1-1
简算巧算
四则运算的运算律
（1）交换律：
加法交换律用字母表示可以写成.乘法交换律用字母表示可以写成.（2）结合律：
加法结合律用字母表示可以写成.乘法结合律用字母表示可以写成.（3）分配律：
填空完成乘法分配律：
(a
+
b)´
c
=
(a
b)´
c
=
填空完成除法分配律：
(a
+
b)¸
c
=
(a
b)¸
c
=
（4）括号：
按照去括号规律完成这些去括号练习：
+
(25
37)
=
25´(4
¸
5)
=
-(25
37)
=
125
¸(5
¸
4)
=
（5）带符号搬家：
同级运算时，可以带符号搬家。加、减法为第一级运算，乘、除法为第二级运算。
按照带符号搬家的原则改写下面的算式：
54´39
¸
=
+
=
（6）平方差公式
a2
b2
=
（x
+
y)（x
y)
=
例
19+199+1999+19999+199999=
.（2008
希望杯四年级二试）
例
计算:4×37×25=
.（2013
希望杯四年级一试）
例
计算：2468×629÷(1234×37)＝
.(2015
希望杯四年级一试)
例
(7777+8888)÷5-(888-777)×3
=
.（2011
希望杯四年级一试）
例
计算:28×7×25＋12×7×25＋7×11×3＋44＝
.（2012
华杯赛决赛小中组）
例
计算[(55×45
–
37×43)
–
(3×221+1)]÷22=
.(2015
希望杯四年级二试)
1-2
等差数列
1.字母表示数
（1）用字母表示数能够简明表示出事物的规律和特征，如：
正方形的边长为
a，周长可表示为，面积可表示为
.（2）同一个问题中，不同的数要用不同的字母表示，如：
长方形的长为
m，宽为
n，长方形的周长可表示为，面积可表示为
.含有字母的乘法中，乘号“×”写作“·
”，或省略不写，一般要把数值写在字母的前
面。
用正确的写法改写下面的算式：
a×b×c
=
=
p×q
=
=
m×12×n
=
=
a×3×5=
=
2.定义新运算
定义新运算是一种特别设计的计算形式，它使用一些特殊的符号，并给这些符号一个新的运算含义。
使用特殊符号是为了避免和熟悉的运算符号产生混淆。
例
定义
a
Å
b
=
a
+
b
+
ab，则
(2
Å
3)
Å
4的值为
.（2015
希望杯四年级一试）
3.简单方程
方程是含有未知数的等式。等式又分为恒等式和非恒等式。可用任意数值代替式子中的字
母，等式永远成立的等式是恒等式。
按照方程的概念填空：
a+b=b+a，2x－1=7，m×n=n×m，m＋5=m－5，6÷p
=1，3×a+3
其中，属于方程的有：
.解方程的关键是等号两边要同时做相同的计算，等号左边＋3，右边也要同时＋3，左边×
5，右边也要×5.尝试解下列方程：
x+5=8
x-5=8
x÷5=8
5x=80
(x+5)÷8=8
5x+8=33
x÷7
–
2=3
(x
–
3)×6=36
例
如果
8×(2＋1÷x)＝18，则
x＝
_.（2017
希望杯四年级一试）
4.等差数列
（1）等差数列的概念：
一列数，如果从第二项开始，后一项与前一项的差是同一个常数，我们就称这个数列为
等差数列。这个常数被称之为公差。这个数列的第一个数也就是第一项被称之为首项，最后一
个数被称之为末项。
判断下面这些数列是否为等差数列：
1,2,3,4,5，……，99,100,101
1,3,5,7，……，97,99,101
1,4,8,13,19,26,34,43,53,64,76，（（（）））
（2）等差数列求和公式：
等差数列的和
=（首项+末项）×项数÷2
①
等差数列的和
=
项数×首项
+
项数×（项数－1）×公差÷2
②
用这个等差数列尝试自己推导等差数列求和公式①：
1+3+5+7+9+…+99+101+103=
例
计算:1
–
3+5
–
7+
–
11+13
–…–
39+41=
.(2009
希望杯四年级二试)
1-3
数谜
1.数字谜
数字谜解题方法归纳：
（1）末位分析法；
（2）进位分析法；
（3）借位分析法；
（4）余数分析和位数分析；
（5）综合分析法.例
如图所示，5
个相同的两位数
AB
相加得两位数
MB，其中相同的字母表示相同的数字，不同的字母表示不同的数字，则
AB
=
.
（2012
希望杯
试）
例
“熊大”ד熊二”=“熊兄弟”.若相同的汉字代表
0
至
中的相同数字，不同的汉字代表不同的数
字，且“大”＞“二”，则所有满足条件的“熊兄弟”代表的三位数之和是
.（2013
华杯赛小中组
B
卷）
2.数阵图
（1）数阵图分类：辐射型，封闭型，复合型
（2）数阵图问题本质：在数阵中填入可保证特定线上（特定区域内）的数的之间的关系。
（3）解题关键：
区分普通位和关键位
→确定特定线（区域）计算线和及数和
→判断关键位可填入的数
→运用已有信息进行尝试
例
将
到
这
个自然数排成如图的形状，使每条斜线上的4
个数的和相等，则
a-b-c+d+e+f-
g=
.（2013
希望杯
试）
例
将六个数
1，3，5，7，9，11
分别填入下图中的圆圈内（每个圆圈内仅填一个数），使每边
上三个数的和都等于
19，则三角形三个顶点处的圆圈内所填三数之和为
.（2012
华杯赛小中组
B
卷）
2-1
时间相关问题
1.日历问题
（1）能被
整除同时不能被
整除或者能被
400
整除的年份为闰年。四年一闰，百年不
闰，四百年再闰。闰年有
366
天，非闰年有
365
天。
（2）1、3、5、7、8、10、12
月有
天，4、6、9、11
有
天，闰年
月
天，非闰年
月
天。
（3）一周7
天，7
天为一个周期。
很多时候日历问题都可以用周期问题或余数问题来思考。
例
如果今天是星期五，那么从今天算起，57
天后的第一天是星期
.（2012
希望杯
试）
2.时间问题
钟面上的时针、分针所在的某一特定位置时的那一瞬间是时刻（时刻是从钟面看出来的）；
从一个时刻到另一个时刻之间经过的间隔是时间（时间是计算出来的），终止时刻-起始时刻=
经过的时间。
时间单位：时、分、秒（年、月、日等）。
计时法有两种：12
时计时法和
时计时法。
天=24
小时，1
小时=60
分钟=3600
秒，1
分钟=60
秒。
例
如图所示的电子钟可显示从
00:00:00
到
23:59:59的时间，在一昼夜内(24
小时)钟表上显示的时间恰好由数字
1，2，3，4，5，6
组成的共有
秒.（2012
希望杯
试）
例
12:00的时候时针和分针的夹角是
0°，此后时针和分针第6
次成90°夹角的时刻是
:
.（12
小时制）
（2013
希望杯
试）
3.年龄问题
年龄问题通常以和倍、差倍或者和差等问题的形式出现。有些年龄问题往往是和、差、倍
数等问题的综合，需要灵活的加以解决。
解答年龄问题，要灵活运用以下三条规律：
（1）无论是哪一年，两人的年龄差总是不变的；
（2）随着时间的向前或向后推移，几个人的年龄总是在减少或增加相等的数量。（你长我也长）
（3）随着时间的变化，两人的年龄之间的倍数关系也会发生变化。（倍数随年龄的增加而
变小）
例
今年，李林和他爸爸的年龄的和是
岁，4
年后，他爸爸的年龄比他的年龄的3
倍小
岁，则李林的爸爸比他大
岁.（2011
希望杯
试）
例
今年丹丹
岁，丹丹的爸爸
岁，a
年后，爸爸年龄是丹丹年龄的3
倍，则
a的值是
.（2016
希望杯
试）
2-2
行程问题初步
行程问题的常用公式
（1）基本公式：速度×时间=路程
（2）相遇问题
：速度和×相遇时间=相遇路程
（3）
追及问题
：速度差×追及时间=相差路程
（4）火车过桥
：桥长＋车长=路程
速度×过桥时间=路程
（5）
流水行船
：顺水船速=船速＋水速=逆水船速＋水速×2
例
小东和小荣同时从甲地出发到乙地.小东每分钟行
米，小荣每分钟行
米.小荣到达乙地
后立即返回.若两人从出发到相遇用了
分钟，则甲、乙两地相距
米.（2014
希望杯
试）
例
甲、乙两个机器人分别从
A、B
两点同时、同向出发，甲到达
B
点时，乙走了
288
米，甲追
上乙时，乙走了
336
米，则
A、B
两点间的距离是
米．
（2016
希望杯
试）
例
一个车队以
米/秒的速度缓慢通过一座长
298
米的大桥，共用
115
秒，已知每辆车长
米，相临两车间隔
米，则这个车队一共有
辆车.（2012
华杯赛小中组
A
卷）
例
一条河上有
A，B
两个码头，A
在上游，B
在下游.甲、乙两人分别从
A，B
同时出发，划船相
向而行，4
小时后相遇.如果甲、乙两人分别从
A，B
同时出发，划船同向而行，乙
小时后
追上甲.已知甲在静水中划船的速度为每小时
千米，则乙在静水中划船每小时行驶
千米.（2015
华杯赛小中组）
例
有一座高楼，小红每登上一层需
1.5
分钟，每走下一层需半分钟，她从上午
8:45
开始不停地
从底层往上走，到了最高层后立即往下走，中途也不停留，上午
9:17
第一次返回底层，则这
座楼共有
层.（2008
希望杯
试）
例
如图，一个边长为
米的正方形围墙，甲、乙两人分别从
A，C
沿围墙按顺时针方向同时出
发，已知甲每秒走
米，乙每秒走
米，至少经过
秒甲、乙在同一条边上．
（2010
希望杯
试）
例
甲、乙两人在一条长
120
米的直路上来回跑，甲的速度是
米/秒，乙的速度是
米/秒.若他们同时从同一端出发跑了
分钟，则他们在这段时间内共迎面相遇
次（端点
除外）.（2016
华杯赛小中组
A
卷）
2-3
典型应用题综合1.基本应用题
一般复合应用题往往是有两组或两组以上的数量关系交织在一起，有的已知条件是间接的，数量关系比较复杂，叙述的方式和顺序也比较多样。因此，一般应用题没有明显的结构特征和
解题规律可循。
解答一般应用题时，可以借助线段图、示意图、直观演示手段帮助分析。在分析应用题的数量关系时，我们可以从条件出发，逐步推出所求问题（综合法）；也可以从问题出发，找出
必须的两个条件（分析法）。在实际解时，可以根据题中的已知条件，灵活运用这两种方法。
例
甲、乙、丙
人一起购买学习用品．已知甲和乙共支付了
元，乙和丙共支付了
元，甲
和丙共支付了
元，那么，甲支付了
元．
（2016
希望杯四年级
试）
2.和差倍应用题
和差问题
和倍问题
差倍问题
已知条件
几个数的和与差
几个数的和与倍数
几个数的差与倍数
公式
(和－差)÷2=较小数
(和＋差)÷2=较大数
和÷(倍数＋1)=较小数
差÷(倍数-1)=较小数
例
甲、乙两个油桶中共有
千克油，将乙桶中的15
千克油注入甲桶，此时甲桶中的油是乙
桶中的油的4
倍.那么，原来甲桶中的油比乙桶中的油多
千克．
（2014
希望杯四年级
试）
3.盈亏问题
一定数量的物品分给一定数量的人，每人多一些，物品就不够；每人少一些，物品就有余。
盈亏问题就是在已知的情况下确定物品总数和参加分配的人数。解答盈亏问题的关键是弄清盈、亏与两次分得的关系。
盈亏问题的数量关系是：
（1）（盈+亏）÷两次分配差=份数
（大盈—小盈）÷两次分配差=份数
（大亏—小亏）÷两次分配差=份数
（2）每次分的数量×份数+盈=总数量
每次分的数量×份数—亏=总数量
例
某地希望杯组委会给当地参加希望杯考试的考生安排考场，每个考场
名考生，则会余下
名考生独用一个考场；每个考场
名考生，则会余下
名考生独用一个考场，并且要比前
一种方案多用
个考场。则该地区参加考试的考生有
名。
（2015
希望杯四年级
试）
4.鸡兔同笼问题
解鸡兔同笼问题的基本关系式是：
（1）
如果假设全是兔，则有：
鸡数=（每只兔子脚数×鸡兔总数-实际脚数）÷（每只兔子脚数-每只鸡的脚数）
兔数=鸡兔总数-鸡数
（2）
如果假设全是鸡，那么就有：
兔数=（实际脚数-每只鸡脚数×鸡兔总数）÷（每只兔子脚数-每只鸡的脚数）
鸡数=鸡兔总数-兔数
例
鸡兔同笼，共有
个头，兔脚的数目比鸡脚的数目的10
倍少
只，那么兔有
只.（2013
华杯赛小中组
B
卷）
5.牛吃草问题
基本公式:
（1）
设定一头牛一天吃草量为“1”；
（2）草的生长速度＝草量差÷时间差；
（3）原有草量＝牛头数×吃的天数－草的生长速度×吃的天数；
（4）吃的天数＝原有草量÷（牛头数－草的生长速度）；
（5）牛头数＝原有草量÷吃的天数＋草的生长速度。
例
一个大型的污水池存有一定量的污水，并有污水不断流入，若安排
台污水处理设备，36
天
可将池中的污水处理完；若安排
台污水处理设备，27
天可将池中的污水处理完；若安排
台污水处理设备，天可将池中的污水处理完。
（2016
希望杯四年级
试）
3-1
简单图形
常见问题
（1）
图形分割
（2）线段问题
（3）图形计数
（4）轴对称问题
例
长方形
MNPQ
中，MN=
3，MQ=
4，过它的中心
O(对角线
MP
和
NQ的交点)画一条直线，长方形
MNPQ
被分成两个相同的图形，它们的形状分别是
.（2012
希望杯四年级
试）
例
A，B，C，D
四个点从左向右依次排在一条直线上，以这四个点为端点，可以组成6
条线段.已知这
条线段的长度分别是
12，18，30，32，44，62(单位：厘米)，那么线段
BC的长度
是
厘米.（2013
希望杯四年级
试）
例
下图由
个方格组成，其中含有
A的正方形有
个.
（2017
希望杯四年级
试）
例
如图，在5×5的方格纸的20
个格点处各钉有
枚钉子，以这些钉子中的某四个为顶点用橡皮
筋围成正方形，一共可以围成个正方形.（2013
希望杯四年级
试）
例
如图是
4×4的方格图，有
个小正方形有阴影，若再将一个小正方形涂阴影，使方格图成为
轴对称图形，则不同的涂法有
种.（2014
希望杯四年级
试）
3-2
几何计算
1.角度问题
（1）角的分类：锐角、直角、钝角、平角、周角。
（2）特殊三角形的分类：等腰三角形、等边三角形那、直角三角形。
（3）直角等于
90°，平角等于
180°，周角等于
360°，三角形的内角和为
180°，四边
形的内角和为
360°。
例
如图，已知直线
AB
和
CD
交于点
O，若∠
AOC
=
°，∠
EOD
=60
°，则∠
AOE
=
°，∠BOC
=
°.
（2011
希望杯四年级
试）
2.巧求长方形周长
（1）基本公式：
①长方形的周长=2×(长+宽)，面积=长×宽．
②正方形的周长=4×边长，正方形的面积=边长×边长．
（2）对于基本的长方形和正方形图形，可以直接用公式求出它们的周长和面积，对于一些
不规则的比较复杂的几何图形，我们可以采用转化的数学思想方法割补成基本图形，利用
长方形、正方形周长及面积计算的公式求解．
例
把一个边长是
5cm的正方形纸片沿虚线分成5
个长方形，然后按照箭头标记的方向和长度移
动其中的4
个长方形，则所得图形的周长是
cm.（2017
希望杯四年级
试）
3.面积、周长转化问题
常用转化方法：
（1）平移；（2）割补；（3）对称；（4）代换。
例
一个长方形的长和宽都增加
厘米后，面积增加了
平方厘米，则原长方形的周长是
厘米。
（2015
希望杯四年级
试）
4.格点面积问题
利用格点求图形的面积通常有两种思路，一是直接将图形分成若干个面积单位，然后通过
计算有多少个面积单位来求图形面积；二是将某些图形转化成长方形的面积来求。当然还可以
将这两种方法结合起来，求出某些较复杂图形的面积。
例
下图由
5×4
个边长为
1的小正方形组成，其中阴影部分的面积是
．
（2016
希望杯四年级
试）
5.正方形面积问题
正方形的面积=边长×边长=对角线×对角线÷2
例
如图，阴影小正方形的边长是
2，最外面的大正方形的边长是
6，则
正方形
ABCD的面积是
.（2014
希望杯四年级
试）
3-3
立体图形初步
1.正方体展开图
正方体的平面展开图中相对的两个面的特点是：
相对的两个面中间一定隔着一个小正方
形，且没有公共的顶点，且相距最近。
通过正方体展开图形找相对面，首先在同层中隔一面寻找，再在不同层中隔两面寻找，剩下的两面是相对的面。
2.立方体
正方体的特征
：
正方体有
个面，8
个顶点，12
条棱。
正方体
个面是大小相同的正方形，12
条棱长度相等。
正方体是特殊的长方体。
例
如图，将数字
4，5，6
填入正方体的展开图中，使正方体相对的两个面上数字的和都相等，则
A
处应该填，B
处应该填，C
处应该填
.（2013
希望杯四年级
试）
例
将棱长为
米的正方体木块分割成棱长为
厘米的小正方体积木，设想孙悟空施展神力将所
有的小积木一个接一个地叠放起来，成为一根长方体“神棒”，直指蓝天.已知珠穆朗玛峰的海
拔高度为
8844
米，则“神棒”的高度超过珠穆朗玛峰的海拔高度
米.（2012
华杯赛小中组）
例
如图所示，一只蚂蚁从正方体的顶点
A
出发，沿正方体的棱爬到顶点
B，要求行走的路线最
短，那么蚂蚁有
种不同的走法.（2012
华杯赛小中组
A
卷）
4-1
加乘原理
1.加法原理
一般地，如果完成一件事有
k
类方法，第一类方法中有
m1
种不同的做法，第二类方法中
有
m2
种不同的做法，……，第k
类方法中有
mk
种不同的做法，则完成这件事共有
m1+
m2+…
+mk
种不同的方法。
加法原理解题三部曲
1.完成一件事分类情况
2.类类独立（每类都能单独完成该件事）
3.类类相加
例
阳光小学四年级有
个班，各班分别有男生
人、20
人、16
人.从中任意选一人当升旗手，有多少种选法？
2.乘法原理
一般地，如果完成一件事可以分成n
个必要步骤，第一步有
m1
种不同的做法，第二步有
m2
种不同的做法，……，第n
步有
mn
种不同的做法，则完成这件事共有
m1×m2×…×mn
种不同的方法。
乘法原理解题三部曲
1.完成一件事分
n
个必要步骤
2.步步相关（每步都不能单独完成该件事）
3.步步相乘
例
按照下表给出的词造句，每句必须包括一个人，一个交通工具，以及一个目的地，请问可以
造出多少个不同的句子？
爸爸
乘
飞机
去
北京
妈妈
火车
拉萨
我汽车
台北
例
希希去花店买花来装饰客厅，花店里有
盆黄色的花，7
盆红色的花，以及
盆粉色的花，希
希想从中选择
盆不同颜色的话，那么她有多少种不同的选法？
例
用
0
–
这七个数字可组成多少个无重复数字的四位偶数？
例
甲、乙、丙、丁四人各有一个作业本混放在一起，四人每人随便拿了一本，求满足下列条件的拿法各有多少种：
（1）甲拿到自己的作业本；
（2）恰有一人拿到自己的作业本；
（3）至少有一人没拿到自己的作业本；
（4）谁也没有拿到自己的作业本.4-2
简单数论
什么是数论
数论是纯粹数学的分支之一，主要研究整数的性质，简单说其实就是“有关数的理论”。
小
学阶段的课本里可能并没有把数论这个概念提出来，但是相关的知识却无处不在。尤其是四年
级，同学们还没有系统学习小数和分数之前，主要学习的就是整数的性质。对于整数的一些基
本性质，同学们要熟练掌握并灵活运用。如奇数、偶数、连续数、平均数，反序数，位值原理
等等。
例
个连续的自然数从小到大排列，若最后
个数的和比前
个数的和的2
倍大
15，则这
个
数中最小的数是。
（2017
四年级希望杯
试——第12
题）
例
有
个数，它们的平均数是
17，加入
个数后，平均数变成20，则加入的数是。
（2017
四年级希望杯
试——第2
题）
例
三位数
abc
与
cba
是一个三位反序数对（如
123
与
321，778
与
877）。如果三位反序数对中两
个数的和是
1069，这样的反序数对一共有
对。
（2015
四年级希望杯
试——第18
题）
例
某个两位数的个位数字和十位数字的和是
12,个位数字和十位数字交换后所得两位数比原数
小
36,则原数是
.（2011
四年级希望杯
试——第15
题）
例
如果
a
表示一个三位数,b
表示一个两位数,那么
a+b
最小是,a+b
最大是,a
–
b
最小是,a
–
b
最大是
.（2012
四年级希望杯
试——第3
题）
知识精讲
a
¸
b
=
c......d
4-3
整除与余数
在这个除法算式中，整数
a
除以非零整数
b，商为整数
c，余数为
d。余数
d
=
0
时，我们称
a
能被
b
整除，或
b
整除
a，记为
b|a，“|”是整除符号，同学们不妨先记起来。
在整除的情况下，称
a
为
b的倍数，b
为
a的约数（或因数）。
能被整除的数的特征：
（1）被
整除的数：所有偶数都可以被
整除，即末
位是
0,2,4,6,8.（2）被
整除的数：一个整数的数字和能被
整除，这个整数可以被
整除。
（3）被
整除的数：末两位可以被
整除的整数即可被
整除。
（4）被
整除的数：末位是
0
或
5的整数可以被
整除。
（5）被
整除的数：末三位可以被
整除的整数可以被
整除。
（6）被
整除的数：数字和能被
整除的整数可以被
整除。
（7）被
7,11,13
整除的数：因为
7×11×13=1001，所以用三位截断法可判断一个数是否
可以被这三个数整除。
在不能整除的除法中，就会产生余数。
同余定理：给定一个正整数
m，如果两个整数
a
和
b
满足
a－b
能够被
m
整除，那么就称
a
和
b
对模
m
同余，标记方式为
a
º
b
（mod
m）。
例
有一个除法算式，被除数和除数的和是
136，商是
7，则除数是
.（2015
四年级希望杯
试——第2
题）
例
为使下面算式中五个数的乘积的末尾有六个
0,□里的数最小是
.8×10×15×25×□
（2007
四年级希望杯
试——第3
题）
例
有一筐桃子,4
个
个地数,多
个;
个
个地数,多
个;
个
个地数,少
个.已知这筐
桃子的个数不少于
120,也不多于
150,则这筐桃子共有
个.（2012
四年级希望杯
试——第14
题）
例
在1
到
这
个数中，被
2，3，5
除都有非零的余数，且余数彼此不等的数有
个。
（2016
四年级希望杯
试——第15
题）
5-1
找规律
知识精讲
找规律是小学数学和中学数学教学的基本技能，是为了让学生发现、经历、探究图形或
数字简单的排列规律，通过比较从而理解并掌握找规律的方法，培养学生初步的观察、操
作、推理能力。
这类题型给出几个具体的、特殊的数式或图形，要求找出其中的变化规律，从而猜想出
一般性的结论.解题的思路是特殊向一般的简化，具体方法和步骤是：
（1）通过对几个特例的分析，寻找规律并且归纳；
（2）猜想符合规律的一般性结论；
（3）验证或证明结论是否正确。
例
算式1×1+11×11+111×111+···+111…111（2010个1）×111…111（2010个1）的结果的末三位数
字是
.（2010四年级希望杯2试——第10题）
例
按照图
中前
个图中数的规律,在第5
个图中填上适当的数.A=,B=
_,C=_,D=,E=,F=
.（2011
四年级希望杯
试——第7
题）
例
用
An
表示乘积
´
´
´¼´
7的结果的个位数字,如:
A1=7,A2
=9,A3=3,…,则
n个7
A1+A2+A3+…+A2013=
.（2013
四年级希望杯
试——第21
题）
例
如图,当
n=1
时,有
个小星星;
当
n=2
时,有
个小星星;
当
n=3
时,有
个小星星;
当
n=4
时,有
个小星星······
则当
n=10
时,有
个小星星.（2013
四年级希望杯
试——第3
题）
5-2
数学方法
1.最不利原则
有一类题目，会出现一些变化的量，需要我们求最值。这类题目属于非常规问题，没有统一的方法，对不同的题目要用不同的策略和方法。就具体的题目而言，大致可以从以下几个方
面思考：
（1）寻找极端情形；
（2）分析推理——确定最值；
（3）枚举比较——确定最值；
（4）估计并构造模型。
用这些分析方法时往往需要从最差的情况出发来分析问题，这就是最不利原则。
例
布袋中有
个彩球,每种颜色的球都有
个.蒙眼取球,要保证取出的球中有三个同色的球,至少要取出
个球.（2013
华杯赛小中组
B
卷）
例
在1
到
200
这
200
个自然数中任意选数,至少要选出多少个才能确保其中必有
个数的乘积等
于
238？
（2016
华杯赛小中组
A
卷）
2.抽屉原理
抽屉原则，又称为鸽巢原理，最早由德国数学家狄利克雷提出，并在有关数论问题中得到
成功应用。
最简单的抽屉原则是这样：有
个物品放到两个抽屉里时，肯定有一个抽屉里的物品至少是
个。因为
个物品的分配只能是这两种情形：0
和
3,1
和
2.也就是说当一个抽
屉里有一个物品的时候，另一个抽屉里有两个物品；当一个抽屉里没有物品的时候，另一个抽
屉里有三个物品。抽屉原则的另一个应用是这样：有
个物品放到两个抽屉里的时候，肯定有
一个抽屉里没有物品。
拓展到一般的情形，将
n+1
个物品放进
n
个抽屉里时，必定有一个抽屉里有两个以上的物
品。将
n
个物品放进
n+1
个抽屉里，必定至少有一个抽屉里没有物品。
利用抽屉原则的关键在于构造抽屉，从而把讨论的范围缩小，是问题变得简单明确。而运
用抽屉原则解题的难点也在于抽屉的构造。要从问题出发分析，弄清要进行分类的元素特征及
规律，得到抽屉构造思路。
利用抽屉原则解题的一般步骤是：
（1）分析特征规律，构造抽屉；
（2）把元素放入所构造的抽屉中；
（3）运用抽屉原则，对问题进行分析讨论。
例
将
个球分别放在三个盒子里,使盒子里球的个数彼此不同,那么,放球最多的盒子里最多可放
个球,至少要放
个球.（2012
四年级希望杯
试——第9
题）
3.容斥原理
在计数时，必须注意没有重复，没有遗漏。为了使重叠部分不被重复计算，人们研究出
一种新的计数方法，这种方法的基本思想是：先不考虑重叠的情况，把包含于某内容中的所
有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果即无
遗漏又无重复。这种计数的方法称为容斥原理。
在容斥问题中经常会用到韦恩图来快速解决问题。
例
在1~500
中不能被2
整除，也不能被3
整除，又不能被5整除的数有多少个?
（2018四年级希望杯培训题）
5-3
逻辑与操作
1.逻辑问题
逻辑规律包括同一律、矛盾律、排中律和充足理由律四种。
（1）同一律即在同一思维过程中，每个思想必须保持其同一性。如：数
a
是质数，那么在整个推理过程中，a
都自始至终是质数，保持同一性。
（2）矛盾律是指在同一思维过程中，对同一思想不能自相矛盾。不能既真又假，即是又
非。如：在推理过程中若推出数
a
既是奇数又不是奇数就自相矛盾了。
（3）排中律指在同一思维过程中，两个相互矛盾的思想，一个是真，另一个必假，不能同
时都真（或假）。如：自然数
a，它不可能既不是奇数，又不是偶数。假若做出了这样的判断，就违反了排中律。
（4）充足理由律是指在论证过程中，判断某个事实为真时，必须有充足的理由。如：由条
件“自然数
a
不是合数”出发就做出了“
a
一定是质数”这一结论，就违反了充足理由律。因
为其间忽略了“
a
还可能是
1”的这种情况。
例
甲、乙、丙、丁、戊
人猜测全班个人学科总成绩的前
名:
甲:“第1
名是
D,第5
名是
E.”
乙:“第2
名是
A,第4
名是
C.”
丙:“第3
名是
D,第4
名是
A.”
丁:“第1
名是
C,第3
名是
B.”
戊:“第2
名是
C,第4
名是
B.”
若每个人都是只猜对
个人的名次,且每个名次只有
个人猜对,则第1,2,3,4,5
名分别
是
.（2011
四年级一试）
（2011
四年级希望杯
试——第20
题）
2.操作问题
所谓操作问题，实际上是对某个事物按一定要求进行的一种变换，这种变换可以具体执行。
操作问题往往是求连续进行这种操作后可能得到的结果。常见的操作问题有以下几类：
（1）与数字相关的操作问题；
（2）染色相关的操作问题；
（3）计数方面的操作问题。
例
A,B,C,D,4
个盒子中依次放有
8,6,3,1
个球.第1
个小朋友找到放球最少的盒子,然后从其
他盒子中各取一个球放入这个盒子;
第2
个小朋友也找到放球最少的盒子,然后也从其他盒子
中各取一个球放入这个盒子,……当第50
位小朋友放完后,A
盒中球的个数是
.（2012
四年级希望杯
试——第16
题）
例
黑板上写着一个九位数
222222222,对它做如下操作:擦掉末位数后又乘
4,再加上刚擦去的数
字,然后在黑板上写下得到的数;
……如此操作下去,直到在黑板上写下的是一个一位数,那
么,它是
.（2014
四年级希望杯
试——第20
题）
例
堆桃子的个数分别是
93，70，63，一只猴子在3
堆桃子间搬运，已知猴子每次最多可搬
个桃子，并且在从一堆搬到另一堆的途中会吃掉
个，当
堆桃子个数相等时，猴子至少吃
掉了
个桃子．
（2016
四年级希望杯
试——第14
题）
例
亚瑟王在王宫中召见
名骑士,这些骑士中每个骑士恰好有
名朋友.他们围着一张圆
桌坐下（骑士姓名与座位如图）,结果发现这种坐法,任意相邻的两名骑士恰好都是朋友.亚瑟
王想重新安排座位,那么亚瑟王有
种不同方法安排座位,使得每一个骑士都不与他的朋友相邻
(旋转以后相同的,算同一种方法).（2017
华杯赛小中组）
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