教辅:高考数学复习练习之压轴题1

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第二部分/三、压轴题

压轴题(一)

8.(2020·山东德州一模)已知函数f(x)=若关于x的方程f2(x)+(1-m)f(x)-m=0有且只有两个不同实数根,则m的取值范围是()

A.B.(-∞,0)∪

C.(-∞,-1)∪(-1,0)∪

D.(-∞,0)∪∪(1,2)

答案 C

解析 当x>0时,f(x)=,则f′(x)=,令f′(x)>0,得0e.函数f(x)在(0,e)上单调递增,在[e,+∞)上单调递减,又f(e)=,画出函数图象,如图所示.f2(x)+(1-m)f(x)-m=0,即(f(x)-m)(f(x)+1)=0,当f(x)=-1时,根据图象知有1个解,故f(x)=m有1个解,根据图象知m∈(-∞,-1)∪(-1,0)∪.故选C.12.(多选)(2020·山东大学附属中学6月模拟检测)已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,如图,M为CC1上的动点,AM⊥平面α.下面说法正确的是()

A.直线AB与平面α所成角的正弦值范围为

B.点M与点C1重合时,平面α截正方体所得的截面,其面积越大,周长就越大

C.点M为CC1的中点时,若平面α经过点B,则平面α截正方体所得截面图形是等腰梯形

D.已知N为DD1的中点,当AM+MN的和最小时,M为CC1的中点

答案 AC

解析 以点D为坐标原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系Dxyz,则点A(2,0,0),B(2,2,0),设点M(0,2,a)(0≤a≤2),∵AM⊥平面α,则为平面α的一个法向量,且=(-2,2,a),=(0,2,0),|cos〈,〉|===∈,∴直线AB与平面α所成角的正弦值范围为,A正确;当M与C1重合时,连接A1D,BD,A1B,AC,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,CC1⊥平面ABCD,∵BD⊂平面ABCD,∴BD⊥CC1,∵四边形ABCD是正方形,∴BD⊥AC,∵CC1∩AC=C,∴BD⊥平面ACC1,∵AC1⊂平面ACC1,∴AC1⊥BD,同理可证AC1⊥A1D,∵A1D∩BD=D,∴AC1⊥平面A1BD,易知△A1BD是边长为2的等边三角形,其面积为S△A1BD=×(2)2=2,周长为2×3=6.设E,F,Q,N,G,H分别为棱A1D1,A1B1,BB1,BC,CD,DD1的中点,易知六边形EFQNGH是边长为的正六边形,且平面EFQNGH∥平面A1BD,正六边形EFQNGH的周长为6,面积为6××()2=3,则△A1BD的面积小于正六边形EFQNGH的面积,它们的周长相等,B错误;设平面α交棱A1D1于点E(b,0,2),点M(0,2,1),=(-2,2,1),∵AM⊥平面α,DE⊂平面α,∴AM⊥DE,即·=-2b+2=0,得b=1,∴E(1,0,2),∴点E为棱A1D1的中点,同理可知,平面α与棱A1B1的交点F为棱A1B1的中点,则F(2,1,2),=(1,1,0),而=(2,2,0),∴=,∴EF∥DB且EF≠DB,由空间中两点间的距离公式可得DE==,BF==,∴DE=BF,∴四边形BDEF为等腰梯形,C正确;将矩形ACC1A1与矩形CC1D1D展开到一个平面内,如下图所示:

若AM+MN最短,则A,M,N三点共线,∵CC1∥DD1,∴===2-,∵DN=1,∴MC=2-≠CC1,∴点M不是棱CC1的中点,D错误.故选AC.16.(2020·新高考卷Ⅰ)某中学开展劳动实习,学生加工制作零件,零件的截面如图所示.O为圆孔及轮廓圆弧AB所在圆的圆心,A是圆弧AB与直线AG的切点,B是圆弧AB与直线BC的切点,四边形DEFG为矩形,BC⊥DG,垂足为C,tan∠ODC=,BH∥DG,EF=12

cm,DE=2

cm,A到直线DE和EF的距离均为7

cm,圆孔半径为1

cm,则图中阴影部分的面积为________

cm2.答案 4+

解析 设OB=OA=r,如图,过点A作直线DE和EF的垂线,垂足分别为M,N,AN交CG于点P.由题意知AM=AN=7,EF=12,所以EN=AM=7,NF=EF-EN=5,又因为DE=2,PN=2,所以AP=AN-PN=5,又PG=NF=5,所以AP=PG,所以∠AGP=45°,因为BH∥DG,所以∠AHO=45°,因为AG与圆弧AB相切于A点,所以OA⊥AG,即△OAH为等腰直角三角形.在Rt△OQD中,OQ=5-r,DQ=7-r,因为tan∠ODC==,所以21-r=25-r,解得r=2,所以等腰直角三角形OAH的面积为S1=×2×2=4,扇形AOB的面积为S2=××(2)2=3π,所以阴影部分的面积为S1+S2-π×12=4+.21.已知函数f(x)=(x2+2aln

x).

(1)讨论f(x)=(x2+2aln

x),x∈(1,e)的单调性;

(2)若存在x1,x2∈(1,e)(x1≠x2),使得f(x1)=f(x2)<0成立,求a的取值范围.

解(1)由f(x)=(x2+2aln

x),得

f′(x)=x+=(x>0),当a≥0时,f′(x)>0恒成立,所以f(x)在(1,e)上单调递增;

当a<0时,f′(x)=0的解为x=(舍去负值),若≤1,即a∈[-1,0),则f(x)在(1,e)上单调递增;

若≥e,即a∈(-∞,-e2],则f(x)在(1,e)上单调递减;

若a∈(-e2,-1),则f(x)在(1,)上单调递减,在[,e)上单调递增.

(2)由(1)可知,当a≤-e2或a≥-1时,函数f(x)在(1,e)上为单调函数,此时不存在x1,x2∈(1,e)(x1≠x2),使得f(x1)=f(x2)<0.当a∈(-e2,-1)时,f(x)在(1,)上单调递减,在[,e)上单调递增,所以f(x)在x=处取得极小值,f(x)极小值=f()=(-a+2aln)=-a+aln

(-a),其中a∈(-e2,-1),令g(a)=-a+aln

(-a),a∈(-e2,-1),则g′(a)=-+ln

(-a)+=ln

(-a),a∈(-e2,-1),易得g′(a)>0,所以g(a)在(-e2,-1)上单调递增,且g(-e)=0,所以当a∈(-e2,-e)时,f(x)极小值<0,此时存在x1,x2∈(1,e)(x1≠x2),使得f(x1)=f(x2)<0.所以a的取值范围为(-e2,-e).

22.(2020·河北衡水中学高三质量检测一)已知椭圆E:+=1(a>b>0)以抛物线y2=8x的焦点为顶点,且离心率为.(1)求椭圆E的方程;

(2)若直线l:y=kx+m与椭圆E相交于A,B两点,与直线x=-4相交于Q点,P是椭圆E上一点且满足=+(其中O为坐标原点),试问在x轴上是否存在一点T,使得·为定值?若存在,求出点T的坐标及·的值;若不存在,请说明理由.

解(1)抛物线y2=8x的焦点坐标为(2,0),由题意可知a=2,且e==,所以c=1,则b==,所以椭圆E的方程为+=1.(2)设点A(x1,y1),B(x2,y2),联立

消去y并整理得(4k2+3)x2+8kmx+4m2-12=0,由Δ=(8km)2-4(4k2+3)(4m2-12)=48(4k2-m2+3)>0,得m2<4k2+3.由根与系数的关系,得x1+x2=-,则y1+y2=k(x1+x2)+2m=,因为=+=(x1+x2,y1+y2)=,所以点P,由于点P在椭圆E上,则2·+2·=1,化简,得4m2=4k2+3,则m≠0,且满足Δ>0.联立得则点Q(-4,m-4k),设在x轴上存在一点T(t,0),使得·为定值,则=(-4-t,m-4k),·

==

=+为定值,要使·为定值,只需2==为定值,则t+1=0,解得t=-1,因此,在x轴上存在定点T(-1,0),使得·为定值.

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