无网格数值求解方法学习小结

第一篇：无网格数值求解方法学习小结

无网格数值求解方法

——学习小结

一、无网格法的介绍

有限元法存在的那些问题都来源于网格，在用有限元方法处理诸如金属冲压成型、高速冲击、动态裂纹扩展、流固耦合等涉及大变形和移动边界的问题时，由于网格可能发生严重扭曲，往往需要网格重构，不但精度受到了严重影响，计算也大幅度提高，因此有限元方法在这些领域的应用遇到了困难。

直接在有限元基础上对其进行改进，效果自然不会达到最好，于是研究者把革命的对象锁定在了网格上。几经尝试以后，一种基于点集的插值方法被研究者广泛采用，现今的无网格方法，一般就指的是这一类基于点集的数值方法。

无网格方法的位移函数是在点的领域内构造的，并且这些区域是可以重叠的，因此在处理大变形和移动边界等问题时，没有网格的初始划分和重构问题，这不仅有利于这类问题计算精度的提高，还可以减少数值计算难度。

目前已存在十余种无网格方法，它们之间的区别主要在于试函数的选择和微分方程的等效形式。虽然无网格方法对于大变形和移动边界问题具有优势，但其存在收敛性、数值稳定性和效率等问题，因此无网格方法还只能作为有限元方法的补充。

无网格方法基本思想是将有限元法中的网格结构去除，完全代之以一系列的结点排列。

二、求解方法方法

基于位移最小二乘(MLS)近似方法—EFG(Element-free Galerkin Method, Belytschko, 1994)。EFG方法计算稳定，精度较高，是无网格方法中较为成熟的一种 方法。

无网格法就目前来说，仍没有有限元法发展得那么快。而且，大规模地使用无网格法将大大增加计算时间。因此通常只需要在那些不连续、大变形或应力集中区域使用无网格法进行离散，如冲击区域、裂纹扩展区域、大变形区域等，其余区域仍然可采用其他数值方法。

微分方程组

A

(u)=A1(u)A2(u)0 在 内  ...

边界条件

B1(u)B

(u) B(u)20 在上...

等效积分形式 U TAudVTB ud0(*)等效积分弱形式

CTUDudETVFud0

2.1加权余量法

求解域Ω中，若场函数是精确解，则在域Ω中任一点都满足微分方程，同时在边界上任一点都满足边界条件式，此时等效积分形式或等效积分弱形式必

(**)

然严格地得到满足。但是对于复杂的实际问题，这样的精确解往往是很难找到的，因此, 人们需要设法找到具有一定精度的近似解。设u是一个近似解，即为试函数，它可以表示成为一组已知函数或Ritz基函数i的线性组合，即

uxiTaiTa

i1n式中ai为待定系数或Ritz基坐标。

将权函数代入加权余量积分式，由于系数bj的任意性，有

TTTTRadRjAjBad0,j1,2,,m

上式给出了m个方程。用于求解n个待定系数ai。如果mn，则上式是超定的，需要借助于最小二乘法解。对上式进行分部积分得到等效积分弱形式的近似形式

CDadEFad0

TjTTjT2.2伽辽金法

按照对权函数的不同选择就得到不同的加权余量的计算方法并赋以不同的名称。如果取权函数与试函数相同，则称为Galerkin方法。

nTnTTiaidjRBiaid0 RAi1i1Tj我们将会看到，在很多情况下，采用伽辽金法得到的求解方程的系数矩阵是对称的，这是在用加权余量法建立有限元格式时几乎毫不例外地采用伽辽金法的主要原因，而且当存在相应的泛函数时，伽辽金法与变分法往往导致同样的结果。

2.3移动最小二乘近似

构造方法：考虑求解域，其中共有N个结点xi(i1,2,,N)，在各个结

点处有u0(xi)ui，但u(xi)ui。考虑计算点x（对于无网格配点法为结点；对于伽辽金无网格方法为高斯积分点），其邻域x内的近似函数可以写为

)pi(x)ai(x)pT(x)a(x)u(x,xi1m

[x)为Rits基函数，ai(x)为Rits基坐标或待求系数，x式中：pi(x计算点x邻域x内任意点的坐标，它包括x，m是基函数的个数。而

yz]是)[p1(x)pT(x)pm(x)]p2(x，aT(x)[a1(x)a2(x)am(x)]

值得注意的是，在经典Ritz方法中，Ritz基坐标是常数，并且基函数要满足位移边界条件。在式(1)中，基函数要满足如下条件：

)1p1(x )Cn()pi(x

式中：i1,2,,m，Cn()表示在域内具有直到n阶连续导数的函数空间。2.4边界条件

无网格方法的结点形函数多数都不满足关系Njxiij，因此位移边界条件的处理是比较困难的。若采用紧支径向基函数来构造形函数，则可以像一般有限元方法那样来处理位移边界条件。在MLS近似中，若选奇异函数为权函数，则近似函数具有插值特性即Njxiij，因此可以直接施加本质边界条件。对与其他情况，可以借助拉格朗日乘子方法来处理边界条件。

拉格朗日乘子法包括两种，一种是利用边界积分中直接引入边界条件，即

εTσuTfduTpduuTλ+λTu-ud0

三、具体算例

左端固定的悬臂梁，右端面受抛物线剪切载荷作用

主程序：

tic clear;Lx = 20;Ly = 10;young = 210;nu=0.3;q =-1;a = 0;nx = 30;ny = 20;ndivl=10;ndivw=6;dmax=2.89;Dmat =(young/(1-nu^2))*[1 nu 0;nu 1 0;0 0(1-nu)/2];[x,numnod,dm] = mesh1(Lx,Ly,nx,ny,dmax);figure hold on plot(x(1,1:(ny+1)),x(2,1:(ny+1)),'k-','linewidth',3);axis equal;plot(x(1,(ny+1):(ny+1):numnod),x(2,(ny+1):(ny+1):numnod),'k-','linewidth',2);plot(x(1,numnod:-1:(numnod-ny)),x(2,numnod:-1:(numnod-ny)),'k-','linewidth',2);plot(x(1,1:(ny+1):(numnod-ny)),x(2,1:(ny+1):(numnod-ny)),'k-','linewidth',2);%plot(x(1,:),x(2,:),'k.');___axis off;plot(x(1,:),x(2,:),'k.');axis equal;axis off;hold off [xc,conn,numcell,numq] = mesh2(Lx,Ly,ndivl,ndivw);

[nnu,nnt,numT1,numT2] = mesh3(numq,xc,Lx,Ly,a);% nnu---% nnt---% numT1--% numT2--% numq-----quado = 4;[gauss] = gauss2(quado);numq2 = numcell*quado^2;gs = zeros(4,numq2);[gs] = egauss(xc,conn,gauss,numcell);[k]=kjuzhen(numnod,gs,x,dm,dmax,Dmat);rfa=400e12;[ka]=kajuzhen(numnod,nnu,numT1,xc,gauss,x,dm,dmax,rfa);K=k+ka;[f] = fjuzhen(numnod,nnt,numT2,xc,gauss,x,dm,dmax,q,Ly);%fa = zeros(2*numnod,1);%[fa] fajuzhen(nu,young,q,numnod,nnu,numT1,xc,gauss,x,dm,dmax,rfa,Ly);[fa] fajuzhen(nu,young,q,numnod,nnu,numT1,xc,gauss,x,dm,dmax,rfa,Lx,Ly)F=f+fa;u=zeros(2*numnod,1);for i=1:numnod u2(1,i)= u(2*i-1);u2(2,i)= u(2*i);end nx1=2;ny1=10;I = Ly^3/12;

=

=

for i=1:(ny1+1)xjm(1,i)= Lx/2;xjm(2,i)=-(Ly)/ny1*(i-1)+Ly;yjm(i)=-(Ly/ny1)*(i-1)+Ly/2;stress11ex(i)=-q*(Lx-xjm(1,i))* yjm(i)/I;stress12ex(i)= q/(2*I)*(Ly^2/4-yjm(i)^2);end ind = 0;enorm=0;for gg=xjm ind = ind+1;gpos = gg(1:2);v = domain(gpos,x,dm,numnod);L = length(v);en = zeros(1,2*L);[phi,dphix,dphiy] = shape(gpos,dmax,x,v,dm);Bmat=zeros(3,2*L);for j=1:L Bmat(1:3,(2*j-1):2*j)= [dphix(j)0;0 dphiy(j);dphiy(j)dphix(j)];end for i=1:L en(2*i-1)= 2*v(i)-1;en(2*i)= 2*v(i);end

stress(1:3,ind)= Dmat*Bmat*u(en);%stressex(1,ind)=;% stressex(2,ind)= 0;

% stressex(3,ind)= 0;% err = stress(1:3,ind)-stressex(1:3,ind);% err2 = weight*jac*(0.5*(inv(Dmat)*err)'*(err));% enorm = enorm + err2;end %uex=zeros(2,numnod);I = Ly^3/12;ind4 = 0;for i=1:numnod if(x(2,i)==Ly/2)ind4=ind4+1;uex2(ind4)

= q/(6*young*I)*(3*nu*(x(2,i)-Ly/2)^2*(Lx-x(1,i))+(4+5*nu)*(Ly/2)^2*x(1,i)+(3*Lx-x(1,i))*x(1,i)^2);end figure hold on plot(x(1,(ny+1)/2:(ny+1):numnod),u2(2,(ny+1)/2:(ny+1):numnod),'r.');plot(x(1,(ny+1)/2:(ny+1):numnod),uex2,'-');%plot(xz,u2jy,'o');xlabel('x/m','fontweight','bold');ylabel('ux/m','fontweight','bold');legend('Uynode','Exact Solution');hold off % figure % hold on % plot(xjm(2,1:(ny1+1)),stress(1,1:ind),'r*');% plot(xjm(2,1:(ny1+1)),stress11ex(1,1:ind),'.-');% legend('EFG Solution','exact solution');

% % xlabel('y/m','fontweight','bold');% ylabel('Stress ','fontweight','bold');% % hold off % % figure % hold on % plot(xjm(2,1:(ny1+1)),stress(3,1:ind),'r*');% plot(xjm(2,1:(ny1+1)),stress12ex(1,1:ind),'.-');% legend('EFG Solution','exact solution');% xlabel('y/m','fontweight','bold');% ylabel('Stress ','fontweight','bold');hold off Toc 矩形区域内均匀节点布置：

解析解与无网格近似的比较：

第二篇：数值分析第六章学习小结

第六章

数值积分

--------学习小结

姓名

班级

学号

一、本章学习体会

本章主要讲授了数值积分的一些求积公式及各种求积公式的代数精度，重点应掌握插值型求积公式，什么样的求积公式可以被称为插值型求积公式，Newton-Cotes求积公式及其收敛性与数值稳定性，复化求积公式和高斯求积公式，在本章的学习过程中也遇到不少问题，比如本章知识点多，公式多，在做题时容易张冠李戴，其次对Newton-Cotes求积公式的收敛性与数值稳定性理解不够透彻，处理一个实际问题时，不知道选取哪一种求积公式，来达到最精确的结果。

二、本章知识梳理

6.1求积公式及其代数精度

代数精度的概念：如果求积公式(6.1)当f(x)为任何次数不高于m的多项式时都成为等式,而当f(x)为某个m+1次多项式时(6.1)不能成为等式,则称求积公式(6.1)具有m次代数精度。6.2插值型求积公式

（1）求积公式： Rnabf(n1)()n1(x)dx

(n1)!（2）重要的定理：n+1个节点的插值型求积公式至少具有n次代数度。（3）求积系数：

k0nAkba

6.3Newton-Cotes求积公式及其收敛性与数值稳定性

(n)f(xk)（1）公式：f(x)dxf(xk)(ba)cka(n)kk0k0bnnnhn2n(n1)（2）截断误差：Rnf()(ttj)dt

(n1)!0j0（3）重要的定理：当n为偶数时,n+1个节点的Newton-Cotes求积公式至少具有n+1次代数精度。

（4）常用的Newton-Cotes求积公式

n=1 梯形公式：babaf(x)dx[f(a)f(b)]

2(ba)3f(),(a,b)，具有一次精度。

余项：R112n=2 Simpson公式：f(x)dxabbaab[f(a)4f()f(b)] 62(ba)5(4)f(),(a,b)，具有三次精度。余项：R228806.4复化求积法

（1）复化梯形公式：



截断误差： ban1hf(x)dx[f(a)f(b)2f(akh)]2k1

RTba2hf(),[a,b]12

（2）复化Simpson公式：

bamm1hf(x)dx[f(a)f(b)4f(x2k1)2f(x2k)]3k1k1

截断误差：

Rsba4(4)hf(),[a,b]180

6.5Gauss型求积公式

（1）定义：若n个节点的插值型求积公式(6.23)具有2n-1 次代数精度,则称它为Gauss型求积公式。

（2）定理：n个节点的 Gauss型求积公式的代数精度为2n-1。

（3）定理：设{gk(x),k0,1,}是区间[a,b]上带权(x)的正交多项式系,则求积公式(6.23)、式(6.24)是Gauss型求积公式的充分必要条件是它的求积节点是n次正交多项式gn(x)的n个零点。（4）求积系数 公式：

Akb(x)gn(x)(xk)(xxk)gnadx,k1,2,,n

性质：1.Ak0,k1,2,,n

2.k0Ak(x)dxanb

（5）求积公式的构造 第一步：找高斯点

2g(x)1,g(x)xa,g(x)xbxc,由正交性确定121）待定系数法：设0待定系数a,b,c,…..2）利用递推公式 第二步：确定求积系数Ak 1）解线性方程组 2）Ak(x)lk(x)dx,k1,2,,nab

lk(x)

i0iknxxi,k1,2,,nxkxi

三、本章思考题

1.插值型求积公式有何特点？

答：插值型求积公式主要用于计算定积分的值。数学推导中用拉格朗日插值函数代替被积函数，其表现形式是有限个函数值的线性组合，而组合系数恰好是拉格朗日插值基函数的定积分。(n+1)个结点的插值型求积公式的代数精度一般不超过n。用数值求积公式计算定积分可以克服牛顿—莱布尼兹公式的弱点，但是数值计算结果带有误差。在用数值求积公式设计算法时，一般要考虑到误差估计，还应该使所求的数据结果的误差得到控制。2.复化求积公式的误差是如何估计的？

答：对于复化梯形公式可根据其截断误差公式，首先求得hba，然后求nf(x)的二阶倒数，判断f(x)的二阶倒数的单调性，然后在积分区间上求得f(x)的二阶倒数的最大值就可以估计复化求积公式的误差，利用估计出的复化求积公式的误差还可以求得用复化梯形公式近似求解某一积分的有效数字有多少位。对于复化Simpson公式方法同估计复化梯形公式的误差，只是截断误差公式有所改变，此时需求出f(x)的四阶倒数然后判断其最大值。

四、本章测验题

1问题：如果用复化梯形公式计算定积分exdx，要求截断误差不超过

00.5104，试问n至少取多少？

解：复化的梯形公式的截断误差为：RTba3''hf 12RT1ba3hmaxf''()，而maxf''()max(ex)1，h

0x10x10x1n12将以上各式代入RTba3hmaxf''()可得： 0x112ba314 hmaxf''()0.51020x11212nRT解上述方程得n40.8，取n41，所以n至少取41。

第三篇：数值分析第五章学习小结

第五章

插值与逼近

--------学习小结

姓名

班级

学号

一、本章学习体会

本章为插值与逼近，插值与逼近都是指用某个简单的函数在满足一定的条件下，在某个范围内近似代替另一个较为复杂或者解析表达式未给出的函数，以便于简化对后者的各种计算或揭示后者的某些性质。通过对本章的学习熟练的掌握了几种常用的正交多项式的应用问题并且学会了利用递推关系式和一些性质，可以快速的写出最佳平方逼近多项式，还有就是曲线拟合，通过本章的学习能够熟练的使用最小二乘法去拟合所给的数据，并且能够通过构造正交多项式去拟合所给的数据。在本章的学习过程中也遇到不少问题，比如本章知识点多，公式多，在做题时容易张冠李戴，其次对正交多项式的性质理解不够透彻，这些问题在做题时就能够体现出来，所以说通过做题才能发现问题所在。

二、本章知识梳理

5.1 Lagrange插值和Newton插值：

xxj①Lagrange插值基函数lk(x),k0,1,2，n；

j0xkxjnxxj②Lagrange插值多项式pn(x)yklk(x)[]yk；

xxk0k0j0kjnnjkjkn③节点选取原则：居中原则；

④Lagrange插值多项式的特点：直观对称，易建立插值多项式；但无继承性。Newton插值主要是差商的理解与应用，在做题过程中首先应根据已知条件构造差商表，然后根据差商表构造插值多项式；

⑤截断误差的求取： f(n1)()f(n1)()Rn(x)w(n1)(x)，并且f[x0,x1,...,xn]w(n1)(x)，计算时一(n1)!(n1)!般采用截断误差的估计式：Rn(x)5.2 Hermite插值

插值公式：Hmn1(x)pn(x)qm(x)wn1(x)，其中pn(x)应根据已知条件，使用Newton插值法构造Newton插值多项式，最后根据已知条件求解

Mn1wn1(x)。

(n1)!Hmn1(x)。5.3 样条插值

①定义在[a,b]上对应与分划的K次样条函数总可表示为：

1n1s(x)ajxcj(xxj)k，所以要想确定s(x)，需要n+k个条件；

k!j0j1jk②三次样条插值问题

（1）第一种边界条件：

'''''''' y0f''(x0),ynf''(xn)并且s''(x0)y0,s''(xn)yn（2）第二种边界条件：

'''' y0f'(x0),ynf'(xn)并且s'(x0)y0,s'(xn)yn（3）第三种边界条件：

s'(x0)s'(xn),s''(x0)s''(xn)

5.5正交多项式

b(f,g)(x)f(x)g(x)dx

a学习本节要熟练掌握权函数和内积的一些性质 1.正交多项式的概念与性质

①权函数：(x)

b②内积：(f,g)(x)f(x)g(x)dx

ab③正交：(f,g)(x)f(x)g(x)dx0

a0,ij④正交函数系：(i,j)(x)i(x)j(x)dx

ai0,ija

克莱姆-施密特正交化方法：

b0(x)1kk1k1(x)xakjj(x)(k0,1,)

j0k1(x,j)其中a(j0,1，k)kj(,)jj2.几种常用的正交多项式 ①Legendre多项式

L0(x)11dn2nLn(x)nn[(x1)],n1,2,2n!dx

②Chebyshev多项式

Tn(x)cos(narccosx),1x1

③Laguerre多项式

dn(xnex)Un(x)e,n0,1,dxnx

④Hermite多项式

dn(ex)nHn(x)(1)e,n0,1,dxnx22

5.6 函数的最佳平方逼近

①最佳平方逼近概念(f,f)min(f,f)

Hn②最佳平方逼近的条件(fp,j)0 ③ 最佳平方逼近元素是唯一的 ④最佳平方逼近元素的求法p(x)**c(x)，求系数c*kkk0n*k ⑤最佳平方逼近误差(fp,fp)

5.6.4曲线拟合

①曲线拟合的最小二乘法②拟合曲线的求法

[(x)y][(x)y]min*2iiiii0Di0mm2

Dspan{0(x),1(x)，n(x)},nm

(x)c*jj(x)D *j0nA[0,1，n]，c[c0,c1，cn]T

法方程为ATAcATy

还可以通过构造正交多项式作为基函数组，然后去拟合给定的数据，此种方法不用求解矩阵，而是直接求解方程解出相应的系数。

三、本章思考题

问题1：在使用最小二乘法拟合所给数据时，是不是多项式的次数越高，拟合的精度越高？

解：拟合的精度可以用误差平方和来描述，通常来说，如果能用一次项公式来拟合的，用二次公式或三次公式来拟合则方差会更小；同理，能用二次公式来拟合的，用三次公式则方差会更小。因此如果能用这三种之一来拟合的话，则通常是三次公式的方差蕞小。当然如果三种拟合方式的均方差都小于预先所设定的范围时，可以随便选一种，通常是选越简单的式子（比如一次公式），如果方差都比较大，那说明这几种拟合方式都不太好，需寻找更合适的拟合。

问题2：插值与拟合的异同？

解：相同点：都需要根据已知数据构造函数，可使用得到的函数来计算未知点的函数值。不同点：插值需要构造的函数正好通过各插值点,拟合则不要求,只要均方差最小即可，对实验数据进行拟合时,函数形式通常已知,仅需要拟合参数值，拟合是给定了空间中的一些点，找到一个已知形式未知参数的连续曲面来最大限度地逼近这些点，而插值是找到一 个连续曲面来穿过这些点。

四、本章测验题

1问题描述：定义内积：(f,g)f(x)g(x)dx，试在H1span1,x,x2中寻求

0对于f(x)x的最佳平方逼近元素p(x)。321解：0(x)1，1(x)x，2(x)x，(0,0)1dx1，(1,1)x2dx

30021111(2,2)xdx，(2,0)x2dx

530041111(2,1)xdx，(1,0)xdx

4200311222(0,f)xdx，(1,f)x2dx，(2,f)x2dx

57900011213121314123c05216412,c1,c2 .c1，解的：c010535747c122591321517所求的最佳平方逼近的元素为：

p(x)2164xx2 105357

第四篇：数值线性代数课程设计—超定方程组的求解

《数值线性代数课程设计》

专业： 信息与计算科学

班级： 13405011 学号： 1340501123 姓名： 实验日期：报告日期：实验地点：邢耀光 数理学院五楼机房

2016.05.09

2015.05.13

超定方程组的求解

邢耀光

（班级：13405011 学号1340501123）

摘要：在实验数据处理和曲线拟合问题中，求解超定方程组非常普遍。比较常用的方法是最小二乘法。形象的说，就是在无法完全满足给定条件的情况下，求一个最接近的解。最小二乘法（又称最小平方法）是一种数学优化技术。它通过最小化误差的平方和寻找数据的最佳函数匹配。利用最小二乘法可以简便地求得未知的数据，并使得这些求得的数据与实际数据之间误差的平方和为最小。

关键字：最小二乘问题，残量，超定方程组，正则化方程组，Cholesky分解定理。

正文：

最小二乘法的背景：

最小二乘法（又称最小平方法）是一种数学优化技术。它通过最小化误差的平方和寻找数据的最佳函数匹配。利用最小二乘法可以简便地求得未知的数据，并使得这些求得的数据与实际数据之间误差的平方和为最小。最小二乘法还可用于曲线拟合。其他一些优化问题也可通过最小化能量或最大化熵用最小二乘法来表达。最小二乘法经常运用在交通运输学中。

交通发生预测的目的是建立分区产生的交通量与分区土地利用、社会经济特征等变量之间的定量关系，推算规划年各分区所产生的交通量。因为一次出行有两个端点，所以我们要分别分析一个区生成的交通和吸引的交通。

最小二乘问题：

最小二乘问题多产生于数据拟合问题。例如，假定给出m个点t1,...,tm和这m个点上的实验或观测数并假定给出在ti上取值的n个已知函数1(t),...,n(t)。考虑i 的线性组合，f(x;t)x11(t)x22(t)...xnn(t)，（1）

我们希望在t1,...,tm点上f(x;t)能最佳的逼近y1,...,ym这些数据。为此，若定义残量 据y1,...,ymj1

则问题成为：估计参数x1,...,xn，使残量r1,...,rm尽可能地小。（2）式可用矩阵-向量形式表示为

ri(x)yixjj(ti)，i1,...,m，（2）

n r(x)bAx，（3）其中

1(t1)n(t1)y1A, b，(t)(t)y1mnmm

TT)r(x(x,...x，x)(r(x),...,r(x)).1nm1

当mn时，我们可以要求r(x)0，则估计x的问题就可以用第一章中讨论的方法解决。当mn时，一般不可能使所有残量为零，但我们可要求残向量r(x)在某种范数意义下最小。最小二乘问题就是求x使残向量r(x)在2范数意义下最小。

定义1：给定矩阵ARmn及向量bRm，确定xRn，使得

bAx2r(x)2minr(y)2minAyb2.（4）

yRnyRn这就是所谓的最小二乘问题，简称为LS问题，其中的r(x)常常被称为残向量。

在所讨论的最小二乘问题中，若r线性依赖于x，则称其为线性最小二乘问题：若r非线性依赖于x，则称其为非线性最小二乘问题。

最小二乘问题的解x又可称做线性方程组

Axb,ARmn

（5）的最小二乘解，即x在残向量r(x)bAx的2范数最小的意义下满足方程组（5）。当mn时称（5）式为超定方程组。

定理1:（Cholesky分解定理）若ARnn对称正定，则存在一个对角元均为正数的下三角阵LRnn，使得

ALL.（6）（6）式称为Cholesky分解，其中的L称作A的Cholesky因子。

因此，若线性方程组Axb的系数矩阵是对称正定的，则我们自然可按如下的步骤求其解：

（1）计算A的Cholesky分解：ALL ；

（2）求解Lyb得y ；

（3）求解Lxy得x； 简单而实用的方法是直接比较ALL两边的对应元素来计算L。设

TTTTl11ll2122.Llllnnn1n2T比较ALL两边对应的元素，得关系式

aij 首先，由a11l11，得

l11再由ai1l11li1，得

li1ai1l11，i1,...,n.这样便得到了矩阵L的第一列元素。假定已经算出L的前k1列元素，由

akk得 2lp1jipjpl，1jin（7）

a11.lp1k2kp，122 lkkakklkp.（8）

p1k1再由

得

aikliplkpliklkk，ik1,...,n，p1k1k1 likaikliplkplkk，ik1,...,n.（9）

p1这样便求出了L的第k列元素。这种方法称为平方根法。

记最小二乘解的解集为LS，即

定理 ATAxATb.（10）

方程组（10）常常被称为最小二乘问题的正则化方程组或法方程组，它是一个含有n个变量和n个方程的线性方程组。在A的列向量线性无关的条件下，AA对称正定，故可用平方根法求解方程组（6），这样，我们就得到了求解最小二乘问题最古老的算法———正则化方法，其基本步骤如下：

（1）计算CAA, dAb;

（2）用平方根法计算C的Cholesky分解：CLL;（3）求解三角方程组Lyd和Lxy.TTTTT

2：xLS 当且仅当

LSxRn:x是LS问题(3)的解，实验 ：

一：超定方程组的求解

原理：设A是mn阶矩阵mn，则线性方程组Axb为超定方程组，这里xR,bR。如

mm果A的秩为n，则称A为列满秩矩阵。超定方程组的解满足法方程AAxAb，该解使得

TTbAx 22min，称之为最小二乘解。

11 题目： 111TT1.11.12121.21.2221.31.3x3

21.41.441.51.525

用正则化方法求解，要求:（1）BLL 不得使用MathCAD指令Cholesky；（2）BLL使用MathCAD指令Cholesky。

11解：（1）A111 1.11.126.58.5551.21.22T8.5511.375 1.31.32 , 则 BAA6.51.41.428.5511.37515.2981.51.5215B21,20.5L2.907 , gATbLB2.236, 211111L1128.25

L31 B3123.824 , L22B22L210.316 , L11 4 LB32L31L2132L0.822 , LL2233B3331L320.037 , 22

2.236002.2362.9073.824 即 L2.9070.31600.037 , LT00.3160.822, 3.8240.822000.037

6.70810 则yL1g3.162xLT1y10 ,  , 9.27310132.4781011

x即为所求的最小二乘解。

11.11.1211.21.22（2）A2.2360011.31.32cholesky(B)2.9070.316011.41.423.8240.8220.03711.51.52，2.236002.2362.9073.824 则 L2.9070.3160，LT00.3160.8223.8240.8220.037000.037，6.70810 则yL1g3.162xLT1y10 , 

9.27310132.4781011,x即为所求的最小二乘解。

二：已知如下数据： xi0.00.20.40.60.81.01.2yi0.91.92.83.34.05.76.5 利用最小二乘法拟合曲线 ya1xa2.0.00.90.21.9解：令B0.00.20.40.60.81.01.20.42.80.91.92.83.34.05.76.5 ,x0.6，y3.3 0.81.04.05.71.26.510.010.210.41 则A10.6XATAATy0.8434.571，即p(x)0.8434.571x， , 10.811.011.2故最小二乘法拟合曲线为y4.571x0.843.程序附录： 一；

11.11.12111.21.22256.58.55A11.31.32b3AxbBATA gATb, B6.58.5511.37511.41.428.5511.37515.298,45, ，11.51.52 f(B)nrows(B)

Lidentityn()fork1nLkkBkkifk1k1LkkBkkLkp2otherwisep1forik1nBLkikiLifk1kk(break)ifknk1BikLipLkpLikp1LotherwisekkL

15g20.5, , 28.25，002.23602.23602.2362.9073.824Tf(B)2.9070.3160L2.9070.3160L00.3160.82200.0373.8240.8220.037,Lf(B),3.8240.8220.037,0，6.708103.16210yx119.27310132.4781011TyLg , xLy ,, ，二；

120.00.20.40.60.81.01.2TT B , xB , yB, 0.91.92.83.34.05.76.5

00.90.21.90.42.8x0.6 ,y3.3 , x0, x0.2,nrows(x),n120.8415.71.26.507,i1n , Ai11，.111Ax,AXy,A1i2i111p(s)0.8434.571x.0.20.410.843,p(s)XT1

TTAy ,X0.6,XAA4.571s0.811.2

心得体会：

通过本次的课程设计，让我学会了很多，学会了简单的MathCAD 软件的用法。让我更加深刻了解最小二乘问题，和以往对知识的疏忽得以补充。不仅掌握了学习的知识，而其还可以培养和熟练使用资料，运用工具书的能力，把我们所学的课本知识与实践结合起来，起到温故而知新的作用。

参考文献：

1，《数值线性代数》（第二版）北京大学出版社 徐树方，高立，张平方，编著。2013.01

email：974671870qq.com

1340501123：邢耀光

2016.05.13

第五篇：社会调查方法学习小结

社会调查方法学习心得

学习了社会调查方法的课不仅让我懂得了许多关于社会调查方法的理论，而且让我思考了很多。作为一名现代大学生，大家是否对自己周围的人、事、物做过深入的调查与分析?是否发现隐藏其中的内在价值呢?其实，对我们身边的每件小事进行一次调查，都会发现许多有价值的东西，对我们的学习、工作、生活都会有很大帮助。

理论学习和社会实践应该是我们大学生活的两个重要部分。大家都非常渴望走向社会，进行社会实践活动，把所学知识与社会实际问题结合起来。《社会调查方法》课程就给了我们这样一个锻炼的机会。

整个学习过程分为如下几个阶段，先是大家分组，然后是大家讨论实施方案汇报，老师给出改进建议，接着每人设计一份问卷，汇总出一份综合的问卷，然后分别展开调查，整理结果，小组分析讨论，最后写出小组的调查报告。第一阶段：设计实施方案。

“万事开头难”，我们小组会出现一些错误，如：格式不对，项目不够，内容不符，质量欠缺等等。但是，所有这些错误，我们都认真地记录了下来，并且小组讨论解决，不懂得地方继续询问了老师，在李老师的认真指导下，都逐渐地改正过来。这部分是便由我设计总结并且汇报的。第二阶段：设计问卷

设计问卷很艰难，因为问卷要明确目的和内容，在不询问受访人隐私的情况下，尽可能多的了解我们组调查课题的情况。所以我们采取了头脑风暴法，小组每个人都设计了一份问卷，然后我们讨论整合，做出一份最为合理高效的问卷。接下来就是调查方法的问题了，调查方法很多，有问卷法，访谈法，观察法，文献法等。也有同时采用几种方法的。而我们采用问卷星软件发放问卷。我建议我们组选择问卷星软件进行随机抽样调查，小组成员一致同意。第三阶段：展开调查。

问卷和提纲设计好以后，进入调查的展开阶段。同学们纷纷利用自己的人脉关系，调查本校的本科生。因为我们采用的问卷星软件，进行了内部设置，所以很高效的保证了问卷的有效性，因为大家只是点开一个链接就可以填写，所以受访者很积极，问卷星给我们的工作提供了大量的帮助。第四阶段：总结并写出调查报告。

这是最后一步，但也是最难的一步了。小组成员经过认真细致地观察和分析，调查与研究，收集资料，整理数据，最后得出结论，提出建议，写成报告。可以说，我们小组在这一阶段付出的努力更多，花费的时间也最多，由我整理汇总并写出了十几页纸的报告。但是我们追求完美，不断的反复研读，完善报告，并请老师继续指导我们，使我们的报告越来越完善。但是我对我的上台报告并不太满意，有些表述不清。

这门课程从开始到结束共用了10周左右的时间，最后在小组成员和老师的共同努力下，我们小组取得了圆满成功。我们小组不但交出了一份完美的报告，而且大家收获都很多。

我首先体会到了李老师的严谨认真，孜孜不倦，百教不厌，一丝不苟，和蔼可亲，热情奉献和全心负责。我们也体会到了小组成员的积极配合与努力上进。作为组长，我安排的任务都能得到执行，完成的也非常出色。在学习、调查的过程中，我们感受到的不仅是在完成一项任务，更是在热情追求完美和执着探索知识。调查结束后，我收获了很多我在课堂上学不到的东西，收获了许多在学习，生活，工作都有价值和帮助的东西。真正体会到的是理论联系实际的意义，体味到学有所用的乐趣。另外，我觉得老师设计课的流程很好，讲课方式也很舒服，指导我们小组的学习也是孜孜不倦，所以我们觉得这个课和老师都非常好，如果课堂上增加小组讨论那就更加完美了。马上要和这门课说再见了，还真有点依依不舍。每个人在自己的一生中能够认认真真地完成几件事确实是很不容易的。所以，在我们决定去做一件事时一定要全身心投入。“要么不做，要做就要最好”。

公141 潘悦141392