2007年湖南卷
数学（文史类）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．不等式的解集是（）
A．
B．
C．
D．
2．若是不共线的任意三点，则以下各式中成立的是（）
A．
B．
C．
D．
3．设（），关于的方程（）有实数，则是的（）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分又不必要条件
4．在等比数列（）中，若，则该数列的前10项和为（）
A．
B．
C．
D．
5．在（）的二次展开式中，若只有的系数最大，则（）
A
B
C
F
A．8
B．9
C．10
D．11
6．如图1，在正四棱柱中，分别是，的中点，则以下结论中不成立的是（）
A．与垂直
B．与垂直
C．与异面
D．与异面
7．根据某水文观测点的历史统计数据，得到某条河流水位的频率分布直方图（如图2）．从图中可以看出，该水文观测点平均至少一百年才遇到一次的洪水的最低水位是（）
A．48米
B．49米
C．50米
D．51米
0.5%
1%
2%
水位（米）
图2
8．函数的图象和函数的图象的交点个数是（）
A．1
B．2
C．3
D．4
9．设分别是椭圆（）的左、右焦点，是其右准线上纵坐标为（为半焦距）的点，且，则椭圆的离心率是（）
A．
B．
C．
D．
10．设集合，都是的含两个元素的子集，且满足：对任意的，（，），都有（表示两个数中的较小者），则的最大值是（）
A．10
B．11
C．12
D．13
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在横线上．
11．圆心为且与直线相切的圆的方程是
．
12．在中，角所对的边分别为，若，，则
．
13．若，则
．
14．设集合，，（1）的取值范围是；
（2）若，且的最大值为9，则的值是
．
15．棱长为1的正方体的8个顶点都在球的表面上，则球的表面积是
；设分别是该正方体的棱，的中点，则直线被球截得的线段长为
．
三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
16．（本小题满分12分）
已知函数．求：
（I）函数的最小正周期；
（II）函数的单调增区间．
17．（本小题满分12分）
某地区为下岗人员免费提供财会和计算机培训，以提高下岗人员的再就业能力，每名下岗人员可以选择参加一项培训、参加两项培训或不参加培训，已知参加过财会培训的有60%，参加过计算机培训的有75%，假设每个人对培训项目的选择是相互独立的，且各人的选择相互之间没有影响．
（I）任选1名下岗人员，求该人参加过培训的概率；
（II）任选3名下岗人员，求这3人中至少有2人参加过培养的概率．
18．（本小题满分12分）
如图3，已知直二面角，，，直线和平面所成的角为．
（I）证明；
（II）求二面角的大小．
A
B
C
Q
P
19．（本小题满分13分）
已知双曲线的右焦点为，过点的动直线与双曲线相交于两点，点的坐标是．
（I）证明，为常数；
（II）若动点满足（其中为坐标原点），求点的轨迹方程．
20．（本小题满分13分）
设是数列（）的前项和，且，．
（I）证明：数列（）是常数数列；
（II）试找出一个奇数，使以18为首项，7为公比的等比数列（）中的所有项都是数列中的项，并指出是数列中的第几项．
21．（本小题满分13分）
已知函数在区间，内各有一个极值点．
（I）求的最大值；
（II）当时，设函数在点处的切线为，若在点处穿过函数的图象（即动点在点附近沿曲线运动，经过点时，从的一侧进入另一侧），求函数的表达式．
2007年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）
数学（文史类）参考答案
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．D
2．B
3．A
4．B
5．C
6．D
7．C
8．C
9．D
10．B
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在横线上．
11．12．
13．3
14．（1）（2）
15．，三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
16．解：
．
（I）函数的最小正周期是；
（II）当，即（）时，函数是增函数，故函数的单调递增区间是（）．
17．解：任选1名下岗人员，记“该人参加过财会培训”为事件，“该人参加过计算机培训”为事件，由题设知，事件与相互独立，且，．
（I）解法一：任选1名下岗人员，该人没有参加过培训的概率是
所以该人参加过培训的概率是．
解法二：任选1名下岗人员，该人只参加过一项培训的概率是
该人参加过两项培训的概率是．
所以该人参加过培训的概率是．
（II）解法一：任选3名下岗人员，3人中只有2人参加过培训的概率是
．
3人都参加过培训的概率是．
所以3人中至少有2人参加过培训的概率是．
解法二：任选3名下岗人员，3人中只有1人参加过培训的概率是
．
3人都没有参加过培训的概率是．
所以3人中至少有2人参加过培训的概率是．
A
B
C
Q
P
O
H
18．解：（I）在平面内过点作于点，连结．
因为，所以，又因为，所以．
而，所以，从而，又，所以平面．因为平面，故．
（II）解法一：由（I）知，又，，所以．
过点作于点，连结，由三垂线定理知，．
故是二面角的平面角．
由（I）知，所以是和平面所成的角，则，不妨设，则，．
在中，所以，于是在中，．
故二面角的大小为．
解法二：由（I）知，，故可以为原点，分别以直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系（如图）．
因为，所以是和平面所成的角，则．
不妨设，则，．
A
B
C
Q
P
O
x
y
z
在中，所以．
则相关各点的坐标分别是，，．
所以，．
设是平面的一个法向量，由得
取，得．
易知是平面的一个法向量．
设二面角的平面角为，由图可知，．
所以．
故二面角的大小为．
19．解：由条件知，设，．
（I）当与轴垂直时，可设点的坐标分别为，此时．
当不与轴垂直时，设直线的方程是．
代入，有．
则是上述方程的两个实根，所以，于是
．
综上所述，为常数．
（II）解法一：设，则，，由得：
即
于是的中点坐标为．
当不与轴垂直时，即．
又因为两点在双曲线上，所以，两式相减得，即．
将代入上式，化简得．
当与轴垂直时，求得，也满足上述方程．
所以点的轨迹方程是．
解法二：同解法一得……………………………………①
当不与轴垂直时，由（I）
有．…………………②
．………………………③
由①②③得．…………………………………………………④
．……………………………………………………………………⑤
当时，由④⑤得，将其代入⑤有
．整理得．
当时，点的坐标为，满足上述方程．
当与轴垂直时，求得，也满足上述方程．
故点的轨迹方程是．
20．解：（I）当时，由已知得．
因为，所以．
…………………………①
于是．
…………………………………………………②
由②－①得：．……………………………………………③
于是．……………………………………………………④
由④－③得：．…………………………………………………⑤
即数列（）是常数数列．
（II）由①有，所以．
由③有，所以，而⑤表明：数列和分别是以，为首项，6为公差的等差数列．
所以，．
由题设知，．当为奇数时，为奇数，而为偶数，所以不是数列中的项，只可能是数列中的项．
若是数列中的第项，由得，取，得，此时，由，得，从而是数列中的第项．
（注：考生取满足，的任一奇数，说明是数列中的第项即可）
21．解：（I）因为函数在区间，内分别有一个极值点，所以在，内分别有一个实根，设两实根为（），则，且．于是，且当，即，时等号成立．故的最大值是16．
（II）解法一：由知在点处的切线的方程是，即，因为切线在点处空过的图象，所以在两边附近的函数值异号，则
不是的极值点．
而，且
．
若，则和都是的极值点．
所以，即，又由，得，故．
解法二：同解法一得
．
因为切线在点处穿过的图象，所以在两边附近的函数值异号，于是存在（）．
当时，当时，；
或当时，当时，．
设，则
当时，当时，；
或当时，当时，．
由知是的一个极值点，则，所以，又由，得，故．
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