数学常见辅助线做法与小结

第一篇：数学常见辅助线做法与小结

几何最难的地方就是辅助线的添加了，但是对于添加辅助线，还是有规律可循的，下面可小编给大家整理了一些常见的添加辅助线的方法，掌握了对你一定有帮助！

三角形中常见辅助线的添加

1.与角平分线有关的（1）可向两边作垂线。

（2）可作平行线，构造等腰三角形

（3）在角的两边截取相等的线段，构造全等三角形

2.与线段长度相关的（1）截长：证明某两条线段的和或差等于第三条线段时，经常在较长的线段上截取一段，使得它和其中的一条相等，再利用全等或相似证明余下的等于另一条线段即可

（2）补短：证明某两条线段的和或差等于第三条线段时，也可以在较短的线段上延长一段，使得延长的部分等于另外一条较短的线段，再利用全等或相似证明延长后的线段等于那一条长线段即可

（3）倍长中线：题目中如果出现了三角形的中线，方法是将中线延长一倍，再将端点连结，便可得到全等三角形。

（4）遇到中点，考虑中位线或等腰等边中的三线合一。3.与等腰等边三角形相关的（1）考虑三线合一

（2）旋转一定的度数，构造全都三角形，等腰一般旋转顶角的度数，等边旋转60 °

四边形中常见辅助线的添加

特殊四边形主要包括平行四边形、矩形、菱形、正方形和梯形.在解决一些和四边形有关的问题时往往需 要添加辅助线。下面介绍一些辅助线的添加方法。1.和平行四边形有关的辅助线作法

平行四边形是最常见的特殊四边形之一，它有许多可以利用性质，为了利用这些性质往往需要添加辅助线构造平行四边形。（1）利用一组对边平行且相等构造平行四边形

（2）利用两组对边平行构造平行四边形（3）利用对角线互相平分构造平行四边形

2.与矩形有辅助线作法

（1）计算型题，一般通过作辅助线构造直角三角形借助勾股定理解决问题（2）证明或探索题，一般连结矩形的对角线借助对角线相等这一性质解决问题.和矩形有关的试题的辅助线的作法较少.3.和菱形有关的辅助线的作法

和菱形有关的辅助线的作法主要是连接菱形的对角线，借助菱形的判定定理或性质定定理解决问题.（1）作菱形的高

（2）连结菱形的对角线

4.与正方形有关辅助线的作法

正方形是一种完美的几何图形，它既是轴对称图形，又是中心对称图形，有关正方形的试题较多.解决正 方形的问题有时需要作辅助线，作正方形对角线是解决正方形问题的常用辅助线

圆中常见辅助线的添加

1.遇到弦时（解决有关弦的问题时）

常常添加弦心距，或者作垂直于弦的半径（或直径）或再连结过弦的端点的半径。

作用： ①

利用垂径定理

②

利用圆心角及其所对的弧、弦和弦心距之间的关系

③

利用弦的一半、弦心距和半径组成直角三角形，根据勾股定理求有关量 2.遇到有直径时，常常添加（画）直径所对的圆周角

作用：利用圆周角的性质得到直角或直角三角形

3.遇到90度的圆周角时，常常连结两条弦没有公共点的另一端点 作用：利用圆周角的性质，可得到直径

4.遇到弦时，常常连结圆心和弦的两个端点，构成等腰三角形，还可连结圆周上一点和弦的两个端点

作用： ①可得等腰三角形

②据圆周角的性质可得相等的圆周角

5.遇到有切线时，常常添加过切点的半径（连结圆心和切点）

作用：利用切线的性质定理可得OA⊥AB，得到直角或直角三角形

常常添加连结圆上一点和切点

作用：可构成弦切角，从而利用弦切角定理。

6.遇到证明某一直线是圆的切线时

（1）若直线和圆的公共点还未确定，则常过圆心作直线的垂线段。

作用：若OA=r，则l为切线

（2）若直线过圆上的某一点，则连结这点和圆心（即作半径）作用：只需证OA⊥l，则l为切线

（3）有遇到圆上或圆外一点作圆的切线 7.遇到两相交切线时（切线长）

常常连结切点和圆心、连结圆心和圆外的一点、连结两切点

作用：据切线长及其它性质，可得到

①

角、线段的等量关系

②

垂直关系

③

全等、相似三角形

8.遇到三角形的内切圆时

连结内心到各三角形顶点，或过内心作三角形各边的垂线段

作用：利用内心的性质，可得

① 内心到三角形三个顶点的连线是三角形的角平分线 ② 内心到三角形三条边的距离相等

9.遇到三角形的外接圆时，连结外心和各顶点

作用：外心到三角形各顶点的距离相等

10.遇到两圆外离时（解决有关两圆的外、内公切线的问题）

常常作出过切点的半径、连心线、平移公切线，或平移连心线

作用： ①利用切线的性质；

②利用解直角三角形的有关知识

11.遇到两圆相交时

常常作公共弦、两圆连心线、连结交点和圆心等

作用： ①

利用连心线的性质、解直角三角形有关知识

②

利用圆内接四边形的性质

③

利用两圆公共的圆周的性质

④ 垂径定理

12．遇到两圆相切时 常常作连心线、公切线

作用： ①

利用连心线性质

②

切线性质等

13.遇到三个圆两两外切时

常常作每两个圆的连心线

作用：可利用连心线性质

14.遇到四边形对角互补或两个三角形同底并在底的同向且有相等“顶角”时

常常添加辅助圆

作用：以便利用圆的性质

第二篇：初中数学常见辅助线（精选）

三角形中

等腰三角形：1.做高2.做底边延长线与腰相等

等边三角形：1.做高2.内切圆，外接圆（不常用）

30°三角形：1.做垂直2.做60°角的平分线（不常用）

三角形条件中出现中点：1.连接顶点和中点2.做中位线

三角形中出现交叉线（相似常用）：1.做平行线2.构造相等的角如做角平分线

45°三角形：1.做高

四边形中

一般四边形：1.连接对角线（常用四点共圆）2.做角平分线，平行线，连接各边中点平行四边形：常用做高，对角线，构造常用三角形

矩形正方形：对角线，构造相似三角形

菱形：由对角线垂直常构造直角三角形

梯形：做平行分成三角形和平行四边形，做高

直角梯形：做垂直分成直角三角形和矩形

等腰梯形：综合梯形和直角梯形方法，证明常需要全等

正多边形：构造三角形，内接圆、外接圆

圆中，切线问题，连半径证垂直（已知点在圆上）

做垂直证半径（未知点在圆上）

角类，弦类问题，做相等的圆周角圆心角

直角三角形，常用直径对的圆周角=90°

相交弦，弦切角定理，四点共圆，两圆相交等的定理常用连接相关两点

做关于直径对称的弦，角，点，弧，线段

部分问题需要用到平行

一个题中出现多个中点常用中位线

一个题中出现多个直角常用三角函数，直角三角形相似，射影定理

一个题中出现多处线段相等常用等腰三角形，对应线段等量代换，线段加减

一个题中以上常用的形内辅助线都没有思路的时候，可以试着做轴对称，内部线段的延长线。折叠问题中常用连接对应点，垂直，相似定理

第三篇：初中数学复习常见辅助线

等腰三角形

1.作底边上的高，构成两个全等的直角三角形，这是用得最多的一种方法；

2.作一腰上的高；

3过底边的一个端点作底边的垂线，与另一腰的延长线相交，构成直角三角形。

梯形

1.垂直于平行边

2.垂直于下底，延长上底作一腰的平行线

3.平行于两条斜边

4.作两条垂直于下底的垂线

5.延长两条斜边做成一个三角形

菱形

1.连接两对角

2.做高

平行四边形

1.垂直于平行边

2.作对角线——把一个平行四边形分成两个三角形 3.做高——形内形外都要注意

矩形

1.对角线

2.作垂线

很简单。无论什么题目，第一位应该考虑到题目要求，比如AB=AC+BD....这类的就是想办法作出另一条AB等长的线段，再证全等说明AC+BD=另一条AB,就好了。还有一些关于平方的考虑勾股，A字形等。

三角形

图中有角平分线，可向两边作垂线（垂线段相等）。

也可将图对折看，对称以后关系现。

角平分线平行线，等腰三角形来添。

角平分线加垂线，三线合一试试看。

线段垂直平分线，常向两端把线连。

要证线段倍与半，延长缩短可试验。

三角形中两中点，连接则成中位线。

三角形中有中线，延长中线等中线。

解几何题时如何画辅助线?

①见中点引中位线，见中线延长一倍.在几何题中，如果给出中点或中线，可以考虑过中点作中位线或把中线延长一倍来解决相关问题。

②在比例线段证明中，常作平行线。

作平行线时往往是保留结论中的一个比，然后通过一个中间比与结论中的另一个比联系起来。

③对于梯形问题，常用的添加辅助线的方法有

1、过上底的两端点向下底作垂线

2、过上底的一个端点作一腰的平行线

3、过上底的一个端点作一对角线的平行线

4、过一腰的中点作另一腰的平行线

5、过上底一端点和一腰中点的直线与下底的延长线相交

6、作梯形的中位线

7、延长两腰使之相交

四边形

平行四边形出现，对称中心等分点。

梯形里面作高线，平移一腰试试看。

平行移动对角线，补成三角形常见。

证相似，比线段，添线平行成习惯。

等积式子比例换，寻找线段很关键。

直接证明有困难，等量代换少麻烦。

斜边上面作高线

一．

添辅助线有二种情况：

1按定义添辅助线：

如证明二直线垂直可延长使它们,相交后证交角为90°；证线段倍半关系可倍线段取中点或半线段加倍；证角的倍半关系也可类似添辅助线。

2按基本图形添辅助线：

每个几何定理都有与它相对应的几何图形，我们 把它叫做基本图形，添辅助线往往是具有基本图形的性质而基本图形不完整时补完整基本图形，因此“添线”应该叫做“补图”！这样可防止乱添线，添辅助线也有规律可循。举例如下：

（1）平行线是个基本图形：

当几何中出现平行线时添辅助线的关键是添与二条平行线都相交的等第三条直线

（2）等腰三角形是个简单的基本图形：

当几何问题中出现一点发出的二条相等线段时往往要补完整等腰三角形。出现角平分线与平行线组合时可延长平行线与角的二边相交得等腰三角形。

（3）等腰三角形中的重要线段是个重要的基本图形：

出现等腰三角形底边上的中点添底边上的中线；出现角平分线与垂线组合时可延长垂线与角的二边相交得等腰三角形中的重要线段的基本图形。

（4）直角三角形斜边上中线基本图形

出现直角三角形斜边上的中点往往添斜边上的中线。出现线段倍半关系且倍线段是直角三角形的斜边则要添直角三角形斜边上的中线得直角三角形斜边上中线基本图形。

（5）三角形中位线基本图形

几何问题中出现多个中点时往往添加三角形中位线基本图形进行证明当有中点没有中位线时则添中位线，当有中位线三角形不完整时则需补完整三角形；当出现线段倍半关系且与倍线段有公共端点的线段带一个中点则可过这中点添倍线段的平行线得三角形中位线基本图形；当出现线段倍半关系且与半线段的端点是某线段的中点，则可过带中点线段的端点添半线段的平行线得三角形中位线基本图形。

（6）全等三角形：

全等三角形有轴对称形，中心对称形，旋转形与平移形等；如果出现两条相等线段或两个档相等角关于某一直线成轴对称就可以添加轴对称形全等三角形：或添对称轴，或将三角形沿对称轴翻转。当几何问题中出现一组或两组相等线段位于一组对顶角两边且成一直线时可添加中心对称形全等三角形加以证明，添加方法是将四个端点两两连结或过二端点添平行线

（8）特殊角直角三角形

当出现30，45，60，135，150度特殊角时可添加特殊角直角三角形，利用45角直角三角形三边比为1：1：√2；30度角直角三角形三边比为1：2：√3进行证明

二．

基本图形的辅助线的画法

1.三角形问题添加辅助线方法

方法1：有关三角形中线的题目，常将中线加倍。含有中点的题目，常常利用三角形的中位线，通过这种方法，把要证的结论恰当的转移，很容易地解决了问题。

方法2：含有平分线的题目，常以角平分线为对称轴，利用角平分线的性质和题中的条件，构造出全等三角形，从而利用全等三角形的知识解决问题。

方法3：结论是两线段相等的题目常画辅助线构成全等三角形，或利用关于平分线段的一些定理。

方法4：结论是一条线段与另一条线段之和等于第三条线段这类题目，常采用截长法或补短法，所谓截长法就是把第三条线段分成两部分，证其中的一部分等于第一条线段，而另一部分等于第二条线段。

2.平行四边形中常用辅助线的添法

平行四边形（包括矩形、正方形、菱形）的两组对边、对角和对角线都具有某些相同性质，所以在添辅助线方法上也有共同之处，目的都是造就线段的平行、垂直，构成三角形的全等、相似，把平行四边形问题转化成常见的三角形、正方形等问题处理，其常用方法有下列几种，举例简解如下：

（1）连对角线或平移对角线：

（2）过顶点作对边的垂线构造直角三角形

（3）连接对角线交点与一边中点，或过对角线交点作一边的平行线，构造线段平行或中位线

（4）连接顶点与对边上一点的线段或延长这条线段，构造三角形相似或等积三角形。

（5）过顶点作对角线的垂线，构成线段平行或三角形全等.3.梯形中常用辅助线的添法

梯形是一种特殊的四边形。它是平行四边形、三角形知识的综合，通过添加适当的辅助线将梯形问题化归为平行四边形问题或三角形问题来解决。辅助线的添加成为问题解决的桥梁，梯形中常用到的辅助线有：（1）在梯形内部平移一腰。（2）梯形外平移一腰（3）梯形内平移两腰（4）延长两腰（5）过梯形上底的两端点向下底作高（6）平移对角线（7）连接梯形一顶点及一腰的中点。（8）过一腰的中点作另一腰的平行线。（9）作中位线 当然在梯形的有关证明和计算中，添加的辅助线并不一定是固定不变的、单一的。通过辅助线这座桥梁，将梯形问题化归为平行四边形问题或三角形问题来解决，这是解决问题的关键。

作辅助线的方法

一：中点、中位线，延线，平行线。

如遇条件中有中点，中线、中位线等，那么过中点，延长中线或中位线作辅助线，使延长的某一段等于中线或中位线；另一种辅助线是过中点作已知边或线段的平行线，以达到应用某个定理或造成全等的目的。

二：垂线、分角线，翻转全等连。

如遇条件中，有垂线或角的平分线，可以把图形按轴对称的方法，并借助其他条件，而旋转180度，得到全等形，这时辅助线的做法就会应运而生。其对称轴往往是垂线或角的平分线。

三：边边若相等，旋转做实验。

如遇条件中有多边形的两边相等或两角相等，有时边角互相配合，然后把图形旋转一定的角度，就可以得到全等形，这时辅助线的做法仍会应运而生。其对称中心，因题而异，有时没有中心。故可分“有心”和“无心”旋转两种。

四:造角、平、相似，和、差、积、商见。

如遇条件中有多边形的两边相等或两角相等，欲证线段或角的和差积商，往往与相似形有关。在制造两个三角形相似时，一般地，有两种方法：第一，造一个辅助角等于已知角；第二，是把三角形中的某一线段进行平移。故作歌诀：“造角、平、相似，和差积商见。”

托列米定理和梅叶劳定理的证明辅助线分别是造角和平移的代表）

九：面积找底高，多边变三边。

如遇求面积，（在条件和结论中出现线段的平方、乘积，仍可视为求面积），往往作底或高为辅助线，而两三角形的等底或等高是思考的关键。

如遇多边形，想法割补成三角形；反之，亦成立。

另外，我国明清数学家用面积证明勾股定理，其辅助线的做法，即“割补”有二百多种，大多数为“面积找底高，多边变三边”。

初中几何辅助线

一 初中几何常见辅助线口诀

人说几何很困难，难点就在辅助线。辅助线，如何添？把握定理和概念。还要刻苦加钻研，找出规律凭经验。

三角形

图中有角平分线，可向两边作垂线.也可将图对折看，对称以后关系现。

角平分线平行线，等腰三角形来添。

角平分线加垂线，三线合一试试看。

线段垂直平分线，常向两端把线连。

线段和差及倍半，延长缩短可试验。

线段和差不等式，移到同一三角去。

三角形中两中点，连接则成中位线。

三角形中有中线，延长中线等中线。

四边形

平行四边形出现，对称中心等分点。

梯形问题巧转换，变为△和□。

平移腰，移对角，两腰延长作出高。

如果出现腰中点，细心连上中位线。

上述方法不奏效，过腰中点全等造。

证相似，比线段，添线平行成习惯。

等积式子比例换，寻找线段很关键。

直接证明有困难，等量代换少麻烦。

斜边上面作高线，比例中项一大片。

切勿盲目乱添线，方法灵活应多变。

分析综合方法选，困难再多也会减。

虚心勤学加苦练，成绩上升成直线。

二 由角平分线想到的辅助线

口诀：

图中有角平分线，可向两边作垂线。

也可将图对折看，对称以后关系现。

角平分线平行线，等腰三角形来添。

角平分线加垂线，三线合一试试看。

角平分线具有两条性质：a、对称性；b、角平分线上的点到角两边的距离相等。对于有角平分线的辅助线的作法，一般有两种。

三 由线段和差想到的辅助线

口诀：

线段和差及倍半，延长缩短可试验。

线段和差不等式，移到同一三角去。

遇到求证一条线段等于另两条线段之和时，一般方法是截长补短法：

1、截长：在长线段中截取一段等于另两条中的一条，然后证明剩下部分等于另一条；

2、补短：将一条短线段延长，延长部分等于另一条短线段，然后证明新线段等于长线段。

对于证明有关线段和差的不等式，通常会联系到三角形中两线段之和大于第三边、之差小于第三边，故可想办法放在一个三角形中证明。

一、在利用三角形三边关系证明线段不等关系时，如直接证不出来，可连接两点或廷长某边构成三角形，使结论中出现的线段在一个或几个三角形中，再运用三角形三边的不等关系证明，四 由中点想到的辅助线

口诀：

三角形中两中点，连接则成中位线。

三角形中有中线，延长中线等中线。

在三角形中，如果已知一点是三角形某一边上的中点，那么首先应该联想到三角形的中线、中位线、加倍延长中线及其相关性质（直角三角形斜边中线性质、等腰三角形底边中线性质），然后通过探索，找到解决问题的方法。

（一）、中线把原三角形分成两个面积相等的小三角形

（二）、由中点应想到利用三角形的中位线

（三）、由中线应想到延长中线

（四）、直角三角形斜边中线的性质

（五）、角平分线且垂直一线段，应想到等腰三角形的中线

（六）中线延长

口诀：三角形中有中线，延长中线等中线。

题目中如果出现了三角形的中线，常延长加倍此线段，再将端点连结，便可得到全等三角形。

五 全等三角形辅助线

找全等三角形的方法：

（1）可以从结论出发，看要证明相等的两条线段（或角）分别在哪两个可能全等的三角形中；

（2）可以从已知条件出发，看已知条件可以确定哪两个三角形相等；

（3）从条件和结论综合考虑，看它们能一同确定哪两个三角形全等；

（4）若上述方法均不行，可考虑添加辅助线，构造全等三角形。

三角形中常见辅助线的作法：

①延长中线构造全等三角形； ②利用翻折，构造全等三角形； ③引平行线构造全等三角形； ④作连线构造等腰三角形。常见辅助线的作法有以下几种：

1)遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”．

2)遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”．

3)遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理．

4)过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠”

5)截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明．这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目．

特殊方法：在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来，利用三角形面积的知识解答．

六 梯形的辅助线

口诀：

梯形问题巧转换，变为△和□。平移腰，移对角，两腰延长作出高。如果出现腰中点，细心连上中位线。上述方法不奏效，过腰中点全等造。

通常情况下，通过做辅助线，把梯形转化为三角形、平行四边形，是解梯形问题的基本思路。至于选取哪种方法，要结合题目图形和已知条件。常见的几种辅助线的作法如下：

第四篇：初中数学常见辅助线添法

初中数学常见辅助线添加口诀

郭 李云阳县双土九年制学校

辅助线，如何添？把握定理和概念。还要刻苦加钻研，找出规律凭经验。图中有角平分线，可向两边作垂线。也可将图对折看，对称以后关系现。角平分线平行线，等腰三角形来添。角平分线加垂线，三线合一试试看。线段垂直平分线，常向两端把线连。

三角形中两中点，连接则成中位线。

平行四边形出现，对称中心等分点。

平行移动对角线，补成三角形常见。

半径与弦长计算，弦心距来中间站。

切线长度的计算，勾股定理最方便。

辅助线，是虚线，画图注意勿改变。

解题还要多心眼，经常总结方法显。

分析综合方法选，困难再多也会减。要证线段倍与半，延长截取可试验。三角形中有中线，延长中线等中线。梯形里面作高线，平移一腰试试看。证相似，比线段，添线平行成习惯。圆上若有一切线，切点圆心半径连。要想证明是切线，半径垂线仔细辨。基本作图很关键，平时掌握要熟练。切勿盲目乱添线，方法灵活应多变。虚心勤学加苦练，成绩上升成直线。

第五篇：初二三角形常见辅助线做法总结及相关试题_周末

数学专题——三角形中的常用辅助线

常见辅助线的作法有以下几种：

（1）遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”。

例1：如图，ΔABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，BD平分∠ABC交AC于点D，CE垂直于BD，交BD的延长线于点E。求证：BD=2CE。

2）解题思路：要求证BD=2CE，可用加倍法，延长短边，又因为有BD平分∠ABC的条件，可以和等腰三角形的三线合一定理结合起来。

解答过程：

证明：延长BA，CE交于点F，在ΔBEF和ΔBEC中，∵∠1=∠2，BE=BE，∠BEF=∠BEC=90°，∴ΔBEF≌ΔBEC，∴EF=EC，从而CF=2CE。又∠1+∠F=∠3+∠F=90°，故∠1=∠3。

在ΔABD和ΔACF中，∵∠1=∠3，AB=AC，∠BAD=∠CAF=90°，∴ΔABD≌ΔACF，∴BD=CF，∴BD=2CE。

（2）若遇到三角形的中线，可倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”。

例2：如图，已知ΔABC中，AD是∠BAC的平分线，AD又是BC边上的中线。求证：ΔABC是等腰三角形。

证明：延长AD到E，使DE=AD，连接BE。又因为AD是BC边上的中线，∴BD=DC 又∠BDE=∠CDA ΔBED≌ΔCAD，故EB=AC，∠E=∠2，∵AD是∠BAC的平分线 ∴∠1=∠2，∴∠1=∠E，∴AB=EB，从而AB=AC，即ΔABC是等腰三角形。

（3）遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理。

例3：已知，如图，AC平分∠BAD，CD=CB，AB>AD。求证：∠B+∠ADC=180°。

2）解题思路：因为AC是∠BAD的平分线，所以可过点C作∠BAD的两边的垂线，构造直角三角形，通过证明三角形全等解决问题。

解答过程：

证明：作CE⊥AB于E，CF⊥AD于F。∵AC平分∠BAD，∴CE=CF。

在Rt△CBE和Rt△CDF中，∵CE=CF，CB=CD，∴Rt△CBE≌Rt△CDF，∴∠B=∠CDF，∵∠CDF+∠ADC=180°，∴∠B+∠ADC=180°。解题后的思考：

①关于角平行线的问题，常用两种辅助线；

②见中点即联想到中位线。

（4）过图形上某一点作特定的平行线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠”

例4：如图，ΔABC中，AB=AC，E是AB上一点，F是AC延长线上一点，连EF交BC于D，若EB=CF。求证：DE=DF。

2）解题思路：因为DE、DF所在的两个三角形ΔDEB与ΔDFC不可能全等，又知EB=CF，所以需通过添加辅助线进行相等线段的等量代换：过E作EG//CF，构造中心对称型全等三角形，再利用等腰三角形的性质，使问题得以解决。

解答过程：

证明：过E作EG//AC交BC于G，则∠EGB=∠ACB，又AB=AC，∴∠B=∠ACB，∴∠B=∠EGB，∴∠EGD=∠DCF，∴EB=EG=CF，∵∠EDB=∠CDF，∴ΔDGE≌ΔDCF，∴DE=DF。

解题后的思考：此题的辅助线还可以有以下几种作法：

例5：△ABC中，∠BAC=60°，∠C=40°，AP平分∠BAC交BC于P，BQ平分∠ABC交AC于Q，求证：AB+BP=BQ+AQ。

2）解题思路：本题要证明的是AB+BP=BQ+AQ。形势较为复杂，我们可以通过转化的思想把左式和右式分别转化为几条相等线段的和即可得证。可过O作BC的平行线。得△ADO≌△AQO。得到OD=OQ，AD=AQ，只要再证出BD=OD就可以了。

解答过程：

证明：如图（1），过O作OD∥BC交AB于D，∴∠ADO=∠ABC=180°－60°－40°=80°，又∵∠AQO=∠C+∠QBC=80°，∴∠ADO=∠AQO，又∵∠DAO=∠QAO，OA=AO，∴△ADO≌△AQO，∴OD=OQ，AD=AQ，又∵OD∥BP，∴∠PBO=∠DOB，又∵∠PBO=∠DBO，∴∠DBO=∠DOB，∴BD=OD，又∵∠BPA=∠C+∠PAC=70°，∠BOP=∠OBA+∠BAO=70°，∴∠BOP=∠BPO，∴BP=OB，∴AB+BP=AD+DB+BP=AQ+OQ+BO=AQ+BQ。

解题后的思考：（1）本题也可以在AB上截取AD=AQ，连OD，构造全等三角形，即“截长法”。（2）本题利用“平行法”的解法也较多，举例如下：

①如图（2），过O作OD∥BC交AC于D，则△ADO≌△ABO从而得以解决。

④如图（5），过P作PD∥BQ交AC于D，则△ABP≌△ADP从而得以解决。

例6：如图甲，AD∥BC，点E在线段AB上，∠ADE=∠CDE，∠DCE=∠ECB。

求证：CD=AD+BC。

2）解题思路：结论是CD=AD+BC，可考虑用“截长补短法”中的“截长”，即在CD上截取CF=CB，只要再证DF=DA即可，这就转化为证明两线段相等的问题，从而达到简化问题的目的。

解答过程：

证明：在CD上截取CF=BC，如图乙

∴△FCE≌△BCE（SAS），∴∠2=∠1。又∵AD∥BC，∴∠ADC+∠BCD=180°，∴∠DCE+∠CDE=90°，∴∠2+∠3=90°，∠1+∠4=90°，∴∠3=∠4。

在△FDE与△ADE中，∴△FDE≌△ADE（ASA），∴DF=DA，∵CD=DF+CF，∴CD=AD+BC。小结：三角形

图中有角平分线，可向两边作垂线。也可将图对折看，对称以后关系现。角平分线平行线，等腰三角形来添。角平分线加垂线，三线合一试试看。线段垂直平分线，常向两端把线连。线段和差及倍半，延长缩短可试验。线段和差不等式，移到同一三角形。三角形中两中点，连接则成中位线。三角形中有中线，延长中线等中线。