选填题(五)
一、单项选择题
1．(2020·湖南衡阳高三下学期二模)已知集合A＝{x∈N|ln2x<1}，则A＝()
A.B．{1}
C．{2}
D．{1,2}
答案 D
解析 由ln2x<1，可得－1 x<1，所以 A．13 B．5 C． D． 答案 A 解析 ∵z1＝3＋2i是方程z2－6z＋b＝0(b∈R)的根，∴(3＋2i)2－6(3＋2i)＋b＝0，解得b＝13.故选A.3．(2020·山东青岛一模)已知某市居民在2019年用于手机支付的个人消费额ξ(单位：元)服从正态分布N(2000,1002)，则该市某居民手机支付的消费额在(1900,2200)内的概率为() 附：随机变量ξ服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－σ<ξ≤μ＋σ)＝0.6826，P(μ－2σ<ξ≤μ＋2σ)＝0.9544，P(μ－3σ<ξ≤μ＋3σ)＝0.9974.A．0.9759 B．0.84 C．0.8185 D．0.4772 答案 C 解析 ∵ξ服从正态分布N(2000,1002)，∴μ＝2000，σ＝100，则P(1900<ξ<2200)＝P(μ－σ<ξ≤μ＋σ)＋[P(μ－2σ<ξ≤μ＋2σ)－P(μ－σ<ξ≤μ＋σ)]＝0.6826＋×(0.9544－0.6826)＝0.8185.故选C.4．(2020·山东德州一模)函数f(x)＝在区间[－3,0)∪(0,3]上的大致图象为() 答案 C 解析 f(x)＝，f(－x)＝＝－f(x)，故函数f(x)为奇函数，排除A，D；f(3)＝>0，排除B.故选C.5．在△ABC中，cos2＝(a，b，c分别为角A，B，C的对边)，则△ABC的形状为() A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰三角形 D．等腰三角形或直角三角形 答案 A 解析 ∵cos2＝＝，∴cosB＝＝，解得a2＋b2＝c2，则角C为直角，则△ABC的形状为直角三角形．故选A.6．(2020·山东日照一模)已知f(x)＝x·2|x|，a＝f，b＝f，c＝f(ln 3)，则a，b，c的大小关系为() A．c>b>a B．b>c>a C．a>b>c D．c>a>b 答案 D 解析 由题意得，f(x)＝∴当x≥0时，f(x)≥0；当x<0时，f(x)<0.∵log3 2＝2x(1＋xln 2)>0，∴f(x)在[0，＋∞)上单调递增，∵0＝log31 e 3，∴f(ln 3)>f(log3)>0.综上所述，c>a>b.故选D.7．(2020·山东潍坊高密一模)已知抛物线y2＝2x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，直线PF与抛物线交于M，N两点，若＝3，则|MN|＝() A.B． C．2 D． 答案 B 解析 抛物线y2＝2x的焦点为F，准线l为直线x＝－，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，M，N到准线的距离分别为dM，dN，由抛物线的定义可知|MF|＝dM＝x1＋，|NF|＝dN＝x2＋，于是|MN|＝|MF|＋|NF|＝x1＋x2＋1.∵＝3，∴|PM|＝2dM，易知：直线MN的斜率为±，∵F，∴直线PF的方程为y＝±，将y＝±代入方程y2＝2x，得32＝2x，化简得12x2－20x＋3＝0，∴x1＋x2＝，于是|MN|＝x1＋x2＋1＝＋1＝.故选B.8．(2020·全国卷Ⅱ)已知△ABC是面积为的等边三角形，且其顶点都在球O的球面上．若球O的表面积为16π，则O到平面ABC的距离为() A.B． C．1 D． 答案 C 解析 设球O的半径为R，则4πR2＝16π，解得R＝2.设△ABC外接圆的半径为r，边长为a,∵△ABC是面积为的等边三角形，∴a2×＝，解得a＝3，∴r＝× ＝× ＝，∴球心O到平面ABC的距离d＝＝＝1.故选C.二、多项选择题 9．(2020·海南二模)产能利用率是工业总产出对生产设备的比率，反映了实际生产能力到底有多少在运转发挥生产作用．汽车制造业的产能利用率的正常值区间为79%～83%，称为“安全线”．如图是2017年第3季度到2019年第4季度的中国汽车制造业的产能利用率的统计图．以下结论正确的是() A．10个季度中，汽车产能利用率低于“安全线”的季度有5个 B．10个季度中，汽车产能利用率的中位数为78.75% C．2018年4个季度的汽车产能利用率的平均数为79.9% D．与上一季度相比，汽车产能利用率变化最大的是2019年第4季度 答案 AC 解析 10个季度中，汽车产能利用率低于“安全线”的季度为2018年第4季度到2019年第4季度，共5个季度，A正确；10个季度中，汽车产能利用率的中位数为＝79.05%，B错误；由题图可知，2018年4个季度的汽车产能利用率的平均数为＝79.9%，C正确；与上一季度相比，汽车产能利用率变化最大的是2018年第1季度，与上一季度相差2.9%，而2019年第4季度与上一季度相差2.4%，D错误．故选AC.10．设{an}(n∈N*)是各项为正数的等比数列，q是其公比，Kn是其前n项的积，且K5 A．0 B．a7＝1 C．K9>K5 D．K6与K7均为Kn的最大值 答案 ABD 解析 由K5 A．若PA，PB的斜率分别为k1，k2，则k1k2＝－3 B．mn> C．4m＋n的最小值为 D．|AB|的最小值为 答案 ABD 解析 由题意，知双曲线的渐近线为y＝±x，即x±y＝0，设P(x0，y0)，不妨设P在第一象限，A在渐近线x－y＝0上，则k1＝－，k2＝，k1k2＝－3，A正确；P在双曲线上，则－y＝1，x－3y＝3，m＝，n＝，∴mn＝＝>，B正确；4m＋n≥2＝2，当且仅当4m＝n时等号成立，即4m＋n的最小值为2，C错误；渐近线y＝x的斜率为k＝＝，倾斜角为，两渐近线夹角为，∴∠APB＝，|AB|2＝m2＋n2－2mncos＝m2＋n2＋mn≥3mn＝，当且仅当m＝n时等号成立，∴|AB|≥，∴|AB|的最小值为，D正确．故选ABD.12．(2020·山东临沂二模、枣庄三调)设函数f(x)＝，则下列结论正确的是() A．f(x)≤1 B．|f(x)|≤4|x| C．曲线y＝f(x)存在对称轴 D．曲线y＝f(x)存在对称轴中心 答案 ABC 解析 f(x)＝＝，2＋1≥1，sinπx≤1，所以f(x)≤1，当且仅当x＝时，f(x)＝1，故A正确；|f(x)|≤4|x|等价于|sinπx|≤4|x||x2－x＋|.当x≥0时，设g(x)＝x－sinx，g′(x)＝1－cosx，g(x)单调递增，g(x)≥g(0)＝0，所以x≥sinx，因为y＝|x|，y＝|sinx|都是偶函数，所以|sinx|≤|x|恒成立，所以|sinπx|≤|πx|恒成立，4|x|·|x2－x＋|≥4|x|×1＝4|x|，又|4x|≥|πx|，所以|sinπx|≤|4x||x2－x＋|，故B正确；y＝sinπx的图象关于x＝对称，y＝x2－x＋＝2＋1关于x＝对称，所以曲线y＝f(x)存在对称轴x＝，故C正确；若曲线y＝f(x)存在对称中心，设对称中心为(a，b)，所以f(a＋x)＋f(a－x)＝2b，令x＝0，f(a)＝b，令x＝a，f(2a)＝2b，则f(2a)＝2f(a)，即只有sinaπ＝0时成立，从而a为整数，b＝0，令x＝，f＋f＝0，不一定成立，故D不正确．故选ABC.三、填空题 13．(2020·湖南长沙长郡中学高考模拟二)设函数f(x)在(0，＋∞)内可导，且f(ex)＝x＋ex，则f′(1)＝________.答案 2 解析 因为f(ex)＝x＋ex，所以f(x)＝x＋ln x(x>0)，所以f′(x)＝1＋，所以f′(1)＝2.14．(2020·山东省实验中学高三4月高考预测)从甲、乙等8名志愿者中选5人参加周一到周五的社区服务，每天安排一人，每人只参加一天．若要求甲、乙两人至少选一人参加，且当甲、乙两人都参加时，他们参加社区服务的日期不相邻，那么不同的安排种数为________．(用数字作答) 答案 5040 解析 分两类，一类是甲乙都参加，另一类是甲乙中选一人，故不同的安排种数为N＝AA＋CCA＝1440＋3600＝5040.15．(2020·山东菏泽高三联考)已知直线Ax＋By＋C＝0(其中A2＋B2＝C2，C≠0)与圆x2＋y2＝6交于点M，N，O是坐标原点，则|MN|＝________，·＝________.答案 2 －10 解析 取MN的中点为D，连接OD，则OD⊥MN.由A2＋B2＝C2，C≠0可知，圆心到直线Ax＋By＋C＝0的距离d＝＝1，|MN|＝2＝2＝2.＝＋＝＋，·＝·＝－2＝－10.16．在数列的每相邻两项之间插入此两项的积，形成新的数列，这样的操作叫做该数列的一次“扩展”．将数列1,2进行“扩展”，第一次得到1,2,2；第二次得到数列1,2,2,4,2；…；第n次“扩展”后得到的数列为1，x1，x2，…，xt,2.并记an＝log2(1·x1·x2·…·xt·2)，其中t＝2n－1，则数列{an}的通项公式an＝________.答案 解析 由an＝log2(1·x1·x2·…·xt·2)，得 an＋1＝log2(1·(1·x1)·x1·(x1·x2)·x2·…·xt·(xt·2)·2) ＝log2＝3an－1，设an＋1＋k＝3(an＋k)，即an＋1＝3an＋2k，可得k＝－，则数列是首项为，公比为3的等比数列，故an－＝·3n－1，所以an＝.
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