概率论与数理统计教学模式初探

第一篇：概率论与数理统计教学模式初探

概率论与数理统计教学模式初探*

许丙胜 施庆生 陈晓龙

(南京工业大学 理学院 江苏 南京 210009)摘 要: 本文作者在长期教学实践中摒弃灌输式教学方式，从引导学生兴趣入手采用启发式教学，注意数学模型的建立与求解, 培养学生应用数学的能力和创新意识，灵活使用多媒体等教学手段，取得了良好的教学效果。

关键词: 概率统计 兴趣 启发式教学 创新

Abstract: During the long teaching experience, the authors of this paper abandon the inculcation method, begin with stimulating students interest, apply the heuristic teaching, focus on the mathematical models and problem solving in order to develop students mathematical abilities and skills on its applications and renovations and utilize flexibly teaching methods such as multimedia, acquiring the good effect.Keywords: probability statistics, interest, heuristic teaching, renovation 《概率论与数理统计》是在理工、农林、医卫、经济管理和人文各专业领域内有广泛应 用与重要实践意义的一门数学基础课,它在科学技术与人类实践活动中正在发挥着越来越大的作用和影响,从而引起大家的重视。但是目前教师的授课都普遍存在着重理论、轻应用,缺少这门课程本身的特色及特有的思想方法,造成学生在学习掌握这门知识的过程中普遍感到概念难懂,思维难于开展,问题难于入手,方法难于掌握。针对这一现象,在教学中,我们认真钻研教材,调整教学实例,从引导学生兴趣入手采用启发式教学，注意数学模型的建立与求解, 培养学生应用数学的能力和创新意识，取得了良好的教学效果。（本文作者参加了南京工业大学《概率论与数理统计》精品课程建设的教学改革项目）

一、注重学生学习兴趣的培养 诺贝尔物理学奖获得者杨振宁说:“成功的真正秘诀是兴趣”。学习是一种相当艰苦的劳动,如果能借助兴趣这位最好的老师,增强求知欲,学生就会表现出“我要学”的主动学习，而不是“要我学”的被动学习；因此,教师在教学中引入概念，介绍背景，讲解例题时若能恰当的引入问题并进行利用，则能极大地激发起学生的学习兴趣。

概率统计是数学的一个分支，有着数学的所有特点：理论、逻辑体系和许多概念，因此使学生觉得抽象、枯燥，但它来源于生活，所以在教学中很多问题的引入，都可以结合实际问题，结合介绍问题产生的背景。例如,在概率统计的第一次课介绍它的起源时,可以从下面的小故事开始:在17世纪的欧洲,一天,甲、乙两名赌徒在街上赌博,他们各拿出相同数目的钱放在一起作为赌注,用掷骰子的方法决定胜负,五局三胜者赢得全部赌注,然而,赌博是违法的,当甲胜两局乙胜一局时,发现警察向他们走来,于是两人匆忙决定按目前胜负情况2:1分配赌注(即甲拿2/3,乙拿1/3),然后各自走散,这个场面刚好被年青的数学爱好者巴斯加看到,并引起他的思考,他认为这样的分法表面上是合理的,而实际上是不合理的;经过深入分析,他得出结论,他把他的想法及结论写信给当时著名的数学家费马,得到了他的充分肯定和赞扬。由此问题,人们开始注意到一些带有偶然性的事件,它发生的可能性的大小,也带有数学规律,从对这些规律的探讨中逐步形成了一个新的数学分支——概率统计,目前这个理论已有了广泛的应用。两个赌徒分配赌注的方法是否合理？如果不合理的话, 那么应该怎么分呢？谁亏了呢?对于这个问题,学生非常感兴趣,这样从一开始就激起了学生的兴趣,并使他们产生要探索是甲亏还是乙亏的欲望,进而产生要学好这门课的欲望。在学到古典概率 *本文得到南京工业大学《概率论与数理统计》精品课程建设基金资助 计算时,让学生们自行去解决上面提到的小故事中甲、乙最终赢全局的概率,同学们兴趣盎然,相互讨论，思索,我们不时地加以分析引导,很多同学都能得出正确结果:甲赢全局的概率为3/4,而乙赢全局的概率为1/4,即故事中的分钱法对甲是亏的。通过这个例子还让学生感到:概率统计课程不但有趣而且他们经过研究,还能自己得出结论,解决一些实际问题,从而树立起学好这门课程的信心。在讲条件概率时,再一次利用以上小故事提出问题,如果没有在前三场比赛中甲先赢两场的条件,那么甲、乙赢全局的概率是相等的,都为1/2,从而引出一个事 件在有没有条件下的概率可能是不同的,这样很自然地引出了条件概率的概念及研究它的必要性。

类似的问题还有“甲、乙、丙三名学生参加考试，采取抽签的方式从 6 套难题和 4 套易题中抽取一套，抽签次序为甲先乙次丙最后，问甲、乙、丙三名学生抽到难题的可能性各有多大？这样的抽签次序是否合理？”和“现在到处可见的彩票（福利彩票、体育彩票等）吸引了很多的人，并且也不时的有人中了大奖，使得很多人争相购买，彩民以什么心态去购买？中奖的可能性有多大？自己编号到底有没有依据和作用？”等等。另外，讲到相关内容时要注意挑选具有趣味性的例题，概率统计来源于实际生活,它本身是一门极具趣味性的科学,有着大量贴近生活，兴趣盎然的实例,但目前大部分教科书都未注意选择这样的例子（我校施庆生等老师编著的《概率论与数理统计》在这方面作了一些有益的尝试）,如果教师照着教科书的例子讲,必然不能引起学生的兴趣；因此,教师必须注意积累，精心挑选要讲的例题,我们挑选的例题基本上都是实际问题,如生活中抓阄问题的合理性,顾客等候服务时间问题,需设多少个服务员能获得最大收益问题,可靠性问题等等;在讲全概率公式的概念、证明、计算时,我们举出以下例子:如果你是一公司经理,公司有四条流水线生产同一产品,它们生产的产量分别占总产量的15%、20%、30%及35%,根据以往经验它们生产的产品不合格率分别为0.05、0.04、0.03及0.02,一个很实际的问题是,你如何得知这批产品的合格率？通过这个例子的分析很自然地引出划分、完备事件组的概念及全概率公式和其证明的整个思路走向。再用此例子引出逆概率（贝叶斯）公式；作为管理学来说,生产产品的质量应与经济利益挂钩,质量好的应奖励,质量差的应惩罚。为此,生产的产品应标上生产者的编号以利于奖罚,如生产一件次品罚款10元,现发现有一次品的生产者的编号已脱落,你应怎样对这4条流水线罚款才合情合理?这是一个常见的管理性问题,现在的大学生经济意识极强,对此类问题很感兴趣。但大部分学生不知如何下手,通过分析、讲解,学生渐渐明白要使罚款合情合理,就要知道在已知一产品为次品的条件下,求这一产品是第i(i=1,2,3,4)条生产线生产的概率,通过求这条件概率引出要讲的逆概率公式及其计算方法。这种从解决实际问题入手引出知识点的教学方法引起了同学们的极大兴趣.二、优化教学过程—－改革创新教学方法和教学媒体

过去各院校进行概率论与数理统计教学,大都采用“一支粉笔、一块黑板、以讲授为主的方法”,教学方法和教学媒体单一,显然不利于人才综合素质和创新能力的培养,不利于推进创新教育。要真正建立起先进、科学的创新教学模式,只有通过系统优化教学设计,针对不同的教学内容,采取各种有效的教学方法,并借助于现代化媒体技术,进行不断改革创新。

1、坚持以启发诱导为核心,经常和学生一起讨论，加强和学生的交流，引导学生积极主动开展思维活动

采用“启发式”和“讨论式”教学方法,培养学生的学习兴趣和求知欲，教师的“一言堂”往往引起学生的思维疲劳、反应迟钝。因此,应该选择适当的内容,充分利用“启发式”和“讨论式”教学方法。美国著名数学家哈尔莫斯说过:“最好的教学方法不光是讲清事实,而应该激励学生自己去思索,自己去动手”；“启发式”教学方法旨在启发学生独立思考,积极思维、融会贯通地掌握知识,提高分析问题、解决问题的能力。教师要善于启发和诱导,调动学生学习的主动性,培养学生的学习兴趣和求知欲。朱熹说:“读书无疑者,须教有疑,有疑者,却教无疑,到这里才是长进”。例如,“相互独立”和“互不相容”是概率论中两个重要概念，初学者往往错误地认为“相互独立”必“不相容”,“不相容”必“相互独立”；为了使学生对这两个概念理解透彻,可引导学生自己去比较两概念的区别；通过学生对定义和含意的比较,最后列表得出二者的区别；随后,给出两个例子进一步说明两个概念的区别。

例1(相互独立的两个事件未必是不相容的)盒子里装有m只白球,k只黑球,做有放回的摸球试验,A表示“第一次摸到黑球”,B表示“第二次摸到白球”；则A和B是相互独立但不是互不相容的。

例2(不相容的两个事件未必是相互独立的)52张扑克牌平均分给甲、乙、丙、丁四个人,A表示甲得3张K,B表示乙得两张K；则A与B互不相容但不相互独立。

这样,通过对两个概念的深入讨论,使学生基本上能够明确区分两个概念之间的区别与联系,这时的理解,是经过一番思维活动探索得来的,理解透彻、记忆就牢固,掌握得就比较扎实灵活。

比起启发式,课堂讨论式更能培养学生强烈的求知欲和钻研精神。例如,解决古典概型问题的重要基础是排列组合及加法原理、乘法原理,对于这些原理的运用可通过例子,组织学生采取讨论式加以解决。

例3 从5双不同的鞋子中任取4只,这4只鞋子中至少有两只鞋子配成双的概率是多少? 通过学生们的讨论,集思广益,得出七种解法

[3]。通过学生们的讨论,使学生对一些重要的概念比如逆事件的概率、乘法原理、加法原理等均加深了理解，课堂气氛活跃,使学生保持较长时间的注意力和浓厚的兴趣。同时,由于讨论的不可预见性,教师往往还会遇到预料不到的新问题,这又反过来促进教师,对教师提出了更高的要求，起到了教学相长的效果。

2、突出以学为主,紧紧围绕学的需要组织教学，具体实施了随机实验和多媒体CAI等新的教学方式方法

随机实验,是通过事先设计的某种试验,对随机现象的一些观察数据进行分析处理,建立各种概率、统计模型,对随机现象进行描述和研究的方法。该方法是概率论与数理统计学科研究的重要方法,在教学中运用该方法,可以帮助学生学习和理解相关理论。我们在教学中创设三类随机实验:第一类是物理操作性实验,主要借助于一些物理工具进行实验操作,描述随机现象，如高尔顿实验板,该实验过程本身非常简单,呈现的结果直观形象,但其中包含的有关理论知识非常丰富,可用来完成三个理论问题的教学:一是随机事件在大量重复试验中呈现出的频率稳定性;二是n重贝努里试验中成功次数服从二项分布;三是德莫佛――拉普拉斯中心极限定理。这些理论对学生来说,既复杂又抽象,不易理解和记忆,是教学的难点。利用高尔顿实验,给学生带来了新鲜感,激发了学生学习的兴趣,加深了对理论的理解和记忆,培养了学生的观察能力和用所学理论解释实际随机现象的能力；第二类是统计操作性实验,是以统计抽样检验为主的一类实验方法。我们在置信区间估计和t检验等内容教学中创设了相应的抽样实验进行教学；第三类为计算机模拟实验,是针对不能建立明确概率模型的复杂随机现象,通过计算机模拟“直接”描述的实验方法。如Monte Carlo方法,把一般随机变量、随机事件、随机过程在计算机上的描述,归结为均匀分布随机变数的模拟,通过编程在计算机上实现。针对过去教学媒体单一的情况,我们积极运用以计算机为核心的现代教育技术,改善教学手段,改进教学方式。包括两种类型,一类是计算机统计软件包，根据教学中大量的统计计算和模型分析的需要,采取引进和开发相结合的办法,配备了相应的统计软件包,用于辅助教学，如针对Buffon投针试验,我们自行开发了相应的程序辅助计算的数值;针对常用统计分析需要,我们引进了SAS统计程序；另一类是多媒体教学课件，我们制作了该课程的全程多媒体课件,用必要的图形、声音、图像等多种媒体结合起来,表达重要的教学内容,非常形象、直观。在教学中,教师边讲、边提问、边演示、边运算,学生边听、边看、边想、边回答,便于组织,促进思考,气氛活跃,达到了辅助教学的目的。如我们在讲解连续型随机变量的数字特征时,教学中既有板演推理,又有幻灯片的形象展示。当讲到相关系数时,伴随着打字机的声音大量的随机点散落在大屏幕上,一条直线伴着激光枪的声响射到了随机点中间；这种生动形象的表现手段,增加了教学的趣味性,使学生对两个随机变量的相关性及曲线相关有了一个直观的认识,对两个随机变量相关系数的理解更加准确。

三、融入数学建模

随机现象在现实生活中无处不在，比如降雨概率，晾晒指数，体育彩票，各种保险与投资等问题，都需要将实际问题数量化，然后对研究对象进行抽样，处理抽样结果，最后对研究对象作出判断，以此解决问题，旨在培养学生利用数学工具分析解决实际问题的意识和能力，也就是培养建模能力。

例如，保险机构是较早使用概率统计的部门之一，保险公司为了恰当估计企业的收支与风险，需要计算各种各样的概率。下面是赔偿金的确定问题：

据统计，某年龄段的健康人在五年内死亡的概率为p0.002,保险公司准备开办该年龄段的人寿保险业务，预计有2500人参加，条件是参加者需交保险金12元，若五年之内死亡，公司将支付赔偿金b元（待定），便有以下几个问题：

（1）确定b，使保险公司期望盈利；

（2）确定b，使保险公司盈利的可能性超过90％；（3）确定b，使保险公司的期望盈利超过1万元；

（4）确定b，使保险公司盈利超过1万元的可能性大于95％；

（5）若b=2000元，确定公司盈利的期望值和盈利都超过2万元的可能性；（6）若b=2000元，预使公司盈利20万元时，每位参保者至少需要交保险金多少元？（7）若b=2000元,预使公司盈利的可能性大于99％时，每位参保者至少需要交保险金多少元？

[4]

这一系列问题的解决需要综合运用概率统计知识，给出这样的案例分析题，组织讨论课，通过这一环节加深学生对教学内容的综合性、应用性和创意性的理解、归纳和整合，将有利于增强学习氛围，活跃课堂，激发情绪，开发思维，有利于个人素质和协作能力的培养。

参考文献：

[1] 施庆生，陈晓龙，邓晓卫：概率论与数理统计课程的教学改革与实践，南京工业大学学报（社会科学版），2004年第3期

[2]陈晓龙，施庆生，邓晓卫：概率论与数理统计[M].南京:东南大学出版社,2003.[3]章子霞,彭晓华：概率论与数理统计习题解答[M].徐州:中国矿业大学出版社,1992.[4]李裕奇：概率论与数理统计[M].北京:国防工业出版社,2001.[5]吴群英：《概率统计》课程中采用兴趣与启发式教学,广西高教研究,2001年第3期

第二篇：概率论与数理统计教学浅谈

概率论与数理统计教学浅谈

国内多数高校工科本科生都开设了概率论与数理统计这门课程[1-2]。该课程无论是在经济、管理、力学、军事科学等众多学科和实际生活中都有广泛的应用，而且是控制、计算机等一些专业课的基础课。但是作为一门数学专业课，学习有一定难度，如果不注意教学中的方式方法，容易让学生感到枯燥难懂，失去学习兴趣，影响教学效果。因此，当对工科学生讲授这门课程时，应尽可能丰富教学方式，让学生多了解这门课的实际意义，并更多地亲身参与到教学当中。本文就此问题，结合笔者的教学经验做几点探讨。

启发式教学

概率论与数理统计课程中有较多的公式推导，如果单纯采用板书或ppt推导的方式进行授课，学生很容易会感到枯燥乏味，教学效果不好。因此比较好的方式是逐步启发学生思考问题，让学生跟随老师的思路一步一步进行思考，由此体验在老师的帮助下自己解决问题的成就感。

以几何概型部分的布丰投针问题为例。公元1777年的一天，法国科学家布丰邀请很多朋友一起做了一个实验：纸上预先画好了一条条等距离的平行线。接着他又抓出一大把原先准备好的小针，这些小针的长度都是平行线间距离的一半。把这些小针一根一根往纸上扔，记录了所有人的投针结果，共投针2212次，其中与平行线相交的有704次。总数2212与相交数704的比值为3.142，即π的近似值。这是古典概型的经典应用。在课堂上，在古典概型部分的最后讲解这个例子，让学生把所学知识应用到实际当中，体验数百年前科学家的思想。首先让学生考虑将这个实验抽象成数学问题，大致可以总结成为：设平面上画着一些有相等距离2a（a&0）的平行线，向此平面上投一枚质地匀称的长为2l（l

在教学中增加互动

除了采用启发式教学，让学生在老师的提示下独立思考外，在课堂中设置一些互动，让学生亲身参与其中也有利于让学生更深刻体会教学内容。

例如，曾在美国多次引起大范围讨论的三门问题[3]。该问题亦称为蒙提霍尔问题，出自美国一个电视节目。有三个门，其中两个门后面是羊，一个门后面是汽车，参赛者选中其中一个门后，主持人开启剩余两扇门中一个后面是羊的门，此时参赛者可以选择换另一个门。主持人是知道每个门后面的情况的，那么参赛者选择换门是否可以增加得到汽车的概率？答案是肯定的，如果参赛者不换门，得到汽车的概率是1/3，而换门后得到汽车的概率是2/3。大多数人直观的感受是换门与不换门的结果不应该有区别的，即各有一半的概率。因此本问题是数学上直观感受与理论分析明显不相符的一个有代表性的问题。而且本问题可以从概率论的多个角度去分析，如可以采用穷举法、古典概型的基本算法或条件概率等不同的角度验证。因此有利于学生展开大范围讨论并结合概率论中的多种知识去思考，让学生熟练运用以前学过的知识。

而且，在讨论结束后，本问题可以很容易地通过实验来验证。可以找学生进行模拟实验，比如选择两黑一红三张扑克牌，抽到红色牌算是中奖，模仿三门问题的抽奖过程，如此反复进行实验30-50次并统计结果，即可明显看出换牌与不换牌中奖概率的差别。在这方面类似的问题如三张卡牌的骗局等等不再赘述。如此让学生从多方面参与到教学当中，有利于学生集中注意力，并可以调动学生学习的主观能动性。

采用案例教学方法

概率论和数理统计的知识在生活的各个角落都可以找到应用，让学生了解这一点对引发学生的学习兴趣有很大帮助，而且有利于帮助学生将课堂学习的知识真正应用于实际的生产生活中。因此采用案例教学方法，在教学中采用与实际生产生活紧密联系的例子有助于提高教学效果。

例如，著名的美国橄榄球运动员辛普森杀妻案的庭审中，就在很多处与概率论和数理统计的知识有重要关联[4]。例如，在庭审最初阶段，控方反复强调辛普森曾有家暴现象，因此有杀妻的动机。而辩方的律师引用数据显示，有家暴的男性中，最终杀妻的比例不足1/2500。但是，如果仔细思考这个问题就会发现，辩方的论据与实际问题是不相符的。辩方所说的是丈夫有家暴前提下杀妻的概率，而实际的问题应该是：在丈夫有家暴且妻子死于谋杀的前提下，妻子是被丈夫所杀的概率。通过当时的数据统计显示，有43位被家暴且被谋杀的女性，其中40人是被丈夫所杀，即丈夫有家暴且妻子死于谋杀的前提下，妻子是被丈夫所杀的概率高达93%！这就是一个标准的条件概率问题，尽管算法并不复杂，但是认清条件和事件是问题的关键。

另外，尽管众多证据显示辛普森是凶手的可能性很大，但是由于本案仍有一些疑点显示辛普森也存在被人陷害的可能，根据美国法律疑罪从无的思想，辛普森最终被判无罪释放。这是本案最终受到大量争议的关键之一。而这种疑罪从无的思想，与数理统计中假设检验中降低受伪错误的思想是类似的。既然在已有条件固定情况下，受伪错误（将无罪的人判为有罪）和去真错误（将有罪的人无罪释放）不可以同时降低，那么如果为了保护人权想尽可能降低受伪错误，那么有较高的去真错误也就无法避免了，美国法律即是如此。假设检验的理论是比较难以理解的，因此在理论讲解中引入类似的实际案例进行类比，有助于学生较快的理解。

结语

综上所述，概率论与数理统计课程在工程和生活中的实用性较强，对工科学生普遍开展本课程有重要意义。但是本门课在很多部分较难理解，有必要采取多种方法激发学生的学习热情，并让学生学习将这门实用性较强的课程真正与实际生活联系起来，从而提高学习效果。

第三篇：概率论与数理统计

概率论与数理统计，运筹学，计算数学，统计学，还有新增的应用数学，每个学校情况不太一样，每个导师研究的方向也不太一样。看你报的哪个学校了~~ 赞同

数学的方向还是比较多的，比如金融，计算机，理科的方向 赞同

参看08年该校硕士招生简章中的专业目录及参考书目，先做到心里有数 09年的在08年7、8月份才能出 每年新的招生简章都是在上一年的研究生招生录取工作结束之后才能公布的 所以不要急 最早也要等到7月份 现在不要急 先按照08的看 一般两三年之内不会有什么变化 即使有 也是在原有基础上 增加或改动一两本参考书的版本 不会有实质性的变动 而且 你如果现在就开始准备考研复习那就算比较早的了 一般从暑假开始复习就可以的 所以这个时期是基础段复习可把精力主要放在英语上 强化英语考研词汇是非常必要的 至于专业课 可以先按08的指定参考书初步复习等新的招生简章出来 再进行有针对性地复习不用担心万一改动了我会不会白白看了 以一个过来人的经验 知识储备的越多越好 名校的试题往往不局限于指定参考书的范围（楼主既然这么问了，这要好好慢慢的回答）

建议楼主考清华的经济学研究生，清华的工科类要强于北大（个人意见）；2，清华现在要考考A版的数学对你的有点好处，但影响不大，复试对你有利。3，清华的专业课考的难都因人而异，初试复试考一样的专业课,包括金融学（含国际金融、证券投资、投资市场、保险精算等，本专业所招人数最多）、国际经贸（研究生阶段叫做世界经济）、西方经济学、财政学、政治经济学专业;报考时可以随意报考自己喜欢的专业，录取时先全院统一录取（按分数高低），再按分数与志愿选择；专业课考的不是很难；（建议楼主去看下金融学基础，复旦大学出版社简称白皮书，或许对你有帮助）4，清华经济就业形势就目前环境下就业非常棒，中国才处于开始阶段，每年毕业生到各大银行、金融机构、保险机构、证券公司、财政货币机关、国家机关及高校任职，待遇非常之高！

网站，你可以试试去这里看看。在页面中部的对话框输入学校或专业就可以任意查。在这里，你还可以查到任意学校的招生简章，复习指导，网上报名及其它重要信息。全国各校公布分数线的时间也在这里最早发布。你可以试试，相信不会让你失望。。

因你是转专业，再给你一点个人建议吧

一、慎重选择：不要轻易下决定

不断地学习不同领域的知识，是所有有求知欲的人们的美好愿望，然而，这同样会成为朝三暮四的借口。

其实，很多考研人本来就存有逃避现实社会的压力，而选择继续呆在学校的心理;而在跨专业考研的人中，更有许多人根本就没有好好学过原来的专业，甚至从没认真考虑过是否自己适合它，只为了逃避，才选个看起来容易的专业去考。

如果是这样，请先停下来想想自己到底想要什么再说。因为一颗对待生活从不认真的心，是不会因为换了个专业就能有起色的。

如果不是这样，那么，也请三思。就因为一直认真，这次更要谨慎。

首先，考研复习将是艰巨的历程。隔行如隔山——这句古谚将贯穿之后的整个求学过程。自己原来的专业，再不济也学了三四年，耳濡目染，基础知识一定比没学过的扎实，细节也许没钻研，但大的格局和概念、思维方式是存在于脑海中的，即使是每次考前一个月的突击，突击了四年，也不是没有用的。这就是本专业对于外专业的一大优势。反过来，即是跨专业者相对于本专业者的劣势。

复习的时候，要花更多的时间在专业课上，使得基础课很容易就被搁置了，而任何一科的掉队，都会影响整个复习过程的心态和考试结果。

其次，备考中可能出现意想不到的困难。

不熟悉专业试题的答题惯例，会莫名其妙丢掉不该丢的分。而且，笔试通过了，复试中存在的不确定性因素，使跨专业者总是难以拥有“尽在掌握”的自信，而它确实也是难以“尽在掌握”的。

最后，也是最重要的，考上之后三年的研究生生活。

不管是面对基本功扎实的同学们，还是面对有一定要求和标准的导师，还是面对也许让自己一时找不到坐标点的新求学生涯——如何给自己定位，如何重拾自信，如何建立对新专业的“新感情”，如何规划以后的职业和人生，这都是需要付出比别人更多心力去克服的问题。所以，是否要转变方向，换一个专业，需要尖锐严格地审视自身，而不是盲目跟风，可以考虑以下几点：

是否真正热爱将要为之付出心血的新专业?

长远来看，这个新领域是否有自己的天赋和性格发挥的空间?

是否可以肯定学习三年之后真能丰富完善自己的知识结构，而不是剃头担子两头塌?最后也是最基本最当前的问题：基础课是否有自身优势?没有优势怎么拨得出更多的时间给专业课的复习?

二、审时度势：了解自己，踏实去做

经过了自我的拷问，还坚定地要跨专业考研的朋友——相信你一定是个头脑清醒、梦想坚定的人。

在此，我们不得不再次强调跨专业考研的理由和标准：第一，热爱;第二，基于对自身才智和优势短处进行全面评估而做出的决定;第三，要自信，更要不怕苦不怕累。

可以举个例子。一个在学校并非不认真对待自己学业的考研人，在经过四年的学习之后，发现仍然不喜欢自己所学的数学专业，而爱好文史哲。如果基础课英语政治还不错，那么他就具备了考虑跨专业考研的最低要求。那么，接下来怎么确定专业呢?首先，看爱好。对新闻传播、考古、文学皆有兴趣，怎么办?一个一个排除。对于新闻，多搜集资料，看作为一个新闻工作者需要什么样的素质，比如，敏锐的新闻感、强烈的争取和参与意识、健康的身体。直面自己的优缺点，如果有敏锐的新闻感，却没有强烈的争取和参与意识，甚至都无法面对需要长时间的工作强度，那么放弃。对于考古，作同样评估;另外，如果这时你的父母亲反对你的考古梦想，请把他们的忧虑考虑进去，一意孤行并不可取，要考虑到家庭的实际情况;并且，父母也是了解你的人，他们对你的性格、天分其实很了解。那么如果你认为父母意见的可接受性大过你对于考古的热忱，考古这一项，也被划去。最后剩下文学，如果经过一系列评估，觉得可行，那么它之下还有很多专业细分，是中国文学还是世界、比较文学，是古代文学还是现当代文学?要根据自己平时看书的偏好、积累的多少、考试试题能否应付等等内在和外在的因素来决定。这些将和下一部分联系起来谈。

这只是一个例子，跨专业的方向转变五花八门，几页纸不可能描述详尽，我们只能通过这个例子，了解一下需要考虑和平衡的各方面因素。

当然，请牢记，内心的热爱和对自己学习能力的自信在选择中最为重要。有了这两点，相

信你的选择会是对你而言最好的选择。这将是一个美丽的决定，决定之后，一定有云开见日的感觉。方向确定了，就朝着那儿毫不回头地走吧。

三、报考准备：眼观六路，耳听八方

让我们直接进入主题。

第一，细分专业和学校，确定报考目标。一定要看自己喜欢哪个城市，既然想借助这次的考研改变现状开始一段新的求学历程，一直想去哪个(或哪些)城市念书就不要将就。圈出大致范围，再找到那里学校的招生简章、专业招生表——网上查找或动用一切关系。特别要注意的是，你有意向的专业是否拒绝跨专业考生。在进行认真细致的对比之下确定两到三个你想去的名校和你喜欢的专业。这一步可以和前面确定城市同时进行，每个人情况不同，自行制定每一步适合自己的计划是必要的，而且能从中得到极大的充实感，总之，它让我们感到：一切都在自己的控制之下。

然后，尽可能地多找一些这几个可选学校可选专业的历年试题，仔细研究，看看哪一类的试题自己更有把握。这一步至关重要，这一步不可省略也不可推后，它将直接影响到以后的考试发挥。经过这一步，学校和细分专业几乎都能定下来了。

这一阶段什么时候进行呢?越早越好。我们不提倡把战线拉得太长，真正有效的复习从4月到次年1月足矣;然而跨专业不同，需要“酝酿”。可以不用过早开始真正的复习，但至少要比别人早两个月到半年开始寻找学校、涉猎与新专业相关的期刊、书籍、寻找对于新专业的亲近感和对于新学校新未来的向往感——这是真正复习开始的前站，用这段时间弥补跨专业的不足，在真正的战役打响时，我们将更加坚定更有信心。

第二，专业课教材到位。前面把工作真正做到细致，4月份到5月份一定要定下最终要考的学校和专业。定下之后，就要相信自己的判断，不要犹疑，快去买专业课教材!按照学校列出的书目买全专业课教材，还要找出一两个能帮上忙师兄师姐、找同学、找亲戚，甚至找网友去打听没有列出的那些。

这里有两个问题：买书和找师兄师姐——自己能买到的书，尽量自己去买，有学校可以邮购，有书店可以搜寻，再不行，去图书馆系统或网上找出这本书的出版社，找到出版社电话，打电话、汇款去邮购。不要一开始就事事麻烦别人，自己能解决的自己找渠道解决。后面有更重要的事去麻烦他们。实在不行了，去找师兄师姐，最重要的是问题要明确。随便说：“我要考你们学校某专业，请帮助我”是没用的。要明确说出你的具体问题，要考哪些书，重点看哪些泛读看哪些，打听到哪里能买到自己却没办法，请他们帮忙——听到这么明确的问题，人人都会乐意帮忙。6月底之前，主要的专业课教材一定要到位。

第三，复习时要注意的问题。

首先，基础课不能偏废。前面说了，基础课要有一定把握，才可能跨专业考研，否则到关键时刻就会感到分身乏术。在主攻专业课时，基础课一天都不能停。可以用早晨、吃午饭前、吃晚饭前以及睡觉前的时间去复习英语：阅读、单词、听力，一个都不能少。如果每天坚持，就是这些边边角角的时间都足够英语的复习准备。政治也一样，最好报一个秋季班，几个月上下来，有老师领着复习，比自己摸索更有效率，大致的知识脉络也会清晰起来了。请相信自己，从初中就开始学的这门课，不会差到哪里去，但也要在心里培养对它的兴趣，一讨厌它、搁置一段日子，一切都晚了;反过来，每天花两个小时，只要坚持，就会既轻松又有成就感。

跨专业考生往往把一腔热情放在专业课上，有意无意地就偏废了基础课，等发觉时间紧迫的时候，回头一看基础课落下一大截，这会大大影响后面冲刺和考试的信心。

其次，专业课复习。11月份报名之前一定要把专业书踏踏实实至少细读一遍。这一遍不要欺骗自己，质量至上，一定要全部弄通弄懂。这样在后面的两个月才会更有底。

笔记一定要做。当11月报名时间来临时，你会发现越来越多的人们讨论起复习进度。那时候本专业考生和别的跨专业考生所做的准备和进度会让你大惊失色——有那么多人准备得那么好!本来就对不熟悉的专业容易产生的“心虚”这个时候会更加强烈，那么回过头总结一下自己的成果，只有实实在在密密麻麻的几本笔记会成为自己的强心剂，数数看，几本笔记，七八万字是少不了的。加上政治英语，你会为自己所做的上10万字的笔记而惊讶的。这是积聚信心、抬头挺胸的重要来源。

四、全力复习：坚持到底，毫不畏惧

首先，研究历年试题，自己划重点。历年试题非常非常重要，报名之前即11月初，一定要把学校相关专业的历年试题弄到手。这需要积极调动网络资源，自己能下载的下载，能买到的去买，最后一招：求助师兄师姐。这时提出的请求也一样要尽可能明确。有一个女生，考某大学某专业，通过同学的同学的姐姐，找到一位师姐，打电话给她：“我知道你们学校图书馆五楼的阅览室有历年试题的专柜，可以借出来复印。请帮忙复印某年到某年某专业的„„”该师姐大惊：“我都不知道有这样一个地方，你怎么知道的?”这个女生慢慢说来，怎么从网上找到该学校专栏讨论、怎么了解到的，师姐大开眼界，兴趣高涨，帮她把相关专业能找到的试题全都复印一通寄去。

接下来就是更仔细地研究试题。只需要一个晚上时间，把历年试题全都摆在桌面，总结规律和重点难点，老师出题的习惯等等。借此可以划出下一步复习的重点(甚至是考试的重点)，不再一律通读，而是有头脑的、有目标的复习。不要怕系内老师改朝换代，再改也有一脉相承的科研风格，掌握了大体，以不变应万变。

划完重点，一股“运筹帷幄”的气势油然而生，趁着这股气势，投入到更深入的复习中去，一定事半功倍。

其次，为考试做准备，掌握专业答题习惯。在剩下的两个月当中，一定要找点时间去学校的自己要考的专业宿舍混混，目的是了解专业答题有什么惯例、有什么特殊要求和需要注意的地方。随便哪个学校都行，自己方便找的、正规的大学就可以;当然，方便的话，最佳选择就是所考学校研一同专业学生宿舍，这样就不仅了解试题情况，还可以挖掘更多这两个月应该注意的问题。

考试的时候，和复习中所强调的一样——一定要自信。要相信自己经过了周密的计划、万全的准备。拿到试卷的时候，要像热爱专业书籍一样热爱它们，冷静的头脑，热情的心灵，一定战无不胜。

最后，就是复试了。关于导师是否要找，各有各的说法，能找到最好，没找过的也不用惴惴不安。相信自己最重要。

其实接到复试通知书的时候，一般都没有更多时间去扩展知识面了，这些是最初就应该做的。这时候跨专业考生常常担心自己的基础不够，再次心虚。那么与其瞎抓一把，不如把以前看过的书拿出来再翻一遍，总有用得上的，做生不如做熟。对于某些领域的熟悉或精通，比泛泛而谈更能显出自己的特色。用真诚的微笑和哪怕是使劲鼓才能鼓起的信心和勇气，去直面导师。好歹经过这一年的学习，我们也算复合型人才了，怕什么!

说到这里，整个过程看起来完了——其实没有!拿到录取通知书的时候，是一个开始。

进入研究生阶段的学习，是一个更自主、更专业的学习过程，跨专业学生一踏入这片天地，肯定会受到冲击。不熟悉的领域，老师觉得应该是常识自己却闻所未闻的知识，难以找到的新生活定位„„这些都要有心理准备。建议在5月到8月这段天堂般的生活中也不要忘记看看与专业相关的书籍(并非专业课本)，继续打基础，进入研究生生活根本没有时间给你去打基础。

总之，对于勇敢的考研人，继续用韧性和信心，在开学前调养好身心，并不放弃不断学习的好习惯，为进入一个新的求学生涯做好准备，都是必要的。相信这样贯穿始终的准备，一定会迎来新的局面，实现挑战人生充实自己的梦想。对生活认真，生活也会认真地回报你。要相信，要坚持。

第四篇：概率论与数理统计

《概率论与数理统计》公共基础课教学实践

1012502-31 汤建波

概率与数理统计在现实的牛产和生活中有着广泛的应用，因此，《概率论与数理统计》作为公共课是很多专业所必修的。但是，由于这门课的学习方法与《微积分》《线性代数》等其他课程有着极大的差异，很多学生在学习过程中感到难以把握概念与理论，在遇到问题时不知如何人手。因此，笔者在总结这几年教学实践的基础上，提出以下思考。

一、适度引入案例。形成生动教学及启发性教学

概率论源于博弈，是赌博中的很多问题催生了概率论这门数学学科。在开课伊始，教师就适度引入触发概率论的一些问题，如“De．mere”问题，“分赌金问题”等等，使学生在故事中不仅得到r课本里所没有的历史知识，而且无形中可以提高学习兴趣，消弭一部分同学的畏难情绪。另外，再在随后的教学过程中引入“彩票中奖问题”“蒙特卡罗法求订法”“保险付赔问题”等等，引导学生了解、探索这门学科在现实中的应用，使学乍实现由知识向能力的转化，从而增强学，F利用概率统计解决实际问题的“欲望”，促使他们更好地认识现实世界。

概念是概率课程中最基本的内容，对概念的理解程度直接影响学生对这门课程的学习与掌握程度。在教学中，应尽量从实际问题入手，先提出问题，接着在问题的分析和解决中抽象出概念，让学生清楚概念的来龙去脉，而不是硬性给出定义，让学生死记硬背。例如，在讲述“事件”这个定义时，引入“卫瞿嫦娥二号将于2010年10月1日发射”这一现实中的“事件”在概率论中应该是“实验”，而其结果“发射成功”才能算是概率论所定义的“事件”，这样，在区别现实的“事件”与概率论所研究的“事件”基础上，学生加深了对“事件”这一定义的理解。在阐明相互独立和互不相容之间的区别有P(A)>0，P(B)>0时，A、B相瓦独屯与互不相容是不能同时成立的，直观上可以这样解释：相互独立意味这

4、B其中一方发生与否并不影响另一方的发生，而互不相容意味着A、B只要其中一方发生了，另一方就一定不发生，所以这两个关系不能同时存在。从公式上解释是：P(A)>0，P(B)>0且A、B相互独立，则P(AB)=P(A)P(B)>0，而如果A、B互不相容，则P(AB)=P(西)=0。但是只要有一方的概率为0，如，如果A=西，则A与B既相互独立又互不相容，因为此时P(AB)=P(A)P(B)=0。综上所述，相互独立与互不相容并没有必然的联系。

而在区别“不相关”与“相互独立”的区别时，可以通过举例得知J]|f、y不相关不一定就独立，因为X、l，之间有可能存在其他的函数关系，但是存在函数关系的随机变量是否就不独立了呢？答案是未必，例子如下：

考察随机变量X、l，和Z：假定x与l，独立月．都服从参数为P的(0—1)分布，令z为x与y的函数：

可以得到当P=1／2时，Z与X相互独立。转载于 无忧论文网 http://www.xiexiebang.com

通过这些举例，避免了学生将“独立”和“互不相容”等同起来，又说明了“独立”与“函数关系”之间的联系。

二、课堂教学中注重数学思想的教育。培养学生建模能力

概率统计中的很多问题都可以归结为同一类问题，数学模型就是这类事物共同本质的抽象。“数学建模”是指对于现实世界的一个特定对象，为了一个特定目的，根据特有的内在规律，做出一些必要的简化假设，运用适当的数学工具，得到一个数学结构。数学模型在概率统计中的应用随处可见，模型化方法贯穿本课程全过程，因此，在教学过程中应该注意培养学生抽象出问题的本质以建立起一般的数学模型的能力。

如“将n只球随机地放入Ⅳ(N大于等于n)个盒子中去，求每个盒子至多有一只球的概率”与“班级同学生日各不相同”具有相同的数学模型。另外，还有古典概型、贝努利概型、正态分布等等这些都是生产生活中抽象出来的，在很多问题中都可以归结为以上的模型。如以下两个

：

例1，设有80台同类型设备，各台工作是相互独立的，发生故障的概率都是0．01，且一台设备的故障能由一个人处理。考虑两种配备维修工人的方法，其一是由4人维护，每人负责20台；其二是由3人共同维护80台。试比较这两种方法在设备发生故障时不能及时维修的概率的大小。

例2，保险公司在一天内承保了5000张相同年龄、为期1年的寿险保单，每人一份。在合同有效期内若投保人死亡，则公司赔付3万元。设在一年内，该年龄段的死亡率为0．0015，且各个投保人是否死亡相互独立。求该公司对于这批投保人的赔付总额不超过30万元的概率。

以上两个例子虽然不同，但都可以归结为伯努利概型，利用二项分布解决。对这类模型，不应简单地给出它的结果，而应注秀模型的建立、模型的应用范围以及如何把实际问题转化为有关的数学模型去解决。

三、适度引入多媒体教学及数据处理软件。促进课堂教学手段多样化

在概率统计教学中，实际题目信息及文字很多，“一支粉笔、一块黑板，以讲授为主”的传统教学方法显然已经跟不上现代化的教学要求，不利于培养学生的综合素质和创新能力。因此，有必要借助于现代化媒体技术和统计软件，制作内容、图形、声音、图像等结合起来的多媒体课件。～方面，采用多媒体教学手段进行辅助教学，能够将教师从很多重复性的劳动中解脱出来，教师可以将更多的精力和时间投入到如何分析和解释问题，以提高课堂效率，与学生有效地进行课堂交流。另一方面，用图形动画和模拟实验等多媒体作为辅助教学手段，便于学生对概念、图形等的理解。如投币试验、高尔顿板钉实验等小动画在不占用太多课堂时间的同时，又增添了课堂的趣味性。又如在利用Mathematica软件演示大数定律和中心极限定理时，就能将抽象的定理化为形象的直观认识，达到一定的教学效果。在处理概率统计问题中，教师也会面对大量的数据，另外，集数学计算、处理与分析为一身的数据处理软件如：Excel，Matlab，Mathematic，SAS，SPSS等，在计算一些冗长数据时可以简化计算，降低理论难度。而且，在教师的演示过程中，能让学生初步了解如何应用计算机及软件，将所学的知识用于解决生产生活中的实际问题，从而激发他们学习概率知识的热情，提高他们利用计算机解决问题的能力。

最后，在教学过程中，教师应该考虑到各个专业的学生今后学习与发展的需要，在满足教学大纲的要求下，选择与其专业关系紧密的知识点进行重点讲授。同时，在讲授过程中，本着以人为本的教学理念，注意多种方法灵活应用，建立积极的互动教学模式，尽量避免教师在课堂上满堂灌、填鸭式地教学，充分调动学生学习的主动性，挖掘学生的学习潜能，最大限度地发挥和发展学生的聪明才智，使学生能理解概率统计这一学科领域思想方法的精髓。

论文参考文献：

[1]盛骤，谢式千。潘承毅．概率论与数理统计[M]．北京：高等教育出版社，2009．

[2] 姜启源．数学模型[M]．北京：高等教育出版社。2003：4—7．

[3] 徐钟济．蒙特卡罗方法[M]．上海：上海科学技术出版社，1985：171—188．

[4] 郝晓斌，董西广．数学建模思想在概率论与数理统计课程教学中的应用[J]．经济研究导刊，2010，90(16)：244—245．

[5]徐荣聪，游华．(概率论与数理统计)课程案例教学法[J]．宁德师专学报(自然科学版)，2008(2)：145—147．

第五篇：概率论与数理统计

概率论与数理统计

一、随机事件和概率

考试内容

随机事件与样本空间 事件的关系与运算 完备事件组 概率的概念 概率的基本性质 古典型概率 几何型概率 条件概率 概率的基本公式 事件的独立性 独立重复试验

考试要求

1．了解样本空间(基本事件空间)的概念，理解随机事件的概念，掌握事件的关系及运算．

2．理解概率、条件概率的概念，掌握概率的基本性质，会计算古典型概率和几何型概率，掌握概率的加法公式、减法公式、乘法公式、全概率公式，以及贝叶斯(Bayes)公式．

3．理解事件独立性的概念，掌握用事件独立性进行概率计算；理解独立重复试验的概念，掌握计算有关事件概率的方法.二、随机变量及其分布

考试内容

随机变量 随机变量分布函数的概念及其性质 离散型随机变量的概率分布 连续型随机变量的概率密度 常见随机变量的分布 随机变量函数的分布

考试要求

1．理解随机变量的概念，理解分布函数的概念及性质，会计算与随机变量相联系的事件的概率．

2．理解离散型随机变量及其概率分布的概念，掌握0－1分布、二项分布、几何分布、超几何分布、泊松（Poisson）分布 及其应用．

3.了解泊松定理的结论和应用条件，会用泊松分布近似表示二项分布.4．理解连续型随机变量及其概率密度的概念，掌握均匀分布、正态分布、指数分布及其应用，其中参数为 的指数分布 的概率密度为

5．会求随机变量函数的分布．

三、多维随机变量及其分布

考试内容

多维随机变量及其分布 二维离散型随机变量的概率分布、边缘分布和条件分布 二维连续型随机变量的概率密度、边缘概率密度和条件密度随机变量的独立性和不相关性 常用二维随机变量的分布 两个及两个以上随机变量简单函数的分布

考试要求

1．理解多维随机变量的概念，理解多维随机变量的分布的概念和性质.理解二维离散型随机变量的概率分布、边缘分布和条件分布，理解二维连续型随机变量的概率密度、边缘密度和条件密度，会求与二维随机变量相关事件的概率．

2．理解随机变量的独立性及不相关性的概念，掌握随机变量相互独立的条件.3．掌握二维均匀分布，了解二维正态分布的概率密度，理解其中参数的概率意义．

4．会求两个随机变量简单函数的分布，会求多个相互独立随机变量简单函数的分布.四、随机变量的数字特征

考试内容

随机变量的数学期望（均值）、方差、标准差及其性质 随机变量函数的数学期望 矩、协方差、相关系数及其性质

考试要求

1．理解随机变量数字特征（数学期望、方差、标准差、矩、协方差、相关系数）的概念，会

运用数字特征的基本性质，并掌握常用分布的数字特征．

2.会求随机变量函数的数学期望.五、大数定律和中心极限定理

考试内容

切比雪夫（Chebyshev）不等式 切比雪夫大数定律 伯努利（Bernoulli)大数定律 辛钦（Khinchine）大数定律 棣莫弗－拉普拉斯（De Moivre－laplace）定理 列维－林德伯格（Levy-Lindberg）定理

考试要求

1．了解切比雪夫不等式．

2．了解切比雪夫大数定律、伯努利大数定律和辛钦大数定律(独立同分布随机变量序列的大数定律)．

3．了解棣莫弗-拉普拉斯定理(二项分布以正态分布为极限分布)和列维-林德伯格定理(独立同分布随机变量序列的中心极限定理)．

六、数理统计的基本概念

考试内容

总体 个体 简单随机样本 统计量 样本均值 样本方差和样本矩分布分布分布 分位数 正态总体的常用抽样分布

考试要求

1．理解总体、简单随机样本、统计量、样本均值、样本方差及样本矩的概念，其中样本方差定义为：

2．了解 分布、分布和 分布的概念及性质，了解上侧 分位数的概念并会查表计算．

3．了解正态总体的常用抽样分布．

七、参数估计

考试内容

点估计的概念 估计量与估计值 矩估计法 最大似然估计法 估计量的评选标准 区间估计的概念 单个正态总体的均值和方差的区间估计 两个正态总体的均值差和方差比的区间估计

考试要求

1．理解参数的点估计、估计量与估计值的概念．

2．掌握矩估计法（一阶矩、二阶矩）和最大似然估计法．

3．了解估计量的无偏性、有效性（最小方差性）和一致性（相合性）的概念，并会验证估计量的无偏性．

4、理解区间估计的概念，会求单个正态总体的均值和方差的置信区间，会求两个正态总体的均值差和方差比的置信区间.八、假设检验

考试内容

显著性检验 假设检验的两类错误 单个及两个正态总体的均值和方差的假设检验

考试要求

1．理解显著性检验的基本思想，掌握假设检验的基本步骤，了解假设检验可能产生的两类错误．

2．掌握单个及两个正态总体的均值和方差的假设检验．

数学大纲和去年相比变化之处

从拿到大纲的情况来说，今年的大纲和往年是没有什么变化，这一点和我前面所预测的是基本上一致的。当然大纲没有变化，对大家也有一个好处，也就是大家可以按照原先的计划，按步就班的走，不用考虑有一些计划

调整等等这样一类的东西。

2011年考试的难度是有一个怎样的趋势

至于难度，咱们要说2011年的难度，可以看一下这几年的难度水平。数一2008，2009年的难度水平基本上是一致的，2010年的考试难度有一定的上升，我认为2011年难度水平应该有所下降。大纲没有变，而考研是一个选拔性的考试，要求有一定的稳定性。所以，数一的同学，2011年的考试试题难度可能有所下降，水平和2008，2009是一致的。对数二和数三来说，水平应该和往年基本上是一致的。

2011年的考察重点会在哪个方面

由于今年考研大纲没有变化，我们可以根据考试的一些要求，还有历年考试真题的情况，咱们可以看一下历

年考试的重难点。

咱们看高等数学部分，高等数学部分第一部分函数、极限连续这一块，重点要求掌握两个重要极限，未定式的极限、等价无穷小代换，这样一些东西，还有一些极限存在性问题，间断点的类型，这些东西在历年的考察中都比较高，而我上课的时候一直给大家强调，考极限的话，主要考的是洛必达法则加等价无穷小代换，特别针对

数三的同学，这儿可能出大题。

第二部分是一元函数微分学，这块大家主要处理这几个关系，连续性，可导性和可微性的关系，掌握各种函数的求导方法。比如隐函数求导，参数方程求导等等这一类的，还有注意一元函数的应用问题，这也是历年考试的一个重点。数三的同学这儿结合经济类的一些试题进行考察。

一元函数微分学涉及面非常广，题型比较多，而且这一部分还有一个比较重点的内容，就是出证明题。咱们知道中值定理是历年经常考的一个考点，所用的主要方式就是构造辅助函数的方法进行证明。当然，这里还包含

一部分等式和不等式的证明，零点问题，以及极值和凹凸性。

多元函数微分学，这一块内容实际上也是按照一元函数微分学的形式进行考察的，比如咱们求偏导数，先固定一个变量，给另一个变量求导数，归根到底还是考察一元函数微分学。对多元函数微分学，大家还有一个内容

要掌握，连续性、偏导性和可微性，特别是抽象函数求二阶导数和二阶混合偏导这一类的题。

当然，还有一个问题，多元函数微分学的应用，主要牵扯两方面，一个是条件极值，一个是最值问题。这两

块。

积分学包含两块，也就是一元函数积分学和多元函数积分学，对于一元函数积分学一个是不定积分和定积分的计算，对不定积分一定要非常熟练掌握基本运算，对于定积分除了掌握用不定积分计算的方式，还要注意用定

积分的性质，比如定积分的奇偶性，周期性，单调性等等。

还有一块，定积分应用，主要考察面积问题，体积问题，或者说这块和微积分的结合等等。对于数一的同学来说，咱们还牵扯到一块，三重积分，曲线和曲面积分这两块，对于三重积分来说，大家主要掌握一些基本的，比如对球体、锥体、圆柱的积分，对于曲线和曲面积分主要掌握格林公式和高斯公式，利用格林公式把第二类曲线积分转化成二重积分，利用高斯公式把曲面积分转化成三重积分进行运算，这里有一个比较常考的知识点，曲

线积分与路径无关，这个要作为一个主要的知识点进行掌握。

第四部分，就是微分方程，微分方程有两个重点，一个是一元线性微分方程，第二个是二阶常系数齐次/非齐次线性微分方程，对第一部分，大家掌握九种小类型，针对每一种小类型有不同的解题方式，针对每个不同的方程，套用不同的公式就行了。对于二阶常系数线性微分方程大家一定要理解解的结构。另一块对于非齐次的方程来说，大家要注意它和特征方程的联系，有齐次为方程可以求它的通解，当然给出的通解大家也要写出它的特征

方程，这个变化是咱们这几年的一个趋势。这一类问题就是逆问题。

对于二阶常系数非齐次的线性方程大家要分类掌握。当然，这一块对于数三的同学来说，还有一个差分方程的问题，差分方程不作为咱们的一个重点，而且提醒大家一下，学习的时候要注意，差分方程的解题方式和微方

程是相似的，学习的时候要注意这一点。

第五个，级数问题，主要针对数一和数三，有两个重点，一个是常数项级数的性质，包括敛散性。

第二块，牵扯到幂级数，大家要熟练掌握幂级数的收敛区间的计算，收敛半径与和函数，幂级数展开的问题，要掌握一个熟练的方法来进行计算。对于幂级数求和函数它可能直接给咱们一个幂级数求它的和函数或者给出一

个常数项级数让咱们求它的和，要转化成适当的幂级数来进行求和。

关于线性代数这一块，有这样几个重点的内容，一个是逆矩阵和矩阵的秩。第二个，向量的线性相关性和向量的线性表示。向量组合的相关性，这一块极有可能考的类似于计算的证明题。比如让咱们证明几个向量线性无关。第三块是方程组的解的讨论，其中还包括有待定参数的解的讨论，这块的问题，往年也考得比较多。

第四块特征值和特征向量的性质，以及矩阵的对角化。

第五块，正定二次型的判断。大家在学线代的时候，还要注意一个方向，就是线性代数各个章节的连贯性是比较强的，我们在复习总结的时候，特别是后期，对于这一块内容要自己有一个总结，然后还可以看一看比如咱

们的复习全书或者复习指南这之类的书，在脑海中对线性参数的知识点要形成一个知识性框架。

概率统计这块（数二不考），概率统计要注重这几块内容，一个是概率的性质与概率的公式，这一块要求咱们非常熟练的掌握，比方说加法公式，减法公式，乘法公式，全概率公式和Bayes公式，这块要非常熟悉的掌握。

还有一部分，古典概率和几何概率，这块大家掌握中等难度的题就可以了。

第二块，一维随机变量函数的分布，这个要重点掌握连续性变量的这一块。这里面有个难点，一维随机变量函数这是一个难点，求一元随机变量函数的分布有两种方式，一个是分布函数法，这是最基本要掌握的。另外是

公式法，公式法相对比较便捷，但是应用范围有一定的局限性。

第三块，多维随机变量的联合分布和边缘分布还有条件分布，多维随机变量的独立性，这块是考试的重点，当然也是一个难点。这块还有一个问题要求大家掌握的，随机变量的和函数和最值函数的分布。

第四块，随机变量的数字特征，这块很重要，要记住一维随机变量的数字特征都要记熟，数字特征很少单独性考察，往往和前面的一维随机变量函数和多维随机变量函数和第六章的数理统计结合进行考察。特别针对数一的同学来说，考察矩估计和最大似然估计的时候会考察无偏性。

第五块，参数估计这一点是咱们经常出大题的地方，这一块对咱们数一，数二，数三的同学，包含两块知识点，一个是矩估计，一个是最大似然估计，这两个集中出大题。数一的同学，咱们特别强调一点，考这个矩估计

或者最大似然估计，极有可能结合无偏性或者有效性进行考察。