、B，将△AOB沿直线AB翻折，得△ACB，若C(，)，则该一次函数的表达式为________．

第5题图

6.(2018郴州)如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的一个顶点在原点O处，且∠AOC＝60°，A点的坐标是(0，4)，则直线AC的表达式是________．

第6题图

第2课时

一次函数的实际应用

(建议时间：40分钟)

1.(全国视野创新题推荐·2019台州)如图①，某商场在一楼到二楼之间设有上、下行自动扶梯和步行楼梯．甲、乙两人从二楼同时下行，甲乘自动扶梯，乙走步行楼梯，甲离一楼地面的高度h(单位：m)与下行时间x(单位：s)之间具有函数关系h＝－x＋6，乙离一楼地面的高度y(单位：m)与下行时间x(单位：s)的函数关系如图②所示．

(1)求y关于x的函数解析式；

(2)请通过计算说明甲、乙两人谁先到达一楼地面．

第1题图

2.(2019天津)甲、乙两个批发店销售同一种苹果．在甲批发店，不论一次购买数量是多少，价格均为6元/kg.在乙批发店，一次购买数量不超过50

kg时，价格为7元/kg；一次购买数量超过50

kg时，其中有50

kg的价格仍为7元/kg，超出50

kg部分的价格为5元/kg.设小王在同一个批发店一次购买苹果的数量为x

kg(x＞0)．

(Ⅰ)根据题意填表：

一次购买数量/kg

150

…

甲批发店花费/元

300

…

乙批发店花费/元

350

…

(Ⅱ)设在甲批发店花费y1元，在乙批发店花费y2元，分别求y1，y2关于x的函数解析式；

(Ⅲ)根据题意填空：

①若小王在甲批发店和在乙批发店一次购买苹果的数量相同，且花费相同，则他在同一个批发店一次购买苹果的数量为________kg；

②若小王在同一个批发店一次购买苹果的数量为120

kg，则他在甲、乙两个批发店中的________批发店购买花费少；

③若小王在同一个批发店一次购买苹果花费了360元，则他在甲、乙两个批发店中的________批发店购买数量多．

3.(2019连云港)某工厂计划生产甲、乙两种产品共2500吨，每生产1吨甲产品可获得利润0.3万元，每生产1吨乙产品可获得利润0.4万元，设该工厂生产了甲产品x(吨)，生产甲、乙两种产品获得的总利润为y(万元)．

(1)求y与x之间的函数表达式；

(2)若每生产1吨甲产品需要A原料0.25吨，每生产1吨乙产品需要A原料0.5吨，受市场影响，该厂能获得的A原料至多为1000吨，其它原料充足．求出该工厂生产甲、乙两种产品各为多少吨时，能获得最大利润．

4.(2019滨州)有甲、乙两种客车，2辆甲种客车与3辆乙种客车的总载客量为180人，1辆甲种客车与2辆乙种客车的总载客量为105人．

(1)请问1辆甲种客车与1辆乙种客车的载客量分别为多少人？

(2)某学校组织240名师生集体外出活动，拟租用甲、乙两种客车共6辆，一次将全部师生送到指定地点．若每辆甲种客车的租金为400元，每辆乙种客车的租金为280元，请给出最节省费用的租车方案，并求出最低费用．

5.(全国视野创新题推荐)为响应十九大“精准扶贫”的号召，某校八年级学生下乡进行暑期实践活动，“爱心”小组的同学把“大小相同的土地中如何种植蔬菜获利最大”作为一项课题活动进行研究．经过对几个蔬菜种植户的调研，他们将得到的信息整理如下表：

项目

内容

课题

大小相同的土地中如何种植蔬菜获利最大

种植方案

方案1

：一年种植甲种、乙种两季蔬菜，先种植甲种蔬菜，出售后可获利10%，再用本金和利润投入乙种蔬菜的种植，最后又可获得15%的利润；

方案2

：种植丙种蔬菜，一年只能收获一次，利润为30%，但蔬菜生长期间要付出7000元的管理费.…

…

(1)若设投入金额为x元，根据表中信息，请帮“爱心”小组分别求出两种方案的利润y1和y2与投入金额x的函数表达式；

(2)请你根据投入资金情况，就“如何种植蔬菜获利最大”给出你的结论．

参考答案

第1课时

一次函数的图像与性质

基础达标训练

1.A　【解析】将点(a－1，4)代入y＝－2x，得4＝－2(a－1)，解得a＝－1.2.A　【解析】∵正比例函数y＝kx(k≠0)的函数值y随x的增大而减小，∴k<0，则y＝x＋k的图象经过y轴负半轴，直线从左至右呈上升趋势，直线经过第一、三、四象限．故选A.3.A　【解析】∵y＝kx＋b(k，b是常数)的图象不经过第二象限，当k＝0，b≤0时成立．当k＞0，b≤0时成立．综上所述，k≥0，b≤0.4.A　【解析】根据题意，k＝－3<0，y随x的增大而减小，∵x1y2.5.C

6.A　【解析】如解图，设点P的坐标为(x，y)，∵P点在第一象限，∴PC＝x，PD＝y.∵矩形PDOC的周长为8，∴2(x＋y)＝8，∴x＋y＝4，即y＝－x＋4.第6题解图

7.C　【解析】∵点(1，4)，(2，7)，(a，10)在同一直线上，∴设这条直线的表达式为y＝kx＋b，将点(1，4)，(2，7)代入表达式得解得，∴这条直线的表达式为y＝3x＋1，将(a，10)代入得3a＋1＝10，解得a＝3.8.D　【解析】∵一次函数y＝kx＋b(k、b为常数，且k≠0)的图象经过点A(0，－1)，B(1，1)，∴，解得，∴一次函数的表达式为y＝2x－1，∴不等式为2x－1＞1，解得x＞1.9.A　【解析】由题意知A(－，0)，B(0，1)，∴S△AOB＝××1＝.10.A　【解析】观察图象可得，当在交点P右侧时，一次函数y＝x＋6图象始终位于一次函数y＝－x－2图象的上方，∴不等式x＋6>－x－2的解集为x＞－2.11.A　【解析】如解图，∵点A的坐标为(6，0)，直线y＝x＋b(b>0)与y轴交于点B，∴OA＝6，∠1＝45°.∵∠α＝75°，∴∠BAO＝∠α－∠1＝30°.在Rt△BAO中，OB＝OA·tan∠BAO＝6×＝2.∴点B的坐标为(0，2)．将点B(0，2)的坐标代入y＝x＋b，得b＝2.第11题解图

12.B　【解析】∵一次函数y1＝k1x＋b1的图象l1向下平移若干个单位得到l2的函数表达式为y2＝k2x＋b2，∴k1＝k2，b1＞b2，当x＝5时由图象可以看出y1＞y2.13.(，0)【解析】令y＝0，则0＝2x－1，解得x＝，∴直线与x轴的交点坐标为(，0)．

14.y＝3x＋2　【解析】一次函数图象的平移规律为“左加右减，上加下减”，∴将一次函数y＝3x的图象向上平移2个单位，所得图象的函数表达式为y＝3x＋2.15.【解析】方程组等价于，观察图象即可知其解为.16.0＜k＜2　【解析】∵直线与y轴正半轴相交，∴k＞0.∵x1＜x2，y1＞y2，∴y随x的增大而减小．∴k－2＜0.∴0＜k＜2.17.解：(1)将x＝2，y＝－4和x＝0时，y＝－1分别代入y＝|kx－3|＋b中，得，解得，∴这个函数的表达式是y＝|x－3|－4；

(2)函数图象如解图：

函数的性质(写出其中一条即可)：

①当x＜2时，函数值y随x的增大而减小；当x＞2时，函数值y随x的增大而增大；

②当x＝2时，函数有最小值，最小值是－4.(3)不等式的解集是1≤x≤4.第17题解图

能力提升拓展

1.A　【解析】∵令ax＋b＝bx＋a，即(a－b)x＝a－b，∵a≠b，∴解得x＝1，即这两个一次函数图象交点的横坐标为1，4个选项都满足．A.如果过第一、二、三象限的图象是y1，由y1的图象可知a>0，b＞0，由y2的图象可知a>0，b＞0，两结论不矛盾，故A正确；B.如果过第一、二、三象限的图象是y1，由y1的图象可知a>0，b＞0，由y2的图象可知a>0，b<0，两结论相矛盾，故B错误；C.两函数图象都经过第一、二、四象限的图象，若当x<1时，位于上方的图象是y1，由y1的图象可知，a＜0，b＞0；由y2的图象可知，a>0，b＜0，两结论相矛盾，故C错误；D.如果过第二、三、四象限的图象是y1，由y1的图象可知a＜0，b＜0，由y2的图象可知a<0，b＞0，两结论相矛盾，故D错误．

2.D　【解析】如解图所示，过点B作直线交CD于点E，交AC于点F，S四边形ABCD＝S△ACD＋S△ACB＝×7×3＋×7×1＝14，S四边形ABCD＝7.设直线l所表示的函数表达式为y＝kx＋b，将点B(－2，－1)代入y＝kx＋b，得y＝kx＋2k－1.由题可知直线CD的表达式为y＝－x＋3，联立解得∴E(，)．令y＝kx＋2k－1＝0，得x＝，∴l与x轴交点坐标为F(，0)．S△BCE＝S△BCF＋S△CEF＝×1·(＋3)＋·(＋3)·＝7，解得k＝，或k＝0(舍去)∴直线l的表达式为y＝x＋.第2题解图

3.x≤1　【解析】将点P(m，3)代入y＝x＋2，得3＝m＋2，∴m＝1.∴点P坐标为(1，3)．由题可知，x＋2≤ax＋c的解集即为直线y＝ax＋c的图象在直线y＝x＋2的上方时x的取值范围，且包含交点的横坐标，∴x＋2≤ax＋c的解集为x≤1.4.20，解得2

6.y＝－x＋4　【解析】如解图，过点C作CD⊥OA于点D，∵四边形OABC是菱形，∴OA＝OC，∵∠AOC＝60°，∴△AOC是等边三角形，∴OD＝AD＝2，CD＝OD＝2，∴点C的坐标为(2，2)，设直线AC的函数表达式为y＝kx＋b，将点A(0，4)，C(2，2)代入得解得故直线AC的函数表达式为y＝－x＋4.第6题解图

第2课时

一次函数的实际应用

1.解：(1)设y关于x的函数解析式为y＝kx＋b，把点(0，6)(15，3)代入y＝kx＋b得

解得

∴y关于x的函数解析式为y＝－x＋6；

(2)甲：当h＝0时，得x＝20.乙：当y＝0时，得x＝30.∵20＜30，∴甲先到达一楼地面．

2.解：(Ⅰ)180，900，210，850；

【解法提示】甲批发店花费：当x＝30时，花费为30×6＝180；当x＝150时，花费为150×6＝900.乙批发店花费：当x＝30时，花费为30×7＝210；当x＝150时，花费为50×7＋(150－50)×5＝850.(Ⅱ)y1＝6x(x>0)，当0

当x>50时，y2＝7×50＋5(x－50)，即y2＝5x＋100；

即y2＝

(Ⅲ)①100；②乙；③甲．

【解法提示】①当0＜x≤50时，甲批发店和乙批发店花费不可能相同，则x＞50时，令y1＝y2，则6x＝5x＋100，解得x＝100；

②当x＝120时，y1＝6×120＝720，y2＝5×120＋100＝700，∵720＞700，∴在乙批发店购买花费少；

③对甲批发店而言：令y1＝360，则6x＝360，解得x＝60.对乙批发店而言：当x＝50时，花费为350＜360，则令5x＋100＝360，解得x＝52，∵60＞52，∴小王花费360元时，在甲批发店购买数量多．

3.解：(1)y＝x·0.3＋(2500－x)·0.4＝－0.1x＋1000；

(2)由题意得x·0.25＋(2500－x)·0.5≤1000，解得x≥1000.又∵x≤2500，∴1000≤x≤2500.由(1)可知，－0.1<0，∴y的值随着x的增加而减小，∴当x＝1000时，y取最大值，此时生产乙种产品2500－1000＝1500(吨)

答：工厂生产甲产品1000吨，乙产品1500吨时，能获得最大利润．

4.解：(1)设甲种客车的载客量为x人，乙种客车的载客量为y人，则有，解得.∴1辆甲种客车的载客量为45人，1辆乙种客车的载客量为30人；

(2)设租用甲种客车x辆，则租用乙种客车(6－x)辆，则可列不等式45x＋30(6－x)≥240，解得x≥4，且x≤6，∵人数为正整数，∴x可取4，5，6，设所需费用为y元，则可表示为y＝400x＋280(6－x)＝120x＋1680，可知y随x的增大而增大，∴x取4时，y有最小值120×4＋1680＝2160(元)．

∴最节省费用的租车方案为甲种客车租4辆，乙种客车租6－4＝2辆，最低费用为2160元．

5.解：(1)根据题意可得：y1＝x(1＋10%)(1＋15%)－x＝0.265x，y2＝x(1＋30%)－x－7000＝0.3x－7000；

(2)当y1＝y2时，即0.265x＝0.3x－7000，解得：x＝200000，当y1>y2，即0.265x>0.3x－7000，解得x<200000；

当y1200000；

∴当x＝200000元时，两种方案获利相同；

当x<200000时，方案1获利大；

当x>200000时，方案2获利大．