选填题(一)
一、单项选择题
1．(2020·北京高考)已知集合A＝{－1,0,1,2}，B＝{x|0＜x＜3}，则A∩B＝()
A．{－1,0,1}
B．{0,1}
C．{－1,1,2}
D．{1,2}
答案 D
解析 A∩B＝{－1,0,1,2}∩(0,3)＝{1,2}．故选D.2．(2020·山东新高考质量测评联盟5月联考)若复数z满足z(－1＋2i)＝|1－i|2(i为虚数单位)，则复数z的虚部为()
A．－
B．i
C．
D．－i
答案 A
解析 因为z(－1＋2i)＝|1－i|2，所以z＝＝＝＝＝－－i，所以复数z的虚部为－，故选A.3．已知平面α⊥平面β，α∩β＝l，点A∈α，A∉l，直线AB∥l，直线AC⊥l，直线m∥α，m∥β，则下列四种位置关系中，不一定成立的是()
A．AB∥m
B．AC⊥m
C．AB∥β
D．AC⊥β
答案 D
解析 m∥α，m∥β⇒m∥l，又AB∥l，∴m∥AB，A正确；m∥l，又l⊥AC，∴m⊥AC，B正确；AB∥l，AB⊄β，l⊂β，∴AB∥β，C正确；要使AC⊥β，AC应在平面α内，∴D不一定成立，故选D.4．(2020·全国卷Ⅱ)在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成1200份订单的配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压．为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作．已知该超市某日积压500份订单未配货，预计第二天的新订单超过1600份的概率为0.05，志愿者每人每天能完成50份订单的配货，为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95，则至少需要志愿者()
A．10名
B．18名
C．24名
D．32名
答案 B
解析 由题意，第二天需要志愿者完成的订单数为500＋1600－1200＝900，故需要志愿者＝18名．故选B.5．(2020·山东潍坊6月模拟)函数f(x)＝的部分图象大致为()
答案 B
解析 因为f(－x)＝＝－＝－f(x)，所以f(x)是奇函数，故排除A，C；因为f＝，且3－1>0,3＋1>0，ln
2<0，所以f<0，故选B.6．(2020·海南中学高三第六次月考)等比数列{an}的前n项和为Sn，公比为q，若S6＝9S3，S5＝62，则a1＝()
A.B．2
C．
D．3
答案 B
解析 根据题意，等比数列{an}中，若S6＝9S3，则q≠±1，则＝9×，解得q3＝8，则q＝2，又S5＝62，则有S5＝＝31a1＝62，解得a1＝2.故选B.7．(2020·山东省实验中学高三4月高考预测)已知点P在椭圆τ：＋＝1(a>b>0)上，点P在第一象限，点P关于原点O的对称点为A，点P关于x轴的对称点为Q，设＝，直线AD与椭圆τ的另一个交点为B，若PA⊥PB，则椭圆τ的离心率e＝()
A.B．
C．
D．
答案 C
解析 设P(x1，y1)，则A(－x1，－y1)，Q(x1，－y1)，＝，则D，设B(x2，y2)，则两式相减得＝－，kPB＝＝－·，kAD＝kAB，即＝，kPA＝＝，PA⊥PB，故kPA·kPB＝－1，即－＝－1，a2＝4b2，又a2＝b2＋c2，故3a2＝4c2，故e＝.故选C.8．(2020·宁夏六盘山高级中学第四次模拟)设函数f(x)＝2cos2＋sin，x∈(0,3π)，则下列判断正确的是()
A．函数的一条对称轴为直线x＝
B．函数在区间内单调递增
C．∃x0∈(0,3π)，使f(x0)＝－1
D．∃a∈R，使得函数y＝f(x＋a)在其定义域内为偶函数
答案 D
解析 函数f(x)＝1＋cos＋sin＝1＋cos2x，当x＝时，2x＝不能使函数取得最值，所以直线x＝不是函数的对称轴，A错误；当x∈时，2x∈，函数先增后减，B不正确；若f(x)＝－1，则cos2x＝－不成立，所以C错误；当a＝时，f(x＋a)＝1－cos2x，函数是偶函数，D正确．故选D.二、多项选择题
9．(2020·山东菏泽高三联考)Keep是一款具有社交属性的健身APP，致力于提供健身教学、跑步、骑行、交友及健身饮食指导、装备购买等一站式运动解决方案．Keep可以让你随时随地进行锻炼，记录你每天的训练进程．不仅如此，它还可以根据不同人的体质，制定不同的健身计划．小吴根据Keep记录的2019年1月至2019年11月期间每月跑步的里程(单位：十公里)数据整理并绘制了下面的折线图．根据该折线图，下列结论正确的是()
A．月跑步里程逐月增加
B．月跑步里程最大值出现在10月
C．月跑步里程的中位数为5月份对应的里程数
D．1月至5月的月跑步里程相对于6月至11月波动性更小
答案 BCD
解析 由所给折线图可知，月跑步里程并不是逐月递增，故A错误；月跑步里程最大值出现在10月，故B正确；月跑步里程的中位数为5月份对应的里程数，故C正确；1月至5月的月跑步里程相对6月至11月，波动性更小，故D正确．故选BCD.10．(2020·山东聊城一模)若双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的实轴长为6，焦距为10，右焦点为F，则下列结论正确的是()
A．C的渐近线上的点到F距离的最小值为4
B．C的离心率为
C．C上的点到F距离的最小值为2
D．过F的最短的弦长为
答案 AC
解析 由题意知，2a＝6,2c＝10，即a＝3，c＝5，所以右焦点为F(5,0)，因为b2＝c2－a2，所以b2＝25－9＝16，解得b＝4，所以双曲线C的渐近线方程为y＝±x，对于A，由点F向双曲线C的渐近线作垂线时，垂线段的长度即为C的渐近线上的点到F距离的最小值，由点到直线的距离公式可得，d＝＝4，故A正确；对于B，因为a＝3，c＝5，所以双曲线C的离心率为e＝＝，故B错误；对于C，当双曲线C上的点为其右顶点(3,0)时，此时双曲线C上的点到F的距离最小，为2，故C正确；对于D，过点F且斜率为零的直线与双曲线的交点为A(－3,0)，B(3,0)，此时为过点F的最短弦，为AB＝6，故D错误．故选AC.11．(2020·海南三模)如图，四棱锥P－ABCD中，平面PAD⊥底面ABCD，△PAD是等边三角形，底面ABCD是菱形，且∠BAD＝60°，M为棱PD的中点，N为菱形ABCD的中心，下列结论正确的有()
A．直线PB与平面AMC平行
B．直线PB与直线AD垂直
C．线段AM与线段CM长度相等
D．PB与AM所成角的余弦值为
答案 ABD
解析 如图，连接MN，易知MN∥PB，又MN⊂平面AMC，∴PB∥平面AMC，A正确；在菱形ABCD中，∠BAD＝60°，∴△BAD为等边三角形，设AD的中点为O，连接OB，OP，则OP⊥AD，OB⊥AD，∴AD⊥平面POB，∴AD⊥PB，B正确；∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，OP⊥AD，OP⊂平面PAD，∴OP⊥平面ABCD，又OB⊂平面ABCD，∴OP⊥OB，∴△POB为直角三角形，设AD＝4，则OP＝OB＝2，∴PB＝2，∴MN＝PB＝，在△MAN中，AM＝AN＝2，MN＝，可得cos∠AMN＝.故异面直线PB与AM所成角的余弦值为，在△MAC中，可判断AM A．函数g(x)＝f(x)－2在[－3,9]上有两个零点 B．函数y＝f(x)是偶函数 C．函数y＝f(x)在[－8，－6]上单调递增 D．对任意的x∈R，都有f(x＋4)＝－ 答案 AB 解析 当以A点为中心滚动时，B点轨迹为以(－2,0)为圆心，2为半径的圆弧；当以D点为中心滚动时，B点轨迹为以(0,0)为圆心，2为半径的圆弧；当以C点为中心滚动时，B点轨迹为以(2,0)为圆心，2为半径的圆弧；当以B点为中心滚动时，B点不动，然后周期循环，周期为8.画出函数图象，如图所示，g(0)＝f(0)－2＝0，g(8)＝f(8)－2＝f(0)－2＝0，A正确；根据图象和周期知B正确；函数y＝f(x)在[0,2]上单调递减，故在[－8，－6]上单调递减，C错误；取x＝－2，易知f(2)≠－，故D错误．故选AB.三、填空题 13．(2020·山东日照一模)已知向量m＝(a，－1)，n＝(－1，3)，若m⊥n，则a＝________.答案 －3 解析 因为m⊥n，所以－a－3＝0，即a＝－3.14．已知x∈(0，π)，且cos＝sin2x，则tan等于________． 答案 解析 由cos＝sin2x得sin2x＝sin2x，∵x∈(0，π)，∴tanx＝2，∴tan＝＝.15．(2020·浙江宁波二模)某会议有来自6个学校的代表参加，每个学校有3名代表．会议要选出来自3个不同学校的3人构成主席团，不同的选取方法数为________． 答案 540 解析 第一步：从6个学校中选出3个学校，方法数有C＝20； 第二步：从选出的3个学校中各选取1个代表，方法数有3×3×3＝27； 根据分步乘法计数原理可知，总的方法数有20×27＝540种． 16．(2020·四川成都石室中学一诊)若函数f(x)＝恰有2个零点，则实数a的取值范围是________． 答案 ∪{2}∪[e，＋∞) 解析 当a≤0时，不满足题意；当0＜a＜2时，要使函数f(x)恰有2个零点，即⇒≤a<1；当a＝2时，由ex－2＝0，得到x＝ln 2满足x＜1，由(x－2a)(x－a2)＝0，得到x＝4，共有2个零点，满足题意；当a＞2时，a2＞2a＞4，要使函数f(x)恰有2个零点，即e－a≤0，所以a≥e.综上所述，实数a的取值范围是∪{2}∪[e，＋∞)．
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