证明三角形全等(四)（精选5篇）

第一篇：证明三角形全等(四)

全等三角形问题中常见的辅助线的作法

一、倍长中线（线段）造全等

例

2、如图，△ABC中，E、F分别在AB、AC上，DE⊥DF，D是中点，试比较BE+CF与EF的大小.例

3、如图，△ABC中，BD=DC=AC，E是DC的中点，求证：AD平分∠BAE.A

二、截长补短

1、如图，ABC中，AB=2AC，AD平分BAC，且AD=BD，求证：CD⊥AC

E

F

B

D

C2、如图，AC∥BD，EA,EB分别平分∠CAB,∠DBA，CD求证;AB＝AC+BD

A3、如图，已知在ABC内，BAC60，C400，P，Q分别 在BC，CA上，并且AP，BQ分别是BAC，ABC的角平分线。

C

A

BDEC

B

应用：

1、（09崇文二模）以ABC的两边AB、AC为腰分别向外作等腰RtABD和等腰RtACE，BADCAE90,连接DE，M、N分别是BC、DE的中点．探究：AM与DE的位置关系及

求证：BQ+AQ=AB+BP

数量关系．

（1）如图① 当ABC为直角三角形时，AM与DE的位置关系是，线段AM与DE的数量关系是；

（2）将图①中的等腰RtABD绕点A沿逆时针方向旋转(0<<90)后，如图②所示，（1）问中得到的两个结论是否发生改变？并说明理由．



C4、如图，在四边形ABCD中，BC＞BA,AD＝CD，BD平分ABC，求证： AC180

C5、如图在△ABC中，AB＞AC，∠1＝∠2，P为AD上任意一点，求证;AB-AC＞PB-PC

A

四、借助角平分线造全等

1、如图，已知在△ABC中，∠B=60°，△ABC的角平

应用：

分线AD,CE相交于点O，求证：OE=OD

B

B

C2、如图，△ABC中，AD平分∠BAC，DG⊥BC且平分BC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F.A

（1）说明BE=CF的理由；（2）如果AB=a，AC=b，求AE、BE的长.B

G

C

F

D

三、平移变换

例1 AD为△ABC的角平分线，直线MN⊥AD于A.E为MN上一点，△ABC周长记为PA，△EBC周长记为PB.求证PB＞PA.应用：

1、如图①，OP是∠MON的平分线，请你利用该图形画一对以OP所在直线为对称轴的全等三角形。请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题：

（1）如图②，在△ABC中，∠ACB是直角，∠B=60°，AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，AD、CE相交于点F。请你判断并写出FE与FD之间的数量关系；

（2）如图③，在△ABC中，如果∠ACB不是直角，而(1)中的其它条件不变，请问，你在(1)中所得结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由。

例2 如图，在△ABC的边上取两点D、E，且BD=CE，求证：AB+AC>AD+AE.A

图①

B

M

P N

图②

D C

D

BDE

C

图③

C

五、旋转

例1 正方形ABCD中，E为BC上的一点，F为CD上的一点，BE+DF=EF，求∠EAF的度数.例2 D为等腰RtABC斜边AB的中点，DM⊥DN,DM,DN分别交BC,CA于点E,F。(1)当MDN绕点D转动时，求证DE=DF。(2)若AB=2，求四边形DECF的面积。

3、在等边ABC的两边AB、AC所在直线上分别有两点M、N，D为ABC外一点，且



当M、N分别在直线AB、AC上移动时，BM、NC、MDN60,BDC120,BD=DC.探究：

MN之间的数量关系及AMN的周长Q与等边ABC的周长L的关系．

A

D

F

B

E

C

A

例3 如图，ABC是边长为3的等边三角形，BDC是等腰三角形，且为顶点做一个600角，使其两边分别交AB于点M，交AC于点N，连接MN，则AMN的周长为；

2、（西城09年一模）已知以AB为一边作正方形ABCD,使P、D两点落在直线AB的两侧.(1)如图,当∠APB=45°时,求AB及PD的长;

(2)当∠APB变化,且其它条件不变时,求PD的最大值,及相应∠APB的大小.图1图2图

3（I）如图1，当点M、N边AB、AC上，且DM=DN时，BM、NC、MN之间的数量关系是； 此时

QL

；

（II）如图2，点M、N边AB、AC上，且当DMDN时，猜想（I）问的两个结论还成立吗？写出你的猜想并加以证明；

（III）如图3，当M、N分别在边AB、CA的延长线上时，若AN=x，则Q=（用

． x、L表示）

B

C

第二篇：全等三角形证明

全等三角形的证明

1.翻折

如图（1），BOC≌EOD，BOC可以看成是由EOD沿直线AO翻折180得到的；

旋转

如图（2），COD≌BOA，COD可以看成是由BOA绕着点O旋转180得到的；

平移

如图（3），DEF≌ACB，DEF可以看成是由ACB沿CB方向平行移动而得到的。

2.判定三角形全等的方法：

（1）边角边公理、角边角公理、边边边公理、斜边直角边（直角三角形中）公理

（2）推论：角角边定理

3.注意问题：

（1）在判定两个三角形全等时，至少有一边对应相等；

（2）不能证明两个三角形全等的是，a: 三个角对应相等，即AAA；b :有两边和其中一角对应相等，即SSA。

一、全等三角形知识的应用

（1）证明线段（或角）相等

例1：如图，已知AD=AE,AB=AC.求证：BF=FC

（2）证明线段平行

例2：已知：如图，DE⊥AC，BF⊥AC，垂足分别为E、F，DE=BF，AE=CF.求证：AB∥CD

（3）证明线段的倍半关系，可利用加倍法或折半法将问题转化为证明两条线段相等

例3：如图，在△ ABC中，AB=AC，延长AB到D，使BD=AB，取AB的中点E，连接CD和CE.求证：CD=2CE

例4 如图，△ABC中，∠C＝2∠B，∠1＝∠2。求证：AB＝AC＋CD．

．

例5：已知：如图，A、D、B三点在同一条直线上，CD⊥AB,ΔADC、ΔBDO为等腰Rt三角形，AO、BC的大小关系和位置关系分别如何？证明你的结论。

例6.如图，已知C为线段AB上的一点，ACM和CBN都是等边三角形，AN和CM相交于F点，BM和CN交于E点。求证：CEF是等边三角形。

N

M

FE

C

A B

第三篇：全等三角形证明

全等三角形证明

1、已知CD∥AB，DF∥EB，DF=EB，问AF=CE吗？说明理由。

CA2、已知∠E=∠F，∠1=∠2，AB=CD，问AE=DF吗？说明理由。

F3、已知，点C是AB的中点，CD∥BE，且CD=BE，问∠D=∠E吗？说明理由。

4、已知AB=CD，BE=DF，AE=CF，问AB∥CD吗？

A B

C

第四篇：全等三角形练习题(证明)

全等三角形练习题（8）

一、认认真真选，沉着应战！

1．下列命题中正确的是（）

A．全等三角形的高相等B．全等三角形的中线相等

C．全等三角形的角平分线相等D．全等三角形对应角的平分线相等 2． 下列各条件中，不能做出惟一三角形的是（）

A．已知两边和夹角B．已知两角和夹边

C．已知两边和其中一边的对角D．已知三边

4．下列各组条件中，能判定△ABC≌△DEF的是()

A．AB=DE，BC=EF，∠A=∠D

B．∠A=∠D，∠C=∠F，AC=EF

C．AB=DE，BC=EF，△ABC的周长= △DEF的周长

D．∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F

5．如图，在△ABC中，∠A:∠B:∠C=3:5:10，又△MNC≌△ABC，则∠BCM：∠BCN等于（）

A．1:2B．1:3C．2:3D．1:

46．如图，∠AOB和一条定长线段A，在∠AOB内找一点P，使P到OA、OB的距离都等于A，做法如下：（1）作OB的垂线NH，使NH=A，H为垂足．（2）过N作NM∥OB．（3）作∠AOB的平分线OP，与NM交于P．（4）点P即为所求．

其中（3）的依据是（）

A．平行线之间的距离处处相等

B．到角的两边距离相等的点在角的平分线上

C．角的平分线上的点到角的两边的距离相等

D．到线段的两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上

7． 如图，△ABC的三边AB、BC、CA长分别是20、30、40，其三条 角平分线将△ABC分为三个三角形，则S△ABO︰S△BCO︰S△CAO等于（）

A．1︰1︰1B．1︰2︰3C．2︰3︰4D．3︰4︰

58．如图，从下列四个条件：①BC＝B′C，②AC＝A′C，③∠A′CB＝∠B′CB，④AB＝A′B′中，任取三个为条件，ANCA

C F 余下的一个为结论，则最多可以构成正确的结论的个数是（）

A．1个B．2个C．3个D．4个

9．要测量河两岸相对的两点A，B的距离，先在AB的垂线BF上 取两点C，D，使CD=BC,再定出BF的垂线DE，使A，C，E在同 一条直线上，如图，可以得到EDCABC，所以ED=AB，因

E

此测得ED的长就是AB的长，判定EDCABC的理由是（）A．SASB．ASAC．SSSD．HL

10．如图所示，△ABE和△ADC是△ABC分别沿着AB，AC边 翻折180°形成的，若∠1∶∠2∶∠3=28∶5∶3，则∠α的度数为（）

A．80°B．100°C．60°D．45°．

二、仔仔细细填，记录自信！

11．如图，在△ABC中，AD=DE，AB=BE，∠A=80°，则∠CED=_____．

12．已知△DEF≌△ABC，AB=AC，且△ABC的周长为23cm，BC=4 cm，则△DEF的边中必有一条边等于______．

13． 在△ABC中，∠C=90°，BC=4CM，∠BAC的平分线交BC于D，且BD︰DC=5︰3，则D到AB的距离为_____________．

14． 如图，△ABC是不等边三角形，DE=BC，以D，E为两个顶点作位置不同的三角形，使所作的三角形与△ABC全等，这样的三角形最多可以画出_____个．

BE

BCDE

分别是锐角三角形ABC和锐角三角形ABC中BC,BC边上的高，且15． 如图，AD，ADB，ABAAD

D若使△ABC≌△ABC，请你补充条件___________．(填写一个你认为适A．

当的条件即可)

C

'

'

B D D

17． 如果两个三角形的两条边和其中一条边上的高对应相等，那么这两个三角形的第三边所对的角的关

'

C

'

系是__________．

19． 如右图，已知在ABC中，A90,ABAC,CD平

分ACB，DEBC于E，若BC15cm，则△DEB 的周长为cm．

E

C

20．在数学活动课上，小明提出这样一个问题：∠B=∠C=900，E是

BC的中点，DE平分∠ADC，∠CED=350，如图，则∠EAB是多少 度？大家一起热烈地讨论交流，小英第一个得出正确答案，是______．

三、平心静气做，展示智慧！

21．如图，公园有一条“Z”字形道路ABCD，其中

AB∥CD，在E,M,F处各有一个小石凳，且BECF，M为BC的中点，请问三个小石凳是否在一条直线上？说出你推断的理由．

22．如图，给出五个等量关系：①ADBC ②ACBD ③CEDE ④DC⑤DABCBA．请你以其中两个为条件，另三个中的一个为结论，推出一个正确 的结论（只需写出一种情况），并加以证明．

已知：

求证：

证明：

23．如图，在∠AOB的两边OA,OB上分别取OM=ON，OD=OE，DN和EM相交于点C． 求证：点C在∠AOB的平分线上．

A

B

B

如图，已知△ABC和△DEC都是等边三角形，∠ACB=∠DCE=60°，B、C、E在同一直线上，连结BD和AE.求证：BD=AE.2．已知：如图点C是AB的中点，CD∥BE，且CD=BE.求证：∠D=∠E.3．已知：E、F是AB上的两点，AE=BF，又AC∥DB，且AC=DB.求证：CF=DE。

4．如图，D、E、F、B在一条直线上，AB=CD，∠B=∠D，BF=DE。求证：⑴AE=CF；⑵AE∥CF；⑶∠AFE=∠CEF。

1、已知：如图，∠1＝∠2，∠B＝∠D。求证：△AFC≌△DEB4、已知：AD为△ABC中BC边上的中线，CE∥AB交AD的延长线于E。

求证：（1）AB＝CE； ５、已知：AB＝AC，BD＝CD

求证：（1）∠B＝∠C

（2）DE＝DF

６．已知：AD为△ABC中BC边上的中线，CE∥AB交AD的延长线于E。７．已知：如图，AB=CD，DA⊥CA，AC⊥BC。

求证：△ADC≌△CBA

求证：（1）AB＝CE；

参考答案

一、1—5：DCDCD6—10：BCBBA

二、11．100° 12．4cm或9．5cm 13．1．5cm 14．4 15．略

16．1AD5 17． 互补或相等 18． 180 19．15 20．350

三、21．在一条直线上．连结EM并延长交CD于F' 证CFCF'． 22．情况一：已知：ADBC，ACBD

求证：CEDE（或DC或DABCBA）

证明：在△ABD和△BAC中 ∵ADBC，ACBD

ABBA

∴△ABD≌△BAC

∴CABDBA∴AEBE

∴ACAEBDBE

即CEED

情况二：已知：DC，DABCBA

求证：ADBC（或ACBD或CEDE）证明：在△ABD和△BAC中DC，DABCBA∵ABA B

∴△ABD≌△BAC

∴ADB C

23．提示：OM=ON，OE=OD，∠MOE=∠NOD，∴△MOE≌△NOD，∴∠OME=∠OND，又DM=EN，∠DCM=∠ECN，∴△MDC≌△NEC，∴MC=NC，易得△OMC≌△ONC（SSS）∴∠MOC=∠NOC，∴点C在∠AOB的平分线上．

四、24．(1)解：△ABC与△AEG面积相等

过点C作CM⊥AB于M，过点G作GN⊥EA交EA延长线于N，则

AMCANG90

四边形ABDE和四边形ACFG都是正方形

BAECAG90，ABAE，ACAGBACEAG180



EAGGAN180BACGAN△ACM≌△AGN



D

CMGNS△ABC

ABCM，S△AEG

12AEGN

S△ABCS△AEG

(2)解：由(1)知外圈的所有三角形的面积之和等于内圈的所有三角形的面积之和

这条小路的面积为(a2b)平方米．

第五篇：第八课 三角形全等证明

第八讲 三角形全等的条件（2）

5．如图，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D、E，BE交CD于F，且AD=DF，三角形全等条件（3）：有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等．

C

求证：AC= BF。如图，在ABC与DEF中 AD

AB

DE BE

A

E

F





ABCDEF(ASA)

ASA公理推论（AAS公理）：有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等．

1． 如图，在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，DE

⊥AB于E，DF

⊥AC于F

。求证：DE=DF．

2．如图，已知：AD=AE，ACDABE，求证：

A

6.如图，AB，CD相交于点O，且AO=BO，试添加一个条件，使△AOC≌△BOD，并说明添加的条件是正确的。（不少于两种方法）

DB

7.如图，在Rt△ABC中，AB=AC，∠BAC=90º，多点A的任一直线AN，BD⊥AN于D，CE⊥AN于E，你能说说DE=BD-CE的理由吗？

8．如图，已知AEDADE,BAECAD，求证：BE=CD

E

3．如图，已知∠A=∠C，AF=CE，DE∥BF，求证：△ABF≌△CDE.4．如图，已知123，AB=AD.求证：BC=DE.D

F

C

E

9.如图△ABC中，∠B＝∠C，D，E，F分别在AB,BC,AC上，且BD=CE,∠DEF=∠B 求证：ED=EF

C

F

D

E

C

10.如图，∠E=∠B，∠1=∠2，EC=BC，求证：DE=AB

11.如图，AB∥DE，AC∥DF，BE=CF． 求证：AB=DE

第八讲 三角形全等的条件（2）

15.如图，在正方形ABCD中，CEDF．求证：△CBE≌△DCF.A

E

D

D

C B F

16.已知：△ABC中，D、E、F分别是AB、AC、BC上的点，连结DE、EF，∠ADE=∠EFC，∠AED=∠ACB，DE=FC。求证：△ADE≌△EFC

17.已知：如图∠1=∠2，∠3=∠4，求证：△ABC≌△ABD。

18.如图，已知∠1=∠2，∠3=∠4，求证：AB=CD

△BED与△CFD全等吗？

13.如图，D是AB上一点，DF交AC于点E，AEEC，CF∥AB．求证：ADCF

B

A

F

19.如图：AE、BC交于点M，F点在AM上，BE∥CF，BE=CF。求证：AM是△ABC的中线。

G

C

B

F

B E C

F

12.如图所示，BE⊥AE，CF⊥AE，垂足分别是E、F，D是EF的中点，A

D

A

C B

C

14.如图，ABCD是正方形．G是 BC 上的一点，DE⊥AG于 E，BF⊥AG于 F．

A D

（1）求证：△ABF≌△DAE；（2）DEEFFB．

B

E

M

C

第八讲 三角形全等的条件（2）24.已知：如图，AC⊥OB，BD⊥OA，AC与BD交于E 点，20.如图：AB=AC，ME⊥AB，MF⊥AC，垂足分别为E、F，若OA=OB，求证：AE=BE。求证：MB=MC

求证：BE=CD

22.如图，将一等腰直角三角形ABC的直角顶点置于直线l上，且过A、B两点分别作直线l的垂线，垂足分别为D、E．请你仔细观察后，在图中找出一对全

等三角形，并写出证明它们全等的过程．

C

O

21.已知：如图，AB=AC，BDAC，CEAB，垂足分别为D、E，BD、CE相交于点F，25.已知：如图，AB=CD，AD=BC，O是AC中点，OE⊥AB于E，OF⊥D于F。求证：OE=OF。

C

A E B

三角形全等条件（4）

1、如图，B、E、F、C在同一直线上，AE⊥BC，DF⊥BC，AB=DCBF=CE，试判断AB与CD的位置关系.2、已知 如图，AB⊥BD，CD⊥BD，AB=DC，求证：AD∥BC.D

C

23.如图，将矩形纸片ABCD沿对角线AC折叠，使点B落到点B′的位置，AB′与CD交于点E.（1）求证：△ADE≌△CB′E；（2）若AB=8，DE=3，试求BC的长.D

C

A

B

第八讲 三角形全等的条件（2）

3、如图，AD是△ABC的高，E为AC上一点，BE交AD于F，具有BF=AC，FD=CD，8.如图，在ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别 试探究BE与AC的位置关系.求证：△ACF≌△BDE.5．如图，已知AC⊥BC，AD⊥BD，AD=BC，CE⊥AB，DF

垂足分别为E、F，那么，CE=DF吗？谈谈你的理由!

求证：（1）CE=BE；（2）CB⊥AD.B

B

D C4、如图，A、E、F、B四点共线，AC⊥CE、BD⊥DF、E A

是E、F，且DE=DF，试说明AB=AC.9.如图，DC=BC，∠B＝∠D=90°，求证：AB＝AD.10.已知：如图∠B=∠E=90°AC=DFFB=EC，证明：AB=DE 已知：如图，AB＝CD，DE⊥AC，BF⊥AC，E，F是垂足，DEBF．求证：AB∥CD．

6．如图，已知AB=AC，AB⊥BD，AC⊥CD，AD，BC12.已知：如图，AB⊥BC，AD⊥DC，AB=AD，若E是AC上一点。求证：EB=ED

7.如图，△ABC中，D是BC上一点，DE⊥AB，DF⊥AC，E、F分别为垂足，且AE=AF，试说明：DE=DF，AD平分∠BAC.E