2020届重庆市第八中学高三第四次月考（12月）数学（理）试题
一、单选题
1．已知集合，则（）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】直接通过解不等式求出.【详解】
解：集合，故选：C.【点睛】
本题考查集合补集的运算，是基础题.2．若复数是纯虚数，其中是实数，则（）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由纯虚数的定义可得m＝0，故，化简可得．
【详解】
复数z＝m（m+1）+（m+1）i是纯虚数，故m（m+1）＝0且（m+1）≠0，解得m＝0，故z＝i，故i．
故选：B．
【点睛】
本题考查复数的分类和复数的乘除运算，属基础题．
3．设数列前n项和为，已知，则（）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】利用得出，先求出，再利用递推式求出即可.【详解】
解：当时，整理得，又，得，得，得，故选：C.【点睛】
本题考查数列递推式的应用，是基础题.4．设，若双曲线的离心率为2，则双曲线的离心率为（）
A．2
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】先通过的离心率求出的关系，利用的关系进一步可求出的离心率.【详解】
解：对于有，得，对于有，得，故选：B.【点睛】
本题考查双曲线离心率的计算，是关键是找到的关系，是基础题.5．已知函数，则（）
A．的图像关于直线对称
B．的图像关于点对称
C．在单调递减
D．在上不单调
【答案】B
【解析】观察函数的特点，求出定义域，在定义域内根据选项代入特殊值判断函数的对称性和单调区间，再进一步证明.【详解】
解：，得函数定义域为，，所以，排除A；，排除C；
在定义域内单调递增，在定义域内单调递减，故在定义域内单调递增，故排除D；
现在证明B的正确性：，所以的图像关于点对称，故选：B.【点睛】
本题考查函数的基本性质，定义域、单调性、对称性，是中档题.6．已知向量，若，则向量与向量的夹角为（）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】由向量平行的坐标运算得到参数值，再根据得到两个向量垂直.【详解】，因为，所以，解得，当时，所以向量与向量的夹角为．
故选D
【点睛】
这个题目考查了向量平行的坐标运算以及向量点积的坐标运算，向量的两个作用：①载体作用：关键是利用向量的意义、作用脱去“向量外衣”，转化为我们熟悉的数学问题；②工具作用：利用向量可解决一些垂直、平行、夹角与距离问题.7．过点作圆与圆的切线，切点分别为A，B，若，则的最小值为（）
A．
B．
C．
D．5
【答案】B
【解析】通过切线长定理得出点在线段的垂直平分线上，求出线段的垂直平分线方程，代入点坐标，进一步代入，利用二次函数的性质求其最小值即可.【详解】
如图：
由圆的切线的性质：，又，所以点在线段的垂直平分线上，的垂直平分线为，即，点在，所以点的坐标满足，的最小值为，故选：B.【点睛】
本题考查圆的切线问题，关键是将目标式转化为一个变量的函数，求函数的最值即可，难度不大，考查了学生的计算能力.8．已知函数的图象经过点，且的相邻两个零点的距离为，为得到的图象，可将图象上所有点（）
A．先向右平移个单位长度，再将所得点的横坐标变为原来的，纵坐标不变
B．先向右平移个单位长度，再将所得点的横坐标变为原来的，纵坐标不变
C．先向右平移个单位长度，再将所得点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变
D．先向右平移个单位长度，再将所得点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变
【答案】A
【解析】由题意可知，，∵，∴，∵，∴，可得：，∴将的图象先向右平移个单位长度，再将所得点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到的图象，故选A.9．A，B，C，D，E，F六名同学参加一项比赛，决出第一到第六的名次.A，B，C三人去询问比赛结果，裁判对A说：“你和B都不是第一名”；对B说“你不是最差的”；对C说：“你比A，B的成绩都好”，据此回答分析：六人的名次有（）种不同情况.A．720
B．240
C．180
D．128
【答案】C
【解析】根据裁判所说，AB不是第一，B不是第六，C比AB成绩都好，对C的名次分类讨论求出结果.【详解】
C比AB成绩都好且AB不是第一，所以C不可能是第六，第五，当C是第四名时，B只能第五，A只能第六，共种；
当C是第三名时，共种，当C是第二名时，共种，当C是第一名时，共种，综上：总共种，故选：C.【点睛】
本题考查分类计数原理，重点要理清裁判的话，进行分类讨论，是中档题.10．若函数在区间最大值是M，最小值是m，则（）
A．与a有关，且与b有关
B．与a有关，但与b无关
C．与a无关，且与b无关
D．与a无关，但与b有关
【答案】B
【解析】设，则，则，结合二次函数的图象和性质，设函数在处取的最大值，在处取的最小值，且，则，即可得到答案
【详解】
解：设，则，∴，设函数在处取的最大值，在处取的最小值，且，，∴与a有关，但与b无关，故选：B．
【点睛】
本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解答的关键．
11．已知水平地面上有一篮球，球的中心为，在斜平行光线的照射下，其阴影为一椭圆（如图），在平面直角坐标系中，椭圆中心O为原点，设椭圆的方程为，篮球与地面的接触点为H，则的长为（）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】在平行光线照射过程中，椭圆的短半轴长是圆的半径，球心到椭圆中心的距离是椭圆的长半轴，过球心向地面做垂线，垂足是，得到一个直角三角形，可得要求的结果．
【详解】
解：在照射过程中，椭圆的短半轴长是圆的半径，由图，由是中点故有球心到椭圆中心的距离是椭圆的长半轴，过球心向地面做垂线，垂足是，在构成的直角三角形中，，故选：B．
【点睛】
本题考查圆锥曲线的实际背景及作用，解决本题的关键是看清楚在平行光线的照射下，投影中和球的量中，变与不变的量．
12．已知从2开始的连续偶数蛇形排列形成宝塔形数表，第一行为2，第一行为46，第三行为12，10，8，第四行为14，16，18，20.如图所示，在宝塔形数表中位于第i行，第j列的数记为，比如，，若，则（）
A．65
B．70
C．71
D．72
【答案】C
【解析】由题意正偶数为等差数列，由图摆放找每一行所放的数，及每一行的数字总数与本数列的每一项的关系即可发现规律
【详解】
解：由图可知，第一行放1个偶数，第二行放2个偶数，第3行放3个偶数…
又因为指图中摆放的第行第列，所以先求第行的最后一个偶数，该偶数小于2020且是最接近的，并且还能成为每一行最后一个数字的，当时，第44行的最后一偶数是1980，又第45行的第45个偶数为1982，利用等差数列的任意两项之间关系可知2020应出在该行的第45-19=26列，故，所以．
故选：C．
【点睛】
本题考查等差数列的通项公式，任意两项之间及项与项数之间的关系，考查学生的观察与分析能力，考查简单的合理推理等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，是中档题．
二、填空题
13．设为直线与圆的交点，则________.【答案】-1
【解析】将坐标代入直线和圆的方程，消去可得的值.【详解】
解：因为为直线与圆的交点，将坐标代入直线和圆的方程得，①，②
将①②得，得，故答案为：
【点睛】
本题考查直线和圆的的交点问题，是基础题.14．已知函数为奇函数，当时，则曲线在点处的切线方程为________.【答案】
【解析】求出时的函数的解析式，计算，的值，求出切线方程即可．
【详解】
解：∵函数是奇函数，当时，不妨设，则，故，故时，故，故，故切线方程是：，整理得：，故答案为：．
【点睛】
本题考查了函数的奇偶性问题，考查求函数的切线方程，是一道中档题．
15．在边长为1的正方形ABCD中，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上，若，则的最大值为________.【答案】3
【解析】根据题意，以A为坐标原点，AB为x轴，AD为y轴建立坐标系，可得A、B、C、D的坐标以及直线BD的方程，进而可得圆C的方程，据此设P的坐标为；由向量的坐标公式可得的坐标，又由向量的坐标计算公式可得，进而可得的表达式，相加后分析可得答案．
【详解】
解：根据题意，如图，以A为坐标原点，AB为x轴，AD为y轴建立坐标系：
则，则BD的方程为x＋y＝1，点C为圆心且与BD相切的圆C，其半径，则圆C的方程为；
P在圆C上，设P的坐标为，则，若，则，则有；，即的最大值为3；
故答案为：3．
【点睛】
本题考查直线与圆方程的应用，涉及平面向量的基本定理，注意建立坐标系，分析P的坐标与的关系，是中档题．
16．在中，D是BC边上一点，，且与面积之比为，则________.【答案】
【解析】根据题意画出图形，结合图形求得的值，再利用余弦定理求得AC、AB的值，最后利用三角形的面积公式求得AD的值．
【详解】
解：中，∠BAD＝∠DAC＝60°，如图所示；；
由余弦定理得，，解得AC＝6，∴AB＝10；
；，解得．
故答案为：．
【点睛】
本题考查了解三角形的应用问题，是基础题．
三、解答题
17．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.（1）求A；
（2）若，求面积的最大值.【答案】（1）；（2）
【解析】(1)已知等式利用正弦定理化简，整理后求出的值，即可确定出角A的大小；
(2)由的值，利用余弦定理列出关系式，再利用基本不等式求出bc的最大值，即可确定出三角形ABC面积的最大值．
【详解】
解：（1）由可得：，由正弦定理可得：
∴，∵，∴，∵，∴；
（2）由（1）知，由余弦定理得，即
∵，所以（当且仅当时取等号）
∴，所以面积的最大值为.【点睛】
此题考查了正弦、余弦定理，三角形面积公式，以及两角和与差的正弦函数公式，基本不等式的应用，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．
18．设等差数列的公差为d前n项和为，等比数列的公比为q，已知，，.（1）求数列，的通项公式；
（2）当时，记，求数列的前n项和.【答案】（1），或，；（2）
【解析】(1)由已知求得公差和首项即可；
(2)，①，②利用错位相减法①−②可得．
【详解】
解：（1）由，则或，当时，；
当时，；
（2）当时，由（1）可得，，则，∴
∴，∴，∴．
【点睛】
本题考查了等差数列的通项公式，及错位相减法求和，属于基础题．
19．已知动圆过定点，且在x轴上截得的弦长为4.（1）求动圆圆心M的轨迹方程C；
（2）设不与x轴垂直的直线l与轨迹C交手不同两点，.若，求证：直线l过定点.【答案】（1）（2）证明见解析
【解析】（1）设动圆圆心为，利用垂径定理列方程即可得轨迹方程；
（2）设，将其和轨迹C联立，得到根与系数的关系，代入，可得的关系，代入，即可找到定点．
【详解】
解：（1）设动圆圆心为，则，化简得；
（2）易知直线l的斜率存在，设，则
由，得，由韦达定理有：，.从而，即，则
则直线，故直线过定点.【点睛】
本题考查了轨迹方程的求法，考查了直线恒过定点问题，考查了学生的运算能力，是中档题．
20．已知函数.（1）若，求k；
（2）确定k的所有可能取值，使得存在，对任意的，恒有.【答案】（1）；（2）k的取值范围是
【解析】（1）先验证不合题意，当，通过导数确定单调性及最值来求得的值；
（2）分，讨论，构造函数，利用导数求其单调性及最值，进而可得k的取值范围.【详解】
解：（1），.若，由，得不符合题意；
若，当时，单调递增；当时，单调递减；
则
令，在单调递增；在单调递减；，则.（2）由（1）知，当时，对于，则，从而不存在满足题意；
当时，，则有.由得，则（舍），.当时，故在上单调速增.从而当时，即.综上，k的取值范围是.【点睛】
本小题主要考查导数及其应用等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、考查函数与方程思想、化归与转化思想，是一道难度较大的题目．
21．已知椭圆与直线有且只有一个交点，点P为椭圆C上任一点，.若的最小值为.（1）求椭圆C的标准方程；
（2）设直线与椭圆C交于不同两点A，B，点O为坐标原点，且，当的面积S最大时，求的取值范围.【答案】（1）；（2）
【解析】（1）设点，利用向量的坐标运算研究的最小值，建立方程，求出的值，即可得椭圆C的标准方程；
（2）设，，将直线与椭圆C联立，可得和，求出点O到直线l的距离，即可求出的面积S的表达式，利用基本不等式，求面积S的最大值，根据最大值的成立条件和前面求出的和，可得点M的轨迹方程，进而可得的范围，将转化为，利用导数研究单调性即可求出的取值范围.【详解】
解：（1）设点，由题意知，则，当时，取得最小值，即，故椭圆C的标准方程为；
（2）设，，则
由得，，点O到直线l的距离，S取得最大值，当且仅当即，①
此时，即，代入①式整理得，即点M的轨迹为椭圆，且点，为椭圆的左、右焦点，即，记，则，从而，则，令可得，即在T在单调递减，在单调递增，且，故T的取值范围为.【点睛】
本题考查直线和椭圆的位置关系，考查根与系数的关系的应用，考查最值问题，难度较大，对计算能力要求较高，考查了学生综合分析问题的能力.22．在直角坐标系中，曲线的参数方程为（t为参数，），以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.点.（1）写出曲线的普通方程和参数方程；
（2）曲线交曲线于A，B两点，若，求曲线的普通方程.【答案】（1）曲线的普通方程为：，参数方程为：（为参数）；（2）曲线的普通方程为：或
【解析】（1）利用，将极坐标方程化为普通方程，进而可化为参数方程；
（2）曲线的参数方程代入曲线的普通方程，利用根与系数的关系列方程求出的值，进而可得曲线的普通方程．
【详解】
解：（1）
所以，曲线的普通方程为：
曲线的参数方程为：（为参数）
（2）将曲线的参数方程为代入曲线的普通方程为：
得：
或
所以曲线的普通方程为：或
【点睛】
本题考察极坐标方程和普通方程的互化，普通方程和参数方程的互化，考查了直线参数方程的应用，是基础题．
23．已知.（1）求不等式的解集；
（2）的最小值为M，，求的最小值.【答案】（1）或；（2）
【解析】（1）将，求出的范围，进而可得的范围；
（2）首先求出的最小值，即可得的值，利用柯西不等式和基本不等式求的最小值.【详解】
解：（1）∵，不等式的解集为：；
（2），所以，.【点睛】
本题考查解绝对值不等式以及柯西不等式和基本不等式的应用，是中档题.
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