中考数学压轴题：三角形分类综合专题复习练习

2021年中考数学压轴题：三角形

分类综合专题复习练习

1、已知为直线上一点，为直线上一点，设

.（1）如图，若点在线段上，点在线段上.①如果

那么，.②求

之间的关系式.（2）是否存在不同于以上②中的之间的关系式？若存在，求出这个关系式，若不存在，请说明理由.2、如图，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝3，AC＝4，点M，Q分别是边AB，BC上的动点（点M不与A，B重合），且MQ⊥BC，过点M作BC的平行线MN，交AC于点N，连接NQ，设BQ为x．

（1）试说明不论x为何值时，总有△QBM∽△ABC；

（2）是否存在一点Q，使得四边形BMNQ为平行四边形，试说明理由；

（3）当x为何值时，四边形BMNQ的面积最大，并求出最大值．

3、在中，于点，于点，连接，将沿直线翻折得到（点与点为对应点），连接，过点作交于点．

（1）如图1，求证：四边形为平行四边形；

（2）如图2，连接，若，在不添加任何辅助线与字母的情况下，请直接写出图2中所有正切值等于2的角．

4、如图①，和中，，．

（1）则的长为（直接写出结果）；

（2）如图②，将绕点顺时针旋转至△，使恰好在线段的延长线上．

①求的长．

②若点是线段的中点，求证：．

5、如图1，在△ABC中，AB＝AC＝20，tanB＝，点D为BC边上的动点（点D不与点B，C重合）．以D为顶点作∠ADE＝∠B，射线DE交AC边于点E，过点A作AF⊥AD交射线DE于点F，连接CF．

（1）求证：△ABD∽△DCE；

（2）当DE∥AB时（如图2），求AE的长；

（3）点D在BC边上运动的过程中，是否存在某个位置，使得DF＝CF？若存在，求出此时BD的长；若不存在，请说明理由．

6、如图，在等边△ABC中，AB＝6cm，动点P从点A出发以lcm/s的速度沿AB匀速运动．动点Q同时从点C出发以同样的速度沿BC的延长线方向匀速运动，当点P到达点B时，点P、Q同时停止运动．设运动时间为以t（s）．过点P作PE⊥AC于E，连接PQ交AC边于D．以CQ、CE为边作平行四边形CQFE．

（1）当t为何值时，△BPQ为直角三角形；

（2）是否存在某一时刻t，使点F在∠ABC的平分线上？若存在，求出t的值，若不存在，请说明理由；

（3）求DE的长；

（4）取线段BC的中点M，连接PM，将△BPM沿直线PM翻折，得△B′PM，连接AB′，当t为何值时，AB＇的值最小？并求出最小值．

7、在中，点、分别是、的中点，将绕点按顺时针方向旋转一定的角度，连接、．

观察猜想

（1）如图①，当时，填空：

①　　；

②直线、所夹锐角为　　；

类比探究

（2）如图②，当时，试判断的值及直线、所夹锐角的度数，并说明理由；

拓展应用

（3）在（2）的条件下，若，将绕着点在平面内旋转，当点落在射线上时，请直接写出的值．

8、将等边三角形的边绕点逆时针旋转至，记旋转角为，连接，过点作垂直于直线，垂足为，连接．取边的中点，连接．

（1）如图1，当时，的度数为，连接，可求出的值为　　．

（2）当且时，①（1）中的两个结论是否仍然成立？如果成立，请仅就图2的情形进行证明；如果不成立，请说明理由；

②当，三点共线时，请直接写出的值．

9、问题提出：

（1）如图①，在△ABC中，AD是ABC边BC的高，点E是BC上任意点，若AD＝3，则AE的最小值为；

（2）如图②，在等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，DE是AC的垂直平分线，分别交BC、AC于点D、E，DE＝1cm，求△ABD的周长；

问题解决：

（3）如图③，某公园管理员拟在园内规划一个△ABC区域种植花卉，且为方便游客游览，欲在各顶点之间规划道路AB、BC和AC，满足∠BAC＝90°，点A到BC的距离为2km．为了节约成本，要使得AB、BC、AC之和最短，试求AB+BC+AC的最小值（路宽忽略不计）．

10、如图，在△ABC中．AB＝AC，点E在线段BC上，连接AE并延长到G，使得EG＝AE，过点G作GD∥BA分别交BC，AC于点F，D．

（1）求证：△ABE≌△GFE；

（2）若GD＝3，CD＝1，求AB的长度；

（3）过点D作DH⊥BC于H，P是直线DH上的一个动点，连接AF，AP，FP，若∠C＝45°，在（2）的条件下，求△AFP周长的最小值．

11、阅读下面材料，完成（1）﹣（3）题

数学课上，老师出示了这样一道题：如图1，△ABC中，∠BAC＝90°，点D、E在BC上，AD＝AB，AB＝kBD（其中＜k＜1）∠ABC＝∠ACB+∠BAE，∠EAC的平分线与BC相交于点F，BG⊥AF，垂足为G，探究线段BG与AC的数量关系，并证明．同学们经过思考后，交流了自已的想法：

小明：“通过观察和度量，发现∠BAE与∠DAC相等．”

小伟：“通过构造全等三角形，经过进一步推理，可以得到线段BG与AC的数量关系．”

……

老师：“保留原题条件，延长图1中的BG，与AC相交于点H（如图2），可以求出的值．”

（1）求证：∠BAE＝∠DAC；

（2）探究线段BG与AC的数量关系（用含k的代数式表示），并证明；

（3）直接写出的值（用含k的代数式表示）．

12、如图1，是正方形边上的一点，连接、，将绕点逆时针旋转，旋转后角的两边分别与射线交于点和点．

（1）求证：；

（2）猜想线段，和之间的数量关系，并说明理由．

（3）当四边形为菱形，点是菱形边所在直线上的一点，连接、，将绕点逆时针旋转，旋转后角的两边分别与射线交于点和点．

①如图2，点在线段上时，请探究线段、和之间的数量关系，写出结论并给出证明；

②如图3，点在线段的延长线上时，交射线于点，若，直接写出线段的长度．

13、在中，，点在射线上运动．连接，将线段绕点顺时针旋转得到，连接．

（1）如图1，点在点的左侧运动．

①当，时，则　　；

②猜想线段，与之间的数量关系为　　．

（2）如图2，点在线段上运动时，第（1）问中线段，与之间的数量关系是否仍然成立？如果成立，请说明理由；如果不成立，请求出它们之间新的数量关系．

（3）点在射线上运动，设，以，，为顶点的四边形面积为，请直接写出与之间的函数关系式（不用写出的取值范围）．