选填题(二)
一、单项选择题
1.(2020·全国卷Ⅲ)复数的虚部是()
A.-
B.-
C.
D.
答案 D
解析 因为==+i,所以复数的虚部为.故选D.2.(2020·海南高三第一次联考)设集合A,B是全集U的两个子集,则“A⊆B”是“A∩∁UB=∅”的()
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
答案 C
解析 如图所示,A⊆B⇒A∩∁UB=∅,同时A∩∁UB=∅⇒A⊆B.故选C.3.双曲线-=1(a>0,b>0)的一条渐近线与直线x+2y-1=0垂直,则双曲线的离心率为()
A.B.
C.
D.+1
答案 B
解析 由已知得=2,所以e==
=
=,故选B.4.(2020·山东聊城三模)已知|a|=,|b|=1,(a+b)·(a-3b)=1,则向量a与向量b的夹角为()
A.B.
C.
D.
答案 B
解析 因为|a|=,|b|=1,(a+b)·(a-3b)=1,所以|a|2-2a·b-3|b|2=1,即2-2a·b-3=1,即a·b=-1,因此cos〈a,b〉===-,所以〈a,b〉=.故选B.5.(2020·海南中学高三第六次月考)将函数f(x)=sin2x的图象向右平移个单位长度后得到函数g(x)的图象,则下列说法正确的是()
A.g=
B.g(x)的最小正周期是4π
C.g(x)在区间上单调递增
D.g(x)在区间上单调递减
答案 C
解析 函数f(x)=sin2x的图象向右平移个单位长度得g(x)=sin的图象.对于A,g=sin=,故A错误;对于B,g(x)的最小正周期为π,故B错误;对于C,当0≤x≤时,-≤2x-≤,因为是的子区间,故C正确;对于D,当≤x≤时,≤2x-≤,不是的子区间,故D错误.故选C.6.(2020·四川成都石室中学一诊)国际羽毛球比赛规则从2006年5月开始,正式决定实行21分的比赛规则和每球得分制,并且每次得分者发球,所有单项的每局获胜分至少是21分,最高不超过30分,即先到21分的获胜一方赢得该局比赛,如果双方比分为20∶20时,获胜的一方需超过对方2分才算取胜,直至双方比分打成29∶29时,那么先到第30分的一方获胜.在一局比赛中,甲发球赢球的概率为,甲接发球赢球的概率为,则在比分为20∶20,且甲发球的情况下,甲以23∶21赢下比赛的概率为()
A.B.
C.
D.
答案 B
解析 设双方20∶20平后的第k个球甲获胜为事件Ak(k=1,2,3,…),则P(甲以23∶21赢)=P(1A2A3A4)+P(A12A3A4)=P(1)·P(A2)P(A3)P(A4)+P(A1)P(2)P(A3)P(A4)=×××+×××=.7.(2020·山东大学附属中学6月模拟检测)在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB⊥BC,AB=BC=BB1=1,M是AC的中点,则三棱锥B1-ABM的外接球的表面积为()
A.B.2π
C.
D.
答案 B
解析 如图所示,取AB1的中点为O,AB的中点为D,连接OD,DM,OM,则OD⊥平面ABM,|DA|=|DB|=|DM|,所以|OA|=|OB|=|OM|=|OB1|,所以三棱锥B1-ABM的外接球球心为AB1的中点O.所以R==,所以三棱锥B1-ABM的外接球的表面积为S=4πR2=2π.故选B.8.(2020·全国卷Ⅲ)已知55<84,134<85.设a=log53,b=log85,c=log138,则()
A.a
B.b C.b D.c 答案 A 解析 ∵a,b,c∈(0,1),==·<·2=2=2<1,∴a<b.由b=log85,得8b=5,由55<84,得85b<84,∴5b<4,可得b<.由c=log138,得13c=8,由134<85,得134<135c,∴5c>4,可得c>.综上所述,a<b<c.故选A.二、多项选择题 9.(2020·山东聊城一模)下列说法正确的是() A.回归直线一定经过样本点的中心(,) B.若两个具有线性相关关系的变量的相关性越强,则线性相关系数r的值越接近于1 C.在残差图中,残差点分布的水平带状区域越窄,说明模型的拟合精度越高 D.在线性回归模型中,相关指数R2越接近于1,说明回归模型的拟合效果越好 答案 ACD 解析 对于A,因为回归直线恒过样本中心点(,),不一定经过每个样本点,故A正确;对于B,由相关系数的绝对值越趋近于1,相关性越强可知,若两个变量负相关,其相关性越强,则线性相关系数r的值越接近于-1,故B错误;对于C,因为在残差图中,残差点分布的水平带状区域越窄,说明模型的拟合精度越高,故C正确;对于D,因为在线性回归模型中,相关指数R2越接近于1,说明线性回归模型的拟合效果越好,故D正确.故选ACD.10.(2020·枣庄二调)如图,透明塑料制成的长方体容器ABCD-A1B1C1D1内灌进一些水,固定容器一边AB于地面上,再将容器倾斜,随着倾斜度的不同,有下面几个结论,其中正确的命题有() A.没有水的部分始终呈棱柱形 B.水面EFGH所在四边形的面积为定值 C.随着容器倾斜度的不同,A1C1始终与水面所在平面平行 D.当容器倾斜如图(3)所示时,AE·AH为定值 答案 AD 解析 由于AB始终在桌面上,因此倾斜过程中,没有水的部分,是以左、右两侧的面为底面的棱柱,A正确;图(2)中水面面积比图(1)中水面面积大,B错误;图(3)中A1C1与水面就不平行,C错误;图(3)中,水体积不变,因此△AEH的面积不变,从而AE·AH为定值,D正确.故选AD.11.(2020·山东莱西一中、高密一中、枣庄三中模拟)设抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,P为其上一动点,当P运动到(2,t)时,|PF|=4,直线l与抛物线相交于A,B两点,点M(4,1),下列结论正确的是() A.抛物线的方程为y2=4x B.|PM|+|PF|的最小值为6 C.存在直线l,使得A,B两点关于x+y-6=0对称 D.当直线l过焦点F时,以AF为直径的圆与y轴相切 答案 BD 解析 因为点P为抛物线y2=2px(p>0)上的动点,当P运动到(2,t)时,|PF|=4,所以|PF|=2+=4,p=4,故y2=8x,A错误;过点P作PE垂直准线于点E,则|PM|+|PF|=|PM|+|PE|≥6,当P,E,M三点共线时等号成立,故B正确;假设存在直线l,使得A,B两点关于x+y-6=0对称,则直线l的斜率为1.设A(x1,y1),B(x2,y2),AB的中点H(x0,y0),则y=8x1,y=8x2,两式相减得到(y1+y2)(y1-y2)=8(x1-x2),即=,因为=1,y1+y2=2y0,所以=1,故y0=4,x0=2,而点(2,4)在抛物线上,故不存在直线l,使得A,B两点关于x+y-6=0对称,C错误;如图所示,过点A作AC垂直准线于点C,交y轴于点Q,取AF的中点为G,过点G作GD垂直y轴于点D,则|DG|=(|OF|+|AQ|)=|AC|=|AF|,故以AF为直径的圆与y轴相切,故D正确.故选BD.12.(2020·山东济宁嘉祥县萌山高级中学高三五模)对于定义域为R的函数f(x),若满足:①f(0)=0;②当x∈R,且x≠0时,都有xf′(x)>0;③当x1<0 A.f1(x)=-x3+x2 B.f2(x)=ex-x-1 C.f3(x)= D.f4(x)=xsinx 答案 BC 解析 经验证,f1(x),f2(x),f3(x),f4(x)都满足条件①,xf′(x)>0⇔或当x1<0 (x+1)-2x,x>0,则F′(x)=-2<0,F(x)在(0,+∞)上是减函数,可得F(x) (x2+1)-2x2=F(x2)<0,即f3(x1) 13.在6(其中t为常数)的展开式中,已知常数项为-160,则展开式的各项系数之和为________. 答案 1 解析 二项展开式中的第r+1项为Tr+1=C(tx)6-r·r=(-1)rCt6-rx6-2r,令6-2r=0,得r=3,得常数项为T4=Ct3·(-1)3=-160,解得t=2.在6中,令x=1,得展开式的所有项系数之和为6=1.14.(2020·山东淄博摸底)数列{an}满足a1=3,an+1=an+ln,则a10=________.答案 3+ln 解析 ∵an+1=an+ln,∴an+1-an=ln =ln (n+1)-ln n.∴a2-a1=ln 2-ln 1,a3-a2=ln 3-ln 2,a4-a3=ln 4-ln 3,…,an-an-1=ln n-ln (n-1),以上各式两端分别相加,得an-a1=ln n-ln 1=ln n.∵a1=3,∴an=3+ln n,∴a10=3+ln 10.15.在△ABC中,内角A,B,C的对边长分别为a,b,c,已知a2-c2=2b,且sinAcosC=3cosAsinC,则b=________.答案 4 解析 ∵sinAcosC=3cosAsinC,∴根据正弦定理与余弦定理可得a·=3··c,即2c2=2a2-b2.∵a2-c2=2b,∴b2=4b,∵b≠0,∴b=4.16.(2020·山东滨州三模)已知函数f(x)=,h(x)=ax-4(a>1).若∀x1∈[3,+∞),∃x2∈[3,+∞),使得f(x1)=h(x2),则实数a的最大值为________. 答案 2 解析 由题意可知,函数f(x)在[3,+∞)上的值域是函数h(x)在[3,+∞)上值域的子集,f(x)===x-2++2≥2+2=4,等号成立的条件是x-2=,即x=3,所以函数f(x)在[3,+∞)上的值域是[4,+∞),h(x)=ax-4(a>1)是增函数,当x∈[3,+∞)时,函数h(x)的值域是[a3-4,+∞),所以a3-4≤4,解得1