第五章定理小结

第一篇：第五章定理小结

第五章定理小结

平行公理（即平行线的基本性质）

经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。由平行公理还可以得到一个推论——即平行线的基本性质二：

定理：如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。

平行线的判定

1．平行线的判定公理：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么两条直线平行。简单说成：同位角相等，两直线平行。

2．平行线的判定定理：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么两条直线平行。简单说成：内错角相等，两直线平行。

3．平行线的判定定理：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行。

简单说成：同旁内角互补，两直线平行。

4．在同一平面内，如果两条直线同时垂直于同一条直线，那么这两条直线平行。平行线的性质

重点：平行线的三个性质定理。难点：性质定理的应用。热点：应用平行线性质定理进行角度大小的换算。

1．平行线的性质

（1）公理：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等。可以简述为：两直线平行，同位角相等。

（2）定理：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等。可以简述为：两直线平行，内错角相等。

（3）定理：两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补。可以简述为：两直线平行，同旁内角互补。

2．平行线的性质小结：

（1）两直线平行，同位角相等、内错角相等、同旁内角互补。（2）垂直于两平行线之一的直线，必垂直于另一条直线。（2）对顶角和邻补角的概念

1′对顶角的概念有两个：

① 两条直线相交成四个角，其中有公共顶点而没有公共边的两个角叫做对顶角；

② 一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，这两个角叫做对顶角.实际上，两条直线相交，其中不相邻的两个角就是对顶角，相邻的角就是邻补角.2 对顶角的性质：对顶角相等.3 互为邻补角的两个角一定互补，但两个角互补不一定是互为邻补角； 对顶角有一个公共顶点，没有公共边；邻补角有一个公共顶点，有一个公共边.垂线的性质：

1过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直；

2直线外一点与直线上各点连结的所有线段中，垂线段最短，简单说成：垂线段最短.5点到直线的距离定义：从直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离.

第二篇：七年级下册定理小结

七年级下册定理小结 过两点有且只有一条直线两点之间线段最短同角或等角的补角相等同角或等角的余角相等 过一点有且只有一条直线和已知直线垂直 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短 平行公理 经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行如果两条直线都和第三条直线平行，这两条直线也互相平行同位角相等，两直线平行内错角相等，两直线平行同旁内角互补，两直线平行

12两直线平行，同位角相等两直线平行，内错角相等两直线平行，同旁内角互补 定理 三角形两边的和大于第三边推论 三角形两边的差小于第三边 三角形内角和定理 三角形三个内角的和等于180°推论1 直角三角形的两个锐角互余 推论2 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和推论3 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角全等三角形的对应边、对应角相等

22边角边公理(SAS)有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等角边角公理(ASA)有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等推论(AAS)有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等边边边公理(SSS)有三边对应相等的两个三角形全等 斜边、直角边公理(HL)有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等定理1 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等 定理2 到一个角的两边的距离相同的点，在这个角的平分线上角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合 等腰三角形的性质定理 等腰三角形的两个底角相等(即等边对等角）

推论1 等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边

等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合33 推论3 等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°

等腰三角形的判定定理 如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（等角对等边）

推论1 三个角都相等的三角形是等边三角形

推论 2 有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形

在直角三角形中，如果一个锐角等于30°那么它所对的直角边等于斜边的一半

直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半

定理 线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等

逆定理 和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上

线段的垂直平分线可看作和线段两端点距离相等的所有点的集合42 定理1 关于某条直线对称的两个图形是全等形

定理 2 如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对

第一章：三角形的初步认识 主要性质：

（1）三角形任何两边的和大于第三边。

（2）三角形三个内角的和等于180°。三角形的一个外角等于的它不相邻的两个内角的和。

（3）全等三角形的对应边相等，对应角相等。

（4）有三边对应相等的两个三角形全等（简写成“边边边”或“SSS”）；有一个角和夹这个角的两边对应相等的两个三角形全等（简写成“边角边”或“SAS”）；有两个角和这两个角的夹边对应相等的两个三角形全等（简写成“角边角”或“ASA”）；有两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（简写成“角角边”或“AAS”）

（5）线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等。角平分线上的点到角两边的距离相等。

第二章：图形和变换

主要性质

（1）对称轴垂直平分连结两个对称点之间的线段，轴对称变换不改变图形的形状和大小。

（2）平移变换不改变图形的形状、大小和方向，并且连接对应点的线段平行而且相等。

（3）旋转变换不改变图形的大小和形状，并且对应点到旋转中心的距离都相等，对应点与旋转中心连线所成的角度都等于旋转的角度。

（4）相似变换不改变图形中每一个角的大小；图形中的每条线段都扩大（或缩小）相同的倍数。

第三章：事件的可能性

（1）在一定条件下必然发生的事件叫做必然事件；在一定条件下必然不会发生的事件叫做不可能事件；在一定条件下，可能发生也可能不发生的的事件称为不确定事件（或随机事件）

（2）在数学上，事件发生的可能性的大小也称为事件发生的概率.必然事件发生的概率为1或100％，不可能事件发生的概率为0，若用P表示不确定事件发生的概率，则0＜P＜1 第四章：二元一次方程 含有两个未知数，且含有未知数的项的次数都是一次的方程叫做二元一次方程，使二元一次方程两边的值相等的一对未知数的值，叫做二元一次方程的一个解。

由两个一次方程组成，且含有两个未知数的方程组，叫做二元一次方程组。同时满足二元一次方程组中各个方程的解，叫做二元一次方程组的解。

基本思路

二元一次方程 消元 一元一次方程

应用方程组解决实际问题的步骤

理解问题（审题，搞清已知和未知，分析数量关系）

制订计划（考虑如何根据等量关系设元，列出方程组）

执行计划（列出方程组并求解，得出答案）

回顾（检查和反思解题过秤，检验答案的正确性以及是否符合题意）

主要方法和技能

用代入法和加减法解二元一次方程组

应用二元一次方程组解决简单的实际问题

第五章 整数指数幂及其运算的基本法则

整式的乘法法则

单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘，其余字母连同它的指数不变，作为积的因式

单项式和多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每项，再把所得的积相加。

多项式和多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加

整式的除法法则 单项式相除，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式。

多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加。

第六章

1.分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不为零的整式，分式的值不变。即

其中M是不等于零的整式。

2.分式乘以分式，用分子的积做积的分子，分母的积做积的分母；分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。

3.同分母的分式相加减，把分子相加减，分母不变。

4.同分母不相同的几个分式，化成分母相同的分式，叫做通分。经过通分，异分母分式的加减就转化成同分母分式的加减。

5.解分式方程必须验根.把求得的根代入原方程，或代入原方程两边所乘的公分母，使分式为零的根，叫做增根，增根必须舍去。

第三篇：初中定理

初中几何证明的依据

1.两点连线中线段最短.2.同角（或等角）的余角相等.同角(或等角)的补角相等.对顶角相等.3.平面内经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短.4．线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等,到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上．

5.两直线平行，同位角相等．同位角相等，两直线平行．

6.两直线平行，内错角相等(同旁内角互补)．内错角相等(同旁内角互补)，两直线平行．

7.经过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行．

8.三角形的任意两边之和大于第三边．三角形任意两边之差小于第三边．

9.三角形的内角之和等于180°．三角形的外角等于不相邻的两个内角的和．三角形的外角大于任何一个和它不相邻的内角.10.三角形的中位线平行于第三边,并且等于它的一半.11.全等三角形的对应边、对应角分别相等.12.两边夹角对应相等的两个三角形全等.两角夹边对应相等的两个三角形全等.三边对应相等的两个三角形全等.有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等.斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.13.角的平分线上的点到角的两边的距离相等.到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上.14.等腰三角形的两底角相等(等边对等角）.底边上的高、中线及顶角的平分线三线合一.15.有两个角相等的三角形是等腰三角形(等角对等边）.等边三角形的每个角都等于60°.三个角都相等的三角形是等边三角形.有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.16.有两个角互余的三角形是直角三角形.如果三角形的一边的平方等于另外两边的平方和,那么这个三角形是直角三角形.17.直角三角形的两锐角互余,斜边上的中线等于斜边的一半.直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方.18.n边形的内角和等于(n-2)·180°;任意多边形的外角和等于360°.19.平行四边形的对边相等、对角相等、两对角线互相平分.20.一组对边平行且相等,或两条对角线互相平分,或两组对边分别相等的四边形是平行四边形.21.矩形的四个角都是直角,对角线相等.22.三个角是直角的四边形,或对角线相等的平行四边形是矩形.23.菱形的四边相等,对角线互相垂直平分.24.四边相等的四边形,或对角线互相垂直的平行四边形是菱形.25.正方形具有菱形和矩形的性质.26.有一个角是直角的菱形是正方形.有一组邻边相等的矩形是正方形.27.等腰梯形同一底边上的两底角相等,两条对角线相等.28.在同一底上的两底角相等的梯形是等腰梯形.梯形的中位线平行于两底,并且等于两底和的一半.

第四篇：成功定理

成功定理

定律十：成功的机会总是属于那些拥有“永远的正向思维”的人。

杯子里有半杯水。有人说：“还剩半杯水。”有人说：“只剩半杯水了。”一个是负向思维，一个是正向思维。沙子里混着金子。有人说：“金子里有沙子。”有人说：“沙子里有金子。” 一个是负向思维，一个是正向思维。

有些行业竞争无序。有人说：“竞争太混乱、太激烈，简直没法做。”有人说：“竞争无序说明大家的水平都不高，正是一统江山的大好时机。” 一个是负向思维，一个是正向思维。

所谓正向思维，就是当大家看到困难的时候，你一定要看到机会。抓住了机会，困难可能就消失了。因此，成功的机会总是属于那些拥有“永远的正向思维”的人。

成功者也有问题，但是他们的成功掩盖了问题。我曾经问很多人：“好市场问题多还是差市场问题多？”有些人回答：“好市场销量大，当然问题多。”我的回答是：“差市场的问题经常被拿来小题大做，以证明市场差是有原因。所以差市场不是问题本身多，而是提出的问题多。当你去做市场时，你是从抓机会入手还是从解决问题入手？”

定律十一：如果你是个幸运的“倒霉蛋”，那么你可能“被迫成功”。

生物学家的研究已经证明：动物在遇到危险时，才会做出超出极限的发挥。生物学家的结论是：成功属于“倒霉蛋”。如果你总是遭遇“不幸”，比如总是分到最差的市场，享受的政策总是最差，那么，你在危急时刻超出正常能力的表现，可能使得你不得不成功。因此，面对不幸，不要总是抱怨，而要说：“让我遇到不幸，真是太幸运了。”

定律十二：有效工作比勤奋工作更重要。

普通人说：“我尽力了，我没闲着，我对得起这份薪水。”聪明的业务员每天这样问自己：“我今天的工作对销量持续增长有贡献吗？”如果一名业务员的工作对销量持续增长没贡献，他的勤奋又有何用？很多人的勤奋只是因为做了太多无效的事。

我把人分为两类：一类创造价值，另一类制造成本。勤奋工作也许只会制造成本，有效工作才会创造价值。对那些在市场风尘仆仆地跑市场的业务员，我经常评价他们只是“对中国交通事业做出了最伟大的贡献”，对企业却在是制造成本。

定律十三：拥有“常识”或许能让你成为普罗大众中的一员，拥有“常理”才能让你脱颖而出。

常识就是“公共知识”，“1＋1＝2”就是常识。常识只是让你成为正常人，不会产生竞争力。

产品卖不动怎么办？降价、做广告。只要是一个健全的正常人都会这么想，因为这是常识。如果营销就是这么简单，营销还是一门学问吗？

常识会让你进入一个叫做“合成谬误”的陷阱。下面这个故事就是“合成谬误”：十个老翁相约喝酒，约定每人带一壶酒，兑在一起喝。一个老翁想，如果其他人带酒，我带水，不就占便宜了吗？那知大家把“酒”兑在一起时，他才知道其他老翁也是如法炮制。

最经典的合成谬误就是“丰收悖论”：一个农民丰收了，收入会增加。当所有农民都丰收时，价格会下降，收入可能反而下降。合成谬误反映在营销上就是：率先做铺货的人成功了，大家都跟进时只是找齐了。率先做终端的人成功了，大家跟风时只是增加了成本而已……。你要成功，总得知道一点别人不知道的东西吧。有效的营销办法往往是“出乎意料之外，又在情理之中”，这要靠“常理”的推导。比如，一般人认为“消费者要买便宜的东西”，这是常识。而常理却是“消费者要买占便宜的东西”。

定律十四：如果你不能独立完成任务，一定要学会搬救兵。

搬救兵不丢人，完不成任务才丢人。我仔细琢磨《西游记》，发现一个惊人的现象：《西游记》中的妖怪，没几个是孙悟空打死的。每当孙悟空打不过妖怪时，他就腾云驾雾去搬救兵去了。现在，我不断在各种场所传播《西游记》告诉我们的一个道理：当员工，要学孙悟空会搬救兵。当领导，要学观音在关键时刻出手当救兵。

谁是你的救兵？可以是你的上司、同事，也可以是你的朋友、恩师。

什么时候搬救兵？一定要到最关键的时候。救兵一出手，问题就解决了。

定律十五：如果你受过很多培训仍然进步缓慢，不妨试试培训别人。

接受培训固然能让你“站在巨人的肩膀上”，但培训别人才能让你成为巨人。接受培训是效率最低的学习方式之一，而培训别人才是效率最高的学习方式。

要让别人听明白，你必须比别人更明白。给听众一瓢，自己必须有一桶。为了在讲台上不出丑，你必须拼命查资料。还没开讲，你已经超越听众了。

顺便提醒你一句：如果你想当领导的话，一定要先学会培训别人。对于领导来说，培训无处不在。开会是培训，安排工作是培训，检查工作是培训，总结是培训……

定律十六：每隔三年，你就要全面一遍自己的知识系统。如果你觉得自己经验越来越丰富，你就快完蛋了。在这样一个快速变化的时代，当一种做法被总结成经验时，就已经或正在过时。看一看几年前营销界的风云人物，还有几个在风头浪尖上？

随时准备“清零”，快速更新自己的知识系统，是在营销界混下去的不二法门。

定律十七：所谓职业生涯战略，就是要做未来不后悔的事。

战略不是不关心现在，而是让现实的事具有未来意义。如果你不知道现在应该做什么，不妨采用倒推法，按照你对未来的期望，倒推现在应该做什么。

职场定律

定律十八：永远不要说自己老东家和老上司的坏话，哪怕他们真的一无是处。

人们没有心思关心你与老东家和老上司的恩怨，但会关心你对待老东家和老上司的态度。如果你不断诉说着老东家和老上司的坏话，人们可能会在心里说：“他们怎么会瞎了眼找上你。”如果你对所有服务过的企业和上司都不满意，人们可能还会想：“你怎么这么有眼无珠，总是找不到好企业？”

人性的弱点就是“高估自己，低估别人”，这是烦恼的根源。同时，人们还容易“低估自己服务的企业”，这是因为你更容易看到企业的阴暗面，而只看到其它企业的光明面。

定律十九：永远不要给上司提问答题，要给上司提供选择题。

上司之所以需要你，不是为了让你给他出难题，而是为了让你帮助解决难题。所以，千万不要给上司提“怎么办”之类的问答题，即使要征询上司的意见，也要多提选择题，表明你已经有选择方案而不是不无所知。

定律二十：最好不要发牢骚，即使提意见也要保持“建设性心态”。

很多企业的销售会都变成了业务员的牢骚会，常见的牢骚不外乎：“对手人质量比我们好，对手人价钱比我们低，对手的政策比我们优惠，对手的广告力度比我们大。”遇到这种牢骚，如果上司回你一句“业务员的职责就是通过你的努力弥补产品的缺陷”，那已经够宽容的了。把上司惹恼了，可能会这样回答你：“如果我的产品、价格、广告、政策都比对手好，还要你们干什么？”

老实说，牢骚是一种不健康心态，或者叫消极心态。上司通常喜欢建设性心态面对问题的人，建设性心态就是“正视现实，立足解决问题”。所以，遇到问题要多提建议，少发牢骚。

定律二十一：老板和上司是业务员最重要的资源。业务员要学会管理上司和总部职能部门。

没有老板和上司的支持，你将一无所成。每个人的权限都是有限的，只有老板的权限是无限的。

很多业务员觉得老板最“抠门”，其实老板最大的困惑是钱花不出去。老板不怕花钱，就怕花出去的钱收不回来，投入没有产出。所以，笨蛋的业务员向老板和上司申请政策时总是爱“哭穷”：“如果再不支持，市场就完了。”老板想的却是：“支持？也许这是个无底洞。”聪明的业务员向老板和上司申请政策时总是说“该做的都做了，只要政策到位，市场立即启动。”老板一看“万事具备，只欠东风”，大笔一挥，政策立即就给了。

每次召开销售会议，职能部门总是众矢之的。业务员的批评似乎情有可原：“老子在前方打仗，你们在后方享福也就罢了，还不断使绊子。”其实，越是这样，职能部门越是不会支持。

定律二十二：要综合评价自己的收入，并不断创造收入增长空间。

GE前总裁曾经说过这样的话：一个人的工作有两项收入：一项是现在的收入，另一项是未来的收入。现在的收入是薪水，未来的收入是挣钱的本事。未来的收入比现实的收入更重要。

在基层岗位，收入的增长有极限。但当职务不断提升时，收入的增长没有极限。从这个意义上讲，收入的增长比收入本身更重要。

业绩定律

定律二十三：普通业务员把客户视为上帝，优秀业务员让客户把他当财神供起来。

客户之所以经销或购买你的产品，是因为你能让他的利益最大化。无论你如何小心饲候客户，可能离客户利益最大化的需求都相去甚远。

你要让客户明白：让你经销我的产品，是给你赚钱的机会——我不是给你一个产品，而是送给你一个光明的未来。

你还要让客户明白：我们要么成为一个战壕的战友，要么成为同行对手——你愿意让我成为你强劲的对手吗？——如果你不经销我的产品，你就去后悔吧。

如果你卖的是一枚鸡蛋，那么鸡蛋不值多少钱。但是，如果你卖的是一个“蛋生鸡，鸡生蛋”的养殖事业，一枚鸡蛋就值钱了——值钱的不是那枚鸡蛋，而是你对鸡蛋的独特认知。

定律二十四：只要帮助客户把产品卖出去了，你的产品也随之卖出去了。

业务员的任务不是解决你自己的问题，而是解决你的客户的问题——因为客户需要你，企业才需要你。如果不举例说明，这句话好像没说一样，似乎有点绕舌。一名酒店老板正为生意不好发愁，一名酒店业务员恰好登门推销，老板决定狠狠“宰一刀”，多收点进店费。哪知业务员根本不谈推销酒的事，话题一直围绕着酒店的生意。老板听后大受启发，立即摆酒席请教业务员。当然，白酒进酒店的事不仅解决了，还因为酒店生意红火扩大了白酒的销量。

当业务员问我怎样把产品卖给客户时，我告诉他：“只要你帮助客户把产品转卖出去并赚了钱，你的产品就卖出去了。”当有人问我怎样才能解决赊销问题时，我同样告诉他：“只要你帮助你的客户解决了赊销问题，客户就会拿现金进你的货。”

定律二十五：业绩产生于机会，要做业绩，先找机会。

在众所周知的领域拼个你死我活，固然也有业绩，但代价太大，不值得。我做业绩，先要有足够的洞察力发现别人没有发现的机会，这就是所谓的蓝海。

做业绩就像打仗攻城一样，打开一个缺口，整座城池都是你的了。而机会就是整座城池的缺口。

定律二十六：如果你的工作既能产生销量，也能产生未来销量，你的业绩才会让人追不上。

如果你的脑子里每天想的是如何完成当月的销量任务，那么你的工作可能是透支未来销量，你只会走下坡路。

如果你所做的是对销量持续增长有贡献的工作，每一项工作都能产生“增量”。每个月的销量都会在上月基础销量基础上不断递增。

最后的忠告：作为一名业务员，如果你不够专业，你应该足够聪明；如果你不够聪明，应该足够谦虚；如果你不够谦虚，应该足够勤奋；如果连勤奋也不够，就不要干营销。

第五篇：高中数学相关定理

2013年普通高等学校招生统一考试数学（文）复习资料2013.5.26

高中数学相关定理、公式及结论证明

（一）三角函数部分。

一、两角和（差）的余弦公式证明。

内容：cos()coscossinsin,cos()coscossinsin

证明：

①如图（1），在单位圆中设P（cos,sin）,Q（cos,-sin）

则：OPOQ)cos()OPOQcoscossinsin

cos()coscossinsin图（1）

②如图（2），在单位圆中设P（cos,sin）,Q（cos,sin）

则：OPOQ)cos()OPOQcoscossinsin

cos()coscossinsin图（2）

二、两角和（差）的正弦公式证明。

内容：sin()sincoscossin,sin()sincoscossin

证明：

sin()cos[

2()]cos[(

2)]cos(

2)cossin(

2)sin

sincoscossin

sin()cos[

2()]cos[(

2)]cos(

2)cossin(

2)sin

sincoscossin

三、两角和（差）的正切公式证明。内容：tan()

证明： tantan1tantan，tan()tantan1tantan

sincos

tan()

sin()cos()



sincoscossincoscossinsin



coscoscoscoscoscos



cossincoscossinsincoscos



tantan1tantan

sincos

tan()

sin()cos()



sincoscossincoscossinsin



coscoscoscoscoscos



cossincoscossinsincoscos



tantan1tantan

四、半角公式证明。内容：sin

2

1cos,cos



2

1cos,tan

2



1cos1cos



2sin1cos



1cos2sin

cos212sin

证明：由二倍角公式 2

cos22cos

12cos12sin2

用代替2，得，得sin2

cos2cos212

sincos

cos,cos

2



cos

2

tan

2

sincos

2

2cos2cos

2

2

2

2



2sin1cos，tan

2

sincos

2

sincos

2

2sin2sin

2

2

2

2



1cos2sin

五、正弦定理证明。

内容：在ABC中，a,b,c分别为角A,B,C的对边，则证明：①如图（3），在RtABC中，sinA



asinAbc,

bsinB



csinC

.ac,sinB

asinA



bsinB

c，C90,sinC1.

asinA



bsinB



csinC

.图（3）

②如图（4），在锐角ABC中，以B为原点，BC所在直线为x轴，建立直角坐标系，作ACy轴于点C，易知BA和CA在轴上的射影均为BC

CbsinC



2B)csinB,bsinB



csinC,同理

asinA



bsinB



asinA



bsinB



csinC

.图（4）

③如图（5），在钝角ABC中，以C为原点，BC所在直线为x轴，建立直角坐标系，作ACy轴于点C，易知BA和CA在轴上的射影均为CC

BcsinBC



2)bsinC,bsinBasinA



csinCbsinB,同理

c

asinA



bsinB



sinC

.图（5）

六、余弦定理证明。

a2b2c22bccosA



2ABC内容：在中，a,b,c分别为角A,B,C的对边，则ba2c22accosB

222

cab2abcosC

证明：如图（6），在ABC中，aaBC

(ACAB)(ACAB)

2ACAB

2

2ACABcosA2

bc2bccosA图（6）

222

abc2bccosA

同理可证：2 22

cab2abcosC

（二）平面向量部分。

一、平面向量基本定理。

内容：如果e1,e2是同一平面内的两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任意一向量a，存在唯一一对 实数1,2，使得a1e12e2.证明：如图（7），过平面内一点O，作OAe1,OBe2,OCa，过点C分别作直 线OA和直线OB的平行线，交OA于点M，交OB于点N，有且只有一组实数，使

得OM1OA,ON2OB图（7）

OCOMONOC1OA2OB

即a1e12e2.二、共线向量定理。

内容：如图（8），A,B,C为平面内的三点，且A,B不重合，点P为平面内任一点，若C在直线AB上，则有

PCPA(1)PB

证明：由题意，BC与BA共线，BCBA

BCPCPB,BAPAPBPCPB(PAPB)

图（8）

化简为：PCPA(1)PB

三、平行向量定理。

内容：若两个向量（与坐标轴不平行）平行，则它们相应的坐标成比例；若两个向量相对应的坐标成比例，则两向量平行。

证明：设a,b是非零向量，且a(x1,y1),b(x2,y2)若a//b，则存在实数使ab，且由平面向量基本定理可知

x1iy1j(x2iy2j)x2iy2j.x1x2①，y1y2②

①y2②x2得：x1y2x2y10

若y10,y20（即向量a,b不与坐标轴平行）则

x1y

1x2y

2（三）立体几何部分。

一、三垂线定理及其逆定理。

内容：在平面内的一条直线，如果和穿过这个平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。

三垂线定理的逆定理：如果平面内一条直线和穿过该平面的一条斜线垂直，那么这条直线也垂直于这条斜线在平面内的射影。

证明：已知：如图（9），直线l与平面相交与点A，l在上的射影OA垂直于a,a

求证：l⊥a

证明：过P作PO垂直于

∵PO⊥α∴PO⊥a

又a⊥OA，PO∩OA=O ∴a⊥平面POA

∴a⊥l图（9）

（四）解析几何部分。

一、点到直线距离公式证明。

内容：已知直线l:AxByC0,直线外一点M(x0,y0).则其到直线l的距离为d

Ax

ByA

C。

B

证明：如图（10），设直线l:AxByC0,直线外一点M(x0,y0).直线上一点P(x,y).可得直线的 一个方向向量为v(B,A),设其法向量为n(s,t)则vnBsAt0，可得直线一法向量为n(A,B),n的单位向量为n0

（AA

B,A

B

B)图（10）

由题意，点M到直线的距离为PM在n0上的射影，所以，d

A(x0x)B(y0y)

A

B



Ax

By

0

2(AxBy)B

②

A

因为点P(x,y)在直线上，所以C(AxBy)①

Ax

ByA

所以，把①代入②中，得d

00

C

B

（五）数列部分

一、等差数列前n项和公式证明。

内容：an是等差数列，公差为d，首项为a1，Sn为其n前项和，则Sna1n证明：由题意，Sna1(a1d)(a12d).......(a1(n1)d)① 反过来可写为：Snan(and)(an2d).......(an(n1)d)②

①+②得：2Sna1na1n.......a1n



n个

n(n1)

d

n(a1an)

所以，Sn

n(a1an)

③，把ana1(n1)d代入③中，得Sna1n

二、等比数列前n项和公式证明。

n(n1)

d

n(a1an)

na1,(q1)

n

内容：an是等比数列，公比为q，首项为a1，Sn为其n前项和，则Sn=a1anq a1(1q)

,(q1)

1q1q

证明：Sna1a1qa1q.......a1qqS

n

2n

1①

n

a1qa1q

a1q

.......a1q②

n

①—②得：(1q)Sna1a1q，当q1时，Sn

a1a1q1q

n



a1(1q)1q

n

③

把ana1q

n1

代入③中，得Sn

a1anq1q

当q1时。很明显Snna1

na1,(q1)

n

所以，Sn=a1anq a1(1q)

,(q1)

1q1q

（六）函数和导数部分

一、换底公式证明。内容：log

N

loglog

aa

Nb

b

(N,a,b0;a,b1)

证明：设log

a

NX,log

a

bY，则ba,Na

YX

log

b

Nlog

a

Y

a

X



XY

log

a

a

XY



loglog

aa

Nb