高考数学高频易错题举例解析

高中数学中有许多题目，求解的思路不难，但解题时，对某些特殊情形的讨论，却很容易被忽略。也就是在转化过程中，没有注意转化的等价性，会经常出现错误。本文通过几个例子，剖析致错原因，希望能对同学们的学习有所帮助。加强思维的严密性训练。

●

忽视等价性变形，导致错误。

Û，但

与

不等价。

【例1】已知f(x)

+，若求的范围。

错误解法

由条件得

②×2－①

①×2－②得

+得

错误分析

采用这种解法，忽视了这样一个事实：作为满足条件的函数，其值是同时受制约的。当取最大（小）值时，不一定取最大（小）值，因而整个解题思路是错误的。

正确解法

由题意有,解得：

把和的范围代入得

在本题中能够检查出解题思路错误，并给出正确解法，就体现了思维具有反思性。只有牢固地掌握基础知识，才能反思性地看问题。

●忽视隐含条件，导致结果错误。

【例2】

(1)

设是方程的两个实根，则的最小值是

思路分析

本例只有一个答案正确，设了3个陷阱，很容易上当。

利用一元二次方程根与系数的关系易得：

有的学生一看到，常受选择答案（A）的诱惑，盲从附和。这正是思维缺乏反思性的体现。如果能以反思性的态度考察各个选择答案的来源和它们之间的区别，就能从中选出正确答案。

原方程有两个实根，∴

当时，的最小值是8；

当时，的最小值是18。

这时就可以作出正确选择，只有（B）正确。

(2)

已知(x+2)2+

=1,求x2+y2的取值范围。

错解

由已知得

y2=－4x2－16x－12，因此

x2+y2=－3x2－16x－12=－3(x+)2+，∴当x=－时，x2+y2有最大值，即x2+y2的取值范围是(－∞,]。

分析

没有注意x的取值范围要受已知条件的限制，丢掉了最小值。

事实上，由于(x+2)2+

(x+2)2=1－

≤1

－3≤x≤－1，从而当x=－1时x2+y2有最小值1。∴

x2+y2的取值范围是[1,]。

注意有界性：偶次方x2≥0，三角函数－1≤sinx≤1，指数函数ax>0，圆锥曲线有界性等。

●忽视不等式中等号成立的条件，导致结果错误。

【例3】已知：a>0,b>0,a+b=1,求(a+)2+(b+)2的最小值。

错解

(a+)2+(b+)2=a2+b2+++4≥2ab++4≥4+4=8,∴(a+)2+(b+)2的最小值是8.分析

上面的解答中，两次用到了基本不等式a2+b2≥2ab，第一次等号成立的条件是a=b=,第二次等号成立的条件是ab=，显然，这两个条件是不能同时成立的。因此，8不是最小值。

事实上，原式=

a2+b2+++4=（a2+b2)+(+)+4=[(a+b)2－2ab]+[(+)2－]+4

(1－2ab)(1+)+4，由ab≤()2=

得：1－2ab≥1－=,且≥16，1+≥17，∴原式≥×17+4=

(当且仅当a=b=时，等号成立)，∴(a

+)2

+)2的最小值是。

●不进行分类讨论，导致错误

【例4】(1)已知数列的前项和，求

错误解法

错误分析

显然，当时。

错误原因：没有注意公式成立的条件是。

因此在运用时，必须检验时的情形。即：。

(2)实数为何值时，圆与抛物线有两个公共点。

错误解法

将圆与抛物线

联立，消去，得

①

因为有两个公共点，所以方程①有两个相等正根，得，解之得

错误分析

（如图2－2－1；2－2－2）显然，当时，圆与抛物线有两个公共点。

图2－2－2

图2－2－1

要使圆与抛物线有两个交点的充要条件是方程①有一正根、一负根；或有两个相等正根。

当方程①有一正根、一负根时，得解之，得

因此，当或时，圆与抛物线有两个公共点。

思考题：实数为何值时，圆与抛物线，(1)

有一个公共点；(2)有三个公共点；(3)有四个公共点；(4)没有公共点。

●以偏概全，导致错误

以偏概全是指思考不全面，遗漏特殊情况，致使解答不完全，不能给出问题的全部答案，从而表现出思维的不严密性。

【例5】(1)设等比数列的全项和为.若，求数列的公比.错误解法。

错误分析

在错解中，由，时，应有。

在等比数列中，是显然的，但公比q完全可能为1，因此，在解题时应先讨论公比的情况，再在的情况下，对式子进行整理变形。

正确解法

若，则有但，即得与题设矛盾，故.又依题意

Þ,即因为，所以所以解得

说明

此题为1996年全国高考文史类数学试题第（21）题，不少考生的解法同错误解法，根据评分标准而痛失2分。

(2)求过点的直线，使它与抛物线仅有一个交点。

错误解法

设所求的过点的直线为，则它与抛物线的交点为，消去得整理得

直线与抛物线仅有一个交点，解得所求直线为

错误分析

此处解法共有三处错误：

第一，设所求直线为时，没有考虑与斜率不存在的情形，实际上就是承认了该直线的斜率是存在的，且不为零，这是不严密的。

第二，题中要求直线与抛物线只有一个交点，它包含相交和相切两种情况，而上述解法没有考虑相切的情况，只考虑相交的情况。原因是对于直线与抛物线“相切”和“只有一个交点”的关系理解不透。

第三，将直线方程与抛物线方程联立后得一个一元二次方程，要考虑它的判别式，所以它的二次项系数不能为零，即而上述解法没作考虑，表现出思维不严密。

正确解法

①当所求直线斜率不存在时，即直线垂直轴，因为过点，所以即轴，它正好与抛物线相切。

②当所求直线斜率为零时，直线为y

1平行轴，它正好与抛物线只有一个交点。

③一般地，设所求的过点的直线为,则，令解得k

=,∴

所求直线为

综上，满足条件的直线为：

《章节易错训练题》

1、已知集合M

{直线}，N

{圆}，则M∩N中元素个数是

A(集合元素的确定性)

(A)

(B)

0或1

(C)

0或2

(D)

0或1或22、已知A

=，若A∩R*

F，则实数t集合T

___。(空集)

3、如果kx2+2kx－(k+2)<0恒成立，则实数k的取值范围是C(等号)

(A)

－1≤k≤0

(B)

－1≤k<0

(C)

－1

(D)

－1

（A）

（B）

（C）

（D）

5、若不等式x2－logax<0在(0,)内恒成立，则实数的取值范围是A(等号)

(A)

[,1)

(B)

(1,+

¥)

(C)

(,1)

(D)

(,1)∪(1,2)

6、若不等式(－1)na

+对于任意正整数n恒成立，则实数的取值范围是A(等号)

(A)

[－2，)

(B)

(－2，)

(C)

[－3，)

(D)

(－3，)

7、已知定义在实数集上的函数满足：；当时，；对于任意的实数、都有。证明：为奇函数。(特殊与一般关系)

8、已知函数f(x)

=，则函数的单调区间是_____。递减区间(－¥，－1)和(－1，+¥)

（单调性、单调区间）

9、函数y

=的单调递增区间是________。[－，－1）（定义域）

10、已知函数f

(x)=，f

(x)的反函数f

－1(x)=。

（漏反函数定义域即原函数值域）

11、函数

(x)

log

值域为

R，则实数

a的取值范围是D(正确使用△≥0和△<0)

(A)

(－2,2)

(B)

[－2,2]

(C)

(－¥,－2)∪(2,+¥)

(D)

(－¥,－2]∪[2,+¥)

12、若x≥0，y≥0且x+2y=1，那么2x+3y2的最小值为B(隐含条件)

（A）2

（B）

（C）

（D）013、函数y=的值域是________。(－∞,)∪(,1)∪(1,+∞)

（定义域）

14、函数y

sin

tan

tan)的最小正周期是C

（定义域）

(A)

(B)

(C)

(D)

315、已知

(x)

是周期为

2的奇函数，当

[0,1)

时，f

(x)

x，则

(log

23)

D(对数运算)

(A)

(B)

(C)

－

(D)

－

16、已知函数在处取得极值。

（1）讨论和是函数的极大值还是极小值；

（2）过点作曲线的切线，求此切线方程。(2004天津)

（求极值或最值推理判断不充分(建议列表)；求过点切线方程，不判断点是否在曲线上。）

17、已知tan

(a－)=

－

则tan

；=

。、（化齐次式）

18、若

sin

－2

sin

0，则cos

cos

2b的最小值是

。(隐含条件)

19、已知sinq

cosq

=，q

(0，p)，则cotq

_______。－(隐含条件)

20、在△ABC中，用a、b、c和A、B、C分别表示它的三条边和三条边所对的角，若a

=2、、，则∠B

B(隐含条件)

（A）

（B）

（C）

（D）

21、已知a>0,b>0,a+b=1，则(a

+)2

+)2的最小值是_______。(三相等)

22、已知x

≠

Z)，函数y

sin2x

+的最小值是______。5（三相等）

23、求的最小值。

错解1

错解2

错误分析

在解法1中，的充要条件是

即这是自相矛盾的。

在解法2中，的充要条件是

这是不可能的。

正确解法1

其中，当

正

确

解

法2

取正常数，易得

其中“”取“＝”的充要条件是

因此，当

24、已知a1

1，an

an－1

2n－1(n≥2)，则an

________。2n－1(认清项数)

25、已知

－9、a1、a2、－1

四个实数成等差数列，－9、b1、b2、b3、－1

五个实数成等比数列，则

(a2－a1)

A(符号)

(A)

－8

(B)

(C)

－

(D)

26、已知

{an}

是等比数列，Sn是其前n项和，判断Sk，S2k－Sk，S3k－S2k成等比数列吗？

当q

－1，k为偶数时，Sk

0，则Sk，S2k－Sk，S3k－S2k不成等比数列；

当q≠－1或q

－1且k为奇数时，则Sk，S2k－Sk，S3k－S2k成等比数列。

（忽视公比q

－1）

27、已知定义在R上的函数和数列满足下列条件：，f(an)－f(an－1)

k(an－an－1)(n

2,3,┄)，其中a为常数，k为非零常数。（1）令，证明数列是等比数列；（2）求数列的通项公式；（3）当时，求。(2004天津)

（等比数列中的0和1，正确分类讨论）

28、不等式m2－(m2－3m)i<

(m2－4m

3)i

10成立的实数m的取值集合是________。{3}(隐含条件)

29、i是虚数单位，的虚部为（）C(概念不清)

(A)

－1

(B)

－i

(C)

－3

(D)

－3

i30、实数，使方程至少有一个实根。

错误解法

方程至少有一个实根，Þ

或

错误分析

实数集合是复数集合的真子集，所以在实数范围内成立的公式、定理，在复数范围内不一定成立，必须经过严格推广后方可使用。一元二次方程根的判别式是对实系数一元二次方程而言的，而此题目盲目地把它推广到复系数一元二次方程中，造成解法错误。

正确解法

设是方程的实数根，则

由于都是实数，,解得

31、和a

(3,－4)平行的单位向量是_________；和a

(3,－4)垂直的单位向量是_________。

(，－)或(－，)；(，)或(－，－)(漏解)

32、将函数y=

4x－8的图象L按向量a平移到L/，L/的函数表达式为y=

4x，则向量a=______。

(h，4h+8)

(其中h

R)(漏解)

33、已知

||＝1，||＝，若//，求·。

①若，共向，则

·＝||•||＝，②若，异向，则·＝－||•||＝－。(漏解)

34、在正三棱锥A－BCD中，E、F是AB、BC的中点，EF⊥DE，若BC

a，则正三棱锥A－BCD的体积为____________。a3

(隐含条件)

35、在直二面角

a－AB－b的棱

上取一点

P，过

分别在a、b

两个平面内作与棱成45°的斜线

PC、PD，那么∠CPD的大小为D(漏解)

(A)

45°

(B)

60°

(C)

120°

(D)

60°

或

120°

36、如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F。

（1）证明PA//平面EDB；

（2）证明PB⊥平面EFD；

（3）求二面角C—PB—D的大小。(2004天津)

(条件不充分(漏PA

平面EDB，平面PDC，DE∩EF

E等)；运算错误，锐角钝角不分。)

37、若方程

1表示椭圆，则m的范围是_______。(0，1)∪(1，+

¥)(漏解)

38、已知椭圆

1的离心率为，则

m的值为

____

。4

或

(漏解)

39、椭圆的中心在原点，对称轴为坐标轴，椭圆短轴的一个顶点

与两焦点

F1、F2

组成的三角形的周长为

2且∠F1BF2

=，则椭圆的方程是

。+

1或x

1(漏解)

40、椭圆的中心是原点O，它的短轴长为，相应于焦点F（c，0）（）的准线与x轴相交于点A，|OF|=2|FA|，过点A的直线与椭圆相交于P、Q两点。

（1）求椭圆的方程及离心率；（2）若，求直线PQ的方程；

（3）设（），过点P且平行于准线的直线与椭圆相交于另一点M，证明。(2004天津)

(设方程时漏条件a>，误认短轴是b

2；要分析直线PQ斜率是否存在(有时也可以设为x

b)先；对一元二次方程要先看二次项系数为0否，再考虑△>0，后韦达定理。)

41、求与轴相切于右侧，并与⊙也相切的圆的圆心的轨迹方程。

错误解法

如图3－2－1所示，已知⊙C的方程为

设点为所求轨迹上任意一点，并且⊙P与轴相切于M点，与⊙C相切于N点。根据已知条件得，即，化简得

错误分析

本题只考虑了所求轨迹的纯粹性（即所求的轨迹上的点都满足条件），而没有考虑所求轨迹的完备性（即满足条件的点都在所求的轨迹上）。事实上，符合题目条件的点的坐标并不都满足所求的方程。从动圆与已知圆内切，可以发现以轴正半轴上任一点为圆心，此点到原点的距离为半径（不等于3）的圆也符合条件，所以也是所求的方程。即动圆圆心的轨迹方程是y2

12x(x>0)和。因此，在求轨迹时，一定要完整的、细致地、周密地分析问题，这样，才能保证所求轨迹的纯粹性和完备性。

图3－2－242、（如图3－2－2），具有公共轴的两个直角坐标平面和所成的二面角等于.已知内的曲线的方程是，求曲线在内的射影的曲线方程。

错误解法

依题意，可知曲线是抛物线，在内的焦点坐标是

因为二面角等于，且所以

设焦点在内的射影是，那么，位于轴上，从而

所以所以点是所求射影的焦点。依题意，射影是一条抛物线，开口向右，顶点在原点。所以曲线在内的射影的曲线方程是

错误分析

上述解答错误的主要原因是，凭直观误认为F是射影(曲线)的焦点，其次，没有证明默认C/在a

内的射影(曲线)是一条抛物线。

图3－2－3

正确解法

在内，设点是曲线上任意一点

（如图3－2－3）过点作，垂足为，过作轴，垂足为连接，则轴。所以是二面角的平面角，依题意，.在又知轴（或与重合），轴（或与重合），设，则

因为点在曲线上，所以

即所求射影的方程为

数学推理是由已知的数学命题得出新命题的基本思维形式，它是数学求解的核心。以已知的真实数学命题，即定义、公理、定理、性质等为依据，选择恰当的解题方法，达到解题目标，得出结论的一系列推理过程。在推理过程中，必须注意所使用的命题之间的相互关系（充分性、必要性、充要性等），做到思考缜密、推理严密。

二、选择题：

1．为了得到函数的图象，可以将函数的图象（）

向右平移

向左平移

D向左平移

错误分析:审题不仔细,把目标函数搞错是此题最容易犯的错误.答案:

2．函数的最小正周期为

（）

错误分析:将函数解析式化为后得到周期,而忽视了定义域的限制,导致出错.答案:

3．曲线y=2sin(x+cos(x-)和直线y=在y轴右侧的交点按横坐标从小到大依次记为P1、P2、P3……，则|P2P4|等于

（）

A．p

B．2p

C．3p

D．4p

正确答案：A

错因：学生对该解析式不能变形，化简为Asin(x+)的形式，从而借助函数图象和函数的周期性求出|P2P|。

4．下列四个函数y=tan2x，y=cos2x，y=sin4x，y=cot(x+),其中以点(,0)为中心对称的三角函数有（）个

A．1

B．2

C．3

D．4

正确答案：D

错因：学生对三角函数图象的对称性和平移变换未能熟练掌握。

5．函数y=Asin(wx+j)(w>0,A¹0)的图象与函数y=Acos(wx+j)(w>0,A¹0)的图象在区间(x0,x0+)上（）

A．至少有两个交点

B．至多有两个交点

C．至多有一个交点

D．至少有一个交点

正确答案：C

错因：学生不能采用取特殊值和数形结合的思想方法来解题。

6．在DABC中，2sinA+cosB=2，sinB+2cosA=，则ÐC的大小应为（）

A．

B．

C．或

D．或

正确答案：A

错因：学生求ÐC有两解后不代入检验。

7．已知tana

tanb是方程x2+3x+4=0的两根，若a，bÎ(-)，则a+b=（）

A．

B．或-

C．-或

D．-

正确答案：D

错因：学生不能准确限制角的范围。

8．若，则对任意实数的取值为（）

A.1

B.区间（0，1）

C.D.不能确定

解一：设点，则此点满足

解得或

即

选A

解二：用赋值法，令

同样有

选A

说明：此题极易认为答案A最不可能，怎么能会与无关呢？其实这是我们忽略了一个隐含条件，导致了错选为C或D。

9．在中，则的大小为（）

A.B.C.D.解：由平方相加得

若

则

又

选A

说明：此题极易错选为，条件比较隐蔽，不易发现。这里提示我们要注意对题目条件的挖掘。

10．中,、、C对应边分别为、、.若，,且此三角形有两解,则的取值范围为

（）

A.B.C.D.正确答案：A

错因：不知利用数形结合寻找突破口。

11．已知函数

y=sin(x+)与直线y＝的交点中距离最近的两点距离为，那么此函数的周期是（）

正确答案：B

错因：不会利用范围快速解题。

12．函数为增函数的区间是…………………………

（）

A.B.C.D.正确答案：C

错因：不注意内函数的单调性。

13．已知且，这下列各式中成立的是（）

A.B.C.D.正确答案(D)

错因:难以抓住三角函数的单调性。

14．函数的图象的一条对称轴的方程是（）

正确答案A

错因：没能观察表达式的整体构造，盲目化简导致表达式变繁而无法继续化简。

15．ω是正实数，函数在上是增函数，那么（）

A．

B．

C．

D．

正确答案A

错因：大部分学生无法从正面解决，即使解对也是利用的特殊值法。

16．在(0，2π)内，使cosx＞sinx＞tanx的成立的x的取值范围是

（）

A、()

B、()

C、（）

D、()

正确答案：C

17．设，若在上关于x的方程有两个不等的实根，则为

A、或

B、C、D、不确定

正确答案：A

18．△ABC中，已知cosA=，sinB=，则cosC的值为（）

A、B、C、或

D、答案：A

点评：易误选C。忽略对题中隐含条件的挖掘。

19．在△ABC中，3sinA+4cosB=6，4sinB+3cosA=1，则∠C的大小为（）

A、B、C、或

D、或

答案：A

点评：易误选C，忽略A+B的范围。

20．设cos1000=k，则tan800是（）

A、B、C、D、答案：B

点评：误选C，忽略三角函数符号的选择。

21．已知角的终边上一点的坐标为（），则角的最小值为（）。

A、B、C、D、正解：D，而

所以，角的终边在第四象限，所以选D，误解：,选B

22．将函数的图像向右移个单位后，再作关于轴的对称变换得到的函数的图像，则可以是（）。

A、B、C、D、正解：B,作关于x轴的对称变换得,然后向左平移个单位得函数

可得

误解：未想到逆推，或在某一步骤时未逆推，最终导致错解。

23．A，B，C是ABC的三个内角，且是方程的两个实数根，则ABC是（）

A、钝角三角形

B、锐角三角形

C、等腰三角形

D、等边三角形

正解：A

由韦达定理得：

在中，是钝角，是钝角三角形。

24．曲线为参数）上的点到两坐标轴的距离之和的最大值是（）。

A、B、C、1

D、正解：D。

由于所表示的曲线是圆，又由其对称性，可考虑的情况，即

则∴

误解：计算错误所致。

25．在锐角⊿ABC中，若，则的取值范围为（）

A、B、C、D、错解:

B.错因:只注意到而未注意也必须为正.正解:

A.26．已知，（），则

（C）

A、B、C、D、错解：A

错因：忽略，而不解出

正解：C

27．先将函数y=sin2x的图象向右平移个单位长度，再将所得图象作关于y轴的对称变换，则所得函数图象对应的解析式为

（）

A．y=sin(－2x+)

B．

y=sin(－2x－)

C．y=sin(－2x+)

D．

y=sin(－2x－)

错解：B

错因：将函数y=sin2x的图象向右平移个单位长度时，写成了

正解：D

28．如果，那么的取值范围是（）

A．，B．，C．，D．，错解:

D．

错因:只注意到定义域,而忽视解集中包含.正解:

B．

29．函数的单调减区间是（）

A、（）

B、C、D、答案：D

错解：B

错因：没有考虑根号里的表达式非负。

30．已知的取值范围是（）

A、B、C、D、答案：A设，可得sin2x

sin2y=2t,由。

错解：B、C

错因：将由

选B，相减时选C，没有考虑上述两种情况均须满足。

31．在锐角ABC中，若C=2B，则的范围是（）

A、（0，2）

B、C、D、答案：C

错解：B

错因：没有精确角B的范围

32．函数

（）

A、3

B、5

C、7

D、9

正确答案：B

错误原因：在画图时，0＜＜时，＞意识性较差。

33．在△ABC中，则∠C的大小为

（）

A、30°

B、150°

C、30°或150°

D、60°或150°

正确答案：A

错误原因：易选C，无讨论意识，事实上如果C=150°则A=30°∴，∴＜＜6和题设矛盾

34．（）

A、B、C、D、正确答案：C

错误原因：利用周期函数的定义求周期，这往往是容易忽视的，本题直接检验得

35．（）

A、B、C、D、正确答案：B

错误原因：忽视三角函数定义域对周期的影响。

36．已知奇函数等调减函数，又α，β为锐角三角形内角，则（）

A、f(cosα)＞

f(cosβ)

B、f(sinα)＞

f(sinβ)

C、f(sinα)＜f(cosβ)

D、f(sinα)＞

f(cosβ)

正确答案：（C）

错误原因：综合运用函数的有关性质的能力不强。

37．设那么ω的取值范围为（）

A、B、C、D、正确答案：(B)

错误原因：对三角函数的周期和单调性之间的关系搞不清楚。

二填空题：

1．已知方程（a为大于1的常数）的两根为，且、，则的值是_________________.错误分析：忽略了隐含限制是方程的两个负根，从而导致错误.正确解法：，是方程的两个负根

又

即

由===可得

答案:

.2．已知,则的取值范围是_______________.错误分析:由得代入中,化为关于的二次函数在上的范围,而忽视了的隐含限制,导致错误.答案:

.略解:

由得

将（1）代入得=.3．若,且,则_______________.错误分析:直接由,及求的值代入求得两解,忽略隐含限制出错.答案:

.4．函数的最大值为3，最小值为2，则______，_______。

解：若

则

若

则

说明：此题容易误认为，而漏掉一种情况。这里提醒我们考虑问题要周全。

5．若Sin

cos，则α角的终边在第_____象限。

正确答案：四

错误原因：注意角的范围，从而限制α的范围。

6．在△ABC中，已知A、B、C成等差数列，则的值为_________.正确答案：

错因：看不出是两角和的正切公式的变形。

7．函数的值域是

．

正确答案：

8．若函数的最大值是1，最小值是，则函数的最大值是　　　　　　　　　．正确答案：5

9．定义运算为:例如，,则函数f(x)=的值域为

．正确答案：

10．若，α是第二象限角，则=__________

答案：5

点评：易忽略的范围，由得=5或。

11．设ω>0，函数f(x)=2sinωx在上为增函数，那么ω的取值范围是_____

答案：0<ω≤

点评：

12．在△ABC中，已知a=5，b=4，cos(A－B)=，则cosC=__________

答案：

点评：未能有效地运用条件构造三角形运用方程思想实施转化。

13．在中，已知，b，c是角A、B、C的对应边，则①若，则在R上是增函数；②若，则ABC是；③的最小值为；④若，则A=B；⑤若，则，其中错误命题的序号是_____。

正解：错误命题③⑤。

①

②。

③

显然。

④

(舍)。

⑤

错误命题是③⑤。

误解：③④⑤中未考虑，④中未检验。

14．已知，且为锐角，则的值为_____。

正解：，令得代入已知，可得

误解：通过计算求得计算错误.15．给出四个命题：①存在实数，使；②存在实数，使；③是偶函数；④是函数的一条对称轴方程；⑤若是第一象限角，且，则。其中所有的正确命题的序号是_____。

正解：③④

①

不成立。

②

不成立。

③

是偶函数，成立。

④

将代入得,是对称轴，成立。

⑤

若，但，不成立。

误解：①②没有对题目所给形式进行化简，直接计算，不易找出错误。

⑤没有注意到第一象限角的特点，可能会认为是的角，从而根据做出了错误的判断。

16．函数的最小正周期是

错解：

错因：与函数的最小正周期的混淆。

正解：

17．设=tan成立，则的取值范围是_______________

错解：

错因：由tan不考虑tan不存在的情况。

正解：

18．①函数在它的定义域内是增函数。

②若是第一象限角，且。

③函数一定是奇函数。

④函数的最小正周期为。

上述四个命题中，正确的命题是

④

错解：①②

错因：忽视函数是一个周期函数

正解：④

19函数f(x)=的值域为______________。

错解：

错因：令后忽视,从而

正解：

20．若2sin2α的取值范围是

错解：

错因：由其中，得错误结果；由

得或结合（1）式得正确结果。

正解：[0,]

21.关于函数有下列命题，y=f(x)图象关于直线对称

y=f(x)的表达式可改写为

y=f(x)的图象关于点对称

由必是的整数倍。其中正确命题的序号是。

答案：

错解：

错因：忽视f(x)的周期是，相邻两零点的距离为。

22．函数的单调递增区间是。

答案：

错解：

错因：忽视这是一个复合函数。

23．。

正确答案：

错误原因：两角和的正切公式使用比较呆板。

24．是。

正确答案：

错误原因：如何求三角函数的值域，方向性不明确

三、解答题：

1．已知定义在区间[-p，]

上的函数y=f(x)的图象关于直线x=

-对称，当xÎ[-，]时，函数f(x)=Asin(wx+j)(A>0,w>0,-

(1)求函数y=f(x)在[-p，]的表达式；

(2)求方程f(x)=的解。

解：(1)由图象知A=1，T=4()=2p，w=

在xÎ[-，]时

将(，1)代入f(x)得

f()=sin(+j)=1

∵-

∴j=

∴在[-，]时

f(x)=sin(x+)

∴y=f(x)关于直线x=-对称

∴在[-p，-]时

f(x)=-sinx

综上f(x)=

(2)f(x)=

在区间[-，]内

可得x1=

x2=

∵y=f(x)关于x=

对称

∴x3=-

x4=

∴f(x)=的解为xÎ{-,-,-,}

2．求函数的相位和初相。

解：

原函数的相位为，初相为

说明：部分同学可能看不懂题目的意思，不知道什么是相位，而无从下手。应将所给函数式变形为的形式（注意必须是正弦）。

3．若，求的取值范围。

解：令，则有

说明：此题极易只用方程组（1）中的一个条件，从而得出或。原因是忽视了正弦函数的有界性。另外不等式组（2）的求解中，容易让两式相减，这样做也是错误的，因为两式中的等号成立的条件不一定相同。这两点应引起我们的重视。

4．求函数的定义域。

解：由题意有

当时，；

当时，函数的定义域是

说明：可能会有部分同学认为不等式组（*）两者没有公共部分，所以定义域为空集，原因是没有正确理解弧度与实数的关系，总认为二者格格不入，事实上弧度也是实数。

．已知，求的最小值及最大值。

解：

令

则

而对称轴为

当时，；

当时，说明：此题易认为时，最大值不存在，这是忽略了条件不在正弦函数的值域之内。

6．若，求函数的最大值。

解：

当且仅当

即时，等号成立

说明：此题容易这样做：，但此时等号成立的条件是，这样的是不存在的。这是忽略了利用不等式求极值时要平均分析的原则。

7．求函数的最小正周期。

解：函数的定义域要满足两个条件；

要有意义且，且

当原函数式变为时，此时定义域为

显然作了这样的变换之后，定义域扩大了，两式并不等价

所以周期未必相同，那么怎么求其周期呢？首先作出的图象：

而原函数的图象与的图象大致相同

只是在上图中去掉所对应的点

从去掉的几个零值点看，原函数的周期应为

说明：此题极易由的周期是而得出原函数的周期也是，这是错误的，原因正如上所述。那么是不是说非等价变换周期就不同呢？也不一定，如1993年高考题：函数的最小正周期是（）。A.B.C.D.。此题就可以由的周期为而得原函数的周期也是。但这个解法并不严密，最好是先求定义域，再画出图象，通过空点来观察，从而求得周期。

8．已知Sinα=

Sinβ=，且α，β为锐角，求α+β的值。

正确答案：α+β=

错误原因：要挖掘特征数值来缩小角的范围

9．求函数y=Sin(—3x)的单调增区间：

正确答案：增区间[]（）

错误原因：忽视t=—3x为减函数

10．求函数y=的最小正周期

正确答案：最小正周期π

错误原因：忽略对函数定义域的讨论。

11．已知Sinx+Siny=，求Siny—cos2x的最大值。

正确答案：

错误原因：挖掘隐含条件

12．（本小题满分12分）

设,已知时有最小值-8。

(1)、求与的值。（2）求满足的的集合A。

错解：，当时，得

错因：没有注意到应是时，取最大值。

正解：，当时，得

13．求函数的值域

答案：原函数可化为设则则，当

错解：

错因：不考虑换元后新元t的范围。

14．已知函数f(x)=－sin2x+sinx+a，（1）当f(x)=0有实数解时，求a的取值范围；（2）若x∈R，有1≤f(x)≤，求a的取值范围。

解：（1）f(x)=0，即a=sin2x－sinx=(sinx－)2－

∴当sinx=时，amin=，当sinx=－1时，amax=2，∴a∈[，2]为所求

（2）由1≤f(x)≤得

∵

u1=sin2x－sinx++4≥4

u2=sin2x－sinx+1=≤3

∴

3≤a≤4

点评：本题的易错点是盲目运用“△”判别式。

15．已知函数≤≤是R上的偶函数，其图像关于点M对称，且在区间[0，]上是单调函数，求和的值。

正解：由是偶函数，得

故

对任意x都成立，且

依题设0≤≤，由的图像关于点M对称，得

取

又，得

当时，在上是减函数。

当≥2时，在上不是单调函数。

所以，综合得或。

误解：①常见错误是未对K进行讨论，最后只得一解。

②对题目条件在区间上是单调函数，不进行讨论，故对≥不能排除。

补充习题：

1．右图是某市有关部门根据对某地干部的月

收入情况调查后画出的样本频率分布直方图，已知图中第一组的频数为4000.请根据该图提

供的信息解答下列问题：（图中每组包括左端

点，不包括右端点，如第一组表示收入在）

（1）求样本中月收入在的人数；

（2）为了分析干部的收入与年龄、职业等方面的关系，必须从样本的各组中按月收入再用分层抽样方法抽出人作进一步分析，则月收入在的这段应抽多少人？

（3）试估计样本数据的中位数.解：（1）∵月收入在的频率为，且有4000人

∴样本的容量

月收入在的频率为

∴月收入在的频率为；

∴样本中月收入在的人数为：

（2）∵月收入在的人数为：，∴再从人用分层抽样方法抽出人，则月收入在的这段应抽取

（人）

（3）由（１）知月收入在的频率为：

∴样本数据的中位数为：（元）

2．先后随机投掷2枚正方体骰子，其中表示第枚骰子出现的点数，表示第枚骰子出现的点数．

（1）求点在直线上的概率；

（2）求点满足的概率．

解：（1）每颗骰子出现的点数都有种情况，所以基本事件总数为个.记“点在直线上”为事件，有5个基本事件：，（2）记“点满足”为事件，则事件有个基本事件:

当时，当时，；

当时，；当时，当时，；当时，．

3．某班50名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13秒与18秒之间，将测试结果按如下方式分成五组：每一组；第二组，…，第五组．下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图.（1）若成绩大于或等于14秒且小于16秒

认为良好，求该班在这次百米测试中

成绩良好的人数；

（2）设、表示该班某两位同学的百米

测试成绩，且已知.求事件“”的概率.解：（1）由频率分布直方图知，成绩在内的人数为：（人）

所以该班成绩良好的人数为27人.（2）由频率分布直方图知，成绩在的人数为人，设为、、；

成绩在的人数为人，设为、、、.若时，有3种情况；

若时，有6种情况；

若分别在和内时，A

共有12种情况.所以基本事件总数为21种，事件“”所包含的基本事件个数有12种.∴（）.4．已知点,.(1)

若,求的值;

(2)

若其中为坐标原点,求的值.解：(1)，.,.化简得.（若则,上式不成立），.(2),...5.已知函数.（1）求的最小正周期；

（2）用五点法画出函数在一个周期内的图象；

（3）若，求函数的最大值和最小值；

（4）若，求的值.解：（1）∵＝．

∴

函数的最小正周期．

（2）列表：

描点，连线，得函数在一个周期内的图象如图所示.（3）∵，∴，∴当，即时，函数有最大值2.当或，即或时，函数有最小值1．

（4）由已知得，得.∵，∴.∴.∴.∴

.6．已知向量.（1）求.（2）若，且的值.解：（1），.（2）.由，得.由，得..7.在△ABC中，.(1)

求角C的大小;

(2)

若△ABC最长边的长为，求△ABC最短边的长.解：（1），∴．，∴．

（2）∵,∴边最长，即．

∵，∴角最小，边为最短边．

由

且，解得．

由正弦定理得，得．

∴最短边的长．

8．如图（1），是等腰直角三角形，、分别为、的中点，将沿折起，使在平面上的射影恰为的中点，得到图（2）．

（1）求证：；

（2）求三棱锥的体积．

解：（1）证法一：在中，是等腰直角的中位线，在四棱锥中，，平面，又平面,证法二：同证法一得，平面，又平面,（2）在直角梯形中，,．

垂直平分，．

∴

．

三棱锥的体积为．

9．如图，一简单组合体的一个面ABC内接于圆O，AB是圆O的直径，四边形DCBE为平行四边形，且DC平面ABC．

（1）证明：平面ACD平面；

（2）若，，试求该简单组合体的体积V．

（１）证明：∵

DC平面ABC,平面ABC

∴．

∵AB是圆O的直径　∴且

∴平面ADC．

∵四边形DCBE为平行四边形

∴DE//BC

∴平面ADC

∵平面ADE

∴平面ACD平面

（2）解法１：所求简单组合体的体积：

∵，∴,∴

∴该简单几何体的体积

解法２：将该简单组合体还原成一侧棱与底面垂直的三棱柱

如图∵，∴,∴=

10．如图所示几何体中，平面PAC⊥平面，PA

PC,，，若该几何体左视图（侧视图）的面积为．

（1）求证：PA⊥BC；

（2）画出该几何体的主视图并求其面积S；

（3）求出多面体的体积V．

主视方向方向

解：（1），BC=2，，∴，∵平面PAC⊥平面，平面PAC∩平面=AC,∴BC⊥平面PAC

∵PA平面PAC，∴PA⊥BC.（2）该几何体的主视图如下：

∵PA

PC，取AC的中点D，连接PD，则PD⊥AC，又平面PAC⊥平面，则PD⊥平面ABC，∴几何体左视图的面积===．

∴PD=，并易知是边长为1的正三角形，∴主视图的面积是上、下底边长分别为1和2，PD的长为高的直角梯形的面积，∴S=

（3）取PC的中点N，连接AN，由是边长为1的正三角形，可知AN⊥PC，由（1）BC⊥平面PAC，可知AN⊥BC，∴AN⊥平面PCBM，∴AN是四棱锥A—PCBM的高且AN=，由BC⊥平面PAC，可知BC⊥PC，可知四边形PCBM是上、下底边长分别为1和2，PC的长1为高的直角梯形，其面积．

．

11．制订投资计划时，不仅要考虑可能获得的盈利，而且要考虑可能出现的亏损.某投资人打算投资甲、乙两个项目.根据预测，甲、乙两个项目可能的最大盈利率分别为100%和50%，可能的最大亏损率分别为30%和10%.投资人计划投资金额不超过10万元，要求确保可能的资金亏损不超过1.8万元，问投资人对甲、乙两个项目各投资多少万元，才能使可能的盈利最大？

解：设投资人分别用万元、万元投资甲、乙两个项目，由题意知

目标函数.上述不等式组表示的平面区域如图所示，阴影部分（含边界）即可行域.作直线，并作平行于的一组直线，R，与可行域相交，其中一条直线经过可行域上的点，且与直线的距离最大，这里点是直线和的交点.解方程组解得

此时（万元），∴当时，取得最大值.答：投资人用4万元投资甲项目，6万元投资乙项目，才能在确保亏损不超过1.8万元的前提下，使可能的盈利最大.12.已知椭圆的两个焦点为，在椭圆上，且

.(1)求椭圆方程；

(2)若直线过圆的圆心，交椭圆于两点，且关于点对称，求直线的方程.解:(1)，，.所以椭圆.(2)设，即

又因圆的方程为,所以

(-3,1),又因关于点对称，即为的中点，，.，即.13．设为数列的前项和，对任意N，都有为常数，且.（1）求证数列为等比数列；

（2）设数列的公比，数列满足

N，求数列的通项公式.解：（1）由已知

①

得

②

②-①得，即对任意N都成立.∵为常数，且，∴，即数列为等比数列.（2）当时，得，从而.由（1）知，∵，∴，即.∴为等差数列.∴.∴.14．已知数列是首项的等比数列，其前项和中，成等差数列，（1）求数列的通项公式；

（2）设，若≤对一切N恒成立，求实数的最小值．

解：（1）若，则显然，不构成等差数列.∴，当时，由，成等差数列得

∴，∵　　　　∴

∴

（2）∵

∴

∴＝

＝

由≤

得≤

∴≥

又≤

∴的最小值为

B组

15．设数列满足其中为实数，且

（1）求数列的通项公式

（2）设，,求数列的前项和；

（3）若对任意成立，证明；

(1)

法1：，当时，是首项为，公比为的等比数列.，即

.当时，仍满足上式.数列的通项公式为

.法2：由题设得：当时

.时，也满足上式.数列的通项公式为

.(2)

由（1）得

(3)

由（1）知

若，则

由对任意成立，知.下面证，用反证法

假设，，即

恒成立

（＊）

为常数，（＊）式对不能恒成立，导致矛盾，.16．已知数列中，为正实数，N.（1）若，求的取值范围；

（2）是否存在正实数，使对任意N都成立，若存在，求的取值范围；若不存在，说明理由.解：（1）∵N，∴.∴.∵，∴，解得.（2）假设存在正实数，使对任意N都成立，则，对任意N都成立.∴，∴，∴，又

.即.故取，即，有，这与矛盾；

因此，不存在正实数，使对任意N都成立.17.已知椭圆两焦点分别为，是椭圆在第一象限弧上一点，并满足，过作倾斜角互补的两条直线分别交椭圆于两点.（Ⅰ）求点坐标；

（Ⅱ）求证直线的斜率为定值；

（Ⅲ）求面积的最大值.解：（1）由题可得，设

则，∴，∵点在曲线上，则，∴，从而，得.则点P的坐标为.（2）由题意知，两直线PA、PB的斜率必存在，设PB的斜率为，则BP的直线方程为：.由得，设，则，同理可得，则，.所以：AB的斜率为定值.（3）设AB的直线方程：.由，得，由，得

P到AB的距离为，则

.当且仅当取等号

∴三角形PAB面积的最大值为．

18．已知函数和．其中．

（1）若函数与的图像的一个公共点恰好在轴上，求的值；

（2）若和是方程的两根，且满足，证明：当时，．

解：（1）设函数图像与轴的交点坐标为（，0），∵点（，0）也在函数的图像上，∴．

而，∴．

（2）由题意可知．,∴,∴当时，即．

又,∴<0,∴,综上可知，．

19．在一个特定时段内，以点E为中心的7海里以内海域被设为警戒水域.点E正北55海里处有一个雷达观测站A.某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点A北偏东且与点A相距40海里的位置B，经过40分钟又测得该船已行驶到点A北偏东+(其中sin=，)且与点A相距10海里的位置C.（1）求该船的行驶速度（单位：海里/小时）;

（2）若该船不改变航行方向继续行驶.判断它是否会进入警戒水域，并说明理由.解:

（1）如图，AB=40，AC=10，由于,所以cos=

由余弦定理得BC=

所以船的行驶速度为（海里/小时）.（2）解法1：

如图所示，以A为原点建立平面直角坐标系，设点B、C的坐标分别是B（x1，y2）,C（x1，y2）,BC与x轴的交点为D.由题设有，x1=y1=

AB=40,x2=ACcos,y2=ACsin

所以过点B、C的直线l的斜率k=,直线l的方程为y=2x-40.又点E（0，-55）到直线l的距离d=

所以船会进入警戒水域.解法2:

如图所示，设直线AE与BC的延长线相交于点Q.在△ABC中，由余弦定理得，==.从而

在中，由正弦定理得，AQ=

由于AE=55>40=AQ，所以点Q位于点A和点E之间，且QE=AE-AQ=15.过点E作EP

BC于点P，则EP为点E到直线BC的距离.在Rt中，PE=QE·sin

所以船会进入警戒水域.20．某地区有荒山2200亩，从2002年开始每年年初在荒山上植树造林，第一年植树100亩，以后每年比上一年多植树50亩．

（1）若所植树全部成活，则到哪一年可以将荒山全部绿化？

（2）右图是某同学设计的解决问题（１）的程序框图，则框图中ｐ，ｑ，ｒ处应填上什么条件？

（3）若每亩所植树苗木材量为2立方米，每年树木木材量的自然增长率

为20％，那么到全部绿化后的那一年年底，该山木材总量是多少？

（精确到１立方米,）

解：（1）设植树ｎ年后可将荒山全部绿化，记第ｎ年初植树量为，依题意知数列是首项，公差的等差数列，则即

∵

∴

∴到2009年初植树后可以将荒山全部绿化．

（２）ｐ处填,ｑ处填，（或ｐ处填，ｑ处填）

ｒ处填．(或)

（３）2002年初木材量为，到2009年底木材量增加为,2003年初木材量为，到2009年底木材量增加为,……

2009年初木材量为，到2009年底木材量增加为.则到2009年底木材总量

----------①

---------②

②-①得

∴ｍ2

答：到全部绿化后的那一年年底，该山木材总量为9060ｍ2

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