初二证明题中辅助线的做法

第一篇：初二证明题中辅助线的做法

过三角形中点的辅助线的一类做法

1.在△ABC中，D是BC边上的一点，CD=AB且∠BDA=∠BAD，AE是△ABD的中线，求证：

AC=2AE

2.在△ABC中，AB=5，AC=3，AD是BC边上的中线，且AD=2，求BC的长

3.在△ABC中，∠C=2∠B，AD为角平分线，求证：

AB=AC+CD

4.在△ABC中，AD为中线，交AC与E，且AF=FD求证：AE=AC 31

5.AD是△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且AE=EF，求证：

BF=AC

6.BD，CE是△ABC的高，G F是BC和DE中点，求证：FG⊥

DE

7.边长为6的菱形ABCD中∠DAB=600，E为AB的中点，F是AC上一动点，则EF+BF的最小值为

如图已知AC⊥BC,AD//BC,E是BD中点,当BC=3,AC=4,AD=6,求CE的长

在正方形ABCD中,E是AB的中点,F是AD上的一点，且AF=1

4AD,求证:CE平分∠FAB

8.已知一个凸四边形的四条边长顺次分别是a b c d且a2+ab-ac-bc=0，b2+bc-bd-cd=0那么这个四边形是

1.已知对角线互相垂直的四边形其对角线分别为6和8，那么顺次连接这个四边形的各边中点所得到的四边形的面积为（）

A 12B 13C 15D 10

2.如图在梯形ABCD中，AD//BC，现分别以A,B,C,D为圆心，1cm长为半径画图，则图中阴影部分面积是（）Ａ．πcm231Ｂ．πcm2 21Ｃ．πcm2Ｄ．2πcm2 3.已知x为正数，求x21(4x)24的最小值是（）

A 4B 5C 6D 7

4.已知：a，b是整数，且a+b=2，则a21b24的最小值是（）ABCD

5.已知正方形ABCD的边长为8，点E，F在AB 和AC边上。AE=1，AF=3，P是对角线上的动点，则PE+PF的最小值是

6.已知正方形ABCD的边长为8，点M在DC上，且DM=2，N是AC上一动点，则DN+MN的最小值是

7.如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC⊥BD，且AC=6cm，BD6cm，则此梯形的高为cm．

8.如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，ABCDAD1，B60，直线MN为梯形的对称轴，P为MN上一点，那么PCPD的最小

值为． ABCD

B

C

9.菱形ABCD中，EF分别是BC，CD上的点，若∠B=∠EAF=600，∠BAE=200求∠CEF的度数

010.已知六边形ABCDEF的6个内角都是120，CD=20，BC=8，AB=8AF=5，求这个六边形的周长

9.从等边三角形内一点向三边做垂线，已知这三条垂线段的长分别为1，3，5求这个三角形的面积。

10.在矩形ABCD中AE⊥D B，已知AB=2，AD=22，连接EC求，求EC的长

如图在正方形ABCD中，GE⊥CB，GF⊥DC，求证：AE=EF

在梯形ABCD中E，F分别是两底的中点，求证:EF=1

2(AB-CD)

第二篇：初二三角形常见辅助线做法总结及相关试题_周末

数学专题——三角形中的常用辅助线

常见辅助线的作法有以下几种：

（1）遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”。

例1：如图，ΔABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，BD平分∠ABC交AC于点D，CE垂直于BD，交BD的延长线于点E。求证：BD=2CE。

2）解题思路：要求证BD=2CE，可用加倍法，延长短边，又因为有BD平分∠ABC的条件，可以和等腰三角形的三线合一定理结合起来。

解答过程：

证明：延长BA，CE交于点F，在ΔBEF和ΔBEC中，∵∠1=∠2，BE=BE，∠BEF=∠BEC=90°，∴ΔBEF≌ΔBEC，∴EF=EC，从而CF=2CE。又∠1+∠F=∠3+∠F=90°，故∠1=∠3。

在ΔABD和ΔACF中，∵∠1=∠3，AB=AC，∠BAD=∠CAF=90°，∴ΔABD≌ΔACF，∴BD=CF，∴BD=2CE。

（2）若遇到三角形的中线，可倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”。

例2：如图，已知ΔABC中，AD是∠BAC的平分线，AD又是BC边上的中线。求证：ΔABC是等腰三角形。

证明：延长AD到E，使DE=AD，连接BE。又因为AD是BC边上的中线，∴BD=DC 又∠BDE=∠CDA ΔBED≌ΔCAD，故EB=AC，∠E=∠2，∵AD是∠BAC的平分线 ∴∠1=∠2，∴∠1=∠E，∴AB=EB，从而AB=AC，即ΔABC是等腰三角形。

（3）遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理。

例3：已知，如图，AC平分∠BAD，CD=CB，AB>AD。求证：∠B+∠ADC=180°。

2）解题思路：因为AC是∠BAD的平分线，所以可过点C作∠BAD的两边的垂线，构造直角三角形，通过证明三角形全等解决问题。

解答过程：

证明：作CE⊥AB于E，CF⊥AD于F。∵AC平分∠BAD，∴CE=CF。

在Rt△CBE和Rt△CDF中，∵CE=CF，CB=CD，∴Rt△CBE≌Rt△CDF，∴∠B=∠CDF，∵∠CDF+∠ADC=180°，∴∠B+∠ADC=180°。解题后的思考：

①关于角平行线的问题，常用两种辅助线；

②见中点即联想到中位线。

（4）过图形上某一点作特定的平行线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠”

例4：如图，ΔABC中，AB=AC，E是AB上一点，F是AC延长线上一点，连EF交BC于D，若EB=CF。求证：DE=DF。

2）解题思路：因为DE、DF所在的两个三角形ΔDEB与ΔDFC不可能全等，又知EB=CF，所以需通过添加辅助线进行相等线段的等量代换：过E作EG//CF，构造中心对称型全等三角形，再利用等腰三角形的性质，使问题得以解决。

解答过程：

证明：过E作EG//AC交BC于G，则∠EGB=∠ACB，又AB=AC，∴∠B=∠ACB，∴∠B=∠EGB，∴∠EGD=∠DCF，∴EB=EG=CF，∵∠EDB=∠CDF，∴ΔDGE≌ΔDCF，∴DE=DF。

解题后的思考：此题的辅助线还可以有以下几种作法：

例5：△ABC中，∠BAC=60°，∠C=40°，AP平分∠BAC交BC于P，BQ平分∠ABC交AC于Q，求证：AB+BP=BQ+AQ。

2）解题思路：本题要证明的是AB+BP=BQ+AQ。形势较为复杂，我们可以通过转化的思想把左式和右式分别转化为几条相等线段的和即可得证。可过O作BC的平行线。得△ADO≌△AQO。得到OD=OQ，AD=AQ，只要再证出BD=OD就可以了。

解答过程：

证明：如图（1），过O作OD∥BC交AB于D，∴∠ADO=∠ABC=180°－60°－40°=80°，又∵∠AQO=∠C+∠QBC=80°，∴∠ADO=∠AQO，又∵∠DAO=∠QAO，OA=AO，∴△ADO≌△AQO，∴OD=OQ，AD=AQ，又∵OD∥BP，∴∠PBO=∠DOB，又∵∠PBO=∠DBO，∴∠DBO=∠DOB，∴BD=OD，又∵∠BPA=∠C+∠PAC=70°，∠BOP=∠OBA+∠BAO=70°，∴∠BOP=∠BPO，∴BP=OB，∴AB+BP=AD+DB+BP=AQ+OQ+BO=AQ+BQ。

解题后的思考：（1）本题也可以在AB上截取AD=AQ，连OD，构造全等三角形，即“截长法”。（2）本题利用“平行法”的解法也较多，举例如下：

①如图（2），过O作OD∥BC交AC于D，则△ADO≌△ABO从而得以解决。

④如图（5），过P作PD∥BQ交AC于D，则△ABP≌△ADP从而得以解决。

例6：如图甲，AD∥BC，点E在线段AB上，∠ADE=∠CDE，∠DCE=∠ECB。

求证：CD=AD+BC。

2）解题思路：结论是CD=AD+BC，可考虑用“截长补短法”中的“截长”，即在CD上截取CF=CB，只要再证DF=DA即可，这就转化为证明两线段相等的问题，从而达到简化问题的目的。

解答过程：

证明：在CD上截取CF=BC，如图乙

∴△FCE≌△BCE（SAS），∴∠2=∠1。又∵AD∥BC，∴∠ADC+∠BCD=180°，∴∠DCE+∠CDE=90°，∴∠2+∠3=90°，∠1+∠4=90°，∴∠3=∠4。

在△FDE与△ADE中，∴△FDE≌△ADE（ASA），∴DF=DA，∵CD=DF+CF，∴CD=AD+BC。小结：三角形

图中有角平分线，可向两边作垂线。也可将图对折看，对称以后关系现。角平分线平行线，等腰三角形来添。角平分线加垂线，三线合一试试看。线段垂直平分线，常向两端把线连。线段和差及倍半，延长缩短可试验。线段和差不等式，移到同一三角形。三角形中两中点，连接则成中位线。三角形中有中线，延长中线等中线。

第三篇：初二三角形常见辅助线做法总结及相关试题 周末

数学专题——三角形中的常用辅助线

找全等三角形的方法：

（1）可以从结论出发，寻找要证明的相等的两条线段（或两个角）分别在哪两个可能全等的三角形中；

（2）可以从已知条件出发，看已知条件可以确定哪两个三角形全等；（3）可从条件和结论综合考虑，看它们能确定哪两个三角形全等；（4）若上述方法均不可行，可考虑添加辅助线，构造全等三角形。三角形中常见辅助线的作法：

①延长中线构造全等三角形；②利用翻折，构造全等三角形； ③引平行线构造全等三角形；④作连线构造等腰三角形。常见辅助线的作法有以下几种：

（1）遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”。

例1：如图，ΔABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，BD平分∠ABC交AC于点D，CE垂直于BD，交BD的延长线于点E。求证：BD=2CE。

思路分析：

1）题意分析：本题考查等腰三角形的三线合一定理的应用

2）解题思路：要求证BD=2CE，可用加倍法，延长短边，又因为有BD平分∠ABC的条件，可以和等腰三角形的三线合一定理结合起来。

解答过程：

证明：延长BA，CE交于点F，在ΔBEF和ΔBEC中，∵∠1=∠2，BE=BE，∠BEF=∠BEC=90°，∴ΔBEF≌ΔBEC，∴EF=EC，从而CF=2CE。又∠1+∠F=∠3+∠F=90°，故∠1=∠3。

在ΔABD和ΔACF中，∵∠1=∠3，AB=AC，∠BAD=∠CAF=90°，∴ΔABD≌ΔACF，∴BD=CF，∴BD=2CE。

解题后的思考：等腰三角形“三线合一”性质的逆命题在添加辅助线中的应用不但可以提高解题的能力，而且还加强了相关知识点和不同知识领域的联系，为同学们开拓了一个广阔的探索空间；并且在添加辅助线的过程中也蕴含着化归的数学思想，它是解决问题的关键。

（2）若遇到三角形的中线，可倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”。

例2：如图，已知ΔABC中，AD是∠BAC的平分线，AD又是BC边上的中线。求证：ΔABC是等腰三角形。

思路分析：

1）题意分析：本题考查全等三角形常见辅助线的知识。

2）解题思路：在证明三角形的问题中特别要注意题目中出现的中点、中线、中位线等条件，一般这些条件都是解题的突破口，本题给出了AD又是BC边上的中线这一条件，而且要求证AB=AC，可倍长AD得全等三角形，从而问题得证。

解答过程：

证明：延长AD到E，使DE=AD，连接BE。又因为AD是BC边上的中线，∴BD=DC 又∠BDE=∠CDA ΔBED≌ΔCAD，故EB=AC，∠E=∠2，∵AD是∠BAC的平分线 ∴∠1=∠2，∴∠1=∠E，∴AB=EB，从而AB=AC，即ΔABC是等腰三角形。

解题后的思考：题目中如果出现了三角形的中线，常加倍延长此线段，再将端点连结，便可得到全等三角形。

（3）遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理。

例3：已知，如图，AC平分∠BAD，CD=CB，AB>AD。求证：∠B+∠ADC=180°。

思路分析：

1）题意分析：本题考查角平分线定理的应用。

2）解题思路：因为AC是∠BAD的平分线，所以可过点C作∠BAD的两边的垂线，构造直角三角形，通过证明三角形全等解决问题。

解答过程：

证明：作CE⊥AB于E，CF⊥AD于F。∵AC平分∠BAD，∴CE=CF。

在Rt△CBE和Rt△CDF中，∵CE=CF，CB=CD，∴Rt△CBE≌Rt△CDF，∴∠B=∠CDF，∵∠CDF+∠ADC=180°，∴∠B+∠ADC=180°。解题后的思考：

①关于角平行线的问题，常用两种辅助线；

②见中点即联想到中位线。

（4）过图形上某一点作特定的平行线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠”

例4：如图，ΔABC中，AB=AC，E是AB上一点，F是AC延长线上一点，连EF交BC于D，若EB=CF。求证：DE=DF。

思路分析：

1）题意分析： 本题考查全等三角形常见辅助线的知识：作平行线。

2）解题思路：因为DE、DF所在的两个三角形ΔDEB与ΔDFC不可能全等，又知EB=CF，所以需通过添加辅助线进行相等线段的等量代换：过E作EG//CF，构造中心对称型全等三角形，再利用等腰三角形的性质，使问题得以解决。

解答过程：

证明：过E作EG//AC交BC于G，则∠EGB=∠ACB，又AB=AC，∴∠B=∠ACB，∴∠B=∠EGB，∴∠EGD=∠DCF，∴EB=EG=CF，∵∠EDB=∠CDF，∴ΔDGE≌ΔDCF，∴DE=DF。

解题后的思考：此题的辅助线还可以有以下几种作法：

例5：△ABC中，∠BAC=60°，∠C=40°，AP平分∠BAC交BC于P，BQ平分∠ABC交AC于Q，求证：AB+BP=BQ+AQ。

思路分析：

1）题意分析：本题考查全等三角形常见辅助线的知识：作平行线。

2）解题思路：本题要证明的是AB+BP=BQ+AQ。形势较为复杂，我们可以通过转化的思想把左式和右式分别转化为几条相等线段的和即可得证。可过O作BC的平行线。得△ADO≌△AQO。得到OD=OQ，AD=AQ，只要再证出BD=OD就可以了。

解答过程：

证明：如图（1），过O作OD∥BC交AB于D，∴∠ADO=∠ABC=180°－60°－40°=80°，又∵∠AQO=∠C+∠QBC=80°，∴∠ADO=∠AQO，又∵∠DAO=∠QAO，OA=AO，∴△ADO≌△AQO，∴OD=OQ，AD=AQ，又∵OD∥BP，∴∠PBO=∠DOB，又∵∠PBO=∠DBO，∴∠DBO=∠DOB，∴BD=OD，又∵∠BPA=∠C+∠PAC=70°，∠BOP=∠OBA+∠BAO=70°，∴∠BOP=∠BPO，∴BP=OB，∴AB+BP=AD+DB+BP=AQ+OQ+BO=AQ+BQ。

解题后的思考：（1）本题也可以在AB上截取AD=AQ，连OD，构造全等三角形，即“截长法”。（2）本题利用“平行法”的解法也较多，举例如下：

①如图（2），过O作OD∥BC交AC于D，则△ADO≌△ABO从而得以解决。

④如图（5），过P作PD∥BQ交AC于D，则△ABP≌△ADP从而得以解决。

小结：通过一题的多种辅助线添加方法，体会添加辅助线的目的在于构造全等三角形。而不同的添加方法实际是从不同途径来实现线段的转移的，体会构造的全等三角形在转移线段中的作用。从变换的观点可以看到，不论是作平行线还是倍长中线，实质都是对三角形作了一个以中点为旋转中心的旋转变换构造了全等三角形。

（5）截长法与补短法，具体作法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，使之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明。这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目。

例6：如图甲，AD∥BC，点E在线段AB上，∠ADE=∠CDE，∠DCE=∠ECB。求证：CD=AD+BC。

思路分析：

1）题意分析： 本题考查全等三角形常见辅助线的知识：截长法或补短法。2）解题思路：结论是CD=AD+BC，可考虑用“截长补短法”中的“截长”，即在CD上截取CF=CB，只要再证DF=DA即可，这就转化为证明两线段相等的问题，从而达到简化问题的目的。

解答过程：

证明：在CD上截取CF=BC，如图乙

∴△FCE≌△BCE（SAS），∴∠2=∠1。又∵AD∥BC，∴∠ADC+∠BCD=180°，∴∠DCE+∠CDE=90°，∴∠2+∠3=90°，∠1+∠4=90°，∴∠3=∠4。

在△FDE与△ADE中，∴△FDE≌△ADE（ASA），∴DF=DA，∵CD=DF+CF，∴CD=AD+BC。

解题后的思考：遇到求证一条线段等于另两条线段之和时，一般方法是截长法或补短法：

截长：在长线段中截取一段等于另两条中的一条，然后证明剩下部分等于另一条；

补短：将一条短线段延长，延长部分等于另一条短线段，然后证明新线段等于长线段。

1）对于证明有关线段和差的不等式，通常会联系到三角形中两线段之和大于第三边、之差小于第三边，故可想办法将其放在一个三角形中证明。

2）在利用三角形三边关系证明线段不等关系时，如直接证明不出来，可连接两点或延长某边构成三角形，使结论中出现的线段在一个或几个三角形中，再运用三角形三边的不等关系证明。

小结：三角形

图中有角平分线，可向两边作垂线。也可将图对折看，对称以后关系现。角平分线平行线，等腰三角形来添。角平分线加垂线，三线合一试试看。线段垂直平分线，常向两端把线连。线段和差及倍半，延长缩短可试验。线段和差不等式，移到同一三角形。三角形中两中点，连接则成中位线。三角形中有中线，延长中线等中线。

第四篇：数学常见辅助线做法与小结

几何最难的地方就是辅助线的添加了，但是对于添加辅助线，还是有规律可循的，下面可小编给大家整理了一些常见的添加辅助线的方法，掌握了对你一定有帮助！

三角形中常见辅助线的添加

1.与角平分线有关的（1）可向两边作垂线。

（2）可作平行线，构造等腰三角形

（3）在角的两边截取相等的线段，构造全等三角形

2.与线段长度相关的（1）截长：证明某两条线段的和或差等于第三条线段时，经常在较长的线段上截取一段，使得它和其中的一条相等，再利用全等或相似证明余下的等于另一条线段即可

（2）补短：证明某两条线段的和或差等于第三条线段时，也可以在较短的线段上延长一段，使得延长的部分等于另外一条较短的线段，再利用全等或相似证明延长后的线段等于那一条长线段即可

（3）倍长中线：题目中如果出现了三角形的中线，方法是将中线延长一倍，再将端点连结，便可得到全等三角形。

（4）遇到中点，考虑中位线或等腰等边中的三线合一。3.与等腰等边三角形相关的（1）考虑三线合一

（2）旋转一定的度数，构造全都三角形，等腰一般旋转顶角的度数，等边旋转60 °

四边形中常见辅助线的添加

特殊四边形主要包括平行四边形、矩形、菱形、正方形和梯形.在解决一些和四边形有关的问题时往往需 要添加辅助线。下面介绍一些辅助线的添加方法。1.和平行四边形有关的辅助线作法

平行四边形是最常见的特殊四边形之一，它有许多可以利用性质，为了利用这些性质往往需要添加辅助线构造平行四边形。（1）利用一组对边平行且相等构造平行四边形

（2）利用两组对边平行构造平行四边形（3）利用对角线互相平分构造平行四边形

2.与矩形有辅助线作法

（1）计算型题，一般通过作辅助线构造直角三角形借助勾股定理解决问题（2）证明或探索题，一般连结矩形的对角线借助对角线相等这一性质解决问题.和矩形有关的试题的辅助线的作法较少.3.和菱形有关的辅助线的作法

和菱形有关的辅助线的作法主要是连接菱形的对角线，借助菱形的判定定理或性质定定理解决问题.（1）作菱形的高

（2）连结菱形的对角线

4.与正方形有关辅助线的作法

正方形是一种完美的几何图形，它既是轴对称图形，又是中心对称图形，有关正方形的试题较多.解决正 方形的问题有时需要作辅助线，作正方形对角线是解决正方形问题的常用辅助线

圆中常见辅助线的添加

1.遇到弦时（解决有关弦的问题时）

常常添加弦心距，或者作垂直于弦的半径（或直径）或再连结过弦的端点的半径。

作用： ①

利用垂径定理

②

利用圆心角及其所对的弧、弦和弦心距之间的关系

③

利用弦的一半、弦心距和半径组成直角三角形，根据勾股定理求有关量 2.遇到有直径时，常常添加（画）直径所对的圆周角

作用：利用圆周角的性质得到直角或直角三角形

3.遇到90度的圆周角时，常常连结两条弦没有公共点的另一端点 作用：利用圆周角的性质，可得到直径

4.遇到弦时，常常连结圆心和弦的两个端点，构成等腰三角形，还可连结圆周上一点和弦的两个端点

作用： ①可得等腰三角形

②据圆周角的性质可得相等的圆周角

5.遇到有切线时，常常添加过切点的半径（连结圆心和切点）

作用：利用切线的性质定理可得OA⊥AB，得到直角或直角三角形

常常添加连结圆上一点和切点

作用：可构成弦切角，从而利用弦切角定理。

6.遇到证明某一直线是圆的切线时

（1）若直线和圆的公共点还未确定，则常过圆心作直线的垂线段。

作用：若OA=r，则l为切线

（2）若直线过圆上的某一点，则连结这点和圆心（即作半径）作用：只需证OA⊥l，则l为切线

（3）有遇到圆上或圆外一点作圆的切线 7.遇到两相交切线时（切线长）

常常连结切点和圆心、连结圆心和圆外的一点、连结两切点

作用：据切线长及其它性质，可得到

①

角、线段的等量关系

②

垂直关系

③

全等、相似三角形

8.遇到三角形的内切圆时

连结内心到各三角形顶点，或过内心作三角形各边的垂线段

作用：利用内心的性质，可得

① 内心到三角形三个顶点的连线是三角形的角平分线 ② 内心到三角形三条边的距离相等

9.遇到三角形的外接圆时，连结外心和各顶点

作用：外心到三角形各顶点的距离相等

10.遇到两圆外离时（解决有关两圆的外、内公切线的问题）

常常作出过切点的半径、连心线、平移公切线，或平移连心线

作用： ①利用切线的性质；

②利用解直角三角形的有关知识

11.遇到两圆相交时

常常作公共弦、两圆连心线、连结交点和圆心等

作用： ①

利用连心线的性质、解直角三角形有关知识

②

利用圆内接四边形的性质

③

利用两圆公共的圆周的性质

④ 垂径定理

12．遇到两圆相切时 常常作连心线、公切线

作用： ①

利用连心线性质

②

切线性质等

13.遇到三个圆两两外切时

常常作每两个圆的连心线

作用：可利用连心线性质

14.遇到四边形对角互补或两个三角形同底并在底的同向且有相等“顶角”时

常常添加辅助圆

作用：以便利用圆的性质

第五篇：中考 数学证明题辅助线经典做法训练

新智慧辅导中心吴老师：***

初中数学培优训练题

补形法的应用

班级________姓名__________分数_______

一些几何题的证明或求解，由原图形分析探究，有时显得十分繁难，若通过适当的“补形”来进行，即添置适当的辅助线，将原图形填补成一个完整的、特殊的、简单的新图形，则能使原问题的本质得到充分的显示，通过对新图形的分析，使原问题顺利获解。这种方法，我们称之为补形法，它能培养思维能力和解题技巧。我们学过的三角形、特殊四边形、圆等都可以作为“补形”的对象。现就常见的添补的图形举例如下，以供参考。

一、补成三角形

1.补成三角形

例1.如图1，已知E为梯形ABCD的腰CD的中点；

证明：△ABE的面积等于梯形ABCD面积的一半。

分析：过一顶点和一腰中点作直线，交底的延长线于一点，构造等面积的三角形。这也是梯形中常用的辅助线添法之一。

略证：

2.补成等腰三角形

例2 如图2.已知∠A＝90°，AB＝AC，∠1＝∠2，CE⊥BD，求证：BD＝2CE

分析：因为角是轴对称图形，角平分线是对称轴，故根据对称性作出辅助

线，不难发现CF＝2CE，再证BD＝CF即可。

略证：

3.补成直角三角形

例3.如图3，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＋∠C＝90°，F、G分别

是AD、BC的中点，若BC＝18，AD＝8，求FG的长。

分析：从∠B、∠C互余，考虑将它们变为直角三角形的角，故延长BA、CD，要求FG，需求PF、PG。

略解：

图

34.补成等边三角形

例4.图4，△ABC是等边三角形，延长BC至D，延长BA至E，使AE＝BD，连结CE、ED。证明：EC＝ED

分析：要证明EC＝ED，通常要证∠ECD＝∠EDC，但难以实现。这样可采

用补形法即延长BD到F，使BF＝BE，连结EF。

略证：

二、补成特殊的四边形

1.补成平行四边形

例5.如图5，四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、CD、AC、BD的中点，并且E、F、G、H不在同一条直线上，求证：EF和GH互相平分。

分析：因为平行四边形的对角线互相平分，故要证结论，需考虑四边

形GEHF是平行四边形。

略证：

2.补成矩形

例6.如图6，四边形ABCD中，∠A＝60°，∠B＝∠D＝90°，AB＝200m，CD＝100m，求AD、BC的长。

分析：矩形具有许多特殊的性质，巧妙地构造矩形，可使问题转化为解直角三角

形，于是一些四边形中较难的计算题不难获解。

略解：

图6

3.补成菱形

例7.如图7，凸五边形ABCDE中，∠A=∠B＝120°，EA＝AB＝BC＝2，CD＝

DE＝4，求其面积

分析：延长EA、CB交于P，根据题意易证四边形PCDE为菱形。

略解：

4.补成正方形

例8.如图8，在△ABC中，AD⊥BC于D，∠BAC＝45°，BD＝3，DC＝2。

求△ABC的面积。

分析：本题要想从已知条件直接求出此三角形的面积确实有些困难，如果

从题设∠BAC＝45°，AD⊥BC出发，可以捕捉到利用轴对称性质构造一个正方

形的信息，那么问题立即可以获解。

略解：

5.补成梯形

例9．如图9，已知： G是△ABC中BC边上的中线的中点，L是△ABC外的一条直线，自A、B、图8

图7

C、G向L作垂线，垂足分别为A1、B1、C1、G1。求证：GG1＝4(2AA1＋BB

1＋CC1)。

分析：本题从已知条件可知，中点多、垂线多特点，联想到构造直角梯形

来加以解决比较恰当，故过D作DD1⊥L于D1，则DD1既是梯形BB1C1C的中

位线，又是梯形DD1A1A的一条底边，因而，可想到运用梯形中位线定理突破，使要证的结论明显地显示出来，从而使问题快速获证。

略证：

图9