第一篇:初二数学全等三角形证明[本站推荐]
初二数学全等三角形证明
班别_______姓名_______学号_______2007-5-1
51.如图,AB=CD,AD、BC相交于点O,(1)要使△ABO≌△DCO,应添加的条件为.(添加一个条件即可)
(2)添加条件后,证明△
ABO≌△DCO
2.已知:如图,AB//DE,且AB=DE.(l)请你只添加一个条件,使△ABC≌△DEF,你添加的条件是.(2)添加条件后,证明△ABC≌△DEF.3、如图,点E在AB上,AC=AD,请你添加一个条件,使图中存在全等三角形,并给予证明。
所添条件为,你得到的一对全等三角形是
证明:ABOCD(第12题)
4、如图,在△ABC中,D为BC边的中点,过D点分别作DE∥AB交AC于点E,DF∥AC交AB于点F.(1)证明:△BDF≌△DCE ;AFE
BC D
(第4 题图)
5.如图9,已知∠1 = ∠2,AB = AC.求证:BD = CDBDA
图 9
6.如图,已知∠1=∠2,∠C=∠D,求证:AC=BD.
A
B7、如图,在ABCD中,BEAC于点E,DFAC于点F.
求证:AECF;AD
BC8、如图,已知点M、N分别是平行四边形ABCD的边AB、、DC的中点,求证: ∠DAN=∠BCM.9.如图,AC和BD相交于点E,AB∥CD,BE=DE。求证:AB=CD
A
B E
第9题图
10、已知:如图10,在△ABC中,AB=AC,点D,E在边BC上,且BD=CE.
求证:AD=AE.
_B
_C
_ M
_N
_A
_D
D
C
图10
C12、如图(4),在△ABD和△ACE中,有下列四个等式:○
1AB=AC○2AD=AE○31=∠2○4BD=CE.请你以其中三个等式作为题设,余下的作为结论,写出一个真命题(要求写出已知,求证及证明过程)
第二篇:全等三角形证明
全等三角形的证明
1.翻折
如图(1),BOC≌EOD,BOC可以看成是由EOD沿直线AO翻折180得到的;
旋转
如图(2),COD≌BOA,COD可以看成是由BOA绕着点O旋转180得到的;
平移
如图(3),DEF≌ACB,DEF可以看成是由ACB沿CB方向平行移动而得到的。
2.判定三角形全等的方法:
(1)边角边公理、角边角公理、边边边公理、斜边直角边(直角三角形中)公理
(2)推论:角角边定理
3.注意问题:
(1)在判定两个三角形全等时,至少有一边对应相等;
(2)不能证明两个三角形全等的是,a: 三个角对应相等,即AAA;b :有两边和其中一角对应相等,即SSA。
一、全等三角形知识的应用
(1)证明线段(或角)相等
例1:如图,已知AD=AE,AB=AC.求证:BF=FC
(2)证明线段平行
例2:已知:如图,DE⊥AC,BF⊥AC,垂足分别为E、F,DE=BF,AE=CF.求证:AB∥CD
(3)证明线段的倍半关系,可利用加倍法或折半法将问题转化为证明两条线段相等
例3:如图,在△ ABC中,AB=AC,延长AB到D,使BD=AB,取AB的中点E,连接CD和CE.求证:CD=2CE
例4 如图,△ABC中,∠C=2∠B,∠1=∠2。求证:AB=AC+CD.
.
例5:已知:如图,A、D、B三点在同一条直线上,CD⊥AB,ΔADC、ΔBDO为等腰Rt三角形,AO、BC的大小关系和位置关系分别如何?证明你的结论。
例6.如图,已知C为线段AB上的一点,ACM和CBN都是等边三角形,AN和CM相交于F点,BM和CN交于E点。求证:CEF是等边三角形。
N
M
FE
C
A B
第三篇:全等三角形证明
全等三角形证明
1、已知CD∥AB,DF∥EB,DF=EB,问AF=CE吗?说明理由。
CA2、已知∠E=∠F,∠1=∠2,AB=CD,问AE=DF吗?说明理由。
F3、已知,点C是AB的中点,CD∥BE,且CD=BE,问∠D=∠E吗?说明理由。
4、已知AB=CD,BE=DF,AE=CF,问AB∥CD吗?
A B
C
第四篇:初二数学全等三角形的证明课件
锐进教育(初高中辅导专家)
【重点、考点】
定义:
1.全等形: 能够完全重合的两个图形叫做全等形。
2.全等三角形:
(1)定义:能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。
(2)表示方法:⊿ABC≌⊿DEF
(3)全等三角形的性质:全等三角形的对应边相等,全等三角形的对应角相等
3.全等三角形的判定:三边相等(SSS)、两边和它们的夹角相等(SAS)、两角和它们的夹边(ASA)、两角和其中一角的对边对应相等(AAS)、斜边和直角边相等的两直角三角形(HL)
练习
1.如图1,已知△ABE≌△ACD,AB=AC,写出这对全等三角形的对应边和对应角。
2.如图1,AB=AC,BE=CD,要使△ABE≌△ACD,依据“SSS”,则还需添加条件:。
图
13.如右图,已知BD=CE,∠1=∠2,那么AB=AC,你知道这是为什么吗?
AE
A
C
4.(2012年中考)如右图,点D在AB上,点E在AC上,AB=AC,∠B=∠C.求证:BE=CD
5.如右图,AB=CD,AE⊥BC,DF⊥BC,垂足分别为E,F,CE=BF.求证:AE=DF.
D
E
B
C
利用全等三角形解决实际问题
1.如图1,某同学把一块三角形的玻璃打碎成三片,现在他要到玻璃店去配一块完全一样形状的玻璃.那么最省事的办法是带()A.①B.②C.③D.①和②
②
③
A
图1图
22.工人师傅经常利用角尺平分一个任意角,如图2,∠AOB是一个任意角,在OA、OB边上分别取OD=OE,移动角尺使角尺两边相同的刻度分别与D、E重合,这时过角尺顶点P的射线OP就是∠AOB的平分线,你能说明其中的道理吗
3.图17为人民公园的荷花池,现要测量此荷花池两旁A、B两棵树间的距离(不能直接测量),请你根据所学三角形全等的知识,设计一种测量方案求出AB的长(要求画出草图,写出测量方案和理由).
图17
开放题
如图,给出五个等量关系:①AD=BC、②AC=BD、③CE=DE、④∠D=∠C、⑤∠DAB=∠CBA。请你以其中两个为条件,另三个中的一个为结论,写出一个正确命题(写出三种情况),并选一种情况加以证明。
三角形辅助线做法
1)遇到等腰三角形可作底边上的高,利用“三线合一”的性质解题,思维模式是全等变换中的“对折”. 2)遇到三角形的中线,倍长中线,使延长线段与原中线长相等,构造全等三角形,利用的思维模式是全等变换中的“旋转”. 3)遇到角平分线,可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线,利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”,所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理.
4)过图形上某一点作特定的平分线,构造全等三角形,利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠”
5)截长法与补短法,具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等,或是将某条线段延长,是之与特定线段相等,再利用三角形全等的有关性质加以说明.这种作法,适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目.
6)特殊方法:在求有关三角形的定值一类的问题时,常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来,利用三角形面积的知识解答.
练习
1、如图1,在△ABC中,BD=DC,∠1=∠2,求证:AD⊥BC.
A
E
F
B
CD
图1图
22、如图2,△ABC中,E、F分别在AB、AC上,DE⊥DF,D是中点,试比较BE+CF与EF的大小.3、如图,在△ABC中,AD平分∠BAC,∠C=2∠B.求证:AB=AC+CD.
EB
D
A
C4、如图24,在△ABC中,AD平分∠BAC,CE⊥AD于E.求证:∠ACE=∠B+∠ECD.
F
B
A
E
D
C5、如图26,在△ABC中,AB=AC,BD平分∠ABC,DE⊥BD于D,交BC于点E.求证:CD=
BE.
2旋转、动点
1、(2012年中考)如图3,在等边△ABC中,AB=6,D是BC上一点.且BC=3BD,△ABD绕点A旋转后的得到△ACE.则CE的长为_______.
E
B
图3图
42、.在△ABC中,ACB90,ACBC,直线MN经过点C,且ADMN于D,BEMN于E.(1)当直线MN绕点C旋转到图1的位置时,求证: ①ADC≌CEB;②DEADBE
;(2)当直线MN绕点C旋转到图2的位置时,(1)中的结论还成立吗?若成立,请给出证明;若不成立,说明理由.3、D为等腰RtABC斜边AB的中点,DM⊥DN,DM,DN分别交BC,CA(1)当MDN绕点D转动时,求证DE=DF。
(2)若AB=2,求四边形DECF的面积。
A
三、角的平分线
1.角的平分线的性质:角的平分线上的点到角的两边的距离相等。
2.角的平分线的判定: 角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上
练习
1、如图,OM平分∠POQ,MA⊥OP,MB⊥OQ,A、B为垂足,AB交OM于点N. 求证:∠OAB=∠OBA2、如图14-73所示,在△ABC中,∠C=90°,∠BAC=60°,AB的垂直平分线交AB于D,交BC于E,若CE=3cm,求BE的长.四、尺规作图
考点:
1、求路程最短
2、求到各边距离相等的点
1、已知:如图,线段a.2、已知,如图1, 求作∠2=∠
12、如图,已知∠1,求作∠2=∠
2图1图23、已知:如图2,∠AOB,求作:射线OP, 使∠AOP=∠BOP(即OP平分∠AOB)
4、已知:如图3,线段AB,求作PQ垂直平分AB.5、如图4,已知直线AB及直线AB外一点C,过点C作CD∥AB(写出作法,画出图形).
图3图
第五篇:全等三角形练习题(证明)
全等三角形练习题(8)
一、认认真真选,沉着应战!
1.下列命题中正确的是()
A.全等三角形的高相等B.全等三角形的中线相等
C.全等三角形的角平分线相等D.全等三角形对应角的平分线相等 2. 下列各条件中,不能做出惟一三角形的是()
A.已知两边和夹角B.已知两角和夹边
C.已知两边和其中一边的对角D.已知三边
4.下列各组条件中,能判定△ABC≌△DEF的是()
A.AB=DE,BC=EF,∠A=∠D
B.∠A=∠D,∠C=∠F,AC=EF
C.AB=DE,BC=EF,△ABC的周长= △DEF的周长
D.∠A=∠D,∠B=∠E,∠C=∠F
5.如图,在△ABC中,∠A:∠B:∠C=3:5:10,又△MNC≌△ABC,则∠BCM:∠BCN等于()
A.1:2B.1:3C.2:3D.1:
46.如图,∠AOB和一条定长线段A,在∠AOB内找一点P,使P到OA、OB的距离都等于A,做法如下:(1)作OB的垂线NH,使NH=A,H为垂足.(2)过N作NM∥OB.(3)作∠AOB的平分线OP,与NM交于P.(4)点P即为所求.
其中(3)的依据是()
A.平行线之间的距离处处相等
B.到角的两边距离相等的点在角的平分线上
C.角的平分线上的点到角的两边的距离相等
D.到线段的两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上
7. 如图,△ABC的三边AB、BC、CA长分别是20、30、40,其三条 角平分线将△ABC分为三个三角形,则S△ABO︰S△BCO︰S△CAO等于()
A.1︰1︰1B.1︰2︰3C.2︰3︰4D.3︰4︰
58.如图,从下列四个条件:①BC=B′C,②AC=A′C,③∠A′CB=∠B′CB,④AB=A′B′中,任取三个为条件,ANCA
C F 余下的一个为结论,则最多可以构成正确的结论的个数是()
A.1个B.2个C.3个D.4个
9.要测量河两岸相对的两点A,B的距离,先在AB的垂线BF上 取两点C,D,使CD=BC,再定出BF的垂线DE,使A,C,E在同 一条直线上,如图,可以得到EDCABC,所以ED=AB,因
E
此测得ED的长就是AB的长,判定EDCABC的理由是()A.SASB.ASAC.SSSD.HL
10.如图所示,△ABE和△ADC是△ABC分别沿着AB,AC边 翻折180°形成的,若∠1∶∠2∶∠3=28∶5∶3,则∠α的度数为()
A.80°B.100°C.60°D.45°.
二、仔仔细细填,记录自信!
11.如图,在△ABC中,AD=DE,AB=BE,∠A=80°,则∠CED=_____.
12.已知△DEF≌△ABC,AB=AC,且△ABC的周长为23cm,BC=4 cm,则△DEF的边中必有一条边等于______.
13. 在△ABC中,∠C=90°,BC=4CM,∠BAC的平分线交BC于D,且BD︰DC=5︰3,则D到AB的距离为_____________.
14. 如图,△ABC是不等边三角形,DE=BC,以D,E为两个顶点作位置不同的三角形,使所作的三角形与△ABC全等,这样的三角形最多可以画出_____个.
BE
BCDE
分别是锐角三角形ABC和锐角三角形ABC中BC,BC边上的高,且15. 如图,AD,ADB,ABAAD
D若使△ABC≌△ABC,请你补充条件___________.(填写一个你认为适A.
当的条件即可)
C
'
'
B D D
17. 如果两个三角形的两条边和其中一条边上的高对应相等,那么这两个三角形的第三边所对的角的关
'
C
'
系是__________.
19. 如右图,已知在ABC中,A90,ABAC,CD平
分ACB,DEBC于E,若BC15cm,则△DEB 的周长为cm.
E
C
20.在数学活动课上,小明提出这样一个问题:∠B=∠C=900,E是
BC的中点,DE平分∠ADC,∠CED=350,如图,则∠EAB是多少 度?大家一起热烈地讨论交流,小英第一个得出正确答案,是______.
三、平心静气做,展示智慧!
21.如图,公园有一条“Z”字形道路ABCD,其中
AB∥CD,在E,M,F处各有一个小石凳,且BECF,M为BC的中点,请问三个小石凳是否在一条直线上?说出你推断的理由.
22.如图,给出五个等量关系:①ADBC ②ACBD ③CEDE ④DC⑤DABCBA.请你以其中两个为条件,另三个中的一个为结论,推出一个正确 的结论(只需写出一种情况),并加以证明.
已知:
求证:
证明:
23.如图,在∠AOB的两边OA,OB上分别取OM=ON,OD=OE,DN和EM相交于点C. 求证:点C在∠AOB的平分线上.
A
B
B
如图,已知△ABC和△DEC都是等边三角形,∠ACB=∠DCE=60°,B、C、E在同一直线上,连结BD和AE.求证:BD=AE.2.已知:如图点C是AB的中点,CD∥BE,且CD=BE.求证:∠D=∠E.3.已知:E、F是AB上的两点,AE=BF,又AC∥DB,且AC=DB.求证:CF=DE。
4.如图,D、E、F、B在一条直线上,AB=CD,∠B=∠D,BF=DE。求证:⑴AE=CF;⑵AE∥CF;⑶∠AFE=∠CEF。
1、已知:如图,∠1=∠2,∠B=∠D。求证:△AFC≌△DEB4、已知:AD为△ABC中BC边上的中线,CE∥AB交AD的延长线于E。
求证:(1)AB=CE; 5、已知:AB=AC,BD=CD
求证:(1)∠B=∠C
(2)DE=DF
6.已知:AD为△ABC中BC边上的中线,CE∥AB交AD的延长线于E。7.已知:如图,AB=CD,DA⊥CA,AC⊥BC。
求证:△ADC≌△CBA
求证:(1)AB=CE;
参考答案
一、1—5:DCDCD6—10:BCBBA
二、11.100° 12.4cm或9.5cm 13.1.5cm 14.4 15.略
16.1AD5 17. 互补或相等 18. 180 19.15 20.350
三、21.在一条直线上.连结EM并延长交CD于F' 证CFCF'. 22.情况一:已知:ADBC,ACBD
求证:CEDE(或DC或DABCBA)
证明:在△ABD和△BAC中 ∵ADBC,ACBD
ABBA
∴△ABD≌△BAC
∴CABDBA∴AEBE
∴ACAEBDBE
即CEED
情况二:已知:DC,DABCBA
求证:ADBC(或ACBD或CEDE)证明:在△ABD和△BAC中DC,DABCBA∵ABA B
∴△ABD≌△BAC
∴ADB C
23.提示:OM=ON,OE=OD,∠MOE=∠NOD,∴△MOE≌△NOD,∴∠OME=∠OND,又DM=EN,∠DCM=∠ECN,∴△MDC≌△NEC,∴MC=NC,易得△OMC≌△ONC(SSS)∴∠MOC=∠NOC,∴点C在∠AOB的平分线上.
四、24.(1)解:△ABC与△AEG面积相等
过点C作CM⊥AB于M,过点G作GN⊥EA交EA延长线于N,则
AMCANG90
四边形ABDE和四边形ACFG都是正方形
BAECAG90,ABAE,ACAGBACEAG180
EAGGAN180BACGAN△ACM≌△AGN
D
CMGNS△ABC
ABCM,S△AEG
12AEGN
S△ABCS△AEG
(2)解:由(1)知外圈的所有三角形的面积之和等于内圈的所有三角形的面积之和
这条小路的面积为(a2b)平方米.